ในกลศาสตร์ท้องฟ้าวงโคจร คือ วิถีโค้งของวัตถุ^{[ 1 ]}ภายใต้อิทธิพลของแรงดึงดูด หรือเรียกอีกอย่างว่าการโคจรรอบวงโคจรเนื่องจากเป็นการหมุนรอบแกนที่อยู่นอกตัววัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ตัวอย่างของวงโคจร ได้แก่ วิถีโคจรของดาวเคราะห์รอบดาวฤกษ์ดาวเทียมธรรมชาติรอบดาวเคราะห์ หรือดาวเทียมเทียมรอบวัตถุหรือตำแหน่งในอวกาศ เช่น ดาวเคราะห์ ดวงจันทร์ ดาวเคราะห์น้อย หรือจุดลากรางจ์โดยปกติ วงโคจรหมายถึงวิถีโคจรที่ซ้ำกันอย่างสม่ำเสมอ แม้ว่าอาจหมายถึงวิถีโคจรที่ไม่ซ้ำกันก็ได้ โดยประมาณแล้ว ดาวเคราะห์และดาวเทียมจะโคจรตามวงโคจรวงรีโดยมีจุดศูนย์กลางมวลโคจรอยู่ที่จุดโฟกัสของวงรี^{[ 2 ]}ตามที่อธิบายไว้ในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์

ดาวเคราะห์โคจรรอบดาวฤกษ์ดาวเทียมธรรมชาติโคจรรอบดาวเคราะห์ หรือดาวเทียมเทียมโคจรรอบวัตถุหรือตำแหน่งในอวกาศ เช่น ดาวเคราะห์ ดวงจันทร์ ดาวเคราะห์น้อย หรือจุดลากรางจ์

ในสถานการณ์ส่วนใหญ่ การเคลื่อนที่ในวงโคจรสามารถประมาณได้อย่างเพียงพอด้วยกลศาสตร์ของนิวตันซึ่งอธิบายแรงโน้มถ่วงว่าเป็นแรงที่ปฏิบัติตามกฎกำลังสองผกผัน^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ซึ่งอธิบายแรงโน้มถ่วงว่าเป็นผลมาจากความโค้งของกาลอวกาศ โดยวงโคจร เป็นไปตามเส้นทางจีโอเดสิกทำให้สามารถคำนวณและทำความเข้าใจกลไกการเคลื่อนที่ในวงโคจรได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น

ในอดีต การเคลื่อนที่ปรากฏของดาวเคราะห์ถูกอธิบายโดยนักปรัชญาชาวยุโรปและอาหรับโดยใช้แนวคิดของทรงกลมท้องฟ้าแบบจำลองนี้ตั้งสมมติฐานว่ามีทรงกลมหรือวงแหวนที่เคลื่อนที่ได้อย่างสมบูรณ์แบบซึ่งดาวฤกษ์และดาวเคราะห์ติดอยู่ แบบจำลองนี้ถือว่าท้องฟ้าคงที่ ยกเว้นการเคลื่อนที่ของทรงกลม และพัฒนาขึ้นโดยปราศจากความเข้าใจเรื่องแรงโน้มถ่วง แนวคิดนี้มีต้นกำเนิดมาจากดาราศาสตร์สมัยเฮลเลนิสติกโดยเฉพาะอย่างยิ่งยูโดซัสและอริสโตเติลหลังจากที่การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ได้รับการวัดอย่างแม่นยำมากขึ้น กลไกทางทฤษฎี เช่นวงโคจรชั้นนอกและวงโคจรชั้นในก็ถูกเพิ่มเข้ามาโดยปโตเลมี [ ^{4 ] แม้ว่า}แบบจำลองจะสามารถทำนายตำแหน่งของดาวเคราะห์บนท้องฟ้าได้อย่างแม่นยำพอสมควร แต่ก็จำเป็นต้องมีวงโคจรชั้นในมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อการวัดมีความแม่นยำมากขึ้น ดังนั้นแบบจำลองจึงใช้งานยากขึ้นเรื่อยๆ^{[ 5 ]}เดิมทีเป็นแบบจำลอง โลกเป็นศูนย์กลาง แต่ โคเปอร์นิคัสได้ปรับเปลี่ยนให้ดวงอาทิตย์อยู่ตรงกลางเพื่อช่วยทำให้แบบจำลองง่ายขึ้น แบบจำลองนี้ถูกท้าทายมากขึ้นในช่วงศตวรรษที่ 16 เนื่องจากมีการสังเกตเห็นดาวหางเคลื่อนที่ผ่านทรงกลม^{[ 6 ] [ 7 ]}

