องค์ประกอบของยูคลิด

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ไม่มีชื่อบทความ

หนังสือ "องค์ประกอบ" ( ภาษากรีกโบราณ : Στοιχεῖα Stoikheîa ) เป็น ตำรา คณิตศาสตร์ ที่เขียนขึ้น ราว 300 ปีก่อนคริสตกาล โดยยู คลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก โบราณ

หนังสือ"องค์ประกอบ" ( ภาษากรีกโบราณ: Στοιχεῖα Stoikheîa ) เป็นตำรา คณิตศาสตร์ ที่เขียนขึ้นราว300 ปีก่อนคริสตกาลโดยยูคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก โบราณ

ตำราElementsเป็นตำราคณิตศาสตร์เชิงอนุมานขนาดใหญ่ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ โดยอ้างอิงจากผลงานของนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนๆ เช่นฮิปโปเครติสแห่งคิออสยูโดซัสแห่งคนิดัสและเธียเตตัสElementsเป็นชุดตำรา 13 เล่มที่รวบรวมคำจำกัดความ สัจพจน์การ สร้างทางเรขาคณิตและทฤษฎีบทพร้อมบทพิสูจน์ครอบคลุมเรขาคณิตแบบยูคลิด ทั้งระนาบและทรงสามมิติ ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นและความไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ซึ่งรวมถึงทฤษฎีบทพีทาโก รัส ทฤษฎีบทของทาเล ส ขั้นตอนวิธีของยูคลิดในการหาตัวหารร่วมมาก ทฤษฎีบทของยูคลิดที่ว่ามีจำนวนเฉพาะอนันต์ และการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติและทรงหลายเหลี่ยม

หนังสือ Elementsมักถูกกล่าวถึงว่าเป็นตำราเรียน ที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด เท่าที่เคยเขียนมา และยังคงถูกใช้เป็นตำราเรียนเรขาคณิตเบื้องต้นมาจนถึงปัจจุบัน หนังสือเล่มนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับและละตินในยุคกลาง ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากต่อคณิตศาสตร์ในโลกอิสลามยุคกลางและในยุโรปตะวันตก และพิสูจน์แล้วว่าเป็นเครื่องมือสำคัญในการพัฒนาตรรกศาสตร์และวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ ซึ่งความเข้มงวดทางตรรกศาสตร์ของหนังสือเล่มนี้ไม่มีใครเทียบได้จนกระทั่งศตวรรษที่ 19

พื้นหลัง

Elementsของยูคลิดเป็นงานทางคณิตศาสตร์เชิงอนุมานขนาดใหญ่ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่^{[ 1 ]}โพรคลัสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกซึ่งมีชีวิตอยู่ราวเจ็ดศตวรรษหลังจากยูคลิด ได้เขียนคำอธิบายเกี่ยวกับElementsไว้ว่า: "ยูคลิด ผู้รวบรวมElements โดยรวบรวม ทฤษฎีบทของยูโดซัสจำนวนมาก ปรับปรุงทฤษฎีบทของ เธียเตตุสจำนวนมาก และยังนำสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์อย่างหลวมๆ โดยบรรพบุรุษของเขามาสู่การพิสูจน์ที่ไม่อาจโต้แย้งได้" ^{[ a ]} นักวิชาการเชื่อว่าElementsส่วนใหญ่เป็นการรวบรวมข้อเสนอจากหนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกรุ่นก่อนๆ^{[ 2 ]}รวมถึงยูโดซัสฮิปโปเครติสแห่งคิออส [ ^{b ] ธา}เลสและ เธี ยเตตุสในขณะที่ทฤษฎีบทอื่นๆ ได้รับการกล่าวถึงโดยเพลโตและอริสโตเติล^{[ 3 ]}เป็นเรื่องยากที่จะแยกแยะผลงานของยูคลิดออกจากผลงานของบรรพบุรุษของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะElements นั้น ได้เข้ามาแทนที่คณิตศาสตร์กรีกที่เก่าแก่และสูญหายไปแล้ว^{[ 4 ]} Elements ฉบับที่มีอยู่ในปัจจุบันยังรวมถึงคณิตศาสตร์ "หลังยุคยูคลิด" ซึ่งน่าจะถูกเพิ่มเข้ามาในภายหลังโดยบรรณาธิการรุ่นหลัง เช่น นักคณิตศาสตร์ธีออนแห่งอเล็กซานเดรียในศตวรรษที่ 4 ^[³^] นักคลาสสิ กมาร์คุส แอสเปอร์ สรุปว่า "เห็นได้ชัดว่าความสำเร็จของยูคลิดประกอบด้วยการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับเข้าไว้ในลำดับที่สมเหตุสมผล และเพิ่มบทพิสูจน์ใหม่เพื่อเติมเต็มช่องว่าง" และนักประวัติศาสตร์เซราฟินา คูโอโมอธิบายว่าเป็น "แหล่งรวมผลลัพธ์" ^[⁵^]^[³^]ถึงกระนั้น นักประวัติศาสตร์มิคาลิส เซียลารอส ก็แสดงความคิดเห็นว่า "โครงสร้างที่แน่นหนาอย่างน่าทึ่ง" ของมันชี้ให้เห็นว่ายูคลิดเขียนElementsด้วยตนเองมากกว่าที่จะเพียงแค่เรียบเรียงผลงานของผู้อื่นเข้าด้วยกัน^[⁶^]

การระบุรายละเอียดส่วนต่างๆ ของElementsให้กับนักคณิตศาสตร์เฉพาะรายยังคงเป็นหัวข้อถกเถียงทางวิชาการ ตามที่WW Rouse Ball กล่าวไว้ พีทาโกรัสอาจเป็นแหล่งที่มาของหนังสือเล่มที่ 1 และ 2 ส่วนใหญ่ ฮิปโปเครติสแห่งคิออสสำหรับหนังสือเล่มที่ 3 และ ยูโดซั สแห่งคนิดัสสำหรับหนังสือเล่มที่ 5 ในขณะที่หนังสือเล่มที่ 4, 6, 11 และ 12 อาจมาจากนักคณิตศาสตร์ชาวพีทาโกเรียนหรือชาวเอเธนส์คนอื่นๆ^{[ 7 ]} Elements อาจมีพื้นฐานมาจากตำราเรียนก่อนหน้านี้ของฮิปโปเครติสแห่งคิออส ซึ่งอาจเป็นผู้ริเริ่มการใช้ตัวอักษรเพื่ออ้างถึงรูปภาพด้วย[ ^{8 ] Wilbur} Knorrระบุว่าเนื้อหาในหนังสือเล่มที่ 1, 3 และ 6 ของElements มีต้นกำเนิด มาจากยุคของฮิปโปเครติสแห่งคิออส และเนื้อหาในหนังสือเล่มที่ 2, 4, 10 และ 13 มีต้นกำเนิดมาจากยุคหลังของธีโอดอรัสแห่งไซรีน เธียเตตุส และยูโดซอส อย่างไรก็ตาม ประวัติศาสตร์ที่เสนอแนะนี้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์โดยvan der Waerdenซึ่งเชื่อว่าหนังสือเล่มที่ 1 ถึง 4 ส่วนใหญ่เป็นผลมาจาก สำนัก พีทาโกเรียน ในยุคก่อนหน้า ^{[ 9 ]}

มีรายงานว่าผลงานที่คล้ายกันอื่นๆ ได้ถูกเขียนโดยฮิปโปเครติสแห่งคิออส, เธอเดียสแห่งแมกนีเซียและเลออนแต่ปัจจุบันสูญหายไปแล้ว^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

สารบัญ

สรุปเนื้อหาของหนังสือ*Elements* ของยูคลิด (ฉบับฮีท)
หนังสือ	ฉัน	2.	3.	IV	วี	วีไอ	7.	ว.8	IX	X	XI	สิบสอง	สิบสาม	ยอดรวม
คำจำกัดความ	23	2	11	7	18	4	22	–	–	16	28	–	–	131
สมมติฐาน	5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
แนวคิดทั่วไป	5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
ข้อเสนอ	48	14	37	16	25	33	39	27	36	115	39	18	18	465

หนังสือElementsไม่ได้กล่าวถึงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียวอย่างที่บางครั้งเข้าใจกัน^{[ 4 ]}^{[ 12 ]}ตามธรรมเนียมแล้วจะแบ่งออกเป็นสามหัวข้อ ได้แก่เรขาคณิตระนาบ (เล่ม I–VI) ทฤษฎีจำนวน พื้นฐาน (เล่ม VII–X) และเรขาคณิตทรงสามมิติ (เล่ม XI–XIII) แม้ว่าเล่ม V (เกี่ยวกับสัดส่วน) และเล่ม X (เกี่ยวกับความไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ ) จะไม่ตรงกับโครงร่างนี้ เสียทีเดียว ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}หัวใจสำคัญของเนื้อหาคือทฤษฎีบทที่กระจัดกระจายอยู่ทั่วทั้งเล่ม^{[ 15 ]}หากใช้ศัพท์ของอริสโตเติล ทฤษฎีบทเหล่านี้สามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทหลักๆ ได้แก่ "หลักการแรก" และ "หลักการที่สอง" ^{[ 16 ]}กลุ่มแรกประกอบด้วยข้อความที่ระบุว่าเป็น "คำจำกัดความ" ( ภาษากรีกโบราณ: ὅροςหรือὁρισμός ) "สมมติฐาน" ( αἴτημα ) หรือ "แนวคิดทั่วไป" ( κοινὴ ἔννοια ) ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}สมมติฐาน (นั่นคือสัจพจน์ ) และแนวคิดทั่วไปปรากฏเฉพาะในหนังสือเล่มที่ 1 เท่านั้น^{[ 4 ]}การศึกษาอย่างละเอียดเกี่ยวกับโพรคลัส ชี้ให้เห็นว่า Elementsเวอร์ชันเก่ากว่าอาจปฏิบัติตามการแบ่งแยกแบบเดียวกัน แต่ใช้คำศัพท์ที่แตกต่างกัน โดยเรียกคำจำกัดความแต่ละข้อว่า "สมมติฐาน" ( ὑπόθεσις ) และแนวคิดทั่วไปแต่ละข้อว่า "สัจพจน์" ( ἀξίωμα ) ^{[ 17 ]}กลุ่มที่สองประกอบด้วยข้อเสนอที่นำเสนอควบคู่ไปกับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์และแผนภาพ^{[ 16 ]}ไม่ทราบว่ายูคลิดตั้งใจให้Elementsเป็นตำราเรียน หรือไม่ ^{[ 6 ]}แม้ว่าจะมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในภายหลังก็ตาม^{[ 18 ]}โดยรวมแล้วน้ำเสียงของผู้เขียนยังคงเป็นแบบทั่วไปและไม่เจาะจง^{[ 3 ]}

