ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตนามธรรมวงแหวนแบบมีลำดับขั้น (graded ring)คือวงแหวนที่กลุ่มบวก พื้นฐาน เป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มอาเบเลียน (abelian groups )โดยที่เซตดัชนี มักจะเป็นเซตของ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบหรือเซตของจำนวนเต็ม แต่สามารถเป็นโมโนอิด (monoid ) ใดก็ได้ การแยกส่วนผลรวมโดยตรงมักเรียกว่าการจัดลำดับขั้น (gradationหรือgrading ) ${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$

โมดูลแบบมีระดับ (graded module)ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน (ดูคำนิยามที่ถูกต้องด้านล่าง) มันเป็นการขยายแนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์แบบมีระดับ (graded vector spaces ) โมดูลแบบมีระดับที่เป็นวงแหวนแบบมีระดับ (graded ring) ด้วย เรียกว่าพีชคณิตแบบมีระดับ (graded algebra ) วงแหวนแบบมีระดับอาจมองได้ว่าเป็นพีชคณิตแบบมีระดับ (graded ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ algebra) เช่นกัน

คุณสมบัติการสลับที่ไม่สำคัญ (อันที่จริงไม่ได้ใช้เลย) ในนิยามของวงแหวนแบบมีลำดับขั้น ดังนั้น แนวคิดนี้จึงใช้ได้กับพีชคณิตที่ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ด้วย เช่น เราสามารถพิจารณาพีชคณิตลีแบบมีลำดับขั้นได้

โดยทั่วไปแล้ว เซตดัชนีของริงแบบแบ่งระดับจะถือว่าเป็นเซตของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นโดยชัดแจ้ง ซึ่งในบทความนี้ก็เป็นเช่นนั้น

วงแหวนแบบแบ่งระดับ คือวงแหวนที่สามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงได้

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

ของ กลุ่มสารเติมแต่งโดยที่

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทั้งหมดและ⁠ ⁠ . ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

กล่าวกันว่าองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของ เป็น องค์ประกอบเอกพันธุ์ที่มีดีกรีโดยนิยามของผลรวมโดยตรง องค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวของสามารถเขียนเป็นผลรวมได้เพียงแบบเดียวโดยที่แต่ละตัว เป็น 0 หรือ เป็น องค์ประกอบเอก พันธุ์ที่มีดีกรีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์เหล่านี้คือ องค์ประกอบ เอก พันธุ์ของ ${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a}$

คุณสมบัติพื้นฐานบางประการมีดังนี้:

• ${\displaystyle R_{0}}$เป็นวงแหวนย่อยของ⁠ ⁠${\displaystyle R}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เอกลักษณ์การคูณเป็นองค์ประกอบเอกพันธุ์ที่มีดีกรีศูนย์${\displaystyle 1}$
• สำหรับค่าใดๆ ก็ตามจะเป็นโมดูลสองด้านและการแยกส่วนผลรวมโดยตรงเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูล${\displaystyle n}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$
• ${\displaystyle R}$เป็นพีชคณิตแบบสมาคม​${\displaystyle R_{0}}$​

ไอเดียลหนึ่ง เรียก ว่าไอเดีย ลเอกพันธุ์ (homogeneous ideal) ถ้าสำหรับทุก⁠ ⁠ส่วนประกอบเอกพันธุ์ของ ⁠ ⁠ ก็เป็นของ⁠ ⁠ด้วย (หรือเทียบเท่า ถ้าเป็นซับโมดูลแบบมีระดับ (graded submodule) ของ⁠ ⁠ดู§ โมดูลแบบมีระดับ ) จุดตัดของไอเดียลเอกพันธุ์กับ ⁠ ⁠คือซับโมดูล แบบมี ระดับของ⁠ ⁠ เรียกว่าส่วน เอก พันธุ์ (homogeneous part ) ที่มีดีกรีเท่ากับ ⁠ ⁠ไอเดียลเอกพันธุ์คือผลรวมโดยตรงของส่วนเอกพันธุ์ของมัน ${\displaystyle I\subseteq R}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$

ถ้าเป็นไอเดียลเอกพันธุ์สองด้านใน⁠ ⁠แล้วก็เป็นวงแหวนแบบแบ่งระดับเช่นกัน โดยแยกย่อยได้ดังนี้ ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R/I=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}/I_{n},}$