พื้นฐานสำหรับการอธิบายวงโคจรสมัยใหม่ได้รับการกำหนดขึ้นครั้งแรกโดยโยฮันเนส เคปเลอร์ซึ่งผลลัพธ์ของเขาสรุปได้ในกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สามข้อ ข้อแรก เขาพบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะเป็นรูปวงรี ไม่ใช่รูปวงกลม (หรือวงโคจรย่อย ) อย่างที่เคยเชื่อกันมาก่อน และดวงอาทิตย์ไม่ได้อยู่ที่ศูนย์กลางของวงโคจร แต่อยู่ที่จุดโฟกัสจุด หนึ่ง ข้อที่สอง เขาพบว่าความเร็วในการโคจรของดาวเคราะห์แต่ละดวงไม่คงที่อย่างที่เคยคิดกันมาก่อน แต่ความเร็วขึ้นอยู่กับระยะห่างของดาวเคราะห์จากดวงอาทิตย์ ข้อที่สาม เคปเลอร์พบความสัมพันธ์สากลระหว่างคุณสมบัติของวงโคจรของดาวเคราะห์ทั้งหมดที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ สำหรับดาวเคราะห์ กำลังสามของระยะห่างจากดวงอาทิตย์จะเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของคาบการโคจร^{[ 8 ]}

ตัวอย่างเช่น ดาวพฤหัสบดีและดาวศุกร์อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ประมาณ 5.2 และ 0.723 AU ตามลำดับ โดยมีคาบการโคจรประมาณ 11.86 และ 0.615 ปีตามลำดับ สัดส่วนนี้เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าอัตราส่วนสำหรับดาวพฤหัสบดีคือ: ^{[ 9 ]}

${\textstyle {\tfrac {5.204^{3}}{11.862^{2}}}\ประมาณ 1.002}$

แทบจะเท่ากับของดาวศุกร์^{[ 10 ]}

${\textstyle {\tfrac {0.723^{3}}{0.615^{2}}}\ประมาณ 0.999}$

สอดคล้องกับความสัมพันธ์ดังกล่าว วงโคจรในอุดมคติที่ตรงตามกฎเหล่านี้เรียกว่าวงโคจรเคปเลอร์

ไอแซค นิวตัน^{ได้ แสดงให้ เห็น}ว่ากฎของเคปเลอร์สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีแรงโน้มถ่วง ของเขา [ ^{11 ]}และโดยทั่วไปแล้ว วงโคจรของวัตถุที่อยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วงจะเป็นภาคตัดกรวย [ ^{12 ]}ภายใต้สมมติฐานของเขาที่ว่าแรงโน้มถ่วงแพร่กระจายในทันที^{[ 13 ]}เพื่อให้สอดคล้องกับกฎข้อที่สามของเคปเลอร์ นิวตันแสดงให้เห็นว่าสำหรับวัตถุสองชิ้น ขนาดของวงโคจร ( a ) คาบการโคจร ( T ) และมวลรวมของพวกมัน ( M ) มีความสัมพันธ์กันดังนี้: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle T^{2}\propto {\frac {a^{3}}{M}}}$

และวัตถุเหล่านั้นโคจรรอบศูนย์กลางมวลร่วม กัน ^{[ 15 ]}ในกรณีที่วัตถุหนึ่งมีมวลมากกว่าอีกวัตถุหนึ่งมาก (เช่นในกรณีของดาวเทียมเทียมที่โคจรรอบดาวเคราะห์) การประมาณค่าศูนย์กลางมวลให้ตรงกับศูนย์กลางของวัตถุที่มีมวลมากกว่าถือเป็นวิธีสะดวก