หลักการและสมมติฐานของยูคลิดแนวคิดทั่วไป s^{[ 19 ]}
เลขที่	สมมติฐาน
ขอตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้:
1	การลากเส้นตรงจากจุดใดจุดหนึ่งไปยังจุดใดจุดหนึ่ง
2	เพื่อสร้างเส้นตรงที่มีความยาวจำกัดอย่างต่อเนื่องบนเส้นตรง
3	เพื่ออธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและระยะห่างใดๆ
4	มุมฉากทุกมุมมีขนาดเท่ากัน
5	นั่นคือ ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงสองเส้น แล้วมุมภายในด้านเดียวกันมีค่าน้อยกว่าสองมุมฉากเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้น ถ้าลากต่อไปเรื่อยๆ จะมาบรรจบกันที่ด้านที่มีมุมน้อยกว่าสองมุมฉาก^{[ c ]}
เลขที่	แนวคิดทั่วไป
1	สิ่งที่เท่ากันกับสิ่งเดียวกัน ย่อมเท่ากันกับสิ่งอื่นด้วย
2	ถ้านำสิ่งเท่ากันมาบวกกับสิ่งเท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเท่ากัน
3	ถ้านำจำนวนที่เท่ากันมาลบออกจากจำนวนที่เท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากัน
4	สิ่งที่สอดคล้องกันย่อมเท่ากัน
5	ส่วนรวมนั้นยิ่งใหญ่กว่าส่วนย่อย

หนังสือเล่มที่ 1 ถึง 6: เรขาคณิตระนาบ

เล่ม 1

หนังสือเล่มที่ 1 ของElementsเป็นพื้นฐานสำหรับข้อความทั้งหมด^{[ 4 ]}เริ่มต้นด้วยชุดคำจำกัดความ 20 ข้อสำหรับแนวคิดทางเรขาคณิตพื้นฐาน เช่นจุดเส้นมุมและรูป หลายเหลี่ยมปกติชนิดต่างๆ[ ^{20 ] จาก}นั้นยูคลิดได้นำเสนอสมมติฐาน 10 ข้อ (ดูตารางด้านขวา) ซึ่งจัดกลุ่มเป็น 5 สัจพจน์และ 5 แนวคิดทั่วไป^{[ 21 ]}สมมติฐานเหล่านี้มีจุดประสงค์เพื่อให้เป็นพื้นฐานเชิงตรรกะสำหรับทฤษฎีบทที่ตามมาทั้งหมด กล่าวคือ ทำหน้าที่เป็นระบบสัจพจน์^{[ 22 ]}แนวคิดทั่วไปเกี่ยวข้องกับการเปรียบเทียบขนาดขนาดของวัตถุทางเรขาคณิต โดยเฉพาะ ^{[ 23 ]}ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ขนาดเหล่านี้จะถูกมองว่าเป็นจำนวนจริงที่วัดความยาวส่วนโค้งมุมหรือพื้นที่และเปรียบเทียบกันในเชิงตัวเลข แต่ยูคลิดกลับพบวิธีเปรียบเทียบขนาดของรูปทรงโดยใช้การดำเนินการทางเรขาคณิต โดยไม่ต้องตีความขนาดเหล่านี้เป็นตัวเลข^{[ 24 ]}ในขณะที่สัจพจน์สี่ข้อแรกค่อนข้างตรงไปตรงมา แต่ข้อที่ห้ากลับไม่เป็นเช่นนั้น เป็นที่รู้จักกันในชื่อสัจพจน์เส้นขนานและคำถามเกี่ยวกับความเป็นอิสระจากสัจพจน์เส้นขนานอีกสี่ข้อกลายเป็นจุดสนใจของการวิจัยที่ยาวนานซึ่งนำไปสู่การพัฒนาเรขาคณิตนอกยุคยูคลิด^{[ 23 ]}

หนังสือเล่มที่ 1 ยังประกอบด้วยข้อเสนอ 48 ข้อ ซึ่งสามารถแบ่งอย่างคร่าวๆ ได้ดังนี้: ทฤษฎีบทพื้นฐานและการสร้างเรขาคณิตระนาบและความสอดคล้องกันของสามเหลี่ยม (1–26), เส้นขนาน (27–34), พื้นที่ของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านขนาน (35–45) และ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (46–48) ^{[ 23 ]}

ข้อเสนอที่ 5 ที่ว่ามุมฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน กลายเป็นที่รู้จักในยุคกลางในชื่อpons asinorumหรือสะพานลา ซึ่งแยกนักคณิตศาสตร์ที่สามารถพิสูจน์ได้จากคนโง่ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้^{[ 25 ]}ปาปิรัส Oxyrhynchus 29ซึ่งเป็นปาปิรัสในศตวรรษที่ 3 หลังคริสต์ศักราช มีชิ้นส่วนของข้อเสนอที่ 8–11 และ 14–25 ^{[ d ]}ข้อเสนอสองข้อสุดท้ายของหนังสือเล่มที่ 1 ประกอบด้วยการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ ซึ่ง Sialaros อธิบายว่าเป็น "ละเอียดอ่อนอย่างน่าทึ่ง" ^{[ 16 ]}รูปภาพสำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัสเองก็เป็นที่รู้จักกันดีภายใต้ชื่อต่างๆ มากมาย เช่นเก้าอี้เจ้าสาวกังหันลม หรือหางนกยูง^{[ 26 ]}

หนังสือเล่มที่ 2

การแบ่งส่วนของเส้นตรง $AB$ ตามแนวคิด ของยูคลิด ตามทฤษฎีบทที่ 11 เล่ม 2 โดยเพิ่มส่วนโค้งเข้าไปในแผนภาพแบบดั้งเดิม การสร้างนี้หาจุดกึ่งกลาง $E$ ของด้าน $AC$ ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส $ABCD$ ตัดเส้นตรง $AC$ ที่ จุด $F$ กับวงกลมที่มีรัศมี $EB$ และสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สอง $AFGH$ ซึ่งมีจุดยอด $H$ เป็นจุดแบ่งส่วน

หนังสือเล่มที่สองเน้นที่พื้นที่ซึ่งวัดผ่านการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหมายถึงการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับรูปทรงที่กำหนด หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยพื้นฐานทางเรขาคณิตของกฎโคไซน์และจบลงด้วยการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของสี่เหลี่ยมผืนผ้าใดๆ[ 23 ^{]ในช่วง}ปลายศตวรรษที่ 19 และ 20 นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์บางคนตีความหนังสือเล่มที่สองว่าเป็นการสร้าง " พีชคณิตเชิงเรขาคณิต " ซึ่งเป็นการแสดงออกของการจัดการทางพีชคณิตของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองในแง่ของแนวคิดทางเรขาคณิตของความยาวและพื้นที่^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}โดยเน้นที่กรณีกำลังสองของ ทฤษฎีบท ทวินาม^{[ 23 ]}การตีความนี้ได้รับการถกเถียงกันอย่างมากตั้งแต่ทศวรรษ 1970 ^{[ 28 ]}นักวิจารณ์อธิบายว่าการกำหนดลักษณะดังกล่าวเป็นสิ่งที่ล้าสมัย เนื่องจากรากฐานของพีชคณิตที่เพิ่งเริ่มต้นเกิดขึ้นหลายศตวรรษต่อมา^{[ 16 ]}อย่างไรก็ตาม หากพิจารณาในฐานะข้อความเกี่ยวกับเรขาคณิต ข้อเสนอหลายข้อในหนังสือเล่มนี้ก็ไม่จำเป็นสำหรับคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เนื่องจากสามารถครอบคลุมได้ด้วยการใช้พีชคณิต^{[ 29 ]}

ข้อเสนอที่ 11 ของหนังสือเล่มที่ 2 แบ่งส่วนของเส้นตรงที่กำหนดออกเป็นสัดส่วนสุดขั้วและสัดส่วนเฉลี่ย ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าอัตราส่วนทองคำเป็นข้อเสนอแรกในหลายๆ ข้อเสนอที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนนี้ ต่อมาได้ใช้ในหนังสือเล่มที่ 4 เพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยมทองคำและรูปห้าเหลี่ยมปกติและในหนังสือเล่มที่ 13 เพื่อสร้าง ทรง สิบสองเหลี่ยมปกติและทรงยี่สิบเหลี่ยมปกติและศึกษาในฐานะอัตราส่วนในหนังสือเล่มที่ 6 ข้อเสนอที่ 30 ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]}

หนังสือเล่มที่ 3

หนังสือเล่มที่ 3 เริ่มต้นด้วยรายการคำจำกัดความ 11 ข้อ และตามด้วยข้อเสนอ 37 ข้อที่เกี่ยวข้องกับวงกลมและคุณสมบัติของวงกลม ข้อเสนอที่ 1 เกี่ยวกับการหาจุดศูนย์กลางของวงกลม ข้อเสนอที่ 2 ถึง 15 เกี่ยว กับ คอร์ด วงกลม ที่ตัดกัน และวงกลมที่สัมผัสกัน เส้นสัมผัสวงกลมเป็นหัวข้อของข้อเสนอที่ 16 ถึง 19 ถัดมาเป็นข้อเสนอเกี่ยวกับมุมภายในวงกลม (20 ถึง 22) และเกี่ยวกับคอร์ด ส่วนโค้ง และมุม (23 ถึง 30) รวมถึงทฤษฎีบทมุมภายในวงกลมที่เชื่อมโยงมุมภายในกับมุมศูนย์กลางดังข้อเสนอที่ 20 ข้อเสนอที่ 31 ถึง 34 เกี่ยวกับมุมในวงกลม รวมถึงทฤษฎีบทของทาเลสที่ว่ามุมภายในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก (ส่วนหนึ่งของข้อเสนอที่ 31) ข้อเสนอที่เหลือ 35 ถึง 37 เกี่ยวกับคอร์ดที่ตัดกันและเส้นสัมผัส ข้อเสนอที่ 35 คือทฤษฎีบทคอร์ดตัดกันและข้อเสนอที่ 36 คือทฤษฎีบทสัมผัส-เส้นตัด^{[ 32 ]}

