ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ฟิลด์เทนเซอร์คือฟังก์ชันที่กำหนดค่าเทนเซอร์ให้กับแต่ละจุดในบริเวณของปริภูมิทางคณิตศาสตร์ (โดยทั่วไปคือปริภูมิยุคลิดหรือแมนิโฟลด์ ) หรือปริภูมิทางกายภาพซึ่งในกรณีนี้ปริมาณฟิลด์จะได้รับหน่วยวัดฟิลด์เทนเซอร์ถูกใช้ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปในการวิเคราะห์ความเค้นและความเครียดในวัตถุ และในการประยุกต์ใช้มากมายในวิทยาศาสตร์กายภาพเนื่องจากเทนเซอร์เป็นการขยายความของสเกลาร์ (ตัวเลขบริสุทธิ์ที่แสดงค่า เช่น ความเร็ว) และเวกเตอร์ (ขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว) ฟิลด์เทนเซอร์จึงเป็นการขยายความของฟิลด์สเกลาร์และฟิลด์เวกเตอร์ที่กำหนดค่าสเกลาร์หรือเวกเตอร์ให้กับแต่ละจุดในปริภูมิ ตามลำดับ ถ้าเทนเซอร์Aถูกกำหนดบนเซตฟิลด์เวกเตอร์X(M)บนโมดูลMเราเรียกAว่าฟิลด์เทนเซอร์บนM ^{[ 1 ]} ในการใช้งานทั่วไป ฟิลด์เทนเซอร์มักจะถูกเรียกในรูปแบบย่อว่า "เทนเซอร์" ตัวอย่างเช่นเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์หมายถึงฟิลด์ เทนเซอร์ เนื่องจากมันเชื่อมโยงเทนเซอร์กับแต่ละจุดของแมนิโฟลด์รีมันน์ ซึ่งเป็นปริภูมิเชิงทอพอโล ยี

ให้เป็นแมนิโฟลด์เช่น ปริภูมิยุคลิด${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

คำจำกัดความ ฟิลด์เทนเซอร์ประเภทคือ ส่วน ${\displaystyle (p,q)}$

$${\displaystyle T\ \in \ \Gamma (M,V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q})}$$

โดยที่คือกลุ่มเวกเตอร์สัมผัสของ(ซึ่งส่วนต่างๆ เรียกว่าฟิลด์เวกเตอร์หรือฟิลด์เวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์ในทางฟิสิกส์) และคือกลุ่มเวกเตอร์คู่ของมัน ซึ่งก็คือปริภูมิโคแทนเจนต์ (ซึ่งส่วนต่างๆ เรียกว่าฟอร์ม 1 หรือฟิลด์เวกเตอร์โคแวเรียนต์ในทางฟิสิกส์) และคือผลคูณเทนเซอร์ของกลุ่มเวกเตอร์${\displaystyle V=TM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V^{*}=T^{*}M}$${\displaystyle \otimes }$

ในทำนองเดียวกัน ฟิลด์เทนเซอร์คือกลุ่มขององค์ประกอบสำหรับทุกจุดโดยที่ในที่นี้หมายถึงผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งประกอบเป็นแผนที่เรียบองค์ประกอบเหล่านี้เรียกว่าเทนเซอร์ ${\displaystyle T_{x}\in V_{x}^{\otimes p}\otimes (V_{x}^{*})^{\otimes q}}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle T:M\rightarrow V^{\otimes p}\otimes (V^{*})^{\otimes q}}$${\displaystyle T_{x}}$