ส่วนเอกพันธุ์ของดีกรีของ⁠ ⁠ คือ ที่ใด ${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$

• วงแหวนใดๆ ( ที่ไม่ใช่แบบมีระดับ) Rสามารถกำหนดระดับได้โดยให้⁠ ⁠${\displaystyle R_{0}=R}$และสำหรับi ≠ 0 นี่เรียกว่าระดับแบบไม่ซับซ้อนบน  R${\displaystyle R_{i}=0}$
• วงแหวนพหุนาม แบ่งระดับตามดีกรี : มันเป็นผลรวมโดยตรงของ พหุ นามเอกพันธุ์ดีกรีi${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$${\displaystyle R_{i}}$
• ให้Sเป็นเซตของสมาชิกเอกพันธุ์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดในโดเมนอินทิกรัล แบบแบ่งระดับ Rแล้วการหาตำแหน่งเฉพาะที่ของRเทียบกับSจะเป็นวงแหวนแบบแบ่งระดับ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• ถ้าIเป็นไอเดียลในวงแหวนสลับที่Rแล้ว จะเป็นวงแหวนแบบแบ่งระดับที่เรียกว่าวงแหวนแบบแบ่งระดับที่เกี่ยวข้องของRตามIในทางเรขาคณิต มันคือวงแหวนพิกัดของกรวยปกติตามส่วนย่อยที่กำหนดโดยI${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$
• ให้Xเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และ H i ⁽ X ; R )เป็นกลุ่มโคฮอโมโลยีที่iซึ่งมีสัมประสิทธิ์อยู่ในริงRแล้วH ^* ( X ; R ) ซึ่ง เป็น ริงโคฮอโมโลยีของXที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในRจะเป็นริงแบบแบ่งระดับ ซึ่งกลุ่ม พื้นฐานของมัน คือ H * ที่มีโครงสร้างการคูณที่กำหนดโดยผลคูณแบบคัพ${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$

แนวคิดที่สอดคล้องกันในทฤษฎีโมดูลคือโมดูลแบบแบ่งระดับ กล่าวคือ โมดูล ซ้ายMเหนือวงแหวนแบบแบ่งระดับRโดยที่

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

และ

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

สำหรับ ทุกiและj

ตัวอย่าง:

• ปริภูมิเวกเตอร์แบบมีระดับ (graded vector space ) เป็นตัวอย่างหนึ่งของโมดูลแบบมีระดับเหนือฟิลด์ (โดยที่ฟิลด์นั้นมีระดับแบบไม่มีความสำคัญ)
• วงแหวนแบบมีระดับ (graded ring) คือโมดูลแบบมีระดับเหนือตัวมันเอง ไอเดียลในวงแหวนแบบมีระดับจะเป็นไอเดียลเอกพันธุ์ (homogeneous ideal) ก็ต่อเมื่อมันเป็นโมดูลย่อยแบบมีระดับ (graded submodule) เท่านั้น ตัวทำลาย (annihilator)ของโมดูลแบบมีระดับเป็นไอเดียลเอกพันธุ์
• เมื่อกำหนดไอเดียล Iในริงสลับที่RและโมดูลR Mแล้ว ผลรวมโดยตรงจะเป็นโมดูลแบบแบ่งระดับเหนือริงแบบแบ่งระดับที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

มอร์ฟิซึม ของโมดูลแบบมีระดับ หรือที่เรียกว่ามอร์ฟิซึมแบบมีระดับหรือโฮโมมอร์ฟิซึมแบบมีระดับคือโฮ โม มอร์ฟิซึมของโมดูลพื้นฐานที่เคารพระดับ กล่าวคือ โมดูลย่อยแบบมีระดับ คือ โมดูลย่อยที่เป็นโมดูลแบบมีระดับในตัวของมันเอง และการรวมเชิงเซตเป็นมอร์ฟิซึมของโมดูลแบบมีระดับ กล่าวคือ โมดูลแบบมีระดับNเป็นโมดูลย่อยแบบมีระดับของMก็ต่อเมื่อมันเป็นโมดูลย่อยของM และสอดคล้องกับเงื่อนไข เคอร์เนลและภาพของมอร์ฟิซึมของโมดูลแบบมีระดับเป็นโมดูลย่อยแบบมีระดับ ${\displaystyle f:N\to M}$${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$

