ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์คือการศึกษาตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมภายในคณิตศาสตร์สาขาย่อยที่สำคัญ ได้แก่ทฤษฎีแบบจำลอง ทฤษฎีการพิสูจน์ทฤษฎีเซตและทฤษฎีการเรียกซ้ำ (หรือที่เรียกว่าทฤษฎีความสามารถในการคำนวณ) การวิจัยในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์มักกล่าวถึงคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของระบบตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม เช่น พลังในการแสดงออกหรือการอนุมาน อย่างไรก็ตาม ยังอาจรวมถึงการใช้ตรรกศาสตร์เพื่ออธิบายเหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง หรือเพื่อสร้างรากฐานของคณิตศาสตร์ด้วย

นับตั้งแต่เริ่มต้น ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ได้มีส่วนร่วมและได้รับแรงบันดาลใจจากการศึกษาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ การศึกษานี้เริ่มต้นในปลายศตวรรษที่ 19 ด้วยการพัฒนา กรอบ สัจพจน์สำหรับเรขาคณิตเลขคณิตและการวิเคราะห์ในต้นศตวรรษที่ 20 การศึกษานี้ได้รับการกำหนดรูปแบบโดยโครงการของเดวิด ฮิลเบิร์ตเพื่อพิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎีพื้นฐาน ผลงานของเคิร์ท เกอเดลเกอร์ฮาร์ด เกนท์เซนและคนอื่นๆ ได้ให้คำตอบบางส่วนแก่โครงการนี้ และชี้แจงประเด็นต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ความสอดคล้อง งานในทฤษฎีเซตแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ทั่วไปเกือบทั้งหมดสามารถทำให้เป็นทางการได้ในแง่ของเซต แม้ว่าจะมีทฤษฎีบทบางอย่างที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบสัจพจน์ทั่วไปสำหรับทฤษฎีเซต งานร่วมสมัยในพื้นฐานของคณิตศาสตร์มักมุ่งเน้นไปที่การสร้างว่าส่วนใดของคณิตศาสตร์สามารถทำให้เป็นทางการได้ในระบบที่เป็นทางการเฉพาะ (เช่นในคณิตศาสตร์ย้อนกลับ ) มากกว่าที่จะพยายามหาทฤษฎีที่สามารถพัฒนาคณิตศาสตร์ทั้งหมดได้

คู่มือตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์^{[ 1 ]}ในปี พ.ศ. 2520 ได้แบ่งตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ร่วมสมัยออกเป็นสี่สาขาคร่าวๆ ดังนี้:

1. ทฤษฎีเซต
2. ทฤษฎีแบบจำลอง
3. ทฤษฎีการเรียกซ้ำและ
4. ทฤษฎีการพิสูจน์และคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ (ซึ่งถือเป็นส่วนหนึ่งของสาขาเดียวกัน)

นอกจากนี้ บางครั้งสาขาทฤษฎีความซับซ้อนของการคำนวณยังถูกรวมเข้ากับตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ด้วย^{[ 2 ] [ 3 ]}แต่ละสาขามีจุดเน้นที่แตกต่างกัน แม้ว่าเทคนิคและผลลัพธ์หลายอย่างจะถูกใช้ร่วมกันในหลายสาขา เส้นแบ่งระหว่างสาขาเหล่านี้ และเส้นที่แยกตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ออกจากสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์นั้นไม่ชัดเจนเสมอไปทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลไม่เพียงแต่เป็นจุดสำคัญในทฤษฎีการเรียกซ้ำและทฤษฎีการพิสูจน์เท่านั้น แต่ยังนำไปสู่ทฤษฎีบทของโลบในตรรกศาสตร์เชิงโมดอลด้วย วิธีการบังคับถูกนำมาใช้ในทฤษฎีเซต ทฤษฎีแบบจำลอง และทฤษฎีการเรียกซ้ำ รวมถึงในการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงสัญชาตญาณ

ทฤษฎีหมวดหมู่ (Category Theory)เป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่ใช้ระเบียบวิธีเชิงสัจพจน์ที่เป็นทางการหลายวิธี และรวมถึงการศึกษาตรรกศาสตร์เชิงหมวดหมู่แต่โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีหมวดหมู่ไม่ได้ถูกพิจารณาว่าเป็นสาขาย่อยของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากความสามารถในการประยุกต์ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย นักคณิตศาสตร์หลายคน รวมถึงSaunders Mac Laneจึงเสนอทฤษฎีหมวดหมู่เป็นระบบพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์ โดยไม่ขึ้นอยู่กับทฤษฎีเซต พื้นฐานเหล่านี้ใช้โทโพส (toposes)ซึ่งคล้ายกับแบบจำลองทั่วไปของทฤษฎีเซตที่อาจใช้ตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกหรือแบบไม่คลาสสิก

ตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์เกิดขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 ในฐานะสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ ซึ่งสะท้อนถึงการบรรจบกันของสองประเพณี ได้แก่ตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา ที่เป็นรูปธรรม และคณิตศาสตร์^{[ 4 ]}ตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ หรือที่เรียกว่า 'ตรรกะ' 'ตรรกะเชิงสัญลักษณ์' ' พีชคณิตของตรรกะ ' และเมื่อไม่นานมานี้ เรียกง่ายๆ ว่า 'ตรรกะที่เป็นรูปธรรม' คือชุดของทฤษฎีตรรกะที่พัฒนาขึ้นในช่วงศตวรรษที่ 19 โดยอาศัยสัญลักษณ์ประดิษฐ์และวิธีการอนุมานที่เข้มงวด^{[ 5 ]}ก่อนการเกิดขึ้นนี้ ตรรกศาสตร์ได้รับการศึกษาด้วยวาทศิลป์ด้วยการคำนวณ^{[ 6 ]}ผ่านทางตรรกบทและด้วยปรัชญาครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 ได้เห็นการระเบิดของผลลัพธ์พื้นฐาน พร้อมกับการถกเถียงอย่างเข้มข้นเกี่ยวกับรากฐานของคณิตศาสตร์

ทฤษฎีตรรกศาสตร์ได้รับการพัฒนาในหลายวัฒนธรรมในประวัติศาสตร์ รวมถึงในจีนโบราณอินเดียกรีกจักรวรรดิโรมันและโลกอิสลามวิธีการของกรีก โดยเฉพาะตรรกศาสตร์ของอริสโตเติล (หรือตรรกศาสตร์เชิงพจน์) ดังที่พบในOrganonได้รับการประยุกต์ใช้และการยอมรับอย่างกว้างขวางในวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ตะวันตกเป็นเวลาหลายพันปี^{[ 7 ]}พวกสโตอิกโดยเฉพาะคริสิ ปปัส ได้เริ่มพัฒนาตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ ในยุโรปศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์เชิงปรัชญา เช่น ไลบ์นิซและแลม เบิร์ต ได้พยายามที่จะจัดการกับการดำเนินการของตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมในรูปแบบสัญลักษณ์หรือพีชคณิตแต่งานของพวกเขายังคงโดดเดี่ยวและไม่เป็นที่รู้จักมากนัก

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 จอร์จ บูลและต่อมาออกัสตัส เดอ มอร์แกนได้นำเสนอวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่เป็นระบบสำหรับตรรกศาสตร์ งานของพวกเขาซึ่งสร้างขึ้นจากงานของนักพีชคณิต เช่นจอร์จ พีค็อกได้ขยายหลักตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลดั้งเดิมไปสู่กรอบที่เพียงพอสำหรับการศึกษาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ [ ^{8 ] ใน}ปี 1847 วาโตรสลาฟ เบอร์ติชได้ทำงานที่สำคัญเกี่ยวกับพีชคณิตของตรรกศาสตร์ โดยเป็นอิสระจากบูล^{[ 9 ]} ต่อมา ชาร์ลส์ แซนเดอร์ส เพียร์ซได้ต่อยอดจากงานของบูลเพื่อพัฒนาระบบตรรกศาสตร์สำหรับความสัมพันธ์และตัวบ่งปริมาณ ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์ในเอกสารหลายฉบับตั้งแต่ปี 1870 ถึง 1885

ก็อตต์ลอบ เฟรเกได้นำเสนอการพัฒนาตรรกศาสตร์ด้วยตัวบ่งปริมาณอย่างอิสระในงานเขียนชื่อBegriffsschriftซึ่งตีพิมพ์ในปี 1879 งานนี้โดยทั่วไปถือว่าเป็นจุดเปลี่ยนสำคัญในประวัติศาสตร์ของตรรกศาสตร์ อย่างไรก็ตาม งานของเฟรเกยังคงไม่เป็นที่รู้จักมากนัก จนกระทั่งเบอร์ทรานด์ รัสเซลล์เริ่มเผยแพร่ผลงานของเขาในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 สัญกรณ์สองมิติที่เฟรเกพัฒนาขึ้นนั้นไม่เคยได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางและไม่ปรากฏในตำราเรียนร่วมสมัย

