ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของ Gleasonแสดงให้เห็นว่ากฎที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นในฟิสิกส์ควอนตัมซึ่งก็คือกฎของ Bornสามารถอนุมานได้จากการแสดงทางคณิตศาสตร์ตามปกติของการวัดในฟิสิกส์ควอนตัม พร้อมกับสมมติฐานเรื่องไม่มีบริบท Andrew M. Gleasonพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นครั้งแรกในปี 1957 ^{[ 1 ]} ซึ่งเป็นการ ตอบคำถามที่George W. Mackey ตั้งขึ้น ความสำเร็จนี้มีความสำคัญทางประวัติศาสตร์อย่างมาก เนื่องจากมีบทบาทในการแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้น หลายประเภท ไม่สอดคล้องกับฟิสิกส์ควอนตัม มีการพิสูจน์รูปแบบต่างๆ มากมายในช่วงหลายปีที่ผ่านมา ทฤษฎีบทของ Gleason มีความสำคัญเป็นพิเศษสำหรับสาขาตรรกศาสตร์ควอนตัมและความพยายามที่จะค้นหาชุดสัจพจน์ ทางคณิตศาสตร์ขั้นต่ำ สำหรับทฤษฎีควอนตัม

ในกลศาสตร์ควอนตัม ระบบทางกายภาพแต่ละระบบจะสัมพันธ์กับปริภูมิฮิลเบิร์ตเพื่อจุดประสงค์ของการทบทวนนี้ ปริภูมิฮิลเบิร์ตจะถือว่ามีมิติจำกัด ในแนวทางที่จอห์น ฟอน นอยมันน์ ได้กำหนดไว้ การวัดระบบทางกายภาพจะถูกแทนด้วยตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ต ซึ่งบางครั้งเรียกว่า " ตัวแปร สังเกตได้" เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของตัวดำเนินการดังกล่าวจะประกอบกันเป็นฐานเชิงตั้งฉากสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ต และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละอย่างของการวัดนั้นจะสอดคล้องกับเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งในฐานนั้นตัวดำเนินการความหนาแน่นคือตัวดำเนินการกึ่งบวกในปริภูมิฮิลเบิร์ตซึ่งร่องรอยของมันเท่ากับ 1 ในภาษาของฟอน ไวซ์แซกเกอร์ตัวดำเนินการความหนาแน่นคือ "แคตตาล็อกของความน่าจะเป็น": สำหรับการวัดแต่ละครั้งที่สามารถกำหนดได้ การกระจายความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของการวัดนั้นสามารถคำนวณได้จากตัวดำเนินการความหนาแน่น^{[ 2 ]}ขั้นตอนการดำเนินการดังกล่าวคือกฎของบอร์นซึ่งระบุว่า โดยที่เป็นตัวดำเนินการความหนาแน่น และเป็นตัวดำเนินการฉายภาพไปยังเวกเตอร์ฐานที่สอดคล้องกับผลลัพธ์การวัด $${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ),}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

กฎของบอร์นกำหนดความน่าจะเป็นให้กับเวกเตอร์หน่วยแต่ละตัวในปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยที่ผลรวมของความน่าจะเป็นเหล่านี้จะเท่ากับ 1 สำหรับชุดเวกเตอร์หน่วยใดๆ ที่ประกอบกันเป็นฐานเชิงตั้งฉาก นอกจากนี้ ความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์หน่วยเป็นฟังก์ชันของตัวดำเนินการความหนาแน่นและเวกเตอร์หน่วย ไม่ใช่ข้อมูลเพิ่มเติม เช่น การเลือกฐานสำหรับเวกเตอร์นั้นที่จะฝังอยู่ ทฤษฎีบทของเกลสันพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้าม กล่าวคือ การกำหนดความน่าจะเป็นทั้งหมดให้กับเวกเตอร์หน่วย (หรือเทียบเท่ากับตัวดำเนินการที่ฉายภาพลงบนเวกเตอร์เหล่านั้น) ที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ จะอยู่ในรูปแบบของการใช้กฎของบอร์นกับตัวดำเนินการความหนาแน่นบางตัว ทฤษฎีบทของเกลสันใช้ได้ถ้ามิติของปริภูมิฮิลเบิร์ตมีค่าเท่ากับ 3 หรือมากกว่านั้น มีตัวอย่างค้านสำหรับมิติ 2

ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ใดๆ จากการวัดในระบบควอนตัมจะต้องเป็นจำนวนจริงระหว่าง 0 ถึง 1 รวมทั้งสองค่า และเพื่อให้สอดคล้องกัน สำหรับการวัดแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ต่างๆ จะต้องรวมกันได้เท่ากับ 1 ทฤษฎีบทของ Gleason แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดความน่าจะเป็นให้กับผลลัพธ์ของการวัด ซึ่งระบุโดยตัวดำเนินการฉายภาพ จะต้องสามารถแสดงได้ในรูปของตัวดำเนินการความหนาแน่นและกฎของ Born ซึ่งไม่เพียงแต่ให้กฎสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นเท่านั้น แต่ยังกำหนดเซตของสถานะควอนตัมที่เป็นไปได้อีกด้วย

ให้เป็นฟังก์ชันจากตัวดำเนินการฉายภาพไปยังช่วงหน่วยที่มีคุณสมบัติว่า ถ้าเซตของตัวดำเนินการฉายภาพรวมกันได้เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ (นั่นคือ ถ้าพวกมันสอดคล้องกับฐานเชิงตั้งฉากปกติ) แล้ว ${\displaystyle f}$${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$$${\displaystyle \sum _{i}f(\Pi _{i})=1.}$$

ฟังก์ชันดังกล่าวแสดงถึงการกำหนดค่าความน่าจะเป็นให้กับผลลัพธ์ของการวัด ซึ่งเป็นการกำหนดที่ "ไม่ขึ้นกับบริบท" ในแง่ที่ว่าความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าผลลัพธ์นั้นฝังอยู่ในการวัดใด แต่ขึ้นอยู่กับการแสดงทางคณิตศาสตร์ของผลลัพธ์เฉพาะนั้นเท่านั้น กล่าวคือ ตัวดำเนินการฉายภาพ^{[ 3 ] [ 4 ] : §1.3 [ 5 ] : §2.1 [ 6 ]}ทฤษฎีบทของ Gleason กล่าวว่าสำหรับฟังก์ชันดังกล่าวใดๆจะมีตัวดำเนินการบวกกึ่งกำหนดที่มีร่องรอยหน่วยเช่นนั้น ${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle f(\Pi _{i})=\operatorname {Tr} (\Pi _{i}\rho ).}$$

ทั้งกฎของบอร์นและข้อเท็จจริงที่ว่า "แคตตาล็อกของความน่าจะเป็น" เป็นตัวดำเนินการกึ่งบวกที่มีร่องรอยหน่วย ล้วนมาจากสมมติฐานที่ว่าการวัดถูกแทนด้วยฐานตั้งฉากปกติ และการกำหนดความน่าจะเป็นนั้น "ไม่ขึ้นกับบริบท" เพื่อให้ทฤษฎีบทของเกลสันสามารถนำไปใช้ได้ พื้นที่ที่กำหนดการวัดจะต้องเป็นพื้นที่ฮิลเบิร์ตจริงหรือเชิงซ้อน หรือโมดูล ควอเทอ ร์ เนียน ^{[ a ]} (ข้อโต้แย้งของเกลสันใช้ไม่ได้หากตัวอย่างเช่น พยายามสร้างแบบจำลองของกลศาสตร์ควอนตัมโดยใช้จำนวนp -adic )