ความก้าวหน้าในกลศาสตร์นิวตันถูกนำมาใช้เพื่อสำรวจความแปรผันจากสมมติฐานง่ายๆ ที่อยู่เบื้องหลังวงโคจรของเคปเลอร์ เช่น การรบกวนเนื่องจากวัตถุอื่นๆ หรือผลกระทบของวัตถุทรงรีมากกว่าทรงกลมโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ได้พัฒนาแนวทางใหม่ในกลศาสตร์นิวตันโดยเน้นพลังงานมากกว่าแรง^{[ 16 ]}และมีความก้าวหน้าในปัญหาวัตถุสามชิ้นโดยค้นพบจุดลากรางจ์ร่วมกับออยเลอร์ [ ^{17 ] ใน}การพิสูจน์ความถูกต้องของกลศาสตร์คลาสสิกอย่างน่าทึ่ง ในปี 1846 อูร์แบง เลอ แวร์ริเยร์สามารถทำนายตำแหน่งของดาวเนปจูน ได้ โดยอาศัยการรบกวนที่ไม่สามารถอธิบายได้ในวงโคจรของดาวยูเรนัส^{[ 18 ]}

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ในบทความปี 1916 เรื่อง " รากฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป"อธิบายว่าแรงโน้มถ่วงเกิดจากความโค้งของกาลอวกาศและลบล้างสมมติฐานของนิวตันที่ว่าการเปลี่ยนแปลงของแรงโน้มถ่วงแพร่กระจายในทันที สิ่งนี้ทำให้นักดาราศาสตร์ตระหนักว่ากลศาสตร์ของนิวตันไม่ได้ให้ความแม่นยำสูงสุดในการทำความเข้าใจวงโคจร ในทฤษฎีสัมพัทธภาพวงโคจรจะตามวิถีโคจรแบบจีโอเดสิก ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะถูกประมาณได้ดีมากโดยการคาดการณ์ของนิวตัน (ยกเว้นในกรณีที่มีสนามแรงโน้มถ่วงที่รุนแรงมากและความเร็วสูงมาก) แต่ความแตกต่างนั้นสามารถวัดได้ โดยพื้นฐานแล้วหลักฐานเชิงทดลองทั้งหมดที่สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างทฤษฎีต่างๆ ได้นั้น สอดคล้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพภายในความแม่นยำของการวัดเชิงทดลอง^{[ 13 ]}การพิสูจน์ความถูกต้องดั้งเดิมของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปคือสามารถอธิบายปริมาณที่ยังไม่สามารถอธิบายได้ในการเคลื่อนที่ของจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดของดาวพุธซึ่งเลอ แวร์ริเยร์ได้สังเกตเห็นเป็นครั้งแรก^{[ 19 ]}อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาของนิวตันยังคงถูกใช้สำหรับวัตถุประสงค์ระยะสั้นส่วนใหญ่ เนื่องจากใช้งานง่ายกว่ามากและมีความแม่นยำเพียงพอ^{[ 13 ]}

การเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบสุริยะเทียบกับดวงอาทิตย์ ระหว่างปี 2000–2050

จุดใกล้สุดและไกลสุดของวัตถุที่โคจรเป็นวงรีรอบดวงอาทิตย์

ภายในระบบดาวเคราะห์วัตถุที่ไม่ใช่ดาวฤกษ์ต่างๆ จะโคจรเป็นวงรี รอบ จุดศูนย์กลางมวลของระบบวัตถุเหล่านี้ได้แก่ ดาวเคราะห์ดาวเคราะห์แคระ ดาวเคราะห์น้อยและดาวเคราะห์ขนาดเล็กอื่นๆดาวหางอุกกาบาตและแม้แต่ เศษ ซากอวกาศ^{[ 20 ]}ดาวหางที่โคจรเป็นวงพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลารอบจุดศูนย์กลางมวล จะไม่ถูกผูกมัดด้วยแรงโน้มถ่วงกับดาวฤกษ์ ดังนั้นจึงไม่ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของระบบดาวเคราะห์ของดาวฤกษ์นั้น^{[ 21 ]}วัตถุที่ถูกผูกมัดด้วยแรงโน้มถ่วงกับดาวเคราะห์ดวงใดดวงหนึ่งในระบบดาวเคราะห์ รวมถึง ดาว บริวารธรรมชาติดาวบริวารเทียมและวัตถุภายในระบบวงแหวนจะโคจรรอบจุดศูนย์กลางมวลที่อยู่ใกล้หรือภายในดาวเคราะห์ดวงนั้น^{[ 22 ]}