หมายเหตุ: การให้มอร์ฟิซึมแบบมีระดับจากริงแบบมีระดับหนึ่งไปยังริงแบบมีระดับอีกริงหนึ่ง โดยที่ภาพของมอร์ฟิซึมนั้นอยู่ตรงกลางจะมีผลเช่นเดียวกับการให้โครงสร้างของพีชคณิตแบบมีระดับแก่ริงหลัง

เมื่อกำหนดโมดูลแบบมีระดับแล้ว- ทวิสต์ของคือโมดูลแบบมีระดับซึ่งกำหนดโดย(ดูชีฟทวิสต์ของ Serreในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ) ${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$

ให้MและNเป็นโมดูลแบบมีระดับ ถ้าf เป็นมอร์ฟิซึมของโมดูลแล้วfจะมีดีกรีdถ้าอนุพันธ์ภายนอกของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เป็นตัวอย่างของมอร์ฟิซึมดังกล่าวที่มีดีกรี 1 ${\displaystyle f\colon M\to N}$${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$

เมื่อกำหนดโมดูลแบบแบ่งระดับMเหนือวงแหวนแบบแบ่งระดับสลับที่Rแล้ว เราสามารถเชื่อมโยงอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ ได้ ดังนี้:${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

(โดยสมมติว่ามี ค่าจำกัด) เรียกว่าอนุกรมฮิลเบิร์ต-ปวงกาเรของM${\displaystyle \ell (M_{n})}$

กล่าวได้ว่าโมดูลแบบไล่ระดับถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด หากโมดูลพื้นฐานถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดเช่นกันตัวสร้างอาจถือได้ว่าเป็นเนื้อเดียวกัน (โดยการแทนที่ตัวสร้างด้วยส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกัน)

สมมติว่าRเป็นวงแหวนพหุนาม ⁠ ⁠${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$ , kเป็นฟิลด์ และMเป็นโมดูลแบบแบ่งระดับที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดเหนือวงแหวนพหุนามนั้น ฟังก์ชัน`k` เรียกว่าฟังก์ชันฮิลเบิร์ตของMฟังก์ชันนี้ตรงกับพหุนามค่าจำนวนเต็มสำหรับn ที่มีค่ามาก ซึ่งเรียกว่า พหุนามฮิล เบิ ร์ตของM${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$

พีชคณิตเชิงสมาคมAบนริงRเรียกว่าพีชคณิตแบบมีระดับชั้นถ้าพีชคณิต A นั้นมีระดับชั้นในฐานะริง

ในกรณีปกติที่วงแหวนRไม่ได้รับการจัดระดับ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าRเป็นฟิลด์) จะได้รับการจัดระดับแบบไม่สำคัญ (ทุกองค์ประกอบของRมีดีกรี 0) ดังนั้นชิ้นส่วนที่ได้รับการจัดระดับจึงเป็นโมดูล R${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$${\displaystyle A_{i}}$

ในกรณีที่วงแหวนRเป็นวงแหวนแบบไล่ระดับด้วยแล้ว จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องการให้Aเป็นโมดูลซ้ายแบบมีระดับเหนือ R

ตัวอย่างของพีชคณิตแบบแบ่งระดับพบได้ทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์:

• วงแหวนพหุนามสมาชิกเอกพันธุ์ดีกรีnคือพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีn นั่นเอง
• พีชคณิตเทนเซอร์ ของปริภูมิเวกเตอร์Vองค์ประกอบเอกพันธุ์ดีกรีnคือเทนเซอร์อันดับn , ⁠ ⁠ .${\displaystyle T^{\bullet }V}$${\displaystyle T^{n}V}$
• พีชคณิตภายนอก และพีชคณิตสมมาตรก็เป็นพีชคณิตแบบแบ่งระดับเช่นกัน${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$${\displaystyle S^{\bullet }V}$
• วงแหวนโคฮอโมโลยี ในทฤษฎีโคฮอโมโลยี ใดๆ ก็มีการจัดลำดับเช่นกัน โดยเป็นผลรวมโดยตรงของกลุ่มโคฮอโมโลยี${\displaystyle H^{\bullet }}$${\displaystyle H^{n}}$

