รูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นกรณีพิเศษของรูปหลายเหลี่ยมโดยมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือเป็นเซตแบบนูนที่บรรจุอยู่ในปริภูมิยุคลิดมิติn รูปหลายเหลี่ยมนูนมีบทบาทสำคัญทั้งในสาขาคณิตศาสตร์ ต่างๆ และในด้านการประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้าน การ เขียน โปรแกรมเชิงเส้น${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ข้อความส่วนใหญ่^{[ 1 ] [ 2 ]}ใช้คำว่า "โพลีโทป" สำหรับโพ ลีโทปนูนที่ มีขอบเขตและคำว่า "โพลีเฮดรอน" สำหรับวัตถุทั่วไปที่อาจไม่มีขอบเขต ( โพลีเฮดรอน nมิติ ) ข้อความอื่นๆ^{[ 3 ]} (รวมถึงบทความนี้) อนุญาตให้โพลีโทปไม่มีขอบเขตได้ คำว่า "โพลีโทปนูนที่มีขอบเขต/ไม่มีขอบเขต" จะถูกใช้ต่อไปนี้เมื่อใดก็ตามที่ขอบเขตมีความสำคัญต่อประเด็นที่กล่าวถึง อย่างไรก็ตาม ข้อความอื่นๆ ระบุโพลีโทปนูนด้วยขอบเขตของมัน

ในตำราที่มีอิทธิพลของ Grünbaum ^{[ 1 ]}และ Ziegler ^{[ 2 ]}เกี่ยวกับเรื่องนี้ รวมถึงตำราอื่นๆ อีกมากมายในเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องโพลีโทปนูนมักจะถูกเรียกว่า "โพลีโทป" เฉยๆ Grünbaum ชี้ให้เห็นว่านี่เป็นเพียงเพื่อหลีกเลี่ยงการกล่าวซ้ำคำว่า "นูน" อย่างไม่มีที่สิ้นสุด และการอภิปรายทั้งหมดควรเข้าใจว่าใช้ได้เฉพาะกับวาไรตี้แบบนูนเท่านั้น (หน้า 51)

รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่ามีมิติเต็มถ้าเป็น วัตถุ ที่ มีมิติใน${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ตัวอย่างของรูปทรงหลาย เหลี่ยมนูน ที่มีขอบเขตจำกัดสามารถพบได้ในรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนและรูปหลายเหลี่ยมนูน

ในกรณี 2 มิติ ตัวอย่างมิติเต็มของ รูปหลายเหลี่ยมนูน ที่ไม่จำกัดขอบเขต ได้แก่

• ระนาบครึ่งหนึ่งคือแถบที่อยู่ระหว่างเส้นขนานสองเส้น
• รูป ทรงมุม ( จุดตัดของระนาบครึ่งที่ไม่ขนานกันสองระนาบ)
• รูปทรงที่กำหนดโดยโซ่รูปหลายเหลี่ยมนูน ที่มี รังสีสอง เส้น ติดอยู่ที่ปลายทั้งสองข้าง

ในมิติ n นั้น กรณีพิเศษของโพลีโทปนูนที่ไม่จำกัดขอบเขต ได้แก่

• แผ่นระนาบที่อยู่ระหว่างระนาบขนานสองระนาบ
• รูปทรงลิ่มที่กำหนดโดย ระนาบครึ่งพื้นที่ สอง ระนาบที่ไม่ขนานกัน
• ทรงกระบอกหลายเหลี่ยม ( ปริซึม อนันต์ ) และ
• กรวยทรงหลายเหลี่ยม ( กรวย อนันต์ ) ที่กำหนดโดยระนาบครึ่งพื้นที่สามระนาบขึ้นไปที่ผ่านจุดร่วมจุดหนึ่ง

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสามารถนิยามได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับว่าวิธีใดเหมาะสมกับปัญหาที่กำลังพิจารณาอยู่ นิยามของกรุนบาวม์นั้นอยู่ในแง่ของเซตของจุดนูนในปริภูมิ นิยามสำคัญอื่นๆ ได้แก่ การตัดกันของครึ่งปริภูมิ (การแสดงแบบครึ่งปริภูมิ) และการหุ้มแบบนูนของเซตของจุด (การแสดงแบบจุดยอด)

ในหนังสือConvex Polytopes ของเขา Grünbaum ได้นิยามโพลีโทปนูนว่าเป็นเซตแบบนูนขนาดกะทัดรัด ที่มี จุดสุดขั้วจำนวนจำกัด :

