ถ้า${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มที่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์${\displaystyle e}$, และ${\displaystyle X}$เป็นเซต จากนั้นเป็นการกระทำกลุ่ม ( ซ้าย )${\displaystyle \alpha }$ของ${\displaystyle G}$บน${\displaystyle X}$เป็นฟังก์ชัน

${\displaystyle \alpha :G\times X\to X}$

ซึ่งสอดคล้องกับ สัจพจน์สองข้อต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}

ตัวตน:	${\displaystyle \alpha (e,x)=x}$
ความเข้ากันได้:	${\displaystyle \alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle g}$และ${\displaystyle h}$ใน${\displaystyle G}$และทั้งหมด${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle X}$.

กลุ่ม${\displaystyle G}$จากนั้นจึงกล่าวว่าเป็นการกระทำตาม${\displaystyle X}$(จากซ้าย) ชุดหนึ่ง${\displaystyle X}$พร้อมกับการกระทำของ${\displaystyle G}$เรียกว่า ( ซ้าย )${\displaystyle G}$- ชุด .

การ "แกงกะหรี่" (curry action ) อาจเป็นวิธีที่สะดวกในการ เขียน สัญลักษณ์${\displaystyle \alpha }$ดังนั้นจึงกลายเป็นว่ามีชุดของการแปลง แทน${\displaystyle \alpha _{g}:X\rightarrow X}$โดยมีการเปลี่ยนแปลงหนึ่งครั้ง${\displaystyle \alpha _{g}}$สำหรับองค์ประกอบแต่ละกลุ่ม${\displaystyle g\in G}$ความสัมพันธ์ด้านเอกลักษณ์และความเข้ากันได้จึงอ่านได้ดังนี้ $${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$$ และ $${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$$ The second axiom states that the function composition is compatible with the group multiplication; they form a commutative diagram. This axiom can be shortened even further, and written as ${\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}}$.

With the above understanding, it is very common to avoid writing ${\displaystyle \alpha }$ entirely, and to replace it with either a dot, or with nothing at all. Thus, ${\displaystyle \alpha (g,x)}$ can be shortened to ${\displaystyle g\cdot x}$ or ${\displaystyle gx}$, especially when the action is clear from context. The axioms are then $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&e\cdot x=x\\&g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x\end{aligned}}\right.}$$

From these two axioms, it follows that for any fixed ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$, the function from ${\displaystyle X}$ to itself which maps ${\displaystyle x}$ to ${\displaystyle g\cdot x}$ is a bijection, with inverse bijection the corresponding map for ${\displaystyle g^{-1}}$. Therefore, one may equivalently define a group action of ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle X}$ as a group homomorphism from ${\displaystyle G}$ into the symmetric group${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$ of all bijections from ${\displaystyle X}$ to itself.^[2]

Likewise, a right group action of ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle X}$ is a function

${\displaystyle \alpha :X\times G\to X,}$

that satisfies the analogous axioms:^[3]

Identity:	${\displaystyle \alpha (x,e)=x}$
Compatibility:	${\displaystyle \alpha (\alpha (x,g),h)=\alpha (x,gh)}$

(with ${\displaystyle \alpha (x,g)}$ often shortened to ${\displaystyle xg}$ or ${\displaystyle x\cdot g}$ when the action being considered is clear from context)

Identity:	${\displaystyle x{\cdot }e=x}$
Compatibility:	${\displaystyle (x{\cdot }g){\cdot }h=x{\cdot }(gh)}$

for all ${\displaystyle g}$ and ${\displaystyle h}$ in ${\displaystyle G}$ and all ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$.

The difference between left and right actions is in the order in which a product ${\displaystyle gh}$ acts on ${\displaystyle x}$. For a left action, ${\displaystyle h}$ acts first, followed by ${\displaystyle g}$ second. For a right action, ${\displaystyle g}$ acts first, followed by ${\displaystyle h}$ second. Because of the formula ${\displaystyle (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}}$, a left action can be constructed from a right action by composing with the inverse operation of the group. Also, a right action of a group ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle X}$ can be considered as a left action of its opposite group${\displaystyle G^{\text{op}}}$ on ${\displaystyle X}$. Thus, for establishing general properties of a single group action, it suffices to consider only left actions.

การกระทำของ${\displaystyle G}$บน${\displaystyle X}$เรียกว่าสมบัติการถ่ายทอดถ้าสำหรับจุดสองจุดใดๆ${\displaystyle x,y\in X}$มีอยู่${\displaystyle g\in G}$ดังนั้น${\displaystyle g\cdot x=y}$.