ระหว่างปี ค.ศ. 1890 ถึง 1905 เอิร์นส์ ชโรเดอร์ได้ตีพิมพ์หนังสือ Vorlesungen über die Algebra der Logikจำนวนสามเล่ม งานเขียนนี้ได้สรุปและต่อยอดงานของบูล เดอ มอร์แกน และเพียร์ซ และเป็นแหล่งอ้างอิงที่ครอบคลุมเกี่ยวกับตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ตามความเข้าใจในปลายศตวรรษที่ 19

ความกังวลว่าคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นบนรากฐานที่เหมาะสม นำไปสู่การพัฒนาระบบสัจพจน์สำหรับสาขาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ เช่น เลขคณิต การวิเคราะห์ และเรขาคณิต

ในตรรกศาสตร์ คำว่าเลขคณิตหมายถึงทฤษฎีของจำนวนธรรมชาติจูเซปเป เปอาโน^{[ 10 ]}ได้ตีพิมพ์ชุดสัจพจน์สำหรับเลขคณิตซึ่งต่อมาได้ใช้ชื่อของเขา ( สัจพจน์ของเปอาโน ) โดยใช้ระบบตรรกะของบูลและชโรเดอร์ในรูปแบบที่แตกต่างออกไป แต่เพิ่มตัวบ่งปริมาณเข้าไป เปอาโนไม่ทราบถึงงานของเฟรเกในขณะนั้น ในช่วงเวลาเดียวกันริชาร์ด เดเดคินด์ได้แสดงให้เห็นว่าจำนวนธรรมชาติมีลักษณะเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันโดย คุณสมบัติ การเหนี่ยวนำเดเดคินด์เสนอการกำหนดลักษณะที่แตกต่างออกไป ซึ่งขาดลักษณะทางตรรกะที่เป็นทางการของสัจพจน์ของเปอาโน^{[ 11 ]}อย่างไรก็ตาม งานของเดเดคินด์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ไม่สามารถเข้าถึงได้ในระบบของเปอาโน รวมถึงความไม่ซ้ำกันของเซตของจำนวนธรรมชาติ (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) และคำจำกัดความแบบเวียนซ้ำของการบวกและการคูณจากฟังก์ชันผู้สืบทอดและการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 ข้อบกพร่องในสัจพจน์ของยูคลิดสำหรับเรขาคณิตเริ่มเป็นที่รู้จัก^{[ 12 ]}นอกเหนือจากความเป็นอิสระของสัจพจน์เส้นขนาน ที่ นิโคไล โลบาเชฟสกีได้กำหนดไว้ในปี 1826 ^{[ 13 ]}นักคณิตศาสตร์ยังค้นพบว่าทฤษฎีบทบางอย่างที่ยูคลิดถือว่าเป็นเรื่องปกติไม่ได้พิสูจน์ได้จากสัจพจน์ของเขา ในบรรดาทฤษฎีบทเหล่านี้ ได้แก่ ทฤษฎีบทที่ว่าเส้นตรงประกอบด้วยจุดอย่างน้อยสองจุด หรือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากันซึ่งมีจุดศูนย์กลางห่างกันเท่ากับรัศมีนั้นจะต้องตัดกัน ฮิลเบิร์ต^{[ 14 ]}ได้พัฒนาชุดสัจพจน์ที่สมบูรณ์สำหรับเรขาคณิต โดย ต่อยอดจากงานก่อนหน้าของปาสช์^{[ 15 ]}ความสำเร็จในการกำหนดสัจพจน์ของเรขาคณิตกระตุ้นให้ฮิลเบิร์ตแสวงหาการกำหนดสัจพจน์ที่สมบูรณ์ของสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น จำนวนธรรมชาติและเส้นจำนวนจริงซึ่งพิสูจน์ได้ว่าเป็นสาขาการวิจัยที่สำคัญในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20

ศตวรรษที่ 19 ได้เห็นความก้าวหน้าอย่างมากในทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงจริงรวมถึงทฤษฎีการลู่เข้าของฟังก์ชันและอนุกรมฟูริเยร์นักคณิตศาสตร์เช่นKarl Weierstrassเริ่มสร้างฟังก์ชันที่ท้าทายสัญชาตญาณ เช่นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่แนวคิดเดิมเกี่ยวกับฟังก์ชันในฐานะกฎสำหรับการคำนวณ หรือกราฟเรียบ ไม่เพียงพออีกต่อไป Weierstrass เริ่มสนับสนุนการทำให้การวิเคราะห์เป็นเลขคณิตซึ่งพยายามทำให้การวิเคราะห์เป็นสัจพจน์โดยใช้คุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติ นิยามสมัยใหม่(ε, δ) ของลิมิตและฟังก์ชันต่อเนื่องได้รับการพัฒนาโดยBolzanoในปี 1817 ^{[ 16 ]}แต่ยังคงไม่เป็นที่รู้จักมากนัก Cauchyในปี 1821 ได้นิยามความต่อเนื่องในแง่ของอนันต์เล็ก ๆ (ดู Cours d'Analyse หน้า 34) ในปี พ.ศ. 2491 Dedekind ได้เสนอนิยามของจำนวนจริงโดยใช้Dedekind cutsของจำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นนิยามที่ยังคงใช้ในตำราร่วมสมัย^{[ 17 ]}

Georg Cantorได้พัฒนาแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีเซตอนันต์ ผลงานในช่วงแรกของเขาได้พัฒนาทฤษฎีจำนวนสมาชิกและพิสูจน์ว่าจำนวนจริงและจำนวนธรรมชาติมีจำนวนสมาชิกที่แตกต่างกัน^{[ 18 ]}ในช่วงยี่สิบปีต่อมา Cantor ได้พัฒนาทฤษฎีจำนวนอนันต์ในชุดสิ่งพิมพ์หลายฉบับ ในปี 1891 เขาได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ใหม่เกี่ยวกับความไม่สามารถนับได้ของจำนวนจริง ซึ่งได้นำเสนอการใช้เหตุผลแบบทแยงมุมและใช้วิธีนี้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Cantorว่าไม่มีเซตใดที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับเซตกำลัง ของมัน Cantor เชื่อว่าทุกเซตสามารถเรียงลำดับได้ดีแต่ไม่สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ได้ จึงปล่อยให้เป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขในปี 1895 ^{[ 19 ]}

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 สาขาวิชาหลักที่ศึกษาคือทฤษฎีเซตและตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม การค้นพบความขัดแย้งในทฤษฎีเซตเชิงนามธรรมทำให้บางคนสงสัยว่าคณิตศาสตร์เองนั้นไม่สอดคล้องกันหรือไม่ และจึงเริ่มมองหาหลักฐานพิสูจน์ความสอดคล้องกัน

ในปี ค.ศ. 1900 ฮิลเบิร์ตได้ตั้งโจทย์ปัญหา 23 ข้อ ที่มีชื่อเสียง สำหรับศตวรรษถัดไป สองข้อแรกคือการแก้ปัญหาข้อสมมติฐานความต่อเนื่องและการพิสูจน์ความสอดคล้องของเลขคณิตเบื้องต้น ตามลำดับ ส่วนข้อที่สิบคือการสร้างวิธีการที่สามารถตัดสินได้ว่าสมการพหุนามหลายตัวแปรบนจำนวนเต็มมีคำตอบหรือไม่ งานวิจัยต่อมาเพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ได้กำหนดทิศทางของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับความพยายามในการแก้ปัญหา Entscheidungsproblem ของฮิลเบิร์ต ซึ่งตั้งขึ้นในปี ค.ศ. 1928 ปัญหานี้ต้องการขั้นตอนที่จะตัดสินว่าข้อความทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดให้เป็นจริงหรือเท็จ

Ernst Zermeloได้พิสูจน์ว่าเซตทุกเซตสามารถเรียงลำดับได้ดีซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่Georg Cantorไม่สามารถหาได้^{[ 20 ]}เพื่อให้ได้มาซึ่งการพิสูจน์ Zermelo ได้นำเสนอสัจพจน์ของการเลือกซึ่งก่อให้เกิดการถกเถียงและการวิจัยอย่างร้อนแรงในหมู่นักคณิตศาสตร์และผู้บุกเบิกทฤษฎีเซต การวิพากษ์วิจารณ์วิธีการในทันทีทำให้ Zermelo ต้องตีพิมพ์บทความฉบับที่สองเกี่ยวกับผลลัพธ์ของเขา โดยกล่าวถึงคำวิจารณ์เกี่ยวกับการพิสูจน์ของเขาโดยตรง^{[ 21 ]}บทความนี้นำไปสู่การยอมรับสัจพจน์ของการเลือกโดยทั่วไปในชุมชนคณิตศาสตร์

