สำหรับปริพันธ์รีมันน์ทฤษฎีบทของฟูบินีได้รับการพิสูจน์โดยการปรับปรุงพาร์ติชันตาม แกน xและ แกน yเพื่อสร้างพาร์ติชันร่วมในรูปแบบ[ x , x ] × [ y , y ]ซึ่งเป็นพาร์ติชันเหนือX × Yสิ่งนี้ใช้เพื่อแสดงว่าปริพันธ์สองชั้นของอันดับใด ๆ ก็ตามเท่ากับปริพันธ์เหนือX × Y

สมมติว่าXคือช่วงหน่วยที่มีเซตที่วัดได้แบบเลเบสและมาตรวัดแบบเลเบส และYคือช่วงหน่วยที่มีเซตย่อยทั้งหมดที่วัดได้และมาตรวัดการนับดังนั้นY จึง ไม่ใช่ปริภูมิจำกัดแบบ σ ถ้าfคือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเส้นทแยงมุมของX × YการอินทิเกรตfตามXจะให้ ฟังก์ชัน 0บนYแต่การอินทิเกรตfตามYจะให้ฟังก์ชัน1บนXดังนั้น อินทิกรัลซ้ำทั้งสองจึงแตกต่างกัน นี่แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของ Tonelli อาจล้มเหลวสำหรับปริภูมิที่ไม่ใช่ปริภูมิจำกัดแบบ σ ไม่ว่าเราจะเลือกมาตรวัดผลคูณแบบใดก็ตาม มาตรวัดทั้งสองสามารถแยกส่วนได้ซึ่งแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของ Tonelli ล้มเหลวสำหรับมาตรวัดที่แยกส่วนได้ (ซึ่งมีความทั่วไปมากกว่ามาตรวัดจำกัดแบบ σ เล็กน้อย)

ทฤษฎีบทของฟูบินีใช้ได้กับปริภูมิถึงแม้ว่าจะไม่ได้สมมติว่าเป็นปริภูมิจำกัด σ ก็ตาม ตราบใดที่ใช้การวัดผลคูณสูงสุด ในตัวอย่างข้างต้น สำหรับการวัดผลคูณสูงสุด เส้นทแยงมุมมีการวัดเป็นอนันต์ ดังนั้นปริพันธ์สองชั้นของ| f |จึงเป็นอนันต์ และทฤษฎีบทของฟูบินีจึงเป็นจริงโดยปริยาย

อย่างไรก็ตาม ถ้าเรากำหนดให้X × Yเป็นมาตรวัดผลคูณ โดยที่มาตรวัดของเซตคือผลรวมของมาตรวัดเลเบสของส่วนตัดแนวนอนของเซตนั้นแล้ว อินทิกรัลสองชั้นของ| f |จะเป็นศูนย์ แต่ค่าอินทิกรัลซ้ำทั้งสองค่าก็ยังคงต่างกันอยู่ นี่เป็นตัวอย่างของมาตรวัดผลคูณที่ทฤษฎีบทของฟูบินีใช้ไม่ได้

นี่เป็นตัวอย่างของการวัดผลคูณสองแบบที่แตกต่างกันบนผลคูณเดียวกันของปริภูมิการวัดสองปริภูมิ สำหรับผลคูณของปริภูมิการวัด σ-finite สองปริภูมิ จะมีการวัดผลคูณเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

สมมติว่าXเป็นลำดับขั้นที่นับไม่ได้ตัวแรก ที่มีมาตรวัดจำกัด โดยที่เซตที่วัดได้นั้นเป็นเซตที่นับได้ (มีมาตรวัด 0) หรือเซตที่มีส่วนเติมเต็มที่นับได้ (มีมาตรวัด 1) เซตย่อยE (ที่วัดไม่ได้) ของX × Xที่กำหนดโดยคู่( x , y )โดยที่x < yนั้น นับได้บนทุกเส้นแนวนอนและมีส่วนเติมเต็มที่นับได้บนทุกเส้นแนวตั้ง ถ้าfเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของEแล้วปริพันธ์ซ้ำสองตัวของfจะถูกกำหนดและมีค่าต่างกันคือ 1 และ 0 ฟังก์ชันfนั้นวัดไม่ได้ นี่แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของ Tonelli อาจใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันที่วัดไม่ได้

ตัวอย่างที่แตกต่างไปจากตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของฟูบินีอาจใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันที่ไม่สามารถวัดได้ แม้ว่า| f |จะหาปริพันธ์ได้ และปริพันธ์ซ้ำทั้งสองจะนิยามได้ดีก็ตาม กล่าวคือ ถ้าเรากำหนดให้fมีค่าเป็น 1 บนEและ –1 บนส่วนเติมเต็มของEแล้ว| f |จะหาปริพันธ์ได้บนผลคูณที่มีปริพันธ์เป็น 1 และปริพันธ์ซ้ำทั้งสองจะนิยามได้ดี แต่มีค่าต่างกันคือ 1 และ –1