เนื่องจากการรบกวนแรงโน้มถ่วง ซึ่งกันและกัน ความเยื้องศูนย์และความเอียงของวงโคจรของดาวเคราะห์จึงเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา^{[ 23 ]}ดาวพุธซึ่งเป็นดาวเคราะห์ที่เล็กที่สุดในระบบสุริยะ มีวงโคจรที่เยื้องศูนย์มากที่สุด ในยุค ปัจจุบัน ดาวอังคารมีความเยื้องศูนย์มากเป็นอันดับสอง ในขณะที่ดาวศุกร์และดาวเนปจูนมีความเยื้องศูนย์ของวงโคจรน้อยที่สุด^{[ 24 ]}

เนื่องจากวัตถุสองชิ้นโคจรรอบกัน จุดใกล้ที่สุด (periapsis)คือจุดที่วัตถุทั้งสองอยู่ใกล้กันมากที่สุด บางครั้งอาจใช้คำว่า "จุดโฟกัส" หรือ "จุดศูนย์กลางวงโคจร" แทน^{[ 25 ]} จุดไกลที่สุด (apoapsis)คือจุดที่วัตถุทั้งสองอยู่ห่างกันมากที่สุด หรือบางครั้งอาจใช้คำว่า apifocus หรือ apocentron ^{[ 25 ]}เส้นที่ลากจากจุดใกล้ที่สุดไปยังจุดไกลที่สุดเรียกว่า เส้นของจุดไกลที่สุด (line-of-apsides ) ซึ่งเป็นแกนหลักของวงรี เป็นเส้นที่ลากผ่านส่วนที่ยาวที่สุดของวงรี^{[ 26 ]}

มีการใช้คำที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นสำหรับวัตถุเฉพาะ ตัวอย่างเช่น จุดใกล้โลกที่สุด(perigee ) และจุดไกลโลกที่สุด ( apogee) คือจุดที่ต่ำที่สุดและสูงที่สุดของวงโคจรรอบโลก ในขณะที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด (perihelion)และ จุดไกล ดวงอาทิตย์ที่สุด (aphelion ) คือจุดที่ใกล้ที่สุดและไกลที่สุดของวงโคจรรอบดวงอาทิตย์^{[ 27 ]}สิ่งที่โคจร รอบ ดวงจันทร์จะมีจุด ใกล้โลกที่สุด ( perilune ) และ จุดไกลโลกที่สุด ( apolune) (หรือ จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด ( periselene)และ จุดไกลโลกที่สุด (apostelene ) ตามลำดับ) ^{[ 28 ]}วงโคจรรอบดาวฤกษ์ ใดๆ ไม่ใช่แค่ดวงอาทิตย์เท่านั้น จะมีจุดใกล้โลกที่สุด(periastron ) และจุดไกลโลกที่สุด (apastron ) ^{[ 27 ]}

ในกรณีของดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดาวฤกษ์ มวลของดาวฤกษ์และดาวบริวารทั้งหมดจะถูกคำนวณให้อยู่ที่จุดเดียวที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางมวล ดาวบริวารแต่ละดวงของดาวฤกษ์นั้นจะโคจรตามวงรีของตัวเองโดยมีจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีนั้น^{[ 22 ]}ณ จุดใด ๆ ตามวงโคจร ดาวบริวารแต่ละดวงจะมีค่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ที่แน่นอนเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางมวล และผลรวมของพลังงานทั้งสองนี้จะมีค่าคงที่ ณ ทุกจุดตามวงโคจร ดังนั้น เมื่อดาวเคราะห์เข้าใกล้จุดใกล้ที่สุด ความเร็วของดาวเคราะห์จะเพิ่มขึ้นเนื่องจากพลังงานศักย์ลดลง และเมื่อดาวเคราะห์เข้าใกล้จุดไกลที่สุด ความเร็วของดาวเคราะห์จะลดลงเนื่องจากพลังงานศักย์เพิ่มขึ้น^{[ 29 ]}

วงโคจรสามารถอธิบายได้โดยการรวมกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันเข้ากับกฎแรงโน้มถ่วงสากล ของเขา กฎการเคลื่อนที่มีดังนี้: ^{[ 30 ]}

• วัตถุจะคงอยู่ในสภาวะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ เว้นแต่จะมีแรงภายนอกมากระทำ
• ความเร่งที่เกิดขึ้นเมื่อมีแรงกระทำนั้นแปรผันตรงกับแรง และเกิดขึ้นในทิศทางเดียวกับที่แรงกระทำ
• ทุกการกระทำย่อมมีปฏิกิริยาที่เท่ากันและตรงข้ามกัน