ความสงสัยเกี่ยวกับสัจพจน์ของการเลือกได้รับการเสริมด้วยความขัดแย้งที่เพิ่งค้นพบในทฤษฎีเซตแบบง่าย Cesare Burali-Forti ^{[ 22 ]}เป็นคนแรกที่กล่าวถึงความขัดแย้ง: ความขัดแย้งของ Burali-Fortiแสดงให้เห็นว่าการรวบรวมจำนวนเชิงอันดับ ทั้งหมด ไม่สามารถสร้างเซตได้ ไม่นานหลังจากนั้นBertrand Russellก็ค้นพบความขัดแย้งของ Russellในปี 1901 และJules Richardก็ค้นพบ ความ ขัดแย้งของ Richard ^{[ 23 ]}

Zermelo ได้กำหนดชุดสัจพจน์ชุดแรกสำหรับทฤษฎีเซต^{[ 24 ]}สัจพจน์เหล่านี้ ร่วมกับสัจพจน์เพิ่มเติมของการแทนที่ที่เสนอโดยAbraham Fraenkelปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel (ZF) สัจพจน์ของ Zermelo ได้รวมหลักการจำกัดขนาดเพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งของ Russell

ในปี พ.ศ. 2453 หนังสือ Principia Mathematicaเล่มแรกโดย Russell และAlfred North Whiteheadได้รับการตีพิมพ์ ผลงานชิ้นสำคัญนี้ได้พัฒนาทฤษฎีฟังก์ชันและจำนวนสมาชิกในกรอบทฤษฎีประเภท ที่เป็นทางการอย่างสมบูรณ์ ซึ่ง Russell และ Whitehead ได้พัฒนาขึ้นเพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งPrincipia Mathematicaถือเป็นหนึ่งในผลงานที่มีอิทธิพลมากที่สุดในศตวรรษที่ 20 แม้ว่ากรอบทฤษฎีประเภทจะไม่ได้รับความนิยมในฐานะทฤษฎีพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์ก็ตาม^{[ 25 ]}

Fraenkel ^{[ 26 ]}พิสูจน์ว่าไม่สามารถพิสูจน์สัจพจน์ของการเลือกจากสัจพจน์ของทฤษฎีเซตของ Zermelo ที่มีองค์ประกอบ urได้ ต่อมางานของPaul Cohen ^{[ 27 ]}แสดงให้เห็นว่าไม่จำเป็นต้องเพิ่มองค์ประกอบ ur และไม่สามารถพิสูจน์สัจพจน์ของการเลือกใน ZF ได้ การพิสูจน์ของ Cohen ได้พัฒนาวิธีการบังคับซึ่งปัจจุบันเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับการสร้างผลลัพธ์ที่เป็นอิสระในทฤษฎีเซต^{[ 28 ]}

Leopold Löwenheim ^{[ 29 ]}และThoralf Skolem ^{[ 30 ]}ได้รับทฤษฎีบท Löwenheim–Skolemซึ่งกล่าวว่าตรรกะลำดับที่หนึ่งไม่สามารถควบคุมจำนวนสมาชิกของโครงสร้างอนันต์ได้ Skolem ตระหนักว่าทฤษฎีบทนี้จะนำไปใช้กับการกำหนดรูปแบบลำดับที่หนึ่งของทฤษฎีเซต และบ่งชี้ว่าการกำหนดรูปแบบดังกล่าวมีแบบจำลองที่นับได้ ข้อเท็จจริงที่ขัดแย้งกับสัญชาตญาณนี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อปรากฏการณ์ขัดแย้งของ Skolem

ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาเคิร์ท เกอเดลได้พิสูจน์ทฤษฎีความสมบูรณ์ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างไวยากรณ์และความหมายในตรรกะลำดับที่หนึ่ง^{[ 31 ]}เกอเดลใช้ทฤษฎีความสมบูรณ์เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีความกะทัดรัด ซึ่งแสดงให้เห็นถึงลักษณะจำกัดของ ผลลัพธ์เชิงตรรกะลำดับที่หนึ่งผลลัพธ์เหล่านี้ช่วยสร้างตรรกะลำดับที่หนึ่งให้เป็นตรรกะหลักที่นักคณิตศาสตร์ใช้

ในปี ค.ศ. 1931 เกอเดลได้ตีพิมพ์ผลงานเรื่อง On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systemsซึ่งพิสูจน์ถึงความไม่สมบูรณ์ (ในความหมายที่แตกต่างออกไป) ของทฤษฎีลำดับที่หนึ่งที่มีความแข็งแกร่งและมีประสิทธิภาพเพียงพอทั้งหมด ผลลัพธ์นี้ ซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล ได้สร้างข้อจำกัดที่รุนแรงต่อรากฐานเชิงสัจพจน์สำหรับคณิตศาสตร์ และเป็นการโจมตีอย่างรุนแรงต่อโครงการของฮิลเบิร์ต มันแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะให้การพิสูจน์ความสอดคล้องของเลขคณิตภายในทฤษฎีเลขคณิตที่เป็นทางการใดๆ อย่างไรก็ตาม ฮิลเบิร์ตไม่ได้ตระหนักถึงความสำคัญของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์นี้เป็นเวลานาน^{[ a ]}

ทฤษฎีบทของ Gödel แสดงให้เห็นว่าการ พิสูจน์ ความสอดคล้องของระบบสัจพจน์ที่มีประสิทธิภาพและแข็งแกร่งเพียงพอใดๆ ไม่สามารถหาได้ในตัวระบบเอง หากระบบนั้นมีความสอดคล้อง หรือในระบบที่อ่อนแอกว่าใดๆ ก็ตาม สิ่งนี้เปิดโอกาสให้มีการพิสูจน์ความสอดคล้องที่ไม่สามารถทำให้เป็นทางการได้ภายในระบบที่พิจารณา Gentzen พิสูจน์ความสอดคล้องของเลขคณิตโดยใช้ระบบฟินิสติกพร้อมกับหลักการของการเหนี่ยวนำทรานส์ไฟไนต์ [ ^{32 ] ผลลัพธ์}ของ Gentzen ได้นำเสนอแนวคิดของการกำจัดการตัดและลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ซึ่งกลายเป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎีการพิสูจน์ Gödel ได้ให้การพิสูจน์ความสอดคล้องที่แตกต่างออกไป ซึ่งลดความสอดคล้องของเลขคณิตแบบคลาสสิกให้เหลือเพียงเลขคณิตแบบสัญชาตญาณในประเภทที่สูงกว่า^{[ 33 ]}

ตำราเล่มแรกเกี่ยวกับตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์สำหรับบุคคลทั่วไปเขียนโดยลูอิส แคร์รอล [ ^{34 ] ผู้}เขียนAlice's Adventures in Wonderlandในปี พ.ศ. 2439 ^{[ 35 ]}

อัลเฟรด ทาร์สกี ได้ พัฒนา พื้นฐานของทฤษฎีแบบจำลอง

ตั้งแต่ปี 1935 กลุ่มนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงได้ร่วมมือกันภายใต้นามแฝงนิโคลัส บูร์บากีเพื่อตีพิมพ์ หนังสือชุด Éléments de mathématiqueซึ่งเป็นตำราคณิตศาสตร์เชิงสารานุกรม ตำราเหล่านี้เขียนด้วยรูปแบบที่เคร่งครัดและยึดหลักสัจพจน์ โดยเน้นการนำเสนออย่างเข้มงวดและพื้นฐานทางทฤษฎีเซต คำศัพท์ที่บัญญัติขึ้นในตำราเหล่านี้ เช่น คำว่าbijection , injectionและsurjectionรวมถึงพื้นฐานทางทฤษฎีเซตที่ใช้ในตำราเหล่านั้น ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางในวงการคณิตศาสตร์

การศึกษาเรื่องความสามารถในการคำนวณกลายมาเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีการเรียกซ้ำหรือทฤษฎีความสามารถในการคำนวณเนื่องจากรูปแบบที่เป็นทางการในยุคแรกๆ โดย Gödel และ Kleene อาศัยคำจำกัดความแบบเรียกซ้ำของฟังก์ชัน^{[ b ]}เมื่อคำจำกัดความเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากับรูปแบบที่เป็นทางการของ Turing ที่เกี่ยวข้องกับเครื่องจักร Turingก็เป็นที่ชัดเจนว่าแนวคิดใหม่ – ฟังก์ชันที่คำนวณได้ – ได้ถูกค้นพบแล้ว และคำจำกัดความนี้มีความแข็งแกร่งเพียงพอที่จะยอมรับลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระจำนวนมาก ในงานของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ในปี 1931 Gödel ขาดแนวคิดที่เข้มงวดของระบบที่เป็นทางการที่มีประสิทธิภาพ เขาตระหนักได้ทันทีว่าคำจำกัดความใหม่ของความสามารถในการคำนวณสามารถนำมาใช้เพื่อจุดประสงค์นี้ได้ ทำให้เขาสามารถกล่าวถึงทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ในลักษณะทั่วไปซึ่งสามารถบอกเป็นนัยได้ในเอกสารต้นฉบับเท่านั้น

