เรขาคณิตของการตกกระทบ

ในทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตเหตุการณ์คือการศึกษาโครงสร้างเหตุการณ์โครงสร้างทางเรขาคณิตเช่นระนาบยุคลิดเป็นวัตถุที่ซับซ้อนซึ่งเกี่ยวข้องกับแนวคิดต่างๆ เช่น ความยาว มุม ความต่อเนื่อง ความอยู่ระหว่าง และเหตุการณ์โครงสร้างเหตุการณ์คือสิ่งที่ได้มาเมื่อแนวคิดอื่นๆ ทั้งหมดถูกลบออกไป และสิ่งที่เหลืออยู่คือข้อมูลเกี่ยวกับจุดที่อยู่บนเส้นใด แม้จะมีข้อจำกัดที่รุนแรงนี้ ทฤษฎีบทก็ยังสามารถพิสูจน์ได้ และข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับโครงสร้างนี้ก็ปรากฏขึ้น ผลลัพธ์พื้นฐานดังกล่าวยังคงใช้ได้เมื่อมีการเพิ่มแนวคิดเพิ่มเติมเพื่อสร้างเรขาคณิตที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น บางครั้งผู้เขียนอาจทำให้ความแตกต่างระหว่างการศึกษาและวัตถุของการศึกษานั้นคลุมเครือ ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจที่ผู้เขียนบางคนจะอ้างถึงโครงสร้างเหตุการณ์ว่าเป็นเรขาคณิตเหตุการณ์^{[ 1 ]}

โครงสร้างเหตุการณ์เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติและได้รับการศึกษาในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ ดังนั้นจึงมีคำศัพท์ที่แตกต่างกันเพื่ออธิบายวัตถุเหล่านี้ ในทฤษฎีกราฟเรียกว่าไฮเปอร์กราฟและในทฤษฎีการออกแบบเชิงการจัดเรียงเรียกว่าการออกแบบบล็อกนอกเหนือจากความแตกต่างในด้านคำศัพท์แล้ว แต่ละสาขายังเข้าถึงหัวข้อนี้แตกต่างกันและสนใจคำถามเกี่ยวกับวัตถุเหล่านี้ที่เกี่ยวข้องกับสาขาวิชานั้นๆ การใช้ภาษาเรขาคณิต ดังเช่นที่ทำในเรขาคณิตเหตุการณ์ ช่วยกำหนดหัวข้อและตัวอย่างที่นำเสนอโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะแปลผลลัพธ์จากสาขาวิชาหนึ่งไปเป็นคำศัพท์ของอีกสาขาวิชาหนึ่ง แต่สิ่งนี้มักนำไปสู่ข้อความที่น่าอึดอัดและซับซ้อนซึ่งดูเหมือนจะไม่ใช่ผลลัพธ์ตามธรรมชาติของหัวข้อ ในตัวอย่างที่เลือกสำหรับบทความนี้ เราใช้เฉพาะตัวอย่างที่มีลักษณะทางเรขาคณิตตามธรรมชาติเท่านั้น

กรณีพิเศษที่ได้รับความสนใจอย่างมากเกี่ยวข้องกับเซตของจุดจำนวนจำกัดในระนาบยุคลิดและสิ่งที่สามารถกล่าวได้เกี่ยวกับจำนวนและประเภทของเส้นตรงที่เซตเหล่านั้นกำหนดขึ้น ผลลัพธ์บางอย่างจากสถานการณ์นี้สามารถขยายไปสู่การตั้งค่าทั่วไปได้ เนื่องจากพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติการตกกระทบเท่านั้น

โครงสร้างอุบัติการณ์

โครงสร้างเหตุการณ์ $(P, L, I)$ ประกอบด้วยเซต $P$ ที่มีองค์ประกอบเรียกว่าจุดเซต $L$ ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งมีองค์ประกอบเรียกว่าเส้นและความสัมพันธ์เหตุการณ์ $I$ ระหว่างเซตทั้งสอง นั่นคือ เซตย่อยของ $P \times L$ ที่มีองค์ประกอบเรียกว่าธง[ ^{2 ] ถ้า} ( $A, l) เป็น$ ธง เราจะกล่าวว่า $A$ เกี่ยวข้องกับ $l$ หรือ $l$ เกี่ยวข้องกับ $A$ (คำศัพท์มีความสมมาตร) และเขียน $A I l$ ตามสัญชาตญาณ จุดและเส้นจะมีความสัมพันธ์กันก็ต่อเมื่อจุดนั้นอยู่บนเส้นเท่านั้น เมื่อกำหนดจุด $B$ และเส้น $m$ ที่ไม่ก่อให้เกิดธง นั่นคือ จุดนั้นไม่ได้อยู่บนเส้น คู่ $(B, m)$ เรียกว่าธงตรงข้าม