พีชคณิตแบบแบ่งระดับถูกนำมาใช้มากในพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและโทโพโลยีเชิงพีชคณิตตัวอย่างหนึ่งคือความสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดระหว่างพหุนามเอกพันธุ์และวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟ (ดูวงแหวนพิกัดเอกพันธุ์ )

อีกตัวอย่างหนึ่งของพีชคณิตแบบแบ่งระดับที่ไม่สลับที่ได้คือพีชคณิตเส้นทางของเลวิตต์ซึ่งมีการแบ่งระดับ ตามธรรมชาติ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

คำจำกัดความข้างต้นได้รับการขยายความไปยังริงที่มีการจัดระดับโดยใช้โมโนอิดG ใดๆ เป็นเซตดัชนีริงR ที่มีการจัดระดับด้วย G คือริงที่มีการแยกส่วนผลรวมโดยตรง

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

โดยที่

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

กล่าวกันว่าองค์ประกอบของRที่อยู่ภายในสำหรับบางองค์ประกอบนั้น เป็น เนื้อเดียวกันของเกรดi${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle i\in G}$

แนวคิดเรื่อง "วงแหวนแบบแบ่งระดับ" ที่ได้นิยามไว้ก่อนหน้านี้ จะกลายเป็นสิ่งเดียวกันกับวงแหวนแบบแบ่งระดับ -graded ring โดยที่ -graded ring คือโมโนอิดของจำนวนธรรมชาติภายใต้การบวก นอกจากนี้ นิยามของโมดูลและพีชคณิตแบบแบ่งระดับยังสามารถขยายได้ด้วยวิธีนี้ โดยแทนที่เซตดัชนีด้วยโมโนอิดG ใดๆ ก็ได้ ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

หมายเหตุ:

• หากเราไม่กำหนดให้ริงต้องมีองค์ประกอบเอกลักษณ์เซมิกรุปอาจใช้แทนโมโนอิดได้

ตัวอย่าง:

• โดยธรรมชาติแล้วกลุ่มหนึ่ง จะจัดลำดับ วงแหวนของกลุ่ม ที่สอดคล้องกัน ในทำนองเดียวกันวงแหวนโมโนอิดจะถูกจัดลำดับโดยโมโนอิดที่สอดคล้องกัน
• ซูเปอร์อัลเจบรา (แบบสมาคม) เป็นอีกคำหนึ่งที่ใช้เรียกอัลเจบราแบบมีระดับ ตัวอย่างเช่นคลิฟฟอร์ดอัลเจบราโดยที่สมาชิกเอกพันธุ์จะมีดีกรี 0 (คู่) หรือ 1 (คี่)${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

วงแหวน (หรือพีชคณิต) บางประเภทที่มีการจัดระดับ จะมี โครงสร้างแบบ แอนติคอมมิวเททีฟแนวคิดนี้ต้องการโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดของการจัดระดับไปยังโมโนอิดแบบบวกของฟิลด์ที่มีสององค์ประกอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งโมโนอิดแบบมีเครื่องหมายประกอบด้วยคู่โดยที่เป็นโมโนอิด และเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดแบบ บวก วงแหวน ที่มีการจัดระดับแบบแอนติคอมมิวเททีฟคือวงแหวนAที่มีการจัดระดับตามเช่นนั้น: ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle (\Gamma ,\varepsilon )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \varepsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\varepsilon (\deg y)}yx,}$

สำหรับ องค์ประกอบเอกพันธุ์ทั้งหมดxและy

• พีชคณิตภายนอกเป็นตัวอย่างของพีชคณิตแบบสลับที่ (anticommutative algebra) ซึ่งมีการจัดลำดับตามโครงสร้างโดยที่คือแผนที่ผลหาร (quotient map)${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• พีชคณิตซูเปอร์คอม มิวเททีฟ (บางครั้งเรียกว่าวงแหวนแอสโซซิเอทีฟแบบสกวิมคอมมิวเททีฟ ) ก็คือพีชคณิตแอน ติคอมมิวเททีฟแบบมีระดับชั้น โดยที่คือแผนที่เอกลักษณ์ของโครงสร้างการบวกของ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

โดยสัญชาตญาณแล้ว โมโนอิดแบบมีระดับ (graded monoid)คือเซตย่อยของริงแบบมีระดับ (graded ring) ที่สร้างขึ้นโดย โดยไม่ใช้ส่วนการบวก กล่าวคือ เซตขององค์ประกอบของโมโนอิดแบบมีระดับคือ ${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$