ตามกฎการเคลื่อนที่ข้อแรก ในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง วัตถุทางกายภาพจะยังคงเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงเนื่องจากแรงเฉื่อยตามกฎข้อที่สอง แรง เช่น แรงโน้มถ่วง จะดึงวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เข้าหาวัตถุที่เป็นแหล่งกำเนิดของแรงนั้น และทำให้วัตถุเคลื่อนที่ตามวิถี โค้ง หากวัตถุมีความเร็วสัมผัส มากพอ มันจะไม่ตกลงไปในวัตถุที่มีแรงโน้มถ่วง แต่จะสามารถเคลื่อนที่ตามวิถีโค้งที่เกิดจากแรงนั้นได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ในกรณีนี้ วัตถุจะถูกเรียกว่าโคจรรอบวัตถุนั้น ตามกฎข้อที่สาม แต่ละวัตถุจะออกแรงเท่ากันต่ออีกวัตถุหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าวัตถุทั้งสองจะโคจรรอบจุดศูนย์กลางมวลหรือจุดศูนย์ถ่วงของพวกมัน^{[ 31 ]}

เนื่องจากกฎแรงโน้มถ่วงสากล ความแรงของแรงโน้มถ่วงจึงขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุทั้งสองและระยะห่างระหว่างกัน เมื่อแรงโน้มถ่วงเปลี่ยนแปลงไปตามวงโคจร มันจะจำลองกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์^{[ 31 ]}ขึ้นอยู่กับสถานะพลังงานที่เปลี่ยนแปลงไปของระบบ ความสัมพันธ์ของความเร็วของวัตถุเคลื่อนที่สองชิ้นที่มีมวลสามารถพิจารณาได้ในสี่ประเภทในทางปฏิบัติ โดยมีประเภทย่อยดังนี้:

ไม่มีวงโคจร

วิถีโคจรย่อย

เส้นทางวงรีที่ถูกขัดจังหวะหลายช่วง

วิถีโคจร (หรือเรียกสั้น ๆ ว่า วงโคจร)

• ช่วงของวิถีวงรีที่มีจุดที่ใกล้ที่สุดอยู่ตรงข้ามกับจุดยิง
• เส้นทางวงกลม
• ช่วงของวิถีวงรีที่มีจุดใกล้ที่สุดอยู่ที่จุดยิง

เส้นทางเปิด (หรือเส้นทางหลบหนี)

• เส้นทางพาราโบลา
• เส้นทางไฮเปอร์โบลิก

เพื่อให้เข้าสู่วงโคจร จรวดทั่วไปจะถูกปล่อยขึ้นในแนวดิ่งก่อนเพื่อยกจรวดขึ้นเหนือชั้นบรรยากาศด้านล่างที่หนาแน่น (ซึ่งทำให้เกิดแรงเสียดทาน) และค่อยๆ เอียงตัวลงและจุดเครื่องยนต์จรวดให้ขนานกับชั้นบรรยากาศเพื่อให้เข้าสู่วงโคจร^{[ 33 ]}เมื่ออยู่ในวงโคจร ความเร็วของจรวดจะทำให้อยู่เหนือชั้นบรรยากาศ หากวงโคจรวงรีลดระดับลงสู่ชั้นอากาศที่หนาแน่น วัตถุจะสูญเสียความเร็วและกลับเข้าสู่ชั้นบรรยากาศ ตกลงสู่พื้นดิน ในบางครั้งยานอวกาศจะเข้าสู่ชั้นบรรยากาศโดยเจตนา ซึ่งเป็นสิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่าการเบรกด้วยแรงต้านอากาศ^{[ 34 ]}

เพื่อเป็นภาพประกอบของวงโคจรรอบดาวเคราะห์ แบบจำลอง ลูกปืนใหญ่ของนิวตันอาจมีประโยชน์ (ดูภาพ) นี่คือ ' การทดลองทางความคิด ' ซึ่งปืนใหญ่บนยอดเขาสูงสามารถยิงลูกปืนใหญ่ในแนวนอนด้วยความเร็วปากกระบอกปืนที่เลือกได้ ผลกระทบของแรงเสียดทานอากาศต่อลูกปืนใหญ่ถูกละเลย (หรือบางทีภูเขาสูงพอที่ปืนใหญ่จะอยู่เหนือชั้นบรรยากาศของโลก ซึ่งก็เหมือนกัน) ^{[ 35 ]}