ระยะทางในโครงสร้างการตกกระทบ

ในโครงสร้างเหตุการณ์นั้น ไม่มีแนวคิดเรื่องระยะทาง ( เมตริก ) ที่เป็นธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม เมตริกเชิงการจัดเรียงนั้นมีอยู่ในกราฟเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้อง (กราฟเลวี)นั่นคือ ความยาวของเส้นทาง ที่สั้นที่สุด ระหว่างจุดยอดสองจุดในกราฟสองส่วน นี้ ระยะทางระหว่างวัตถุสองชิ้นในโครงสร้างเหตุการณ์ ไม่ว่าจะเป็นจุดสองจุด เส้นสองเส้น หรือจุดหนึ่งจุดกับเส้นหนึ่งเส้น สามารถกำหนดได้ว่าเป็นระยะทางระหว่างจุดยอดที่สอดคล้องกันในกราฟเหตุการณ์ของโครงสร้างเหตุการณ์นั้น

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระยะทางนั้นใช้แนวคิดทางทฤษฎีกราฟในโครงสร้างที่เกี่ยวข้อง นั่นคือกราฟความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงของโครงสร้างเหตุการณ์ จุดยอดของกราฟความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงคือจุดต่างๆ ของโครงสร้างเหตุการณ์ และจุดสองจุดจะเชื่อมต่อกันหากมีเส้นตรงที่ลากผ่านทั้งสองจุด ดังนั้น ระยะทางระหว่างจุดสองจุดของโครงสร้างเหตุการณ์จึงสามารถกำหนดได้จากระยะทางของจุดเหล่านั้นในกราฟความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง

เมื่อพิจารณาระยะทางในโครงสร้างเหตุการณ์ จำเป็นต้องระบุด้วยว่ามีการกำหนดระยะทางนั้นอย่างไร

ปริภูมิเชิงเส้นบางส่วน

โครงสร้างเหตุการณ์ที่ได้รับการศึกษามากที่สุดคือโครงสร้างที่ตรงตามคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการ (สัจพจน์) เช่นระนาบเชิงฉายระนาบเชิงเส้นตรงรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป รูปทรงเรขาคณิตบางส่วนและรูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียง โครงสร้างเหตุการณ์ทั่วไปมากสามารถได้มาจาก การกำหนดเงื่อนไข "อ่อนๆ" เช่น:

พื้นที่เชิงเส้นบางส่วนเป็นโครงสร้างเหตุการณ์ซึ่งสัจพจน์ต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 3 ]}

จุดสองจุดที่แตกต่างกันแต่ละคู่จะกำหนดเส้นได้มากที่สุดเพียงเส้นเดียว
เส้นทุกเส้นประกอบด้วยจุดที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองจุด

ในปริภูมิเชิงเส้นบางส่วนนั้น ก็เป็นความจริงเช่นกันว่า เส้นตรงที่แตกต่างกันทุกคู่จะตัดกันที่จุดเดียวเป็นอย่างมากที่สุด ข้อความนี้ไม่จำเป็นต้องสมมติขึ้น เนื่องจากสามารถพิสูจน์ได้ง่ายจากสัจพจน์ข้อที่หนึ่งข้างต้น

เงื่อนไขความสม่ำเสมอเป็นข้อจำกัดเพิ่มเติม:

RLk : แต่ละเส้นจะผ่านจุดจำนวนเท่ากัน หากจำนวนจุดมีค่าจำกัด มักจะใช้สัญลักษณ์ $k$ แทน

RPr : แต่ละจุดจะเชื่อมต่อกับเส้นจำนวนเท่ากัน หากจำนวนเส้นมีจำกัด มักจะใช้สัญลักษณ์ $r$ แทน

สัจพจน์ข้อที่สองของปริภูมิเชิงเส้นบางส่วนบ่งชี้ว่า $k > 1$ เงื่อนไขความสม่ำเสมอทั้งสองข้อไม่ได้บ่งชี้ถึงอีกข้อหนึ่ง ดังนั้นจึงต้องถือว่า $r >$ 1