ในบริเวณพิกัดใกล้เคียงที่มีพิกัดเรามีฐานเวกเตอร์ฟิลด์เฉพาะที่ (Vielbein) และฐานคู่ของรูปแบบ 1 ดังนั้น ในบริเวณพิกัดใกล้เคียงเราจะมี โดยที่ในที่นี้และต่อไป เราใช้หลักการรวมผลบวกของไอน์สไตน์ โปรดทราบว่าถ้าเราเลือกใช้ระบบพิกัดที่แตกต่างกันแล้วและโดยที่พิกัดสามารถแสดงในพิกัดและในทางกลับกัน ดังนั้น ${\displaystyle U}$${\displaystyle x^{1},\ldots x^{n}}$${\displaystyle \partial _{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\ldots \partial _{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}}$${\displaystyle dx^{1},\ldots dx^{n}}$${\displaystyle dx^{i}(\partial _{j})=\partial _{j}x^{i}=\delta _{j}^{i}}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle T_{x}=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\partial _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{i_{p}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}}$$${\displaystyle y^{1}\ldots y^{n}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k}}}}$${\displaystyle dx^{j}={\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{\ell }}}dy^{\ell }}$${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$${\displaystyle (y^{1},\ldots y^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{x}&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{i_{p}}}}\otimes dx^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{j_{q}}\\&=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}{\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\&=T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n}){\frac {\partial }{\partial y^{k_{1}}}}\otimes \cdots \otimes {\frac {\partial }{\partial y^{k_{p}}}}\otimes dy^{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes dy^{\ell _{q}}\\\end{aligned}}}$$ กล่าวคือ ระบบของฟังก์ชันดัชนี(หนึ่งระบบสำหรับแต่ละตัวเลือกของระบบพิกัด) ที่เชื่อมต่อกันด้วยการแปลงดังที่กล่าวมาข้างต้น คือเทนเซอร์ในคำจำกัดความด้านล่าง $${\displaystyle T_{\ell _{1},\cdots \ell _{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}(y^{1},\ldots y^{n})=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n}){\frac {\partial y^{k_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial y^{k_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial y^{\ell _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial y^{\ell _{q}}}}}$$${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots i_{p}}(x^{1},\ldots ,x^{n})}$

หมายเหตุ โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถกำหนด ให้ เป็นเวกเตอร์บันเดิล ใดๆ บนและเป็นบันเดิลคู่ของมันในกรณีนั้น สามารถเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ทั่วไปกว่าได้ ส่วนต่างๆ เหล่านี้เรียกว่าเทนเซอร์ของหรือเรียกสั้นๆ ว่าเทนเซอร์ หากไม่มีความสับสนเกิดขึ้น ${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถมองเห็นภาพสนามเวกเตอร์ได้ดีที่สุดในรูปของ "ลูกศร" ที่ติดอยู่กับแต่ละจุดในบริเวณหนึ่งๆ โดยมีความยาวและทิศทางที่เปลี่ยนแปลงได้ ตัวอย่างหนึ่งของสนามเวกเตอร์บนพื้นที่โค้งคือแผนที่สภาพอากาศที่แสดงความเร็วลมในแนวนอน ณ แต่ละจุดบนพื้นผิวโลก

ทีนี้ลองพิจารณาฟิลด์ที่ซับซ้อนกว่านี้ดูบ้าง ตัวอย่างเช่น ถ้าแมนิโฟลด์เป็นแบบรีมันน์ มันจะมีฟิลด์เมตริกโดยที่เมื่อกำหนดเวกเตอร์สองตัวใดๆที่จุดผลคูณภายในของเวกเตอร์ทั้งสองคือฟิลด์นี้อาจอยู่ในรูปเมทริกซ์ก็ได้ แต่ขึ้นอยู่กับการเลือกพิกัด หรืออาจอยู่ในรูปวงรีรัศมี 1 ที่แต่ละจุด ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด เมื่อนำไปใช้กับพื้นผิวโลก นี่คืออินดิเคทริกซ์ของทิสโซต์ ${\displaystyle g}$${\displaystyle v,w}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g_{x}(v,w)}$${\displaystyle g}$

โดยทั่วไป เราต้องการกำหนดฟิลด์เทนเซอร์ในลักษณะที่ไม่ขึ้นกับพิกัด กล่าวคือ ฟิลด์เทนเซอร์ควรมีอยู่โดยไม่ขึ้นกับละติจูดและลองจิจูด หรือ "การฉายภาพทางภูมิศาสตร์" ใดๆ ที่เราใช้ในการกำหนดพิกัดเชิงตัวเลข

ตามSchouten (1951)และMcConnell (1957)แนวคิดของเทนเซอร์อาศัยแนวคิดของกรอบอ้างอิง (หรือระบบพิกัด ) ซึ่งอาจคงที่ (สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงพื้นหลังบางอย่าง) แต่โดยทั่วไปอาจอนุญาตให้เปลี่ยนแปลงได้ภายในกลุ่มการแปลงของระบบพิกัดเหล่านี้^{[ 2 ]}

ตัวอย่างเช่น พิกัดที่อยู่ในปริภูมิพิกัดจริงnมิติอาจถูกแปลงด้วยการแปลงเชิงเส้น แบบใดก็ได้ : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}}$