หนังสือเล่มที่ 4

หนังสือเล่มที่ 4 กล่าวถึงปัญหา 4 ข้ออย่างเป็นระบบสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่แตกต่างกัน ได้แก่ การวาดรูปหลายเหลี่ยมภายในวงกลม การวาดรูปหลายเหลี่ยมล้อมรอบวงกลมการวาดรูปวงกลมภายในรูปหลายเหลี่ยม และการวาดรูป วงกลม ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยม^{[ 33 ]}ปัญหาเหล่านี้ได้รับการแก้ไขตามลำดับสำหรับรูปสามเหลี่ยม จากนั้นสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติที่สร้างได้ (เช่น รูปหลายเหลี่ยมที่มีการสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน ) ที่มี 4, 5, 6 และ 15 ด้าน^{[ 4 ]}

หนังสือเล่มที่ 5

หนังสือเล่มที่ 5 ซึ่งเป็นอิสระจากหนังสือสี่เล่มก่อนหน้า เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนของขนาด (โดยสัญชาตญาณ รูปทรงหนึ่งใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าอีกรูปทรงหนึ่งมากน้อยเพียงใด) และการเปรียบเทียบอัตราส่วน^{[ 34 ]}ฮีธและผู้แปลคนอื่นๆ ได้กำหนดข้อเสนอหกข้อแรกในพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ ในรูปแบบของกฎการกระจายของการคูณเหนือการหารและกฎการเชื่อมโยงสำหรับการคูณ อย่างไรก็ตามลีโอ คอร์รีโต้แย้งว่านี่เป็นสิ่งที่ล้าสมัยและทำให้เข้าใจผิด เพราะยูคลิดไม่ได้ถือว่าขนาดเป็นตัวเลข หรือถือว่าอัตราส่วนเป็นการดำเนินการแบบไบนารีจากตัวเลขหนึ่งไปยังอีกตัวเลขหนึ่ง^{[ 35 ]}

เนื้อหาส่วนใหญ่ของหนังสือเล่มที่ 5 น่าจะได้รับมาจากนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนๆ เช่น ยูโดซัส^{[ 16 ]}แม้ว่าข้อเสนอบางประการ เช่น V.16 ที่เกี่ยวข้องกับ "การสลับ" (ถ้าa : b :: c : dแล้วa : c :: b : d ) น่าจะมาก่อนยูโดซัส^{[ 36 ]}

คริสโตเฟอร์ ซีแมนได้โต้แย้งว่า การที่หนังสือเล่มที่ 5 มุ่งเน้นไปที่พฤติกรรมของอัตราส่วนภายใต้การบวกขนาด และความล้มเหลวในการกำหนดอัตราส่วนของอัตราส่วนที่ตามมานั้น เป็นข้อบกพร่องที่ทำให้ชาวกรีกไม่สามารถค้นพบแนวคิดสำคัญบางอย่าง เช่นอัตราส่วนไขว้ (ซึ่งเป็นหัวใจสำคัญของเรขาคณิตเชิงฉาย ) ^{[ 37 ]}

หนังสือเล่มที่ 6

หนังสือเล่มที่ 6 ใช้ทฤษฎีอัตราส่วนจากหนังสือเล่มที่ 5 ในบริบทของเรขาคณิตระนาบ^{[ 4 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสร้างและการจดจำ รูปทรง ที่คล้ายกันสร้างขึ้นเกือบทั้งหมดจากข้อเสนอแรก: ^{[ 38 ]} "รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความสูงเท่ากันจะมีฐานเท่ากัน" นั่นคือ ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีความสูงเท่ากัน อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของส่วนฐานทั้งสอง (และในทำนองเดียวกันสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสองรูปที่มีความสูงเท่ากัน) ข้อเสนอนี้แสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงระหว่างอัตราส่วนของความยาวและอัตราส่วนของพื้นที่^{[ 39 ]} ข้อเสนอที่ 25 สร้างรูปหลายเหลี่ยมที่สามจากรูป หลายเหลี่ยมสองรูปใดๆที่คล้ายกับรูปแรกและมีพื้นที่เท่ากับรูปที่สองพลูตาร์คกล่าวว่าการสร้างนี้เป็นผลงานของพีทาโกรัส โดยเรียกมันว่า "ละเอียดอ่อนและเป็นวิทยาศาสตร์มากกว่า" ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ปัญหาโบราณที่มีชื่อเสียงของกรีกเรื่องการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่าซึ่งปัจจุบันทราบกันดีว่าเป็นไปไม่ได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด เป็นกรณีพิเศษของปัญหา 3 มิติที่คล้ายคลึงกันในการสร้างรูปทรงที่มีรูปร่างและปริมาตรที่กำหนด^{[ 40 ]}หนังสือเล่มนี้จบลงเช่นเดียวกับที่เริ่มต้น โดยเชื่อมโยงอัตราส่วนสองประเภทเข้าด้วยกัน ได้แก่ อัตราส่วนของมุม และอัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งวงกลม ในข้อเสนอที่ 33 ^{[ 41 ]}

หนังสือเล่มที่ 7 ถึง 10: ทฤษฎีจำนวน

ทฤษฎีจำนวนซึ่งเป็นทฤษฎีเกี่ยวกับเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติครอบคลุมอยู่ในหนังสือเล่มที่ 7 ถึง 10 หนังสือเล่มที่ 7 เริ่มต้นด้วยชุดคำจำกัดความ 22 ข้อสำหรับความเป็นคู่ หรือคี่ (จำนวนนั้นเป็นเลขคู่หรือเลขคี่) จำนวนเฉพาะและแนวคิดอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับเลขคณิต^{[ 4 ]}คำจำกัดความแรกนี้ใช้สำหรับหน่วย (ในแง่สมัยใหม่คือเลขหนึ่ง) ในขณะที่คำจำกัดความที่สองระบุว่า "จำนวนคือกลุ่มของหน่วย" ^{[ 42 ]}โดยทั่วไปแล้วสิ่งนี้ถูกตีความว่าสำหรับยูคลิด เลขหนึ่งไม่ใช่จำนวน และจำนวนธรรมชาติเริ่มต้นที่สอง^{[ 43 ]}

หนังสือเล่มที่ 7

หนังสือเล่มที่ 7 กล่าวถึงทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น และประกอบด้วยข้อเสนอ 39 ข้อ ซึ่งสามารถแบ่งอย่างคร่าวๆ ได้ดังนี้: ขั้นตอนวิธีของยุคลิดวิธีการตรวจสอบว่าจำนวนต่างๆ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน หรือ ไม่ และการหาตัวหารร่วมมากที่สุด (1–4) เศษส่วน (5–10) ทฤษฎีสัดส่วนของจำนวน (11–19) จำนวนเฉพาะและจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ และทฤษฎีตัวหารร่วมมากที่สุด (20–32) และตัวคูณร่วมน้อยที่สุด (33–39) ^{[ 44 ]}

เล่มที่ 8

หัวข้อของหนังสือเล่มที่ 8 คือลำดับเรขาคณิต^[ 44 ^]^{สำหรับยูคลิด ลำดับเหล่านี้ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของการ เป็น}สัดส่วนต่อเนื่อง (ขนาดสองค่าที่ต่อเนื่องกันจะมีอัตราส่วนเดียวกัน) แทนที่จะเป็นการยกกำลัง ดังเช่นในวิธีการสมัยใหม่ ( $i$ พจน์ที่ th ของลำดับขั้นมีรูปแบบดังนี้ $ax^{i}$ สำหรับค่าคงที่ $a$ และ $x$ ) วิธีนี้ทำให้ยูคลิดหลีกเลี่ยงการคูณค่ามากกว่าสองค่าได้ แต่นำไปสู่การพิสูจน์ข้อเท็จจริงบางอย่างที่ยุ่งยาก ซึ่งการใช้สัญกรณ์เลขยกกำลังจะทำให้ชัดเจน^{[ 45 ]}

ส่วนแรกของหนังสือเล่มที่ 8 (ข้อเสนอที่ 1 ถึง 10) กล่าวถึงการสร้างและการมีอยู่ของลำดับเรขาคณิตของจำนวนเต็มโดยทั่วไป และการหารลงตัวของสมาชิกในลำดับเรขาคณิตด้วยกัน ข้อเสนอ 11 ถึง 27 กล่าวถึงจำนวนกำลังสองและจำนวนกำลังสามในลำดับเรขาคณิต และความสัมพันธ์ระหว่างลำดับพิเศษเหล่านี้กับองค์ประกอบที่อยู่ห่างกันสองหรือสามขั้นในลำดับเรขาคณิตที่กำหนด^{[ 44 ]}

หนังสือเล่มที่ 9

หลังจากดำเนินการตรวจสอบต่อจากหนังสือเล่มที่ 8 เกี่ยวกับกำลังสองและกำลังสามในลำดับเรขาคณิต^{[ 44 ]}หนังสือเล่มที่ 9 ใช้ผลลัพธ์จากหนังสือสองเล่มก่อนหน้าและให้จำนวนเฉพาะที่เป็นอนันต์ (ทฤษฎีบทของยูคลิด ข้อเสนอที่ 20) สูตรสำหรับผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตจำกัด (ข้อเสนอที่ 35) และการสร้างโดยใช้ผลรวมนี้สำหรับจำนวนคู่ที่สมบูรณ์แบบ (ข้อเสนอที่ 36) ในที่นี้ จำนวนจะเป็นจำนวนที่สมบูรณ์แบบหากเท่ากับผลรวมของตัวหารแท้ ของมัน เช่น 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ^{[ 4 ]}^{[ 46 ]}อัลฮาเซนตั้งข้อสันนิษฐานประมาณปี ค.ศ. 1000และในศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์พิสูจน์ว่าการสร้างนี้สร้าง จำนวนคู่ที่สมบูรณ์แบบ ทั้งหมดผลลัพธ์นี้คือทฤษฎีบทของยูคลิด-ออยเลอร์^{[ 47 ]}

