บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เชิงเทคนิคสำหรับลอการิทึม กรณีที่ไม่มีฐานกำกับ ควรตีความว่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งมักเขียนว่าหรือ เช่น กัน${\displaystyle \log(x)}$${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle \log _{e}(x)}$

ในทฤษฎีจำนวน ฟังก์ชันเลขคณิต ฟังก์ชัน เชิงเลขคณิตหรือฟังก์ชันเชิงทฤษฎีจำนวน[ ^{1 ] [ 2 ] โดย}ทั่วไปคือฟังก์ชัน ใดๆ ที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกและมีเรนจ์เป็นเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อน^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Hardy & Wright ได้รวมข้อกำหนดไว้ในคำจำกัดความของพวกเขาว่าฟังก์ชันเลขคณิต "แสดงคุณสมบัติทางเลขคณิตบางอย่างของn " ^{[ 6 ]}มีฟังก์ชันเชิงทฤษฎีจำนวนอีกกลุ่มใหญ่ที่ไม่ตรงกับคำจำกัดความนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะบทความนี้มีลิงก์ไปยังฟังก์ชันทั้งสองกลุ่ม

ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์คือฟังก์ชันตัวหาร ซึ่งค่า ของ ฟังก์ชันนี้ที่จำนวนเต็มบวกnจะเท่ากับจำนวนตัวหารของn

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มักมีรูปแบบไม่สม่ำเสมออย่างมาก (ดูตาราง ) แต่บางฟังก์ชันก็มีการขยายอนุกรมในรูปผลรวมของรามานุจัน

ฟังก์ชันเลขคณิตaคือ

• มีคุณสมบัติการบวกอย่างสมบูรณ์หาก a ( mn ) = a ( m ) + a ( n )สำหรับจำนวนธรรมชาติ mและ n ทุกตัว
• เป็นการคูณอย่างสมบูรณ์หาก a (1) = 1 และ a ( mn ) = a ( m ) a ( n )สำหรับจำนวนธรรมชาติ mและ n ทั้งหมด

จำนวนเต็มสองจำนวนmและnเรียกว่าเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันถ้าตัวหารร่วมมากที่สุด ของทั้ง สองจำนวนคือ 1 นั่นคือ ไม่มีจำนวนเฉพาะใดที่หารทั้งสองจำนวนลงตัว

ดังนั้นฟังก์ชันเลขคณิตaคือ

• เป็นแบบบวกถ้า a ( mn ) = a ( m ) + a ( n )สำหรับจำนวนธรรมชาติ mและ n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ทั้งหมด
• เป็นแบบทวีคูณหาก a (1) = 1 และ a ( mn ) = a ( m ) a ( n )สำหรับจำนวนธรรมชาติ mและ n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ทั้งหมด

ในบทความนี้และหมายความว่าผลรวมหรือผลคูณนั้นครอบคลุมจำนวนเฉพาะ ทั้งหมด และ ใน ทำนองเดียวกันและหมายความว่าผลรวมหรือผลคูณนั้นครอบคลุมกำลังของจำนวนเฉพาะ ทั้งหมด ที่มีเลขชี้กำลังเป็นบวกอย่างเคร่งครัด (ดังนั้นk = 0จึงไม่รวมอยู่ด้วย): ${\textstyle \sum _{p}f(p)}$${\textstyle \prod _{p}f(p)}$$${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$$$${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .}$$${\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$${\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$$${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .}$$

สัญลักษณ์และหมายความว่าผลรวมหรือผลคูณนั้นครอบคลุมตัวหารบวกทั้งหมดของnรวมถึง 1 และn ด้วย ตัวอย่างเช่น ถ้าn = 12แล้ว ${\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)}$${\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)}$$${\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}$$