(โดยมีดัชนีn มิติ และ ผลรวมจะถูกกำหนดโดยปริยาย ) เวกเตอร์โคแวเรียนต์ หรือโคเวกเตอร์ คือระบบของฟังก์ชันที่แปลงรูปภายใต้การแปลงเชิงเส้นแบบนี้โดยใช้กฎ ${\displaystyle v_{k}}$

${\displaystyle v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.}$

รายการเวกเตอร์ฐานพิกัดคาร์ทีเซียนจะแปลงเป็นโคเวกเตอร์ เนื่องจากภายใต้การแปลงเชิงเส้นตรงเวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์คือระบบของฟังก์ชันของพิกัดซึ่งภายใต้การแปลงเชิงเส้นตรงดังกล่าวจะเกิดการแปลง ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle v^{k}}$

${\displaystyle v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.}$

นี่คือข้อกำหนดที่จำเป็นอย่างยิ่งเพื่อให้แน่ใจว่าปริมาณนั้นเป็นวัตถุที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดที่เลือก โดยทั่วไปแล้ว พิกัดของเทนเซอร์ที่มีวาเลนซ์ ( p , q ) จะมี ดัชนีบน pตัวและ ดัชนีล่าง qตัว โดยมีกฎการแปลงเป็น ${\displaystyle v^{k}\mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle {T^{i_{1}\cdots i_{p}}}_{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i'_{1}}^{i_{1}}\cdots A_{i'_{p}}^{i_{p}}{T^{i'_{1}\cdots i'_{p}}}_{j'_{1}\cdots j'_{q}}(A^{-1})_{j_{1}}^{j'_{1}}\cdots (A^{-1})_{j_{q}}^{j'_{q}}.}$

แนวคิดของฟิลด์เทนเซอร์อาจได้มาจากการกำหนดค่าเฉพาะของการแปลงพิกัดที่อนุญาตให้เป็นแบบเรียบ (หรือสามารถหาอนุพันธ์ได้ เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ฯลฯ) ฟิลด์โคเวกเตอร์คือฟังก์ชันของพิกัดที่แปลงโดยจาโคเบียนของฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน (ในกลุ่มที่กำหนด) ในทำนองเดียวกัน ฟิลด์เวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์จะแปลงโดยจาโคเบียนผกผัน ${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle v^{k}}$

บันเดิลเทนเซอร์คือบันเดิลไฟเบอร์โดยที่ไฟเบอร์เป็นผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิแทนเจนต์และ/หรือปริภูมิโคแทนเจนต์ของปริภูมิฐานซึ่งเป็นแมนิโฟลด์จำนวนใดๆ ก็ได้ ดังนั้น ไฟเบอร์จึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ และบันเดิลเทนเซอร์จึงเป็น บันเดิลเวกเตอร์ชนิด พิเศษ

เวกเตอร์บันเดิลเป็นแนวคิดตามธรรมชาติของ "ปริภูมิเวกเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์อย่างต่อเนื่อง (หรืออย่างราบรื่น)" โดยที่พารามิเตอร์คือจุดต่างๆ บนแมนิโฟลด์Mตัวอย่างเช่นปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติที่ขึ้นอยู่กับมุมอาจมีลักษณะคล้ายแถบโมเบียสหรืออาจมีลักษณะคล้ายทรงกระบอกเมื่อกำหนดเวกเตอร์บันเดิลVบนM แล้ว แนวคิดของฟิลด์ที่สอดคล้องกันเรียกว่าส่วนของบันเดิล: สำหรับmที่แปรผันไปตามMการเลือกเวกเตอร์

v ในV ,

โดยที่V คือปริภูมิเวกเตอร์ "ที่" m

เนื่องจาก แนวคิด เรื่องผลคูณเทนเซอร์ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานใดๆ การหาผลคูณเทนเซอร์ของกลุ่มเวกเตอร์สองกลุ่มบนMจึงเป็นเรื่องง่าย โดยเริ่มจากกลุ่มสัมผัส (กลุ่มของปริภูมิสัมผัส ) กลไกทั้งหมดที่อธิบายไว้ในการจัดการเทนเซอร์โดยไม่ขึ้นกับส่วนประกอบจะถูกนำมาใช้ในลักษณะที่เป็นเรื่องง่าย – โดยไม่ขึ้นกับพิกัดเช่นกัน ดังที่กล่าวไว้ในบทนำ