Wacław Sierpińskiแสดงให้เห็นว่าภายใต้สมมติฐานความต่อเนื่อง เราสามารถระบุXกับช่วงหน่วยIได้ ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบที่มีขอบเขตบนI × Iซึ่งปริพันธ์ซ้ำสองรายการ (โดยใช้การวัดแบบ Lebesgue) ต่างก็ถูกกำหนดแต่ไม่เท่ากัน^{[ 8 ]}ทฤษฎีบทของ Fubini เวอร์ชันที่แข็งแกร่งกว่าเกี่ยวกับผลคูณของช่วงหน่วยสองช่วงที่มีการวัดแบบ Lebesgue ซึ่งฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องวัดได้อีกต่อไป แต่เพียงแค่ปริพันธ์ซ้ำสองรายการถูกกำหนดไว้อย่างดีและมีอยู่จริงนั้น เป็นอิสระจากสัจพจน์ Zermelo–Fraenkel มาตรฐาน ของทฤษฎีเซตที่มีสัจพจน์ของการเลือก (ZFC) สมมติฐานความต่อเนื่องและสัจพจน์ของมาร์ตินต่างก็บ่งชี้ว่ามีฟังก์ชันบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยซึ่งปริพันธ์ซ้ำไม่เท่ากัน ในขณะที่ฮาร์วีย์ ฟรีดแมนแสดงให้เห็นว่าสอดคล้องกับZFCที่ทฤษฎีบทประเภทฟูบินีที่แข็งแกร่งสำหรับ[ 0, 1 ]เป็นจริง และเมื่อใดก็ตามที่ปริพันธ์ซ้ำสองตัวมีอยู่ พวกมันจะเท่ากัน^{[ 9 ]}

ทฤษฎีบทของฟูบินีกล่าวว่า (สำหรับฟังก์ชันที่วัดได้บนผลคูณของปริภูมิการวัดแบบ σ-จำกัด) ถ้าปริพันธ์ของค่าสัมบูรณ์มีค่าจำกัด ลำดับของการอินทิเกรตจะไม่สำคัญ กล่าวคือ ถ้าเราอินทิเกรตก่อนเทียบกับxแล้วเทียบกับyเราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันกับถ้าเราอินทิเกรตก่อนเทียบกับyแล้วเทียบกับxข้อสมมติที่ว่าปริพันธ์ของค่าสัมบูรณ์มีค่าจำกัดคือ " ความสามารถในการอินทิเกรตแบบเลเบส " และหากไม่มีข้อสมมตินี้ ปริพันธ์ที่ทำซ้ำสองครั้งอาจมีค่าต่างกันได้

ตัวอย่างง่ายๆ ที่แสดงให้เห็นว่าปริพันธ์ซ้ำสามารถแตกต่างกันได้โดยทั่วไป คือ การกำหนดให้ปริภูมิการวัดทั้งสองเป็นจำนวนเต็มบวก และกำหนดให้ฟังก์ชันf ( x , y )มีค่าเป็น1ถ้าx = y , -1ถ้าx = y + 1และ0ในกรณีอื่นๆ จากนั้นปริพันธ์ซ้ำทั้งสองจะมีค่าต่างกันคือ0และ1

อีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับฟังก์ชันมีดังต่อไปนี้ $${\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\,\partial y}}\arctan(y/x).}$$

อินทิกรัลที่ทำซ้ำ มีค่าต่างกัน อินทิกรัลสองชั้นที่สอดคล้องกันไม่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อินทิกรัลของค่าสัมบูรณ์ไม่ใช่ค่าจำกัด): $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x&={\frac {\pi }{4}}\\\int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,\mathrm {d} x\right)\,\mathrm {d} y&=-{\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right|\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\infty .}$$

สำหรับผลคูณของปริพันธ์สองตัวที่มีขีดจำกัดล่างเป็นศูนย์และขีดจำกัดบนร่วมกัน เราจะได้สูตรดังต่อไปนี้:

ให้V ( x )และW ( x )เป็นฟังก์ชันดั้งเดิมของฟังก์ชันv ( x )และw ( x )ตามลำดับ ซึ่งผ่านจุดกำเนิด: $${\displaystyle \int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x=V(u),\quad \quad \int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x=W(u).}$$

ดังนั้น เราจึงมี $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=V(u)W(u)}$$

ตามกฎการคูณ อนุพันธ์ของฝั่งขวามือคือ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[V(x)W(x)\right]=V(x)w(x)+v(x)W(x)}$$

