ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์กลุ่มลอเรนซ์ (Lorentz group)คือกลุ่ม ของ การแปลงลอเรนซ์ทั้งหมดของ ปริภูมิ เวลามิงโกวสกี (Minkowski spacetime ) ซึ่งเป็น กรอบอ้างอิง แบบคลาสสิกและควอนตัม สำหรับ ปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ทั้งหมด (ยกเว้นแรงโน้มถ่วง) กลุ่มลอเรนซ์ตั้งชื่อตามเฮนดริก ลอเรนซ์นักฟิสิกส์ชาวดัตช์

ตัวอย่างเช่น กฎ สมการ และทฤษฎีต่อไปนี้เคารพสมมาตรของลอเรนซ์:

• กฎจลนศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
• โครงสร้างเฉพาะที่ (เชิงอนุพันธ์) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• สมการสนามของแม็กซ์เวลล์ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า
• สมการ ของDiracในทฤษฎีอิเล็กตรอน
• แบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค

กลุ่มลอเรนซ์แสดงถึงสมมาตร พื้นฐาน ของอวกาศและเวลาของกฎธรรมชาติ พื้นฐานที่เรารู้จักทั้งหมด ในบริเวณของกาลอวกาศที่มีขนาดเล็กพอซึ่งการเปลี่ยนแปลงของแรงโน้มถ่วงมีน้อยมาก กฎทางฟิสิกส์จะคงสภาพภายใต้การแปลงลอเรนซ์

กลุ่มลอเรนซ์เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มปวงกาเร ซึ่งเป็นกลุ่มของ การแปลงไอโซเมตรีทั้งหมดของปริภูมิเวลามิงคอฟสกีการแปลงลอเรนซ์คือการแปลงไอโซเมตรีที่คงจุด ( เหตุการณ์ ) เพียงจุดเดียวไว้ ดังนั้น กลุ่มลอเรนซ์จึงเป็นกลุ่มย่อยไอโซโทร ปี เมื่อเทียบกับจุดหนึ่งในกลุ่มไอโซเมตรีของปริภูมิเวลามิงคอฟสกี ด้วยเหตุนี้ กลุ่มลอเรนซ์จึงบางครั้งเรียกว่ากลุ่มลอเรนซ์เอกพันธุ์ในขณะที่กลุ่มปวงกาเรบางครั้งเรียกว่ากลุ่มลอเรนซ์อเอกพันธุ์การแปลงลอเรนซ์เป็นตัวอย่างของการแปลงเชิงเส้นส่วนการแปลงไอโซเมตรีทั่วไปของปริภูมิเวลามิงคอฟสกีเป็นการแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟิน

สมมติว่ามี กรอบอ้างอิงเฉื่อย สอง กรอบ ( t , x , y , z )และ( t ′, x ′, y ′, z ′)และจุดสองจุดP1 , P2กลุ่มลอเรนซ์คือเซตของการแปลงทั้งหมดระหว่างกรอบอ้างอิงทั้งสองที่รักษา ความเร็ว แสงที่เดินทางระหว่างจุดทั้งสอง

${\displaystyle c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta ซ)^{2}}$

ในรูปแบบเมทริกซ์ การแปลงเชิงเส้น Λทั้งหมดเหล่านี้เป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \Lambda ^{\textsf {T}}\eta \Lambda =\eta \qquad \eta =\ชื่อผู้ดำเนินการ {diag} (1,-1,-1,-1)}$

สิ่งเหล่านี้เรียกว่าการแปลงลอเรนซ์

ในทางคณิตศาสตร์ กลุ่มลอเรนซ์สามารถอธิบายได้ว่าเป็นกลุ่มเชิงตั้งฉากไม่จำกัดO(1, 3)ซึ่งเป็นกลุ่มลีเมทริกซ์ที่รักษารูปแบบกำลังสองไว้

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

บนR ⁴ (ปริภูมิเวกเตอร์ที่มาพร้อมกับรูปแบบกำลังสองนี้บางครั้งเขียนว่าR ^1,3 ) รูปแบบกำลังสองนี้ เมื่อแปลงให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ (ดูกลุ่มออร์โธโกนอลแบบคลาสสิก ) จะถูกตีความในทางฟิสิกส์ว่าเป็นเทนเซอร์เมตริกของปริภูมิเวลาของมิงโกวสกี

ทั้งO(1, 3)และO(3, 1)ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับกลุ่มลอเรนซ์ แบบแรกหมายถึงเมทริกซ์ที่รักษาเมตริกที่มีเครื่องหมาย (+−−−) และแบบที่สองหมายถึงเมตริกที่มีเครื่องหมาย (−+++) เนื่องจากเครื่องหมายโดยรวมของเมตริกไม่มีความสำคัญในสมการกำหนด กลุ่มของเมทริกซ์ที่ได้จึงเหมือนกัน ดูเหมือนว่าในปัจจุบันมีการผลักดันจากบางภาคส่วนให้ใช้ สัญกรณ์ (1, 3)มากกว่า(3, 1)แต่แบบหลังก็ยังคงมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติปัจจุบัน และเอกสารทางวิชาการในอดีตจำนวนมากก็ใช้สัญกรณ์นี้ ทุกสิ่งที่อธิบายในบทความนี้ใช้ได้กับ สัญกร ณ์O(3, 1)เช่นกันข้อพิจารณาเหล่านี้ขยายไปถึงคำจำกัดความที่เกี่ยวข้องด้วย (เช่นSO ⁺ (1, 3)เทียบกับSO ⁺ (3, 1) )

กลุ่มลอเรนซ์เป็นกลุ่มลีจริงแบบไม่กระชับไม่เชิงอะเบเลียน 6 มิติ ที่ไม่เชื่อมต่อกันส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันทั้งสี่ไม่เชื่อมต่อกันแบบง่าย [ ^{1 ] ส่วนประกอบ}เอกลักษณ์(เช่น ส่วนประกอบที่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์) ของกลุ่มลอเรนซ์เป็นกลุ่ม และมักเรียกว่ากลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดและใช้สัญลักษณ์SO ⁺ (1, 3)กลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดประกอบด้วยการแปลงลอเรนซ์ที่รักษาทั้งทิศทางของพื้นที่และทิศทางของเวลากลุ่มพื้นฐาน ของกลุ่มนี้ มีอันดับ 2 และกลุ่มปกคลุมสากลของกลุ่มนี้คือกลุ่มสปินไม่แน่นอนSpin(1, 3)ซึ่งสมมาตรกับทั้งกลุ่มเชิงเส้นพิเศษSL(2, C )และกลุ่มซิมเพล็กติกSp(2, C )ความสมมาตรเหล่านี้ทำให้กลุ่มลอเรนซ์สามารถกระทำกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่สำคัญต่อฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสปินเนอร์ ดังนั้น ในกลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพและในทฤษฎีสนามควอนตัมจึงเป็นเรื่องปกติมากที่จะเรียกSL(2, C )ว่ากลุ่มลอเรนซ์ โดยเข้าใจว่าSO ⁺ (1, 3)เป็นการแสดงแทนเฉพาะ (การแสดงแทนเวกเตอร์) ของกลุ่มนี้

การแสดงแทนแบบเวียนเกิดของการกระทำของกลุ่มลอเรนซ์บนปริภูมิมิงโกวสกีใช้ไบควอเทอร์เนียนซึ่งก่อให้เกิดพีชคณิต การประกอบ การสมบัติไอ โซ เมตรีของการแปลงลอเร น${\displaystyle |pq|=|p|\times |q|}$ซ์เป็นไปตามสมบัติการประกอบ

คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของกลุ่มลอเรนซ์คือความสอดคล้องหรือการรักษาค่าของมุม การเพิ่มความเร็วแบบลอเรนซ์กระทำโดยการหมุนแบบไฮเปอร์โบลิกของระนาบปริภูมิเวลา และการ "หมุน" ดังกล่าวจะรักษาค่ามุมไฮเปอร์โบลิกซึ่งเป็นหน่วยวัดความเร็ว ที่ใช้ในทฤษฎีสั ม พัทธภาพ ดังนั้น กลุ่มลอเรนซ์จึงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มความสอดคล้องของปริภูมิเวลา

โปรดทราบว่าบทความนี้อ้างถึงO(1, 3)ว่าเป็น "กลุ่มลอเรนซ์" SO(1, 3)ว่าเป็น "กลุ่มลอเรนซ์ที่แท้จริง" และSO ⁺ (1, 3)ว่าเป็น "กลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัด" ผู้เขียนหลายคน (โดยเฉพาะในสาขาฟิสิกส์) ใช้ชื่อ "กลุ่มลอเรนซ์" สำหรับSO(1, 3) (หรือบางครั้งอาจใช้SO ⁺ (1, 3) ) แทนที่จะใช้O(1, 3)เมื่ออ่านงานเขียนของผู้เขียนเหล่านั้น จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องระบุให้ชัดเจนว่าพวกเขากำลังอ้างถึงกลุ่มใดกันแน่

เนื่องจากเป็นกลุ่มลี (Lie group ) กลุ่มลอเรนซ์O(1, 3)จึงเป็นกลุ่มและยังมีคำอธิบายเชิงโทโพโลยีเป็นแมนิโฟลด์เรียบ (smooth manifold ) ด้วย ในฐานะแมนิโฟลด์ มันมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสี่ส่วน โดยสัญชาตญาณแล้ว หมายความว่ามันประกอบด้วยชิ้นส่วนที่แยกจากกันเชิงโทโพโลยีสี่ชิ้น

ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันทั้งสี่ส่วนสามารถจำแนกได้ตามคุณสมบัติการแปลงสองประการที่องค์ประกอบเหล่านั้นมี:

• องค์ประกอบบางอย่างจะกลับด้านภายใต้การแปลงลอเรนซ์แบบกลับเวลา ตัวอย่างเช่นเวกเตอร์ไทม์ไลค์ ที่ชี้ไปอนาคต จะกลับด้านเป็นเวกเตอร์ที่ชี้ไปอดีต
• องค์ประกอบบางอย่างมีทิศทางกลับด้านเนื่องจากการแปลงลอเรนซ์ที่ไม่เหมาะสมตัวอย่างเช่นเวียร์ไบน์ (เททราด) บางชนิด

การแปลงลอเรนซ์ที่รักษาทิศทางของเวลาเรียกว่าอะไรออร์โธโครนัสกลุ่มย่อยของการแปลงออร์โธโครนัส มักจะใช้สัญลักษณ์O ⁺ (1, 3)ที่รักษาทิศทางเรียกว่าแบบเหมาะสมและเนื่องจากเป็นการแปลงเชิงเส้น จึงมีดีเทอร์มิแนนต์+1(การแปลงลอเรนซ์แบบไม่เหมาะสมมีดีเทอร์มิแนนต์−1) กลุ่มย่อยของการแปลงลอเรนซ์แบบเหมาะสมจะใช้สัญลักษณ์SO(1, 3)

กลุ่มย่อยของการแปลงลอเรนซ์ทั้งหมดที่รักษาทั้งการวางแนวและทิศทางของเวลาเรียกว่ากลุ่มลอเรนซ์ออร์โธโครนัสที่เหมาะสมหรือกลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดและมีสัญลักษณ์แทนด้วยSO + ⁽ 1, 3) ^{[ a ]}

เซตของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันทั้งสี่สามารถกำหนดโครงสร้างกลุ่มได้เป็นกลุ่มผลหารO(1, 3) / SO ⁺ (1, 3)ซึ่งสมมาตรกับกลุ่มสี่ของไคลน์ทุกองค์ประกอบในO(1, 3)สามารถเขียนได้เป็นผลคูณกึ่งตรงของการแปลงแบบออร์โธโครนัสที่เหมาะสมและองค์ประกอบของกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

{1, P , T , PT }

โดยที่PและTคือ ตัวดำเนินการ พาริตีและ ตัวดำเนิน การย้อนกลับเวลา :

P = diag(1, −1, −1, −1)

T = diag(−1, 1, 1, 1) .

ดังนั้น การแปลงลอเรนซ์แบบใดๆ ก็สามารถระบุได้ว่าเป็นการแปลงลอเรนซ์แบบออร์โธโครนัสที่เหมาะสม พร้อมด้วยข้อมูลเพิ่มเติมอีกสองบิต ซึ่งเลือกส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันหนึ่งในสี่ส่วน รูปแบบนี้เป็นลักษณะทั่วไปของกลุ่มลีที่มีมิติจำกัด

กลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดSO ⁺ (1, 3)คือส่วนประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มลอเรนซ์ ซึ่งหมายความว่ามันประกอบด้วยการแปลงลอเรนซ์ทั้งหมดที่สามารถเชื่อมต่อกับเอกลักษณ์ได้ด้วย เส้นโค้ง ต่อเนื่องที่อยู่ในกลุ่ม กลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดเป็นกลุ่มย่อยปกติ ที่เชื่อมต่อกัน ของกลุ่มลอเรนซ์แบบเต็มที่มีมิติเดียวกัน ในกรณีนี้คือมิติหก

กลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนเชิงพื้นที่ ปกติ และการเร่งความเร็วลอเรนซ์ (ซึ่งเป็นการหมุนในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกที่รวมทิศทางคล้ายเวลา^{[ 2 ]} ) เนื่องจากการแปลงลอเรนซ์แบบออร์โธโครนัสที่เหมาะสมทุกแบบสามารถเขียนได้เป็นผลคูณของการหมุน (ระบุโดยพารามิเตอร์จริง 3 ตัว ) และการเร่งความเร็ว (ระบุโดยพารามิเตอร์จริง 3 ตัวเช่นกัน) จึงต้องใช้พารามิเตอร์จริง 6 ตัวในการระบุการแปลงลอเรนซ์แบบออร์โธโครนัสที่เหมาะสมใดๆ นี่เป็นวิธีหนึ่งที่จะเข้าใจว่าทำไมกลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดจึงมีหกมิติ (ดูพีชคณิตลีของกลุ่มลอเรนซ์ ด้วย )

เซตของการหมุนทั้งหมดก่อให้เกิดกลุ่มย่อย Lie ที่สมมาตรกับ กลุ่มการหมุนปกติSO(3)อย่างไรก็ตาม เซตของการเร่งความเร็วทั้งหมดไม่ได้ก่อให้เกิดกลุ่มย่อย เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว การประกอบการเร่งความเร็วสองครั้งจะไม่ส่งผลให้เกิดการเร่งความเร็วอีกตัวหนึ่ง (ในทางกลับกัน การเร่งความเร็วที่ไม่เป็นเส้นตรงคู่หนึ่งเทียบเท่ากับการเร่งความเร็วและการหมุน และสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการหมุนของโทมัส ) การเร่งความเร็วในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง หรือการหมุนรอบแกนใดแกนหนึ่ง จะสร้าง กลุ่ม ย่อย ที่มีพารามิเตอร์หนึ่งตัว

ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นเดียว

พื้นผิวรูปกรวยทั่วไป

ไฮเปอร์โบโลอิดของแผ่นสองแผ่น

ถ้ากลุ่มGกระทำต่อปริภูมิVแล้ว พื้นผิวS ⊂ Vจะเป็นพื้นผิวแห่งการถ่ายทอด (transitivity)ถ้าSไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้G (กล่าวคือ∀ g ∈ G , ∀ s ∈ S : gs ∈ S ) และสำหรับจุดสองจุดใดๆs , s ∈ Sจะมีg ∈ Gที่ทำให้gs = s ตามนิยามของกลุ่มลอเรนซ์ มันจะรักษารูปแบบกำลังสอง (quadratic form) ไว้

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$

พื้นผิวของการส่งผ่านของกลุ่ม Lorentz แบบออร์โธโครนัสO ⁺ (1, 3) , Q ( x ) = const.ที่กระทำบนปริภูมิเวลา ราบเรียบ R ^1,3มีดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ]}

• Q ( x ) > 0, x0 0คือกิ่งบนของไฮเปอร์โบโลอิดสองแผ่น จุดบนแผ่นนี้ถูกแยกออกจากจุดกำเนิดด้วยเวกเตอร์คล้ายเวลา ในอนาคต
• Q ( x ) > 0, x0 0คือกิ่งล่างของไฮเปอร์โบโลอิดนี้ จุดบนแผ่นนี้คือเวกเตอร์เวลา ในอดีต
• Q ( x ) = 0, x0 0คือกิ่งบนของกรวยแสงซึ่งเป็นกรวยแสงในอนาคต
• Q ( x ) = 0, x0 0คือกิ่งล่างของกรวยแสง หรือกรวยแสงในอดีต
• Q ( x ) < 0เป็นไฮเปอร์โบโลอิดที่มีระนาบเดียว จุดบนระนาบนี้แยกจากจุดกำเนิดในเชิงพื้นที่
• จุดกำเนิดx = x = x = x = 0

พื้นผิวเหล่านี้เป็น แบบ 3มิติดังนั้นภาพจึงไม่สมจริง แต่สมจริงสำหรับข้อเท็จจริงที่สอดคล้องกันเกี่ยวกับO ⁺ (1, 2)สำหรับกลุ่มลอเรนซ์แบบเต็ม พื้นผิวของการส่งผ่านมีเพียงสี่พื้นผิวเท่านั้น เนื่องจากการแปลงTจะนำกิ่งบนของไฮเปอร์โบโลอิด (กรวย) ไปยังกิ่งล่างและในทางกลับกัน

วิธีที่เทียบเท่ากันในการกำหนดพื้นผิวการถ่ายทอดข้างต้นคือการใช้พื้นที่สมมาตรในความหมายของทฤษฎี Lie ตัวอย่างเช่น แผ่นบนของไฮเปอร์โบโลอิดสามารถเขียนได้เป็นพื้นที่ผลหารSO ⁺ (1, 3) / SO(3)เนื่องมาจากทฤษฎีบทการรักษาเสถียรภาพวงโคจร ยิ่งไปกว่านั้น แผ่นบนนี้ยังเป็นแบบจำลองสำหรับ พื้นที่ไฮเปอร์โบลิกสามมิติอีกด้วย