สัญลักษณ์เหล่านี้สามารถใช้ร่วมกันได้: และหมายความว่าผลรวมหรือผลคูณนั้นคำนวณจากตัวหารเฉพาะทั้งหมดของnตัวอย่างเช่น ถ้าn = 18 แล้ว และในทำนองเดียวกันและหมายความว่าผลรวมหรือผลคูณนั้นคำนวณจากกำลังเฉพาะทั้งหมดที่หารn ลงตัว ตัวอย่างเช่น ถ้าn = 24 แล้ว ${\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)}$${\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)}$$${\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),}$$${\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$${\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$$${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}$$

ทฤษฎีบทพื้นฐานทางเลขคณิตกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกn ใดๆ สามารถแทนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปผลคูณของกำลังของจำนวนเฉพาะโดยที่ p ₁ < p ₂ < ... < p _kเป็นจำนวนเฉพาะ และa _jเป็นจำนวนเต็มบวก (1 คือผลคูณว่าง) ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$

โดยทั่วไปแล้ว การเขียนสิ่งนี้ให้เป็นผลคูณอนันต์เหนือจำนวนเฉพาะทั้งหมดจะสะดวกกว่า โดยที่จำนวนเฉพาะเกือบทั้งหมดจะมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ กำหนดค่าp -adic ν _p ( n )ให้เป็นเลขชี้กำลังของกำลังสูงสุดของจำนวนเฉพาะpที่หารn ลงตัว นั่นคือ ถ้าpเป็นหนึ่งในp _iแล้วν _p ( n ) = a _iมิฉะนั้นจะเป็นศูนย์ ดังนั้น $${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}$$

ในแง่ของข้างต้นฟังก์ชันโอเมก้าเฉพาะωและ Ω ถูกกำหนดโดย

เพื่อหลีกเลี่ยงการกล่าวซ้ำ สูตรสำหรับฟังก์ชันที่ระบุไว้ในบทความนี้ จะถูกนำเสนอในรูปของn และ p _i , a _i , ωและ Ω ที่เกี่ยวข้อง whenever possible

σ _k ( n )คือผลรวมของ กำลังที่ kของตัวหารบวกของ nซึ่งรวมถึง 1 และ nโดยที่ kเป็นจำนวนเชิงซ้อน

σ ₁ ( n )ซึ่งเป็นผลรวมของตัวหาร (บวก) ของ nมักจะใช้สัญลักษณ์ σ ( n )แทน

เนื่องจากจำนวนบวกยกกำลังศูนย์มีค่าเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น σ ₀ ( n )จึงเป็นจำนวนตัวหาร (บวก) ของnซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์d ( n )หรือτ ( n ) (สำหรับภาษาเยอรมันTeiler = ตัวหาร)

$${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$$

การกำหนดให้k = 0 ในผลคูณที่สองจะได้ $${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$$

φ ( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ คือจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่ไม่มากกว่าnจำนวน เฉพาะสัมพัทธ์กับn$${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$$

J _k ( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชันโทเทียนต์ของจอร์แดน คือจำนวนของk-tuple ของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับnซึ่งประกอบกันเป็น coprime (k+ 1)-tuple ร่วมกับnโดยเป็นการขยายความของโทเทียนต์ของออยเลอร์φ ( n ) = J ₁ ( n )$${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$$

μ ( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชันโมเบียส มีความสำคัญเนื่องจากการผกผันของโมเบียสดู § การสังเคราะห์แบบดิริชเลต์ด้านล่าง $${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$$

ซึ่งหมายความว่าμ (1) = 1 (เนื่องจาก Ω(1) = ω (1) = 0)

τ ( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชันเทาของรามานุจัน ถูกกำหนดโดยเอกลักษณ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิด: $${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$$

