ในทางคณิตศาสตร์การแปลงเชิงเส้นเศษส่วนโดยคร่าวๆ คือ การแปลง ที่ผกผันได้ในรูปแบบ

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.}$

นิยามที่แน่นอนขึ้นอยู่กับลักษณะของa , b , c , dและzกล่าวอีกนัยหนึ่ง การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นคือการแปลงที่แสดงด้วยเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นเชิงเส้น

ในบริบทพื้นฐานที่สุดa , b , c , dและzคือจำนวนเชิงซ้อน (ซึ่งในกรณีนี้การแปลงนี้เรียกว่าการแปลงโมเบียส ) หรือโดยทั่วไปแล้วคือองค์ประกอบของฟิลด์เงื่อนไขการผกผันคือad – bc ≠ 0การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นบนฟิลด์คือการจำกัดการแปลงเชิงโปรเจคทีฟหรือโฮโมกราฟีของเส้นเชิง โปรเจคทีฟบนฟิลด์ นั้น

เมื่อa , b , c , dเป็นจำนวนเต็ม (หรือโดยทั่วไปแล้วเป็นจำนวนเต็มในโดเมนจำนวนเต็ม ) zจะต้องเป็นจำนวนตรรกยะ (หรือเป็นจำนวนเต็มในโดเมนเศษส่วนของโดเมนจำนวนเต็ม) ในกรณีนี้ เงื่อนไขการผกผันคือad – bcต้องเป็นหน่วยของโดเมน (นั่นคือ1หรือ−1ในกรณีของจำนวนเต็ม) ^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปแล้วa , b , c , dและzจะเป็นองค์ประกอบของริงเช่นเมทริกซ์ จัตุรัส ตัวอย่างของการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นดังกล่าวคือการแปลงเคย์ลีย์ซึ่งเดิมทีนิยามไว้บนริงเมทริกซ์จริงขนาด3 × 3

การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ในงานวิศวกรรม เช่นเรขาคณิต คลาสสิ กทฤษฎีจำนวน (ตัวอย่างเช่น ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยไวลส์ ) ทฤษฎีกลุ่มและทฤษฎีการควบคุม

โดยทั่วไป การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นคือโฮโมกราฟีของP( A )ซึ่งเป็นเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟเหนือวงแหวนAเมื่อAเป็นวงแหวนสลับที่ การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นจะมีรูปแบบที่คุ้นเคยดังนี้

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

โดยที่a , b , c , dเป็นสมาชิกของAซึ่งad – bcเป็นหน่วยของA (นั่นคือad – bcมีตัวผกผันการคูณในA )

ในวงแหวนไม่สลับที่Aโดยที่( z , t ) ^อยู่ในA²หน่วยuจะกำหนดความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle (z,t)\sim (uz,ut)}$ชั้นสมมูลในเส้นโปรเจกทีฟเหนือAเขียนแทนด้วยU [ z  : t ]โดยวงเล็บหมายถึงพิกัดโปรเจกทีฟจากนั้นการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นจะกระทำทางด้านขวาขององค์ประกอบของP( A ) :

${\displaystyle U[z:t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+tb:\ zc+td]\sim U[(zc+td)^{-1}(za+tb):\ 1].}$

วงแหวนถูกฝังอยู่ในเส้นเชิงโปรเจกทีฟโดยz → U [ z  : 1]ดังนั้นt = 1จึงได้นิพจน์ปกติกลับคืนมา การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี เนื่องจากU [ za + tb : zc + td ]ไม่ขึ้นอยู่กับว่าเลือกองค์ประกอบใดจากชั้นสมมูลของมันสำหรับการดำเนินการ

การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นบนAก่อให้เกิดกลุ่มซึ่งเรียกว่ากลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ (projective linear group) โดยใช้สัญลักษณ์ แทน${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(A).}$