ในทางรูปแบบ โมโนอิดแบบมีระดับ^{[ 1 ]}คือโมโนอิดที่มีฟังก์ชันระดับโดยที่. โปรดทราบว่าระดับของจำเป็นต้องเป็น 0 ผู้เขียนบางคนยังเรียกร้องเพิ่มเติมว่า เมื่อmไม่ใช่เอกลักษณ์ ${\displaystyle (M,\cdot )}$${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$${\displaystyle 1_{M}}$${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$

สมมติว่าค่าลำดับขั้นของสมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ไม่เป็นศูนย์ จำนวนสมาชิกที่มีลำดับขั้นnจะมีค่าอย่างมากที่สุดเท่ากับโดยที่gคือจำนวนสมาชิกของเซตก่อกำเนิดGของโมโนอิด ดังนั้น จำนวนสมาชิกที่มีลำดับขั้นnหรือน้อยกว่าจะมีค่าอย่างมากที่สุดเท่ากับ(สำหรับ) หรือมิฉะนั้น อันที่จริง สมาชิกแต่ละตัวดังกล่าวเป็นผลคูณของสมาชิกG อย่างมากที่สุด n ตัว และมีเพียงผลคูณดังกล่าวเท่านั้นที่มีอยู่ ในทำนองเดียวกัน สมาชิกเอกลักษณ์ไม่สามารถเขียนเป็นผลคูณของสมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์สองตัวได้ กล่าวคือ ไม่มีตัวหารเอกลักษณ์ในโมโนอิดที่มีลำดับขั้นดังกล่าว ${\displaystyle g^{n}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle g=1}$${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$

แนวคิดเหล่านี้ทำให้เราสามารถขยายแนวคิดของวงแหวนอนุกรมกำลังได้ แทนที่จะใช้ตระกูลดัชนีเป็น ตระกูลดัชนีอาจเป็นโมโนอิดแบบมีระดับใดๆ ก็ได้ โดยสมมติว่าจำนวนองค์ประกอบที่มีดีกรีnมีจำนวนจำกัด สำหรับแต่ละจำนวนเต็มn${\displaystyle \mathbb {N} }$

กล่าว อย่างเป็นทางการมากขึ้น ให้เป็นเซมิริง ใดๆ และเป็นโมโนอิดแบบมีระดับ จากนั้นจะแทนเซมิริงของอนุกรมกำลังที่มีสัมประสิทธิ์ในKที่มีดัชนีโดยRสมาชิกของมันคือฟังก์ชันจากRไปยังKผลรวมของสมาชิกสองตัวถูกกำหนดแบบจุดต่อจุด คือฟังก์ชันที่ส่งไปยังและผลคูณคือฟังก์ชันที่ส่ง ไปยังผลรวมอนันต์ผลรวมนี้ถูกกำหนดอย่างถูกต้อง (กล่าวคือ มีค่าจำกัด) เพราะสำหรับแต่ละmจะ มีคู่ ( p , q )เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่pq = m${\displaystyle (K,+_{K},\times _{K})}$${\displaystyle (R,\cdot ,\phi )}$${\displaystyle K\langle \langle R\rangle \rangle }$${\displaystyle s,s'\in K\langle \langle R\rangle \rangle }$${\displaystyle m\in R}$${\displaystyle s(m)+_{K}s'(m)}$${\displaystyle m\in R}$${\displaystyle \sum _{p,q\in R \atop p\cdot q=m}s(p)\times _{K}s'(q)}$

ในทฤษฎีภาษาเชิงรูปธรรมเมื่อกำหนดตัวอักษรAแล้วโมโนอิดอิสระของคำบนAสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นโมโนอิดแบบแบ่งระดับ โดยที่ระดับของคำคือความยาวของคำนั้น

• แหวนเกรดที่เกี่ยวข้อง
• พีชคณิตเชิงอนุพันธ์แบบแบ่งระดับ
• พีชคณิตแบบกรองซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไป
• การจัดระดับ (คณิตศาสตร์)
• หมวดหมู่ที่ได้รับการจัดระดับ
• ปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับ
• พีชคณิตเทนเซอร์
• โมดูลเกรดต่างระดับ