ในปี พ.ศ. 2475 จอห์น ฟอน นอยมันน์ก็สามารถพิสูจน์กฎของบอร์นได้ในตำราเรียนของเขาเรื่อง พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมอย่างไรก็ตาม ข้อสมมติที่ฟอน นอยมันน์ใช้ในการสร้างบทพิสูจน์ว่าไม่มีตัวแปรซ่อนเร้น นั้น ค่อนข้างเข้มงวดและในที่สุดก็ถูกมองว่าไม่มีเหตุผลรองรับที่ดี^{[ 14 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟอน นอยมันน์สมมติว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นต้องเป็นเชิงเส้นบนตัวแปรที่สังเกตได้ทั้งหมด ไม่ว่าจะสลับที่กันได้หรือไม่ได้ก็ตาม บทพิสูจน์ของเขาถูกเยาะเย้ยโดยจอห์น เบลล์ว่าเป็น "ไม่เพียงแต่ผิด แต่ยังโง่เขลาอีกด้วย!" ^{[ 15 ] [ 16 ]}ในทางกลับกัน เกลสันไม่ได้สมมติความเป็นเชิงเส้น แต่สมมติเพียงแค่การบวกสำหรับโปรเจคเตอร์ที่สลับที่กันได้พร้อมกับความไม่ขึ้นกับบริบท ซึ่งเป็นข้อสมมติที่ดูเหมือนจะมีเหตุผลรองรับที่ดีกว่าและมีความหมายทางกายภาพมากกว่า^{[ 16 ] [ 17 ]}

ในช่วงปลายทศวรรษ 1940 จอร์จ แม็กกีย์เริ่มสนใจพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสงสัยว่ากฎของบอร์นเป็นกฎเดียวที่เป็นไปได้สำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นในทฤษฎีที่แสดงการวัดเป็นฐานตั้งฉากปกติบนปริภูมิฮิลเบิร์ตหรือไม่^{[ 18 ] [ 19 ]}แม็กกีย์ได้หารือปัญหานี้กับเออร์วิง ซีกัลที่มหาวิทยาลัยชิคาโกซึ่งต่อมาซีกัลได้หยิบยกปัญหานี้ขึ้นมาหารือกับริชาร์ด คาดิสันซึ่งในขณะนั้นเป็นนักศึกษาปริญญาโท คาดิสันแสดงให้เห็นว่าสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ต 2 มิติ มีการวัดความน่าจะเป็นที่ไม่สอดคล้องกับสถานะควอนตัมและกฎของบอร์น ผลลัพธ์ของเกลสันบ่งชี้ว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นเฉพาะในมิติ 2 เท่านั้น^{[ 19 ]}

การพิสูจน์ดั้งเดิมของ Gleason ดำเนินไปในสามขั้นตอน^{[ 20 ] : §2} ในศัพท์ของ Gleason ฟังก์ชันเฟรมคือฟังก์ชันค่าจริงบนทรงกลมหน่วยของปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยที่ เมื่อใดก็ตามที่เวกเตอร์ประกอบเป็นฐานตั้งฉากปกติ การกำหนดความน่าจะเป็นที่ไม่ขึ้นกับบริบทตามที่กำหนดไว้ในส่วนก่อนหน้านี้เทียบเท่ากับฟังก์ชันเฟรม^{[ b ]}การวัดใดๆ ที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ โดยการใช้กฎของบอร์นกับสถานะควอนตัม เรียกว่า ฟังก์ชันเฟรม ปกติ Gleason ได้มาจากลำดับของบทตั้งเกี่ยวกับเมื่อใดที่ฟังก์ชันเฟรมจำเป็นต้องเป็นปกติ ซึ่งจบลงด้วยทฤษฎีบทสุดท้าย ก่อนอื่น เขาสร้างว่า ฟังก์ชันเฟรม ต่อเนื่อง ทุก ฟังก์ชันบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นปกติ ขั้นตอนนี้ใช้ทฤษฎีฮาร์มอนิกทรงกลมจากนั้น เขาพิสูจน์ว่าฟังก์ชันเฟรมบนจะต้องต่อเนื่อง ซึ่งสร้างทฤษฎีบทสำหรับกรณีพิเศษของขั้นตอนนี้ถือว่าเป็นขั้นตอนที่ยากที่สุดของการพิสูจน์^{[ 21 ] [ 22 ]}ในที่สุด เขาก็แสดงให้เห็นว่าปัญหาทั่วไปสามารถลดทอนลงเหลือกรณีพิเศษนี้ได้ Gleason ยกเครดิตให้กับบทพิสูจน์ย่อยหนึ่งข้อที่ใช้ในขั้นตอนสุดท้ายของการพิสูจน์นี้ให้กับRichard Palais นักศึกษาปริญญาเอกของ เขา^{[ 1 ] : fn 3} ${\displaystyle f}$$${\displaystyle \sum _{i}f(x_{i})=1}$$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Robin Lyth Hudsonอธิบายทฤษฎีบทของ Gleason ว่า "มีชื่อเสียงและยากอย่างน่าประหลาดใจ" ^{[ 23 ]}ต่อมา Cooke, Keane และ Moran ได้สร้างบทพิสูจน์ที่ยาวกว่าของ Gleason แต่ต้องการเงื่อนไขเบื้องต้นน้อยกว่า^{[ 21 ]}