เซตของเป็น เซต แบบนูนถ้าสำหรับจุดสองจุดที่แตกต่างกันในส่วนปิดที่มีจุดปลายและบรรจุอยู่ภายในเซตนั้น${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle K}$

สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดโพลีโทปนูนที่มีขอบเขตเป็นเปลือกนูนของเซตจุดจำกัด โดยที่เซตจำกัดนั้นจะต้องมีเซตของจุดสุดขั้วของโพลีโทป คำจำกัดความดังกล่าวเรียกว่าการแสดงจุดยอด ( การแสดง Vหรือคำอธิบาย V ) ^{[ 1 ]} สำหรับโพลีโทปนูนขนาดกะทัดรัด คำอธิบาย V ขั้นต่ำนั้นมีเพียงหนึ่งเดียวและกำหนดโดยเซตของจุดยอดของโพลีโทป^{[ 1 ]}โพลีโทปนูนเรียกว่าโพลีโทปจำนวนเต็มหากจุดยอดทั้งหมดของมันมีพิกัดเป็นจำนวนเต็ม

โพลีโทปนูนสามารถกำหนดได้ว่าเป็นจุดตัดของครึ่งพื้นที่จำนวนจำกัด คำจำกัดความดังกล่าวเรียกว่าการแสดงแทนครึ่งพื้นที่ ( การแสดงแทน Hหรือคำอธิบาย H ) ^{[ 1 ]} มีคำอธิบาย H ของโพลีโทปนูนอยู่มากมายนับไม่ถ้วน อย่างไรก็ตาม สำหรับโพลีโทปนูนที่มีมิติเต็ม คำอธิบาย H ที่น้อยที่สุดนั้นมีเพียงหนึ่งเดียวและกำหนดโดยเซตของครึ่งพื้นที่ที่กำหนดด้าน^{[ 1 ]}

ครึ่งพื้นที่ปิดสามารถเขียนได้เป็นอสมการเชิงเส้น : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b}$

โดยที่คือมิติของปริภูมิที่บรรจุโพลีโทปที่กำลังพิจารณาอยู่ ดังนั้นโพลีโทปนูนปิดอาจถือได้ว่าเป็นเซตของคำตอบของระบบอสมการเชิงเส้น : ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

โดยที่คือจำนวนครึ่งพื้นที่ที่กำหนดรูปทรงหลายเหลี่ยม สามารถเขียนให้กระชับได้ในรูป อสมการ เมทริกซ์ : ${\displaystyle m}$

${\displaystyle Ax\leq b}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีพิกัดเป็นตัวแปรของและเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีพิกัดเป็นด้านขวามือของอสมการสเกลาร์ ${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle m\times 1}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{m}}$

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนแบบเปิดถูกนิยามในลักษณะเดียวกัน โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันแบบเข้มงวดในสูตรแทนที่จะใช้แบบไม่เข้มงวด

สัมประสิทธิ์ของแต่ละแถวในเมทริกซ์และสอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ของอสมการเชิงเส้นที่กำหนดครึ่งพื้นที่นั้นๆ ดังนั้น แต่ละแถวในเมทริกซ์ จึงสอดคล้องกับระนาบรองรับของรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งเป็นระนาบที่ล้อมรอบครึ่งพื้นที่ที่บรรจุรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น หากระนาบรองรับนั้นตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วย จะเรียกว่าระนาบล้อมรอบ (เนื่องจากเป็นระนาบรองรับ จึงตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมได้เฉพาะที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่านั้น) ${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$

นิยามข้างต้นถือว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นมีมิติเต็ม ในกรณีนี้ จะมี ชุดอสมการกำหนดขั้นต่ำที่ไม่ ซ้ำกันเพียง ชุดเดียว (โดยไม่นับการคูณด้วยจำนวนบวก) อสมการที่อยู่ในระบบขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกันนี้เรียกว่าอสมการสำคัญเซตของจุดบนรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สอดคล้องกับอสมการสำคัญเรียกว่า ด้าน