ข้อสังเกตเหล่านี้ถือเป็นจุดเริ่มต้นที่ดีในการค้นหาการแสดงแทนเอกภาพมิติอนันต์ ทั้งหมด ของกลุ่ม Lorentz ในความเป็นจริงของกลุ่ม Poincaré โดยใช้วิธีการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ [ ^{4 ] เริ่ม}ต้นด้วย "เวกเตอร์มาตรฐาน" หนึ่งตัวสำหรับแต่ละพื้นผิวของการส่งผ่าน จากนั้นถามว่ากลุ่มย่อยใดที่รักษาเวกเตอร์เหล่านี้ไว้ กลุ่มย่อยเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มเล็กโดยนักฟิสิกส์ ปัญหาจึงลดลงเหลือเพียงปัญหาที่ง่ายกว่าในการค้นหาการแสดงแทนของกลุ่มเล็ก ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์มาตรฐานในไฮเปอร์โบลาหนึ่งในสองแผ่นสามารถเลือกได้อย่างเหมาะสมเป็น( m , 0, 0, 0)สำหรับแต่ละm ≠ 0เวกเตอร์จะทะลุผ่านแผ่นหนึ่งแผ่นพอดี ในกรณีนี้กลุ่มเล็กคือSO(3)กลุ่มการหมุนซึ่งการแสดงแทนทั้งหมดเป็นที่รู้จัก การแสดงแทนเอกภาพมิติอนันต์ที่แม่นยำซึ่งอนุภาคแปลงสภาพเป็นส่วนหนึ่งของการจำแนกประเภท การแสดงแทนทั้งหมดไม่สามารถสอดคล้องกับอนุภาคทางกายภาพได้ (เท่าที่ทราบ) เวกเตอร์มาตรฐานบนไฮเปอร์โบลาแบบแผ่นเดียวจะสอดคล้องกับทาคิออนอนุภาคบนกรวยแสงคือโฟตอนและในเชิงสมมติฐานคือกราวิตอน "อนุภาค" ที่สอดคล้องกับจุดกำเนิดคือสุญญากาศ

กลุ่มอื่นๆ อีกหลายกลุ่มมีทั้งแบบโฮโมมอร์ฟิกหรือไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดSO ⁺ (1, 3)โฮโมมอร์ฟิซึมเหล่านี้มีบทบาทสำคัญในการอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ในฟิสิกส์

• กลุ่มเชิงเส้นพิเศษSL(2, C )คือการครอบคลุมสองชั้นของกลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัด ความสัมพันธ์นี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการแสดงความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ลอ เรนซ์ ของสมการดิแรกและความแปรปรวนร่วมของสปินเนอร์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง กลุ่มลอเรนซ์ (แบบจำกัด) นั้นสม isomorphic กับSL(2, C ) / Z
• กลุ่มซิมเพล็กติกSp(2, C )มีโครงสร้างเหมือนกับSL(2, C )โดยใช้ในการสร้างสปินเนอร์ของ Weylรวมถึงอธิบายว่าสปินเนอร์จะมีมวลได้อย่างไร
• กลุ่มสปินSpin(1, 3)มีโครงสร้างสมมาตรกับSL(2, C )โดยใช้เพื่ออธิบายสปินและสปินเนอร์ในแง่ของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดทำให้เห็นชัดเจนว่าจะวางกลุ่มลอเรนซ์ในบริบททั่วไปของเรขาคณิตแบบรี มันน์ได้อย่างไร รวมถึงทฤษฎีซูเปอร์กราวิตี้และทฤษฎีสตริงด้วย
• กลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดนั้นมีสมบัติสมมาตรกับกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL(2, C )ซึ่งมีสมบัติสมมาตรกับกลุ่มโมเบียสซึ่ง เป็น กลุ่มสมมาตรของเรขาคณิตเชิงคอน ฟอร์มั ลบนทรงกลมรีมันน์ความสัมพันธ์นี้เป็นหัวใจสำคัญในการจำแนกกลุ่มย่อยของกลุ่มลอเรนซ์ตามแผนการจำแนกประเภทก่อนหน้านี้ที่พัฒนาขึ้นสำหรับกลุ่มโมเบียส

การแทนแบบ Weylหรือแผนที่สปินเนอร์คือคู่ของโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง จากSL(2, C )ไปยังSO ⁺ (1, 3)พวกมันก่อตัวเป็นคู่ที่เข้ากันภายใต้การแปลงพาริตี ซึ่งสอดคล้องกับสปินเนอร์ ไครัล ซ้ายและขวา

เราอาจกำหนดการกระทำของSL(2, C ) บนปริภูมิเวลา Minkowski โดยเขียนจุดในปริภูมิเวลาเป็น เมทริกซ์ Hermitianขนาด 2x2 ในรูปแบบ

${\displaystyle {\overline {X}}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

ในแง่ของ เมทริก ซ์ Pauli

การนำเสนอครั้งนี้ ซึ่งเป็นการนำเสนอแบบ Weyl นั้น ตรงตามข้อกำหนดดังต่อไปนี้

${\displaystyle \det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

ดังนั้น จึงได้ระบุปริภูมิของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน (ซึ่งมีสี่มิติ เช่นเดียวกับ ปริภูมิเวกเตอร์ จริง ) กับปริภูมิเวลาของมิงโกวสกี ในลักษณะที่ว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนคือความยาวกำลังสองของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันในปริภูมิเวลาของมิงโกวสกี องค์ประกอบS ∈ SL(2, C )กระทำต่อปริภูมิของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนผ่านทาง

${\displaystyle {\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,}$

โดยที่คือทรานสโพสเฮอร์มิเชียนของSการกระทำนี้รักษาดีเทอร์มิแนนต์ไว้ ดังนั้นSL(2, C )จึงกระทำต่อปริภูมิเวลา Minkowski โดยไอโซเมตรี (เชิงเส้น) รูปแบบผกผันพาริตีของข้างต้นคือ ${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

ซึ่งเปลี่ยนแปลงไปเป็น

${\displaystyle X\mapsto \left(S^{-1}\right)^{\dagger }XS^{-1}}$

การที่การแปลงนี้ถูกต้องนั้น มาจากการสังเกตว่า

${\displaystyle {\overline {X}}X=\left(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\!1=\left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1}$

ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงทั้งสองแบบข้างต้น

แผนที่เหล่านี้เป็นการส่งแบบทั่วถึงและเคอร์เนลของแผนที่ใดๆ ก็ตามคือกลุ่มย่อยสองสมาชิก± Iโดยทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรกกลุ่มผลหารPSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I }มีไอโซมอร์ฟิกกับSO ⁺ (1, 3 )

แผนที่ความเท่าเทียมกันจะสลับการครอบคลุมทั้งสองนี้ มันสอดคล้องกับการผันแปรเฮอร์มิเชียนที่เป็นออโตมอร์ฟิซึมของSL(2, C )การครอบคลุมที่แตกต่างกันสองแบบนี้สอดคล้องกับ การกระทำ ไครัล ที่แตกต่างกันสองแบบ ของกลุ่มลอเรนซ์บนสปินเนอร์รูปแบบที่ไม่มีเส้นขีดทับสอดคล้องกับสปินเนอร์มือขวาที่แปลงเป็น⁠ ⁠${\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}}$ ในขณะที่รูปแบบที่มีเส้นขีดทับสอดคล้องกับสปิ นเนอร์มือซ้ายที่แปลงเป็น⁠ ⁠ ${\displaystyle \psi _{L}\mapsto \left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{L}}$^{[ b ]}

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าคู่ของวัสดุคลุมนี้ไม่คงอยู่หลังการควอนตัม เมื่อควอนตัมแล้ว จะนำไปสู่ปรากฏการณ์แปลกประหลาดที่เรียกว่าความผิดปกติแบบไครัล สมมาตรแบบคลาสสิก (เช่น สมมาตรก่อนควอนตัม) ของกลุ่มลอเรนซ์จะถูกทำลายโดยการควอนตั ม นี่คือเนื้อหาของทฤษฎีบทดัชนีของอาติยาห์-ซิงเกอร์

ในวิชาฟิสิกส์ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญลักษณ์ ⁠ ⁠ แทนการแปลงลอเรนซ์Λ ∈ SO + ⁽ 1, 3)ซึ่งแสดงเมทริกซ์ที่มีดัชนีปริภูมิเวลาμ , ν = 0, 1, 2, 3เวกเตอร์สี่มิติสามารถสร้างขึ้นจากเมทริกซ์ Pauli ได้สองวิธีที่แตกต่างกัน คือและ คือ⁠ ⁠ทั้งสองรูปแบบมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงพาริตีโปรดสังเกตว่า⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\แลมบ์ดา ^{\mu }__{\nu }}$${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(ฉัน,{\vec {\sigma }})}$${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=\left(I,-{\vec {\sigma }}\right)}$${\displaystyle {\overline {\sigma }__{\mu }=\sigma ^{\mu }}$

เมื่อกำหนดการแปลงลอเรนซ์แล้ว${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\แลมบ์ดา ^{\mu }`{\nu }x^{\nu }}$การครอบคลุมสองชั้นของกลุ่มลอเรนซ์แบบออร์โธโครนัสโดยS ∈ SL(2, C )ที่กำหนดไว้ข้างต้น สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }__{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