ทฤษฎีบทของ Gleason เน้นย้ำประเด็นพื้นฐานหลายประการในทฤษฎีการวัดควอนตัม ดังที่Fuchsโต้แย้งว่า ทฤษฎีบทนี้ "เป็นผลลัพธ์ที่ทรงพลังอย่างยิ่ง" เพราะ "มันบ่งชี้ถึงขอบเขตที่กฎความน่าจะเป็นของ Born และแม้แต่โครงสร้างปริภูมิสถานะของตัวดำเนินการความหนาแน่นขึ้นอยู่กับสมมติฐานอื่นๆ ของทฤษฎี" ด้วยเหตุนี้ ทฤษฎีควอนตัมจึง "เป็นแพ็กเกจที่แน่นหนากว่าที่ใครๆ อาจคิดไว้ในตอนแรก" ^{[ 24 ] : 94–95} แนวทางต่างๆ ในการอนุมานรูปแบบควอนตัมใหม่จากสัจพจน์ทางเลือก จึงได้ใช้ทฤษฎีบทของ Gleason เป็นขั้นตอนสำคัญในการเชื่อมช่องว่างระหว่างโครงสร้างของปริภูมิ Hilbert และกฎของ Born ^{[ c ]}

ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญทางประวัติศาสตร์ในบทบาทที่ช่วยตัดความเป็นไปได้ของตัวแปรซ่อนเร้น บางประเภท ในกลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นแบบกำหนดได้หมายความว่าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่กำหนดนั้นจะเป็น 0 หรือ 1 เสมอตัวอย่างเช่นการวัดแบบสเติร์น-เกอร์แลคบน อะตอม สปิน 1จะรายงานว่าโมเมนตัมเชิงมุมของอะตอมตามแกนที่เลือกนั้นมีค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่า ซึ่งสามารถกำหนดเป็น, และได้ ในทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นแบบกำหนดได้ จะมีคุณสมบัติทางกายภาพพื้นฐานที่กำหนดผลลัพธ์ที่พบในการวัด โดยมีเงื่อนไขเกี่ยวกับค่าของคุณสมบัติทางกายภาพพื้นฐาน ผลลัพธ์ที่กำหนดใดๆ (ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของ) จะต้องเป็นไปไม่ได้หรือรับประกันได้ แต่ทฤษฎีบทของเกลสันบ่งชี้ว่าไม่มีการวัดความน่าจะเป็นแบบกำหนดได้เช่นนั้น การแมปนั้นต่อเนื่องบนทรงกลมหน่วย ของปริภูมิฮิล เบิร์ตสำหรับตัวดำเนินการความหนาแน่นใดๆเนื่องจากทรงกลมหน่วยนี้เชื่อมต่อกันจึงไม่มีการวัดความน่าจะเป็นต่อเนื่องใดๆ บนทรงกลมนี้ที่สามารถกำหนดได้^{[ 26 ] : §1.3} ทฤษฎีบทของ Gleason จึงชี้ให้เห็นว่าทฤษฎีควอนตัมแสดงถึงการเบี่ยงเบนที่ลึกซึ้งและพื้นฐานจาก สัญชาตญาณ แบบคลาสสิกที่ว่าความไม่แน่นอนเกิดจากความไม่รู้เกี่ยวกับระดับความเป็นอิสระที่ซ่อนอยู่^{[ 27 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทของ Gleason ตัดแบบจำลองตัวแปรที่ซ่อนอยู่ซึ่ง "ไม่ขึ้นอยู่กับบริบท" ออกไป แบบจำลองตัวแปรที่ซ่อนอยู่ใดๆ สำหรับกลศาสตร์ควอนตัม เพื่อหลีกเลี่ยงผลกระทบของทฤษฎีบทของ Gleason จะต้องมีตัวแปรที่ซ่อนอยู่ซึ่งไม่ใช่คุณสมบัติที่อยู่ในระบบที่วัดได้เพียงอย่างเดียว แต่ยังขึ้นอยู่กับบริบทภายนอกที่ทำการวัดด้วย การพึ่งพาประเภทนี้มักถูกมองว่าเป็นการประดิษฐ์หรือไม่พึงประสงค์ ในบางกรณี มันไม่สอดคล้องกับ ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษ^{[ 27 ] [ 28 ]}${\displaystyle -}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle +}$${\displaystyle +}$${\displaystyle u\to \langle \rho คุณ,u\rangle }$${\displaystyle \rho }$