ถ้าปืนใหญ่ยิงลูกกระสุนด้วยความเร็วเริ่มต้นต่ำ วิถีของลูกกระสุนจะโค้งลงและกระทบพื้น (A) เมื่อความเร็วในการยิงเพิ่มขึ้น ลูกกระสุนจะกระทบพื้นไกลออกไปจากปืนใหญ่มากขึ้น (B) เพราะในขณะที่ลูกกระสุนยังคงตกลงสู่พื้น พื้นจะโค้งออกห่างจากลูกกระสุนมากขึ้นเรื่อยๆ (ดูข้อแรกด้านบน) การเคลื่อนที่ทั้งหมดเหล่านี้ในทางเทคนิคแล้วคือ "วงโคจร" ซึ่งหมายถึงส่วนหนึ่งของเส้นทางวงรีรอบจุดศูนย์กลางมวล แต่ว่าวงโคจรเหล่านี้ถูกขัดจังหวะโดยการกระทบพื้นโลก

ถ้าลูกปืนใหญ่ถูกยิงด้วยความเร็วที่เพียงพอ พื้นดินจะโค้งออกไปจากลูกปืนใหญ่อย่างน้อยเท่ากับระยะที่ลูกปืนใหญ่ตกลงมา ดังนั้นลูกปืนใหญ่จึงไม่กระทบพื้น มันจึงอยู่ในสิ่งที่อาจเรียกว่าวงโคจรต่อเนื่องหรือวงโคจรรอบโลก สำหรับความสูงเหนือจุดศูนย์กลางมวลและมวลของดาวเคราะห์แต่ละค่า จะมีความเร็วในการยิงค่าหนึ่ง (ซึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากมวลของลูกปืนใหญ่ ซึ่งถือว่ามีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับมวลของโลก) ที่ทำให้เกิดวงโคจรเป็นวงกลมดังแสดงใน (C)

เมื่อเพิ่มความเร็วในการยิงเกินกว่านี้ จะเกิดวงโคจรวงรีที่ไม่ขาดตอนขึ้น ดังแสดงในรูป (D) หากการยิงครั้งแรกอยู่เหนือพื้นผิวโลกดังที่แสดงไว้ ก็จะเกิดวงโคจรวงรีที่ไม่ขาดตอนขึ้นที่ความเร็วในการยิงที่ช้าลงด้วย โดยวงโคจรเหล่านี้จะเข้าใกล้โลกมากที่สุด ณ จุดที่อยู่ห่างออกไปครึ่งวงโคจร และอยู่ตรงข้ามกับจุดยิงโดยตรง ใต้แนววงโคจรวงกลม

ที่ความเร็วในการยิงแนวนอนเฉพาะที่เรียกว่าความเร็วหลุดพ้นซึ่งขึ้นอยู่กับมวลของดาวเคราะห์และระยะห่างของวัตถุจากจุดศูนย์กลางมวล จะได้วงโคจรแบบเปิด (E) ที่มีเส้นทางเป็นรูปพาราโบลาที่ความเร็วที่สูงกว่านั้น วัตถุจะเคลื่อนที่ตามวิถีโค้งไฮเปอร์โบลาหลายแบบ ในทางปฏิบัติ วิถีโค้งทั้งสองแบบนี้หมายความว่าวัตถุ "หลุดพ้น" จากแรงโน้มถ่วงของดาวเคราะห์ และ "ออกไปในอวกาศ" ซึ่งอาจจะไม่กลับมาอีกเลย อย่างไรก็ตาม วัตถุยังคงอยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์^{[ 36 ]}

ในสถานการณ์จริงส่วนใหญ่กฎของนิวตันให้คำอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุในสนามโน้มถ่วงที่ค่อนข้างแม่นยำ การปรับเปลี่ยนที่จำเป็นเพื่อรองรับทฤษฎีสัมพัทธภาพจะมีความสำคัญในกรณีที่วัตถุอยู่ใกล้แหล่งกำเนิดแรงโน้มถ่วงที่สำคัญ เช่น ดาวฤกษ์^{[ 37 ]}หรือต้องการความแม่นยำสูง

