ในทางคณิตศาสตร์สมการคือสูตรทางคณิตศาสตร์ที่แสดงความเท่ากันของนิพจน์ สองตัว โดยเชื่อมโยงนิพจน์ทั้งสองด้วยเครื่องหมายเท่ากับ= ^{[ 2 ] [ 3 ]}คำว่าสมการและคำที่เกี่ยวข้องในภาษาอื่นๆ อาจมีความหมายที่แตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ในภาษาฝรั่งเศส équation ถูกนิยามว่าประกอบด้วยตัวแปร หนึ่งตัวหรือมากกว่า ในขณะที่ในภาษาอังกฤษ สูตร ใดๆ ที่มีรูปแบบดีซึ่งประกอบด้วยนิพจน์สองตัวที่สัมพันธ์กันด้วยเครื่องหมายเท่ากับก็ถือเป็นสมการ^{[ 4 ]}

การแก้สมการที่มีตัวแปรประกอบด้วยการพิจารณาว่าค่าใดของตัวแปรที่ทำให้สมการเป็นจริง ตัวแปรที่ต้องแก้สมการเรียกว่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่าและค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่ทำให้สมการเป็นจริงเรียกว่าคำตอบของสมการ สมการมีสองประเภท ได้แก่สมการเอกลักษณ์และสมการเงื่อนไข สมการเอกลักษณ์เป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปร ส่วนสมการเงื่อนไขเป็นจริงเฉพาะสำหรับค่าเฉพาะของตัวแปรเท่านั้น^{[ 5 ] [ 6 ]}

สัญลักษณ์ " = " ซึ่งปรากฏในสมการทุกสมการ ถูกคิดค้นขึ้นในปี ค.ศ. 1557 โดยโรเบิร์ต เรคอร์ดซึ่งคิดว่าไม่มีสิ่งใดจะเท่ากันไปกว่าเส้นตรงขนานที่มีความยาวเท่ากัน^{[ 1 ]}

สมการเขียนเป็นนิพจน์ สองนิพจน์ ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (“=") ^{[ 2 ]}นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับเรียกว่า “ด้านซ้าย” และ “ด้านขวา” ของสมการ บ่อยครั้งที่ด้านขวาของสมการถือว่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งไม่ลดความทั่วไปลง เนื่องจากสามารถทำให้เป็นจริงได้โดยการลบด้านขวาออกจากทั้งสองข้าง

สมการประเภทที่พบบ่อยที่สุดคือสมการพหุนาม (หรือเรียกอีกอย่างว่าสมการพีชคณิต ) ซึ่งทั้งสองข้างเป็นพหุนาม ทั้ง สอง ข้างของสมการพหุนามประกอบด้วยพจน์ หนึ่งหรือมากกว่าหนึ่งพจน์ ตัวอย่างเช่น สมการ

${\displaystyle Ax^{2}+Bx+Cy=0}$

สมการนี้มีด้านซ้ายซึ่งประกอบด้วยสี่พจน์ และด้านขวาซึ่งประกอบด้วยเพียงพจน์เดียว ชื่อของตัวแปรบ่งบอกว่าxและyเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่า และ A , BและCเป็นพารามิเตอร์แต่โดยปกติแล้วสิ่งนี้จะถูกกำหนดโดยบริบท (ในบางบริบทyอาจเป็นพารามิเตอร์ หรือA , BและCอาจเป็นตัวแปรธรรมดา) ${\displaystyle Ax^{2}+Bx+Cy}$${\displaystyle 0}$

สมการเปรียบเสมือนตาชั่งที่มีน้ำหนักวางอยู่ เมื่อวางน้ำหนักเท่ากันของบางสิ่ง (เช่น เมล็ดพืช) ลงในถาดทั้งสอง น้ำหนักทั้งสองจะทำให้ตาชั่งสมดุลและกล่าวได้ว่าเท่ากัน หากนำเมล็ดพืชออกจากถาดด้านหนึ่งของตาชั่ง จะต้องนำเมล็ดพืชออกจากถาดอีกด้านหนึ่งในปริมาณที่เท่ากันเพื่อให้ตาชั่งยังคงสมดุล โดยทั่วไปแล้ว สมการจะยังคงสมดุลหากดำเนินการแบบเดียวกันในแต่ละด้าน^{[ 7 ]}