และด้วยการบูรณาการ เราจึงได้: $${\displaystyle \int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x=V(u)W(u)}$$

ดังนั้น จากสมการตั้งแต่เริ่มต้น เราจะได้: $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}V(x)w(x)+v(x)W(x)\,\mathrm {d} x}$$

ต่อไปนี้ เราจะแนะนำพารามิเตอร์การอินทิเกรตตัวที่สองyเพื่ออธิบายอนุพันธ์ผกผันV ( x )และW ( x ) : $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y&=\left[V(xy)\right]_{y=0}^{y=1}&&=V(x)\\\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y&=\left[W(xy)\right]_{y=0}^{y=1}&&=W(x)\end{alignedat}}}$$

โดยการแทรก จะได้อินทิกรัลสองชั้น: $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}\left[\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,\mathrm {d} y\right]w(x)+v(x)\left[\int _{0}^{1}x\,w(xy)\,\mathrm {d} y\right]\,\mathrm {d} x}$$

ฟังก์ชันที่ไม่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์การอินทิเกรตที่เกี่ยวข้อง สามารถนำเข้าสู่ฟังก์ชันภายในได้ในรูปแบบของแฟกเตอร์: $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}\left[\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)\,\mathrm {d} y\right]+\left[\int _{0}^{1}x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\right]\,\mathrm {d} x}$$

ขั้นตอนต่อไป คือการนำ กฎผลรวมมาใช้กับอินทิกรัล: $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{u}\int _{0}^{1}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$$

สุดท้ายนี้ เราใช้ทฤษฎีบทของฟูบินี $${\displaystyle \left[\int _{0}^{u}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{u}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{u}x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

ค่าของอินทิกรัลไซน์ผกผันสามารถหาได้โดยการสลับลำดับการอินทิเกรตโดยใช้ทฤษฎีบทของฟูบินี โดยการกระจายตัวถูกอินทิเกรตและสลับตัวแปรการอินทิเกรต จะสามารถหาอนุพันธ์ผกผันเบื้องต้นได้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} _{2}(1)&=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{(1-x^{2}y^{2}){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\pi \,y}{2{\sqrt {1-y^{2}}}(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,)}}\,\mathrm {d} y\\&=\left\{{\frac {\pi }{2}}\ln \left[2\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,\right)^{-1}\right]\right\}_{y=0}^{y=1}={\frac {\pi }{2}}\ln(2)\end{aligned}}}$$

อนุกรมDirichletกำหนดฟังก์ชัน Dirichlet etaดังนี้: $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}\pm \cdots }$$

ค่านี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของฟูบินี เงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าสัมบูรณ์ที่จำเป็นสำหรับการสลับผลรวมและปริพันธ์นั้นเป็นไปตามที่กำหนดเนื่องจากการประเมินค่าดำเนินการดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \eta (2)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}\left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n-1}\right|\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}<\infty }$$${\displaystyle \eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\ln(x+1)}{x}}\,\mathrm {d} x}$$

อินทิกรัลของผลคูณของฟังก์ชันส่วนกลับและลอการิทึมธรรมชาติคืออินทิกรัลพหุลอการิทึมทฤษฎีบทของฟูบินีช่วยให้สามารถคำนวณค่านี้ได้โดยการแปลงตัวถูกอินทิเกรตให้อยู่ในรูปของเศษส่วนตรรกยะ: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{1}{\frac {\ln(x+1)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}{\frac {2\arccos(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y=\left[{\frac {\pi ^{2}}{12}}-{\frac {1}{3}}\arccos(y)^{2}\right]_{y=0}^{y=1}\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}={\frac {\pi ^{2}}{12}}\end{aligned}}}$$

วิธีการคำนวณอินทิกรัลนี้ถูกค้นพบโดยเจมส์ ฮาร์เปอร์^{[ 10 ]}

อินทิกรัลไม่แท้ของอินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดแรก , , มีค่าเท่ากับสองเท่าของค่าคงที่คาตาลัน , . สามารถแสดงได้โดยใช้ทฤษฎีบทของฟูบินีเพื่อเชื่อมโยงนิพจน์กับอินทิกรัลอาร์คแทงเจนต์ : ${\displaystyle K(x)}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}K(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(y)}{y{\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y\\&=\left\{2\,\mathrm {Ti} _{2}\left[y\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,\right)^{-1}\right]\right\}_{y=0}^{y=1}\\&=2\,\mathrm {Ti} _{2}(1)=2\beta (2)=2\,C\end{aligned}}}$$