ผลลัพธ์มากมายในทฤษฎีการเรียกซ้ำได้รับในช่วงทศวรรษ 1940 โดยStephen Cole KleeneและEmil Leon Post Kleene ^{[ 36 ]}ได้แนะนำแนวคิดของความสามารถในการคำนวณเชิงสัมพัทธ์ ซึ่ง Turing ^{[ 37 ]} ได้กล่าวถึงไว้ก่อนหน้านี้ และลำดับชั้นทางเลขคณิตต่อมา Kleene ได้ขยายทฤษฎีการเรียกซ้ำไปสู่ฟังก์ชันลำดับสูงกว่า Kleene และGeorg Kreiselได้ศึกษาคณิตศาสตร์เชิงสัญชาตญาณในรูปแบบที่เป็นทางการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของทฤษฎีการพิสูจน์

โดยแก่นแท้แล้ว ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่แสดงออกโดยใช้ระบบตรรกะเชิงรูปธรรมระบบเหล่านี้แม้จะแตกต่างกันในรายละเอียดหลายประการ แต่ก็มีคุณสมบัติร่วมกันคือการพิจารณาเฉพาะนิพจน์ในภาษาเชิงรูปธรรม ที่กำหนด ไว้ ระบบตรรกศาสตร์เชิงประพจน์และตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งเป็นระบบที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางที่สุดในปัจจุบัน เนื่องจากสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับพื้นฐานของคณิตศาสตร์และเนื่องจากมีคุณสมบัติเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ที่พึงประสงค์^{[ c ]}ตรรกศาสตร์คลาสสิกที่แข็งแกร่งกว่า เช่นตรรกศาสตร์อันดับสองหรือตรรกศาสตร์อนันต์ก็ได้รับการศึกษาเช่นกัน พร้อมกับตรรกศาสตร์ที่ไม่ใช่คลาสสิกเช่นตรรกศาสตร์ เชิงสัญชาตญาณ

ตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งเป็นระบบตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม เฉพาะอย่างหนึ่ง โครงสร้างทางไวยากรณ์ของมันประกอบด้วยนิพจน์จำกัดเท่านั้นที่เป็นสูตรที่ถูกต้อง ในขณะที่ ความหมายของมันมีลักษณะเฉพาะคือการจำกัดตัวบ่งปริมาณ ทั้งหมด ให้อยู่ในขอบเขตการสนทนาที่กำหนด ไว้

ผลลัพธ์ในช่วงแรกจากตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมได้กำหนดข้อจำกัดของตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเล็ม (1919) แสดงให้เห็นว่า ถ้าเซตของประโยคในภาษาลำดับที่หนึ่งที่นับได้มีแบบจำลองอนันต์แล้ว ก็จะมีแบบจำลองอย่างน้อยหนึ่งแบบสำหรับแต่ละจำนวนอนันต์ นี่แสดงให้เห็นว่า เป็นไปไม่ได้ที่เซตของสัจพจน์ลำดับที่หนึ่งจะสามารถอธิบายลักษณะของจำนวนธรรมชาติ จำนวนจริง หรือโครงสร้างอนันต์อื่น ๆ ได้จนถึงระดับไอโซมอร์ฟิซึมเนื่องจากเป้าหมายของการศึกษาพื้นฐานในช่วงแรกคือการสร้างทฤษฎีสัจพจน์สำหรับทุกส่วนของคณิตศาสตร์ ข้อจำกัดนี้จึงเด่นชัดเป็นพิเศษ

ทฤษฎีความสมบูรณ์ของ Gödelได้สร้างความเท่าเทียมกันระหว่างคำจำกัดความเชิงความหมายและเชิงไวยากรณ์ของผลลัพธ์เชิงตรรกะในตรรกะลำดับที่หนึ่ง^{[ 31 ]}แสดงให้เห็นว่าหากประโยคใดประโยคหนึ่งเป็นจริงในทุกแบบจำลองที่สอดคล้องกับชุดของสัจพจน์เฉพาะ จะต้องมีการอนุมานประโยคนั้นจากสัจพจน์อย่างจำกัดทฤษฎีความกะทัดรัดปรากฏครั้งแรกในฐานะบทพิสูจน์ในทฤษฎีความสมบูรณ์ของ Gödel และต้องใช้เวลาหลายปีก่อนที่นักตรรกศาสตร์จะเข้าใจความสำคัญของมันและเริ่มนำไปใช้เป็นประจำ ทฤษฎีนี้กล่าวว่าชุดของประโยคมีแบบจำลองก็ต่อเมื่อเซตย่อยจำกัดทุกเซตมีแบบจำลอง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือชุดของสูตรที่ไม่สอดคล้องกันจะต้องมีเซตย่อยที่ไม่สอดคล้องกันอย่างจำกัด ทฤษฎีความสมบูรณ์และความกะทัดรัดช่วยให้สามารถวิเคราะห์ผลลัพธ์เชิงตรรกะในตรรกะลำดับที่หนึ่งและการพัฒนาทฤษฎีแบบจำลอง ได้อย่างซับซ้อน และเป็นเหตุผลสำคัญที่ทำให้ตรรกะลำดับที่หนึ่งมีความโดดเด่นในคณิตศาสตร์

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Gödelสร้างข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัจพจน์ลำดับแรก^{[ 38 ]}ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรกกล่าวว่า สำหรับระบบตรรกะที่สอดคล้องกันและกำหนดไว้อย่างมีประสิทธิภาพ (นิยามไว้ด้านล่าง) ที่สามารถตีความเลขคณิตได้ จะมีข้อความที่เป็นจริง (ในแง่ที่ว่ามันใช้ได้กับจำนวนธรรมชาติ) แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ภายในระบบตรรกะนั้น (และอาจล้มเหลวในแบบจำลองเลขคณิตที่ไม่เป็นมาตรฐาน บางแบบ ซึ่งอาจสอดคล้องกับระบบตรรกะ) ตัวอย่างเช่น ในทุกระบบตรรกะที่สามารถแสดงสัจพจน์ของ Peano ได้ ประโยคของ Gödel จะใช้ได้กับจำนวนธรรมชาติ แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้

ในที่นี้ ระบบตรรกะจะถือว่ามีประสิทธิภาพก็ต่อเมื่อสามารถตัดสินได้ว่าสูตรใดๆ ในภาษาของระบบนั้นเป็นสัจพจน์หรือไม่ และระบบที่สามารถแสดงสัจพจน์ของ Peano ได้เรียกว่า "แข็งแกร่งเพียงพอ" เมื่อนำไปใช้กับตรรกะลำดับที่หนึ่ง ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อแรกบ่งชี้ว่าทฤษฎีลำดับที่หนึ่งที่แข็งแกร่ง สอดคล้อง และมีประสิทธิภาพเพียงพอใดๆ จะมีแบบจำลองที่ไม่สมมูลกันใน เชิงพื้นฐาน ซึ่งเป็น ข้อจำกัดที่เข้มงวดกว่าข้อจำกัดที่กำหนดโดยทฤษฎีบท Löwenheim–Skolem ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ข้อที่สองระบุว่าไม่มีระบบสัจพจน์ที่แข็งแกร่ง สอดคล้อง และมีประสิทธิภาพเพียงพอสำหรับเลขคณิตที่สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของตนเองได้ ซึ่งถูกตีความว่าแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถบรรลุ โปรแกรมของ Hilbert ได้

นอกจากตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งแล้ว ยังมีการศึกษาตรรกศาสตร์อีกมากมาย เช่นตรรกศาสตร์อนันต์ซึ่งอนุญาตให้สูตรต่างๆ ให้ข้อมูลได้เป็นจำนวนอนันต์ และตรรกศาสตร์อันดับสูงซึ่งรวมเอาทฤษฎีเซตบางส่วนเข้าไว้ในความหมายโดยตรง

ตรรกศาสตร์อนันต์ที่ได้รับการศึกษามากที่สุดคือตรรกศาสตร์เชิงปริมาณในตรรกศาสตร์นี้ ตัวบ่งปริมาณสามารถซ้อนกันได้เพียงระดับความลึกที่จำกัด เช่นเดียวกับตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง แต่สูตรอาจมีการเชื่อมโยงและการแยกส่วนที่จำกัดหรือนับได้อนันต์อยู่ภายใน ดังนั้น ตัวอย่างเช่น เป็นไปได้ที่จะกล่าวว่าวัตถุเป็นจำนวนเต็มโดยใช้สูตรของตรรกศาสตร์เชิงปริมาณเช่น ${\displaystyle L_{\โอเมก้า _{1},\โอเมก้า }}$${\displaystyle L_{\โอเมก้า _{1},\โอเมก้า }}$

${\displaystyle (x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor \cdots .}$

