ในทางสถิติ ค่าแนวโน้มศูนย์กลาง (หรือการวัดค่าแนวโน้มศูนย์กลาง ) คือค่าศูนย์กลางหรือค่าทั่วไปสำหรับการกระจายความน่าจะเป็น^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การวัดแนวโน้มศูนย์กลางมักเรียกว่าค่าเฉลี่ยคำว่าแนวโน้มศูนย์กลางมีมาตั้งแต่ช่วงปลายทศวรรษ 1920 ^{[ 2 ]}

มาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลางที่พบได้บ่อยที่สุดคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตค่ามัธยฐานและค่าฐานนิยมแนวโน้มศูนย์กลางสามารถคำนวณได้สำหรับชุดค่าที่จำกัดหรือสำหรับการแจกแจงเชิงทฤษฎี เช่น การแจกแจงปกติบางครั้งผู้เขียนใช้แนวโน้มศูนย์กลางเพื่อหมายถึง "แนวโน้มของข้อมูล เชิงปริมาณ ที่จะรวมกลุ่มกันรอบค่าศูนย์กลางบางค่า" ^{[ 2 ] [ 3 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ค่าแนวโน้มศูนย์กลางของการกระจายตัวจะถูกนำมาเปรียบเทียบกับค่าการกระจัดกระจายหรือความแปรปรวนค่าการกระจัดกระจายและค่าแนวโน้มศูนย์กลางเป็นคุณสมบัติที่มักใช้ในการวิเคราะห์การกระจายตัว การวิเคราะห์อาจตัดสินว่าข้อมูลมีค่าแนวโน้มศูนย์กลางสูงหรือต่ำโดยพิจารณาจากค่าการกระจัดกระจาย

วิธีการต่อไปนี้สามารถนำไปใช้กับข้อมูลหนึ่งมิติได้ ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ อาจเหมาะสมที่จะแปลงข้อมูลก่อนคำนวณค่าเฉลี่ย ตัวอย่างเช่น การยกกำลังสองหรือการหาลอการิทึม ความเหมาะสมของการแปลงข้อมูลและประเภทของการแปลงนั้นขึ้นอยู่กับข้อมูลที่กำลังวิเคราะห์เป็นอย่างมาก

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือ ค่าเฉลี่ยเฉยๆ

ผลรวมของค่าที่วัดได้ทั้งหมดหารด้วยจำนวนข้อมูลในชุดข้อมูล

ค่ามัธยฐาน

ค่ากลางที่แบ่งข้อมูลออกเป็นครึ่งบนและครึ่งล่าง ค่ามัธยฐานและค่าฐานนิยมเป็นเพียงมาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลางที่สามารถใช้ได้กับข้อมูลเชิงลำดับซึ่งค่าต่างๆ ถูกจัดอันดับสัมพันธ์กัน แต่ไม่ได้วัดในเชิงสัมบูรณ์

โหมด

ค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุดในชุดข้อมูล นี่เป็นมาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลางเพียงอย่างเดียวที่สามารถใช้ได้กับข้อมูลเชิงนามซึ่งมีการกำหนดหมวดหมู่เชิงคุณภาพล้วนๆ

ค่าเฉลี่ยทั่วไป

เป็นการขยายความหมายของค่าเฉลี่ยแบบพีทาโกเรียนโดยระบุด้วยเลขชี้กำลัง

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

รากที่ n ของผลคูณของค่าข้อมูล โดยที่มีค่าข้อมูลอยู่nค่า การวัดนี้ใช้ได้เฉพาะกับข้อมูลที่วัดได้ในมาตราส่วนที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดเท่านั้น

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ส่วนกลับของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนกลับของค่าข้อมูล มาตรวัดนี้ใช้ได้เฉพาะกับข้อมูลที่วัดได้ในมาตราส่วนที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดหรือลบอย่างเคร่งครัดเท่านั้น

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่รวมการถ่วงน้ำหนักให้กับองค์ประกอบข้อมูลบางอย่าง

ค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอนหรือค่าเฉลี่ยที่ตัดแต่ง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าข้อมูลหลังจากตัดค่าข้อมูลสูงสุดและต่ำสุดออกไปจำนวนหนึ่งหรือในสัดส่วนที่กำหนด

ค่าเฉลี่ยระหว่างควาร์ไทล์

ค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอนโดยอิงจากข้อมูลที่อยู่ในช่วงควาร์ไทล์

ระดับกลาง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของชุดข้อมูล

บานพับกลาง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของควาร์ไท ล์ที่หนึ่งและควาร์ไทล์ ที่สาม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตกึ่ง

การขยายความหมายของค่าเฉลี่ยทั่วไปโดยกำหนดด้วยฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง แบบต่อเนื่อง

ไตรเมียน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักของค่ามัธยฐานและควาร์ไทล์สองค่า

ค่าเฉลี่ยแบบวินซอร์ไรซ์

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ค่าสุดขั้วถูกแทนที่ด้วยค่าที่ใกล้เคียงกับค่ามัธยฐาน

