เมทริกซ์ Pauli ( เฮอร์มิเชียน ) แต่ละเมทริกซ์มีค่าไอเกน สองค่า :${\displaystyle \pm 1}$เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ปรับให้เป็นมาตรฐาน ที่สอดคล้องกันคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}},\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

แต่ละส่วนประกอบของ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$สามารถกู้คืนได้จากเมทริกซ์ (ดูความสัมพันธ์ความสมบูรณ์ด้านล่าง) $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl [}{\bigl (}\ {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\ {\bigr )}\ {\boldsymbol {\sigma }}\ {\Bigr ]}={\boldsymbol {a}}}$$ สิ่งนี้ถือเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับแผนที่${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\mapsto {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าแผนที่นี้เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection)

ค่ามาตรฐานกำหนดโดยดีเทอร์มิแนนต์ (โดยไม่รวมเครื่องหมายลบ) $${\displaystyle \det \!{\bigl (}\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}\ =\ -{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}\ =\ -\left|\ {\vec {a}}\ \right|^{2}~.}$$ จากนั้น พิจารณาการกระทำการผันคำกริยาของ${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ }$เมทริกซ์${\displaystyle U}$บนปริภูมิของเมทริกซ์นี้

${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ :=\ U\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ U^{-1}\ ,}

เราพบว่า${\displaystyle \ \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ =\ \det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ ,}$และนั่น${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$เป็นแบบเฮอร์มิเชียนและไร้ร่องรอย ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะกำหนด${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$ที่ไหน${\displaystyle \ {\vec {a}}'\ }$มีมาตรฐานเดียวกันกับ${\displaystyle {\vec {a}},}$และด้วยเหตุนี้จึงตีความได้${\displaystyle U}$ในฐานะการหมุนของพื้นที่สามมิติ ในความเป็นจริง ปรากฏว่าข้อจำกัดพิเศษ เกี่ยวกับ${\displaystyle U}$หมายความว่าการหมุนนั้นรักษาทิศทางไว้ ซึ่งทำให้สามารถกำหนดแผนที่ได้${\displaystyle \ R:\mathrm {SU} (2)\to \mathrm {SO} (3)\ }$มอบให้โดย

${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ =:\ (R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$

ที่ไหน${\displaystyle \ R(U)\ \in \ \mathrm {SO} (3)~.}$แผนที่นี้คือการนำแนวคิดปกสองชั้นมาใช้ให้เป็นรูปธรรม${\displaystyle \ \mathrm {SO} (3)\ }$โดย${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ ,}$และด้วยเหตุนี้จึงแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ \cong \ \mathrm {Spin} (3)~.}$ส่วนประกอบของ${\displaystyle R(U)}$สามารถกู้คืนได้โดยใช้กระบวนการติดตามข้างต้น:

${\displaystyle \ R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \!\left(\ \sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\ \right)~.}$

ผลคูณไขว้กำหนดโดยตัวสลับเมทริกซ์ (โดยมีตัวประกอบ)${\displaystyle \ 2\ i\ }$) $${\displaystyle \left[\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},\ {\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\ \right]=2\ i\ \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}~.}$$ อันที่จริง การมีอยู่ของบรรทัดฐานเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ }$เป็นพีชคณิตลี (ดูรูปแบบคิลลิง )

ผลคูณเชิงเวกเตอร์นี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติการรักษาทิศทางของแผนที่ข้างต้นได้

ค่าไอเกนของ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$เป็น${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}$สิ่งนี้เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากหลักการไร้ร่องรอยและการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์อย่างชัดเจน

กล่าวโดยสรุป โดยไม่ต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งต้องอาศัยคุณสมบัติที่ชัดเจนของเมทริกซ์ Pauli ข้อสรุปนี้จึงได้มาจาก${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,}$เนื่องจากสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0~.}$ผลลัพธ์มาตรฐานในพีชคณิตเชิงเส้น (แผนที่เชิงเส้นที่สอดคล้องกับสมการพหุนามที่เขียนด้วยตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกันสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ) หมายความว่าสิ่งนี้บ่งชี้ว่า${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ โดยมีค่าไอเกนที่เป็นไปได้${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}$ความไร้ร่องรอยของ${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$หมายความว่ามีค่าไอเกนแต่ละค่าเพียงหนึ่งค่าเท่านั้น