ตรรกศาสตร์ลำดับสูงช่วยให้สามารถกำหนดปริมาณได้ไม่เพียงแต่กับองค์ประกอบของขอบเขตการสนทนา เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเซตย่อยของขอบเขตการสนทนา เซตของเซตย่อยเหล่านั้น และวัตถุประเภทสูงกว่าอื่นๆ ด้วย ความหมายถูกกำหนดไว้เพื่อให้แทนที่จะมีขอบเขตการสนทนาแยกต่างหากสำหรับตัวกำหนดปริมาณประเภทสูงแต่ละตัว ตัวกำหนดปริมาณจะครอบคลุมวัตถุทั้งหมดที่มีประเภทที่เหมาะสมแทน ตรรกศาสตร์ที่ศึกษามาก่อนการพัฒนาตรรกศาสตร์ลำดับแรก เช่น ตรรกศาสตร์ของเฟรเก มีลักษณะทางทฤษฎีเซตที่คล้ายคลึงกัน แม้ว่าตรรกศาสตร์ลำดับสูงจะมีความสามารถในการแสดงออกมากกว่า ทำให้สามารถกำหนดสัจพจน์ได้อย่างสมบูรณ์สำหรับโครงสร้างต่างๆ เช่น จำนวนธรรมชาติ แต่ก็ไม่เป็นไปตามทฤษฎีบทความสมบูรณ์และความกะทัดรัดที่คล้ายคลึงกันจากตรรกศาสตร์ลำดับแรก ดังนั้นจึงไม่ค่อยเหมาะสมกับการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีการพิสูจน์

ตรรกะอีกประเภทหนึ่งคือตรรกะจุดคงที่ที่อนุญาตให้ใช้นิยามแบบอุปนัยเช่นเดียวกับการเขียนสำหรับฟังก์ชันเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม

เราสามารถกำหนดนิยามอย่างเป็นทางการของส่วนขยายของตรรกะลำดับที่หนึ่งได้ ซึ่งเป็นแนวคิดที่ครอบคลุมตรรกะทั้งหมดในส่วนนี้ เนื่องจากตรรกะเหล่านั้นมีพฤติกรรมคล้ายกับตรรกะลำดับที่หนึ่งในแง่มุมพื้นฐานบางประการ แต่ไม่ได้ครอบคลุมตรรกะทั้งหมดโดยทั่วไป เช่น ไม่ครอบคลุมตรรกะเชิงสัญชาตญาณ ตรรกะเชิงโมดอล หรือตรรกะคลุมเครือ

ทฤษฎีบทของลินด์สตรอมบ่งชี้ว่า การขยายตรรกะลำดับที่หนึ่งเพียงอย่างเดียวที่สอดคล้องกับทั้งทฤษฎีบทความกะทัดรัดและทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเลมแบบลงล่างคือ ตรรกะลำดับที่หนึ่ง

ตรรกะโมดอลประกอบด้วยตัวดำเนินการโมดอลเพิ่มเติม เช่น ตัวดำเนินการที่ระบุว่าสูตรเฉพาะนั้นไม่เพียงแต่เป็นจริงเท่านั้น แต่ยังต้องเป็นจริงด้วย แม้ว่าตรรกะโมดอลจะไม่ค่อยถูกนำมาใช้ในการกำหนดสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ แต่ก็มีการใช้เพื่อศึกษาคุณสมบัติของการพิสูจน์ลำดับแรก^{[ 39 ]}และการบังคับเชิงทฤษฎีเซต^{[ 40 ]}

ตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณถูกพัฒนาโดยเฮย์ติงเพื่อศึกษาโปรแกรมสัญชาตญาณนิยมของบราวเวอร์ ซึ่งบราวเวอร์เองหลีกเลี่ยงการใช้รูปแบบที่เป็นทางการ ตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณโดยเฉพาะไม่รวมกฎของสิ่งที่ไม่รวมอยู่ตรงกลางซึ่งระบุว่าแต่ละประโยคจะเป็นจริงหรือปฏิเสธประโยคนั้นเป็นจริง งานของคลีนเกี่ยวกับทฤษฎีการพิสูจน์ของตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณแสดงให้เห็นว่าสามารถกู้คืนข้อมูลเชิงสร้างสรรค์ได้จากการพิสูจน์เชิงสัญชาตญาณ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันทั้งหมดที่พิสูจน์ได้ในเลขคณิตเชิงสัญชาตญาณสามารถคำนวณได้ซึ่งไม่เป็นจริงในทฤษฎีเลขคณิตแบบคลาสสิก เช่นเลขคณิตของพีอาโน

ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิตใช้วิธีการของพีชคณิตนามธรรมเพื่อศึกษาความหมายของตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม ตัวอย่างพื้นฐานคือการใช้พีชคณิตบูลีนเพื่อแสดงค่าความจริงในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์แบบคลาสสิก และการใช้พีชคณิตเฮย์ติงเพื่อแสดงค่าความจริงในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์แบบสัญชาตญาณนิยม ตรรกศาสตร์ที่แข็งแกร่งกว่า เช่น ตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งและตรรกศาสตร์อันดับสูงกว่า จะศึกษาโดยใช้โครงสร้างพีชคณิตที่ซับซ้อนกว่า เช่นพีชคณิตทรงกระบอก

ทฤษฎีเซตคือการศึกษาเซตซึ่งเป็นการรวบรวมวัตถุที่เป็นนามธรรม แนวคิดพื้นฐานหลายอย่าง เช่น จำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณ ได้รับการพัฒนาอย่างไม่เป็นทางการโดยแคนเตอร์ก่อนที่จะมีการพัฒนาระบบสัจพจน์อย่างเป็นทางการของทฤษฎีเซตระบบสัจพจน์แรกดังกล่าว ซึ่งพัฒนา โดยเซอร์เมโล ^{[ 24 ]}ได้รับการขยายเล็กน้อยจนกลายเป็นทฤษฎีเซตเซอร์เมโล-แฟรงเคิล (ZF) ซึ่งปัจจุบันเป็นทฤษฎีพื้นฐานที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในคณิตศาสตร์

มีการเสนอรูปแบบที่เป็นทางการอื่นๆ ของทฤษฎีเซต เช่นทฤษฎีเซตของฟอน นอยมันน์-เบอร์เนย์ส-เกอเดล (NBG), ทฤษฎีเซตของมอร์ส-เคลลีย์ (MK) และ ทฤษฎี เซตพื้นฐานใหม่ (NF) ในบรรดาทฤษฎีเหล่านี้ NBG และ MK มีความคล้ายคลึงกันในการอธิบายลำดับชั้นสะสมของเซต ส่วนทฤษฎีเซตพื้นฐานใหม่ใช้วิธีการที่แตกต่างออกไป โดยอนุญาตให้มีวัตถุต่างๆ เช่น เซตของเซตทั้งหมดได้ แต่ต้องแลกมาด้วยข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับสัจพจน์การมีอยู่ของเซต ระบบทฤษฎีเซตของคริปเก-เพลเทคมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบทั่วไป

ข้อความที่มีชื่อเสียงสองข้อความในทฤษฎีเซตคือสัจพจน์ของการเลือกและสมมติฐานความต่อเนื่อง สัจพจน์ของการเลือกซึ่งกล่าวครั้งแรกโดย Zermelo ^{[ 20 ]}ได้รับการพิสูจน์โดย Fraenkel ^{[ 26 ]} ว่าเป็นอิสระจาก ZF แต่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางจากนักคณิตศาสตร์ สัจพจน์นี้กล่าวว่า เมื่อกำหนดชุดของเซตที่ไม่ว่างเปล่า จะมีเซตC เพียงเซตเดียว ที่มีองค์ประกอบเพียงหนึ่งเดียวจากแต่ละเซตในชุดนั้น เซตCกล่าวได้ว่า "เลือก" องค์ประกอบหนึ่งจากแต่ละเซตในชุดนั้น แม้ว่าความสามารถในการเลือกดังกล่าวจะถือว่าชัดเจนสำหรับบางคน เนื่องจากแต่ละเซตในชุดนั้นไม่ว่างเปล่า แต่การขาดกฎทั่วไปที่เป็นรูปธรรมในการเลือกทำให้สัจพจน์นี้ไม่สามารถสร้างขึ้นได้Stefan BanachและAlfred Tarskiแสดงให้เห็นว่าสัจพจน์ของการเลือกสามารถใช้ในการแบ่งลูกบอลแข็งออกเป็นชิ้นส่วนจำนวนจำกัด ซึ่งสามารถนำมาจัดเรียงใหม่ได้โดยไม่ต้องปรับขนาด เพื่อสร้างลูกบอลแข็งสองลูกที่มีขนาดเท่าเดิม^{[ 41 ]}ทฤษฎีบทนี้ซึ่งรู้จักกันในชื่อปรากฏการณ์ Banach–Tarskiเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกับสามัญสำนึกหลายประการของสัจพจน์ของการเลือก