แม้ว่าจะยากที่จะบอกได้อย่างแน่ชัดว่า "คุณสมบัติทางเลขคณิตของn " นั้น "แสดง" อย่างไร ^{[ 7 ]} ( τ ( n ) คือ (2 π ) ⁻¹²เท่าของ สัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ลำดับที่ nในการขยายqของ ฟังก์ชัน ดิสคริมิแนนต์แบบโมดูลาร์ ) ^{[ 8 ]}มันถูกรวมอยู่ในฟังก์ชันทางเลขคณิตเพราะมันเป็นแบบคูณและมันปรากฏในเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับ ฟังก์ชัน σ _k ( n ) และr _k ( n ) บางอย่าง (เพราะสิ่งเหล่านี้เป็นสัมประสิทธิ์ในการขยายรูปแบบโมดูลาร์ ด้วย )

c _q ( n )ผลรวมของรามานุจัน คือผลรวมของnที่qดั้งเดิมของเอกภาพ: $${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$$

ถึงแม้ว่าจะถูกนิยามว่าเป็นผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน (ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับค่าq ส่วนใหญ่ ) แต่มันก็เป็นจำนวนเต็ม สำหรับค่าn ที่กำหนดไว้ มันจะสามารถคูณกับq ได้ :

ถ้าqและrเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันแล้ว${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

ฟังก์ชันไซของเดเดคินด์ (Dedekind psi function)ซึ่งใช้ในทฤษฎีฟังก์ชันมอดูลาร์ (modular functions ) ถูกกำหนดโดยสูตรดังนี้ $${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$$

λ ( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชัน Liouville ถูกกำหนดโดย $${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$$

อักขระ Dirichlet χ ( n )ทั้งหมดเป็นแบบคูณสมบูรณ์ อักขระสองตัวมีสัญลักษณ์พิเศษ:

อักขระหลัก (mod n )จะถูกแทนด้วยχ ₀ ( a ) (หรือχ ₁ ( a )) โดยนิยามดังนี้ $${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$$

อักขระกำลังสอง (mod n )จะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ Jacobiสำหรับn ที่เป็นเลขคี่ (ไม่นิยามสำหรับn ที่เป็นเลขคู่ ): $${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$$

ในสูตรนี้คือสัญลักษณ์เลอจองเดอร์ซึ่งกำหนดไว้สำหรับจำนวนเต็มa ทุกตัว และจำนวนเฉพาะคี่p ทุกตัว โดย ${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$$${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}$$

ตามธรรมเนียมปกติสำหรับผลิตภัณฑ์ที่ว่างเปล่า${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

ω ( n )ซึ่งนิยามไว้ข้างต้นว่าเป็นจำนวนของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันซึ่งหาร n ลงตัวนั้น มีคุณสมบัติการบวก (ดูฟังก์ชันโอเมก้าของจำนวนเฉพาะ )

Ω( n )ซึ่งนิยามไว้ข้างต้นว่าเป็นจำนวนตัวประกอบเฉพาะของ n โดย นับรวมความซ้ำซ้อนด้วยนั้น มีคุณสมบัติการบวกอย่างสมบูรณ์ (ดูฟังก์ชันโอเมก้าของตัวประกอบเฉพาะ )

สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่กำหนดไว้ν p ( _n ) ซึ่งนิยามไว้ข้างต้นว่าเป็นเลขชี้กำลังของกำลังสูงสุดของpที่หารn ลงตัว จะสามารถบวกได้อย่างสมบูรณ์

${\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$โดยที่คือ อนุพันธ์เลขคณิต${\displaystyle D(n)}$

ฟังก์ชันสำคัญเหล่านี้ (ซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์) ถูกกำหนดขึ้นสำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ และใช้ในข้อความและการพิสูจน์ต่างๆ ของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันผลรวม (ดูส่วนหลักด้านล่าง) ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช่ทั้งฟังก์ชันการคูณและการบวก

π ( x ) ซึ่งเป็นฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะคือจำนวนของจำนวนเฉพาะที่ไม่เกินxโดยเป็นฟังก์ชันผลรวมของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของจำนวนเฉพาะ $${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$$

ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องจะนับกำลังของจำนวนเฉพาะ โดยให้น้ำหนัก 1 สำหรับจำนวนเฉพาะ 1/2 สำหรับกำลังสองของจำนวนเฉพาะ 1/3 สำหรับกำลังสามของจำนวนเฉพาะ เป็นต้น ฟังก์ชันนี้คือฟังก์ชันผลรวมของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ซึ่งให้ค่า 1/ kกับจำนวนเต็มที่เป็น กำลังที่ kของจำนวนเฉพาะบางจำนวน และให้ค่า 0 กับจำนวนเต็มอื่นๆ $${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$$

ϑ ( x ) และψ ( x ) ซึ่งเป็น ฟังก์ชันเชบิเชฟถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนเฉพาะที่ไม่เกินx$${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$$$${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$$

ฟังก์ชันเชบีเชฟตัวที่สองψ ( x ) คือฟังก์ชันผลรวมของฟังก์ชันฟอน มังโกลด์ที่อยู่ด้านล่าง

Λ( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชันของฟอน มังโกลด์ มีค่าเป็น 0 เว้นแต่ว่าตัวแปร nจะเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะ p ^k ซึ่งในกรณีนี้ Λ (n) จะเป็นลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนเฉพาะ p$${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}$$

p ( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชันแบ่งส่วน คือจำนวนวิธีในการแสดงnเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก โดยที่การแสดงสองแบบที่มีตัวบวกเหมือนกันแต่เรียงลำดับต่างกันจะไม่นับว่าแตกต่างกัน $${\displaystyle p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.}$$

λ ( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชันของคาร์ไมเคิล คือจำนวนบวกที่เล็กที่สุดที่ทำให้   สำหรับทุกaที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับnหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของอันดับของสมาชิกในกลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอดูล n ${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$

สำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะคี่และสำหรับ 2 และ 4 นั้นλ ( n ) จะเท่ากับฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ของn ;สำหรับกำลังของ 2 ที่มากกว่า 4 นั้น จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ของn และ สำหรับn ทั่วไป นั้น จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยที่สุดของλของตัวประกอบกำลังเฉพาะของn แต่ละตัว$${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$$$${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$$

h ( n )ซึ่งเป็นฟังก์ชันจำนวนชั้น คืออันดับของกลุ่มชั้นอุดมคติของการขยายเชิงพีชคณิตของจำนวนตรรกยะที่มีดิสครีมิแนนต์nสัญลักษณ์นี้มีความกำกวม เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วมีการขยายหลายแบบที่มีดิสครีมิแนนต์เดียวกัน ดูตัวอย่างคลาสสิกได้จาก ฟิลด์กำลังสองและฟิลด์ไซโคลโทมิก

r _k ( n )คือจำนวนวิธีที่nในรูปผลรวมของkตัว โดยที่การแสดงผลที่แตกต่างกันเฉพาะในลำดับของตัวบวกหรือในเครื่องหมายของรากที่สองจะถือว่าแตกต่างกัน $${\displaystyle r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|}$$

เมื่อใช้สัญลักษณ์ Heavisideสำหรับอนุพันธ์อนุพันธ์เลขคณิตD ( n ) คือฟังก์ชันที่

• ${\displaystyle D(n)=1}$ถ้าnเป็นจำนวนเฉพาะ และ
• ${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$( กฎผลคูณ )

กำหนดให้ฟังก์ชันเลขคณิตa ( n ) ฟังก์ชันผลรวมA ( x ) ของฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดโดย Aสามารถถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริง เมื่อกำหนดจำนวนเต็มบวกmแล้วAจะมีค่าคงที่ในช่วงเปิดm < x < m + 1 และจะมีค่าไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดที่จำนวนเต็มแต่ละค่าที่a ( m ) ≠ 0 $${\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}$$