กลุ่ม${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {Z} )}$กลุ่ม ของการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นเรียกว่ากลุ่มมอดูลาร์ กลุ่มนี้ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางเนื่องจากมีการประยุกต์ใช้มากมายในทฤษฎีจำนวน ซึ่งรวมถึง การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยไวลส์ด้วย

ในระนาบเชิงซ้อนวงกลมทั่วไปจะเป็นได้ทั้งเส้นตรงหรือวงกลม เมื่อเติมเต็มด้วยจุดที่อนันต์ วงกลมทั่วไปในระนาบจะสอดคล้องกับวงกลมบนพื้นผิวของทรงกลมรีมันน์ซึ่งเป็นการแสดงออกของเส้นตรงเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นจะสลับตำแหน่งของวงกลมเหล่านี้บนทรงกลม และจุดจำกัดที่สอดคล้องกันของวงกลมทั่วไปในระนาบเชิงซ้อน

ในการสร้างแบบจำลองของระนาบไฮเปอร์โบลิกจะใช้จานหน่วยและระนาบครึ่งบน แทนจุดต่างๆ เซตย่อยของระนาบเชิงซ้อนเหล่านี้จะมี เมตริกแบบเคย์ลีย์-ไคลน์จากนั้นจะคำนวณระยะห่างระหว่างสองจุดโดยใช้วงกลมทั่วไปที่ลากผ่านจุดทั้งสองและตั้งฉากกับขอบเขตของเซตย่อยที่ใช้สำหรับแบบจำลอง วงกลมทั่วไปนี้ตัดกับขอบเขตที่จุดอีกสองจุด จุดทั้งสี่นี้ใช้ในอัตราส่วนไขว้ซึ่งกำหนดเมตริกแบบเคย์ลีย์-ไคลน์ การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นทำให้อัตราส่วนไขว้ไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นใดๆ ที่ทำให้จานหน่วยหรือระนาบครึ่งบนคงที่จึงเป็นการแปลงแบบไอโซเมตรีของปริภูมิเมตริก ของระนาบไฮเปอร์โบลิก นับตั้งแต่ที่อองรี ปวงกาเรได้อธิบายแบบจำลองเหล่านี้ แบบจำลองเหล่านี้จึงได้รับการตั้งชื่อตามเขาว่าแบบจำลองจานปวงกาเรและแบบจำลองระนาบครึ่งปวงกาเร แต่ละแบบจำลองมีกลุ่มไอโซเมตรีที่เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มโมเบียส : กลุ่มไอโซเมตรีสำหรับแบบจำลองดิสก์คือSU(1, 1)โดยที่การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นเป็น "เอกภาพพิเศษ" และสำหรับระนาบครึ่งบน กลุ่มไอโซเมตรีคือPSL(2, R )ซึ่งเป็นกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟของการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นที่มีรายการจริงและดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับหนึ่ง^{[ 2 ]}

การแปลงโมเบียสปรากฏให้เห็นทั่วไปในทฤษฎีเศษส่วนต่อเนื่องและในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ของเส้นโค้งวงรีและรูปแบบมอดูลาร์เนื่องจากเป็นการอธิบายออโตมอร์ฟิซึมของระนาบครึ่งบนภายใต้การกระทำของกลุ่มมอดูลาร์นอกจากนี้ยังเป็นตัวอย่างมาตรฐานของการไฟเบอร์แบบฮอปฟ์ซึ่งการไหล ของจีโอเดสิก ที่เกิดจากการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นจะแยกพื้นที่โปรเจคทีฟเชิงซ้อนออกเป็นแมนิโฟลด์ที่เสถียรและไม่เสถียรโดยที่โฮโรไซเคิลปรากฏตั้งฉากกับจีโอเดสิก ดูการไหลของอโนซอฟสำหรับตัวอย่างการทำงานของไฟเบอร์: ในตัวอย่างนี้ จีโอเดสิกกำหนดโดยการแปลงเชิงเส้นเศษส่วน