เพื่อสร้างตัวอย่างค้านสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ต 2 มิติที่เรียกว่าคิวบิตให้ตัวแปรที่ซ่อนอยู่เป็นเวกเตอร์หน่วยในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ โดยใช้ทรงกลมบล็อกการวัดที่เป็นไปได้แต่ละครั้งบนคิวบิตสามารถแสดงเป็นคู่ของจุดตรงข้ามบนทรงกลมหน่วย การกำหนดความน่าจะเป็นของผลลัพธ์การวัดเป็น 1 ถ้าจุดที่แสดงถึงผลลัพธ์นั้นอยู่ในซีกโลกเดียวกันกับและ 0 ในกรณีอื่น ๆ จะทำให้ได้การกำหนดความน่าจะเป็นให้กับผลลัพธ์การวัดที่สอดคล้องกับสมมติฐานของเกลสัน อย่างไรก็ตาม การกำหนดความน่าจะเป็นนี้ไม่สอดคล้องกับตัวดำเนินการความหนาแน่นที่ถูกต้องใด ๆ โดยการแนะนำการกระจายความน่าจะเป็นเหนือค่าที่เป็นไปได้ของสามารถสร้างแบบจำลองตัวแปรที่ซ่อนอยู่สำหรับคิวบิตที่สร้างการคาดการณ์ของทฤษฎีควอนตัมขึ้นมาใหม่ได้^{[ 27 ] [ 29 ]}${\displaystyle {\vec {\แลมบ์ดา }}}$${\displaystyle {\vec {\แลมบ์ดา }}}$${\displaystyle {\vec {\แลมบ์ดา }}}$

ทฤษฎีบทของ Gleason เป็นแรงบันดาลใจให้กับงานในภายหลังของJohn Bell , Ernst SpeckerและSimon Kochenซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ที่มักเรียกว่าทฤษฎีบท Kochen–Speckerซึ่งแสดงให้เห็นเช่นกันว่าแบบจำลองตัวแปรซ่อนเร้นที่ไม่ขึ้นกับบริบทนั้นไม่เข้ากันกับกลศาสตร์ควอนตัม ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ทฤษฎีบทของ Gleason แสดงให้เห็นว่าไม่มีการวัดความน่าจะเป็นเหนือรังสีของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่รับค่าได้เพียง 0 และ 1 เท่านั้น (ตราบใดที่มิติของปริภูมินั้นเกิน 2) ทฤษฎีบท Kochen–Specker ปรับปรุงข้อความนี้โดยการสร้างเซตย่อยจำกัดเฉพาะของรังสีซึ่งไม่สามารถกำหนดการวัดความน่าจะเป็นดังกล่าวได้^{[ 27 ] [ 30 ]}ข้อเท็จจริงที่ว่าเซตย่อยจำกัดของรังสีดังกล่าวต้องมีอยู่จริงนั้นเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของ Gleason โดยอาศัย การโต้แย้ง เชิงตรรกะแบบกะทัดรัดแต่วิธีนี้ไม่ได้สร้างเซตที่ต้องการอย่างชัดเจน^{[ 20 ] : §1} ในผลลัพธ์ที่ไม่มีตัวแปรซ่อนเร้นที่เกี่ยวข้องซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของเบลล์สมมติฐานที่ว่าทฤษฎีตัวแปรซ่อนเร้นนั้นไม่ขึ้นอยู่กับบริบทจะถูกแทนที่ด้วยสมมติฐานที่ว่ามันเป็นทฤษฎีบทเฉพาะที่ ชุดของรังสีชุดเดียวกันที่ใช้ในการสร้าง Kochen–Specker สามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์แบบเบลล์ได้เช่นกัน^{[ 27 ] [ 31 ] [ 32 ]}