เนื่องจากฟังก์ชันดังกล่าวส่วนใหญ่มักแสดงด้วยอนุกรมและปริพันธ์ เพื่อให้เกิดการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด จึงมักกำหนดค่า ณ จุดที่ไม่ต่อเนื่องเป็นค่าเฉลี่ยของค่าทางด้านซ้ายและด้านขวา: $${\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}$$

ค่าแต่ละค่าของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อาจผันผวนอย่างมาก ดังเช่นในตัวอย่างส่วนใหญ่ข้างต้น ฟังก์ชันผลรวมจะช่วย "ลดความผันผวน" เหล่านี้ ในบางกรณี อาจสามารถหาพฤติกรรมเชิงอะซิ้มโทติกของฟังก์ชันผลรวมสำหรับค่าx ที่มาก ได้

ตัวอย่างคลาสสิกของปรากฏการณ์นี้^{[ 9 ]}ได้รับจากฟังก์ชันผลรวมตัวหารฟังก์ชันผลรวมของd ( n ) จำนวนตัวหารของn : $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.}$$

ฟังก์ชันอันดับเฉลี่ยของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์คือฟังก์ชันที่เรียบง่ายกว่าหรือเข้าใจได้ดีกว่า ซึ่งมีฟังก์ชันผลรวมแบบเชิงเส้นกำกับเหมือนกัน และดังนั้นจึงมีค่าเฉลี่ยเท่ากัน เรากล่าวว่า gเป็นฟังก์ชันอันดับเฉลี่ยของf ถ้า $${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$$

เมื่อxเข้าใกล้อินฟินิตี้ ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นว่าd ( n ) มีลำดับเฉลี่ย log( n ) ^{[ 10 ]}

กำหนดให้ฟังก์ชันเลขคณิตa ( n ) ให้F _a ( s ) สำหรับจำนวนเชิงซ้อนsเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยอนุกรม Dirichlet ที่สอดคล้องกัน (ซึ่งลู่เข้า ): ^{[ 11 ]} F _a ( s ) เรียกว่าฟังก์ชันก่อกำเนิดของa ( n ) อนุกรมที่ง่ายที่สุดดังกล่าว ซึ่งสอดคล้องกับฟังก์ชันคงที่a ( n ) = 1 สำหรับทุกnคือζ ( s ) ฟังก์ชันซีตา ของ Riemann$${\displaystyle F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดของฟังก์ชันโมเบียสคือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันซีตา: $${\displaystyle \zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;\Re s>1.}$$

พิจารณาฟังก์ชันเลขคณิตสองฟังก์ชันaและbและฟังก์ชันก่อกำเนิดของแต่ละฟังก์ชันF _a ( s ) และF _b ( s ) ผลคูณF _a ( s ) F _b ( s ) สามารถคำนวณได้ดังนี้: $${\displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}$$

การแสดงให้เห็นว่าถ้า c ( n ) ถูกกำหนดโดย แล้วนั้นเป็นแบบฝึกหัดที่ตรงไปตรงมา$${\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),}$$$${\displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}$$

ฟังก์ชันc นี้ เรียกว่าการสังเคราะห์แบบ Dirichletของaและbและใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle a*b}$

กรณีที่สำคัญเป็นพิเศษคือการสังเคราะห์ร่วมกับฟังก์ชันคงที่a ( n ) = 1 สำหรับทุกnซึ่งสอดคล้องกับการคูณฟังก์ชันก่อกำเนิดด้วยฟังก์ชันซีตา: $${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$$

การคูณด้วยฟังก์ชันซีตาผกผันจะได้ สูตร การผกผันของโมเบีย ส : $${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$$

ถ้าfเป็นฟังก์ชันทวีคูณg ก็เป็นฟังก์ชันทวีคูณเช่นกัน ถ้าfเป็นฟังก์ชันทวีคูณโดยสมบูรณ์g ก็ เป็นฟังก์ชันทวีคูณด้วย แต่ g อาจจะเป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชันทวีคูณโดยสมบูรณ์ก็ได้