${\displaystyle (i\exp(t),\ 1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ (ai\exp(t)+b,\ ci\exp(t)+d)\thicksim \left({\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}},\ 1\right)}$

โดยที่a , b , cและdเป็นจำนวนจริงและad − bc = 1โดยคร่าวๆ แล้วแมนิโฟลด์ศูนย์กลางถูกสร้างขึ้นโดยการแปลงแบบพาราโบลิก แมนิโฟลด์ไม่เสถียรถูกสร้างขึ้นโดยการแปลงแบบไฮเปอร์โบลิก และแมนิโฟลด์เสถียรถูกสร้างขึ้นโดยการแปลงแบบวงรี

การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในทฤษฎีการควบคุมเพื่อแก้ปัญหาความสัมพันธ์ระหว่างโรงงานและตัวควบคุมในวิศวกรรมเครื่องกลและไฟฟ้า^{[ 3 ] [ 4 ]}ขั้นตอนทั่วไปของการรวมการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นเข้ากับผลคูณดาว Redhefferช่วยให้สามารถนำไปใช้กับทฤษฎีการกระเจิงของสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไป รวมถึง แนวทาง เมทริกซ์ Sในกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัม การกระเจิงของคลื่นเสียงในตัวกลาง (เช่น เทอร์โมไคลน์และเรือดำน้ำในมหาสมุทร ฯลฯ) และการวิเคราะห์ทั่วไปของการกระเจิงและสถานะผูกพันในสมการเชิงอนุพันธ์ ในที่นี้ ส่วนประกอบเมทริกซ์ 3 × 3หมายถึงสถานะขาเข้า สถานะผูกพัน และสถานะขาออก ตัวอย่างการประยุกต์ใช้การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอาจเกิดขึ้นในการวิเคราะห์ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบหน่วง การประยุกต์ ใช้พื้นฐานอีกอย่างหนึ่งคือการได้มาซึ่งรูปแบบปกติของ Frobeniusนั่นคือเมทริกซ์คู่ของพหุนาม

วงแหวนสลับเปลี่ยนของจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกและจำนวนคู่ จะรวม จำนวนเชิงซ้อนทั่วไปเข้าด้วยกันเป็นวงแหวนที่แสดงมุมและ "การหมุน" ในแต่ละกรณีแผนที่เลขชี้กำลังที่ใช้กับแกนจินตนาการจะสร้างไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มพารามิเตอร์เดียวใน( A , + )และในกลุ่มหน่วย( U , × ) : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad j^{2}=+1,}$

${\displaystyle \exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,}$

${\displaystyle \exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.}$

"มุม" yคือมุมไฮเปอร์โบลิกมุมชันหรือมุมวงกลม ขึ้นอยู่กับวงแหวนหลัก

การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นแสดงให้เห็นว่าเป็นแผนที่แบบคอนฟอร์มอลโดยพิจารณาจากตัวสร้าง ของมัน : การผกผันแบบคูณz → 1/ zและการแปลงเชิงเส้นz → az + bความเป็นคอนฟอร์มอลสามารถยืนยันได้โดยการแสดงว่าตัวสร้างทั้งหมดเป็นคอนฟอร์มอล การเลื่อนz → z + bเป็นการเปลี่ยนจุดกำเนิดและไม่ทำให้มุมเปลี่ยนแปลง เพื่อให้เห็นว่าz → azเป็นคอนฟอร์มอล ให้พิจารณาการแยกส่วนเชิงขั้วของaและzในแต่ละกรณี มุมของaจะถูกบวกเข้ากับมุมของzส่งผลให้ได้แผนที่แบบคอนฟอร์มอล สุดท้าย การผกผันเป็นคอนฟอร์มอลเนื่องจากz → 1/ zส่ง${\displaystyle \exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.}$

• การแปลงลากูร์
• การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วน
• วิธีการ H-infinity ในทฤษฎีการควบคุม