ดังนั้น เราจึงสามารถให้นิยามของฟิลด์เทนเซอร์ได้นั่นคือ เป็นส่วนหนึ่งของบันเดิลเทนเซอร์ บางอย่าง (มีบันเดิลเวกเตอร์ที่ไม่ใช่บันเดิลเทนเซอร์ เช่น แถบโมเบียส) ซึ่งรับประกันได้ว่ามีเนื้อหาทางเรขาคณิต เนื่องจากทุกอย่างทำในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ กล่าวคือ ฟิลด์เทนเซอร์จะกำหนดเทนเซอร์ในปริภูมิให้กับจุดใดๆ บนแมนิโฟลด์

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},}$

โดยที่Vคือปริภูมิสัมผัสณ จุดนั้น และV ^*คือปริภูมิโคสัมผัสดูเพิ่มเติมที่บันเดิลสัมผัสและบันเดิลโคสัมผัส

กำหนดให้มีเทนเซอร์บันเดิลสองชุดE → MและF → Mแผนที่เชิงเส้นA : Γ( E ) → Γ( F ) จากปริภูมิของส่วนตัดของEไปยังส่วนตัดของFสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นส่วนตัดเทนเซอร์ของก็ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับA ( fs ) = fA ( s ) สำหรับแต่ละส่วนตัดsใน Γ( E ) และแต่ละฟังก์ชันเรียบfบนMดังนั้น ส่วนตัดเทนเซอร์จึงไม่ใช่แค่แผนที่เชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์ของส่วนตัดเท่านั้น แต่ยังเป็น แผนที่เชิงเส้น C ^∞ ( M ) บนโมดูลของส่วนตัดด้วย คุณสมบัตินี้ใช้ในการตรวจสอบ ตัวอย่างเช่น ว่าถึงแม้ว่าอนุพันธ์ลีและอนุพันธ์ร่วมแปรจะไม่ใช่เทนเซอร์ แต่ เทน เซอร์ทอร์ชั่นและเทนเซอร์ความโค้งที่สร้างจากพวกมันนั้นเป็น เทนเซอร์${\displaystyle \scriptstyle E^{*}\otimes F}$

สัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับฟิลด์เทนเซอร์บางครั้งอาจคล้ายคลึงกับสัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับปริภูมิเทนเซอร์จนทำให้สับสนได้ ดังนั้น บันเดิลสัมผัสTM = T ( M ) บางครั้งอาจเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}$

เพื่อเน้นย้ำว่ากลุ่มสัมผัสคือปริภูมิช่วงของสนามเทนเซอร์ (1,0) (เช่น สนามเวกเตอร์) บนแมนิโฟลด์Mสิ่งนี้ไม่ควรสับสนกับสัญลักษณ์ที่ดูคล้ายกันมาก

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$;

ในกรณีหลัง เราจะมีปริภูมิเทนเซอร์เพียงหนึ่งเดียว ในขณะที่ในกรณีแรก เรา จะ มีปริภูมิเทนเซอร์ที่กำหนดไว้สำหรับแต่ละจุดในแมนิโฟลด์M

ตัวอักษรเขียนหวัด (ตัวเขียน) บางครั้งใช้เพื่อแสดงถึงเซตของ ฟิลด์เทนเซอร์ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งบนMดังนั้น

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}$

คือส่วนต่างๆ ของบันเดิลเทนเซอร์ ( m , n ) บนMที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้ง ฟิลด์เทนเซอร์เป็นสมาชิกของเซตนี้

มีอีกวิธีหนึ่งที่เป็นนามธรรมมากกว่า (แต่ก็มักมีประโยชน์) ในการอธิบายลักษณะของฟิลด์เทนเซอร์บนแมนิโฟลด์M ซึ่งทำให้ฟิลด์เทนเซอร์กลายเป็นเทนเซอร์ที่แท้จริง (เช่นการแมปเชิงเส้นเดี่ยว) แม้ว่าจะเป็นเทนเซอร์ประเภทที่แตกต่างกัน (ถึงแม้ว่านี่จะ^{ไม่ใช่}เหตุผลหลักที่มักพูดว่า "เทนเซอร์" เมื่อหมายถึง "ฟิลด์เทนเซอร์") ประการแรก เราอาจพิจารณาเซตของฟิลด์เวกเตอร์เรียบ ( C∞ ) ทั้งหมดบนM ( ดูส่วนเกี่ยวกับสัญลักษณ์ด้านบน) เป็นปริภูมิเดียว – โมดูลเหนือวงแหวนของฟังก์ชันเรียบC∞ ( M ) โดยการคูณสเกลาร์แบบจุดต่อจุด แนวคิดของความเป็นเชิงเส้นหลายตัวและผลคูณเท ^นเซอร์สามารถขยายไปยังกรณีของโมดูลเหนือวงแหวนสลับที่ ใดๆ ได้ อย่างง่ายดาย${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M):={\mathcal {T}}_{0}^{1}(M)}$