หนังสือ X

ใน บรรดา หนังสือ Elementsเล่ม X ถือเป็นเล่มที่ใหญ่ที่สุดและซับซ้อนที่สุด โดยกล่าวถึงจำนวนอตรรกยะ (ในแง่สมัยใหม่) ในบริบทของขนาด^{[ 16 ]}^{[ 48 ]}ข้อเสนอ 9 (ตามที่เขียนใหม่ในแง่สมัยใหม่) พิสูจน์ว่ารากที่สองของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่กำลังสองทั้งหมดเป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น ${\sqrt {2}}$ ราก ที่สองของ 2 [ ^{49 ] บท}พิสูจน์ย่อยของข้อเสนอที่ 29 ให้สูตรของยูคลิดสำหรับการสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกเรียนพื้นฐาน ทั้งหมด ^{[ 50 ]}นอกจากนี้ หนังสือเล่มนี้ยังจำแนกความยาวที่ไม่เป็นจำนวนตรรกยะออกเป็น 13 ประเภทที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสร้างขึ้นโดยการรวมกันต่างๆ ของความยาวอื่นๆ ที่เป็นจำนวนเต็มและรากที่สองของจำนวนเต็มเหล่านั้น^{[ 51 ]}อย่างไรก็ตามวิลเบอร์ คนอร์เตือนว่า "นักเรียนที่เข้าหาหนังสือ X ของยูคลิดโดยหวังว่าความยาวและความคลุมเครือของมันจะซ่อนสมบัติทางคณิตศาสตร์ไว้ มีแนวโน้มที่จะผิดหวัง ... แนวคิดทางคณิตศาสตร์มีน้อย" ^{[ 52 ]}

แทนที่จะถือว่าขนาดเป็นจำนวนจริงและถามว่าสิ่งเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่ ยูคลิดจัดการเนื้อหานี้ในแง่ของความสามารถในการวัดความยาวหรือพื้นที่: ไม่ว่าส่วนของเส้นตรงสองส่วนหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปจะสามารถวัดได้ด้วยจำนวนเต็มของหน่วยย่อยทั่วไปหรือไม่^{[ 48 ]}การจำแนกความยาวของเขาว่าเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะนั้นแตกต่างจากความหมายสมัยใหม่: สำหรับยูคลิด ส่วนของเส้นตรงจะเป็นจำนวนตรรกยะเมื่อพื้นที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนตรรกยะ นั่นคือ สำหรับยูคลิด ความยาวเช่น ${\sqrt {2}}$ นั่นคือรากที่สองของพื้นที่ตรรกยะนั้นเป็นตรรกยะด้วย^{[ 53 ]}

หนังสือเล่มนี้เชื่อมโยงกับข้อความสั้นๆ ใน บทสนทนาเรื่อง เธียเตตุสของเพลโต ซึ่งเป็นการสนทนา ระหว่างโสกรา ตีส ธีโอด อรัสแห่งไซรีนและเธียเตตุสนักคณิตศาสตร์รุ่นน้อง ข้อความนี้กล่าวถึงการพิสูจน์ของธีโอดอรัสที่ว่าจำนวนเต็มที่ไม่ใช่กำลังสองตั้งแต่ 3 ถึง 17 มีรากที่สองเป็นจำนวนอตรรกยะ (หลังจากที่ค้นพบว่าจำนวนอตรรกยะมีรากที่สองเป็นจำนวนอตรรกยะมาก่อนหน้านี้แล้ว) ${\sqrt {2}}$ ) การสรุปผลลัพธ์นี้ไปยังจำนวนเต็มที่ไม่ใช่กำลังสองทั้งหมดโดย Theaetetus และการจำแนกประเภทบางส่วนของจำนวนอตรรกยะ (โดยมีน้อยกว่า 13 คลาส) ^{[ 54 ]}^{[ 55 ]}

หนังสือเล่มที่ 11 ถึง 13: เรขาคณิตทรงสามมิติ

หนังสือสามเล่มสุดท้ายส่วนใหญ่กล่าวถึงเรขาคณิตทรงสามมิติ [ ^{13 ] โดย}การแนะนำรายการคำจำกัดความ 37 รายการ หนังสือเล่มที่ XI ให้บริบทแก่หนังสือสองเล่มถัดไป^{[ 56 ]}แม้ว่าลักษณะพื้นฐานจะคล้ายกับหนังสือเล่มที่ I แต่ต่างจากหนังสือเล่มที่ I ตรงที่ไม่มีระบบสัจพจน์หรือสมมติฐาน^{[ 56 ]}

หนังสือเล่มที่ 11

หนังสือเล่มที่ XI ขยายผลลัพธ์ของหนังสือเล่มที่ VI ไปสู่รูปทรงเรขาคณิตสามมิติ ได้แก่ ความตั้งฉาก ความขนาน ปริมาตร และความคล้ายคลึงกันของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าขนานกันสามคู่) เนื้อหาในหนังสือเล่มที่ XI ประกอบด้วยสามส่วน ได้แก่ เรขาคณิตสามมิติ (1–19) มุมสามมิติ (20–23) และทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน (24–37) ^{[ 56 ]}

หนังสือเล่มที่ 12

หนังสือเล่มที่ 12 ศึกษาปริมาตรของกรวยพีระมิด และทรงกระบอกโดยละเอียดโดยใช้วิธีการหาปริมาตรโดยประมาณ ซึ่ง เป็นวิธีการ เบื้องต้นของการอินทิเกรต [ ^{56 ] และ}แสดงให้เห็น เช่น ปริมาตรของกรวยเป็นหนึ่งในสามของปริมาตรของทรงกระบอกที่สอดคล้องกัน^{[ 57 ]}โดยสรุปด้วยการแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมเป็นสัดส่วนกับกำลังสามของรัศมี (ในภาษาปัจจุบัน) โดยประมาณปริมาตรด้วยการรวมกันของพีระมิดหลายๆ อัน^{[ 58 ]}

เล่มที่ 13

หนังสือเล่มที่ 13 สร้าง ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต 5 ทรง (ทรงหลายเหลี่ยมปกติ) ที่บรรจุอยู่ในทรงกลม เปรียบเทียบอัตราส่วนของขอบกับรัศมีของทรงกลม^{[ 59 ]}และสรุปองค์ประกอบโดยพิสูจน์ว่าทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้เป็นทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงอย่างเดียว^{[ 60 ]}

หนังสืออโปครีฟา

หนังสือเพิ่มเติมอีกสองเล่มที่ไม่ได้เขียนโดยยูคลิด ได้แก่ เล่มที่ 14 และ 15 ได้รับการถ่ายทอดในต้นฉบับของElements : ^{[ 61 ]}

หนังสือเล่มที่ 14 น่าจะเขียนโดยฮิปซิเคิลส์โดยอ้างอิงจากบทความของอพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กาหนังสือเล่มนี้ศึกษาต่อจากหนังสือเล่มที่ 13 เกี่ยวกับทรงหลายเหลี่ยมเพลโตและทรงกลมที่ล้อมรอบทรงหลายเหลี่ยมเหล่านั้น โดยสรุปว่า สำหรับทรงสิบสองเหลี่ยมและทรงยี่สิบเหลี่ยมที่ล้อมรอบทรงกลมเดียวกัน อัตราส่วนของพื้นที่ผิวและอัตราส่วนของปริมาตรจะเท่ากัน โดยทั้งสองอย่างเป็น^{[ 61 ]} ${\sqrt {\frac {10}{3(5-{\sqrt {5}})}}}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{6}}}.$
หนังสือเล่มที่ 15 อาจเขียนโดยศิษย์ของอิซิโดร์แห่งมิเลตุสนอกจากนี้ยังศึกษาเกี่ยวกับทรงหลายเหลี่ยมเพลโต มีการจารึกทรงหลายเหลี่ยมบางรูปไว้ภายในกัน นับจำนวนขอบและจุดยอด (อย่างไรก็ตาม ไม่ได้ค้นพบสูตรของออยเลอร์) $V-E+F=2$ โดยเชื่อมโยงจำนวนเหล่านี้เข้าด้วยกัน) และคำนวณมุมไดเฮดรัลระหว่างหน้าของพวกมัน^{[ 61 ]}

การปฏิบัติในการเพิ่มเติมผลงานของนักเขียนชื่อดัง ซึ่งเป็นตัวอย่างจากหนังสือเหล่านี้ ไม่ใช่เรื่องผิดปกติในคณิตศาสตร์กรีกโบราณ^{[ 61 ]}

วิธีการและรูปแบบการนำเสนอของยูคลิด

• การลากเส้นตรงจากจุดใดๆ ไปยังจุดใดๆ • การวาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและระยะทางใดๆ

— ยูคลิด, ธาตุ , เล่ม 1, ข้อสมมติ 1 และ 3 ^[⁶²^]

ภาพเคลื่อนไหวแสดงวิธีที่ยูคลิดสร้างรูปหกเหลี่ยม (หนังสือเล่มที่ 4 ข้อเสนอที่ 15) รูปทรงสองมิติทุกรูปใน*Elements*สามารถสร้างได้โดยใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัด^{[ 62 ]}

แนวทางเชิงสัจพจน์และวิธีการสร้างสรรค์ของยูคลิดมีอิทธิพลอย่างกว้างขวาง^{[ 63 ]}^{[ 64 ]}

ข้อเสนอของยูคลิดหลายข้อเป็นแบบสร้างสรรค์ โดยแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของรูปทรงบางอย่างโดยการอธิบายขั้นตอนที่เขาใช้ในการสร้างวัตถุโดยใช้เข็มทิศ (เครื่องมือวาดวงกลม) และไม้บรรทัด (ไม้บรรทัดที่ไม่มีเครื่องหมาย) แนวทางการสร้างสรรค์ของเขาปรากฏให้เห็นแม้กระทั่งในสมมติฐานของเรขาคณิตของเขา เช่น สมมติฐานข้อแรกและข้อที่สามที่กล่าวถึงการมีอยู่ของเส้นตรงและวงกลมเป็นแบบสร้างสรรค์ แทนที่จะกล่าวว่าเส้นตรงและวงกลมมีอยู่จริงตามคำจำกัดความก่อนหน้านี้ของเขา เขากล่าวว่าเป็นไปได้ที่จะ 'สร้าง' เส้นตรงและวงกลม นอกจากนี้ดูเหมือนว่าสำหรับเขาที่จะใช้รูปทรงในบทพิสูจน์ข้อใดข้อหนึ่ง เขาจำเป็นต้องสร้างมันขึ้นมาในข้อเสนอข้อก่อนหน้า ตัวอย่างเช่น เขาพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยการวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากก่อน แต่หลังจากสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนเส้นตรงที่กำหนดไว้ในข้อเสนอข้อก่อนหน้าแล้ว^{[ 65 ]}