พื้นที่เชิงเส้นบางส่วนจำกัดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขความสม่ำเสมอทั้งสองเงื่อนไขโดยที่ $k, r > 1$ เรียกว่าการกำหนดค่าเชิงยุทธวิธี^{[ 4 ] ผู้}^{เขียน}บางคนเรียกสิ่งเหล่านี้ว่าการกำหนดค่า เฉยๆ [ ⁵^]หรือการ กำหนดค่าเชิงโปร เจกที ฟ ^[⁶^]ถ้าการกำหนดค่าเชิงยุทธวิธีมี จุด $n$ จุดและ เส้น $m$ เส้น โดยการนับธงซ้ำสองครั้ง จะได้ความสัมพันธ์ $nr$ $=$ $mk$ สัญกรณ์ทั่วไปเรียกว่าการกำหนดค่า $($ $n$ $,$ $m$ $)$ ในกรณีพิเศษที่ $n$ $=$ $m$ (และดังนั้น $r$ $=$ $k$ ) สัญกรณ์ $($ $n$ $,$ $n$ $)$ มักจะเขียนง่ายๆว่า $($ $n$ $)$

พื้นที่เชิงเส้นคือพื้นที่เชิงเส้นบางส่วนซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ^{[ 7 ]}

จุดสองจุดที่แตกต่างกันทุกคู่จะกำหนดเส้นตรงได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

นักเขียนบางคนเพิ่มสัจพจน์ "ไม่เสื่อมถอย" (หรือ "ไม่ไร้สาระ") เข้าไปในนิยามของปริภูมิเชิงเส้น (บางส่วน) เช่น:

มีอย่างน้อยสองสายที่แตกต่างกัน^{[ 8 ]}

วิธีนี้ใช้เพื่อตัดตัวอย่างขนาดเล็กมากบางตัวอย่างออกไป (ส่วนใหญ่เมื่อเซต $P$ หรือ $L$ มีสมาชิกน้อยกว่าสองตัว) ซึ่งโดยปกติจะเป็นข้อยกเว้นสำหรับข้อความทั่วไปที่กล่าวถึงโครงสร้างการเกิดเหตุการณ์ อีกทางเลือกหนึ่งนอกเหนือจากการเพิ่มสัจพจน์คือการเรียกโครงสร้างการเกิดเหตุการณ์ที่ไม่เป็นไปตามสัจพจน์ว่าเป็นเรื่องเล็กน้อยและโครงสร้างที่เป็นไปตามสัจพจน์ว่าเป็นเรื่องสำคัญ

ปริภูมิเชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์แต่ละปริภูมิจะมีจุดอย่างน้อยสามจุดและเส้นอย่างน้อยสามเส้น ดังนั้นปริภูมิเชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์ที่ง่ายที่สุดที่สามารถมีอยู่ได้คือรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่เชิงเส้นที่มีจุดอย่างน้อยสามจุดบนทุกเส้นเรียกว่าแบบแผนซิลเวสเตอร์-กัลไล (Sylvester–Gallai design )

ตัวอย่างทางเรขาคณิตพื้นฐาน

แนวคิดและศัพท์พื้นฐานบางส่วนมาจากตัวอย่างทางเรขาคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งระนาบเชิงฉายและระนาบเชิงอัฟฟิน

ระนาบเชิงฉาย

ระนาบเชิงโปรเจกทีฟคือปริภูมิเชิงเส้นซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้:

เส้นตรงแต่ละคู่จะมาบรรจบกันที่จุดเดียวเท่านั้น

และนั่นก็สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ไม่เสื่อมถอย:

มีจุดอยู่สี่จุด ซึ่งไม่มีจุดสามจุดใดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง $P$ และ $L$ ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟ ถ้า $P$ เป็นเซตจำกัด ระนาบเชิงโปรเจกทีฟนั้นเรียกว่าระนาบเชิงโปรเจกทีฟจำกัดอันดับของระนาบเชิงโปรเจกทีฟจำกัดคือ $n = k - 1$ ซึ่งก็คือ น้อยกว่าจำนวนจุดบนเส้นตรงอยู่หนึ่ง ระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่รู้จักทั้งหมดมีอันดับเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะระนาบเชิงโปรเจกทีฟอันดับ $n$ คือการจัดเรียงแบบ $((n 2 + n + 1) )$

ระนาบเชิงฉายที่เล็กที่สุดมีลำดับที่สองและเรียกว่าระนาบฟาโน

เครื่องบินฟาโน

เรขาคณิตเหตุการณ์อันโด่งดังนี้ได้รับการพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีGino Fanoในงานของเขา^{[ 9 ]}เกี่ยวกับการพิสูจน์ความเป็นอิสระของชุดสัจพจน์สำหรับปริภูมิ เชิงฉายnที่เขาพัฒนา^{[ 10 ]}เขาสร้างปริภูมิสามมิติจำกัดที่มี 15 จุด 35 เส้น และ 15 ระนาบ โดยที่แต่ละเส้นมีจุดเพียงสามจุดบนเส้นนั้น^{[ 11 ]}ระนาบในปริภูมินี้ประกอบด้วยเจ็ดจุดและเจ็ดเส้น และปัจจุบันรู้จักกันในชื่อระนาบ Fano