มีสูตรมากมายที่เชื่อมโยงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เข้าด้วยกัน และเชื่อมโยงกับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์วิเคราะห์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกำลัง ราก และฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม หน้า " เอกลักษณ์ผลรวมตัว หาร " ยังมีตัวอย่างทั่วไปและตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อีกมากมาย

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน:

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}$     โดยที่λคือฟังก์ชัน Liouville ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}$      ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$       การผกผันโมเบียส

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}J_{k}(\delta )=n^{k}.}$      ^{[ 14 ]}

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$       การผกผันโมเบียส

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$      ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}$      ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}$      ^{[ 18 ]}

${\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}$       การผกผันโมเบียส

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}$      

${\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}$       การผกผันโมเบียส

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}$       การผกผันโมเบียส

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}$     โดยที่ λ คือฟังก์ชันLiouville

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}$      ^{[ 19 ]}

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}$       การผกผันโมเบียส

สำหรับทุกกรณี     ( ทฤษฎีบทกำลังสองของลากรองจ์ ) ${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}$^{[ 20 ]}

โดยที่สัญลักษณ์โครเนกเกอร์มีค่าต่างๆ

${\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}$

มีสูตรสำหรับr ₃ในส่วนเกี่ยวกับหมายเลขชั้นเรียนด้านล่าง โดยที่ν = ν ₂ ( n ) .     ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} โดยที่^{[ 24 ]}$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$$$${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}$$${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}$

กำหนดฟังก์ชันσ _k ^* ( n )เป็น^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

กล่าวคือ ถ้าnเป็นจำนวนคี่σ _k ^* ( n )จะเป็นผลรวมของ กำลังที่ kของตัวหารของnนั่นคือσ _k ( n )และถ้าnเป็นจำนวนคู่ มันจะเป็นผลรวมของ กำลังที่ kของตัวหารคู่ของnลบด้วยผลรวมของ กำลังที่ kของตัวหารคี่ของ n

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$    ^{[ 24 ] [ 26 ]}

ยึดถือตามหลักการที่ว่าτ ( x ) ของ Ramanujan = 0ถ้าxไม่ใช่จำนวนเต็ม

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$    ^{[ 27 ]}

ในที่นี้ "การสังเคราะห์" ไม่ได้หมายถึง "การสังเคราะห์แบบดิริชเลต์" แต่หมายถึงสูตรสำหรับสัมประสิทธิ์ของผลคูณของอนุกรมกำลังสองชุด :

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

ลำดับนี้เรียกว่าการสังเคราะห์หรือผลคูณโคชีของลำดับa _nและb _nสูตรเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์ (ดูอนุกรม ไอเซนสไตน์ ) หรือด้วยวิธีพื้นฐาน^{[ 28 ]}${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$

${\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}$    ^{[ 29 ]}

${\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}$    ^{[ 30 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}$    ^{[ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}$    ^{[ 29 ] [ 32 ]}

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$     โดยที่τ ( n ) คือฟังก์ชันของ Ramanujan     ^{[ 33 ] [ 34 ]}

เนื่องจากσ _k ( n ) (สำหรับจำนวนธรรมชาติk ) และτ ( n ) เป็นจำนวนเต็ม สูตรข้างต้นจึงสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ความสอดคล้อง^{[ 35 ]}สำหรับฟังก์ชัน ดูฟังก์ชันเทาของรามานุจันสำหรับตัวอย่างบางส่วน

ขยายโดเมนของฟังก์ชันพาร์ติชันโดยตั้งค่าp (0) = 1

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}$    ^{[ 36 ]}   การเกิดซ้ำนี้สามารถใช้คำนวณp(n)

Peter Gustav Lejeune Dirichletค้นพบสูตรที่เชื่อมโยงจำนวนชั้นhของฟิลด์จำนวนกำลังสองกับสัญลักษณ์ Jacobi ^{[ 37 ]}