เพื่อเป็นตัวอย่างที่กระตุ้นให้เกิดแรงจูงใจ ลองพิจารณาปริภูมิของฟิลด์โคเวกเตอร์เรียบ ( 1-ฟอร์ม ) ซึ่งเป็นโมดูลเหนือฟังก์ชันเรียบเช่นกัน ฟิลด์เหล่านี้จะกระทำกับฟิลด์เวกเตอร์เรียบเพื่อให้ได้ฟังก์ชันเรียบโดยการประเมินค่าแบบจุดต่อจุด กล่าวคือ เมื่อกำหนดฟิลด์โคเวกเตอร์ωและฟิลด์เวกเตอร์Xเราจะกำหนด ${\displaystyle \Omega ^{1}(M)={\mathcal {T}}_{1}^{0}(M)}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(X)(p):=\omega (p)(X(p)).}$

เนื่องจากลักษณะเฉพาะจุดของทุกสิ่งที่เกี่ยวข้อง การกระทำของบนXจึงเป็น แผนที่เชิงเส้น C ^∞ ( M ) นั่นคือ ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$

${\displaystyle {\tilde {\omega }}(fX)(p)=\omega (p)((fX)(p))=\omega (p)(f(p)X(p))=f(p)\omega (p)(X(p))=(f\omega )(p)(X(p))=(f{\tilde {\omega }})(X)(p)}$

สำหรับp ใดๆ ในMและฟังก์ชันเรียบfดังนั้นเราจึงสามารถมองฟิลด์โคเวกเตอร์ไม่เพียงแต่เป็นส่วนตัดของบันเดิลโคแทนเจนต์เท่านั้น แต่ยังเป็นการแมปเชิงเส้นของฟิลด์เวกเตอร์ไปยังฟังก์ชันอีกด้วย โดยการสร้างแบบคู่ขนาน ฟิลด์เวกเตอร์สามารถแสดงได้ในทำนองเดียวกันเป็นการแมปของฟิลด์โคเวกเตอร์ไปยังฟังก์ชัน (กล่าวคือ เราสามารถเริ่มต้น "โดยตรง" ด้วยฟิลด์โคเวกเตอร์และค่อยๆ พัฒนาต่อไปจากจุดนั้น)

ในลักษณะคู่ขนานอย่างสมบูรณ์กับการสร้างเทนเซอร์เดี่ยวทั่วไป (ไม่ใช่ฟิลด์เทนเซอร์!) บนM ในฐานะแผนที่เชิงเส้นหลายตัวบนเวกเตอร์และโคเวกเตอร์ เราสามารถพิจารณาฟิลด์เทนเซอร์ทั่วไป ( k , l ) บนMในฐานะ แผนที่เชิงเส้นหลายตัว C∞ ( M ) ที่กำหนดบน สำเนา kชุดของและสำเนาl ^ชุด ของ ไป^ยังC∞ ( M ) ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$

ทีนี้ เมื่อกำหนดฟังก์ชันการแมปT ใดๆ จากผลคูณของkสำเนาของและ lสำเนาของไปยังC ^∞ ( M ) แล้ว ปรากฏว่ามันเกิดขึ้นจากฟิลด์เทนเซอร์บนMก็ต่อเมื่อมันเป็นแบบมัลติลิเนียร์เหนือC ^∞ ( M ) เท่านั้น กล่าวคือC ^∞ ( M )-โมดูลของฟิลด์เทนเซอร์ประเภทเหนือMนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงแคนอนิกกับC ^∞ ( M )- โมดูลของรูปแบบมัลติลิเนียร์C ^∞ ( M )${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle (k,l)}$

${\displaystyle \underbrace {\Omega ^{1}(M)\times \ldots \times \Omega ^{1}(M)} _{l\ \mathrm {times} }\times \underbrace {{\mathfrak {X}}(M)\times \ldots \times {\mathfrak {X}}(M)} _{k\ \mathrm {times} }\to C^{\infty }(M).}$^{[ 3 ]}