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ปรับให้เป็นมาตรฐานของมันคือ $${\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}}\$$ ;\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.} นิพจน์เหล่านี้กลายเป็นเอกฐานสำหรับ${\displaystyle \ a_{3}\to -\left|\ {\vec {a}}\ \right|~.}$พวกมันสามารถได้รับการช่วยเหลือได้โดยการปล่อยให้${\displaystyle {\vec {a}}=\left|\ {\vec {a}}\ \right|\left(\epsilon ,\ 0,\ -\left(1-{\tfrac {\epsilon ^{2}}{2}}\right)\right)\ }$และการหาค่าลิมิต${\displaystyle \ \epsilon \to 0\ ,}$ซึ่งให้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ถูกต้อง(0,1)และ(1,0)ของ${\displaystyle \ \sigma _{z}~.}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือการใช้พิกัดทรงกลม${\displaystyle \ {\vec {a}}=a\ {\bigl (}\ \sin \vartheta \ \cos \varphi ,\ \sin \vartheta \ \sin \varphi ,\ \cos \vartheta \ {\bigr )}\ }$เพื่อให้ได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ${\displaystyle \ \psi _{+}=\left(\ \cos {\tfrac {\vartheta }{2}},\;\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{+i\varphi }\ \right)\ }$และ${\displaystyle \ \psi _{-}=\left(\ -\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{-i\varphi },\;\cos {\tfrac {\vartheta }{2}}\ \right)~.}$

เวกเตอร์ 4 มิติของ Pauli ซึ่งใช้ในทฤษฎีสปินเนอร์ เขียนได้ดังนี้${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }$ด้วยส่วนประกอบ

${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }={\bigl (}\ I,\ {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.}$

นี่เป็นการกำหนดแผนที่จาก${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ }$ไปยังปริภูมิเวกเตอร์ของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน

${\displaystyle \ x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,}$

ซึ่งยังเข้ารหัสเมตริกมินคอฟสกี (โดยส่วนใหญ่ใช้สัญลักษณ์ลบ ) ไว้ในดีเทอร์มิแนนต์ด้วย:

${\displaystyle \ \det {\bigl (}\ x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ {\bigr )}=\eta (x,x)~.}$

เวกเตอร์ 4 มิติ นี้ยังมีความสัมพันธ์ของความสมบูรณ์ด้วย จึงเป็นการสะดวกที่จะกำหนดเวกเตอร์ 4 มิติของ Pauli ตัวที่สองขึ้นมา

${\displaystyle \ {\bar {\sigma }}^{\mu }={\bigl (}\ I,-{\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.}$

และอนุญาตให้เพิ่มและลดโดยใช้เทนเซอร์เมตริกมินคอฟสกี ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle \ x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!{\Bigl (}\ {\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}\ {\Bigr )}~.}$$

ในทำนองเดียวกันกับกรณีเวกเตอร์ 3 ตัวของ Pauli เราสามารถหาเมทริกซ์กลุ่มที่ทำหน้าที่เป็นไอโซเมตรีบนได้${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\$ ในกรณีนี้ กลุ่มเมทริกซ์คือ ${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,}$และสิ่งนี้แสดงให้เห็น${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ \cong \ \mathrm {Spin} (1,3)~.}$เช่นเดียวกับข้างต้น สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้อย่างชัดเจนสำหรับ${\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }$ด้วยส่วนประกอบ

${\displaystyle \ \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!\left(\ {\bar {\sigma }}_{\nu }\ S\ \sigma ^{\mu }\ S^{\dagger }\ \right)~.}$

ในความเป็นจริง คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์เป็นผลสืบเนื่องมาจากคุณสมบัติของร่องรอยอย่างเป็นนามธรรม${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }~.}$สำหรับ${\displaystyle \ 2\times 2\ }$สำหรับเมทริกซ์ เอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง:

${\displaystyle \ \det(\ A+B\ )\ =\ \det(A)\ +\ \det(B)\ +\ \operatorname {tr} (A)\ \operatorname {tr} (B)\ -\ \operatorname {tr} (\ A\ B\ )~.}$

กล่าวคือ 'พจน์ไขว้' สามารถเขียนได้ในรูปของร่องรอย เมื่อ${\displaystyle \ A,B\ }$ถูกเลือกให้แตกต่าง${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,}$พจน์ไขว้หายไป จากนั้นจึงแสดงผลรวมอย่างชัดเจนดังนี้ ${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}$เนื่องจากเมทริกซ์เป็น${\displaystyle \ 2\times 2\ ,}$สิ่งนี้เท่ากับ${\textstyle \ \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x)~.}$

เวกเตอร์ของ Pauli แปลงความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งและการสลับตำแหน่งตรงข้ามเหล่านี้ไปเป็นผลคูณเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันได้อย่างสวยงาม การเพิ่มตัวสลับตำแหน่งเข้ากับตัวสลับตำแหน่งตรงข้ามจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}$

ดังนั้น

เมื่อรวมแต่ละด้านของสมการกับส่วนประกอบของ เวกเตอร์ 3มิติ สองตัว a และb (ซึ่งสลับที่ได้กับเมทริกซ์ Pauli กล่าวคือa σ = σ a )สำหรับแต่ละเมทริกซ์σ และส่วนประกอบเวกเตอร์a (และในทำนองเดียวกันกับb ) จะได้

${\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}~.}$

สุดท้าย การแปลสัญลักษณ์ดัชนีสำหรับผลคูณจุดและผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

ถ้าiถูกระบุด้วยค่าเสมือนสเกลาร์σ σ σ แล้ว ด้านขวามือจะกลายเป็น${\displaystyle \ a\cdot b+a\wedge b\ ,}$ซึ่งเป็นนิยามของผลคูณของเวกเตอร์สองตัวในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตด้วยเช่นกัน

ถ้าเรากำหนดตัวดำเนินการสปินเป็นJ = ⁠ ħ / 2 ⁠ σแล้วJจะสอดคล้องกับความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งดังนี้:$${\displaystyle \ \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\ \hbar \mathbf {J} \ }$$หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ของ Pauli จะสอดคล้องกับเงื่อนไขดังต่อไปนี้:$${\displaystyle \ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i\ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}~.}$$

ร่องรอยต่อไปนี้สามารถหาได้โดยใช้ความสัมพันธ์การสลับที่และการสลับที่ไม่ตรงกัน

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\,\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\,\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\,\delta _{km}+\delta _{jm}\,\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}~.}$

ถ้าเมทริกซ์ ${\displaystyle \sigma _{0}=\mathbb {I} }$เมื่อพิจารณาถึงความสัมพันธ์เหล่านี้ด้วยแล้ว ความสัมพันธ์เหล่านี้ก็จะกลายเป็น

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}~.}$$

โดยที่ดัชนีกรีก${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$และ${\displaystyle \mu }$สมมติค่าจาก${\displaystyle \{0,x,y,z\}}$และสัญลักษณ์${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$ใช้เพื่อแสดงผลรวมของการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรของดัชนีที่รวมอยู่

สำหรับ

${\displaystyle {\vec {a}}=a\ {\hat {n}},\quad \left|\ {\hat {n}}\ \right|=1\ ,}$

สำหรับเลขชี้กำลังคู่ จะได้2p โดยที่p = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle \ ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I\ ,}$

ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ก่อนสำหรับ กรณี p = 1โดยใช้ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบผกผัน เพื่อความสะดวก กรณีp = 0จะถูกกำหนดให้เป็นIตามข้อตกลง

สำหรับเลขยกกำลังคี่2q + 1 , q = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle \ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~.}$

การยกกำลังเมทริกซ์และการใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}~.}$

ในบรรทัดสุดท้าย ผลรวมแรกคือค่าโคไซน์ ส่วนผลรวมที่สองคือค่าไซน์ ดังนั้น ในที่สุดแล้ว

ซึ่งคล้ายคลึงกับสูตรของออยเลอร์ที่ขยายไปใช้กับควอเทอร์เนียนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle e^{i\ a\ \sigma _{1}}={\begin{pmatrix}\cos a&i\ \sin a\\i\ \sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{2}}={\begin{pmatrix}\cos a&\sin a\\-\sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{3}}={\begin{pmatrix}e^{i\ a}&0\\0&e^{-i\ a}\end{pmatrix}}~.}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle \det \!\left[\ i\ a\ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \right]=a^{2}\ ,}$

ในขณะที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเลขชี้กำลังนั้นมีค่าเพียง1ซึ่งทำให้มันเป็นองค์ประกอบกลุ่มทั่วไปของSU(2 )

สูตร(2) เวอร์ชันนามธรรมมากขึ้น สำหรับ เมทริกซ์ 2 × 2 ทั่วไป สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล สูตร (2)เวอร์ชันทั่วไปสำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์ (ที่aและ−a ) ได้รับการจัดเตรียมโดยการประยุกต์ใช้ ^สูตรของซิลเวสเตอร์ [ ^{3 ]}

${\displaystyle \ f(\ a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\ )\ =\ I\ {\frac {\ f(+a)+f(-a)\ }{2}}\ +\ {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\frac {\ f(+a)-f(-a)\ }{2}}~.}$

สัญกรณ์ทางเลือกที่ใช้กันทั่วไปสำหรับเมทริกซ์ Pauli คือการเขียนดัชนีเวกเตอร์k ไว้ในตัวยก และดัชนีเมทริกซ์เป็นตัวห้อย ดังนั้นองค์ประกอบในแถวαและคอลัมน์βของ เมทริกซ์ Pauli ตัวที่ kคือσ ^k

ในสัญลักษณ์นี้ความสัมพันธ์ความสมบูรณ์สำหรับเมทริกซ์ Pauli สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\ \delta _{\gamma \delta }~.}$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญลักษณ์ σ 0 แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด 2 × 2 ดังนั้นσ αβ = δ ^αβ สัมพันธ์ของสมบูรณ์สามารถแสดงได้อีกแบบหนึ่งดังนี้ $${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }~.}$$

ข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเชิงซ้อน 2 × 2 ใดๆ สามารถแสดงได้ในรูปของเมทริกซ์เอกลักษณ์และเมทริกซ์เปาลี ยังนำไปสู่ การแสดง ทรงกลมบล็อก ของเมทริกซ์ความหนาแน่น ของสถานะผสม 2 × 2 ( เมทริกซ์ 2 × 2 ที่เป็นบวกกึ่งกำหนดและมีร่องรอยเท่ากับ 1) สิ่งนี้สามารถเห็นได้โดยการแสดงเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนใดๆ เป็นผลรวมเชิงเส้นจริงของ{ σ , σ , σ , σ } ดังข้างต้น แล้วจึงกำหนด เงื่อนไขบวกกึ่งกำหนดและร่องรอยเท่ากับ 1

สำหรับสถานะบริสุทธิ์ในพิกัดเชิงขั้ว$${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$เมทริกซ์ความ หนาแน่นเอกลักษณ์$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$$

กระทำต่อเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของสถานะ${\displaystyle \ {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)&e^{+i\phi }\ \sin \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)\end{pmatrix}}\ }$เนื่องจากมีค่าไอเกนเท่ากับ +1 จึงทำหน้าที่เหมือนตัวดำเนินการฉายภาพ

ให้P เป็นการสลับตำแหน่ง (หรือเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน) ระหว่างสปินσ และσ สองตัว ที่อยู่ในปริภูมิผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$⁠ ,

${\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .}$

ตัวดำเนินการนี้สามารถเขียนได้อย่างชัดเจนยิ่งขึ้นในรูปของตัวดำเนินการแลกเปลี่ยนสปินของ Diracได้ เช่นกัน

${\displaystyle \ P_{jk}={\frac {1}{2}}\ \left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.}$

ดังนั้นค่าไอเกนของมันจึงเป็น^{[ d ]} 1 หรือ −1 จึงสามารถนำไปใช้เป็นเทอมปฏิสัมพันธ์ในแฮมิลโทเนียน โดยแยกค่าไอเกนพลังงานของสถานะไอเกนสมมาตรและสถานะไอเกนปฏิสมมาตรได้

พีชคณิตลี${\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ }$มีโครงสร้างสมมาตรกับพีชคณิตลี${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ซึ่งสอดคล้องกับกลุ่ม Lie SO(3)กลุ่มของการหมุน ในปริภูมิสามมิติ กล่าวอีกนัยหนึ่ง อาจกล่าวได้ว่าi σ เป็นการทำให้เป็นจริง (และในความเป็นจริง เป็นการทำให้เป็นจริงในมิติที่ต่ำที่สุด) ของ การหมุน แบบอนันต์ในปริภูมิสามมิติ อย่างไรก็ตาม แม้ว่า${\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ }$และ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$SU(2)และSO(3)เป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะพีชคณิตลี แต่SU(2) และ SO(3) ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะกลุ่มลี SU( 2 ) จริงๆ แล้วเป็นการปกคลุมสองชั้นของ SO(3) หมายความว่ามีโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มแบบสองต่อหนึ่งจากSU(2) ↦ SO(3)ดูความสัมพันธ์ระหว่าง SO(3) และ SU(2 )

ช่วงเชิงเส้นจริงของ{ I , iσ , i σ , i σ }นั้นสมมูลกับพีชคณิตจริงของควอเทอร์เนียน${\displaystyle \mathbb {H} }$ซึ่งแสดงโดยช่วงของเวกเตอร์ฐาน${\displaystyle \ \left\{\;\mathbf {1} ,\ \mathbf {i} ,\ \mathbf {j} ,\ \mathbf {k} \;\right\}~.}$ไอโซมอร์ฟิซึมจาก${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$เซตนี้กำหนดโดยแผนที่ต่อไปนี้ (โปรดสังเกตเครื่องหมายกลับด้านสำหรับเมทริกซ์ Pauli): $${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}~.}$$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถสร้างไอโซมอร์ฟิซึมได้โดยใช้แผนที่โดยใช้เมทริกซ์ Pauli ในลำดับย้อนกลับ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.}$

ในฐานะชุดของบทกวี${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$Uก่อให้เกิดกลุ่มที่สมมาตรกับSU(2)และยังให้วิธีการอธิบายSU(2) อีกวิธีหนึ่งด้วย โฮโมมอร์ฟิซึมแบบสองต่อหนึ่งจากSU(2)ไปยังSO(3)อาจแสดงได้ในรูปของเมทริกซ์ Pauli ในสูตรนี้