Pitowsky ใช้ทฤษฎีบทของ Gleason เพื่อโต้แย้งว่ากลศาสตร์ควอนตัมแสดงถึงทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบใหม่ ซึ่งโครงสร้างของพื้นที่ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้จะถูกปรับเปลี่ยนจากพีชคณิตบูลีนแบบคลาสสิก เขาถือว่าสิ่งนี้คล้ายคลึงกับวิธีที่ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษปรับเปลี่ยนจลนศาสตร์ของ กลศาสตร์ นิวตัน^{[ 4 ] [ 5 ]}

ทฤษฎีบทของ Gleason และ Kochen–Specker ได้รับการอ้างถึงเพื่อสนับสนุนปรัชญาต่างๆ รวมถึงปรัชญาเชิงมุมมองปรัชญาเชิงประสบการณ์แบบสร้างสรรค์และ ปรัชญาเชิงตัวแทน แบบสมจริง^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

ทฤษฎีบทของ Gleason พบการประยุกต์ใช้ในตรรกะควอนตัม ซึ่งใช้ทฤษฎีแลตติส อย่างมาก ตรรกะควอนตัมถือว่าผลลัพธ์ของการวัดควอนตัมเป็นข้อเสนอเชิงตรรกะและศึกษาความสัมพันธ์และโครงสร้างที่เกิดขึ้นจากข้อเสนอเชิงตรรกะเหล่านี้ โดยจัดเรียงเป็นแลตติส ซึ่งกฎการกระจายซึ่งใช้ได้ในตรรกะคลาสสิกนั้นอ่อนลง เพื่อสะท้อนความจริงที่ว่าในฟิสิกส์ควอนตัม ไม่สามารถวัดปริมาณทุกคู่พร้อมกันได้ [ ^{36 ] ทฤษฎีบท}การแสดงแทนในตรรกะควอนตัมแสดงให้เห็นว่าแลตติสดังกล่าวเป็น ไอโซมอร์ ฟิกกับแลตติสของปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีผลคูณสเกลาร์^{[ 5 ] : §2} การใช้ทฤษฎีบทของ Solèr ฟิลด์ ( เฉียง ) Kที่เวกเตอร์สเปซถูกกำหนดไว้นั้นสามารถพิสูจน์ได้ด้วยสมมติฐานเพิ่มเติมว่าจะเป็นจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนหรือ ควอเท อร์เนียนตามที่จำเป็นสำหรับทฤษฎีบทของ Gleason ^{[ 12 ] : §3 [ 37 ] [ 38 ]}

โดยการใช้ทฤษฎีบทของ Gleason รูปแบบของฟังก์ชันความน่าจะเป็นบนองค์ประกอบแลตทิซสามารถถูกจำกัดได้ สมมติว่าการแมปจากองค์ประกอบแลตทิซไปยังความน่าจะเป็นนั้นไม่ขึ้นอยู่กับบริบท ทฤษฎีบทของ Gleason ยืนยันว่ามันจะต้องสามารถแสดงได้ด้วยกฎของ Born ^{[ 39 ]}