การนำเสนอผลลัพธ์แต่ละรายการจะแสดงในรูปแบบที่เป็นระเบียบ ซึ่งแม้ว่าจะไม่ได้คิดค้นโดยยูคลิด แต่ก็ได้รับการยอมรับว่าเป็นแบบคลาสสิกทั่วไป ประกอบด้วยหกส่วนที่แตกต่างกัน: ส่วนแรกคือ 'การกล่าวถึง' ซึ่งระบุผลลัพธ์ในแง่ทั่วไป (เช่น ข้อความของข้อเสนอ) จากนั้นคือ 'การกำหนด' ซึ่งให้รูปภาพและระบุวัตถุทางเรขาคณิตเฉพาะด้วยตัวอักษร ต่อมาคือ 'คำจำกัดความ' หรือ 'ข้อกำหนด' ซึ่งกล่าวถึงการกล่าวถึงอีกครั้งในแง่ของรูปภาพเฉพาะ จากนั้นตามด้วย 'การสร้าง' หรือ 'กลไก' ในส่วนนี้ รูปภาพดั้งเดิมจะถูกขยายเพื่อสนับสนุนการพิสูจน์ จากนั้นตามด้วย 'การพิสูจน์' เอง สุดท้าย 'ข้อสรุป' เชื่อมโยงการพิสูจน์กับการกล่าวถึงโดยระบุข้อสรุปเฉพาะที่ได้จากการพิสูจน์ ในแง่ทั่วไปของการกล่าวถึง^{[ 66 ]}

ไม่มีการระบุวิธีการให้เหตุผลที่นำไปสู่ผลลัพธ์ แม้ว่าหนังสืออีกเล่มหนึ่งของยูคลิดชื่อDataจะให้คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาประเภทต่างๆ ที่พบในหนังสือสี่เล่มแรกของElementsก็ตาม^{[ 67 ]}สำหรับการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์กรณี Elements มักจะรวมรายละเอียดเฉพาะกรณีที่ยากที่สุดเท่านั้น การวิเคราะห์กรณีเหล่านี้บางส่วนได้รับการเพิ่มเติมโดยบรรณาธิการในภายหลัง เช่น^Theon [ ^{68 ]}

การนำเสนอของยูคลิดถูกจำกัดด้วยแนวคิดและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้กันทั่วไปในยุคของเขา ซึ่งทำให้การนำเสนอในบางจุดดูไม่เป็นธรรมชาติสำหรับผู้อ่านในยุคปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น ไม่มีแนวคิดเรื่องมุมที่ใหญ่กว่าสองมุมฉาก^{[ 69 ]}บางครั้งเลข 1 ถูกแยกออกจากจำนวนเต็มบวกอื่นๆ และเนื่องจากการคูณถูกนำเสนอในเชิงเรขาคณิต เช่น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวด้านที่กำหนด เขาจึงไม่ได้ใช้ผลคูณของตัวเลขที่แตกต่างกันมากกว่า 3 ตัว การนำเสนอทฤษฎีจำนวนในเชิงเรขาคณิตอาจเป็นเพราะทางเลือกอื่นจะเป็นระบบตัวเลขแบบอเล็กซานเดรียน ที่ยุ่งยากมาก [ ⁷⁰^{] ซึ่ง}^เป็นระบบตัวเลขแบบตัวอักษรที่ตัวอักษรกรีกแต่ละตัวแทนผลคูณของเลขหลักเดียวของกำลังของสิบ^{[ 71 ]}

แผนกต้อนรับ

หนังสือ Elementsของยูคลิดได้รับการกล่าวถึงว่าเป็นตำราเรียน ที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด เท่าที่เคยเขียนมา^{[ 18 ]}^{[ 72 ]} Elements มักถูกพิจารณาว่าเป็นหนังสือที่ได้รับการแปล ตีพิมพ์ และศึกษาบ่อยที่สุดในประวัติศาสตร์รองจากพระคัมภีร์^{[ 73 ]} เมื่อรวมกับ Metaphysicsของอริสโตเติลแล้ว Elementsอาจเป็นตำราภาษากรีกโบราณที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด และเป็นตำราคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นในโลกอิสลามยุคกลางและยุโรปตะวันตก^{[ 73 ]}^{[ 72 ]}เป็นหนึ่งในงานคณิตศาสตร์ยุคแรกๆ ที่ได้รับการตีพิมพ์หลังจากการประดิษฐ์แท่นพิมพ์และคาดว่ามีจำนวนฉบับพิมพ์มากเป็นอันดับสองรองจากพระคัมภีร์นับตั้งแต่การพิมพ์ครั้งแรกในปี 1482 ^{[ 74 ]}^{[ 75 ]}โดยมีจำนวนมากกว่าหนึ่งพันฉบับ^{[ 75 ]}

ยุคโบราณคลาสสิก

หลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่เกี่ยวกับ Elements ของยูคลิดคือชุดโอสตรากา (เศษดินเหนียวที่มีตัวอักษรขีดเขียนอยู่) จำนวน 6 ชิ้น ที่พบในปาปิรัสและโอสตรากา แห่งเอเลแฟนไทน์ จากศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งเกี่ยวข้องกับข้อเสนอ XIII.10 และ XIII.16 เกี่ยวกับการสร้างทรงสิบสองเหลี่ยม^{[ 76 ]}ปาปิรัสที่ค้นพบจากเฮอร์คิวเลเนียม^{[ 77 ]}มีบทความโดยนักปรัชญาเอพิคิวเรียนเดเมตริอุส ลาคอน เกี่ยวกับ Elementsของยูคลิด[ ^{76 ] ปา}ปิรัสที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ซึ่งมีข้อความจริงของElementsคือปาปิรัสอ็อกซีรินคัส 29ซึ่งเป็นชิ้นส่วนที่มีข้อความของหนังสือเล่มที่ 2 ข้อเสนอที่ 5 และแผนภาพประกอบ มีอายุราวค.ศ. 75–125 ^{[ 78 ]}

สำเนาของข้อความภาษากรีกยังคงมีอยู่ ซึ่งบางส่วนสามารถพบได้ในห้องสมุดวาติกันและห้องสมุดบอดเลียนในออกซ์ฟอร์ด^{[ e ]}^{[ f ]}ต้นฉบับที่มีอยู่มีคุณภาพที่แตกต่างกัน และมักจะไม่สมบูรณ์^{[ 79 ]}ด้วยการวิเคราะห์การแปลและต้นฉบับอย่างละเอียด จึงมีการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับเนื้อหาของข้อความต้นฉบับ^{[ 80 ]} นอกจากนี้ คำ อธิบายประกอบ หรือหมายเหตุประกอบข้อความ ก็มีความสำคัญเช่นกันส่วนเพิ่มเติมเหล่านี้ ซึ่งมักจะแตกต่างจากข้อความหลัก (ขึ้นอยู่กับต้นฉบับ) ค่อยๆ สะสมขึ้นเรื่อยๆ ตามความคิดเห็นที่แตกต่างกันเกี่ยวกับสิ่งที่ควรค่าแก่การอธิบายหรือการศึกษาเพิ่มเติม^{[ 81 ]}

ในศตวรรษที่ 4 หลังคริสต์ศักราชธีออนแห่งอเล็กซานเดรียได้จัดทำฉบับของยูคลิดซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายจนกลายเป็นแหล่งข้อมูลภาษากรีกเพียงแหล่งเดียวที่ยังหลงเหลืออยู่ (ในหลายฉบับ) จนกระทั่งฟรองซัวส์ เปย์ราร์ดค้นพบต้นฉบับที่ไม่ใช่ของธีออนที่วาติกัน ในปี 1808 ^{[ 82 ]}ต้นฉบับนี้ MS. Vat.gr.190 ^{[ e ]}ถูกคัดลอกในศตวรรษที่ 10 ต้นฉบับนี้ไม่มีข้อความที่ระบุว่าได้รับการแก้ไขโดยธีออน และขาดบทสรุปของข้อเสนอที่ 33 ในหนังสือเล่มที่ 6 ซึ่งธีออนอ้างว่าเป็นส่วนเพิ่มเติมของเขาเอง ทั้งสองฉบับภาษากรีกมีคำอธิบายมากมายนอกเหนือจากข้อเสนอและบทพิสูจน์ ซึ่งไม่มีอยู่ในคำแปลภาษาอาหรับของElementsสิ่งนี้จุดประกายการถกเถียงทางวิชาการในศตวรรษที่ 19 ระหว่าง M. Klamroth และJL Heibergว่าความแตกต่างระหว่างฉบับต่างๆ สะท้อนถึงการตัดทอนหรือการเพิ่มเติมในข้อความของยูคลิดหรือไม่ เมื่อกลับมาพิจารณาประเด็นนี้อีกครั้งWilbur Knorrเห็นด้วยกับ Klamroth ที่เสนอแนะว่าแหล่งข้อมูลภาษาอาหรับนั้นใกล้เคียงกับต้นฉบับมากกว่า แต่สรุปว่า "เราไม่เคยมีข้อความ 'แท้จริง' ของยูคลิด และเราจะไม่มีวันมี" ^{[ 82 ]}

แม้ว่าซีเซโรจะรู้จักยูคลิดก็ตาม แต่ไม่มีบันทึกว่ามีการแปลข้อความเป็นภาษาละตินก่อนโบเอทิอุสในศตวรรษที่ 5 หรือ 6 ^{[ 83 ]}

ยุคกลาง

ตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงการประดิษฐ์การพิมพ์ในโลกตะวันตก ข้อความต่างๆ เช่นElementsได้รับการเก็บรักษาและทำสำเนาผ่านกระบวนการคัดลอกต้นฉบับซึ่งเป็นกระบวนการที่ยุ่งยากและมีค่าใช้จ่ายสูง ดังนั้นต้นฉบับจึงมักถูกจำกัดอยู่ในคอลเลกชันของผู้มั่งคั่งหรือสถาบันต่างๆ เช่นHouse of Wisdomในโลกอิสลามยุคกลางหรืออารามและมหาวิทยาลัยยุคแรกๆ ของยุโรปยุคกลาง^{[ 84 ]}