การกระทำคือกริยาที่ต้องการกรรมโดยตรง (หรือกริยาที่ต้องการกรรมอย่างชัดเจนหรือปกติ ) ถ้าเป็นทั้งกริยาที่ต้องการกรรมและกริยาอิสระ หมายความว่า เมื่อกำหนด${\displaystyle x,y\in X}$มีอยู่เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น${\displaystyle g\in G}$โดยที่${\displaystyle g\cdot x=y}$. ถ้า${\displaystyle X}$ถูกกระทำโดยการถ่ายทอดอย่างง่าย ๆ โดยกลุ่มหนึ่ง${\displaystyle G}$ดังนั้นจึงเรียกว่าปริภูมิเอกพันธุ์หลักสำหรับ${\displaystyle G}$หรือ${\displaystyle G}$-ทอร์เซอร์

สำหรับจำนวนเต็ม${\displaystyle n\geq 1}$การกระทำคือ${\displaystyle n}$-กริยาที่ต้องการกรรมถ้า${\displaystyle X}$มีอย่างน้อย${\displaystyle n}$องค์ประกอบ และสำหรับคู่ใดๆ ของ${\displaystyle n}$-ทูเปิล${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})\in X^{n}}$โดยมีรายการที่แตกต่างกันเป็นคู่ๆ (นั่นคือ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$,${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$เมื่อไร${\displaystyle i\neq j}$) มีอยู่${\displaystyle g\in G}$โดยที่${\displaystyle g\cdot x_{i}=y_{i}}$สำหรับ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การกระทำบนเซตย่อยของ${\displaystyle X^{n}}$ของทูเปิลที่ไม่มีรายการซ้ำกันนั้นเป็นสมบัติถ่ายทอดได้ สำหรับ${\displaystyle n=2,3}$สิ่งนี้มักเรียกว่าการถ่ายทอดแบบสองเท่า หรือแบบสามเท่ากลุ่มที่มีการถ่ายทอดแบบสองเท่า (นั่นคือ กลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรจำกัดที่มีการกระทำเป็นการถ่ายทอดแบบสองเท่า) และโดยทั่วไปแล้วกลุ่มที่มีการถ่ายทอดแบบหลายเท่า ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในทฤษฎีกลุ่มจำกัด

การกระทำคืออย่างรวดเร็ว${\displaystyle n}$-กริยาที่ต้องการกรรมเมื่อกระทำกับทูเปิลที่ไม่มีรายการซ้ำกัน${\displaystyle X^{n}}$เป็นกริยาที่ต้องการกรรมอย่างชัดเจน

การกระทำของ${\displaystyle G}$บน${\displaystyle X}$เรียกว่ารูปแบบดั้งเดิม (primitive)ถ้าไม่มีการแบ่งส่วน (partition )${\displaystyle X}$รักษาไว้โดยองค์ประกอบทั้งหมดของ${\displaystyle G}$นอกเหนือจากการแบ่งส่วนแบบง่ายๆ (การแบ่งส่วนเป็นชิ้นเดียวและ การแบ่งส่วนแบบ คู่ขนานคือการแบ่งส่วนเป็นชิ้นเดียว )

สมมติว่า${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและการกระทำของ${\displaystyle G}$เกิดจากการแปลงแบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึม

การกระทำนั้นดูเหมือนจะสับสนหากทุกๆ${\displaystyle x\in X}$มีละแวกบ้าน${\displaystyle U}$โดยที่มีเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น${\displaystyle g\in G}$กับ${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$[ ^{4 ]​}

โดยทั่วไปแล้ว จุดหนึ่ง${\displaystyle x\in X}$เรียกว่าจุดไม่ต่อเนื่องสำหรับการกระทำของ${\displaystyle G}$หากมีเซตย่อยที่เปิดอยู่${\displaystyle U\ni x}$โดยที่มีเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น${\displaystyle g\in G}$กับ${\displaystyle (g\cdot U)\cap U\neq \emptyset }$ขอบเขตของความไม่ต่อเนื่องของการกระทำคือเซตของจุดที่ไม่ต่อเนื่องทั้งหมด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเซตที่ใหญ่ที่สุด${\displaystyle G}$-ชุดย่อยแบบเปิดที่เสถียร${\displaystyle \Omega \subset X}$โดยที่การกระทำของ${\displaystyle G}$บน${\displaystyle \Omega }$กำลังเดินทาง^{[ 5 ]}ในบริบทแบบไดนามิก สิ่งนี้เรียกว่า เซต ที่เดินทาง