ขั้นตอนเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับอินทิกรัลเชิงวงรีสมบูรณ์ชนิดที่สองได้เช่นกัน :${\displaystyle E(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}E(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left[{\frac {\arcsin(y)}{2y{\sqrt {1-y^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}\right]\,\mathrm {d} y\\&=\left\{\mathrm {Ti} _{2}\left[y\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\,\right)^{-1}\right]+{\frac {1}{2}}y\right\}_{y=0}^{y=1}\\&=\mathrm {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=\beta (2)+{\frac {1}{2}}=C+{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

ค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี , , เกิดขึ้นจากปริพันธ์ไม่เหมาะสมจากศูนย์ถึงอนันต์ของผลคูณของลอการิทึมธรรมชาติ เชิงลบ และฟังก์ชันการลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียล นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ในรูปของปริพันธ์ไม่เหมาะสมของผลต่างที่เกี่ยวข้อง: ${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{\infty }{\frac {-\ln(x)}{\exp(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}\left[{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x)\right]\,\mathrm {d} x}$$

ความเท่าเทียมกันของปริพันธ์ทั้งสองนี้สามารถแสดงได้โดยการใช้ทฤษฎีบทของฟูบินีสองครั้ง โดยเชื่อมโยงทั้งสองเข้ากับฟังก์ชันปริพันธ์เลขชี้กำลัง เสริม : $${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y}$$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงอินทิกรัลเสริมคือ: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-{\frac {1}{x}}\exp(-x)}$$

เมื่อนำทฤษฎีบทของฟูบินีมาใช้กับรูปแบบปริพันธ์แรกจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\left[\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}\right]\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$$

การนำทฤษฎีบทของฟูบินีมาใช้กับปริพันธ์ขั้นกลางจะเชื่อมโยงปริพันธ์ดังกล่าวเข้ากับรูปแบบที่สอง: $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left[\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}\right]\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xz)\left[{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z)\right]\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xz)\left[{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z)\right]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} z\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{z}}\left[{\frac {1}{z+1}}-\exp(-z)\right]\,\mathrm {d} z\end{aligned}}}$$

โดยใช้เอกลักษณ์สำหรับการยกกำลังสองของอินทิกรัล: $${\displaystyle \left[\int _{0}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x\right]^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\,f(x)\,f(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

สามารถคำนวณค่า อินทิกรัลของการแจกแจงปกติ ได้ดังนี้:$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x\right]^{2}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp(-x^{2})\exp(-x^{2}y^{2})\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{\infty }2x\exp \left[-x^{2}(y^{2}+1)\right]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left\{-{\frac {1}{y^{2}+1}}\exp \left[-x^{2}(y^{2}+1)\right]\right\}_{x=0}^{x=\infty }\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y\\&=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}$$

การหาค่ารากที่สองจะได้: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,\mathrm {d} x={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$$

โดยใช้สูตรที่คล้ายกันสำหรับการยกกำลังสองของปริพันธ์บนขอบเขตจำกัด: $${\displaystyle \left[\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x\right]^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}2x\,g(x)\,g(xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

สามารถนำหลักการนี้ไปประยุกต์ใช้กับปัญหาบาเซิลได้ : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi ^{2}}{4}}&=\left(\arcsin(1)\right)^{2}=\left[\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x\right]^{2}\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {2x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-x^{2}y^{2})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}\left[{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)-{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} \left({\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}\,y}{\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}\right)\right]_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y\\&=\int _{0}^{1}{\frac {2}{y}}\operatorname {artanh} (y)\,\mathrm {d} y\\&=\left[2\,\mathrm {Li} _{2}(y)-{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(y^{2})\right]_{y=0}^{y=1}\\&={\frac {3}{2}}\,\mathrm {Li} _{2}(1)\end{aligned}}}$$

สำหรับไดโลการิธึมของหนึ่ง จะได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

โดยใช้สูตรผลคูณทั่วไป: $${\displaystyle \left[\int _{0}^{1}v(x)\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{1}w(x)\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left(x\,v(xy)\,w(x)+x\,v(x)\,w(xy)\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$$

สามารถคำนวณอินทิกรัลต่อไปนี้ได้โดยใช้อินทิกรัลเชิงวงรี ไม่สมบูรณ์ ชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองเป็นอนุพันธ์ผกผัน: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x&=\left\{-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F\left[\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\\\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x&=\left\{{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,F\left[\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right]-{\sqrt {2}}\,E\left[\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\left[2\,E\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)-K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

เมื่อแทนค่าอินทิกรัลทั้งสองลงในสูตรผลคูณจะได้: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x\right]\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x\right]=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}\left\{{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} \left({\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right)\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\,\mathrm {d} y\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\left[\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2\,y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]_{y=0}^{y=1}\\&{\hphantom {\quad \quad \quad }}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}$$

สำหรับกรณีพิเศษของเลมนิสกาติกในความสัมพันธ์ของเลอจองเดอร์จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\left[2\,E\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)-K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\right]={\frac {\pi }{2}}}$$