วิธีการข้างต้นทั้งหมดสามารถนำไปใช้กับแต่ละมิติของข้อมูลหลายมิติได้ แต่ผลลัพธ์อาจไม่คงที่เมื่อมีการหมุนพื้นที่หลายมิติ

ค่ามัธยฐานทางเรขาคณิต

จุดที่ทำให้ผลรวมของระยะทางไปยังชุดจุดตัวอย่างมีค่าน้อยที่สุด นี่คือหลักการเดียวกับการหาค่ามัธยฐานเมื่อใช้กับข้อมูลหนึ่งมิติ แต่ไม่เหมือนกับการหาค่ามัธยฐานของแต่ละมิติแยกกัน และหลักการนี้จะไม่คงที่เมื่อมีการปรับขนาดที่แตกต่างกันในมิติต่างๆ

ค่าเฉลี่ยกำลังสอง(มักเรียกว่า รากที่สองของค่าเฉลี่ยกำลังสอง )

มีประโยชน์ในงานวิศวกรรม แต่ไม่ค่อยได้ใช้ในทางสถิติ เนื่องจากไม่ใช่ตัวบ่งชี้ที่ดีของจุดศูนย์กลางของการกระจายตัวเมื่อการกระจายตัวนั้นมีค่าลบรวมอยู่ด้วย

ความลึกเชิงซิมพลิเชียล

ความน่าจะเป็นที่ซิมเพล็กซ์ ที่สุ่มเลือกมา ซึ่งมีจุดยอดจากการกระจายที่กำหนด จะมีจุดศูนย์กลางที่กำหนดอยู่ภายใน

ค่ามัธยฐานของทูคีย์

จุดที่มีคุณสมบัติว่าครึ่งพื้นที่ทุกแห่งที่บรรจุจุดนั้นจะบรรจุจุดตัวอย่างจำนวนมากด้วย

มาตรการบางอย่างมีความทนทานต่อค่าผิดปกติเช่น ค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยสามเท่า

มาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลางหลายอย่างสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการแก้ปัญหาเชิงแปรผัน ในแง่ของแคลคูลัสของการแปรผันกล่าวคือ การลดความแปรผันจากจุดศูนย์กลางให้เหลือน้อยที่สุด นั่นคือ เมื่อกำหนดมาตรวัดการกระจายทางสถิติแล้ว เราจะต้องการมาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลางที่ลดความแปรผันให้เหลือน้อยที่สุด โดยที่ความแปรผันจากจุดศูนย์กลางมีค่าน้อยที่สุดในบรรดาตัวเลือกจุดศูนย์กลางทั้งหมด กล่าวโดยสรุปคือ "การกระจายมาก่อนตำแหน่ง" มาตรวัดเหล่านี้ถูกกำหนดขึ้นในมิติเดียวในตอนแรก แต่สามารถขยายไปสู่หลายมิติได้ จุดศูนย์กลางนี้อาจมีหรือไม่มีเพียงจุดเดียว ในแง่ของปริภูมิL ^pความสัมพันธ์จะเป็นดังนี้:

ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องเรียกว่าp-นอร์มได้แก่ 0-"นอร์ม", 1-นอร์ม, 2-นอร์ม และ ∞-นอร์ม ตามลำดับ ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ^{ปริภูมิ}L0ไม่ใช่นอร์ม ดังนั้นจึงมักถูกอ้างถึงในเครื่องหมายคำพูดว่า 0-"นอร์ม"

ในสมการ สำหรับชุดข้อมูลX ที่กำหนด (จำกัด) ซึ่งคิดว่าเป็นเวกเตอร์x = ( x ,…, x )การกระจายตัวรอบจุดcคือ "ระยะห่าง" จากxไปยังเวกเตอร์คงที่c = ( c ,…, c )ใน นอร์ม p (ปรับให้เป็นมาตรฐานโดยจำนวนจุดn ):

${\displaystyle f_{p}(c)=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|_{p}:={\bigg (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-c\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}}$

สำหรับp = 0และp = ∞ฟังก์ชันเหล่านี้ถูกกำหนดโดยการหาลิมิต ตามลำดับ เมื่อp → 0และp → ∞สำหรับp = 0ค่าลิมิตคือ0 ⁰ = 0และa ⁰ = 1สำหรับa ≠ 0ดังนั้นผลต่างจึงกลายเป็นความเท่าเทียมกัน ดังนั้นค่า 0-norm จึงนับจำนวน จุด ที่ไม่เท่ากันสำหรับp = ∞จำนวนที่มากที่สุดจะเป็นตัวกำหนด และดังนั้นค่า ∞-norm จึงเป็นผลต่างสูงสุด

สำหรับการกระจายแบบโมดอลเดียวขอบเขตต่อไปนี้เป็นที่ทราบและมีความแม่นยำ: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}},}$

${\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}$

โดยที่μคือค่าเฉลี่ย, νคือค่ามัธยฐาน, θคือค่าฐานนิยม และσคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สำหรับการแจกจ่ายทุกครั้ง^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq 1.}$

• ช่วงเวลาสำคัญ
• ค่าที่คาดหวัง
• พารามิเตอร์ตำแหน่ง
• หมายถึง
• ค่าเฉลี่ยประชากร
• ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง