ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันตรรกยะคือฟังก์ชัน ใดๆ ที่สามารถนิยามได้ด้วยเศษส่วนตรรกยะซึ่งเป็นเศษส่วนพีชคณิตที่ทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามสัมประสิทธิ์ของพหุนามไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนตรรกยะอาจเลือกได้จากฟิลด์K ใดๆ ก็ได้ ในกรณีนี้ เราจะกล่าวถึงฟังก์ชันตรรกยะและเศษส่วนตรรกยะเหนือKค่าของตัวแปรอาจเลือกได้จากฟิลด์L ใดๆ ที่มีK อยู่ ภายใน ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชันคือเซตของค่าตัวแปรที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ และโคโดเมนคือL

เซตของ ฟังก์ชัน ตรรกยะเหนือฟิลด์Kคือฟิลด์เศษส่วนของวงแหวนของฟังก์ชันพหุนามเหนือK

ฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะถ้าสามารถเขียนในรูปแบบ^{[ 1 ]}${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

โดยที่และเป็นฟังก์ชันพหุนามของและไม่ใช่ฟังก์ชันศูนย์โดเมนของคือเซตของค่าทั้งหมดของที่ทำให้ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Q(x)}$

อย่างไรก็ตาม ถ้าและมีตัวหารร่วมมากที่เป็นพหุนาม ที่ไม่คงที่ การ กำหนดและจะทำให้ได้ฟังก์ชันตรรกยะ ${\displaystyle \textstyle P}$${\displaystyle \textstyle Q}$${\displaystyle \textstyle R}$${\displaystyle \textstyle P=P_{1}R}$${\displaystyle \textstyle Q=Q_{1}R}$

${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},}$

ซึ่งอาจมีโดเมนที่ใหญ่กว่าและเท่ากับบนโดเมนของเป็นเรื่องปกติที่จะระบุและนั่นคือการขยายโดเมนของไป ยังโดเมนของ "โดยความต่อเนื่อง" อันที่จริง เราสามารถกำหนดเศษส่วนตรรกยะเป็นชั้นสมมูลของเศษส่วนของพหุนาม โดยที่เศษส่วนสองตัวและถือว่าสมมูลกันถ้าในกรณีนี้สมมูลกับ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{1}.}$${\displaystyle \textstyle {\frac {A(x)}{B(x)}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {C(x)}{D(x)}}}$${\displaystyle A(x)D(x)=B(x)C(x)}$${\displaystyle \textstyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}.}$

ฟังก์ชันตรรกยะที่เหมาะสมคือฟังก์ชันตรรกยะซึ่งดีกรีของมีค่าน้อยกว่าดีกรีของและทั้งสองเป็นพหุนามจริงตั้งชื่อตามความคล้ายคลึงกับเศษส่วนที่เหมาะสมใน^{[ 2 ]}${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนฟังก์ชันตรรกยะ

${\displaystyle f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$

คืออัตราส่วนของพหุนามสองตัวที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน โดยที่Qไม่ใช่พหุนามศูนย์ และPกับQไม่มีตัวประกอบร่วม (เพื่อหลีกเลี่ยงไม่ ให้ fมีค่าไม่แน่นอน 0/0)

โดเมนของfคือเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่. ฟังก์ชันตรรกยะทุกฟังก์ชันสามารถขยายได้อย่างเป็นธรรมชาติเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นทรงกลมรีมัน น์ทั้งหมด กล่าว คือ การแม ปตรรกยะการวนซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะบนทรงกลมรีมันน์ก่อให้เกิดระบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 3 ]}${\displaystyle Q(z)\neq 0}$

ฟังก์ชันตรรกยะเชิงซ้อนที่มีดีกรีหนึ่งคือการแปลงโมเบียส

ฟังก์ชันตรรกยะเป็นตัวอย่างตัวแทนของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก^{[ 4 ]}

• จูเลียตั้งค่าสำหรับแผนที่เชิงตรรกะ
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}}$
• 
  ${\displaystyle {\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}}$

มีนิยามของดีกรีของฟังก์ชันตรรกยะหลายแบบที่ไม่เท่ากัน

โดยทั่วไปแล้วดีกรีของฟังก์ชันตรรกยะคือค่าสูงสุดของดีกรีของพหุนามองค์ประกอบPและQเมื่อเศษส่วนนั้นถูกลดรูปให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ที่สุด ถ้าดีกรีของfคือdแล้วสมการจะเป็นดังนี้

${\displaystyle f(z)=w\,}$

มี คำตอบที่แตกต่างกัน dคำตอบในzยกเว้นค่าw บางค่า ที่เรียกว่าค่าวิกฤตซึ่งเป็นจุดที่คำตอบสองคำตอบขึ้นไปตรงกัน หรือจุดที่คำตอบบางคำตอบถูกปฏิเสธที่อนันต์ (นั่นคือ เมื่อดีกรีของสมการลดลงหลังจากกำจัดตัวส่วนแล้ว )

ดีกรีของกราฟ ของ ฟังก์ชันตรรกยะไม่ใช่ดีกรีตามที่นิยามไว้ข้างต้น แต่เป็นค่าสูงสุดของดีกรีของตัวเศษและหนึ่งบวกดีกรีของตัวส่วน

ในบางบริบท เช่น ในการวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกระดับ ของฟังก์ชันตรรกยะคือ ผลต่างระหว่างระดับของตัวเศษและตัวส่วน^{[ 5 ] : §13.6.1 [ 6 ] : บทที่ IV}

ในการสังเคราะห์เครือข่ายและการวิเคราะห์เครือข่ายฟังก์ชันตรรกยะดีกรีสอง (นั่นคือ อัตราส่วนของพหุนามสองตัวที่มีดีกรีไม่เกินสอง) มักเรียกว่า...ฟังก์ชันกำลังสอง ^{[ 7 ]}

ตัวอย่างของฟังก์ชันตรรกยะ

ฟังก์ชันตรรกยะดีกรี 3 พร้อมกราฟดีกรี  3:${\displaystyle y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

ฟังก์ชันตรรกยะดีกรี 2 ที่มีกราฟดีกรี  3:${\displaystyle y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}}$

ฟังก์ชันตรรกยะ

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

ไม่ได้กำหนดไว้ที่

${\displaystyle x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.}$

มันเข้าใกล้ค่าคงที่${\displaystyle {\tfrac {x}{2}}}$${\displaystyle x\to \infty .}$

ฟังก์ชันตรรกยะ

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}}$

นิยามได้สำหรับจำนวนจริง ทั้งหมด แต่ไม่ใช่สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมด เพราะถ้าxเป็นรากที่สองของ(เช่นหน่วยจินตนาการหรือค่าลบของมัน) การประเมินค่าอย่างเป็นทางการจะนำไปสู่การหารด้วยศูนย์: ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},}$

ซึ่งไม่มีนิยาม

ฟังก์ชันคงที่เช่นf ( x ) = πเป็นฟังก์ชันตรรกยะ เนื่องจากค่าคงที่คือพหุนาม ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันตรรกยะ แม้ว่าค่าของf ( x )จะเป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับทุกค่า xก็ตาม

ฟังก์ชันพหุนาม ทุก ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันตรรกยะฟังก์ชันที่ไม่สามารถเขียนในรูปแบบนี้ได้ เช่นไม่ใช่ฟังก์ชันตรรกยะ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วคำว่า "อตรรกยะ" ไม่ได้ใช้กับฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)=P(x)}$${\displaystyle Q(x)=1.}$${\displaystyle f(x)=\sin(x),}$

พหุนามลอเรนต์ทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปฟังก์ชันตรรกยะ ในขณะที่ข้อความกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป กล่าวคือ วงแหวนของพหุนามลอเรนต์เป็นวงแหวนย่อยของฟังก์ชันตรรกยะ

ฟังก์ชันตรรกยะมีค่าเท่ากับ 1 สำหรับทุกค่า xยกเว้น 0 ซึ่งมีจุดเอกฐานที่สามารถกำจัดได้ ผลรวม ผลคูณ หรือผลหาร (ยกเว้นการหารด้วยพหุนามศูนย์) ของฟังก์ชันตรรกยะสองฟังก์ชันนั้นเองก็เป็นฟังก์ชันตรรกยะ อย่างไรก็ตาม กระบวนการลดรูปให้เป็นรูปแบบมาตรฐานอาจทำให้จุดเอกฐานดังกล่าวถูกกำจัดไปโดยไม่ได้ตั้งใจ เว้นแต่จะระมัดระวัง การใช้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรรกยะเป็นชั้นสมมูลจะช่วยแก้ปัญหานี้ได้ เนื่องจากx / xมีค่าเท่ากับ 1/1 ${\displaystyle f(x)={\tfrac {x}{x}}}$

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันตรรกยะใดๆ จะสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นซึ่งสามารถหาได้โดยการเทียบฟังก์ชันตรรกยะกับอนุกรมเทย์เลอร์ที่มีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน และรวบรวมพจน์ที่เหมือนกันหลังจากกำจัดตัวส่วนแล้ว

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

คูณด้วยตัวส่วนและกระจาย

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

หลังจากปรับดัชนีของผลรวมเพื่อให้ได้กำลังของx ที่เท่ากันแล้ว เราจะได้

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

การรวมพจน์ที่เหมือนกันจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle 1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.}$

เนื่องจากข้อความนี้เป็นจริงสำหรับทุกค่าxในรัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์ดั้งเดิม เราจึงสามารถคำนวณได้ดังนี้ เนื่องจากพจน์คงที่ทางด้านซ้ายต้องเท่ากับพจน์คงที่ทางด้านขวา จึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}.}$

จากนั้น เนื่องจากไม่มีเลขยกกำลังของx ทางด้านซ้าย สัมประสิทธิ์ทั้งหมดทางด้านขวาจึงต้องเป็นศูนย์ ซึ่งส่งผลให้ได้ว่า

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.}$

ในทางกลับกัน ลำดับใดๆ ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น จะกำหนดฟังก์ชันตรรกยะเมื่อใช้เป็นสัมประสิทธิ์ของอนุกรมเทย์เลอร์ วิธีนี้มีประโยชน์ในการแก้ความสัมพันธ์เวียนเกิดดังกล่าว เนื่องจากโดยการใช้การแยกส่วนเศษส่วนเราสามารถเขียนฟังก์ชันตรรกยะที่เหมาะสมใดๆ เป็นผลรวมของตัวประกอบในรูปแบบ1 / ( ax + b )และขยายสิ่งเหล่านี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตทำให้ได้สูตรที่ชัดเจนสำหรับสัมประสิทธิ์ของอนุกรมเทย์เลอร์ นี่คือวิธีการของฟังก์ชัน ก่อกำเนิด

ในพีชคณิตนามธรรมแนวคิดของพหุนามถูกขยายให้รวมถึงนิพจน์เชิงรูปธรรมซึ่งสัมประสิทธิ์ของพหุนามสามารถมาจากฟิลด์ ใดก็ได้ ในบริบทนี้ เมื่อกำหนดฟิลด์และตัวแปรไม่กำหนดบางตัวนิพจน์ตรรกยะ (หรือที่เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะหรือในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะ ) คือองค์ประกอบใดๆ ของฟิลด์เศษส่วนของวงแหวนพหุนาม นิพจน์ตรรกยะใดๆ สามารถเขียนได้เป็นผลหารของพหุนามสองตัวที่มีแม้ว่าการแสดงนี้จะไม่เป็นเอกลักษณ์ก็ตาม เทียบเท่ากับสำหรับพหุนาม, , , และเมื่ออย่างไรก็ตาม เนื่องจากเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน จึง มีการแสดงที่ไม่ซ้ำกันสำหรับนิพจน์ตรรกยะใดๆที่มีและพหุนามที่มีดีกรีต่ำสุดและเลือกให้เป็นพหุนามเอกลักษณ์นี่คล้ายกับวิธีที่เศษส่วนของจำนวนเต็มสามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูปอย่างง่ายที่สุดโดยการตัดตัวประกอบร่วมออก ${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F[X]}$${\displaystyle P/Q}$${\displaystyle Q\neq 0}$${\displaystyle P/Q}$${\displaystyle R/S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle PS=QR}$${\displaystyle F[X]}$${\displaystyle P/Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$