ถ้าโพลีโทปไม่ใช่โพลีโทปที่มีมิติเต็ม คำตอบของสมการจะอยู่ในปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรง ที่เหมาะสม ของโพลีโทป และสามารถศึกษาโพลีโทปได้ในฐานะวัตถุในปริภูมิย่อยนี้ ในกรณีนี้ จะมีสมการเชิงเส้นที่จุดทุกจุดบนโพลีโทปสอดคล้อง การเพิ่มสมการเหล่านี้ลงในอสมการที่กำหนดโพลีโทปจะไม่เปลี่ยนแปลงโพลีโทป ดังนั้น โดยทั่วไปแล้วจึงไม่มีชุดอสมการขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำกันชุดใดที่กำหนดโพลีโทปได้ ${\displaystyle Ax\leq b}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

โดยทั่วไปแล้ว จุดตัดของครึ่งพื้นที่ใดๆ ไม่จำเป็นต้องมีขอบเขต อย่างไรก็ตาม หากต้องการนิยามที่เทียบเท่ากับนิยามของรูปทรงนูน (convex hull) จะต้องระบุขอบเขตไว้อย่างชัดเจน

โดยการกำหนดให้การตัดกันของครึ่งพื้นที่ส่งผลให้เกิดเซตที่มีขอบเขต นิยามจึงเทียบเท่ากับการแสดงแทนจุดยอด^{[ 4 ]}โครงร่างของการพิสูจน์ว่าการตัดกันที่มีขอบเขตของครึ่งพื้นที่ส่งผลให้เกิดโพลีโทปในการแสดงแทนจุดยอด มีดังต่อไปนี้:

ส่วน ตัดกัน แบบมีขอบเขตของครึ่งพื้นที่ปิดนั้นเห็นได้ชัดว่าเป็นเซตกระชับและนูน เซตกระชับและนูนที่มีจุดสุดขั้วจำนวนจำกัดจะต้องเป็นโพลีโทป โดยที่จุดสุดขั้ว เหล่านั้น ประกอบกันเป็นเซตของจุดยอด เหลือเพียงต้องแสดงให้เห็นว่าเซตของจุดสุดขั้ว (ของส่วนตัดกันแบบมีขอบเขตของเซตครึ่งพื้นที่จำนวนจำกัด) ก็มีจำนวนจำกัดเช่นกัน: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ให้เป็นจุดสุดขั้วของ ซึ่งเป็นจุดตัดที่มีขอบเขตของครึ่งพื้นที่ปิดเราพิจารณาจุดตัดของระนาบไฮเปอร์ทั้งหมดที่สอดคล้องกัน (ซึ่งแบ่งปริภูมิออกเป็นครึ่งพื้นที่) ที่บรรจุซึ่งจะได้ปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงสำหรับแต่ละครึ่งพื้นที่ที่ระนาบไฮเปอร์ไม่บรรจุเราจะพิจารณาจุดตัดของส่วนภายในของครึ่งพื้นที่เหล่านั้น ซึ่งจะได้เซตเปิด เห็น ได้ ชัดว่า เนื่องจากเป็นจุดสุดขั้วของและเป็นเซตเปิดสัมพัทธ์ดังนั้นจะต้องมีมิติเป็น 0 และถ้าไม่ใช่ 0 มิติจะเป็นจุดภายในของเส้นตรง (อย่างน้อยหนึ่งเส้น) ซึ่งขัดแย้งกับการเป็นจุดสุดขั้ว เนื่องจากการสร้าง ทุกแบบจะเลือกส่วนภายในหรือขอบเขตของครึ่งพื้นที่ปิดอย่างใดอย่างหนึ่ง จึงมีเซต ที่แตกต่างกันเพียงจำนวนจำกัดจุดสุดขั้วทุกจุดอยู่ในเซตใดเซตหนึ่งเหล่านี้ ซึ่งหมายความว่าจำนวนจุดสุดขั้วมีจำนวนจำกัด ${\displaystyle x\in {\textrm {ext}}(P)}$${\displaystyle P:=\bigcap _{i=1}^{k}H_{i}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle O}$${\displaystyle x\in (U\cap O)\subseteq P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D:=U\cap O}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D=\left\{x\right\}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D}$${\displaystyle k}$${\displaystyle D}$

การนำเสนอทั้งสองแบบร่วมกันทำให้สามารถตัดสินใจได้อย่างมีประสิทธิภาพว่าเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นรวมอยู่ในโพลีโทปนูนที่กำหนดหรือไม่: เพื่อแสดงว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในโพลีโทป ก็เพียงพอที่จะนำเสนอเวกเตอร์นั้นในรูปของการรวมแบบนูนของจุดยอดของโพลีโทป (ใช้คำอธิบาย V); เพื่อแสดงว่าเวกเตอร์นั้นไม่อยู่ในโพลีโทป ก็เพียงพอที่จะนำเสนออสมการกำหนดเพียงข้อเดียวที่เวกเตอร์นั้นละเมิด^{[ 5 ] : 256}