สมมติฐานความต่อเนื่อง ซึ่งเสนอครั้งแรกในฐานะข้อสันนิษฐานโดยแคนเตอร์ ถูกระบุโดยเดวิด ฮิลเบิร์ตว่าเป็นหนึ่งใน 23 ปัญหาของเขาในปี 1900 เกอเดลแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานความต่อเนื่องไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่จริงจากสัจพจน์ของทฤษฎีเซตของเซอร์เมโล-แฟรงเคิล (ไม่ว่าจะมีสัจพจน์ของการเลือกหรือไม่ก็ตาม) โดยการพัฒนาเอกภพที่สร้างได้ของทฤษฎีเซตซึ่งสมมติฐานความต่อเนื่องจะต้องเป็นจริง ในปี 1963 พอล โคเฮนแสดงให้เห็นว่าสมมติฐานความต่อเนื่องไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ของทฤษฎีเซตของเซอร์เมโล-แฟรงเคิล^{[ 27 ]}อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ความเป็นอิสระนี้ไม่ได้ยุติคำถามของฮิลเบิร์ตอย่างสมบูรณ์ เนื่องจากเป็นไปได้ว่าสัจพจน์ใหม่สำหรับทฤษฎีเซตอาจแก้ไขสมมติฐานได้ งานล่าสุดในแนวทางนี้ได้ดำเนินการโดยดับเบิลยู. ฮิวจ์ วูดินแม้ว่าความสำคัญของมันยังไม่ชัดเจน^{[ 42 ]}

งานวิจัยร่วมสมัยในทฤษฎีเซตนั้นรวมถึงการศึกษาจำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่และความแน่นอน จำนวน คาร์ดินัลขนาดใหญ่คือจำนวนคาร์ดินัลที่มีคุณสมบัติพิเศษที่แข็งแกร่งมากจนไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนคาร์ดินัลดังกล่าวได้ใน ZFC การมีอยู่ของจำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่ที่เล็กที่สุดที่มักได้รับการศึกษา ซึ่งเป็นจำนวนคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้นั้นบ่งบอกถึงความสอดคล้องของ ZFC แล้ว แม้ว่าจำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่จะมี จำนวน คาร์ดินัล สูงมาก แต่การมีอยู่ของพวกมันก็มีผลกระทบมากมายต่อโครงสร้างของเส้นจำนวนจริงความแน่นอนหมายถึงความเป็นไปได้ของการมีกลยุทธ์ที่ชนะสำหรับเกมสองผู้เล่นบางเกม (เกมเหล่านั้นเรียกว่าเกมที่ถูกกำหนดไว้แล้ว ) การมีอยู่ของกลยุทธ์เหล่านี้บ่งบอกถึงคุณสมบัติเชิงโครงสร้างของเส้นจำนวนจริงและปริภูมิโปแลนด์ อื่น ๆ

ทฤษฎีแบบจำลองศึกษาแบบจำลองของทฤษฎีเชิงรูปธรรมต่างๆ โดยที่ทฤษฎีคือชุดของสูตรในตรรกะเชิงรูปธรรมและรูปแบบ เฉพาะ ในขณะที่แบบจำลองคือโครงสร้างที่ให้การตีความที่เป็นรูปธรรมของทฤษฎีนั้น ทฤษฎีแบบจำลองมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับพีชคณิตสากลและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแม้ว่าวิธีการของทฤษฎีแบบจำลองจะเน้นที่การพิจารณาเชิงตรรกะมากกว่าในสาขาเหล่านั้นก็ตาม

กลุ่มของแบบจำลองทั้งหมดของทฤษฎีใดทฤษฎีหนึ่งเรียกว่าชั้นพื้นฐาน (elementary class ) ทฤษฎีแบบจำลองคลาสสิกมุ่งที่จะกำหนดคุณสมบัติของแบบจำลองในชั้นพื้นฐานเฉพาะ หรือกำหนดว่าโครงสร้างบางประเภทประกอบเป็นชั้นพื้นฐานหรือไม่

วิธีการกำจัดตัวบ่งปริมาณสามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าเซตที่กำหนดได้ในทฤษฎีเฉพาะนั้นไม่สามารถซับซ้อนเกินไปได้ Tarski ได้สร้างการกำจัดตัวบ่งปริมาณสำหรับฟิลด์ปิดจริงซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีของฟิลด์จำนวนจริงสามารถตัดสินได้ [ ^{43 ] เขา} ยังตั้งข้อสังเกตอีกว่าวิธีการของเขาสามารถนำไปใช้กับฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะใดๆ ก็ได้ ฟิลด์ย่อยสมัยใหม่ที่พัฒนามาจากนี้เกี่ยวข้องกับโครงสร้าง o-minimal

ทฤษฎีบทของ Morley เกี่ยวกับหมวดหมู่ซึ่งพิสูจน์โดยMichael D. Morley [ ^{44 ] ระบุ}ว่า หากทฤษฎีลำดับแรกในภาษาที่นับได้เป็นหมวดหมู่ในจำนวนสมาชิกที่นับไม่ได้บางจำนวน กล่าวคือ แบบจำลองทั้งหมดของจำนวนสมาชิกนี้เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ก็จะเป็นหมวดหมู่ในจำนวนสมาชิกที่นับไม่ได้ทั้งหมด

ผลที่ตามมาอย่างง่ายๆ จากสมมติฐานความต่อเนื่องคือ ทฤษฎีที่สมบูรณ์ซึ่งมีแบบจำลองนับได้ที่ไม่สมมาตรน้อยกว่าจำนวนต่อเนื่อง จะมีได้เพียงจำนวนนับได้เท่านั้นข้อสันนิษฐานของวอท (ตั้งชื่อตามโรเบิร์ต ลอว์สัน วอท ) กล่าวว่าสิ่งนี้เป็นจริงแม้จะไม่ขึ้นอยู่กับสมมติฐานความต่อเนื่องก็ตาม มีการพิสูจน์กรณีพิเศษหลายกรณีของข้อสันนิษฐานนี้แล้ว

ทฤษฎีการเรียกซ้ำหรือที่เรียกว่าทฤษฎีความสามารถในการคำนวณศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันที่คำนวณได้และระดับทัวริงซึ่งแบ่งฟังก์ชันที่คำนวณไม่ได้ออกเป็นเซตที่มีระดับความไม่สามารถคำนวณได้เท่ากัน ทฤษฎีการเรียกซ้ำยังรวมถึงการศึกษาความสามารถในการคำนวณและนิยามทั่วไปด้วย ทฤษฎีการเรียกซ้ำเติบโตมาจากงานของ Rózsa Péter , Alonzo Churchและ Alan Turingในช่วงทศวรรษ 1930 ซึ่งได้รับการขยายเพิ่มเติมอย่างมากโดย Kleeneและ Postในช่วงทศวรรษ 1940 ^{[ 45 ]}

ทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบคลาสสิกมุ่งเน้นไปที่ความสามารถในการคำนวณของฟังก์ชันจากจำนวนธรรมชาติไปยังจำนวนธรรมชาติ ผลลัพธ์พื้นฐานได้สร้างคลาสของฟังก์ชันที่คำนวณได้ที่แข็งแกร่งและเป็นแบบมาตรฐาน โดยมีลักษณะเฉพาะที่เทียบเท่ากันและเป็นอิสระจำนวนมาก โดยใช้เครื่องจักรทัวริงแคลคูลัสแลมบ์ดาและระบบอื่นๆ ผลลัพธ์ที่ก้าวหน้ากว่านั้นเกี่ยวข้องกับโครงสร้างของระดับทัวริงและแลตทิซของเซตที่นับได้แบบเรียกซ้ำ

ทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบทั่วไปขยายแนวคิดของทฤษฎีการเรียกซ้ำไปสู่การคำนวณที่ไม่จำเป็นต้องจำกัดจำนวนอีกต่อไป โดยรวมถึงการศึกษาความสามารถในการคำนวณในประเภทที่สูงกว่า ตลอดจนสาขาต่างๆ เช่นทฤษฎีเลขคณิตขั้นสูงและทฤษฎีการเรียกซ้ำอัลฟา

งานวิจัยร่วมสมัยในทฤษฎีการเรียกซ้ำนั้นครอบคลุมถึงการศึกษาการประยุกต์ใช้ เช่นความสุ่มเชิงอัลกอริทึม ทฤษฎีแบบจำลองที่คำนวณได้และคณิตศาสตร์ย้อนกลับ ตลอดจนผลลัพธ์ใหม่ๆ ในทฤษฎีการเรียกซ้ำบริสุทธิ์