สมการสองสมการหรือระบบสมการสองระบบจะสมมูลกันหากมีชุดคำตอบเดียวกัน การดำเนินการต่อไปนี้จะแปลงสมการหรือระบบสมการให้เป็นสมการหรือระบบสมการที่สมมูลกัน – โดยมีเงื่อนไขว่าการดำเนินการเหล่านั้นมีความหมายสำหรับนิพจน์ที่นำไปใช้:

• การบวกหรือลบปริมาณเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ แสดงให้เห็นว่าทุกสมการเทียบเท่ากับสมการที่มีด้านขวาเป็นศูนย์
• การคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยปริมาณที่ไม่ใช่ศูนย์
• การใช้เอกลักษณ์เพื่อแปลงด้านใดด้านหนึ่งของสมการ ตัวอย่างเช่นการกระจายผลคูณ หรือการแยกตัวประกอบผลรวม
• สำหรับระบบสมการ: การนำค่าที่สอดคล้องกันของอีกสมการหนึ่งมาบวกเข้ากับทั้งสองข้างของสมการหนึ่ง แล้วคูณด้วยค่าเดียวกัน

ถ้า เราใช้ ฟังก์ชันกับทั้งสองข้างของสมการ สมการที่ได้จะมีคำตอบของสมการเริ่มต้นอยู่ด้วย แต่ก็อาจมีคำตอบอื่นๆ ที่เรียกว่าคำตอบแปลกปลอมได้ตัวอย่างเช่น สมการมีคำตอบการยกกำลังสองทั้งสองข้างด้วยเลขชี้กำลัง 2 (ซึ่งหมายถึงการใช้ฟังก์ชันกับทั้งสองข้างของสมการ) จะเปลี่ยนสมการเป็นซึ่งไม่เพียงแต่มีคำตอบเดิมเท่านั้น แต่ยังเพิ่มคำตอบแปลกปลอมเข้ามาด้วย ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าฟังก์ชันไม่นิยามที่บางค่า (เช่น 1/ xซึ่งไม่นิยามสำหรับx = 0) คำตอบที่มีอยู่ ณ ค่าเหล่านั้นอาจหายไป ดังนั้นจึงต้องใช้ความระมัดระวังเมื่อใช้การแปลงดังกล่าวกับสมการ ${\displaystyle x=1}$${\displaystyle x=1.}$${\displaystyle f(s)=s^{2}}$${\displaystyle x^{2}=1}$${\displaystyle x=-1.}$

การแปลงข้างต้นเป็นพื้นฐานของวิธีการแก้สมการขั้นพื้นฐาน ส่วนใหญ่ รวมถึงวิธีการที่ซับซ้อนน้อยกว่าบางวิธี เช่นการกำจัดแบบเกาส์เซียน

สมการเปรียบเสมือน ตาชั่งเครื่องชั่ง หรือกระดานหก

แต่ละด้านของสมการสอดคล้องกับด้านหนึ่งของตาชั่ง คือด้านซ้ายและด้านขวา สามารถวางปริมาณที่แตกต่างกันไว้ในแต่ละด้านได้ หากน้ำหนักบนทั้งสองด้านเท่ากัน ตาชั่งก็จะสมดุล และในทำนองเดียวกัน ความเท่าเทียมกันที่แสดงถึงตาชั่งก็จะสมดุลด้วย (หากไม่เท่ากัน ความไม่สมดุลนั้นจะสอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันที่แสดงด้วยอสมการ )

ในภาพประกอบx , yและzเป็นปริมาณที่แตกต่างกัน (ในกรณีนี้คือจำนวนจริง ) ซึ่งแสดงเป็นตุ้มน้ำหนักทรงกลม และแต่ละx , yและzมีน้ำหนักต่างกัน การบวกหมายถึงการเพิ่มน้ำหนัก ในขณะที่การลบหมายถึงการลดน้ำหนักออกจากที่มีอยู่แล้ว เมื่อความเท่าเทียมกันเป็นจริง น้ำหนักรวมของแต่ละด้านจะเท่ากัน

สมการมักมีพจน์อื่นๆ นอกเหนือจากตัวแปรที่ไม่ทราบค่า พจน์ อื่นๆ เหล่านี้ ซึ่งถือว่าทราบค่า แล้ว มักเรียกว่าค่าคงที่สัมประสิทธิ์หรือพารามิเตอร์

ตัวอย่างของสมการที่มีxและyเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่า และมีพารามิเตอร์Rคือ

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

เมื่อ เลือกให้ Rมีค่าเท่ากับ 2 ( R = 2) สมการนี้จะถูกระบุในพิกัดคาร์ทีเซียนว่าเป็นสมการของวงกลมที่มีรัศมี 2 รอบจุดกำเนิด ดังนั้น สมการ ที่ไม่ได้ระบุค่า Rจึงเป็นสมการทั่วไปของวงกลม

โดยทั่วไป ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจะถูกแทนด้วยตัวอักษรที่อยู่ท้ายสุดของลำดับตัวอักษร เช่นx , y , z , w , ... ในขณะที่สัมประสิทธิ์ (พารามิเตอร์) จะถูกแทนด้วยตัวอักษรที่อยู่ต้นสุด เช่น^a , b , c , d , ... ตัวอย่างเช่นสมการกำลังสอง ทั่วไป มักเขียนว่าax²  +  bx  +  c  = 0

กระบวนการหาคำตอบ หรือในกรณีของตัวแปร คือการแสดงค่าที่ไม่ทราบค่าในรูปของตัวแปรนั้น เรียกว่าการแก้สมการส่วนการแสดงคำตอบในรูปของตัวแปรนั้น ก็เรียกว่าคำตอบเช่น กัน

ระบบสมการคือเซตของสมการเชิงเส้น หลายตัวแปร ซึ่งโดยทั่วไปแล้วมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าหลายตัว และเราต้องการหาคำตอบร่วมกัน ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือเซตของค่าสำหรับแต่ละตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ซึ่งเมื่อรวมกันแล้วจะเป็นคำตอบของแต่ละสมการในระบบ ตัวอย่างเช่น ระบบสมการ

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}$

มีคำตอบเฉพาะตัวคือx  = −1, y  = 1

เอกลักษณ์คือสมการที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปร เอกลักษณ์หลายอย่างเป็นที่รู้จักกันดีในพีชคณิตและแคลคูลัส ในกระบวนการแก้สมการ มักใช้เอกลักษณ์เพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น ทำให้แก้สมการได้ง่ายขึ้น

ในพีชคณิต ตัวอย่างของเอกลักษณ์คือผลต่างของกำลังสองของจำนวนสองจำนวน :

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)}$

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทุกค่าของ xและy

ตรีโกณมิติเป็นสาขาที่มีเอกลักษณ์มากมาย ซึ่งมีประโยชน์ในการจัดการหรือแก้สมการตรีโกณมิติ ตัวอย่างสองในหลายๆ ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับ ฟังก์ชัน ไซน์และโคไซน์ได้แก่:

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

และ

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$

ซึ่งทั้งสองอย่างนี้เป็นจริงสำหรับทุกค่าของ θ

ตัวอย่างเช่น ในการหาค่าของθที่สอดคล้องกับสมการ:

${\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}$

โดยที่θมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 45 องศา เราสามารถใช้เอกลักษณ์ข้างต้นสำหรับผลคูณเพื่อให้ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}$

ซึ่งจะได้คำตอบต่อไปนี้สำหรับθ:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}$

เนื่องจากฟังก์ชันไซน์เป็นฟังก์ชันคาบ จึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วนหากไม่มีข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับθในตัวอย่างนี้ การจำกัดให้θอยู่ระหว่าง 0 ถึง 45 องศา จะจำกัดคำตอบให้เหลือเพียงจำนวนเดียว

พีชคณิตศึกษาเกี่ยวกับสมการสองตระกูลหลัก ได้แก่สมการพหุนามและสมการเชิงเส้น ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสมการพหุนามเมื่อมีตัวแปรเพียงตัวเดียว สมการพหุนามจะมีรูปแบบP ( x ) = 0 โดยที่Pเป็นพหุนามและสมการเชิงเส้นจะมีรูปแบบax  +  b  = 0 โดยที่aและbเป็นพารามิเตอร์ในการแก้สมการจากทั้งสองตระกูลนี้ จะใช้วิธีการเชิงอัลกอริทึมหรือเชิงเรขาคณิต ซึ่งมาจากพีชคณิตเชิงเส้นหรือการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์พีชคณิตยังศึกษาเกี่ยว กับ สมการไดโอแฟนไทน์ซึ่งสัมประสิทธิ์และคำตอบเป็นจำนวนเต็มเทคนิคที่ใช้จะแตกต่างกันและมาจากทฤษฎีจำนวน สมการเหล่านี้โดยทั่วไปยาก มักจะต้องหาเพียงแค่ว่ามีคำตอบหรือไม่ และถ้ามี ก็ต้องนับจำนวนคำตอบ

โดยทั่วไปสมการพีชคณิตหรือสมการพหุนามคือสมการที่มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle P=0}$, หรือ

${\displaystyle P=Q}$^[ก]

โดยที่PและQเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ ใดฟิลด์หนึ่ง (เช่นจำนวนตรรกยะ จำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อน ) สมการพีชคณิตเรียกว่าสมการตัวแปรเดียวถ้ามีตัวแปร เพียงตัวเดียว ในทางกลับกัน สมการพหุนามอาจมีหลายตัวแปร ซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าสมการหลายตัวแปร (ตัวแปรหลายตัว x, y, z เป็นต้น)

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

เป็นสมการพีชคณิต (พหุนาม) ตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

เป็นสมการพหุนามหลายตัวแปรเหนือจำนวนตรรกยะ

สมการพหุนามบางสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะจะมีคำตอบที่เป็นนิพจน์พีชคณิตโดยใช้การดำเนินการเพียงจำนวนจำกัดที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์เหล่านั้น (กล่าวคือ สามารถแก้ได้ด้วยวิธีพีชคณิต ) วิธีนี้ใช้ได้กับสมการที่มีดีกรีหนึ่ง สอง สาม หรือสี่ทั้งหมด แต่สมการที่มีดีกรีห้าขึ้นไปไม่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีนี้เสมอไป ดังที่ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีได้แสดงให้เห็น

งานวิจัยจำนวนมากได้ทุ่มเทให้กับการคำนวณหาค่าประมาณที่แม่นยำและมีประสิทธิภาพของ คำตอบ จริงหรือ คำตอบ เชิงซ้อนของสมการพีชคณิตตัวแปรเดียว (ดูการหาค่ารากของพหุนาม ) และคำตอบร่วมของสมการพหุนามหลายตัวแปรหลายสมการ (ดูระบบสมการพหุนาม )

ระบบสมการเชิงเส้น (หรือระบบเชิงเส้น ) คือชุดของสมการเชิงเส้น ที่มี ตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป^{[ b ]}ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

เป็นระบบสมการสามสมการในตัวแปรสามตัวx , y , zคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นคือการกำหนดค่าตัวเลขให้กับตัวแปรเพื่อให้สมการทั้งหมดเป็นจริงพร้อมกันคำตอบของระบบสมการข้างต้นกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}$

เนื่องจากทำให้สมการทั้งสามเป็นจริง คำว่า " ระบบ " บ่งชี้ว่าต้องพิจารณาสมการเหล่านี้โดยรวม ไม่ใช่พิจารณาทีละสมการ

ในทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีระบบเชิงเส้นเป็นส่วนพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นวิชาที่ใช้ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่หลายด้านอัลกอริทึม การคำนวณ เพื่อหาคำตอบเป็นส่วนสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขและมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์วิศวกรรมเคมีวิทยาการคอมพิวเตอร์และเศรษฐศาสตร์ระบบสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้นมักสามารถประมาณ ได้ ด้วยระบบเชิงเส้น (ดูการทำให้เป็นเชิงเส้น ) ซึ่ง เป็นเทคนิคที่มีประโยชน์เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หรือ การจำลอง ด้วยคอมพิวเตอร์ของระบบที่ค่อนข้างซับซ้อน

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดเราสามารถกำหนดชุดพิกัดให้กับแต่ละจุดในปริภูมิได้ เช่น โดยใช้ตารางพิกัดเชิงตั้งฉาก วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถอธิบายรูปทรงเรขาคณิตด้วยสมการได้ ระนาบในปริภูมิสามมิติสามารถแสดงได้เป็นเซตคำตอบของสมการในรูปแบบโดยที่และเป็นจำนวนจริง และเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่าซึ่งสอดคล้องกับพิกัดของจุดในระบบที่กำหนดโดยตารางพิกัดเชิงตั้งฉาก ค่าคือพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดยสมการ เส้นตรงแสดงได้เป็นจุดตัดของระนาบสองระนาบ นั่นคือเป็นเซตคำตอบของสมการเชิงเส้นเดี่ยวที่มีค่า อยู่ในหรือเป็นเซตคำตอบของสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีค่า อยู่ใน${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

ภาคตัดกรวยคือจุดตัดระหว่างกรวยที่มีสมการ และระนาบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในปริภูมิ ภาคตัดกรวยทั้งหมดถูกนิยามว่าเป็นเซตคำตอบของสมการของระนาบและสมการของกรวยที่กำหนดให้ รูปแบบนี้ช่วยให้สามารถกำหนดตำแหน่งและคุณสมบัติของจุดโฟกัสของภาคตัดกรวยได้ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

การใช้สมการทำให้เราสามารถนำคณิตศาสตร์ในสาขาต่างๆ มาใช้แก้ปัญหาทางเรขาคณิตได้ ระบบ พิกัดคาร์ทีเซียนเปลี่ยนปัญหาทางเรขาคณิตให้เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ เมื่อรูปทรงต่างๆ ถูกแปลงเป็นสมการแล้ว จึงเป็นที่มาของชื่อเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์มุมมองนี้ซึ่งนำเสนอโดยเดส์การ์ตช่วยเสริมและปรับเปลี่ยนเรขาคณิตประเภทที่นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณคิดขึ้นมา

ปัจจุบัน เรขาคณิตวิเคราะห์ถือเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มีการพัฒนาอย่างต่อเนื่อง แม้ว่าจะยังคงใช้สมการในการอธิบายรูปทรง แต่ก็ยังใช้เทคนิคที่ซับซ้อนอื่นๆ เช่นการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและพีชคณิตเชิงเส้นด้วย

ในเรขาคณิตแบบคาร์ทีเซียนสมการถูกใช้เพื่ออธิบายรูปทรงเรขาคณิตเนื่องจากสมการที่พิจารณา เช่นสมการโดยปริยายหรือสมการพาราเมตริกมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน วัตถุประสงค์จึงแตกต่างออกไป: แทนที่จะให้คำตอบอย่างชัดเจนหรือนับจำนวนคำตอบ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เราจึงใช้สมการเพื่อศึกษาคุณสมบัติของรูปทรง นี่คือแนวคิดเริ่มต้นของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นสาขาสำคัญของคณิตศาสตร์

เราสามารถใช้หลักการเดียวกันนี้ในการระบุตำแหน่งของจุดใดๆ ในปริภูมิ สาม มิติ ได้ โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนสามพิกัด ซึ่งเป็นระยะทางที่มีเครื่องหมายไปยังระนาบสามระนาบที่ตั้งฉากกัน (หรือเทียบเท่ากับการฉายภาพตั้งฉากลงบนเส้นตรงสามเส้นที่ตั้งฉากกัน)

การคิดค้นระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในศตวรรษที่ 17 โดยเรเน่ เดส์การ์ตได้ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์โดยการเชื่อมโยงอย่างเป็นระบบครั้งแรกระหว่างเรขาคณิตแบบยุคลิดและพีชคณิตโดยใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รูปทรงเรขาคณิต (เช่นเส้นโค้ง ) สามารถอธิบายได้ด้วยสมการคาร์ทีเซียน ซึ่งเป็นสมการพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับพิกัดของจุดที่อยู่บนรูปทรง ^{นั้น ตัวอย่างเช่น วงกลมรัศมี 2 บนระนาบ ซึ่ง มี}จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด อาจอธิบายได้ว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่มีพิกัดxและyที่สอดคล้องกับสมการx² + y² = 4

สมการพาราเมตริกสำหรับเส้นโค้งแสดงพิกัดของจุดบนเส้นโค้งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่เรียกว่าพารามิเตอร์^{[ 8 ] [ 9 ]}ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$

สมการเหล่านี้เป็นสมการพาราเมตริกสำหรับวงกลมหน่วยโดยที่tคือพารามิเตอร์ สมการเหล่านี้รวมกันเรียกว่าการแสดงเส้นโค้งแบบพาราเมตริก

แนวคิดของสมการพาราเมตริกได้รับการขยายไปสู่พื้นผิวแมนิโฟลด์และวาไรตีเชิงพีชคณิต ที่มี มิติสูงกว่าโดยจำนวนพาราเมตริกจะเท่ากับมิติของแมนิโฟลด์หรือวาไรตี และจำนวนสมการจะเท่ากับมิติของปริภูมิที่พิจารณาแมนิโฟลด์หรือวาไรตีนั้น (สำหรับเส้นโค้ง มิติคือหนึ่งและใช้พาราเมตริกหนึ่งตัว สำหรับพื้นผิว มิติคือ สองและ ใช้พาราเมตริก สองตัวเป็นต้น)

สมการไดโอแฟนไทน์ คือสมการพหุนามที่มีตัวแปรสองตัวขึ้นไป ซึ่งเราต้องการหาเฉพาะคำตอบที่ตัวแปรทุกตัวมีค่าเป็นจำนวนเต็ม เท่านั้น สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น คือ สมการระหว่างผลรวมของเอกนามสอง พจน์ที่ มี ดีกรีศูนย์หรือหนึ่ง ตัวอย่างของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นคือax² + by² = c²โดยที่a , bและcเป็นค่าคงที่ สมการไดโอแฟนไทน์เลขชี้กำลัง คือ สมการที่เลขชี้กำลังของพจน์ในสมการอาจเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่าได้

ปัญหาเกี่ยวกับไดโอแฟนไทน์มีจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปรที่ไม่ทราบค่า และเกี่ยวข้องกับการหาจำนวนเต็มที่ใช้ได้ผลอย่างถูกต้องสำหรับทุกสมการ ในภาษาทางเทคนิคมากขึ้น ปัญหาเหล่านี้จะกำหนดเส้นโค้งพีชคณิตพื้นผิวพีชคณิตหรือวัตถุทั่วไป และถามเกี่ยวกับจุดจำนวนเต็มบน เส้น โค้งหรือพื้นผิวนั้น

คำว่าไดโอแฟนไทน์ (Diophantine)หมายถึง ไดโอแฟนตัสแห่งอเล็กซานเดรียนักคณิตศาสตร์ชาวเฮลเลนิ สติก ในศตวรรษที่ 3 ผู้ศึกษาเกี่ยวกับสมการดังกล่าว และเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์กลุ่มแรกๆ ที่นำสัญลักษณ์ มาใช้ ในพีชคณิตการศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับปัญหาไดโอแฟนไทน์ที่ไดโอแฟนตัสริเริ่มขึ้นนั้น ปัจจุบันเรียกว่า การวิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์ (Diophantine analysis)

จำนวนพีชคณิตคือ จำนวนที่เป็นคำตอบของสมการพหุนาม ที่ไม่เป็นศูนย์ ในตัวแปรเดียว โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ (หรือเทียบเท่าได้ โดยการกำจัดตัวส่วน จะมี สัมประสิทธิ์เป็น จำนวนเต็ม ) จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนพีชคณิต เช่นπเรียกว่าจำนวนอดิศัยจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนเกือบทั้งหมด เป็นจำนวนอดิศัย

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ซึ่งในอดีตศึกษาเกี่ยวกับการแก้สมการ พหุนาม เรขาคณิตเชิงพีชคณิตสมัยใหม่นั้นอาศัยเทคนิคที่ซับซ้อนกว่าของพีชคณิตนามธรรมโดยเฉพาะพีชคณิตเชิงสลับที่ร่วมกับภาษาและปัญหาของเรขาคณิต

วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือวาไรตี้เชิงพีชคณิตซึ่งเป็นการแสดงออกทางเรขาคณิตของคำตอบของระบบสมการพหุ นาม ตัวอย่างของวาไรตี้เชิงพีชคณิตที่ศึกษากันมากที่สุด ได้แก่เส้นโค้งเชิงพีชคณิตบนระนาบซึ่งรวมถึงเส้นตรงวงกลมพาราโบลาวงรีไฮเปอร์โบลาเส้นโค้งกำลังสามเช่นเส้นโค้งวงรีและเส้นโค้งกำลังสี่ เช่นเลมนิสเคตและวงรีแคสสินีจุดบนระนาบจะอยู่ในเส้นโค้งเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อพิกัดของจุดนั้นสอดคล้องกับสมการพหุนามที่กำหนดให้ คำถามพื้นฐานเกี่ยวข้องกับการศึกษาจุดที่น่าสนใจเป็นพิเศษ เช่น จุดเอกฐานจุดเปลี่ยนเว้าและจุดอนันต์คำถามขั้นสูงกว่านั้นเกี่ยวข้องกับโทโพโลยีของเส้นโค้งและความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการต่างๆ

สมการเชิงอนุพันธ์คือ สมการ ทางคณิตศาสตร์ที่เชื่อมโยงฟังก์ชัน บางอย่าง กับอนุพันธ์ ของฟังก์ชันนั้น ในการใช้งาน ฟังก์ชันมักจะแทนปริมาณทางกายภาพ อนุพันธ์แทนอัตราการเปลี่ยนแปลง และสมการจะกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสอง สมการเชิงอนุพันธ์สามารถแก้ได้โดยการหาคำตอบของฟังก์ชันที่ไม่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์ใช้ในการจำลองกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร และใช้ในสาขาต่างๆ เช่น ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา และเศรษฐศาสตร์

ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์สมการเชิงอนุพันธ์ได้รับการศึกษาจากหลายมุมมอง โดยส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับคำตอบของสมการ ซึ่งก็คือเซตของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการ มีเพียงสมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดเท่านั้นที่สามารถหาคำตอบได้ด้วยสูตรที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติบางอย่างของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนด อาจสามารถหาได้โดยไม่ต้องหาคำตอบในรูปแบบที่แน่นอน

หากไม่มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับหาคำตอบ อาจใช้วิธีการประมาณค่าเชิงตัวเลขโดยใช้คอมพิวเตอร์ ทฤษฎีระบบพลวัตเน้นการวิเคราะห์เชิงคุณภาพของระบบที่อธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ ในขณะที่วิธีการเชิงตัวเลข มากมาย ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อหาคำตอบด้วยความแม่นยำในระดับที่กำหนด

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญหรือ ODE คือสมการที่มีฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ หนึ่งตัว และอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น คำว่า " สามัญ " ใช้ในความหมายตรงข้ามกับคำว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งอาจมีตัวแปรอิสระ มากกว่า หนึ่งตัว

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ซึ่งมีคำตอบที่สามารถบวกและคูณด้วยสัมประสิทธิ์ได้นั้น นิยามและเข้าใจได้ง่าย และสามารถหาคำตอบที่แน่นอนในรูปแบบปิดได้ ในทางตรงกันข้าม สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) ที่ไม่มีคำตอบแบบบวกได้นั้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น และการแก้สมการเหล่านี้ซับซ้อนกว่ามาก เนื่องจากแทบจะไม่สามารถแทนด้วยฟังก์ชันพื้นฐานในรูปแบบปิดได้: คำตอบที่แน่นอนและเชิงวิเคราะห์ของ ODE จึงอยู่ในรูปอนุกรมหรือรูปปริพันธ์ วิธีการทางกราฟิกและเชิงตัวเลขที่ใช้ด้วยมือหรือคอมพิวเตอร์ อาจประมาณคำตอบของ ODE และอาจให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ ซึ่งมักจะเพียงพอในกรณีที่ไม่มีคำตอบที่แน่นอนและเชิงวิเคราะห์

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE) คือสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีฟังก์ชันหลายตัวแปรที่ ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ย่อย ของฟังก์ชันเหล่านั้น (ซึ่งแตกต่างจากสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรเดียวและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น) PDE ใช้ในการกำหนดปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว และสามารถแก้ได้ด้วยมือ หรือใช้สร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์ที่ เกี่ยวข้อง

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย(PDEs) สามารถใช้เพื่ออธิบายปรากฏการณ์ที่หลากหลาย เช่นเสียงความร้อนไฟฟ้าสถิตไฟฟ้าพลศาสตร์การ ไหล ของของเหลวความยืดหยุ่นหรือกลศาสตร์ควอนตัม ปรากฏการณ์ทางกายภาพที่ดูเหมือนแตกต่างกันเหล่านี้สามารถกำหนดเป็นทางการได้ในลักษณะเดียวกันโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เช่น เดียว กับที่สมการเชิงอนุพันธ์สามัญมักใช้แบบจำลอง ระบบพลวัต แบบหนึ่ง มิติ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยก็มักใช้แบบจำลองระบบหลายมิติ สม การ เชิง อนุพันธ์ย่อยมีรูปแบบทั่วไปอยู่ในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงสุ่ม

สมการสามารถจำแนกได้ตามประเภทของการดำเนินการและปริมาณที่เกี่ยวข้อง ประเภทที่สำคัญ ได้แก่:

• สมการพีชคณิตหรือ สมการ พหุนามคือสมการที่ทั้งสองข้างเป็นพหุนาม (ดูเพิ่มเติมที่ระบบสมการพหุนาม ) โดยแบ่งย่อยตามดีกรี ได้ดังนี้ :
  • สมการเชิงเส้นสำหรับดีกรีหนึ่ง
  • สมการกำลังสองสำหรับดีกรีสอง
  • สมการกำลังสามสำหรับดีกรีสาม
  • สมการกำลังสี่สำหรับดีกรีสี่
  • สมการกำลังห้าสำหรับดีกรีห้า
  • สมการกำลังหกสำหรับดีกรีหก
  • สมการบำบัดสำหรับระดับเจ็ด
  • สมการอ็อกติกสำหรับระดับแปด
• สมการไดโอแฟนไทน์คือสมการที่ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าต้องเป็นจำนวนเต็ม
• สมการอดิศัยคือ สมการที่มีฟังก์ชันอดิศัยเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่า
• สมการพาราเมตริกคือ สมการที่คำตอบของตัวแปรต่างๆ ถูกแสดงออกมาในรูปฟังก์ชันของตัวแปรอื่นๆ ที่เรียกว่าพาราเมตริกซึ่งปรากฏอยู่ในสมการเหล่านั้น
• สมการเชิงฟังก์ชันคือสมการที่ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเป็นฟังก์ชันไม่ใช่ปริมาณธรรมดา
• สมการที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ ปริพันธ์ และผลต่างจำกัด:
  • สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการเชิงฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า โดยที่ฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นมีค่า ณ จุดเดียวกัน เช่นสมการเชิงอนุพันธ์แบ่งออกเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเดียว และสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว${\displaystyle f'(x)=x^{2}}$
  • สมการอินทิกรัลเป็นสมการเชิงฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเดียว สมการดังกล่าวจะแตกต่างจากสมการเชิงอนุพันธ์โดยหลักๆ แล้วคือการเปลี่ยนตัวแปรโดยการแทนที่ฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น อย่างไรก็ตาม กรณีนี้จะไม่เป็นเช่นนั้นเมื่อทำการอินทิกรัลบนพื้นผิวเปิด
  • สมการเชิงอนุพันธ์เชิงปริพันธ์คือ สมการเชิงฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องทั้งอนุพันธ์และปฏิอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า สำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรเดียว สมการดังกล่าวจะแตกต่างจากสมการเชิงปริพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์ตรงที่มีการเปลี่ยนตัวแปรในลักษณะเดียวกัน
  • สมการเชิงอนุพันธ์เชิงฟังก์ชันหรือสมการเชิงอนุพันธ์แบบหน่วงเวลาคือสมการเชิงฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า ซึ่งประเมินค่าที่หลายจุด เช่น${\displaystyle f'(x)=f(x-2)}$
  • สมการเชิงผลต่างคือสมการที่ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าคือฟังก์ชันfซึ่งปรากฏในสมการตั้งแต่f ( x ), f ( x -1), ..., f ( x - k ) ไปจนถึงจำนวนเต็มkที่เรียกว่าอันดับของสมการ ถ้าxถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเต็ม สมการเชิงผลต่างจะเหมือนกับความสัมพันธ์เวียนเกิด
  • สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มคือ สมการเชิงอนุพันธ์ที่อย่างน้อยหนึ่งพจน์เป็นกระบวนการเชิงสุ่ม

• Winplot : โปรแกรมวาดและแสดงภาพเคลื่อนไหวอเนกประสงค์ที่สามารถวาดและสร้างภาพเคลื่อนไหวสมการทางคณิตศาสตร์ทั้งแบบ 2 มิติและ 3 มิติได้
• โปรแกรมสร้างกราฟสมการ : เว็บเพจสำหรับสร้างและดาวน์โหลดไฟล์ PDF หรือ Postscript ที่แสดงกราฟชุดคำตอบของสมการและอสมการสองตัวแปร ( xและy )