ความเป็นหลายเชิงเส้นในลักษณะนี้แสดงให้เห็นโดยปริยายว่าเรากำลังจัดการกับวัตถุที่กำหนด ณ จุดใดจุดหนึ่งโดยเฉพาะ นั่นคือฟิลด์เทนเซอร์ ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันที่แม้จะประเมินค่า ณ จุดเดียว ก็ยังขึ้นอยู่กับค่าทั้งหมดของฟิลด์เวกเตอร์และ 1-ฟอร์มพร้อมกัน

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้กฎทั่วไปนี้บ่อยครั้งคือ การแสดงให้เห็นว่าการเชื่อมต่อ Levi-Civitaซึ่งเป็นการแมปของสนามเวกเตอร์เรียบที่แปลงสนามเวกเตอร์คู่หนึ่งไปเป็นสนามเวกเตอร์หนึ่ง ไม่ได้กำหนดสนามเทนเซอร์บนMเนื่องจากมันเป็นเพียงเชิงเส้นในY เท่านั้น [แทนที่จะเป็น เชิงเส้น C ^∞ ( M ) อย่างสมบูรณ์ มันเป็นไปตามกฎของ Leibniz ] อย่างไรก็ตาม ต้องเน้นย้ำว่าถึงแม้ว่ามันจะไม่ใช่สนามเทนเซอร์ แต่มันก็ยังคงมีคุณสมบัติเป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่มีการตีความแบบปราศจากส่วนประกอบ ${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$

เทนเซอร์ความโค้งถูกกล่าวถึงในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และเทนเซอร์ความเครียด-พลังงาน มีความสำคัญในฟิสิกส์ โดยเทนเซอร์ทั้งสองนี้มีความสัมพันธ์กันตามทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์

ในแม่เหล็กไฟฟ้าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจะรวมกันเป็นสนามเทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า

รูปแบบเชิงอนุพันธ์ซึ่งใช้ในการกำหนดนิยามของการอินทิเกรตบนแมนิโฟลด์ เป็นประเภทหนึ่งของฟิลด์เทนเซอร์

ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและสาขาอื่นๆสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดในรูปของฟิลด์เทนเซอร์ให้วิธีการทั่วไปมากในการแสดงความสัมพันธ์ที่มีลักษณะทางเรขาคณิต (รับประกันโดยธรรมชาติของเทนเซอร์) และเชื่อมโยงกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ตามธรรมเนียม แม้แต่การกำหนดสมการดังกล่าวก็ยังต้องการแนวคิดใหม่ นั่นคืออนุพันธ์ร่วมแปร (covariant derivative ) ซึ่งจัดการกับการกำหนดรูปแบบการเปลี่ยนแปลงของฟิลด์เทนเซอร์ไปตามฟิลด์เวกเตอร์ แนวคิด แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์ดั้งเดิมซึ่งต่อมาเรียกว่าแคลคูลัสเทนเซอร์นำไปสู่การแยกแนวคิดทางเรขาคณิตของการเชื่อมต่อ

การขยายแนวคิดของสนามเทนเซอร์นั้นรวมถึงบันเดิลเส้น พิเศษ LบนMด้วย ถ้าWคือบันเดิลผลคูณเทนเซอร์ของVกับLแล้วWก็คือบันเดิลของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติเท่ากับV พอดี สิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดแนวคิดของความหนาแน่นเทนเซอร์ซึ่งเป็นสนามเทนเซอร์แบบ 'บิดเบี้ยว' ได้ความหนาแน่นเทนเซอร์เป็นกรณีพิเศษที่Lคือบันเดิลของความหนาแน่นบนแมนิโฟลด์กล่าวคือ บันเดิ ลดีเทอร์มิแนนต์ของบันเดิลโคแทนเจนต์ (เพื่อให้ถูกต้องอย่างเคร่งครัด ควรใช้ค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน ด้วย – ซึ่งแทบไม่มีความแตกต่างสำหรับแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้ ) สำหรับคำอธิบายแบบดั้งเดิมมากขึ้น โปรดดูบทความเกี่ยว กับความหนาแน่นเทนเซอร์