การละทิ้งสิ่งนี้จะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

รูปแบบคู่สมมาตรคือ

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

การที่รูปแบบข้างต้นเป็นรูปแบบที่ถูกต้องสำหรับการเขียนแบบดัชนีนั้นอาจไม่ชัดเจนในทันที ส่วนหนึ่งเป็นเพราะเมื่อทำงานในแบบดัชนี เราอาจสับสนระหว่างการแปลงลอเรนซ์กับการแปลงผกผันหรือการสลับแถวและคอลัมน์ได้ง่าย ความสับสนนี้เกิดขึ้นเนื่องจากเอกลักษณ์นั้นยากที่จะจดจำได้เมื่อเขียนในรูปแบบดัชนี การแปลงลอเรนซ์ไม่ใช่เทนเซอร์ภายใต้การแปลงลอเรนซ์! ดังนั้นการพิสูจน์โดยตรงของเอกลักษณ์นี้จึงมีประโยชน์สำหรับการสร้างความถูกต้อง สามารถพิสูจน์ได้โดยเริ่มจากเอกลักษณ์ ${\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

${\displaystyle \omega \sigma ^{k}\omega ^{-1}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{\textsf {T}}=-\left(\sigma ^{k}\right)^{*}}$

โดยที่ข้างต้นเป็นเพียงเมทริกซ์ Pauli ทั่วไป และคือเมทริกซ์ทรานสโพส และคือการสังยุคเชิงซ้อน เมทริกซ์คือ ${\displaystyle k=1,2,3}$${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$${\displaystyle (\cdot )^{*}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

เมื่อเขียนในรูปเวกเตอร์สี่มิติ ความสัมพันธ์จะเป็นดังนี้

${\displaystyle \sigma _{\mu }^{\textsf {T}}=\sigma _{\mu }^{*}=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}}$

สิ่งนี้จะเปลี่ยนแปลงไปดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mu }^{\textsf {T}}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }&=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\,S^{\dagger }\omega ^{-1}\\&=\left(\omega S\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega {\overline {\sigma }}_{\nu }\omega ^{-1}\right)\,\left(\omega S^{\dagger }\omega ^{-1}\right)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\textsf {T}}\,\sigma _{\nu }^{\textsf {T}}\,\left(S^{-1}\right)^{*}\end{aligned}}}$

เมื่อทำการเปลี่ยนตำแหน่งอีกครั้ง จะได้

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

กลุ่มซิมเพล็กติกSp(2, C )เป็นไอโซมอร์ฟิกกับSL(2, C )ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ถูกสร้างขึ้นเพื่อรักษารูปแบบทวิเชิงเส้นซิมเพล็กติกบนC ²นั่นคือ เพื่อให้รูปแบบไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ ซึ่งสามารถอธิบายได้ดังนี้ กลุ่มซิมเพล็กติกถูกกำหนดเป็น

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbf {C} )=\left\{S\in \operatorname {GL} (2,\mathbf {C} ):S^{\textsf {T}}\omega S=\omega \right\}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

สัญลักษณ์อื่นที่ใช้กันทั่วไปสำหรับองค์ประกอบนี้ ได้แก่ บางครั้ง ใช้ตัวอักษร Jแต่การใช้ J อาจทำให้เกิดความสับสนกับแนวคิดของโครงสร้างที่ซับซ้อนเกือบสมบูรณ์ซึ่งไม่เหมือนกัน เนื่องจากมีการแปลงที่แตกต่างกัน ${\displaystyle \omega =\epsilon }$

กำหนดให้มีคู่ของสปินเนอร์เวล์ (สปินเนอร์สององค์ประกอบ)

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}}$

รูปแบบทวิเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงนั้นโดยทั่วไปเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

รูปแบบนี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มลอเรนซ์ ดังนั้นสำหรับS ∈ SL(2, C )จะได้ว่า

${\displaystyle \langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle }$

นี่เป็นการกำหนด "ผลคูณเชิงสเกลาร์" ของสปินเนอร์ชนิดหนึ่ง และมักใช้ในการกำหนด พจน์ มวล ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ ในลากรางเจียนมีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการที่สำคัญต่อฟิสิกส์ หนึ่งในนั้นคือและดังนั้น${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$${\displaystyle \omega ^{-1}=\omega ^{\textsf {T}}=\omega ^{\dagger }=-\omega }$

ความสัมพันธ์ที่กำหนดสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \omega S^{\textsf {T}}\omega ^{-1}=S^{-1}}$

ซึ่งคล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ที่กำหนดสำหรับกลุ่มลอเรนซ์อย่างมาก

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}}$

เมตริกเทนเซอร์สำหรับปริภูมิ Minkowskiอยู่ที่ไหนและแน่นอนเช่นเคย ${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$

เนื่องจากSL(2, C )เป็นกลุ่มเชื่อมต่อแบบง่าย จึงเป็นกลุ่มปกคลุมสากลของกลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดSO ⁺ (1, 3)โดยการจำกัด จะมีโฮโมมอร์ฟิซึมSU(2) → SO(3)ในที่นี้กลุ่มเอกภาพพิเศษ SU(2) ซึ่งสมมาตรกับกลุ่มควอเทอร์เนียนบรรทัดฐาน หน่วย ก็เป็นกลุ่มเชื่อมต่อแบบง่ายเช่นกัน ดังนั้นจึงเป็นกลุ่มปกคลุมของกลุ่มการหมุนSO(3) แผนที่ปกคลุมแต่ละอันเหล่านี้เป็นการปกคลุมสองเท่าในแง่ที่ว่ามีเพียงสององค์ประกอบของกลุ่มปกคลุมเท่านั้นที่แมปไปยังแต่ละองค์ประกอบของผลหาร มักกล่าวกันว่ากลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดและกลุ่มการหมุนเป็นกลุ่มเชื่อมต่อสองเท่าซึ่งหมายความว่ากลุ่ม พื้นฐานของแต่ละกลุ่มสมมาตร กับ กลุ่มวัฏจักรสององค์ประกอบZ

การปกคลุมสองเท่าเป็นลักษณะเฉพาะของกลุ่มสปินนอกเหนือจากการปกคลุมสองเท่าแล้ว

Spin ⁺ (1, 3) = SL(2, C ) → SO ⁺ (1, 3)

Spin(3) = SU(2) → SO(3)

เรามีผ้าคลุมสองชั้น

Pin(1, 3) → O(1, 3)

Spin(1, 3) → SO(1, 3)

Spin ⁺ (1, 2) = SU(1, 1) → SO(1, 2)

โครงสร้าง การคลุมคู่แบบสปินเนอร์เหล่านี้สร้างขึ้นจากพีชคณิตคลิฟฟอร์ด

กลุ่มซ้ายและขวาในการหุ้มสองชั้น

SU(2) → SO(3)

เป็นการหดตัวของการเปลี่ยนรูปของกลุ่มด้านซ้ายและด้านขวาตามลำดับ ในการหุ้มสองชั้น

SL(2, C ) → SO ⁺ (1, 3) .

แต่ปริภูมิเอกพันธุ์SO ⁺ (1, 3) / SO(3)เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิก กับปริภูมิ ไฮเปอร์โบลิก 3 มิติH ³ดังนั้นเราจึงได้แสดงให้เห็นกลุ่มลอเรนซ์ที่จำกัดเป็นมัดไฟเบอร์หลักที่มีไฟเบอร์SO(3)และฐานH ³เนื่องจากฐาน H 3 เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับR ³ในขณะที่SO(3) เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ ปริภูมิโปรเจคทีฟจริง สามมิติR P ³เราจึงเห็นว่ากลุ่มลอเรนซ์ที่จำกัดเป็น โฮมีโอเมอร์ฟิก เฉพาะที่กับผลคูณของR P ³กับR ³เนื่องจากปริภูมิฐานสามารถหดตัวได้ จึงสามารถขยายไปสู่โฮมีโอเมอร์ฟิซึมทั่วโลกได้

เนื่องจากกลุ่ม Lorentz ที่ถูกจำกัดSO ⁺ (1, 3)มีสมมาตรกับกลุ่ม Möbius PSL(2, C ) ดังนั้น ชั้นการสมมูลของกลุ่มนี้จึงแบ่งออกเป็นห้าชั้นเช่นกัน:

• การแปลงเชิงวงรี
• การแปลงไฮเปอร์โบลิก
• การแปลงโลโซโดรมิก
• การแปลงพาราโบลิก
• การแปลงอัตลักษณ์ที่ไร้สาระ

ในบทความเกี่ยวกับการแปลงโมเบียสมีการอธิบายว่าการจำแนกประเภทนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร โดยพิจารณาจากจุดตรึงของการแปลงโมเบียสในการกระทำบนทรงกลมรีมันน์ ซึ่งในที่นี้สอดคล้องกับ ปริภูมิ ไอเกนว่าง ของการแปลงลอเรนซ์แบบจำกัดในการกระทำบนปริภูมิเวลามิงโกวสกี

ตัวอย่างของแต่ละประเภทจะแสดงอยู่ในหัวข้อย่อยด้านล่าง พร้อมทั้งผลกระทบของกลุ่มย่อยที่มีพารามิเตอร์เดียวที่เกิดขึ้น (เช่น ผลกระทบต่อลักษณะของท้องฟ้ายามค่ำคืน)