ระนาบฟาโนไม่สามารถแสดงในระนาบยุคลิดโดยใช้เพียงจุดและส่วนของเส้นตรง (กล่าวคือ ไม่สามารถทำให้เป็นจริงได้) นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทซิลเวสเตอร์-กัลไลซึ่งระบุว่าเรขาคณิตเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจริงทุกรูปแบบจะต้องมีเส้นตรงธรรมดาซึ่งเป็นเส้นตรงที่มีเพียงสองจุด ระนาบฟาโนไม่มีเส้นตรงดังกล่าว (กล่าวคือ เป็นการกำหนดค่าซิลเวสเตอร์-กัลไล ) ดังนั้นจึงไม่สามารถทำให้เป็นจริงได้^{[ 12 ]}

รูปสี่เหลี่ยมสมบูรณ์ประกอบด้วยจุดสี่จุด ซึ่งไม่มีสามจุดใดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ในระนาบฟาโน จุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนรูปสี่เหลี่ยมสมบูรณ์จะเป็นจุดทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมนั้นและอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งขัดแย้งกับสัจพจน์ของฟาโนซึ่งมักใช้เป็นสัจพจน์สำหรับระนาบยุคลิด ที่ระบุว่าจุดทแยงมุมสามจุดของรูปสี่เหลี่ยมสมบูรณ์จะไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ระนาบแอฟฟิน

ระนาบแอฟฟินคือปริภูมิเชิงเส้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้:

สำหรับจุด $A$ ใดๆ และเส้นตรง $l$ ที่ไม่ตัดกับจุด A ( จุดตรงข้าม ) จะมีเส้นตรง $m$ เพียงเส้นเดียว ที่ตัดกับจุด $A$ (นั่นคือ $A \in I m$ ) ซึ่งไม่ตัดกับ เส้นตรง $l$ (เรียกว่าสัจพจน์ของเพลย์แฟร์ )

และเป็นไปตามเงื่อนไขที่ไม่เสื่อมถอย:

มีรูปสามเหลี่ยมอยู่ ซึ่งก็คือจุดสามจุดที่ไม่เรียงตัวกันเป็นเส้นตรงเดียวกัน

เส้น $l$ และ $m$ ในข้อความของสัจพจน์ของ Playfair กล่าวกันว่าเป็นเส้นขนานระนาบแอฟฟินทุกระนาบสามารถขยายไปยังระนาบเชิงโปรเจกทีฟได้อย่างไม่ซ้ำกันลำดับของระนาบแอฟฟินจำกัดคือ $k$ ซึ่งเป็นจำนวนจุดบนเส้นตรง ระนาบแอฟฟินลำดับ $n$ คือการจัดเรียง $((n 2) , (n 2 + n) )$

การกำหนดค่าเฮสเซ่

ระนาบแอฟฟินอันดับสามคือ การกำหนดค่า $(9 , 12 )$ เมื่อฝังอยู่ในปริภูมิแวดล้อมบางอย่าง จะเรียกว่าการกำหนดค่าเฮสเซไม่สามารถสร้างได้ในระนาบยุคลิด แต่สามารถสร้างได้ในระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟในรูปของจุด เปลี่ยนความโค้ง เก้าจุดของเส้นโค้งวงรีที่มีเส้นตรง 12 เส้นตกกระทบกับสามจุดของจุดเหล่านี้

เส้นตรงทั้ง 12 เส้นสามารถแบ่งออกเป็น 4 กลุ่ม กลุ่มละ 3 เส้น โดยที่เส้นตรงในแต่ละกลุ่มจะไม่ทับซ้อนกัน กลุ่มเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มเส้นตรงขนาน การเพิ่มจุดใหม่ 4 จุด โดยแต่ละจุดเพิ่มเข้าไปในเส้นตรงทั้งหมดของกลุ่มเส้นตรงขนานกลุ่มเดียว (ดังนั้นเส้นตรงทั้งหมดเหล่านี้จึงตัดกัน) และเส้นตรงใหม่ 1 เส้นที่ประกอบด้วยจุดใหม่ 4 จุดเหล่านี้ จะสร้างระนาบเชิงฉายลำดับที่ 3 ซึ่ง เป็นการจัดเรียงแบบ $(13 )$ ในทางกลับกัน การเริ่มต้นด้วยระนาบเชิงฉายลำดับที่ 3 (ซึ่งมีเพียงหนึ่งเดียว) และการลบเส้นตรงใดๆ และจุดทั้งหมดบนเส้นตรงนั้น จะสร้างระนาบเชิงเส้นลำดับที่ 3 นี้ (ซึ่งมีเพียงหนึ่งเดียวเช่นกัน)