คุณสมบัติหนึ่งของกลุ่มความหนาแน่น (โดยสมมติว่าสามารถกำหนดทิศทางได้) LคือL ^s นั้น ถูกกำหนดไว้อย่างดีสำหรับค่าจำนวนจริงของsซึ่งสามารถอ่านได้จากฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริงบวกอย่างเคร่งครัด นั่นหมายความว่า ตัวอย่างเช่น เราสามารถใช้ความหนาแน่นครึ่งหนึ่ง ได้ ซึ่งเป็นกรณีที่s = ⁠1/2โดย ทั่วไปเราสามารถนำส่วนต่างๆ ของWซึ่งเป็นผลคูณเทนเซอร์ของVกับL ^sมาพิจารณาฟิลด์ความหนาแน่นเทนเซอร์ที่มีน้ำหนักsได้

ความหนาแน่นครึ่งหนึ่งถูกนำไปประยุกต์ใช้ในด้านต่างๆ เช่น การกำหนดตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์บนแมนิโฟลด์ และการหาปริมาณเชิงเรขาคณิต

เมื่อMเป็นปริภูมิยุคลิดและฟิลด์ทั้งหมดถือว่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อถูกเลื่อนโดยเวกเตอร์ของMเราจะกลับไปสู่สถานการณ์ที่ฟิลด์เทนเซอร์มีความหมายเหมือนกับเทนเซอร์ที่ 'อยู่ ณ จุดกำเนิด' ซึ่งไม่ก่อให้เกิดอันตรายมากนัก และมักถูกนำไปใช้ในแอปพลิเคชันต่างๆ แต่เมื่อนำไปใช้กับความหนาแน่นของเทนเซอร์ มันจะสร้างความแตกต่าง ความหนาแน่นไม่สามารถนิยามได้อย่างจริงจัง ' ณ จุดใดจุดหนึ่ง' ดังนั้นข้อจำกัดของการจัดการเทนเซอร์ทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบันก็คือ ความหนาแน่นของเทนเซอร์ถูกนิยามในลักษณะอ้อมๆ

เพื่อเป็นการอธิบายแนวคิดของเทนเซอร์ ในขั้นสูง เราสามารถตีความกฎลูกโซ่ในกรณีหลายตัวแปร เมื่อนำไปใช้กับการเปลี่ยนแปลงพิกัด ว่าเป็นข้อกำหนดสำหรับแนวคิดของเทนเซอร์ที่สอดคล้องกันเอง ซึ่งก่อให้เกิดฟิลด์เทนเซอร์

โดยสรุปแล้ว เราสามารถระบุได้ว่ากฎลูกโซ่คือ 1- โคไซเคิลมันให้ความสอดคล้องที่จำเป็นในการกำหนดกลุ่มเวกเตอร์สัมผัสในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ กลุ่มเวกเตอร์อื่นๆ ของเทนเซอร์ก็มีโคไซเคิลที่เทียบเคียงได้ ซึ่งมาจากการประยุกต์ใช้ คุณสมบัติ เชิงฟังก์ชันของการสร้างเทนเซอร์กับกฎลูกโซ่เอง นี่คือเหตุผลที่พวกมันเป็นแนวคิดที่เป็นธรรมชาติ (หรือก็คือ 'โดยเนื้อแท้') เช่นกัน

สิ่งที่มักถูกกล่าวถึงว่าเป็นแนวทาง 'คลาสสิก' ในการศึกษาเทนเซอร์นั้น พยายามอ่านสิ่งนี้ย้อนกลับไป – ดังนั้นจึงเป็นแนวทางเชิงอนุมานแบบย้อนหลังมากกว่าจะเป็นแนวทางพื้นฐานอย่างแท้จริง การนิยามเทนเซอร์โดยพิจารณาจากการเปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนพิกัดนั้นแฝงไว้ซึ่งความสอดคล้องในตัวเองแบบเดียวกับที่โคไซเคิลแสดงออกมา การสร้างความหนาแน่นของเทนเซอร์เป็นการ 'บิด' ในระดับโคไซเคิล นักเรขาคณิตไม่เคยสงสัยใน ลักษณะ ทางเรขาคณิตของปริมาณ เทนเซอร์เลย การ ให้ เหตุผล แบบนี้เป็นการพิสูจน์ทฤษฎีทั้งหมดในเชิงนามธรรม