การแปลงโมเบียสเป็นการแปลงคอนฟอร์มอลของทรงกลมรีมันน์ (หรือทรงกลมท้องฟ้า) จากนั้น การคอนจูเกตกับองค์ประกอบใดๆ ของSL(2, C )จะได้ตัวอย่างของการแปลงลอเรนซ์แบบวงรี ไฮเปอร์โบลิก ลอกโซโดรมิก และพาราโบลิก (แบบจำกัด) ตามลำดับ ผลกระทบต่อเส้นทางการไหลของกลุ่มย่อยแบบพารามิเตอร์เดียวที่สอดคล้องกันคือการแปลงรูปแบบที่เห็นในตัวอย่างด้วยการแปลงคอนฟอร์มอลบางอย่าง ตัวอย่างเช่น การแปลงลอเรนซ์แบบวงรีสามารถมีจุดตรึงสองจุดที่แตกต่างกันบนทรงกลมท้องฟ้าได้ แต่จุดต่างๆ ยังคงไหลไปตามส่วนโค้งวงกลมจากจุดตรึงจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง กรณีอื่นๆ ก็คล้ายกัน

องค์ประกอบเชิงวงรีของSL(2, C )คือ

${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}}$

และมีจุดคงที่ξ = 0, ∞ การเขียนแอคชั่นเป็นX ↦ P X P ^†และการรวบรวมเทอมต่างๆ แผนที่สปินเนอร์จะแปลงสิ่งนี้เป็นการแปลงลอเรนซ์ (แบบจำกัด)

${\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

การแปลงนี้จึงแสดงถึงการหมุนรอบ แกน z , exp( iθJ ) กลุ่มย่อยที่มีพารามิเตอร์เดียวที่สร้างขึ้นนั้นได้มาจากการกำหนดให้θเป็นตัวแปรจริง ซึ่งเป็นมุมการหมุน แทนที่จะเป็นค่าคงที่

การแปลงต่อเนื่องที่สอดคล้องกันของทรงกลมท้องฟ้า (ยกเว้นเอกลักษณ์) ทั้งหมดมีจุดคงที่สองจุดเดียวกัน คือ ขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้ การแปลงเหล่านี้จะเคลื่อนจุดอื่นๆ ทั้งหมดไปรอบๆ วงกลมละติจูด ทำให้กลุ่มนี้เกิดการหมุนทวนเข็มนาฬิกาอย่างต่อเนื่องรอบ แกน zเมื่อθเพิ่มขึ้นการเพิ่มมุมเป็นสองเท่าที่เห็นได้ชัดในแผนที่สปินเนอร์เป็นลักษณะเฉพาะของการครอบคลุมสองชั้นของสปิ นเนอ ร์

องค์ประกอบไฮเปอร์โบลิกของSL(2, C )คือ

${\displaystyle P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$

และมีจุดคงที่ξ = 0, ∞ ภายใต้การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกจากทรงกลมรีมันน์ไปยังระนาบยูคลิด ผลของการแปลงโมเบียสนี้คือการขยายจากจุดกำเนิด

แผนที่สปินเนอร์จะแปลงสิ่งนี้เป็นการแปลงลอเรนซ์

${\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

การแปลงนี้แสดงถึงการเพิ่มความเร็วตาม แกน zด้วยความเร็วηกลุ่มย่อยแบบพารามิเตอร์เดียวที่สร้างขึ้นนั้นได้มาจากการกำหนดให้ηเป็นตัวแปรจริงแทนที่จะเป็นค่าคงที่ การแปลงต่อเนื่องที่สอดคล้องกันของทรงกลมท้องฟ้า (ยกเว้นเอกลักษณ์) ทั้งหมดมีจุดคงที่เดียวกัน (ขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้) และจะเคลื่อนจุดอื่นๆ ตามเส้นลองจิจูดออกจากขั้วโลกใต้และเข้าหาขั้วโลกเหนือ

องค์ประกอบลอกโซโดรมิกของSL(2, C )คือ

${\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

และมีจุดคงที่ξ = 0, ∞ แผนที่สปินเนอร์จะแปลงสิ่งนี้เป็นการแปลงลอเรนซ์

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&0&0&\eta \\0&0&\theta &0\\0&-\theta &0&0\\\eta &0&0&0\end{bmatrix}}~.}$

กลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียวที่สร้างขึ้นนี้ได้มาจากการแทนที่η + i θด้วยจำนวนจริงใดๆ ที่เป็นผลคูณของค่าคงที่เชิงซ้อนนี้ (ถ้าηและθเปลี่ยนแปลงอย่างอิสระ จะ ได้ กลุ่มย่อยอาเบเลียนสองมิติ ซึ่งประกอบด้วยการหมุนรอบ แกน zและการเร่งความเร็วตาม แกน z พร้อมกัน ในทางตรงกันข้าม กลุ่มย่อย หนึ่งมิติที่กล่าวถึงในที่นี้ประกอบด้วยองค์ประกอบของกลุ่มย่อยสองมิตินี้ โดยที่ความเร็วของการเร่งความเร็วและมุมของการหมุนมีอัตราส่วนคงที่ )

การแปลงต่อเนื่องที่สอดคล้องกันของทรงกลมท้องฟ้า (ยกเว้นเอกลักษณ์) ทั้งหมดมีจุดคงที่สองจุดเดียวกัน (ขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้) การแปลงเหล่านี้จะเคลื่อนจุดอื่นๆ ออกจากขั้วโลกใต้และเข้าหาขั้วโลกเหนือ (หรือในทางกลับกัน) ไปตามกลุ่มเส้นโค้งที่เรียกว่าลอกโซโดรมแต่ละลอกโซโดรมจะหมุนวนเป็นวงกลมไม่สิ้นสุดรอบแต่ละขั้ว

องค์ประกอบพาราโบลาของSL(2, C )คือ

${\displaystyle P_{4}={\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$

และมีจุดคงที่เพียงจุดเดียวคือξ = ∞ บนทรงกลมรีมันน์ ภายใต้การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก จะปรากฏเป็นการเลื่อน แบบธรรมดา ตามแกน จริง

แผนที่สปินเนอร์จะแปลงสิ่งนี้ให้เป็นเมทริกซ์ (ซึ่งแสดงถึงการแปลงลอเรนซ์)

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$

สิ่งนี้สร้างกลุ่มย่อยอาเบเลียนสองพารามิเตอร์ ซึ่งได้มาจากการพิจารณาให้αเป็นตัวแปรเชิงซ้อนแทนที่จะเป็นค่าคงที่ การแปลงต่อเนื่องที่สอดคล้องกันของทรงกลมท้องฟ้า (ยกเว้นการแปลงเอกลักษณ์) จะเคลื่อนจุดไปตามกลุ่มวงกลมที่สัมผัสกับวงกลมใหญ่ ที่ขั้วเหนือทั้งหมด จุดทั้งหมดนอกเหนือจากขั้วเหนือจะเคลื่อนที่ไปตามวงกลมเหล่านี้

การแปลงลอเรนซ์แบบพาราโบลา มักเรียกว่าการหมุนศูนย์เนื่องจากเป็นการแปลงลอเรนซ์แบบไม่เอกลักษณ์ที่คุ้นเคยน้อยที่สุดในบรรดาการแปลงลอเรนซ์แบบไม่เอกลักษณ์ทั้งสี่ประเภท (วงรี ไฮเปอร์โบลา ลอกโซโดรมิก พาราโบลา) ดังนั้นในที่นี้จึงแสดงวิธีการพิจารณาผลกระทบของตัวอย่างการแปลงลอเรนซ์แบบพาราโบลาต่อปริภูมิเวลาของมิงโกวสกี

เมทริกซ์ที่แสดงข้างต้นให้ผลลัพธ์เป็นการแปลง

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}-\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.}$

ทีนี้โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปให้เลือกIm( α ) = 0การหาอนุพันธ์ของการแปลงนี้เทียบกับพารามิเตอร์กลุ่มจริงαและการประเมินค่าที่α = 0จะได้ฟิลด์เวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (ตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับแรก)

${\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.}$

นำสิ่งนี้ไปใช้กับฟังก์ชันf ( t , x , y , z )และกำหนดให้ฟังก์ชันนั้นคงสภาพเดิม กล่าวคือ ฟังก์ชันนั้นถูกทำลายโดยการแปลงนี้ คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เชิงเส้นอันดับหนึ่งที่ได้ สามารถแสดงได้ในรูปแบบ

${\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}$

โดยที่Fเป็น ฟังก์ชันเรียบ ใดๆอาร์กิวเมนต์ของFให้ค่าคงที่เชิงตรรกะ สามค่า ที่อธิบายว่าจุด (เหตุการณ์) เคลื่อนที่อย่างไรภายใต้การแปลงพาราโบลา เนื่องจากตัวจุดเองไม่ได้เคลื่อนที่

${\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

การเลือกค่าจริงสำหรับค่าคงที่ทางด้านขวามือจะทำให้ได้เงื่อนไขสามประการ และกำหนดเส้นโค้งในปริภูมิเวลาของมิงคอฟสกี เส้นโค้งนี้คือวงโคจรของการแปลง

รูปแบบของค่าคงที่เชิงตรรกะแสดงให้เห็นว่าเส้นทางการไหล (วงโคจร) เหล่านี้มีคำอธิบายที่เรียบง่าย: หากตัดพิกัดy ที่ไม่สำคัญ ออกไป วงโคจรแต่ละวงจะเป็นจุดตัดของระนาบศูนย์ t = z + c กับไฮเปอร์โบโลอิด t 2 ⁻ x ² − z ² = c กรณีที่c = 0 ไฮเปอร์โบโลอิดจะเสื่อมสภาพกลายเป็นกรวยแสง โดยวงโคจรจะกลายเป็นพาราโบลาที่อยู่ในระนาบศูนย์ที่สอดคล้องกัน