การกระทำนั้นถือว่าไม่ต่อเนื่องอย่างเหมาะสมก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเซตย่อยกระชับ${\displaystyle K\subset X}$มีจำนวนจำกัดเท่านั้น${\displaystyle g\in G}$โดยที่${\displaystyle (g\cdot K)\cap K\neq \emptyset }$สิ่งนี้รุนแรงกว่าการเดินเตร่อย่างเห็นได้ชัด ตัวอย่างเช่น การกระทำของ${\displaystyle \mathbb {Z} }$บน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}}$มอบให้โดย${\displaystyle n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)}$เร่ร่อนและเป็นอิสระแต่ไม่ขาดตอนอย่างเหมาะสม^{[ 6 ]}

การกระทำโดยการแปลงดาดฟ้าของกลุ่มพื้นฐานของพื้นที่ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายใน ระดับท้องถิ่น บนฝาครอบสากลนั้นเป็นการเคลื่อนที่และเป็นอิสระ การกระทำดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยคุณสมบัติต่อไปนี้: ทุกๆ${\displaystyle x\in X}$มีละแวกบ้าน${\displaystyle U}$โดยที่${\displaystyle (g\cdot U)\cap U=\emptyset }$สำหรับทุกๆ${\displaystyle g\in G\backslash \{e_{G}\}}$[ ^{7 ]}การกระทำที่มีคุณสมบัตินี้บางครั้งเรียกว่าไม่ต่อเนื่องอย่างอิสระ และเซตย่อยที่ใหญ่ที่สุดที่การ ^{กระทำ}ไม่ต่อเนื่องอย่างอิสระเรียกว่าเซตปกติอิสระ^{[ 8 ]}

การกระทำของกลุ่ม${\displaystyle G}$ในพื้นที่ขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น${\displaystyle X}$เรียกว่า เซต กระชับร่วม (cocompact)ถ้ามีเซตย่อยกระชับ (compact subset) อยู่${\displaystyle A\subset X}$โดยที่${\displaystyle X=G\cdot A}$สำหรับการกระทำที่ไม่ต่อเนื่องอย่างเหมาะสม ความกะทัดรัดร่วมจะเทียบเท่ากับความกะทัดรัดของปริภูมิผลหาร${\displaystyle X/G}$.

สมมติว่าตอนนี้${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มทางทอพอโลยีและ${\displaystyle X}$ปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งมันกระทำโดยโฮมีโอเมอร์ฟิซึม การกระทำนั้นกล่าวได้ว่าต่อเนื่องหากแผนที่${\displaystyle G\times X\rightarrow X}$มีความต่อเนื่องสำหรับโครงสร้างผลิตภัณฑ์

กล่าวกันว่าการกระทำดังกล่าวคือเหมาะสมหากแผนที่${\displaystyle G\times X\rightarrow X\times X}$กำหนดโดย${\displaystyle (g,x)\mapsto (x,g\cdot x)}$เหมาะสม[ ^{9 ]}ซึ่งหมายความว่าเซตกระชับ^ที่กำหนด${\displaystyle K,K'}$ชุดของ${\displaystyle g\in G}$โดยที่${\displaystyle (g\cdot K)\cap K'\neq \varnothing }$มีความกะทัดรัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้เทียบเท่ากับความไม่ต่อเนื่องที่เหมาะสมหาก${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มที่แยกจากกัน

กล่าวกันว่าหากอยู่ในละแวกใกล้ เคียงจะ ไม่มีค่าใช้จ่ายใดๆ ในพื้นที่นั้นๆ${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle e_{G}}$โดยที่${\displaystyle g\cdot x\neq x}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in X}$และ${\displaystyle g\in U\setminus \{e_{G}\}}$.