แนวคิดของฟิลด์เทนเซอร์สามารถขยายความได้โดยพิจารณาวัตถุที่แปลงต่างกัน วัตถุที่แปลงเป็นฟิลด์เทนเซอร์ธรรมดาภายใต้การแปลงพิกัด ยกเว้นว่ามันถูกคูณด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนของการแปลงพิกัดผกผันยก กำลัง wด้วยเรียกว่าความหนาแน่นเทนเซอร์ที่มีน้ำหนักw ^{[ 4 ]} ในภาษาของพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวแปร เราสามารถคิดว่าความหนาแน่นเทนเซอร์เป็นแผนที่เชิงเส้นหลายตัวแปรที่รับค่าในบันเดิลความหนาแน่นเช่น พื้นที่ (1 มิติ) ของn-ฟอร์ม (โดยที่nคือมิติของพื้นที่) ตรงข้ามกับการรับค่าในR เท่านั้น "น้ำหนัก" ที่สูงขึ้นจะสอดคล้องกับการนำผลคูณเทนเซอร์เพิ่มเติมกับพื้นที่นี้ในช่วง

กรณีพิเศษคือความหนาแน่นสเกลาร์ ความหนาแน่นสเกลาร์ 1-มิติมีความสำคัญเป็นพิเศษเพราะสามารถนิยามปริพันธ์ของมันบนแมนิโฟลด์ได้อย่างสมเหตุสมผล ตัวอย่างเช่น มันปรากฏในแอคชั่นของไอน์สไตน์-ฮิลเบิร์ตในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ตัวอย่างที่พบบ่อยที่สุดของความหนาแน่นสเกลาร์ 1-มิติคือองค์ประกอบปริมาตรซึ่งเมื่อมีเทนเซอร์เมตริกgจะเป็นรากที่สองของดีเทอ ร์มิแนนต์ ในพิกัด ซึ่งเขียนแทนด้วยเทนเซอร์เมตริกเป็นเทนเซอร์โคแวเรียนต์อันดับ 2 ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของมันจึงแปรผันตามกำลังสองของการเปลี่ยนพิกัด: ${\displaystyle {\sqrt {\det g}}}$

${\displaystyle \det(g')=\left(\det {\frac {\partial x}{\partial x'}}\right)^{2}\det(g),}$

ซึ่งเป็นกฎการแปลงสำหรับความหนาแน่นสเกลาร์ที่มีน้ำหนัก +2

โดยทั่วไปแล้ว ความหนาแน่นเทนเซอร์ใดๆ ก็ตามเป็นผลคูณของเทนเซอร์ธรรมดากับความหนาแน่นสเกลาร์ที่มีน้ำหนักที่เหมาะสม ในภาษาของเวกเตอร์บันเดิลบันเดิลดีเทอร์มิแนนต์ของบันเดิลสัมผัสคือบันเดิลเส้นที่สามารถใช้เพื่อ 'บิด' บันเดิลอื่นๆwครั้ง ในขณะที่ในระดับท้องถิ่น กฎการแปลงทั่วไปสามารถใช้เพื่อระบุเทนเซอร์เหล่านี้ได้จริง แต่ก็มีคำถามในระดับโลกที่เกิดขึ้น ซึ่งสะท้อนให้เห็นว่าในกฎการแปลงนั้น เราอาจเขียนได้ทั้งดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนหรือค่าสัมบูรณ์ของมัน กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มของฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน (บวก) ของบันเดิลความหนาแน่นนั้นสมเหตุสมผล ดังนั้นน้ำหนักของความหนาแน่นในแง่นั้นจึงไม่จำกัดเฉพาะค่าจำนวนเต็ม การจำกัดเฉพาะการเปลี่ยนแปลงพิกัดที่มีดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนเป็นบวกนั้นเป็นไปได้บนแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้เนื่องจากมีวิธีระดับโลกที่สอดคล้องกันในการกำจัดเครื่องหมายลบ แต่มิฉะนั้นบันเดิลเส้นของความหนาแน่นและบันเดิลเส้นของn-ฟอร์มจะแตกต่างกัน สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายที่แท้จริง โปรดดูที่ความหนาแน่นบนแมนิโฟลด์

• ไบเทนเซอร์  – วัตถุเทนเซอร์ที่ขึ้นอยู่กับจุดสองจุดในแมนิโฟลด์
• เจ็ทบันเดิล  – การสร้างในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์
• แคลคูลัสริชชี  – สัญกรณ์ดัชนีเทนเซอร์สำหรับการคำนวณแบบเทนเซอร์
• สนามสปินเนอร์  – โครงสร้างทางเรขาคณิตPages displaying short descriptions of redirect targets