เส้นศูนย์เฉพาะเส้นหนึ่งที่อยู่บนกรวยแสงจะคงสภาพเดิมซึ่งสอดคล้องกับจุดตรึง (คู่) ที่ไม่ซ้ำกันบนทรงกลมรีมันน์ที่กล่าวถึงข้างต้น ส่วนเส้นศูนย์อื่นๆ ที่ผ่านจุดกำเนิดจะถูก "หมุนรอบกรวย" โดยการแปลง การติดตามการเคลื่อนที่ของเส้นศูนย์ดังกล่าวเมื่อαเพิ่มขึ้น จะสอดคล้องกับการติดตามการเคลื่อนที่ของจุดหนึ่งตามเส้นโค้งวงกลมบนทรงกลมท้องฟ้า ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น

การเลือกRe( α ) = 0แทน จะสร้างวงโคจรที่คล้ายกัน โดยที่บทบาทของxและyสลับกัน

การแปลงพาราโบลิกนำไปสู่สมมาตรเกจของอนุภาคไร้มวล (เช่นโฟตอน ) ที่มีเฮลิซิตี้ | h | ≥ 1 ในตัวอย่างที่ชัดเจนข้างต้น อนุภาคไร้มวลที่เคลื่อนที่ใน ทิศทาง zดังนั้นจึงมีโมเมนตัม 4 มิติP = ( p , 0, 0, p )จะไม่ได้รับผลกระทบเลยจาก การรวมกันของการเร่งความเร็ว xและการหมุนy K − J ที่กำหนดไว้ด้านล่าง ใน "กลุ่มเล็ก" ของการเคลื่อนที่ของมัน สิ่งนี้เห็นได้ชัดจากกฎการแปลงที่ชัดเจนที่กล่าวถึง: เช่นเดียวกับเวกเตอร์ที่คล้ายแสงใดๆPเองก็ไม่เปลี่ยนแปลงแล้ว กล่าวคือ ร่องรอยหรือผลกระทบทั้งหมดของαได้หายไปแล้วc = c = c = 0ในกรณีพิเศษที่กล่าวถึง (ตัวสร้างที่คล้ายกันอื่นๆK + J เช่นเดียวกับมันและJ ประกอบกันเป็นกลุ่มเล็กของเวกเตอร์ที่คล้ายแสง ซึ่งสมมาตรกับE (2) )

ความสมมาตรนี้ส่งผลให้การแปลงโมเบียสของทรงกลมรีมันน์แสดงถึงวิธีที่การแปลงลอเรนซ์เปลี่ยนแปลงลักษณะของท้องฟ้ายามค่ำคืน เมื่อมองจากผู้สังเกตการณ์ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมพัทธ์กับ "ดาวฤกษ์คงที่"

สมมติว่า "ดาวฤกษ์คงที่" อาศัยอยู่ในปริภูมิเวลาแบบมินคอฟสกี และถูกจำลองโดยจุดบนทรงกลมท้องฟ้า จากนั้น จุดที่กำหนดบนทรงกลมท้องฟ้าสามารถเชื่อมโยงกับξ = u + ivซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับจุดบนทรงกลมรีมันน์และสามารถระบุได้ว่าเป็นเวกเตอร์ศูนย์ ( เวกเตอร์คล้ายแสง ) ในปริภูมิแบบมินคอฟสกี

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}}$

หรือในรูปแบบการแสดงผลของ Weyl (แผนที่สปินเนอร์) ก็คือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน

${\displaystyle N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}}.}$

เซตของผลคูณเชิงสเกลาร์จริงของเวกเตอร์ศูนย์นี้ ซึ่งเรียกว่าเส้นศูนย์ที่ผ่านจุดกำเนิด แสดงถึงเส้นสายตาจากผู้สังเกตการณ์ ณ สถานที่และเวลาใดเวลาหนึ่ง (เหตุการณ์ใดๆ ที่เราสามารถระบุได้ว่าเป็นจุดกำเนิดของปริภูมิเวลาของมิงคอฟสกี) ไปยังวัตถุที่อยู่ไกลออกไป เช่น ดาวฤกษ์ จากนั้นจุดต่างๆ บนทรงกลมท้องฟ้า (หรือเทียบเท่ากับเส้นสายตา) จะถูกระบุด้วยเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนบางตัว

ภาพนี้ปรากฏชัดเจนในภาษาของเรขาคณิตเชิงฉาย กลุ่มลอเรนซ์ (แบบจำกัด) กระทำบนทรงกลมท้องฟ้าเชิงฉายนี่คือปริภูมิของเวกเตอร์ศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์ภายใต้ผลหารที่กำหนดสำหรับปริภูมิเชิงฉาย: ถ้าสำหรับสิ่งนี้เรียกว่าทรงกลมท้องฟ้าเนื่องจากช่วยให้เราสามารถปรับขนาดพิกัดเวลาเป็น 1 หลังจากกระทำโดยใช้การแปลงลอเรนซ์ ทำให้มั่นใจได้ว่าส่วนที่คล้ายอวกาศจะอยู่บนทรงกลมหน่วย ${\displaystyle t>0}$${\displaystyle (t,x,y,z)\sim (t',x',y',z')}$${\displaystyle (t',x',y',z')=(\lambda t,\lambda x,\lambda y,\lambda z)}$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle t}$

จากฝั่งโมเบียส SL(2, C )กระทำบนปริภูมิเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟ C P ¹ ซึ่งสามารถแสดงได้ว่ามีลักษณะสมมาตรเชิงอนุพันธ์กับทรงกลม 2 มิติ – ซึ่งบางครั้งเรียกว่าทรงกลมรีมัน น์ ผลหารบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟนำไปสู่ผลหารบนกลุ่มSL(2, C )

สุดท้ายนี้ เราสามารถเชื่อมโยงทั้งสองเข้าด้วยกันได้โดยใช้เวกเตอร์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟเพื่อสร้างเวกเตอร์ศูนย์ ถ้าเป็น เวกเตอร์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ C P ¹มันสามารถเทนเซอร์กับเวกเตอร์เฮอร์มิเชียนคู่ควบของมันเพื่อสร้าง เมทริกซ์เฮอร์มิเชียน จากส่วนอื่น ๆ ในบทความนี้ เราทราบว่าปริภูมิของเมทริกซ์นี้สามารถมองได้ว่าเป็นเวกเตอร์ 4 มิติ ปริภูมิของเมทริกซ์ที่ได้จากการเปลี่ยนเวกเตอร์เชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟแต่ละตัวในทรงกลมรีมันน์ให้เป็นเมท ริก ซ์เรียกว่าทรงกลมบล็อก${\displaystyle \xi }$${\displaystyle 2\times 2}$

เช่นเดียวกับกลุ่ม Lie อื่นๆ วิธีที่มีประโยชน์ในการศึกษาแง่มุมต่างๆ ของกลุ่ม Lorentz คือผ่านพีชคณิต Lie ของกลุ่มนั้น เนื่องจากกลุ่ม Lorentz SO(1, 3)เป็นกลุ่ม Lie เมทริกซ์พีชคณิต Lie ที่สอดคล้องกันจึงเป็นพีชคณิต Lie เมทริกซ์ ซึ่งสามารถคำนวณได้ดังนี้^{[ 5 ]}${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)=\left\{4\times 4\,\,\,\mathbf {R} {\text{-valued matrices}}\,X\mid e^{tX}\in \mathrm {SO} (1,3)\,\mathrm {for} \,\mathrm {all} \,t\right\}}$.

ถ้าเป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่มีสมาชิกแนวทแยงคือ(1, −1, −1, −1)แล้วพีชคณิตลีจะประกอบด้วยเมทริกซ์ที่^{[ 6 ]}${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,3)}$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \eta X\eta =-X^{\textsf {T}}}$.

กล่าวโดยชัดแจ้ง คือประกอบด้วยเมทริกซ์ในรูปแบบ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$${\displaystyle 4\times 4}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b&c\\a&0&d&e\\b&-d&0&f\\c&-e&-f&0\end{pmatrix}}}$,

โดยที่เป็นจำนวนจริงใดๆ พีชคณิตลีนี้มีหกมิติ พีชคณิตย่อยของที่ประกอบด้วยองค์ประกอบซึ่ง, , และเท่ากับศูนย์นั้นสมสัณฐานกับ ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

กลุ่มลอเรนซ์เต็มO(1, 3)กลุ่มลอเรนซ์ที่เหมาะสมSO(1, 3)และกลุ่มลอเรนซ์ออร์โธโครนัสที่เหมาะสมSO ⁺ (1, 3) (ส่วนประกอบที่เชื่อมโยงกับเอกลักษณ์) ทั้งหมดมีพีชคณิตลีเดียวกัน ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)}$ .