กล่าวกันว่าการกระทำนั้นมีความต่อเนื่องอย่างมากหากพิจารณาจากแผนที่วงโคจร${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$ต่อเนื่องสำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in X}$แม้ชื่อจะบอกว่าเป็นความต่อเนื่อง แต่จริงๆ แล้วมันเป็นคุณสมบัติที่อ่อนกว่าความต่อเนื่องของการกระทำ

ถ้า${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มโกหกและ${\displaystyle X}$ถ้า เป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้แล้วปริภูมิย่อยของจุดเรียบสำหรับการกระทำนั้นคือเซตของจุด${\displaystyle x\in X}$โดยที่แผนที่${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$มีความเรียบเนียนมีทฤษฎีเกี่ยวกับกลุ่มการกระทำของ Lie ที่พัฒนามาอย่างดีแล้ว กล่าวคือ การกระทำที่เรียบเนียนบนพื้นที่ทั้งหมด

ถ้าgกระทำการโดยการแปลงเชิงเส้นบนโมดูลเหนือริงสลับที่ การกระทำนั้นจะเรียกว่าไม่สามารถลดทอนได้หากไม่มีโมดูลย่อยที่ไม่เป็นศูนย์และ คงที่ภายใต้ g ที่เหมาะสม การกระทำนั้นจะเรียกว่ากึ่งง่ายหากสามารถแยกส่วนได้เป็นผลรวมโดยตรงของการกระทำที่ไม่สามารถลดทอนได้

ถ้า${\displaystyle Y}$เป็นส่วนย่อยของ${\displaystyle X}$, แล้ว${\displaystyle G\cdot Y}$หมายถึงเซต${\displaystyle \{g\cdot y\mid g\in G,y\in Y\}}$เซตย่อย${\displaystyle Y}$กล่าวกันว่าไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้${\displaystyle G}$ถ้า${\displaystyle G\cdot Y=Y}$(ซึ่งเทียบเท่ากัน)${\displaystyle G\cdot Y\subseteq Y}$ในกรณีนั้น${\displaystyle G}$นอกจากนี้ยังดำเนินการบน${\displaystyle Y}$โดยจำกัดการกระทำไว้ที่${\displaystyle Y}$เซตย่อย${\displaystyle Y}$เรียกว่าคงที่ภายใต้${\displaystyle G}$ถ้า${\displaystyle g\cdot y=y}$สำหรับทุกคน${\displaystyle g}$ใน${\displaystyle G}$และทั้งหมด${\displaystyle y}$ใน${\displaystyle Y}$ทุกเซตย่อยที่คงที่ภายใต้${\displaystyle G}$นอกจากนี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้${\displaystyle G}$แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นเช่นนั้น

วงโคจรทุกวงเป็นเซตย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงของ${\displaystyle X}$ซึ่ง${\displaystyle G}$กระทำการถ่ายทอดในทางกลับกันเซตย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงใดๆ ของ${\displaystyle X}$เป็นการรวมกันของวงโคจร การกระทำของ${\displaystyle G}$บน${\displaystyle X}$คุณสมบัติการถ่ายทอดจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อองค์ประกอบทั้งหมดสมมูลกัน ซึ่งหมายความว่ามีวงโคจรเพียงวงเดียวเท่านั้น

เอ${\displaystyle G}$องค์ประกอบ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงของ${\displaystyle X}$เป็น${\displaystyle x\in X}$โดยที่${\displaystyle g\cdot x=x}$สำหรับทุกคน${\displaystyle g\in G}$เซตของทั้งหมดดังกล่าว${\displaystyle x}$ถูกกำหนดไว้${\displaystyle X^{G}}$และเรียกมันว่า${\displaystyle G}$-ค่าคงที่ของ${\displaystyle X}$. เมื่อไร${\displaystyle X}$เป็น${\displaystyle G}$-โมดูล ,${\displaystyle X^{G}}$คือ กลุ่ม โคฮอโมโลยี ลำดับศูนย์ ของ${\displaystyle G}$โดยมีสัมประสิทธิ์ใน${\displaystyle X}$และกลุ่มโคฮอโมโลยีระดับสูงคือฟังก์ชันอนุพันธ์ของฟังก์ชันของ${\displaystyle G}$-ค่าคงที่

ที่ให้ไว้${\displaystyle g}$ใน${\displaystyle G}$และ${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle X}$กับ${\displaystyle g\cdot x=x}$กล่าวกันว่า "${\displaystyle x}$เป็นจุดคงที่ของ${\displaystyle g}$"หรือว่า "${\displaystyle g}$การแก้ไข${\displaystyle x}$".สำหรับทุกๆ${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle X}$,กลุ่มย่อยของตัวรักษาเสถียรภาพของ${\displaystyle G}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle x}$(เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มไอโซโทรปีหรือกลุ่มเล็ก^{[ 10 ]} ) คือเซตขององค์ประกอบทั้งหมดใน${\displaystyle G}$การแก้ไขนั้น${\displaystyle x}$: $${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}$$ นี่เป็นกลุ่มย่อยของ${\displaystyle G}$แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะไม่ใช่เรื่องปกติก็ตาม การกระทำของ${\displaystyle G}$บน${\displaystyle X}$จะเป็นอิสระก็ต่อเมื่อตัวรักษาเสถียรภาพทั้งหมดเป็นแบบไม่สำคัญเท่านั้น เคอร์เนล${\displaystyle N}$ของโฮโมมอร์ฟิซึมกับกลุ่มสมมาตร${\displaystyle G\rightarrow \operatorname {Sym} (X)}$ได้มาจากจุดตัดของตัวรักษาเสถียรภาพ${\displaystyle G_{x}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle X}$. ถ้า${\displaystyle N}$หากเป็นเรื่องเล็กน้อย การกระทำนั้นก็ถือว่าซื่อสัตย์ (หรือได้ผล)