ประเด็นที่ละเอียดอ่อนในการแสดงแทนด้วยเวกเตอร์คือ จำนวนเวกเตอร์อาจเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลังตามมิติ ดังนั้นการพิสูจน์ว่าเวกเตอร์อยู่ในโพลีโทปอาจใช้เวลานานแบบเลขชี้กำลัง โชคดีที่ทฤษฎีบทของคาราเธโอโดรีรับประกันว่าเวกเตอร์ทุกตัวในโพลีโทปสามารถแสดงแทนได้ด้วยเวกเตอร์กำหนดอย่างมากที่สุดd + 1 ตัว โดยที่dคือมิติของปริภูมิ

สำหรับโพลีโทปที่ไม่มีขอบเขต (บางครั้งเรียกว่าโพลีเฮดรอน) คำอธิบาย H ยังคงใช้ได้ แต่คำอธิบาย V ควรได้รับการขยายTheodore Motzkin (1936) พิสูจน์ว่าโพลีโทปที่ไม่มีขอบเขตใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของโพลีโทปที่มีขอบเขตและกรวยโพลีเฮดรอนนูนได้ [ ^{6 ] กล่าว}อีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ทุกตัวในโพลีโทปที่ไม่มีขอบเขตเป็นผลรวมนูนของจุดยอด ("จุดกำหนด") บวกกับผลรวมเชิงกรวยของเวกเตอร์ยุคลิดของขอบอนันต์ ("รังสีกำหนด") สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทฐานจำกัด^{[ 3 ]}

โพลีโทปนูน (ที่มีขอบเขต) ทุกรูปเป็นภาพของซิมเพล็กซ์เนื่องจากทุกจุดเป็นผลรวมนูนของจุดยอด (จำนวนจำกัด) อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วโพลีโทปจะไม่สมมาตรกับซิมเพล็กซ์ ซึ่งแตกต่างจากกรณีของปริภูมิเวกเตอร์และผลรวมเชิงเส้นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดทุกปริภูมิไม่เพียงแต่เป็นภาพของ แต่ในความเป็นจริงแล้วสมมาตรกับปริภูมิยูคลิดของมิติใดมิติหนึ่ง (หรืออนาล็อกบนฟิลด์อื่น)

หน้าของโพลีโทปนูนคือจุดตัดใดๆ ของโพลีโทปกับครึ่งพื้นที่ โดยที่ไม่มีจุดภายในใดๆ ของโพลีโท ปอยู่บนขอบของครึ่งพื้นที่ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง หน้าคือเซตของจุดที่ทำให้เกิดความเท่าเทียมกันในอสมการที่ถูกต้องของโพลีโทป^{[ 5 ] : 258}

ถ้าโพลีโทปมี มิติ d มิติ ด้านของมันจะเป็นหน้าที่มีมิติ ( d  − 1) มิติ จุดยอด ของมัน จะเป็นหน้าที่มีมิติ 0 มิติขอบ ของมัน จะเป็นหน้าที่มีมิติ 1 มิติ และสัน ของมัน จะเป็นหน้าที่มีมิติ ( d  − 2) มิติ

กำหนดให้โพลีโทปนูนPถูกกำหนดโดยอสมการเมทริกซ์ถ้าแต่ละแถวใน เมทริก ซ์ Aสอดคล้องกับระนาบขอบเขตและเป็นอิสระเชิงเส้นจากแถวอื่นๆ แล้ว แต่ละด้านของPจะสอดคล้องกับแถวใดแถวหนึ่งของA อย่างแน่นอน และในทางกลับกัน ตราบใดที่ความเท่าเทียมกันเป็นจริง จุดแต่ละจุดบนด้านที่กำหนดจะสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันเชิงเส้นของแถวที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์ (อาจจะสอดคล้องหรือไม่สอดคล้องกับความเท่าเทียมกันในแถวอื่นๆ ก็ได้ ) ในทำนองเดียวกัน จุดแต่ละจุดบนสันจะสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันในสองแถวของA${\displaystyle Ax\leq b}$