เนื่องจากส่วนประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มลอเรนซ์เป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลหารจำกัดของSL(2, C ) (ดูส่วนด้านบนเกี่ยวกับการเชื่อมโยงของกลุ่มลอเรนซ์กับกลุ่มโมเบียส) ดังนั้นพีชคณิตลีของกลุ่มลอเรนซ์จึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับพีชคณิตลี⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$พีชคณิตลีเชิงซ้อนมีมิติสามมิติ แต่มีมิติหกเมื่อมองในฐานะพีชคณิตลีจริง ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )}$

เมทริกซ์ฐานมาตรฐานสามารถกำหนดดัชนีได้ดังนี้โดยที่มีค่าอยู่ใน{0, 1, 2, 3}ซึ่งเกิดจากการเลือกเพียงหนึ่งในให้เป็นหนึ่ง และส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ ตามลำดับ ส่วนประกอบต่างๆ สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle M^{\mu \nu }}$${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle a,b,\cdots ,f}$

${\displaystyle {(M^{\mu \nu })^{\rho }}_{\sigma }=\eta ^{\nu \sigma }{\delta ^{\rho }}_{\mu }-\eta ^{\mu \sigma }{\delta ^{\rho }}_{\nu }}$.

ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งคือ

${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$

มีทางเลือกที่เป็นไปได้หลายแบบในการใช้ข้อตกลงร่วมกัน ในวิชาฟิสิกส์ เป็นเรื่องปกติที่จะรวมตัวประกอบ เข้ากับองค์ประกอบพื้นฐาน ซึ่งจะทำให้ได้ตัวประกอบในความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

จากนั้นสร้างบูสต์และสร้างการหมุนเวียน ${\displaystyle M^{0i}}$${\displaystyle M^{ij}}$

ค่าคงที่โครงสร้างของพีชคณิตลอเรนซ์สามารถอ่านได้จากความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง เซตขององค์ประกอบพื้นฐานใดๆ ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์เหล่านี้จะก่อให้เกิดการแสดงแทนของพีชคณิตลอเรนซ์

กลุ่มลอเรนซ์สามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมของR⁴ และด้วยเหตุนี้ พีชคณิตลีของกลุ่มลอเรนซ์ ^จึงสามารถระบุได้กับฟิลด์เวกเตอร์บนR⁴ ^โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ที่สร้างไอโซเมตรีบนปริภูมิคือเวกเตอร์คิลลิงซึ่งเป็นทางเลือกที่สะดวกแทนฟิลด์เวกเตอร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางซ้ายสำหรับการคำนวณพีชคณิตลี เราสามารถเขียนชุดตัวสร้าง หกตัวได้ ดังนี้:

• เวกเตอร์ฟิลด์บนR ⁴ที่สร้างการหมุนสามแบบi J ,

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;}$

• เวกเตอร์ฟิลด์บนR ⁴ที่สร้างบูสต์สามตัวi K ,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.}$

ปัจจัยiดูเหมือนจะทำให้มั่นใจได้ว่าตัวสร้างการหมุนเป็นแบบเฮอร์มิเชียน

อาจเป็นประโยชน์ที่จะทบทวนสั้นๆ ในที่นี้ถึงวิธีการได้มาซึ่งกลุ่มพารามิเตอร์เดียวจากฟิลด์เวกเตอร์ซึ่งเขียนในรูปแบบของตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้น อันดับหนึ่ง เช่น

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}.}$

ปัญหาค่าเริ่มต้นที่เกี่ยวข้อง (พิจารณาฟังก์ชันของสเกลาร์และแก้ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นบางประการ) คือ ${\displaystyle r=(x,y)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \partial _{\lambda }r={\mathcal {L}}r}$

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}.}$

สามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้

${\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )}$

หรือ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}}$

ซึ่งเราสามารถจดจำกลุ่มเมทริกซ์พารามิเตอร์เดียวของการหมุนexp( iλJ )รอบแกน z ได้อย่างง่ายดาย

เมื่อทำการหาอนุพันธ์เทียบกับพารามิเตอร์กลุ่มλและกำหนดให้λ = 0ในผลลัพธ์นั้น เราจะได้เมทริกซ์มาตรฐานกลับคืนมา

${\displaystyle iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}~,}$

ซึ่งสอดคล้องกับสนามเวกเตอร์ที่เราเริ่มต้นด้วย นี่แสดงให้เห็นถึงวิธีการเปลี่ยนผ่านระหว่างการแสดงเมทริกซ์และการแสดงสนามเวกเตอร์ขององค์ประกอบของพีชคณิตลีแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลมีบทบาทพิเศษนี้ไม่เพียงแต่สำหรับกลุ่มลอเรนซ์เท่านั้น แต่สำหรับกลุ่มลีโดยทั่วไปด้วย

เมื่อย้อนกลับขั้นตอนในส่วนก่อนหน้า เราจะเห็นว่าการแปลงโมเบียสที่สอดคล้องกับตัวสร้างทั้งหกของเรานั้น มาจากการยกกำลังη /2 (สำหรับการเพิ่มความเร็วทั้งสามแบบ) หรือiθ /2 (สำหรับการหมุนทั้งสามแบบ) คูณกับเมทริกซ์ Pauli ทั้งสามตามลำดับ

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

ชุดตัวสร้างอีกชุดหนึ่งเกิดขึ้นผ่านไอโซมอร์ฟิซึมกับกลุ่มโมเบียส ตารางต่อไปนี้แสดงรายการตัวสร้างทั้งหกตัว ซึ่ง

• คอลัมน์แรกแสดงตัวสร้างการไหลภายใต้การกระทำของโมเบียส (หลังจากการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกจากทรงกลมรีมันน์) ในรูปของ สนามเวกเตอร์ จริงบนระนาบยูคลิด
• คอลัมน์ที่สองแสดงกลุ่มย่อยแบบพารามิเตอร์เดียวที่สอดคล้องกันของการแปลงโมเบียส
• คอลัมน์ที่สามแสดงกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ที่สอดคล้องกันของการแปลงลอเรนซ์ (ภาพภายใต้โฮโมมอร์ฟิซึมของเราของกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ก่อนหน้า)
• คอลัมน์ที่สี่แสดงตัวสร้างการไหลที่สอดคล้องกับการกระทำของลอเรนซ์ในรูปของสนามเวกเตอร์จริงบนปริภูมิเวลาของมิงโกวสกี

โปรดสังเกตว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าประกอบด้วย

• พาราโบลาสองอัน (การหมุนเป็นศูนย์)
• หนึ่งไฮเปอร์โบลิก (การเพิ่มขึ้นในทิศทาง)${\displaystyle \partial _{z}}$
• วงรีสามวง (การหมุนรอบ แกน x , yและzตามลำดับ)

สนามเวกเตอร์บนR 2	กลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียวของSL(2, C )ซึ่งแสดงถึงการแปลงโมเบียส	กลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ของSO + (1, 3)ซึ่งแสดงถึงการแปลงลอเรนซ์	สนามเวกเตอร์บนR 1,3
พาราโบลา
${\displaystyle \partial _{u}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}=x&(\partial _{t}+\partial _{z})+{}\\&(t-z)\partial _{x}\end{aligned}}}$
${\displaystyle \partial _{v}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&i\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}=y&(\partial _{t}+\partial _{z})+{}\\&(t-z)\partial _{y}\end{aligned}}}$
ไฮเปอร์โบลิก
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(u\partial _{u}+v\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{3}=z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\!}$
วงรี
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-v\partial _{u}+u\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{4}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}}$
${\displaystyle {\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\partial _{u}-uv\,\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{5}=-x\partial _{z}+z\partial _{x}}$
${\displaystyle uv\,\partial _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{6}=-z\partial _{y}+y\partial _{z}}$

เริ่มต้นด้วย

${\displaystyle \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}.}$

ยกกำลัง:

${\displaystyle \exp \left({\frac {i\theta }{2}}\,\sigma _{2}\right)={\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}.}$

องค์ประกอบนี้ของSL(2, C )แสดงถึงกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ของการแปลงโมเบียส (วงรี):

${\displaystyle \xi \mapsto \xi '={\frac {\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi -\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi +\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}.}$

ต่อไป,

${\displaystyle \left.{\frac {d\xi '}{d\theta }}\right|_{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}.}$

เวกเตอร์ฟิลด์ที่สอดคล้องกันบนC (ซึ่งถือได้ว่าเป็นภาพของS ²ภายใต้การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก) คือ

${\displaystyle -{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}\,\partial _{\xi }.}$

เมื่อเขียนแล้วจะได้เป็นสนามเวกเตอร์บนR ²${\displaystyle \xi =u+iv}$

${\displaystyle -{\frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}}\,\partial _{u}-uv\,\partial _{v}.}$

เมื่อกลับมาที่องค์ประกอบSL(2, C ) ของเรา เขียนการกระทำและรวบรวมเทอม เราพบว่าภาพภายใต้แผนที่สปินเนอร์คือองค์ประกอบของSO ⁺ (1, 3)${\displaystyle X\mapsto PXP^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.}$