ความเร่งของวัตถุเท่ากับผลรวมของแรงที่กระทำต่อวัตถุ หารด้วยมวลของวัตถุ แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อวัตถุเป็นสัดส่วนกับผลคูณของมวลของวัตถุสองชิ้นที่ดึงดูดกัน และลดลงผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างวัตถุทั้งสอง^{[ 31 ]}สำหรับปัญหาวัตถุสองชิ้นซึ่งกำหนดให้เป็นระบบแยกเดี่ยวของวัตถุทรงกลมสองชิ้นที่มีมวลที่ทราบและมีระยะห่างเพียงพอ การประมาณแบบนิวตันของปฏิสัมพันธ์แรงโน้มถ่วงของวัตถุทั้งสองนี้สามารถให้การคำนวณวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุทั้งสองได้อย่างแม่นยำพอสมควร^{[ 38 ]}

หากวัตถุที่หนักกว่ามีมวลมากกว่าวัตถุที่เล็กกว่ามาก เช่นในกรณีของดาวเทียมหรือดวงจันทร์ขนาดเล็กที่โคจรรอบดาวเคราะห์ หรือโลกที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ การอธิบายการเคลื่อนที่โดยใช้ระบบพิกัดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่วัตถุที่หนักกว่านั้นมีความแม่นยำและสะดวกเพียงพอ และเรากล่าวว่าวัตถุที่เบากว่าโคจรรอบวัตถุที่หนักกว่า สำหรับกรณีที่มวลของวัตถุทั้งสองใกล้เคียงกัน วิธีแก้ปัญหาแบบนิวตันที่แม่นยำยังคงเพียงพอ และสามารถหาได้โดยการวางระบบพิกัดไว้ที่จุดศูนย์กลางมวลของระบบ^{[ 39 ]}

พลังงานเกี่ยวข้องกับสนามโน้มถ่วงวัตถุที่อยู่นิ่งซึ่งอยู่ห่างจากวัตถุอื่นสามารถทำงานภายนอกได้หากถูกดึงเข้าหากัน ดังนั้นจึงมีพลังงานศักย์ โน้มถ่วง เนื่องจากต้องใช้แรงงานในการแยกวัตถุสองชิ้นออกจากกันโดยต้านแรงดึงดูดของแรงโน้มถ่วง พลังงานศักย์โน้มถ่วงของวัตถุทั้งสองจึงเพิ่มขึ้นเมื่ออยู่ห่างกันมากขึ้น และลดลงเมื่อเข้าใกล้กันมากขึ้น สำหรับมวลจุด พลังงานโน้มถ่วงจะลดลงเป็นศูนย์เมื่อระยะห่างเข้าใกล้ศูนย์ เป็นเรื่องปกติและสะดวกที่จะกำหนดให้พลังงานศักย์มีค่าเป็นศูนย์เมื่ออยู่ห่างกันเป็นระยะอนันต์ ดังนั้นจึงมีค่าเป็นลบ (เนื่องจากลดลงจากศูนย์) สำหรับระยะทางที่เล็กกว่าแต่มีค่าจำกัด^{[ 40 ]}

เมื่อวัตถุที่มีแรงโน้มถ่วงเพียงสองชิ้นมีปฏิสัมพันธ์กัน วงโคจรของพวกมันจะเป็นไปตามภาคตัดกรวยวงโคจรอาจเป็นแบบเปิด (หมายความว่าวัตถุจะไม่กลับมา) หรือแบบปิด (กลับมา) ซึ่งขึ้นอยู่กับพลังงาน รวม ( พลังงานจลน์ + พลังงานศักย์ ) ของระบบ ในกรณีของวงโคจรแบบเปิด ความเร็ว ณ ตำแหน่งใดๆ ของวงโคจรจะมีค่าอย่างน้อยเท่ากับความเร็วหลุดพ้นสำหรับตำแหน่งนั้น ในกรณีของวงโคจรแบบปิด ความเร็วจะน้อยกว่าความเร็วหลุดพ้นเสมอ เนื่องจากพลังงานจลน์จะไม่เป็นลบหากใช้หลักการทั่วไปที่กำหนดให้พลังงานศักย์เป็นศูนย์ที่ระยะห่างอนันต์ วงโคจรแบบผูกพันจะมีพลังงานรวมเป็นลบ วิถีโค้งพาราโบลาจะมีพลังงานรวมเป็นศูนย์ และวงโคจรไฮเปอร์โบลาจะมีพลังงานรวมเป็นบวก^{[ 41 ] [ 42 ]}