ทฤษฎีการเรียกซ้ำเป็นสาขาย่อยที่สำคัญสาขาหนึ่งที่ศึกษาเรื่องความไม่สามารถแก้ได้ด้วยอัลกอริทึมปัญหาการตัดสินใจหรือปัญหาฟังก์ชันจะแก้ไม่ได้ด้วยอัลกอริทึมหากไม่มีอัลกอริทึมที่คำนวณได้ซึ่งให้คำตอบที่ถูกต้องสำหรับอินพุตที่ถูกต้องทั้งหมดของปัญหา ผลลัพธ์แรกเกี่ยวกับความไม่สามารถแก้ได้ ซึ่งได้มาโดยอิสระจาก Church และ Turing ในปี 1936 แสดงให้เห็นว่า ปัญหา การตัดสินใจ (Entscheidungsproblem)นั้นแก้ไม่ได้ด้วยอัลกอริทึม Turing พิสูจน์สิ่งนี้โดยการสร้างความไม่สามารถแก้ได้ของปัญหาการหยุด (halting problem)ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญอย่างกว้างขวางทั้งในทฤษฎีการเรียกซ้ำและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

มีตัวอย่างมากมายของปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินได้ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ทั่วไป เช่นปัญหาคำศัพท์เกี่ยวกับกลุ่มซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์โดยPyotr Novikovในปี 1955 และโดย W. Boone อย่างอิสระในปี 1959 ปัญหา บีเวอร์ที่วุ่นวายซึ่งพัฒนาโดยTibor Radóในปี 1962 ก็เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่รู้จักกันดี

ปัญหาข้อที่สิบของฮิลเบิร์ตถามถึงอัลกอริทึมเพื่อตรวจสอบว่าสมการพหุนามหลายตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มหรือไม่จูเลีย โรบินสัน มา ร์ติน เดวิสและฮิลารี พัตนัม ได้มีความคืบหน้าบางส่วน ยูริ มาติยาเซวิชได้พิสูจน์ว่าปัญหานี้ไม่สามารถแก้ได้ด้วยอัลกอริทึมในปี พ.ศ. 2513 ^{[ 46 ]}

ทฤษฎีการพิสูจน์คือการศึกษาการพิสูจน์เชิงรูปธรรมในระบบการอนุมานเชิงตรรกะต่างๆ การพิสูจน์เหล่านี้ถูกแสดงในรูปของวัตถุทางคณิตศาสตร์เชิงรูปธรรม ซึ่งช่วยให้การวิเคราะห์ด้วยเทคนิคทางคณิตศาสตร์ทำได้ง่ายขึ้น ระบบการอนุมานหลายระบบที่ได้รับการพิจารณาโดยทั่วไป ได้แก่ระบบการอนุมานแบบฮิลเบิร์ตระบบการอนุมานตามธรรมชาติและแคลคูลัสลำดับที่พัฒนาโดยเกนท์เซน

การศึกษาคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ในบริบทของตรรกะทางคณิตศาสตร์นั้นรวมถึงการศึกษาระบบในตรรกะที่ไม่ใช่แบบคลาสสิก เช่น ตรรกะเชิงสัญชาตญาณ ตลอดจนการศึกษาระบบเชิงทำนาย ผู้สนับสนุนแนวคิดเชิงทำนายในยุคแรกคือ เฮอร์มันน์ เวย์ลซึ่งแสดงให้เห็นว่าสามารถพัฒนาส่วนใหญ่ของการวิเคราะห์เชิงจริงได้โดยใช้วิธีการเชิงทำนายเพียงอย่างเดียว^{[ 47 ]}

เนื่องจากการพิสูจน์นั้นมีขอบเขตจำกัดอย่างสมบูรณ์ ในขณะที่ความจริงในโครงสร้างนั้นมีขอบเขตจำกัด จึงเป็นเรื่องปกติที่งานในคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์จะเน้นความสามารถในการพิสูจน์ ความสัมพันธ์ระหว่างความสามารถในการพิสูจน์ในระบบคลาสสิก (หรือระบบที่ไม่ใช่เชิงสร้างสรรค์) และความสามารถในการพิสูจน์ในระบบเชิงสัญชาตญาณ (หรือระบบเชิงสร้างสรรค์ ตามลำดับ) นั้นมีความน่าสนใจเป็นพิเศษ ผลลัพธ์เช่นการแปลเชิงลบของ Gödel–Gentzenแสดงให้เห็นว่าสามารถฝัง (หรือแปล ) ตรรกะคลาสสิกเข้าไปในตรรกะเชิงสัญชาตญาณได้ ทำให้คุณสมบัติบางอย่างเกี่ยวกับการพิสูจน์เชิงสัญชาตญาณสามารถถ่ายทอดกลับไปยังการพิสูจน์คลาสสิกได้

ความก้าวหน้าล่าสุดในทฤษฎีการพิสูจน์ ได้แก่ การศึกษาการขุดค้นการพิสูจน์โดยUlrich Kohlenbachและการศึกษาลำดับเชิงทฤษฎีการพิสูจน์โดยMichael Rathjen

"ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการประยุกต์ใช้อย่างประสบความสำเร็จไม่เพียงแต่ในคณิตศาสตร์และรากฐานของมัน ( G. Frege , B. Russell , D. Hilbert , P. Bernays , H. Scholz , R. Carnap , S. Lesniewski , T. Skolem ) แต่ยังรวมถึงฟิสิกส์ (R. Carnap, A. Dittrich, B. Russell, CE Shannon , AN Whitehead , H. Reichenbach , P. Fevrier), ชีววิทยา ( JH Woodger , A. Tarski ), จิตวิทยา ( FB Fitch , CG Hempel ), กฎหมายและศีลธรรม ( K. Menger , U. Klug, P. Oppenheim), เศรษฐศาสตร์ ( J. Neumann , O. Morgenstern ), คำถามเชิงปฏิบัติ ( EC Berkeley , E. Stamm) และแม้กระทั่งอภิปรัชญา (J. [Jan] Salamucha, H. Scholz, JM Bochenski ) การประยุกต์ใช้กับประวัติศาสตร์ของ... ตรรกะได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์อย่างยิ่ง ( J. Lukasiewicz , H. Scholz, B. Mates , A. Becker, E. Moody , J. Salamucha, K. Duerr, Z. Jordan, P. Boehner , JM Bochenski, S. [Stanislaw] T. Schayer, D. Ingalls ) ^{[ 48 ]} "มีการนำไปประยุกต์ใช้กับเทววิทยาด้วย (F. Drewnowski, J. Salamucha, I. Thomas)" ^{[ 48 ]}

การศึกษาทฤษฎีความสามารถในการคำนวณในวิทยาการคอมพิวเตอร์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการศึกษาความสามารถในการคำนวณในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม มีความแตกต่างในด้านการเน้นย้ำนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มักมุ่งเน้นไปที่ภาษาโปรแกรมที่เป็นรูปธรรมและความสามารถในการคำนวณที่ทำได้จริงในขณะที่นักวิจัยในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์มักมุ่งเน้นไปที่ความสามารถในการคำนวณในฐานะแนวคิดเชิงทฤษฎีและความไม่สามารถคำนวณได้

ทฤษฎีความหมายของภาษาโปรแกรมมีความเกี่ยวข้องกับทฤษฎีแบบจำลองเช่นเดียวกับการตรวจสอบโปรแกรม (โดยเฉพาะอย่างยิ่งการตรวจสอบแบบจำลอง ) ความสัมพันธ์แบบ Curry–Howardระหว่างการพิสูจน์และโปรแกรมมีความเกี่ยวข้องกับทฤษฎีการพิสูจน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรรกศาสตร์เชิงสัญชาตญาณ แคลคูลัสเชิงรูปธรรม เช่นแคลคูลัสแลมบ์ดาและตรรกศาสตร์เชิงการจัดเรียงกำลังได้รับการศึกษาในฐานะภาษาโปรแกรมใน อุดมคติ

วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ยังช่วยสนับสนุนคณิตศาสตร์ด้วยการพัฒนาเทคนิคสำหรับการตรวจสอบหรือแม้กระทั่งการค้นหาข้อพิสูจน์โดยอัตโนมัติ เช่นการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติและการเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะ

ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพรรณนาเชื่อมโยงตรรกศาสตร์กับความซับซ้อนในการคำนวณผลลัพธ์ที่สำคัญครั้งแรกในด้านนี้คือทฤษฎีบทของเฟกิน (1974) ซึ่งพิสูจน์ว่าNPคือเซตของภาษาที่สามารถแสดงได้ด้วยประโยคของตรรกศาสตร์ลำดับที่สองแบบ มี อยู่จริง

ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์เริ่มตระหนักถึงช่องว่างและความไม่สอดคล้องกันทางตรรกะในสาขาของตน มีการแสดงให้เห็นว่า สัจพจน์ของ ยูคลิดสำหรับเรขาคณิต ซึ่งได้รับการสอนมานานหลายศตวรรษในฐานะตัวอย่างของวิธีการเชิงสัจพจน์นั้นไม่สมบูรณ์ การใช้ปริมาณอนันต์ขนาดเล็กและนิยามของฟังก์ชัน เองก็ถูกตั้งคำถามในการวิเคราะห์ เนื่องจาก มีการค้นพบ ตัวอย่างที่ผิดปกติ เช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่ สามารถหาอนุพันธ์ ได้ทุกที่ของไวเออร์สตรัส

การศึกษาเรื่องเซตอนันต์แบบไม่จำกัดของแคนเตอร์ก็ถูกวิพากษ์วิจารณ์เช่นกันเลโอโปลด์ โครเนกเกอร์กล่าวอย่างมีชื่อเสียงว่า "พระเจ้าสร้างจำนวนเต็ม ส่วนที่เหลือล้วนเป็นฝีมือของมนุษย์" ซึ่งเป็นการสนับสนุนการกลับไปศึกษาวัตถุที่เป็นรูปธรรมและจำกัดในคณิตศาสตร์ แม้ว่าข้อโต้แย้งของโครเนกเกอร์จะได้รับการสานต่อโดยกลุ่มนักสร้างสรรค์นิยมในศตวรรษที่ 20 แต่ชุมชนคณิตศาสตร์โดยรวมก็ปฏิเสธพวกเขาเดวิด ฮิลเบิร์ต โต้แย้งสนับสนุนการศึกษาเรื่องอนันต์ โดยกล่าวว่า "ไม่มีใครจะขับไล่เราออกจากสวรรค์ที่แคนเตอร์สร้างขึ้นได้"

นักคณิตศาสตร์เริ่มค้นหาระบบสัจพจน์ที่สามารถนำมาใช้ในการกำหนดรูปแบบทางคณิตศาสตร์ในวงกว้างได้ นอกจากการขจัดความกำกวมจากคำศัพท์ที่เคยดูเรียบง่าย เช่น ฟังก์ชันแล้ว ยังหวังว่าการกำหนดสัจพจน์นี้จะช่วยให้สามารถพิสูจน์ความสอดคล้องกันได้ ในศตวรรษที่ 19 วิธีหลักในการพิสูจน์ความสอดคล้องกันของชุดสัจพจน์คือการสร้างแบบจำลองสำหรับสัจพจน์นั้น ตัวอย่างเช่นเรขาคณิตนอกยุคลิดสามารถพิสูจน์ความสอดคล้องกันได้โดยการกำหนดให้จุดหมายถึงจุดบนทรงกลมคงที่ และเส้นหมายถึงวงกลมใหญ่บนทรงกลม โครงสร้างที่ได้ ซึ่งเป็นแบบจำลองของเรขาคณิตวงรีจะสอดคล้องกับสัจพจน์ของเรขาคณิตระนาบ ยกเว้นสัจพจน์เส้นขนาน

ด้วยการพัฒนาตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรม ฮิลเบิร์ตตั้งคำถามว่าจะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะพิสูจน์ว่าระบบสัจพจน์มีความสอดคล้องกันโดยการวิเคราะห์โครงสร้างของการพิสูจน์ที่เป็นไปได้ในระบบ และแสดงให้เห็นผ่านการวิเคราะห์นี้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ความขัดแย้ง แนวคิดนี้จึงนำไปสู่การศึกษาทฤษฎีการพิสูจน์ยิ่งไปกว่านั้น ฮิลเบิร์ตเสนอว่าการวิเคราะห์ควรเป็นรูปธรรมอย่างสมบูรณ์ โดยใช้คำว่า"จำกัด"เพื่ออ้างถึงวิธีการที่เขาอนุญาต แต่ไม่ได้กำหนดนิยามอย่างแม่นยำ โครงการนี้ซึ่งรู้จักกันในชื่อโครงการของฮิลเบิร์ตได้รับผลกระทบอย่างมากจากทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล ซึ่งแสดงให้เห็นว่าความสอดคล้องกันของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เชิงรูปธรรมไม่สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้วิธีการที่สามารถทำให้เป็นทางการได้ในทฤษฎีเหล่านั้น เกนท์เซนแสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ที่จะสร้างการพิสูจน์ความสอดคล้องกันของคณิตศาสตร์ในระบบจำกัดที่เสริมด้วยสัจพจน์ของการเหนี่ยวนำอนันต์และเทคนิคที่เขาพัฒนาขึ้นเพื่อทำเช่นนั้นเป็นรากฐานสำคัญในทฤษฎีการพิสูจน์

แนวทางที่สองในประวัติศาสตร์ของรากฐานคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับตรรกศาสตร์ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิกและคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์การศึกษาคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์นั้นครอบคลุมโปรแกรมต่างๆ มากมายที่มีคำจำกัดความของคำว่า " สร้างสรรค์ " ที่แตกต่างกัน ในแง่ที่เปิดกว้างที่สุด การพิสูจน์ในทฤษฎีเซต ZF ที่ไม่ใช้สัจพจน์ของการเลือกนั้นถูกเรียกว่าเป็นการสร้างสรรค์โดยนักคณิตศาสตร์หลายคน เวอร์ชันที่จำกัดกว่าของลัทธิสร้างสรรค์นั้นจำกัดอยู่เฉพาะจำนวนธรรมชาติฟังก์ชันเชิงทฤษฎีจำนวนและเซตของจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งสามารถใช้แทนจำนวนจริงได้ ทำให้การศึกษาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ง่ายขึ้น ) แนวคิดทั่วไปคือ ต้องทราบวิธีการที่เป็นรูปธรรมในการคำนวณค่าของฟังก์ชันก่อนจึงจะกล่าวได้ว่าฟังก์ชันนั้นมีอยู่จริง

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ลุยต์เซน เอ็กเบอร์ตัส แยน บราวเวอร์ได้ก่อตั้งปรัชญาสัญชาตญาณนิยมขึ้นซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของปรัชญาคณิตศาสตร์ปรัชญานี้ซึ่งในตอนแรกยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างถ่องแท้ กล่าวว่า เพื่อให้ข้อความทางคณิตศาสตร์เป็นจริงสำหรับนักคณิตศาสตร์ บุคคลนั้นจะต้องสามารถหยั่งรู้ข้อความนั้นได้ ไม่เพียงแต่เชื่อในความจริงของมันเท่านั้น แต่ยังต้องเข้าใจเหตุผลของความจริงนั้นด้วย ผลที่ตามมาของนิยามความจริงนี้คือการปฏิเสธกฎแห่งการยกเว้นตรงกลางเพราะมีข้อความที่ตามที่บราวเวอร์กล่าวไว้ ไม่สามารถอ้างได้ว่าเป็นจริง ในขณะที่ข้อความปฏิเสธของข้อความนั้นก็ไม่สามารถอ้างได้ว่าเป็นจริงเช่นกัน ปรัชญาของบราวเวอร์มีอิทธิพลอย่างมาก และเป็นสาเหตุของข้อพิพาทที่รุนแรงในหมู่นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง คลีนและไครเซลได้ศึกษาเวอร์ชันที่เป็นทางการของตรรกะสัญชาตญาณนิยมในภายหลัง (บราวเวอร์ปฏิเสธการทำให้เป็นทางการ และนำเสนองานของเขาในภาษาธรรมชาติที่ไม่เป็นทางการ) ด้วยการเกิดขึ้นของการตีความ BHKและแบบจำลองคริปเก ปรัชญาสัญชาตญาณนิยมจึงสามารถเข้ากันได้กับคณิตศาสตร์คลาสสิกได้ง่ายขึ้น

• การโต้แย้ง
• ตรรกะแบบไม่เป็นทางการ
• ตรรกะสากล
• การนำเสนอความรู้และการให้เหตุผล
• รายการหัวข้อเกี่ยวกับความสามารถในการคำนวณและความซับซ้อน
• รายชื่อทฤษฎีอันดับแรก
• รายการสัญลักษณ์ตรรกะ
• รายชื่อหัวข้อตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์
• รายชื่อหัวข้อทฤษฎีเซต
• เมเรโอโลยี

• "ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ตรรกะพหุค่าและตรรกะความสัมพันธ์เชิงปริมาณ
• forall x: บทนำสู่ตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมหนังสือเรียนฟรีโดย PD Magnus
• หนังสือเรียนฟรี " A Problem Course in Mathematical Logic" โดย Stefan Bilaniuk
• Detlovs, Vilnis และ Podnieks, Karlis (มหาวิทยาลัยลัตเวีย), Introduction to Mathematical Logic (ไฮเปอร์ตำรา)
• ในสารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด :

  ตรรกศาสตร์คลาสสิกโดยสจ๊วร์ต ชาปิโร

  ทฤษฎีแบบจำลองลำดับที่หนึ่งโดยวิลฟรีด ฮอดจ์ส

• ในเอกสารLondon Philosophy Study Guide ที่เก็บถาวรเมื่อวันที่ 25 พฤศจิกายน 2005 ในWayback Machine :

  ตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 25 มกราคม 2009 ที่Wayback Machine

  ทฤษฎีเซตและตรรกศาสตร์เพิ่มเติมถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 27 กุมภาพันธ์ 2009 ที่Wayback Machine

  ปรัชญาคณิตศาสตร์ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 20 มิถุนายน 2009 ที่Wayback Machine

• ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์ ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ของศาสตราจารย์เจฟฟ์ ปารีส (เอกสารประกอบการเรียนและบทความที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์)