โดยทั่วไปแล้ว หน้าที่มีมิติ ( n  −  j ) จะสอดคล้องกับความเท่าเทียมกันใน แถวเฉพาะ jแถวของเมทริกซ์ Aแถวเหล่านี้ประกอบกันเป็นฐานของหน้า ในทางเรขาคณิต หมายความว่า หน้าคือเซตของจุดบนรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อยู่ในจุดตัดของระนาบล้อมรอบรูปทรงหลายเหลี่ยมจำนวน j ระนาบ

หน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนจึงก่อตัวเป็นโครงข่ายออยเลอร์ ที่เรียกว่าโครงข่ายหน้าโดยการเรียงลำดับบางส่วนเป็นไปตามการบรรจุเซตของหน้า นิยามของหน้าที่กล่าวมาข้างต้นทำให้สามารถพิจารณาทั้งรูปทรงหลายเหลี่ยมเองและเซตว่างเป็นหน้าได้ ทำให้มั่นใจได้ว่าทุกคู่ของหน้าจะมีจุดเชื่อมต่อและจุดตัดในโครงข่ายหน้า รูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดเป็นองค์ประกอบสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันของโครงข่าย และเซตว่างซึ่งถือว่าเป็นหน้ามิติ (−1) ( รูปทรงหลายเหลี่ยมว่าง ) ของทุกรูปทรงหลายเหลี่ยม เป็นองค์ประกอบต่ำสุดที่ไม่ซ้ำกันของโครงข่าย

รูปทรงหลายเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าสมมาตรเชิงการจัดเรียง (combinatorially isomorphic ) หากโครงตาข่ายหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้ง สองนั้น สมมาตรกัน

กราฟโพลีโทป (หรือกราฟโพลีโทปัลกราฟขอบ กราฟของโพลีโทปหรือโครงร่าง 1 มิติ ) คือเซตของจุดยอดและขอบของโพลีโทปเท่านั้น โดยไม่สนใจหน้าที่มีมิติสูงกว่า ตัวอย่างเช่นกราฟทรงหลายเหลี่ยมคือกราฟโพลีโทปของโพลีโทปสามมิติ จากผลลัพธ์ของWhitney ^{[ 7 ]} แลตทิซหน้าของโพลีโทปสามมิติถูกกำหนดโดยกราฟของมัน เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับโพลีโทปแบบง่ายที่มีมิติใดๆ (Blind & Mani-Levitska 1987 พิสูจน์สมมติฐานของMicha Perles ) ^{[ 8 ]} Kalai (1988) ^{[ 9 ]} ให้การพิสูจน์อย่างง่าย โดยอาศัยการวางแนวของซิงค์ที่ไม่ซ้ำกันเนื่องจากโครงตาข่ายหน้าของโพลีโทปเหล่านี้ถูกกำหนดโดยกราฟของพวกมัน ปัญหาของการตัดสินใจว่าโพลีโทปสามมิติหรือโพลีโทปนูนแบบง่ายสองอันมีความสมมาตรเชิงคอมบินาทอรีหรือไม่ สามารถกำหนดได้เทียบเท่ากับกรณีพิเศษของปัญหาความสมมาตรของกราฟอย่างไรก็ตาม ยังสามารถแปลปัญหาเหล่านี้ในทิศทางตรงกันข้ามได้เช่นกัน ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการทดสอบความสมมาตรของโพลีโทปนั้นสมบูรณ์แบบด้วยความสมมาตรของกราฟ^{[ 10 ]}

โพลีโทปนูน เช่นเดียวกับเซตย่อยนูนขนาดกะทัดรัดใดๆ ของR ⁿจะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับลูกบอลปิด^{[ 11 ]}ให้mแทนมิติของโพลีโทป ถ้าโพลีโทปมีมิติเต็มm = nดังนั้น โพลีโทปนูนจึงเป็นแมนิโฟลด์มิติmที่มีขอบเขตลักษณะออยเลอร์ ของมัน คือ 1 และกลุ่มพื้นฐาน ของมัน คือกลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญ ขอบเขตของโพลีโทปนูนเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ ทรงกลมมิติ ( m  − 1)ลักษณะออยเลอร์ของขอบเขตคือ 0 สำหรับm คู่ และ 2 สำหรับmคี่ ขอบเขตอาจถือได้ว่าเป็นการปูพื้น ของ ปริภูมิทรง กลมมิติ ( m  − 1) — กล่าวคือเป็นการ ปูกระเบื้อง ทรง กลม