โลกอิสลามได้รับElementsจากจักรวรรดิไบแซนไทน์ ราว ปี ค.ศ. 760 ตามแหล่งข้อมูลจากยุคนั้น ฉบับนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับโดยHarun al-Rashid ( ประมาณ ค.ศ. 800 ) ^{[ 83 ]}ในสองฉบับโดยAl-Ḥajjāj ibn Yūsuf ibn Maṭarการแปลภาษาอาหรับอีกฉบับหนึ่งเกิดขึ้นในภายหลังในศตวรรษที่ 9 โดยIshaq ibn Hunaynและได้รับการแก้ไขโดยThābit ibn Qurra [ ^{85 ] [}^{86 ] แม้ว่า}ต้นฉบับภาษาอาหรับส่วนใหญ่จะถูกระบุว่าเป็นฉบับแปลใดฉบับหนึ่ง แต่บางฉบับก็ผสมผสานเนื้อหาจากทั้งสองฉบับ^{[ 85 ]}และการระบุแหล่งที่มานั้นไม่สอดคล้องกับหลักฐานจากความคล้ายคลึงกันของข้อความในต้นฉบับที่หลงเหลืออยู่เสมอไป^{[ 86 ]}การผสมผสานนี้ยังส่งต่อไปยังการแปลในยุคกลางเป็นภาษาฮีบรูจากภาษาอาหรับด้วย^{[ 85 ]}

นักวิชาการไบแซนไทน์ชื่อArethasได้สั่งให้คัดลอกต้นฉบับภาษากรีกของ Euclid ฉบับหนึ่งในช่วงปลายศตวรรษที่ 9 ^{[ 87 ]}ต้นฉบับนี้และต้นฉบับไบแซนไทน์อีกฉบับหนึ่งเป็นสำเนาข้อความภาษากรีกที่เก่าแก่ที่สุดสองฉบับที่ยังคงหลงเหลืออยู่^{[ 88 ]}แม้ว่าจะเป็นที่รู้จักในไบแซนไทน์ แต่Elementsก็สูญหายไปจากยุโรปตะวันตกจนกระทั่งประมาณปี 1120 ^{[ 89 ]}ยกเว้นผ่านชิ้นส่วนของการแปลเป็นภาษาละตินโดยBoethius ( ประมาณปี500 ) ซึ่งอ้างถึงในงานอื่นๆ^{[ 90 ]}^{[ g ]}ประมาณปี 1120 พระภิกษุชาวอังกฤษชื่อAdelard of Bathได้แปลElementsเป็นภาษาละตินจากการแปลภาษาอาหรับ^{[ 91 ]}มีการค้นพบการแปลจากภาษากรีกเป็นภาษาละตินในศตวรรษที่ 12 ที่เมืองปาแลร์โม เกาะซิซิลีเมื่อไม่นานมานี้ ไม่ทราบชื่อผู้แปลนอกจากว่าเขาเป็นนักศึกษาแพทย์นิรนามจากเมืองซาเลอร์โนที่มาเยือนปาแลร์โมเพื่อแปล Almagest เป็นภาษาละติน ต้นฉบับของยูคลิดยังมีอยู่และค่อนข้างสมบูรณ์^{[ 89 ]}

หลังจากการแปลของ Adelard (ซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อ Adelard I) ก็มีการแปลจากภาษาอาหรับจำนวนมาก นักแปลที่มีชื่อเสียงในยุคนี้ ได้แก่Herman แห่ง Carinthiaซึ่งเขียนฉบับแปลขึ้นราวปี 1140, Robert แห่ง Chester (ต้นฉบับของเขาถูกเรียกรวมกันว่า Adelard II ซึ่งเขียนขึ้นในหรือก่อนปี 1251), John แห่ง Tynemouth ^{[ 92 ]} (ปลายศตวรรษที่ 12; ต้นฉบับของเขาถูกเรียกรวมกันว่า Adelard III) และGerard แห่ง Cremona (ช่วงเวลาหลังปี 1120 แต่ก่อนปี 1187) ประวัติการถ่ายทอดโดยละเอียดของการแปลเหล่านี้ยังคงเป็นหัวข้อการวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่^{[ 93 ]} Campanus แห่ง Novaraอาศัยการแปลภาษาอาหรับเหล่านี้อย่างมากในการสร้างฉบับแปลของเขา (ช่วงเวลาก่อนปี 1260) ซึ่งในที่สุดก็กลายเป็นฉบับแปลภาษาละตินที่โดดเด่นจนกระทั่งมีต้นฉบับภาษากรีกในศตวรรษที่ 16 ปัจจุบันยังมีต้นฉบับ Campanus มากกว่า 100 ฉบับที่เขียนก่อนปี ค.ศ. 1482 อยู่^{[ 90 ]}^{[ h ]}หลังจากที่หนังสือElements เล่มแรก ๆ แพร่หลายในยุโรป ก็ได้กลายเป็นมาตรฐานในมหาวิทยาลัยยุคกลาง โดยเป็นส่วนหนึ่งของquadriviumซึ่งเป็นขั้นตอนการเรียนการสอนขั้นที่สองต่อจากtriviumซึ่งประกอบด้วยไวยากรณ์ ตรรกศาสตร์ และวาทศิลป์^{[ 84 ]}

ยุคเรเนสซองส์และยุคสมัยใหม่ตอนต้น

ฉบับพิมพ์ครั้งแรกของElementsได้รับการตีพิมพ์โดย Erhard Ratdolt ในปี 1482 โดยอิงจากฉบับของ Campanus ^{[ 94 ]}และตั้งแต่นั้นมาก็ได้รับการแปลเป็นหลายภาษาและตีพิมพ์เป็นฉบับต่างๆ มากกว่าหนึ่งพันฉบับ^{[ 75 ]}ต้นฉบับที่สืบทอดมาจากฉบับภาษากรีกของ Theon ได้รับการกู้คืนและมีการตีพิมพ์ฉบับแปลภาษาละตินในเวนิสในปี 1505 โดยBartolomeo Zamberti [ ^{95 ] ตัว}บทภาษากรีกเองได้รับการตีพิมพ์ในปี 1533 [ ^{96 ] คน}แรกที่แปลElementsเป็นภาษาในยุโรปสมัยใหม่คือNicolo Tartagliaซึ่งตีพิมพ์ฉบับภาษาอิตาลีในปี 1543 ^{[ 97 ]}

ในปี ค.ศ. 1570 จอห์น ดีได้จัดทำ "คำนำทางคณิตศาสตร์" ที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง พร้อมด้วยหมายเหตุและเนื้อหาเสริมมากมาย สำหรับฉบับภาษาอังกฤษฉบับแรกที่จัดทำโดยเฮนรี บิลลิงสลีย์ [ ^{98 ] [}^{99 ] [}^{100 ] ใน}ปี ค.ศ. 1607 มัตเตโอ ริชชี นักบวชเยซูอิตชาวอิตาลี และ ซู กวงฉีนักคณิตศาสตร์ชาวจีนได้ตีพิมพ์หนังสือ Elements ของยูคลิดฉบับภาษาจีนเป็นครั้งแรก^{[ 101 ]}

ยุคเรเนสซองส์ยังได้เห็นการสร้างสรรค์ผลงานใหม่ๆ เกี่ยวกับ รูป ทรงหลายเหลี่ยมซึ่งแสดงด้วย ภาพ วาดทัศนียภาพรวมถึงDe quinque corporibus regularibusของPiero della Francesca (ปลายคริสต์ศตวรรษที่ 14) การลอกเลียนแบบโดยLuca Pacioliในชื่อDivina proportione (ค.ศ. 1498 ภาพประกอบโดยLeonardo da Vinci ) และPerspectiva corporum regulariumของWenzel Jamnitzer (ค.ศ. 1568) ^[¹⁰²^] Elements เป็นแรงบันดาลใจหลักเบื้องหลังงานเริ่มต้นของ della Francesca ในทิศทางนี้^[¹⁰³^]^[¹⁰⁴^] Pacioli บรรยายเกี่ยวกับยูคลิดในเวนิส และคำอธิบายของเขาถูกรวมอยู่ใน Elementsฉบับปี ค.ศ. 1509 [ ¹⁰⁵^]^Jamnitzerก็เช่นกัน ได้ให้เครดิตElementsในชื่อรองของหนังสือของเขา^[¹⁰⁶^]

แม้ว่าในช่วงเวลานี้จะมีการตีพิมพ์ตำราเรียนใหม่จำนวนมาก แต่ครูมักจะยึดติดกับตำราคลาสสิกตัวอย่างเช่น รายชื่อหนังสือแนะนำของนักมนุษยนิยมชาวดัตช์ในศตวรรษที่ 16 อย่าง Joachim Sterck van Ringelbergh ระบุว่า Elementsเป็นหนังสือคณิตศาสตร์เพียงเล่มเดียว^{[ 107 ]} แม้ว่าจะมีฉบับพิมพ์ออกมาแล้ว มหาวิทยาลัยก็อาจคาดหวังให้นักศึกษาคัดลอกเนื้อหาจาก หนังสือElementsของมหาวิทยาลัยด้วยมือ^{[ 108 ]}

คณิตศาสตร์สมัยใหม่

ในศตวรรษที่ 19 หนังสือElementsไม่เป็นที่นิยมในฐานะตำราเรขาคณิต ส่วนหนึ่งถูกแทนที่ด้วยตำราใหม่ ๆ เช่น ตำราของAdrien-Marie Legendre [ ^{109 ] [}^{110 ] [}^{111 ] ส่วน}หนึ่งเป็นเพราะการเกิดขึ้นของเรขาคณิตรูปแบบอื่น ๆ รวมถึงเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์และเรขาคณิตเชิงพรรณนา [ ¹¹²^]^[¹¹³^]และส่วนหนึ่งเป็นเพราะแรงกดดันให้มีแนวทางการศึกษาคณิตศาสตร์ที่เน้นสัญชาตญาณมากขึ้นและลดการท่องจำลง^[^{112 ] [}^{114 ] โดย} เฉพาะอย่างยิ่ง Charles Dodgson (หรือที่รู้จักกันดีในชื่อ Lewis Carroll) ได้วิพากษ์วิจารณ์การแทนที่ยูคลิดในหนังสือของเขาEuclid and His Modern Rivals (1879) ^{[ 109 ]}นักคณิตศาสตร์และนักประวัติศาสตร์WW Rouse Ballซึ่งเป็นผู้ปกป้อง Elements อีกคนหนึ่งได้กล่าวว่า "ข้อเท็จจริงที่ว่า [ Elements ] เป็นตำราเรียนทั่วไปในเรื่องนี้มาเป็นเวลาสองพันปี ทำให้เกิดข้อสันนิษฐานที่แน่ชัดว่ามันไม่ขัดกับวัตถุประสงค์นั้น" ^[⁶⁹^]แม้ว่าจะเลิกใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านการศึกษาแล้ว แต่Elementsก็ยังคงถูกใช้เป็นตำราเรียนในโครงการการศึกษาเชิงทดลองอยู่บ้างเป็นครั้งคราว^[¹¹⁵^]