อนุญาต${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$เป็นองค์ประกอบสองอย่างใน${\displaystyle X}$และปล่อยให้${\displaystyle g}$เป็นองค์ประกอบของกลุ่มโดยที่${\displaystyle y=g\cdot x}$จากนั้นกลุ่มสารทำให้คงตัวทั้งสองกลุ่ม${\displaystyle G_{x}}$และ${\displaystyle G_{y}}$มีความสัมพันธ์กันโดย${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}}$.

หลักฐาน: ตามนิยามแล้ว${\displaystyle h\in G_{y}}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle h\cdot (g\cdot x)=g\cdot x}$การสมัคร${\displaystyle g^{-1}}$ทั้งสองฝ่ายของความเท่าเทียมกันนี้ก่อให้เกิดผลลัพธ์${\displaystyle (g^{-1}hg)\cdot x=x}$นั่นคือ${\displaystyle g^{-1}hg\in G_{x}}$.

การรวมแบบตรงข้ามก็เกิดขึ้นในลักษณะเดียวกันโดยการนำ${\displaystyle h\in G_{x}}$และ${\displaystyle x=g^{-1}\cdot y}$.

ข้อความข้างต้นกล่าวว่า ตัวรักษาเสถียรภาพของธาตุในวงโคจรเดียวกันนั้นเป็นคู่สมซึ่งกันและกัน ดังนั้น สำหรับแต่ละวงโคจร เราสามารถเชื่อมโยงชั้นคู่สมของกลุ่มย่อยหนึ่งกับวง โคจรได้${\displaystyle G}$(นั่นคือ เซตของคอนจูเกตทั้งหมดของกลุ่มย่อย) ให้${\displaystyle (H)}$แสดงถึงชั้นการสมมูลของ${\displaystyle H}$จากนั้นวงโคจร${\displaystyle O}$มีประเภท${\displaystyle (H)}$ถ้าตัวกันสั่น${\displaystyle G_{x}}$ของบางส่วน/ใดๆ${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle O}$เป็นของ${\displaystyle (H)}$วงโคจรสูงสุดมักเรียกว่าวงโคจรหลัก

วงโคจรและตัวรักษาเสถียรภาพมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด สำหรับค่าx คงที่ ในXให้พิจารณาแผนที่f  : G → Xที่กำหนดโดยg ↦ g ⋅ xตามนิยาม ภาพf ( G )ของแผนที่นี้คือวงโคจรG ⋅ xเงื่อนไขสำหรับองค์ประกอบสองตัวที่จะมีภาพเดียวกันคือ $${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}$$ กล่าวอีกนัยหนึ่งf ( g ) = f ( h ) ก็ต่อเมื่อgและh อยู่ใน โคเซตเดียวกันสำหรับกลุ่มย่อยเสถียรG ดังนั้นไฟเบอร์f ⁻¹ ({ y })ของfเหนือy ใดๆ ในG ⋅ xจะอยู่ในโคเซตดังกล่าว และโคเซตดังกล่าวทุกอันก็ปรากฏเป็นไฟเบอร์ด้วย ดังนั้นf จึง เหนี่ยวนำให้เกิดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง^{ระหว่าง}เซตG / G ของโคเซตสำหรับกลุ่มย่อยเสถียรและวงโคจรG ⋅ xซึ่งส่งgG ↦ g ⋅ x ^{[ 11} ] ผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีบทวงโคจร-เสถียร

ถ้าGเป็นเซตจำกัด ทฤษฎีบทวงโคจร-ตัวรักษาเสถียรภาพ ร่วมกับทฤษฎีบทของลากรองจ์จะให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|.}$$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความยาวของวงโคจรxเท่าของอันดับของตัวรักษาเสถียรภาพ จะเท่ากับอันดับของกลุ่มโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นั่นหมายความว่าความยาวของวงโคจรเป็นตัวหารของอันดับของกลุ่ม