จำนวนเต็มDเรียกว่าดิสคริมิแนนต์พื้นฐานหากเป็นดิสคริมิแนนต์ของฟิลด์จำนวนกำลังสอง ซึ่งเทียบเท่ากับD ≠ 1 และ a) Dเป็นจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองและD ≡ 1 (mod 4) หรือ b) D ≡ 0 (mod 4), D /4 เป็นจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง และD /4 ≡ 2 หรือ 3 (mod 4) ^{[ 38 ]}

ขยายสัญลักษณ์ Jacobi ให้สามารถรับจำนวนคู่ใน "ตัวส่วน" ได้ โดยการกำหนดสัญลักษณ์ Kronecker : $${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}$$

ถ้าD < −4 เป็นตัวแยกแยะพื้นฐาน^{[ 39 ] [ 40 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ยังมีสูตรที่เชื่อมโยงr ₃และhอีกด้วย ให้Dเป็นตัวแยกแยะพื้นฐานD < −4 จากนั้น^{[ 41 ]}$${\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}$$

ให้   เป็นจำนวนฮาร์มอนิกที่nแล้ว ${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}$   เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติn ทุกจำนวน ก็ต่อเมื่อสมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง     ^{[ 42 ]}

สมมติฐานของรีมันน์ยังเทียบเท่ากับข้อความที่ว่า สำหรับทุกn > 5040 (โดยที่ γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี ) นี่คือทฤษฎีบทของโรบิน $${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$$

${\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$    ^{[ 43 ]}

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$    ^{[ 44 ]}

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$    ^{[ 45 ]}

${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}$    ^{[ 46 ]}

เมื่อปี พ.ศ. 2508 พี. เกศวา เมนอนได้พิสูจน์^{[ 47 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}$$

แนวคิดนี้ได้รับการสรุปโดยทั่วไปโดยนักคณิตศาสตร์หลายคน ตัวอย่างเช่น

• บี. ซูรี^{[ 48 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$$
• N. Rao ^{[ 49 ]} โดยที่a ₁ , a ₂ , ..., a _sเป็นจำนวนเต็ม gcd( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$$
• László Fejes Tóth ^{[ 50 ]} โดยที่m ₁และm ₂เป็นเลขคี่, m = lcm( m ₁ , m ₂ )$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$$

ในความเป็นจริง หากfเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ใดๆ^{[ 51 ] [ 52 ]} โดยที่หมายถึงการสังเคราะห์แบบ Dirichlet $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$$${\displaystyle *}$

ให้mและnเป็นจำนวนคี่ที่แตกต่างกันและเป็นบวก แล้วสัญลักษณ์ Jacobi จะสอดคล้องกับกฎการแลกเปลี่ยนกำลังสอง : $${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}$$

ให้D ( n ) เป็นอนุพันธ์เลขคณิต จากนั้นอนุพันธ์ลอการิทึมดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ อนุพันธ์เลขคณิต$${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.}$$

ให้λ ( n ) เป็นฟังก์ชันของ Liouville แล้ว

${\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}$     และ

${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}$    

ให้λ ( n ) เป็นฟังก์ชันของคาร์ไมเคิล จากนั้น

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}$     ไกลออกไป,

${\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}$

ดูกลุ่มตัวคูณของจำนวนเต็มมอดูล nและรากปฐมภูมิมอดูล n  

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}$    ^{[ 53 ] [ 54 ]}

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}$    ^{[ 55 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}$    ^{[ 56 ]}     โปรดทราบว่า   ^{[ 57 ]}${\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}$    

${\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}$

${\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}$    ^{[ 58 ]}   เปรียบเทียบสิ่งนี้กับ1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}$    ^{[ 59 ]}

${\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}$    ^{[ 60 ]}

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$     โดยที่τ ( n ) คือฟังก์ชันของ Ramanujan     ^{[ 61 ]}