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสามารถแยกย่อยออกเป็นคอมเพล็กซ์เชิงซิม เพล็กซ์ หรือการรวมกันของซิมเพล็กซ์ซึ่งมีคุณสมบัติบางประการ

กำหนดให้โพลี โทปนูน rมิติPเซตย่อยของจุดยอดที่มีจุดอิสระเชิงเส้น ( r + 1) จุด จะกำหนดซิ มเพล็กซ์r มิติ สามารถสร้างชุดของเซตย่อยได้ โดยที่ผลรวมของซิมเพล็กซ์ที่สอดคล้องกันจะเท่ากับPและจุดตัดของซิมเพล็กซ์สองอันใดๆ จะเป็นเซตว่างหรือซิมเพล็กซ์ที่มีมิติต่ำกว่า การแยกส่วนซิมเพล็กซ์นี้เป็นพื้นฐานของวิธีการคำนวณปริมาตรของโพลีโทปนูนหลายวิธี เนื่องจากปริมาตรของซิมเพล็กซ์สามารถกำหนดได้ง่ายด้วยสูตร^{[ 12 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติทุกทรง ( ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ) สามารถแบ่งออกเป็นจำนวนคู่ของโครงร่างตั้งฉากเฉพาะ ของมัน ได้

การแสดงรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนในรูปแบบต่างๆ มีประโยชน์ใช้สอยแตกต่างกัน ดังนั้นการสร้างการแสดงรูปแบบหนึ่งโดยกำหนดอีกรูปแบบหนึ่งจึงเป็นปัญหาสำคัญ ปัญหาการสร้างการแสดงรูปแบบ V เรียกว่าปัญหาการแจงนับจุดยอดและปัญหาการสร้างการแสดงรูปแบบ H เรียกว่าปัญหาการแจงนับหน้าตัดแม้ว่าเซตของจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีขอบเขตจะกำหนดรูปทรงนั้นได้อย่างเฉพาะเจาะจง แต่ในการใช้งานต่างๆ การรู้รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงการจัดเรียงของรูปทรงหลายเหลี่ยม เช่น โครงสร้างตาข่ายของหน้าตัดนั้นมีความสำคัญอัลกอริทึมการหาขอบนูน ต่างๆ สามารถจัดการได้ทั้งการแจงนับหน้าตัดและการสร้างโครงสร้างตาข่ายของหน้าตัด

ในกรณีระนาบ เช่น สำหรับรูปหลายเหลี่ยมนูนปัญหาการแจงนับทั้งหน้าและจุดยอดนั้นเทียบเท่ากับการเรียงลำดับจุดยอด (หรือขอบ) รอบขอบนูน ซึ่งเป็นงานที่ง่ายเมื่อระบุรูปหลายเหลี่ยมนูนในลักษณะดั้งเดิมสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเช่น โดยลำดับของจุดยอดเมื่อรายการจุดยอด (หรือขอบ) ที่ป้อนเข้ามาไม่ได้เรียงลำดับความซับซ้อนของเวลาของปัญหาจะกลายเป็นO ( m  log  m ) ^{[ 13 ]}ขอบเขตล่างที่ตรงกันเป็นที่รู้จักใน แบบจำลอง ต้นไม้ตัดสินใจเชิงพีชคณิตของการคำนวณ^{[ 14 ]}${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{m}}$

งานการคำนวณปริมาตรของโพลีโทปนูนได้รับการศึกษาในสาขาเรขาคณิตเชิงคำนวณปริมาตรสามารถคำนวณได้โดยประมาณเช่น โดยใช้ เทคนิค การประมาณปริมาตรนูนเมื่อสามารถเข้าถึงออราเคิล สมาชิกได้ สำหรับการคำนวณที่แม่นยำอุปสรรคอย่างหนึ่งคือ เมื่อกำหนดให้โพลีโทปนูนแสดงเป็นระบบสมการอสมการเชิงเส้น ปริมาตรของโพลีโทปอาจมีความยาวบิตที่ไม่เป็นพหุนามในการแสดงนี้^{[ 15 ]}

• เมทริกซ์เชิงทิศทาง
• รูปทรงหลายเหลี่ยมเนฟ
• ทฤษฎีบทของสไตน์นิทซ์สำหรับทรงหลายเหลี่ยมนูน

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน (Convex polytopes )

• โคเมอิ ฟุกุดะ , คำถามที่พบบ่อย เกี่ยวกับการคำนวณทรงหลายเหลี่ยม