Elements ยังคงเป็นหัวข้อของการศึกษาเชิงวิชาการในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์และมีอิทธิพลอย่างมากต่อคณิตศาสตร์สมัยใหม่สองด้าน ได้แก่ การพัฒนาเรขาคณิตนอกยุคยูคลิด^{[ 116 ]}^{[ 117 ]}และวิธีการเชิงสัจพจน์^{[ 118 ]}^{[ 119 ]}

เรขาคณิตนอกยุคลิด

รูปแบบต่างๆ ของสัจพจน์เส้นขนานส่งผลให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างกัน

ระบบเรขาคณิตที่กำหนดโดยElementsครอบงำวงการนี้มานาน อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันระบบดังกล่าวมักถูกเรียกว่า ' เรขาคณิตแบบยุคลิด ' เพื่อแยกความแตกต่างจากเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด อื่นๆ ที่ค้นพบในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 ^{[ 73 ]}

หนึ่งในอิทธิพลที่โดดเด่นที่สุดของยูคลิดต่อคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และนอกเหนือจากคณิตศาสตร์แล้ว ยังรวมถึงฟิสิกส์สมัยใหม่และการค้นพบทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปคือการอภิปรายเกี่ยวกับสมมติฐานเส้นขนาน^{[ 116 ]}^{[ 117 ]}ในหนังสือเล่มที่ 1 ยูคลิดได้ระบุสมมติฐานไว้ห้าข้อ โดยข้อที่ห้ากำหนดไว้ว่า^{[ 120 ]}

กล่าวคือ ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงสองเส้น แล้วมุมภายในด้านเดียวกันมีค่าน้อยกว่าสองมุมฉาก เส้นตรงทั้งสองนั้น ถ้าลากต่อไปเรื่อยๆ จะมาบรรจบกันที่ด้านที่มีมุมภายในน้อยกว่าสองมุมฉาก

ข้อสมมติข้อนี้สร้างความปวดหัวให้กับนักคณิตศาสตร์มาหลายศตวรรษเนื่องจากความซับซ้อนที่เห็นได้ชัดเมื่อเทียบกับข้อสมมติอีกสี่ข้อ มีความพยายามมากมายที่จะพิสูจน์ข้อสมมติข้อที่ห้าโดยอาศัยข้อสมมติอีกสี่ข้อ แต่ก็ไม่เคยประสบความสำเร็จ ในที่สุดในปี 1829 นักคณิตศาสตร์Nikolai Lobachevskyได้ตีพิมพ์คำอธิบายของเรขาคณิตเชิงมุม (หรือเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก ) ซึ่งเป็นเรขาคณิตที่สมมติรูปแบบที่แตกต่างของข้อสมมติเส้นขนาน อันที่จริงแล้วเป็นไปได้ที่จะสร้างเรขาคณิตที่ถูกต้องโดยไม่ต้องใช้ข้อสมมติข้อที่ห้าเลย หรือใช้ข้อสมมติข้อที่ห้าในรูปแบบต่างๆ ( เรขาคณิตวงรี ) หากถือว่าข้อสมมติข้อที่ห้าเป็นข้อสมมติที่กำหนดไว้ ผลลัพธ์ที่ได้คือเรขาคณิตแบบยุคลิด^{[ 121 ]}

สัจพจน์

การให้เหตุผลเชิงสัจพจน์ของElements ของยูคลิด ถือเป็นมาตรฐานสำหรับความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์มานานแล้ว^{[ 122 ]}แต่ประเด็นเรื่องความถูกต้องและความสมบูรณ์ของสัจพจน์ของยูคลิดกลับมาเป็นที่สนใจในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เมื่อพบช่องว่างในการให้เหตุผลของเขา^{[ 123 ]}และเมื่อเดวิด ฮิลเบิร์ตเริ่มแสวงหา "การฟื้นฟูมุมมองเชิงสัจพจน์ของยูคลิด" เพื่อพัฒนาระบบสัจพจน์ที่ดีขึ้นซึ่งสามารถตอบคำถามทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ทั้งหมดได้ด้วยการคำนวณอย่างง่าย^{[ 118 ]}ความหวังของฮิลเบิร์ตพังทลายลงในวิกฤตการณ์พื้นฐานในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ซึ่งเคิร์ต เกอเดลและคนอื่นๆ ค้นพบว่าระบบสัจพจน์ที่ถูกต้องสำหรับทฤษฎีเซตนั้นจำเป็นต้องไม่สมบูรณ์^{[ 124 ]}ในศตวรรษที่ 21 มาตรฐานใหม่สำหรับความเข้มงวดได้เกิดขึ้นการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยและข้อเสนอของElements (พร้อมการปรับปรุงการพิสูจน์บางส่วน) ได้ผ่านการตรวจสอบด้วยคอมพิวเตอร์^{[ 119 ]}^{[ 125 ]}

วงกลมสองวงที่มีรัศมีร่วมกันตัดกัน เกิดเป็นรูปทรงเวสิกาปิสซิส (vesica piscis ) นี่คือขั้นตอนแรกของทฤษฎีบทที่ 1 ในหนังสือเล่มที่ 1 ซึ่งก็คือการสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าจากรัศมีและจุดตัดจุดหนึ่ง

การพิสูจน์พื้นฐานบางส่วนของElementsใช้สมมติฐานที่ยูคลิดไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนว่าเป็นสัจพจน์ ตัวอย่างเช่น ในการสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า ครั้งแรกในเล่มที่ 1 ยูคลิดใช้สมมติฐานที่ไม่ได้ตั้งสมมติฐานหรือพิสูจน์ไว้ นั่นคือ วงกลมสองวงที่ใช้ส่วนของเส้นตรงเดียวกันเป็นรัศมีจะตัดกันที่สองจุด แทนที่จะไม่ตัดกัน^{[ 126 ]}^{[ 127 ]}ตัวอย่างนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติทางโทโพโลยีของแผนภาพเท่านั้น ซึ่งยังคงเห็นได้ชัดแม้ว่าแผนภาพจะวาดไม่ถูกต้องก็ตาม^{[ 128 ]} อย่างไรก็ตาม ในกรณีอื่นๆ ยูคลิดไม่ได้พิสูจน์ว่าวัตถุบางอย่างแตกต่างกันหรือแยกจากกัน และความเป็นไปได้ที่วัตถุเหล่านั้นอาจทับซ้อนกัน ( ความเสื่อมประเภทหนึ่ง) อาจไม่ชัดเจนจากแผนภาพเดียว ตัวอย่างหนึ่งเกิดขึ้นในการแบ่งครึ่งมุมของยูคลิด โดยการสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วบนมุมที่กำหนดและสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีฐานเดียวกัน แล้วเชื่อมจุดยอดของสามเหลี่ยมทั้งสองด้วยเส้นตรง วิธีนี้ใช้ไม่ได้ผลเมื่อมุมเริ่มต้นเป็น 60° และจุดยอดทั้งสองทับกัน^{[ 125 ]}

บรรณาธิการรุ่นหลังของElementsได้รวมสมมติฐานเชิงสัจพจน์โดยนัยเหล่านี้ เช่นสัจพจน์ของ Pasch [ ¹²⁹^]^[¹³⁰^]^ไว้ในรายการสัจพจน์อย่างเป็นทางการของฉบับต่างๆ^[¹³¹^]ความพยายามในช่วงแรกในการสร้างชุดสัจพจน์ที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น ได้แก่สัจพจน์เรขาคณิตของ Hilbert ^[¹³²^]^[¹³³^]และของTarski ^[¹²⁹^]^[¹³⁴^]ในปี 2017 Michael Beeson และคณะได้ใช้ผู้ช่วยพิสูจน์ ด้วยคอมพิวเตอร์ เพื่อสร้างและตรวจสอบชุดสัจพจน์ที่คล้ายกับของ Euclid Beeson และคณะเลือกใช้ระบบของ Tarski เป็นจุดเริ่มต้น แทนที่จะเป็นของ Hilbert เนื่องจากใกล้เคียงกับของ Euclid มากกว่า และใช้เพียงจุดเป็นตัวแปรในสูตรเท่านั้น พวกเขาได้จัดทำบทพิสูจน์ที่ตรวจสอบด้วยคอมพิวเตอร์ของข้อเสนอทั้งหมดในหนังสือเล่มที่ 1 โดยใช้สัจพจน์เหล่านี้ และพวกเขายังพิสูจน์ (โดยใช้รูปแบบตรรกะแยกต่างหากของจำนวนจริง ) ว่าสัจพจน์ทั้งหมดของพวกเขานั้นใช้ได้กับจุดต่างๆ ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน^[¹²⁵^]

ฉบับที่คัดเลือก

มีการตีพิมพ์หนังสือ Elementsของยูคลิดมากกว่าหนึ่งพันฉบับ^{[ 75 ]}ในภาษากรีก ละติน อังกฤษ และภาษาอื่นๆ บางส่วนที่สำคัญ ได้แก่:

Preclarissimus liber elementorum Euclidis perspicacissimi ใน artem geometriam เริ่มต้น quam foelicissime เวนิส:แอร์ฮาร์ด รัตโดลท์ . 1482.ฉบับพิมพ์ครั้งแรก (ในภาษาละติน) อ้างอิงจากการแปลและคำอธิบายของ Campanus ในศตวรรษที่ 13 ^{[ 135 ]}
ซัมเบอร์ติ, บาร์โตโลมีโอ, เอ็ด. (1505) Euclidis megarẽsis ฟิโลโซฟี พลาโทนิซี . เวนิสการแปลภาษาละตินฉบับเต็มครั้งแรกโดยตรงจากภาษากรีก^{[ 95 ]}ความสับสนในชื่อเรื่องระหว่างยูคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย ผู้เขียนElementsและยูคลิดแห่งเมการานักปรัชญาจากเกือบศตวรรษก่อนหน้านั้น เป็นความผิดพลาดทั่วไปในยุคกลางและยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา^{[ 136 ]}
เลอแฟฟวร์ เดตาเปิลส์, ฌาคส์ , เอ็ด. (1516) Euclidis Megarensis Geometricorum elementorum liber XV . ปารีส: อองรี เอสเตียน .อ้างอิงจาก Campanus และ Zamberti แต่ไม่มีคำอธิบายบางส่วนของ Zamberti ฉบับพิมพ์ครั้งแรกตีพิมพ์ในฝรั่งเศส^{[ 137 ]}
กรีเนียส, ไซมอน , เอ็ด. (1533) Ευκleείδου Στοιχεῖον . บาเซิ่ล : โยฮันน์ เฮอร์วาเก้นEditio เจ้าชายแห่งข้อความกรีก จากต้นฉบับภาษากรีกสองฉบับ Paris gr. 2343 และ Venetus Marcianus 301 ^{[ 138 ]}ทั้งคู่ "ด้อยกว่ามาก" ^{[ 95 ]}
ทาร์ทาเลีย, นิโคโล , เอ็ด. (1543) ยุคลิด เมกาเรนส์ นักปรัชญา เดี่ยว แนะนำ เดลเล ไซเอนตีคณิตศาสตร์ เวนิส: รอสซิเนลลี.การแปล Elementsของ Tartaglia เป็นภาษาอิตาลีเป็นการแปลครั้งแรกในภาษายุโรปสมัยใหม่ใดๆ และอิงตาม Campanus และ Zamberti มีการแก้ไขในปี 1565 และพิมพ์ซ้ำในปี 1569 และ 1586 ^{[ 97 ]}
แม็กเนียน, ฌอง, เอ็ด. (1557) Euclidis Elementorum libri XV grOEce และ latine . ปารีส: Cavellat.ภาษากรีกพร้อมคำแปลภาษาละติน แก้ไขหลังมรณกรรมโดยสเตฟานัส กราซิลิส รวมการแปลหนังสือเล่มที่ 10 โดยปิแอร์ เดอ มงต์โดเร หลักฐานส่วนใหญ่ถูกละเว้น^{[ 139 ]}
Billingsley, H. , บรรณาธิการ (1570). องค์ประกอบของเรขาคณิต . คำนำโดยJohn Dee . ลอนดอน: John Daye .ฉบับภาษาอังกฤษที่ตีพิมพ์ครั้งแรก^{[ 100 ]}
คอมมานติโน, เฟเดริโก , เอ็ด. (1572) Euclidis Elementorum Libri XV . ปิซาอูรี (เปซาโร, อิตาลี) : อาปุด กามิลลัม ฟรานซิสชินุมในภาษาละติน “ฉบับอ้างอิงสำหรับชุมชนวิชาการจนถึงต้นศตวรรษที่สิบเก้า”; ฉบับแปลภาษาอิตาลีตีพิมพ์ในปี 1575 โดยวาเลริโอ สปาชิโอลิ ลูกเขยของคอมมานดิโน^{[ 140 ]}
คลาเวียส, คริสโตเฟอร์ , เอ็ด. (1574) Euclidis elementorum libri XV . โรม: อาปุด วินเซนเทียม แอกโคลตุม.ภาษาละติน พร้อมคำอธิบายเพิ่มเติมโดย Clavius ตีพิมพ์ในฉบับขยายครั้งที่ 2 ในปี 1584 อ้างอิงจากหลายแหล่ง แต่มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฉบับของ Magnien และ Gracilis ^{[ 137 ]}
นาซีร์ อัล-ดิน อัล-ตูซี (1594) Kitāb taḥrīr uṣūl li-Uqlīdus [ การฟื้นคืนชีพของ "องค์ประกอบ" ของ Euclid ] (ในภาษาอาหรับ) โรม: Typographia Mediceaอ้างอิงจากLaurentian Library MS. Or. 20 ซึ่งเป็นสำเนาของ MS. Or. 50 ^{[ 141 ]}
ริชชี่, มัตเตโอ ; ซู่ กว่างฉีสหพันธ์ (1607) จี เหอ หยวน เปิ่น幾何原本[ แหล่งที่มาของปริมาณ] (ภาษาจีน) ปักกิ่งแปลจากฉบับภาษาละตินของ Clavius แต่รวมเฉพาะหนังสือเล่มที่ I-VI เท่านั้น^{[ 101 ]}การแปลนี้พร้อมกับการแปลหนังสือเล่มที่เหลือในภายหลังสามารถพบได้ในs:zh:幾何原本
บริกส์, เฮนรี่ , เอ็ด. (1620) Eukleidou Stoicheiōn biblia 13 / Elementorum Euclidis libri tredecim . ลอนดอน: วิลเลียม โจนส์.แม้ว่าชื่อเรื่องจะเป็นเช่นนั้น แต่รวมเฉพาะหนังสือหกเล่มแรกเท่านั้น โดยมีคอลัมน์คู่ขนานของภาษากรีกจาก Grynaeus 1533 และภาษาละตินที่แก้ไขจาก Commandino 1572 ฉบับพิมพ์ครั้งแรกในภาษาใดภาษาหนึ่งตีพิมพ์ในอังกฤษ^{[ 100 ]}
บาร์โรว์, ไอแซค , เอ็ด. (1659) Euclidis Elementorum [ในภาษาละติน] องค์ประกอบของยุคคลิด (1660) [เป็นภาษาอังกฤษ] ฉบับต่อมามากมาย^{[ 100 ]}
ซิมสัน, โรเบิร์ต , บรรณาธิการ (1806). องค์ประกอบของยูคลิด ได้แก่ หกเล่มแรก พร้อมด้วยเล่มที่สิบเอ็ดและสิบสองลอนดอน: เอฟ. วิงเกรฟ^{[ 142 ]}ปรับปรุงแก้ไขในปี พ.ศ. 2405 โดยIsaac Todhunterและตีพิมพ์ซ้ำในปี พ.ศ. 2476 โดย EP Dutton, Everyman's Library 891^{[ 143 ]}
ไบรน์, โอลิเวอร์ (1847). หนังสือหกเล่มแรกขององค์ประกอบของยูคลิด ซึ่งใช้แผนภาพสีและสัญลักษณ์แทนตัวอักษรเพื่อให้ผู้เรียนเรียนรู้ได้ง่ายขึ้นลอนดอน: วิลเลียม พิกเคอริง^{[ 144 ]}^{[ 145 ]}โทรสารแก้ไขโดย Oechslin, Werner (2010) ทาเชน.ไอเอสบีเอ็น 3836517752[ ¹⁴⁵^]องค์ประกอบของยูคลิด: การทำให้งานของโอลิเวอร์ เบิร์นสมบูรณ์ซึ่งเป็นการวาดภาพใหม่สมัยใหม่ที่ขยายไปถึงองค์ประกอบ ที่เหลือ ^ได้รับการตีพิมพ์โดย Kronecker Wallis ในปี 2019 ^[¹⁴⁶^]
เคซีย์, จอห์น , บรรณาธิการ (1882). หนังสือหกเล่มแรกของพื้นฐานของยูคลิดพร้อมคำอธิบายประกอบมากมายและแบบฝึกหัดจำนวนมาก . ดับลิน: ฮอดจ์ส, ฟิกกิส แอนด์ โค.^{[ 147 ]}เคซีย์ได้จัดทำฉบับพิมพ์ซ้ำหลายฉบับในภายหลัง โดยครั้งที่สามได้รับการตีพิมพ์ซ้ำในรูปแบบออนไลน์ฟรีโดยProject Gutenbergเวอร์ชันElementsน่าจะเป็น "หนังสือหน้ากระดาษฉีกขาดสกปรกของเคซีย์" ในส่วนเรขาคณิตของFinnegans Wakeของเจมส์ จอยซ์[¹⁴⁸^]^เคซีย์ยังเขียนA Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid(ดับลิน: Hodges, Figgis, & Co., 1881) อีกด้วย
ไฮเบิร์ก, โยฮัน ลุดวิก , บรรณาธิการ (1883–1888) Euclidis Opera omnia [ผลงานทั้งหมดของยูคลิดในภาษากรีก] ไลบ์ซิก: เทอบเนอร์ เล่มที่ 1–5 ประกอบด้วยElementsเล่มที่ 1 , เล่มที่ 2 , เล่มที่ 3 , เล่มที่ 4 , เล่มที่ 5ไฮเบิร์กได้ศึกษาต้นฉบับภาษากรีกหลายฉบับสำหรับงานของเขา โดยยึดถือตำแหน่งว่าฉบับที่ไม่ได้แก้ไขโดยเธอน MS. Vat.gr.190 เป็นฉบับที่ถูกต้องที่สุด แต่ได้ยึดตามฉบับอื่นๆ ในจุดที่เขาสงสัยว่าข้อความหลักของเขามีข้อผิดพลาด^{[ 82 ]}
ฮีธ, โทมัส , บรรณาธิการ (1908). หนังสือ 13 เล่มขององค์ประกอบของยูคลิด . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์.ฉบับ พิมพ์ครั้งที่ 2 ปี 1926 แบ่งออกเป็นสามเล่ม: เล่มที่ 1 , เล่มที่ 2 , เล่มที่ 3มีการพิมพ์ซ้ำโดยสำนักพิมพ์ Dover ในปี 1956 และสำนักพิมพ์ Green Lion Press ในปี 2002 ISBN 1-888009-18-7(เล่มเดียว ไม่มีคำอธิบายของฮีธ); ^{[ 149 ]}บาร์นส์แอนด์โนเบิล, 2006, ISBN 0-7607-6312-7(เล่มเดียว)

ลิงก์ภายนอก

ฉบับหลายภาษาของElementaใน Bibliotheca Polyglotta
เดวิด อี.จอยซ์ บรรณาธิการ (1997). "องค์ประกอบของยูคลิด "ในรูปแบบ HTML พร้อมด้วยภาพประกอบแบบโต้ตอบที่ใช้ภาษา Java

[ 1 ]

[ a ]

[ 2 ]

b ] ธา

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[

[ 7 ]

8 ] Wilbur

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ c ]

20 ] จาก

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ d ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

49 ] บท

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

Theon

[ 69 ]

70

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[ 75 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ e ]

[ f ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ 84 ]

85 ] [

86 ] แม้ว่า

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]

[ g ]

[ 91 ]

[ 92 ]

[ 93 ]