เดิมที Gleason พิสูจน์ทฤษฎีบทโดยสมมติว่าการวัดที่ใช้กับระบบเป็นแบบ von Neumann กล่าวคือ การวัดที่เป็นไปได้แต่ละครั้งสอดคล้องกับฐานตั้งฉากปกติของปริภูมิฮิลเบิร์ต ต่อมาBusch ^{[ 40 ]}และCaves et al. ^{[ 24 ] : 116 [ 41 ]}ได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับการวัดประเภททั่วไปมากขึ้น ซึ่งเรียกว่าการวัดค่าตัวดำเนินการบวก (POVMs) เซตของ POVMs ทั้งหมดรวมถึงเซตของการวัดแบบ von Neumann ดังนั้นสมมติฐานของทฤษฎีบทนี้จึงแข็งแกร่งกว่าของ Gleason อย่างมาก ทำให้การพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ง่ายกว่าของ Gleason และข้อสรุปก็แข็งแกร่งกว่า แตกต่างจากทฤษฎีบทดั้งเดิมของ Gleason เวอร์ชันทั่วไปที่ใช้ POVMs ยังใช้ได้กับกรณีของคิวบิตเดี่ยวด้วย^{[ 42 ] [ 43 ]}อย่างไรก็ตาม การสมมติว่า POVM ไม่ขึ้นอยู่กับบริบทนั้นเป็นเรื่องที่ถกเถียงกัน เนื่องจาก POVM ไม่ใช่สิ่งพื้นฐาน และผู้เขียนบางคนโต้แย้งว่าควรสมมติว่าไม่ขึ้นอยู่กับบริบทเฉพาะสำหรับการวัด von Neumann พื้นฐานเท่านั้น^{[ 44 ]}ทฤษฎีบทของ Gleason ในเวอร์ชันดั้งเดิมนั้นใช้ไม่ได้หากปริภูมิฮิลเบิร์ตถูกกำหนดไว้เหนือจำนวนตรรกยะ กล่าวคือ หากส่วนประกอบของเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตถูกจำกัดให้เป็นจำนวนตรรกยะ หรือจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนที่เป็นตรรกยะ อย่างไรก็ตาม เมื่อเซตของการวัดที่อนุญาตคือเซตของ POVM ทั้งหมด ทฤษฎีบทนี้จะใช้ได้^{[ 41 ] : §3.D}

การพิสูจน์ดั้งเดิมของ Gleason ไม่ใช่ การพิสูจน์ เชิงสร้างสรรค์ : หนึ่งในแนวคิดที่การพิสูจน์นั้นอาศัยคือข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันที่กำหนดบนปริภูมิกระชับจะบรรลุค่าต่ำสุดเนื่องจากไม่สามารถแสดงตำแหน่งที่ค่าต่ำสุดได้อย่างชัดเจนในทุกกรณี การพิสูจน์ที่อาศัยหลักการนี้จึงไม่ใช่การพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทสามารถปรับปรุงใหม่ได้ในลักษณะที่สามารถหาการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ได้^{[ 20 ] [ 45 ]}

ทฤษฎีบทของ Gleason สามารถขยายไปยังบางกรณีที่ค่าสังเกตได้ของทฤษฎีก่อตัวเป็นพีชคณิต von Neumannโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันของ Gleason สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงได้หากพีชคณิตของค่าสังเกตได้ไม่มีผลรวมโดยตรงที่สามารถแสดงเป็นพีชคณิตของเมทริกซ์ 2×2 เหนือพีชคณิต von Neumann แบบสลับที่ได้ (กล่าวคือ ไม่มีผลรวมโดยตรงประเภทI ) โดยพื้นฐานแล้ว อุปสรรคเพียงอย่างเดียวในการพิสูจน์ทฤษฎีบทคือข้อเท็จจริงที่ว่าผลลัพธ์ดั้งเดิมของ Gleason ไม่เป็นจริงเมื่อปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นของคิวบิต^{[ 46 ]}