การลบจุดหนึ่งจุดและเส้นสี่เส้นที่ผ่านจุดนั้น (แต่ไม่ใช่จุดอื่น ๆ บนเส้นเหล่านั้น) จะได้ การกำหนด ค่าโมเบียส-แคนเตอร์ $(8 )$

เรขาคณิตบางส่วน

กำหนดให้จำนวนเต็ม $α \geq 1$ การจัดเรียงเชิงยุทธวิธีที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้:

สำหรับแอนติแฟกต์ทุกตัว $(B, m)$ จะมีแฟกต์α $ตัว$ $(A, l)$ ที่ทำให้ $B I l$ และ $A I m$

เรียกว่าเรขาคณิตบางส่วน (partial geometry ) ถ้ามี จุด $s + 1$ จุดบนเส้นตรง และมี เส้นตรง $t + 1$ เส้นที่ผ่านจุดนั้น สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเรขาคณิตบางส่วนคือpg $(s, t, α)$

ถ้า $α = 1$ รูปทรงเรขาคณิตบางส่วนเหล่านี้จะเป็น รูป สี่เหลี่ยมทั่วไป

ถ้า $α = s + 1$ ระบบเหล่านี้เรียกว่าระบบสไตเนอร์

รูปหลายเหลี่ยมทั่วไป

สำหรับ $n$ > $2$ ^{[ 13 ]} $n$ -gonทั่วไปเป็นปริภูมิเชิงเส้นบางส่วนซึ่งกราฟเหตุการณ์ $Γ$ มีคุณสมบัติ:

เส้นรอบวงของ $Γ (ความยาวของ$ วงจรที่สั้นที่สุด) มีค่าเป็นสองเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางของ $Γ$ (ระยะทางที่มากที่สุดระหว่างจุดยอดสองจุด ในกรณีนี้ คือ $n$ )

รูปสองเหลี่ยมทั่วไปเป็นโครงสร้างความสัมพันธ์ ซึ่งไม่ใช่ปริภูมิเชิงเส้นบางส่วน ประกอบด้วยจุดอย่างน้อยสองจุดและเส้นอย่างน้อยสองเส้น โดยที่ทุกจุดเชื่อมต่อกับทุกเส้น กราฟความสัมพันธ์ของรูปสองเหลี่ยมทั่วไปเป็นกราฟสองส่วนสมบูรณ์

$รูปหลายเหลี่ยม n$ ด้าน ทั่วไปจะไม่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม $m$ ด้าน ธรรมดาสำหรับ $2 \leq m < n$ และสำหรับวัตถุทุกคู่ (จุดสองจุด เส้นตรงสองเส้น หรือจุดหนึ่งจุดและเส้นตรงหนึ่งเส้น) จะมีรูปหลายเหลี่ยม $n$ ด้านธรรมดาที่ประกอบด้วยวัตถุทั้งสองนั้น

รูป 3 เหลี่ยมทั่วไปเรียกว่าระนาบเชิงโปรเจกทีฟ รูป 4 เหลี่ยมทั่วไปเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมทั่วไป ตามทฤษฎีบท Feit-Higman รูป $n$ เหลี่ยม ทั่วไปแบบจำกัดที่มีจุดอย่างน้อยสามจุดต่อเส้นและมีเส้นอย่างน้อยสามเส้นต่อจุดจะมีค่า $n$ = 2, 3, 4, 6 หรือ 8 เท่านั้น

ใกล้เคียงรูปหลายเหลี่ยม

สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $d$ รูป หลาย เหลี่ยม 2 $มิติ$ ใกล้เคียงจะเป็นโครงสร้างเหตุการณ์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังต่อไปนี้ $:$

ระยะทางสูงสุด (วัดจากกราฟแสดงความสัมพันธ์เชิงเส้น) ระหว่างสองจุดคือ $d$ และ
สำหรับทุกจุด $X$ และเส้นตรง $l$ จะมีจุดเพียงจุดเดียวบนเส้นตรง $l$ ที่อยู่ใกล้กับ $X$ มาก ที่สุด

รูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียงศูนย์ (near 0-gon) คือจุด ในขณะที่รูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียงสอง (near 2-gon) คือเส้นตรง กราฟเส้นตรงร่วมของ รูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียงสอง (near 2-gon) คือ กราฟสมบูรณ์รูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียงสี่ (near 4-gon) คือรูปสี่เหลี่ยมทั่วไป (อาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมเสื่อมสภาพ) รูปหลายเหลี่ยมทั่วไปจำกัดทุกรูป ยกเว้นระนาบเชิงโปรเจกทีฟ เป็นรูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียง กราฟสองส่วนที่เชื่อมต่อกันทุกกราฟเป็นรูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียง และรูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียงที่มีจุดสองจุดต่อเส้นตรงพอดี เป็นกราฟสองส่วนที่เชื่อมต่อกัน นอกจากนี้ปริภูมิขั้วคู่ ทั้งหมด เป็นรูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียง

รูปหลายเหลี่ยมใกล้เคียงจำนวนมากมีความเกี่ยวข้องกับกลุ่มง่ายจำกัดเช่นกลุ่ม Mathieuและกลุ่ม Janko J2ยิ่งไปกว่านั้น รูป 2 มิติแบบทั่วไปซึ่งมีความเกี่ยวข้องกับกลุ่มประเภท Lieถือเป็นกรณีพิเศษของรูป 2 มิติใกล้ เคียง

ระนาบโมเบียส

ระนาบโมเบียสแบบนามธรรม ( หรือระนาบผกผัน) คือโครงสร้างการตกกระทบซึ่งเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนที่อาจเกิดขึ้นกับคำศัพท์ในกรณีคลาสสิก เส้นต่างๆ จะถูกเรียกว่าวงจรหรือบล็อก

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระนาบโมเบียสเป็นโครงสร้างการเกิดร่วมกันของจุดและวงจรดังนี้:

จุดสามจุดที่แตกต่างกันทุกกลุ่มจะอยู่บนวงจรเพียงวงเดียวเท่านั้น
สำหรับแฟล็กใดๆ $(P, z)$ และจุดใดๆ $Q$ ที่ไม่ได้อยู่บนเส้น $z$ จะมีวัฏจักร $z * ที่$ ไม่ซ้ำกันเพียงวัฏจักรเดียว โดยที่ $P \cap z *, Q \cap z *$ และ $z \cap z * = {P}$ (วัฏจักรเหล่านี้สัมผัสกันที่จุด $P$ )
ทุกวัฏจักรมีจุดอย่างน้อยสามจุด และมีวัฏจักรอย่างน้อยหนึ่งวัฏจักร

โครงสร้างการตกกระทบที่ได้ ณ จุด $P$ ใดๆ บนระนาบโมเบียส โดยการนำจุดทั้งหมดที่ไม่ใช่ $P$ มาเป็นจุด และเลือกเฉพาะวัฏจักรที่ผ่าน $P$ (โดย ตัด $P$ ออกไป) เป็นเส้น เรียกว่าระนาบเชิงเส้นตรง โครงสร้างนี้เรียกว่าส่วนที่เหลือณ จุด $P$ ในทฤษฎีการออกแบบ

ระนาบโมเบียสจำกัดลำดับm $เป็นการ$ จัดเรียงเชิงกลยุทธ์ที่มี $k = m + 1$ จุดต่อรอบ ซึ่งเป็นการออกแบบ 3 แบบโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นการออกแบบบล็อก $3-(m 2 + 1, m + 1, 1)$

ทฤษฎีบทการตกกระทบในระนาบยุคลิด

ทฤษฎีบทซิลเวสเตอร์-กัลไล

คำถามที่JJ Sylvester ตั้งขึ้น ในปี 1893 และได้รับการไขข้อสงสัยในที่สุดโดยTibor Gallaiเกี่ยวข้องกับจุดจำนวนจำกัดที่ปรากฏในระนาบยุคลิด

ทฤษฎีบท (ซิลเวสเตอร์-กัลไล) : เซตจำกัดของจุดในระนาบยุคลิดจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้ คือ จุดเหล่านั้นอยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือมีเส้นตรงที่ลากผ่านจุดในเซตนั้นเพียงสองจุดเท่านั้น

ในบริบทนี้ เส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดสองจุดพอดีเรียกว่าเส้นตรงธรรมดาซิลเวสเตอร์อาจเกิดคำถามนี้ขึ้นขณะครุ่นคิดถึงความเป็นไปได้ในการฝังตัวของโครงสร้างเฮสเซ

ทฤษฎีบทเดอ บรุยน์-แอร์ดอส

ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องคือทฤษฎีบท de Bruijn–Erdős Nicolaas Govert de BruijnและPaul Erdősพิสูจน์ผลลัพธ์ในการตั้งค่าทั่วไปของระนาบเชิงโปรเจกทีฟ แต่ยังคงใช้ได้ในระนาบยุคลิด ทฤษฎีบทคือ: ^{[ 14 ]}

