ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์เมทริกซ์ Pauliคือชุดของเมทริกซ์เชิงซ้อน สามเมทริกซ์ ที่ไม่มีร่องรอย ( traceless) เป็นเมทริกซ์ เฮอร์มิเชียน ( Hermitian) เป็นเมทริก ซ์ผกผัน (involutory) และ เป็นเมท ริก ซ์เอกภาพ ( unitary ) โดยทั่วไปจะใช้ สัญลักษณ์อักษร กรีก ( ซิกมา ) และบางครั้งใช้สัญลักษณ์( เทา ) เมื่อใช้ร่วมกับสมมาตรไอโซสปิน${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\\\end{aligned}}}$$

เมทริกซ์เหล่านี้ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์โวล์ฟกัง พอลีในกลศาสตร์ควอนตัม เมทริกซ์เหล่านี้ปรากฏในสมการพอลีซึ่งพิจารณาปฏิสัมพันธ์ของสปินของอนุภาคกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ภายนอก นอกจากนี้ยังแสดงถึงสถานะปฏิสัมพันธ์ของตัวกรองโพลาไรเซชันสองตัวสำหรับโพลาไรเซชันแนวนอน/แนวตั้ง โพลาไรเซชัน 45 องศา (ขวา/ซ้าย) และโพลาไรเซชันแบบวงกลม (ขวา/ซ้าย)

เมทริกซ์ Pauli แต่ละเมทริกซ์เป็น เมทริก ซ์ Hermitianและเมื่อรวมกับเมทริกซ์เอกลักษณ์(ซึ่งบางครั้งถือว่าเป็นเมทริกซ์ Pauli ตัวที่ศูนย์) เมทริกซ์ Pauli จะก่อให้เกิดฐานของปริภูมิเวกเตอร์ของเมทริกซ์ Hermitian บนจำนวนจริงภายใต้การบวก ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ Hermitian ใดๆ ก็ สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันในรูปของการรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์ Pauli โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {I} }$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 2\times 2}$

เมทริกซ์ Pauli สอดคล้องกับความสัมพันธ์ผลคูณที่มีประโยชน์:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}\ \sigma _{j}=\delta _{ij}\ \mathbb {I} +i\ \varepsilon _{ijk}\ \sigma _{k}\ ,\end{aligned}}}$$

โดยที่เดลต้าโครเนกเกอร์มีค่าเท่ากับถ้าเป็นอย่างอื่นและใช้ สัญลักษณ์เลวี-ซิวิทา${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

ตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนแสดงถึงปริมาณที่สังเกตได้ในกลศาสตร์ควอนตัม ดังนั้นเมทริกซ์ของเปาลีจึงครอบคลุมพื้นที่ของปริมาณที่สังเกตได้ในปริภูมิฮิลเบิร์ตสองมิติเชิงซ้อนในบริบทของงานของเปาลีแสดงถึงปริมาณที่สังเกตได้ซึ่งสอดคล้องกับสปินตาม แกนพิกัดที่ ใน ปริภูมิยูคลิดสาม มิติ${\displaystyle \sigma _{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

เมทริกซ์ Pauli (หลังจากคูณด้วยเพื่อให้เป็น เมทริกซ์ ต่อต้านเฮอร์มิเชียน ) ยังสร้างการแปลงในความหมายของพีชคณิต Lie ด้วย:เมทริกซ์ , , และเป็นฐานสำหรับพีชคณิต Lie จริงซึ่งยกกำลังไปยังกลุ่มเอกภาพพิเศษSU(2) [ ^{a ] ​​พีชคณิต}ที่สร้างโดยเมทริกซ์ Pauli ทั้งสามตัวเป็นไอโซม อร์ฟิก กับพีชคณิต Cliffordของ^{[ 1 ]}และพีชคณิตแบบเชื่อมโยง (เอกลักษณ์) ที่สร้างโดย , , และ ทำงานเหมือนกัน ( เป็นไอโซมอร์ฟิก ) กับของควอเทอร์เนียน ( ) ${\displaystyle i}$${\displaystyle i\sigma _{1}}$${\displaystyle i\sigma _{2}}$${\displaystyle i\sigma _{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle i\sigma _{1}}$${\displaystyle i\sigma _{2}}$${\displaystyle i\sigma _{3}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

ตารางเคย์ลีย์ ; ค่าในช่องแสดงค่าของแถวคูณด้วยคอลัมน์

×	${\displaystyle \sigma _{x}}$	${\displaystyle \sigma _{y}}$	${\displaystyle \sigma _{z}}$
${\displaystyle \sigma _{x}}$	${\displaystyle I}$	${\displaystyle i\ \sigma _{z}}$	${\displaystyle -i\ \sigma _{y}}$
${\displaystyle \sigma _{y}}$	${\displaystyle -i\ \sigma _{z}}$	${\displaystyle I}$	${\displaystyle i\ \sigma _{x}}$
${\displaystyle \sigma _{z}}$	${\displaystyle i\sigma _{y}}$	${\displaystyle -i\ \sigma _{x}}$	${\displaystyle I}$

เมทริกซ์ Pauli ทั้งสามเมทริกซ์สามารถย่อให้เหลือเพียงนิพจน์เดียวได้:

${\displaystyle \sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\ \delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\ \delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}}~.}$

นิพจน์นี้มีประโยชน์สำหรับการ "เลือก" เมทริกซ์ใดๆ ก็ได้ในเชิงตัวเลข โดยการแทนค่าต่างๆ ลงไป ซึ่งมีประโยชน์เมื่อต้องการใช้เมทริกซ์ใดๆ ก็ได้ (แต่ไม่ใช่เมทริกซ์ใดเมทริกซ์หนึ่งโดยเฉพาะ) ในการคำนวณทางพีชคณิต ${\displaystyle j\in \{1,2,3\}}$

เมทริกซ์เหล่านี้เป็นเมทริกซ์ผกผัน :

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\ \sigma _{1}\ \sigma _{2}\ \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbb {I} ,}$

เมท ริกซ์เอกลักษณ์อยู่ที่ไหน${\displaystyle \mathbb {I} }$

ดีเทอร์มิแนนต์และเทรซของเมทริกซ์เปาลีคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{j}&=-1\ ,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&=0\ ,\end{aligned}}}$

จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าเมทริกซ์แต่ละเมทริกซ์มีค่าไอเกน ${\displaystyle \sigma _{j}}$${\displaystyle \pm 1}$

เมื่อรวมเมทริกซ์เอกลักษณ์(บางครั้งใช้สัญลักษณ์) เข้าไปด้วย เมทริกซ์ Pauli จะก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉาก (ในความหมายของHilbert–Schmidt ) ของ ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตของ เมทริกซ์ เฮอร์มิเชียนเหนือและปริภูมิฮิลเบิร์ต ของ เมทริกซ์เชิงซ้อนทั้งหมดเหนือ ${\displaystyle \mathbb {I} }$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \ {\mathcal {H}}_{2}\ }$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

เมทริกซ์ Pauli เป็นไปตาม ความสัมพันธ์ การสลับตำแหน่ง ดังต่อไปนี้ :

${\displaystyle [\sigma _{j},\sigma _{k}]=2\ i\ \varepsilon _{jkl}\ \sigma _{l}~.}$

ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งเหล่านี้ทำให้เมทริกซ์ Pauli เป็นตัวสร้างของการแสดงแทนของพีชคณิต Lie${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )\ \cong \ {\mathfrak {su}}(2)\ \cong \ {\mathfrak {so}}(3)~.}$

นอกจากนี้ยังสอดคล้องกับ ความสัมพันธ์ แบบต่อต้านการสลับตำแหน่ง ด้วย :

${\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}=2\ \delta _{jk}\ I\ ,}$

โดยที่ถูกกำหนดให้เป็นและδ _jkคือเดลต้าโครเนกเกอร์ I แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 2 × 2${\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}}$${\displaystyle \ \sigma _{j}\ \sigma _{k}+\sigma _{k}\ \sigma _{j}\ ,}$

ความสัมพันธ์แบบผกผันการสลับตำแหน่งเหล่านี้ทำให้เมทริกซ์ Pauli เป็นตัวสร้างของการแสดงแทนของพีชคณิต Cliffordสำหรับที่กำหนดโดย${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ ,}$${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{3}(\mathbb {R} )~.}$

การสร้างตัวสร้างตามปกติโดยใช้พีชคณิตคลิฟฟอร์ดจะทำให้ได้ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งข้างต้นกลับคืนมา โดยมีค่าตัวประกอบเชิงตัวเลขที่ไม่สำคัญ ${\displaystyle \ \sigma _{jk}={\tfrac {1}{4}}[\sigma _{j},\sigma _{k}]\ }$${\displaystyle \ {\mathfrak {so}}(3)\ }$

ตัวอย่างของตัวสลับการทำงานและตัวสลับการทำงานแบบชัดเจนบางส่วนแสดงไว้ด้านล่าง:

ผู้โดยสาร	แอนติคอมมิวเทเตอร์
${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}\ \sigma _{1},\sigma _{1}\ {\bigr ]}&=~~~0\\{\bigl [}\ \sigma _{1},\sigma _{2}\ {\bigr ]}&=2\ i\ \sigma _{3}\\{\bigl [}\ \sigma _{2},\sigma _{3}\ {\bigr ]}&=2\ i\ \sigma _{1}\\{\bigl [}\ \sigma _{3},\sigma _{1}\ {\bigr ]}&=2\ i\ \sigma _{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl \{}\ \sigma _{1},\sigma _{1}\ {\bigr \}}&=2\ I\\{\bigl \{}\ \sigma _{1},\sigma _{2}\ {\bigr \}}&=~0\\{\bigl \{}\ \sigma _{2},\sigma _{3}\ {\bigr \}}&=~0\\{\bigl \{}\ \sigma _{3},\sigma _{1}\ {\bigr \}}&=~0\end{aligned}}}$

เมทริกซ์ Pauli ( เฮอร์มิเชียน ) แต่ละเมทริกซ์มีค่าไอเกน สองค่า คือ และ เวกเตอร์ไอเกนที่ปรับให้เป็นมาตรฐานที่สอดคล้องกันคือ ${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}},\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

เวกเตอร์ Pauli ถูกกำหนดโดย^{[ b ]} โดยที่, , และเป็นสัญลักษณ์ที่เทียบเท่ากับ, , และ ที่คุ้นเคยมากกว่า$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{1}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}+\sigma _{2}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}+\sigma _{3}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{3},}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}}_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {y}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {z}}}}$

เวกเตอร์ Pauli ให้กลไกการแมปจากฐานเวกเตอร์ไปยังฐานเมทริกซ์ Pauli ^{[ 2 ]}ดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}&=\sum _{k,l}a_{k}\,\sigma _{\ell }\,{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\&=\sum _{k}a_{k}\,\sigma _{k}\\&={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$$

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น นี่คือการกำหนดแผนที่จากไปยังปริมาณเวกเตอร์ของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนไร้ร่องรอย แผนที่นี้เข้ารหัสโครงสร้างของในฐานะปริมาณเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน และ ในฐานะพีชคณิตลี (โดยมีผลคูณไขว้เป็นวงเล็บลี) ผ่านฟังก์ชันของเมทริกซ์ ทำให้แผนที่นี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี ซึ่งทำให้เมทริกซ์ของเปาลีมีความสัมพันธ์กันในมุมมองของทฤษฎีการแทน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

อีกวิธีหนึ่งในการมองเวกเตอร์ Pauli คือการมองว่าเป็นเวกเตอร์คู่ที่มีค่าเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนไร้ร่องรอย นั่นคือ เป็นองค์ประกอบของ เมทริกซ์ที่ แมปเวกเตอร์ Pauli${\displaystyle \ 2\times 2\ }$${\displaystyle \ \mathrm {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}\ }$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\mapsto {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

แต่ละองค์ประกอบของสามารถกู้คืนได้จากเมทริกซ์ (ดูความสัมพันธ์ความสมบูรณ์ด้านล่าง) ซึ่งถือเป็นการผกผันของแผนที่ทำให้เห็นได้ชัดว่าแผนที่ เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl [}{\bigl (}\ {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\ {\bigr )}\ {\boldsymbol {\sigma }}\ {\Bigr ]}={\boldsymbol {a}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\mapsto {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$

ค่ามาตรฐานกำหนดโดยดีเทอร์มิแนนต์ (โดยไม่รวมเครื่องหมายลบ) จากนั้น เมื่อพิจารณาการกระทำแบบคอนจูเกชันของเมทริกซ์บนปริภูมิของเมทริกซ์นี้ $${\displaystyle \det \!{\bigl (}\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}\ =\ -{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}\ =\ -\left|\ {\vec {a}}\ \right|^{2}~.}$$${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ :=\ U\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ U^{-1}\ ,}$

เราพบว่าและนั่นคือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและไม่มีร่องรอย ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะกำหนดโดยที่มีบรรทัดฐานเดียวกันกับและจึงตีความได้ว่าเป็นการหมุนของปริภูมิสามมิติ อันที่จริง ปรากฏว่า ข้อจำกัด พิเศษบน บ่งชี้ว่าการหมุนนั้นรักษาทิศทางไว้ ซึ่งทำให้สามารถกำหนดแผนที่ที่กำหนดโดย ${\displaystyle \ \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ =\ \det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ ,}$${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$${\displaystyle \ {\vec {a}}'\ }$${\displaystyle {\vec {a}},}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \ R:\mathrm {SU} (2)\to \mathrm {SO} (3)\ }$

${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ =:\ (R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$

แผนที่นี้เป็นการนำหลักการปกคลุมสองชั้นของมาใช้ในทางปฏิบัติและแสดงให้เห็นว่าส่วนประกอบของสามารถกู้คืนได้โดยใช้กระบวนการติดตามข้างต้น: ${\displaystyle \ R(U)\ \in \ \mathrm {SO} (3)~.}$${\displaystyle \ \mathrm {SO} (3)\ }$${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ ,}$${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ \cong \ \mathrm {Spin} (3)~.}$${\displaystyle R(U)}$

${\displaystyle \ R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \!\left(\ \sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\ \right)~.}$

ผลคูณไขว้กำหนดโดยตัวสลับเมทริกซ์ (โดยมีตัวประกอบ) ในความเป็นจริง การมีอยู่ของนอร์มเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นพีชคณิตลี (ดูรูปแบบคิลลิง ) ${\displaystyle \ 2\ i\ }$$${\displaystyle \left[\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},\ {\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\ \right]=2\ i\ \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}~.}$$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ }$

ผลคูณเชิงเวกเตอร์นี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติการรักษาทิศทางของแผนที่ข้างต้นได้

ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริก ซ์นี้ คือซึ่งเป็นผลมาจากการที่เมทริกซ์ไม่มีร่องรอย (tracelessness) และการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อย่างชัดเจน ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}$

กล่าวโดยสรุป โดยไม่ต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งต้องอาศัยคุณสมบัติที่ชัดเจนของเมทริกซ์ Pauli ผลลัพธ์นี้ได้มาจากการที่สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น ผลลัพธ์มาตรฐานในพีชคณิตเชิงเส้น (แผนที่เชิงเส้นที่สอดคล้องกับสมการพหุนามที่เขียนด้วยตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกันสามารถทำให้เป็นเมทริก ซ์ทแยงมุมได้ ) หมายความว่าเมทริกซ์นี้สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ โดยมีค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นไปได้ การที่เมทริกซ์ไม่มีร่องรอยหมายความว่าเมทริกซ์ นี้ มีค่าลักษณะเฉพาะแต่ละค่าเพียงค่าเดียวเท่านั้น ${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,}$${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0~.}$${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}$${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ปรับให้เป็นมาตรฐานคือ นิพจน์เหล่านี้จะกลายเป็นเอกฐานสำหรับสามารถแก้ไขได้โดยการกำหนดให้และหาลิมิตซึ่งจะได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ถูกต้อง(0,1)และ(1,0)ของ$${\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}}\ ;\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.}$$${\displaystyle \ a_{3}\to -\left|\ {\vec {a}}\ \right|~.}$${\displaystyle {\vec {a}}=\left|\ {\vec {a}}\ \right|\left(\epsilon ,\ 0,\ -\left(1-{\tfrac {\epsilon ^{2}}{2}}\right)\right)\ }$${\displaystyle \ \epsilon \to 0\ ,}$${\displaystyle \ \sigma _{z}~.}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือการใช้พิกัดทรงกลมเพื่อหาเวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะ และ${\displaystyle \ {\vec {a}}=a\ {\bigl (}\ \sin \vartheta \ \cos \varphi ,\ \sin \vartheta \ \sin \varphi ,\ \cos \vartheta \ {\bigr )}\ }$${\displaystyle \ \psi _{+}=\left(\ \cos {\tfrac {\vartheta }{2}},\;\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{+i\varphi }\ \right)\ }$${\displaystyle \ \psi _{-}=\left(\ -\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{-i\varphi },\;\cos {\tfrac {\vartheta }{2}}\ \right)~.}$

เวกเตอร์ 4 มิติของ Pauli ซึ่งใช้ในทฤษฎีสปินเนอร์ เขียนด้วยส่วนประกอบต่างๆ ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }$

${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }={\bigl (}\ I,\ {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.}$

นี่เป็นการกำหนดแผนที่จากไปยังปริมาณเวกเตอร์ของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ }$

${\displaystyle \ x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,}$

ซึ่งยังเข้ารหัสเมตริกมินคอฟสกี (โดยส่วนใหญ่ใช้สัญลักษณ์ลบ ) ไว้ในดีเทอร์มิแนนต์ด้วย:

${\displaystyle \ \det {\bigl (}\ x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ {\bigr )}=\eta (x,x)~.}$

เวกเตอร์ 4 มิติ นี้ยังมีความสัมพันธ์ของความสมบูรณ์ด้วย จึงเป็นการสะดวกที่จะกำหนดเวกเตอร์ 4 มิติของ Pauli ตัวที่สองขึ้นมา

${\displaystyle \ {\bar {\sigma }}^{\mu }={\bigl (}\ I,-{\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.}$

และอนุญาตให้เพิ่มและลดโดยใช้เทนเซอร์เมตริกมินคอฟสกี ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle \ x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!{\Bigl (}\ {\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}\ {\Bigr )}~.}$$

ในทำนองเดียวกันกับกรณีเวกเตอร์ 3 ตัวของ Pauli เราสามารถหาเมทริกซ์กลุ่มที่ทำหน้าที่เป็นไอโซเมตรีบนในกรณีนี้เมทริกซ์กลุ่มคือและสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า ในทำนองเดียวกันกับข้างต้น สิ่งนี้สามารถรับรู้ได้อย่างชัดเจนสำหรับที่มีส่วนประกอบ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ ;}$${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,}$${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ \cong \ \mathrm {Spin} (1,3)~.}$${\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }$

${\displaystyle \ \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!\left(\ {\bar {\sigma }}_{\nu }\ S\ \sigma ^{\mu }\ S^{\dagger }\ \right)~.}$

อันที่จริง คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ได้มาจากการคุณสมบัติของร่องรอย (trace properties) ของเมทริกซ์อย่างเป็นนามธรรมสำหรับเมทริกซ์นั้น เอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }~.}$${\displaystyle \ 2\times 2\ }$

${\displaystyle \ \det(\ A+B\ )\ =\ \det(A)\ +\ \det(B)\ +\ \operatorname {tr} (A)\ \operatorname {tr} (B)\ -\ \operatorname {tr} (\ A\ B\ )~.}$

นั่นคือ 'พจน์ไขว้' สามารถเขียนได้ในรูปของร่องรอย เมื่อเลือกให้แตกต่างกันพจน์ไขว้จะหายไป จากนั้นจึงแสดงผลรวมอย่างชัดเจน เนื่องจากเมทริกซ์เป็นดังนี้ จึงเท่ากับ${\displaystyle \ A,B\ }$${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,}$${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}$${\displaystyle \ 2\times 2\ ,}$${\textstyle \ \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x)~.}$

เวกเตอร์ของ Pauli แปลงความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งและการสลับตำแหน่งตรงข้ามเหล่านี้ไปเป็นผลคูณเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันอย่างสวยงาม การเพิ่มตัวสลับตำแหน่งเข้ากับตัวสลับตำแหน่งตรงข้ามจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}$

ดังนั้น

เมื่อรวมแต่ละด้านของสมการกับส่วนประกอบของ เวกเตอร์ 3มิติ สองตัว a _pและb _q (ซึ่งสลับที่ได้กับเมทริกซ์ Pauli กล่าวคือa _p σ _q = σ _q a _p )สำหรับแต่ละเมทริกซ์σ _qและส่วนประกอบเวกเตอร์a _p (และในทำนองเดียวกันกับb _q ) จะได้

${\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}~.}$

สุดท้าย การแปลสัญลักษณ์ดัชนีสำหรับผลคูณจุดและผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

ถ้าiถูกระบุด้วยค่าสเกลาร์เทียมσ _x σ _y σ _zแล้ว ด้านขวามือจะกลายเป็นซึ่งเป็นนิยามของผลคูณของเวกเตอร์สองตัวในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตด้วย ${\displaystyle \ a\cdot b+a\wedge b\ ,}$

ถ้าเรากำหนดตัวดำเนินการสปินเป็นJ = ⁠ชม/2ถ้าσเป็นจริง Jจะสอดคล้องกับความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง:หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ Pauli จะสอดคล้องกับ:$${\displaystyle \ \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\ \hbar \mathbf {J} \ }$$$${\displaystyle \ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i\ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}~.}$$

ร่องรอยต่อไปนี้สามารถหาได้โดยใช้ความสัมพันธ์การสลับที่และการสลับที่ไม่ตรงกัน

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\,\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\,\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\,\delta _{km}+\delta _{jm}\,\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}~.}$

หาก พิจารณา เมทริกซ์ ด้วย ความสัมพันธ์เหล่านี้จะกลายเป็น${\displaystyle \sigma _{0}=\mathbb {I} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}~.}$$

โดยที่ดัชนีภาษากรีกและสมมติค่าจากและสัญลักษณ์นี้ใช้เพื่อแสดงผลรวมของการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรของดัชนีที่รวมอยู่ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \{0,x,y,z\}}$${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$

สำหรับ

${\displaystyle {\vec {a}}=a\ {\hat {n}},\quad \left|\ {\hat {n}}\ \right|=1\ ,}$

สำหรับเลขชี้กำลังคู่ จะได้2p โดยที่p = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle \ ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I\ ,}$

ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ก่อนสำหรับ กรณี p = 1โดยใช้ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบผกผัน เพื่อความสะดวก กรณีp = 0จะถูกกำหนดให้เป็นIตามข้อตกลง

สำหรับเลขยกกำลังคี่2q + 1 , q = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle \ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~.}$

การยกกำลังเมทริกซ์และการใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}~.}$

ในบรรทัดสุดท้าย ผลรวมแรกคือค่าโคไซน์ ส่วนผลรวมที่สองคือค่าไซน์ ดังนั้น ในที่สุดแล้ว

ซึ่งคล้ายคลึงกับสูตรของออยเลอร์ที่ขยายไปใช้กับควอเทอร์เนียนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle e^{i\ a\ \sigma _{1}}={\begin{pmatrix}\cos a&i\ \sin a\\i\ \sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{2}}={\begin{pmatrix}\cos a&\sin a\\-\sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{3}}={\begin{pmatrix}e^{i\ a}&0\\0&e^{-i\ a}\end{pmatrix}}~.}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle \det \!\left[\ i\ a\ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \right]=a^{2}\ ,}$

ในขณะที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเลขชี้กำลังนั้นมีค่าเพียง1ซึ่งทำให้มันเป็นองค์ประกอบกลุ่มทั่วไปของSU(2 )

สูตร(2) เวอร์ชันนามธรรมมากขึ้น สำหรับ เมทริกซ์ 2 × 2 ทั่วไป สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล สูตร (2)เวอร์ชันทั่วไปสำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์ (ที่aและ−a ) ได้รับการจัดเตรียมโดยการประยุกต์ใช้ ^สูตรของซิลเวสเตอร์ [ ^{3 ]}

${\displaystyle \ f(\ a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\ )\ =\ I\ {\frac {\ f(+a)+f(-a)\ }{2}}\ +\ {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\frac {\ f(+a)-f(-a)\ }{2}}~.}$

การประยุกต์ใช้สูตร(2) โดยตรง จะให้การกำหนดพารามิเตอร์ของกฎการประกอบของกลุ่มSU(2) [ ^{c ] สามารถ}แก้หาc ได้โดยตรง ใน $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\ a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}\ e^{i\ b\ \left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\ \left(\ \cos a\ \cos b\ -\ {\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\ \sin a\ \sin b\ \right)\ +\ i\ \left(\ {\hat {n}}\ \sin a\ \cos b\ +\ {\hat {m}}\ \sin b\ \cos a\ -\ {\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\ \sin b\ \right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\ \cos {c}\ +\ i\ \left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \sin c\\&=e^{i\ c\ \left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}\ ,\end{aligned}}}$$

ซึ่งระบุการคูณกลุ่มทั่วไป โดยที่เห็นได้ชัดว่าเป็น กฎโคไซน์ทรงกลมเมื่อกำหนดcแล้ว $${\displaystyle \ \cos c=\cos a\ \cos b\ -\ {\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\ \sin a\ \sin b\ ,}$$$${\displaystyle \ {\hat {k}}\ =\ {\frac {1}{\sin c}}\ \left(\ {\hat {n}}\ \sin a\ \cos b\ +\ {\hat {m}}\ \sin b\ \cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\ \sin a\ \sin b\ \right)~.}$$

ดังนั้น พารามิเตอร์การหมุนแบบผสมในองค์ประกอบกลุ่มนี้ (รูปแบบปิดของการขยาย BCH ที่เกี่ยวข้อง ในกรณีนี้) จึงมีค่าเท่ากับ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \ e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right)~.}$$

(แน่นอน เมื่อขนานกับและc = a + b ก็จะขนานกับ เช่นกัน)${\displaystyle \ {\hat {n}}\ }$${\displaystyle \ {\hat {m}}\ ,}$${\displaystyle \ {\hat {k}}\ }$

นอกจากนี้ ยังสามารถคำนวณการกระทำผกผันบนเวกเตอร์ Pauli ได้อย่างง่ายดายเช่นกัน กล่าวคือ การหมุนเป็นมุมใดๆตามแกนใดๆ: ${\displaystyle a}$${\displaystyle {\hat {n}}}$$${\displaystyle R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}$$

การหาผลคูณดอทของเวกเตอร์หน่วยใดๆ กับสูตรข้างต้น จะสร้างนิพจน์ของตัวดำเนินการคิวบิตเดี่ยวใดๆ ภายใต้การหมุนใดๆ ตัวอย่างเช่น สามารถแสดงได้ว่า${\textstyle \ R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}~.}$

สัญกรณ์ทางเลือกที่ใช้กันทั่วไปสำหรับเมทริกซ์ Pauli คือการเขียนดัชนีเวกเตอร์k ไว้ในตัวยก และดัชนีเมทริกซ์เป็นตัวห้อย ดังนั้นองค์ประกอบในแถวαและคอลัมน์βของ เมทริกซ์ Pauli ตัวที่ kคือσ ^k _αβ

ในสัญลักษณ์นี้ความสัมพันธ์ความสมบูรณ์สำหรับเมทริกซ์ Pauli สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\ \delta _{\gamma \delta }~.}$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญลักษณ์ σ 0 แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 2 × 2 ดังนั้นσ ₀ αβ = δ ^αβ _ความสัมพันธ์ของ_ความสมบูรณ์สามารถแสดงได้อีกแบบหนึ่งดังนี้ $${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }~.}$$

ข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเชิงซ้อน 2 × 2 ใดๆ สามารถแสดงได้ในรูปของเมทริกซ์เอกลักษณ์และเมทริกซ์เปาลี ยังนำไปสู่ การแสดง ทรงกลมบล็อก ของเมทริกซ์ความหนาแน่น ของสถานะผสม 2 × 2 ( เมทริกซ์ 2 × 2 ที่เป็นบวกกึ่งกำหนดและมีร่องรอยเท่ากับ 1) สิ่งนี้สามารถเห็นได้โดยการแสดงเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนใดๆ เป็นผลรวมเชิงเส้นจริงของ{ σ ₀ , σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ } ดังข้างต้น แล้วจึงกำหนด เงื่อนไข บวกกึ่งกำหนดและร่องรอยเท่ากับ 1

สำหรับสถานะบริสุทธิ์ในพิกัดเชิงขั้วเมทริกซ์ความหนาแน่น เอกลักษณ์$${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$$

กระทำต่อเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของสถานะที่มีค่าลักษณะเฉพาะ +1 ดังนั้นจึงทำหน้าที่เหมือนตัวดำเนินการฉายภาพ ${\displaystyle \ {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)&e^{+i\phi }\ \sin \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)\end{pmatrix}}\ }$

ให้P _jkเป็นการสลับตำแหน่ง (หรือเรียกอีกอย่างว่าการเรียงสับเปลี่ยน) ระหว่างสปินσ _jและσ _k สองตัว ที่อยู่ในปริภูมิผลคูณเทนเซอร์⁠ ⁠ ,${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .}$

ตัวดำเนินการนี้สามารถเขียนได้อย่างชัดเจนยิ่งขึ้นในรูปของตัวดำเนินการแลกเปลี่ยนสปินของ Diracได้ เช่นกัน

${\displaystyle \ P_{jk}={\frac {1}{2}}\ \left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.}$

ดังนั้นค่าไอเกนของมันจึงเป็น^{[ d ]} 1 หรือ −1 จึงสามารถนำไปใช้เป็นเทอมปฏิสัมพันธ์ในแฮมิลโทเนียน โดยแยกค่าไอเกนพลังงานของสถานะไอเกนสมมาตรและสถานะไอเกนปฏิสมมาตรได้

กลุ่มSU(2)คือกลุ่ม Lieของ เมทริกซ์ เอกภาพ2 × 2ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1; พีชคณิต Lie ของกลุ่มนี้ คือเซตของ เมทริกซ์แอนติเฮอร์มิเชียน 2 × 2 ทั้งหมด ที่มีร่องรอยเป็น 0 การคำนวณโดยตรงดังที่กล่าวมาข้างต้นแสดงให้เห็นว่าพีชคณิต Lie คือพีชคณิตจริงสามมิติที่สร้างขึ้นโดยเซต{ iσ _k }ในสัญกรณ์แบบกระชับ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}}$

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\;i\,\sigma _{3}\;\}.}$

ด้วยเหตุนี้iσ _j แต่ละตัว จึงสามารถมองได้ว่าเป็นตัวสร้างอนันต์ของ SU(2) องค์ประกอบของ SU(2) คือเลขชี้กำลังของการรวมเชิงเส้นของตัวสร้างทั้งสามนี้ และคูณกันตามที่ระบุไว้ข้างต้นในการอธิบายเวกเตอร์ Pauli แม้ว่าสิ่งนี้จะเพียงพอสำหรับการสร้าง SU(2) แต่มันก็ไม่ใช่การแสดงsu(2) ที่ถูกต้อง เนื่องจากค่าไอเกนของ Pauli ถูกปรับขนาดอย่างไม่เป็นไปตามแบบแผน การทำให้เป็นมาตรฐานตามแบบแผนคือλ = ⁠1/2ดังนั้น​​

${\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\ i\ \sigma _{1}\ }{2}},{\frac {\ i\ \sigma _{2}\ }{2}},{\frac {\ i\ \sigma _{3}\ }{2}}\right\}~.}$

เนื่องจาก SU(2) เป็นกลุ่มกระชับการแยกส่วนแบบคาร์ตัน จึง เป็นแบบไม่สำคัญ

พีชคณิตลีเป็น ไอโซม อร์ฟิกกับพีชคณิตลีซึ่งสอดคล้องกับกลุ่มลีSO(3)ซึ่ง เป็น กลุ่มของการหมุนในปริภูมิสามมิติ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถพูดได้ว่าi σ _jเป็นการทำให้เป็นจริง (และในความเป็นจริง เป็นการทำให้เป็นจริงในมิติที่ต่ำที่สุด) ของ การหมุน อนันต์ในปริภูมิสามมิติ อย่างไรก็ตาม แม้ว่าและจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะพีชคณิตลี แต่SU(2)และSO(3)ไม่ได้เป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะกลุ่มลีSU(2)จริงๆ แล้วเป็นการปกคลุมสองชั้นของSO(3)หมายความว่ามีโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มแบบสองต่อหนึ่งจากSU(2) ↦ SO(3)ดู ความสัมพันธ์ ระหว่างSO(3) และ SU(2 ) ${\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ }$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$${\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ }$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

ปริภูมิเชิงเส้นจริงของ{ I , iσ ₁ , i σ ₂ , i σ ₃ }สมสัณฐานกับพีชคณิตจริงของควอเทอร์เนียน , , ซึ่งแทนด้วยปริภูมิของเวกเตอร์ฐานการแปลงสมสัณฐานจากไปยังเซตนี้กำหนดโดยแผนที่ต่อไปนี้ (โปรดสังเกตเครื่องหมายกลับด้านสำหรับเมทริกซ์ Pauli): ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \ \left\{\;\mathbf {1} ,\ \mathbf {i} ,\ \mathbf {j} ,\ \mathbf {k} \;\right\}~.}$${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$$${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}~.}$$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถสร้างไอโซมอร์ฟิซึมได้โดยใช้แผนที่โดยใช้เมทริกซ์ Pauli ในลำดับย้อนกลับ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.}$