ฟิลด์ของนิพจน์ตรรกยะจะถูกแทนด้วยฟิลด์นี้กล่าวได้ว่าถูกสร้างขึ้น (ในฐานะฟิลด์) บนโดย ( องค์ประกอบอดิศัย ) เนื่องจากไม่มีฟิลด์ย่อยแท้ใด ๆ ที่ประกอบด้วยทั้งและ องค์ประกอบ${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$

เช่นเดียวกับพหุนาม นิพจน์ตรรกยะก็สามารถขยายไปสู่ตัวแปรไม่กำหนดได้ เช่นกัน โดยการใช้ฟิลด์เศษส่วนของซึ่งแสดงด้วย ${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle F[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle F(X_{1},\ldots ,X_{n})}$

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต มีการใช้แนวคิดนามธรรมของฟังก์ชันตรรกยะในรูปแบบที่ขยายออกไป โดยฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้เชิงพีชคณิต จะถูกสร้างขึ้นเป็นฟิลด์ของเศษส่วนของวงแหวนพิกัด ( หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ของ เซตเปิดเชิงเส้น หนาแน่นแบบซาริสกี้ใน) องค์ประกอบของฟิลด์นี้ถือเป็นฟังก์ชันปกติในความหมายของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตบนเซตเปิดที่ไม่ว่างและอาจมองได้ว่าเป็นมอร์ฟิซึมไปยัง เส้นตรงเชิงโปรเจ ก ทีฟ ด้วย${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$

ฟังก์ชันตรรกยะถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขสำหรับการแทรกสอดและการประมาณค่าฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่นตัวประมาณค่า Padéที่คิดค้นโดยHenri Padéการประมาณค่าโดยใช้ฟังก์ชันตรรกยะนั้นเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์และซอฟต์แวร์ เชิงตัวเลขอื่นๆ เช่นเดียวกับพหุนาม ฟังก์ชันตรรกยะสามารถคำนวณค่าได้อย่างตรงไปตรงมา และในขณะเดียวกันก็แสดงพฤติกรรมที่หลากหลายกว่าพหุนาม

ฟังก์ชันตรรกยะถูกนำมาใช้เพื่อประมาณหรือสร้างแบบจำลองสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม รวมถึงสนามและแรงในฟิสิกส์สเปกโทรสโกปีในเคมีวิเคราะห์ จลนศาสตร์ของเอนไซม์ในชีวเคมี วงจรไฟฟ้า อากาศพลศาสตร์ ความเข้มข้นของยาในร่างกายฟังก์ชันคลื่นสำหรับอะตอมและโมเลกุล ทัศนศาสตร์และการถ่ายภาพเพื่อปรับปรุงความละเอียดของภาพ และอะคูสติกและเสียง

ในด้านการประมวลผลสัญญาณการแปลงลาปลาส (สำหรับระบบต่อเนื่อง) หรือการแปลง z (สำหรับระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง) ของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบเชิงเส้นคงที่ตามเวลา (ตัวกรอง) ที่ใช้กันทั่วไป ซึ่งมีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นเป็นอนันต์นั้นเป็นฟังก์ชันตรรกยะบนจำนวนเชิงซ้อน

• การแยกส่วนเศษส่วนย่อย
• เศษส่วนย่อยในการอินทิเกรต
• ฟิลด์ฟังก์ชันของวาไรตี้พีชคณิต
• เศษส่วนพีชคณิต  – การขยายแนวคิดของฟังก์ชันตรรกยะที่อนุญาตให้หาค่ารากจำนวนเต็มได้

• "ฟังก์ชันตรรกยะ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "ส่วนที่ 3.4 การประมาณค่าในช่วงและนอกช่วงของฟังก์ชันตรรกยะ", สูตรการคำนวณเชิงตัวเลข: ศิลปะแห่งการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ (ฉบับที่ 3), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-88068-8

• การแสดงภาพแบบไดนามิกของฟังก์ชันตรรกยะด้วย JSXGraph