การหาอนุพันธ์เทียบกับθที่θ = 0จะได้เวกเตอร์ฟิลด์ที่สอดคล้องกันบน R ^1,3

${\displaystyle z\partial _{x}-x\partial _{z}.\,\!}$

นี่คือตัวสร้างการหมุนทวนเข็มนาฬิกา รอบแกนy อย่าง ชัดเจน

สามารถแจงนับซับอัลเจบราของลีอัลเจบราของกลุ่มลอเรนซ์ได้จนถึงระดับคอนจูเกซี จากนั้นจึง สามารถแสดงรายการ ซับกรุ๊ปปิดของกลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดได้จนถึงระดับคอนจูเกซี (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในหนังสือของฮอลล์ที่อ้างถึงด้านล่าง) สิ่งเหล่านี้สามารถแสดงออกมาได้อย่างง่ายดายในรูปของตัวสร้างที่ระบุไว้ในตารางด้านบน ${\displaystyle X_{n}}$

แน่นอนว่า พีชคณิตย่อยแบบหนึ่งมิติจะสอดคล้องกับชั้นสมมูลสี่ชั้นของสมาชิกในกลุ่มลอเรนซ์:

• ${\displaystyle X_{1}}$สร้างพีชคณิตย่อยแบบพารามิเตอร์เดียวของพาราโบลิกSO(0, 1 )
• ${\displaystyle X_{3}}$สร้างซับอัลเจบราแบบพารามิเตอร์เดียวของบูสต์SO(1, 1 )
• ${\displaystyle X_{4}}$สร้างการหมุนพารามิเตอร์เดียวSO(2 )
• ${\displaystyle X_{3}+aX_{4}}$(สำหรับใดๆ) จะสร้างซับอัลเจบราแบบพารามิเตอร์เดียวของการแปลงลอกโซโดรมิก${\displaystyle a\neq 0}$

(โดยเคร่งครัดแล้ว ข้อสุดท้ายสอดคล้องกับคลาสจำนวนอนันต์ เนื่องจากค่าที่แตกต่างกันจะให้คลาสที่แตกต่างกัน) พีชคณิตย่อยสองมิติมีดังนี้: ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$สร้างพีชคณิตย่อยแบบอาเบเลียนที่ประกอบด้วยพาราโบลิกทั้งหมด
• ${\displaystyle X_{1},X_{3}}$สร้างพีชคณิตย่อยที่ไม่เป็นอะเบเลียนซึ่งสมมาตรกับพีชคณิตลีของกลุ่มแอฟฟินAff(1 )
• ${\displaystyle X_{3},X_{4}}$สร้างพีชคณิตย่อยแบบอาเบเลียนที่ประกอบด้วยบูสต์ การหมุน และลอกโซโดรมิก ซึ่งทั้งหมดใช้จุดตรึงคู่เดียวกัน

พีชคณิตย่อยสามมิติใช้ ระบบ การจำแนกประเภทของเบียนชี :

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$สร้าง พีชคณิตย่อย Bianchi Vซึ่งสมมาตรกับพีชคณิต Lie ของHom(2)กลุ่มของ โฮโมเท ตีแบบยุคลิด
• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{4}}$สร้าง พีชคณิตย่อย Bianchi VII ซึ่งสมมาตรกับพีชคณิต Lie ของE (2)กลุ่มยุคลิด
• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}+aX_{4}}$โดยที่สร้างพีชคณิต ย่อย Bianchi VII มา${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle X_{1},X_{3},X_{5}}$สร้าง พีชคณิตย่อย Bianchi VIIIที่สมมาตรกับพีชคณิต Lie ของSL(2, R )ซึ่งเป็นกลุ่มของไอโซเมตรีของระนาบไฮเปอร์โบลิก
• ${\displaystyle X_{4},X_{5},X_{6}}$สร้าง ซับอัลเจบรา Bianchi IXซึ่งสมมาตรกับอัลเจบรา Lie ของSO(3)ซึ่งเป็นกลุ่มการหมุน

ประเภทเบียนคีหมายถึงการจำแนกประเภทของพีชคณิตลีสามมิติโดยลุยจิ เบียนคีนัก คณิตศาสตร์ชาวอิตาลี

พีชคณิตย่อยสี่มิติทั้งหมดเป็นคู่สมกับ

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$สร้างพีชคณิตย่อยที่สมมาตรกับพีชคณิต Lie ของSim(2)ซึ่งเป็นกลุ่มของความคล้ายคลึง แบบยุค ลิด

พีชคณิตย่อยเหล่านี้ก่อตัวเป็นโครงข่าย (ดูรูป) และพีชคณิตย่อยแต่ละตัวสร้างกลุ่มย่อยปิดของกลุ่มลีแบบจำกัดโดยการยกกำลัง จากกลุ่มย่อยเหล่านี้ เราสามารถสร้างกลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่มลอเรนซ์ได้ จนถึงการผันแปร โดยการคูณด้วยหนึ่งในสมาชิกของกลุ่มสี่มิติไคลน์

เช่นเดียวกับกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันใดๆ ปริภูมิโคเซตของกลุ่มย่อยปิดของกลุ่ม Lorentz ที่จำกัด หรือปริภูมิเอกพันธุ์มีความสำคัญทางคณิตศาสตร์อย่างมาก ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายโดยสังเขปบางประการ:

• กลุ่มSim(2)เป็นตัวรักษาเสถียรภาพของเส้นศูนย์ กล่าวคือ ของจุดบนทรงกลมรีมันน์ ดังนั้นปริภูมิเอกพันธุ์SO ⁺ (1, 3) / Sim(2)คือเรขาคณิตไคลน์เนียนที่แสดงถึงเรขาคณิตคอนฟอร์มัลบนทรงกลมS ²
• กลุ่มยูคลิด SE(2) (ส่วนประกอบเอกลักษณ์ของ) เป็นตัวรักษาเสถียรภาพของเวกเตอร์ศูนย์ดังนั้นปริภูมิเอกพันธุ์SO ⁺ (1, 3) / SE(2)จึงเป็นปริภูมิโมเมนตัมของอนุภาคไร้มวล ในทางเรขาคณิต เรขาคณิตแบบไคลน์นี้แสดงถึง เรขาคณิตแบบ เสื่อมสภาพของกรวยแสงในปริภูมิเวลามิงโกวสกี
• กลุ่มการหมุนSO(3)เป็นตัวรักษาเสถียรภาพของเวกเตอร์ไทม์ไลค์ดังนั้นปริภูมิเอกพันธุ์SO ⁺ (1, 3) / SO(3)จึงเป็นปริภูมิโมเมนตัม ของอนุภาคมวลมาก ในทางเรขาคณิต ปริภูมินี้ก็คือ ปริภูมิไฮเปอร์โบลิก สามมิติH ³นั่นเอง

แนวคิดของกลุ่มลอเรนซ์มีการขยายไปสู่ปริภูมิเวลาที่มีมิติใดๆ ก็ได้ ในทางคณิตศาสตร์ กลุ่มลอเรนซ์ของปริภูมิมีนโกวสกีมิติ ( n + 1) คือกลุ่มเชิงตั้งฉากไม่แน่นอนO( n , 1)ของการแปลงเชิงเส้นของR ^{n + 1}ที่รักษารูปแบบกำลังสองไว้

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}.}$

กลุ่มO(1, n )รักษาฟอร์มกำลังสองไว้

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n+1}^{2}}$

O(1, n )มีโครงสร้างเหมือนกับO( n , 1)และทั้งสองรูปแบบของการนำเสนอ Lorentz นั้นมีการใช้งานในวงการฟิสิกส์เชิงทฤษฎี โดยรูปแบบแรกพบได้บ่อยในเอกสารที่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วง ในขณะที่รูปแบบหลังพบได้บ่อยในเอกสารเกี่ยวกับฟิสิกส์อนุภาค

สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับปริภูมิเวกเตอร์R ^{n +1}ซึ่งมาพร้อมกับรูปแบบกำลังสองที่เลือกไว้นี้ คือR 1 ^{, n}

คุณสมบัติหลายประการของกลุ่มลอเรนซ์ในสี่มิติ (โดยที่n = 3 ) สามารถขยายไปสู่​​n ใดๆ ได้โดยตรง ตัวอย่างเช่น กลุ่มลอเรนซ์O( n , 1)มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสี่ส่วน และมันกระทำโดยการแปลงคอนฟอร์มอลบนทรงกลมท้องฟ้า( n − 1)ใน ปริภูมิมิงโกวสกีมิติ ( n + 1)ส่วนประกอบเอกลักษณ์SO ⁺ ( n , 1)เป็น บันเดิล SO( n )เหนือปริภูมิไฮเปอร์โบลิ^ก nมิติHn

กรณีมิติที่ต่ำกว่าn = 1และn = 2มักมีประโยชน์ในฐานะ "แบบจำลองของเล่น" สำหรับกรณีทางกายภาพn = 3ในขณะที่กลุ่มลอเรนซ์ที่มีมิติสูงกว่าจะถูกใช้ในทฤษฎีทางฟิสิกส์ เช่นทฤษฎีสตริงซึ่งตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของมิติที่ซ่อนอยู่ กลุ่มลอเรนซ์O( n , 1)ยังเป็นกลุ่มไอโซเมตรีของปริภูมิเดอซิทเทอร์nมิติdS ซึ่งอาจถูกทำให้เป็นจริงได้ในรูปของปริภูมิเอกพันธุ์O( n , 1) / O( n − 1, 1)โดยเฉพาะอย่างยิ่งO(4, 1)เป็นกลุ่มไอโซเมตรีของเอกภพเดอซิทเทอร์dS ซึ่งเป็นแบบจำลองทางจักรวาลวิทยา