ตัวอย่าง

ให้Gเป็นกลุ่มที่มีอันดับเฉพาะpที่กระทำกับเซตXที่มีkสมาชิก เนื่องจากแต่ละวงโคจรมี สมาชิก 1หรือp ตัว จึงมี วงโคจรที่มีความยาว1อย่างน้อยk mod pซึ่งเป็น สมาชิกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Gยิ่งไปกว่านั้นkและจำนวน^{สมาชิก} ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ Gจะสอดคล้องกันในโมดูลp [ ^{12 ]}

ผลลัพธ์นี้มีประโยชน์อย่างยิ่ง เนื่องจากสามารถนำไปใช้ในการนับจำนวนอาร์กิวเมนต์ (โดยทั่วไปในสถานการณ์ที่Xมีจำนวนจำกัดเช่นกัน)

ตัวอย่าง

เราสามารถใช้ทฤษฎีบทวงโคจร-ตัวรักษาเสถียรภาพเพื่อนับออโตมอร์ฟิซึมของกราฟได้ พิจารณากราฟลูกบาศก์ดังภาพ และให้Gแทนกลุ่มออโตมอร์ฟิซึม ของกราฟนั้น Gกระทำต่อเซตของจุดยอด{1, 2, ..., 8}และการกระทำนี้เป็นแบบทรานซิทีฟ ดังที่เห็นได้จากการประกอบการหมุนรอบจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์ ดังนั้น โดยทฤษฎีบทวงโคจร-ตัวรักษาเสถียรภาพ| G | = | G ⋅ 1 | | G | = 8 | G |เมื่อใช้ทฤษฎีบทกับตัวรักษาเสถียรภาพG 1 จะได้| G | = | ( G ) ⋅ 2 | | ( G ) |สมาชิกใดๆ ของGที่ตรึง 1 ไว้ จะต้องส่ง 2 ไปยัง 2, 4 หรือ 5 ตัวอย่างของออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าว ลองพิจารณาการหมุนรอบแกนทแยงมุมที่ผ่าน 1 และ 7 ด้วย2π /3ซึ่งสลับตำแหน่ง 2, 4, 5 และ 3, 6, 8 และตรึง 1 และ 7 ไว้ ดังนั้น|(G1)₂⋅2| = 3 การใช้ทฤษฎีบทครั้งที่สามจะได้ |(G1)₂⋅| = |((G1) ₂⋅3 | | ( ( G1 ) ₂⋅3 ) ₂ |สมาชิกใดของG 1และ2 ไว้จะต้องไปยัง3 หรือ6 ลูกบาศก์ที่ที่ผ่าน1 , 2, 7 และ 8 เป็นออโตมอ ร์ ฟิซึมที่ส่ง 3 ไป ยัง 6ดังนั้น| ( G1 ) | = 2นอกจากนี้ยังเห็นว่า(( G ) ) ประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์เท่านั้น เนื่องจากองค์ประกอบใดๆ ของGที่ตรึง 1, 2 และ 3 จะต้องตรึงจุดยอดอื่นๆ ทั้งหมดด้วย เนื่องจากจุดยอดเหล่านั้นถูกกำหนดโดยความประชิดกับ 1, 2 และ 3 เมื่อรวมการคำนวณข้างต้นเข้าด้วยกัน เราจะได้| G | = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48.

ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีบทวงโคจร-เสถียรภาพคือบทตั้งของเบิร์นไซด์ : $${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$$ โดยที่X ^gคือเซตของจุดที่ถูกตรึงไว้โดยgผลลัพธ์นี้มีประโยชน์หลักๆ เมื่อGและXมีจำนวนจำกัด ซึ่งสามารถตีความได้ดังนี้: จำนวนวงโคจรเท่ากับจำนวนจุดเฉลี่ยที่ถูกตรึงไว้ต่อองค์ประกอบกลุ่ม

เมื่อกำหนดกลุ่มGแล้ว เซตของผลต่างเชิงรูปธรรมของ เซต G จำกัด จะก่อให้เกิดวงแหวนที่เรียกว่าวงแหวนเบิร์นไซด์ของGซึ่งการบวกจะสอดคล้องกับการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนและการคูณจะสอดคล้องกับผล คูณคาร์ที เซียน