ในระนาบเชิงโปรเจกที ฟ เซตของจุด

n

จุด ที่ไม่เรียงตัวกันบนเส้นตรงเดียวกัน จะกำหนด เส้นตรงที่แตกต่างกันอย่างน้อย

n เส้น

ดังที่ผู้เขียนได้ชี้ให้เห็น เนื่องจากบทพิสูจน์ของพวกเขานั้นเป็นเชิงการจัดเรียง ผลลัพธ์จึงใช้ได้ในบริบทที่กว้างขึ้น กล่าวคือ ในเรขาคณิตเหตุการณ์ใดๆ ที่มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวลากผ่านจุดที่แตกต่างกันทุกคู่ นอกจากนี้ พวกเขายังกล่าวถึงว่าเวอร์ชันระนาบยุคลิดสามารถพิสูจน์ได้จากทฤษฎีบทซิลเวสเตอร์-กัลไลโดยใช้การอุปมาน

ทฤษฎีบทเซเมเรดี–ทรอตเตอร์

ขอบเขตของจำนวนธงที่กำหนดโดยเซตของจุดจำนวนจำกัดและเส้นที่จุดเหล่านั้นกำหนดขึ้นนั้นกำหนดโดย:

ทฤษฎีบท (Szemerédi–Trotter) : กำหนด จุด $n$ จุดและ เส้นตรง $m$ เส้นในระนาบ จำนวนธง (คู่จุด-เส้นตรงที่ทับซ้อนกัน) คือ:

O\left(n^{2/3}m^{2/3}+n+m\right),

และขอบเขตนี้ไม่สามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้ เว้นแต่จะใช้ค่าคงที่โดยปริยาย

ผลลัพธ์นี้สามารถนำไปใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเบ็คได้

มีการคาดการณ์ขอบเขตที่คล้ายกันสำหรับจำนวนเหตุการณ์สำหรับเหตุการณ์จุด-วงกลม แต่ทราบเพียงขอบเขตบนที่อ่อนกว่าเท่านั้น^{[ 15 ]}

ทฤษฎีบทของเบ็ค

ทฤษฎีบทของเบ็คกล่าวว่า กลุ่มจุดจำนวนจำกัดในระนาบจะแบ่งออกเป็นสองขั้ว คือ ขั้วหนึ่งที่จุดจำนวนมากอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และอีกขั้วหนึ่งที่ต้องใช้เส้นตรงจำนวนมากในการเชื่อมต่อจุดทั้งหมด

ทฤษฎีบทนี้กล่าวถึงการมีอยู่ของค่าคงที่บวก $C และ K$ ซึ่งทำให้เมื่อกำหนด จุด $n$ จุดใดๆ บนระนาบแล้ว อย่างน้อยหนึ่งในข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง:

มีเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ประกอบด้วยจุดอย่าง น้อย n / Cจุด
มีเส้นอย่างน้อย^{n 2} / Kเส้นโดยแต่ละเส้นประกอบด้วยจุดอย่างน้อยสองจุด

ในข้อโต้แย้งดั้งเดิมของเบ็ค $C$ มีค่าเท่ากับ 100 และ $K$ เป็นค่าคงที่ที่ไม่ได้ระบุไว้ ไม่ทราบว่าค่าที่เหมาะสมที่สุดของ $C$ และ $K$ คือ อะไร

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ตัวอย่างเช่น ดังที่ L. Storme ได้กล่าวไว้ในบทของเขาเกี่ยวกับเรขาคณิตจำกัดใน Colbourn & Dinitz (2007 , หน้า 702)
↑ในทางเทคนิคแล้ว นี่คือโครงสร้างเหตุการณ์ลำดับที่สอง โดยที่ลำดับหมายถึงจำนวนประเภทของวัตถุที่กำลังพิจารณา (ในที่นี้คือจุดและเส้น) โครงสร้างที่มีลำดับสูงกว่าก็ได้รับการศึกษาเช่นกัน แต่ผู้เขียนหลายท่านจำกัดการศึกษาไว้เฉพาะกรณีลำดับที่สอง และเราก็จะทำเช่นนั้นในที่นี้
↑มัวร์เฮาส์ หน้า 5
↑เดมโบวสกี 1968 หน้า5
↑ Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry , New York: John Wiley & Sons, หน้า 233, ISBN 978-0-471-50458-0
↑ ฮิลเบิร์ต, เดวิด ; โคห์น-วอสเซน, สเตฟาน (1952), เรขาคณิตและจินตนาการ ( ฉบับที่ 2), เชลซี, หน้า94–170 , ISBN 978-0-8284-1087-8{{citation}}: ความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
↑มัวร์เฮาส์ หน้า 5
↑มีทางเลือกอื่น ๆ หลายประการสำหรับสัจพจน์ "ความไม่ธรรมดา" นี้ อาจแทนที่ด้วย "มีจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน" ดังที่ทำใน Batten & Beutelspacher (1993 , หน้า 1)มีทางเลือกอื่น ๆ อีก แต่จะต้องเป็น ข้อความแสดง การมีอยู่ซึ่งตัดกรณีที่ง่ายมาก ๆ ออกไป
↑ฟาโน, จี. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106– 132
↑คอลลิโน, คอนเต้และแวร์รา 2013 , หน้า. 6
↑ เรขาคณิตจำกัด ของ Malkevitch ? บทความเด่นจาก AMS
↑ Aigner & Ziegler (2010) .
↑การใช้ $n$ ในชื่อเป็นเรื่องปกติและไม่ควรสับสนกับจำนวนจุดในโครงสร้าง
↑ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. , "de Bruijn–Erdős Theorem"จากแมทเวิลด์
↑ Aronov, Boris; Sharir, Micha (1 พฤศจิกายน 2002). "การตัดวงกลมออกเป็นส่วนเสมือนและขอบเขตที่ปรับปรุงแล้วสำหรับการเกิดเหตุการณ์% และความซับซ้อนของหน้าจำนวนมาก"เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องและการคำนวณ 28 (4): 475– 490. doi : 10.1007/s00454-001-0084-1 .

ลิงก์ภายนอก

สื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของเหตุการณ์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์
ระบบการเกิดเหตุการณ์ในสารานุกรมคณิตศาสตร์

[1] ตัวอย่างเช่น ดังที่ L. Storme ได้กล่าวไว้ในบทของเขาเกี่ยวกับเรขาคณิตจำกัดใน Colbourn & Dinitz (2007 , หน้า 702)

[2] ในทางเทคนิคแล้ว นี่คือโครงสร้างเหตุการณ์ลำดับที่สอง โดยที่ลำดับหมายถึงจำนวนประเภทของวัตถุที่กำลังพิจารณา (ในที่นี้คือจุดและเส้น) โครงสร้างที่มีลำดับสูงกว่าก็ได้รับการศึกษาเช่นกัน แต่ผู้เขียนหลายท่านจำกัดการศึกษาไว้เฉพาะกรณีลำดับที่สอง และเราก็จะทำเช่นนั้นในที่นี้

[3] มัวร์เฮาส์ หน้า 5

[4] เดมโบวสกี 1968 หน้า5

[5] Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry , New York: John Wiley & Sons, หน้า 233, ISBN 978-0-471-50458-0

[6] ฮิลเบิร์ต, เดวิด ; โคห์น-วอสเซน, สเตฟาน (1952), เรขาคณิตและจินตนาการ ( ฉบับที่ 2), เชลซี, หน้า94–170 , ISBN 978-0-8284-1087-8{{citation}}: ความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )

[7] มัวร์เฮาส์ หน้า 5

[8] มีทางเลือกอื่น ๆ หลายประการสำหรับสัจพจน์ "ความไม่ธรรมดา" นี้ อาจแทนที่ด้วย "มีจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน" ดังที่ทำใน Batten & Beutelspacher (1993 , หน้า 1)มีทางเลือกอื่น ๆ อีก แต่จะต้องเป็น ข้อความแสดง การมีอยู่ซึ่งตัดกรณีที่ง่ายมาก ๆ ออกไป

[9] ฟาโน, จี. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106– 132

[10] คอลลิโน, คอนเต้และแวร์รา 2013 , หน้า. 6

[11] เรขาคณิตจำกัด ของ Malkevitch ? บทความเด่นจาก AMS

[FOOTNOTEAignerZiegler2010-12] Aigner & Ziegler (2010) .

[13] การใช้ $n$ ในชื่อเป็นเรื่องปกติและไม่ควรสับสนกับจำนวนจุดในโครงสร้าง

[14] ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. , "de Bruijn–Erdős Theorem"จากแมทเวิลด์

[15] Aronov, Boris; Sharir, Micha (1 พฤศจิกายน 2002). "การตัดวงกลมออกเป็นส่วนเสมือนและขอบเขตที่ปรับปรุงแล้วสำหรับการเกิดเหตุการณ์% และความซับซ้อนของหน้าจำนวนมาก"เรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่องและการคำนวณ 28 (4): 475– 490. doi : 10.1007/s00454-001-0084-1 .

[ 1 ]

2 ] ถ้า

[ 3 ]

[ 4 ] ผู้

เขียน

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]