วงโคจรแบบเปิดจะมีรูปร่างเป็นพาราโบลาหากมีความเร็วเท่ากับความเร็วหลุดพ้น ณ จุดนั้นในวิถีโคจร และจะมีรูปร่างเป็นไฮเปอร์โบลาเมื่อความเร็วมากกว่าความเร็วหลุดพ้น^{[ 41 ] [ 42 ]}เมื่อวัตถุสองชิ้นเข้าใกล้กันด้วยความเร็วหลุดพ้นหรือมากกว่า (สัมพัทธ์กัน) พวกมันจะโค้งรอบกันชั่วครู่ในช่วงเวลาที่เข้าใกล้กันมากที่สุด จากนั้นจะแยกออกจากกันและบินแยกจากกัน

วงโคจรปิดทั้งหมดมีรูปร่างเป็นวงรีวงโคจรวงกลมเป็นกรณีพิเศษ โดยที่จุดโฟกัสของวงรีจะตรงกัน^{[ 41 ] [ 42 ]}

วัตถุที่โคจรเป็นวงปิดจะโคจรซ้ำเส้นทางเดิมเป็นระยะๆ เรียกว่าคาบเวลา การเคลื่อนที่นี้อธิบายได้ด้วยกฎเชิงประจักษ์ของเคปเลอร์ ซึ่งสามารถอนุมานได้ทางคณิตศาสตร์จากกฎของนิวตัน โดยสามารถกำหนดได้ดังนี้: ^{[ 43 ]}

1. วงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่งของวงรีนั้น [จุดโฟกัสนี้จริงๆ แล้วคือจุดศูนย์กลางมวลของระบบดวงอาทิตย์-ดาวเคราะห์เพื่อความง่าย คำอธิบายนี้ถือว่ามวลของดวงอาทิตย์มีขนาดใหญ่กว่ามวลของดาวเคราะห์นั้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด] วงโคจรของดาวเคราะห์อยู่ในระนาบที่เรียกว่าระนาบวงโคจร^{[ 43 ]}
2. ขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนที่ในวงโคจร เส้นจากดวงอาทิตย์ไปยังดาวเคราะห์จะกวาดพื้นที่คงที่ของระนาบวงโคจรในช่วงเวลาหนึ่ง โดยไม่คำนึงถึงส่วนใดของวงโคจรที่ดาวเคราะห์เคลื่อนที่ในช่วงเวลานั้น ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์จะเคลื่อนที่เร็วขึ้นใกล้จุดใกล้ ดวงอาทิตย์ที่สุด (perihelion)มากกว่าใกล้จุด ไกลดวงอาทิตย์ที่สุด (aphelion ) เพราะที่ระยะทางที่สั้นกว่า ดาวเคราะห์จะต้องลากเส้นโค้งที่ใหญ่กว่าเพื่อครอบคลุมพื้นที่เท่ากัน^{[ 43 ]}กฎนี้มักกล่าวว่า "พื้นที่เท่ากันในเวลาเท่ากัน"
3. สำหรับวงโคจรที่กำหนด อัตราส่วนของกำลังสามของแกนกึ่งเอกต่อกำลังสองของคาบจะคงที่^{[ 43 ]}

ตามหลักการแล้ว วงโคจรที่ผูกพันของมวลจุดหรือวัตถุทรงกลมที่มีสนามโน้มถ่วงแบบนิวตัน จะก่อ ตัวเป็นวงรีปิดซึ่งจะวนซ้ำเส้นทางเดิมอย่างแม่นยำและไม่มีที่สิ้นสุด อย่างไรก็ตาม ผลกระทบที่ไม่เป็นทรงกลมหรือไม่เป็นไปตามกฎของนิวตันจะทำให้รูปร่างของวงโคจรเบี่ยงเบนไปจากวงรี ผลกระทบดังกล่าวอาจเกิดจากความแบน เล็กน้อย ของวัตถุ^{[ 44 ]}ความผิดปกติของมวล^{[ 45 ]} การเสียรูปจากแรงดึงดูด^{[ 46 ]}หรือผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพ^{[ 19 ]}ซึ่งจะทำให้พฤติกรรมของสนามโน้มถ่วงเปลี่ยนแปลงไปตามระยะทาง

วิธีแก้ปัญหาแบบสองวัตถุได้รับการตีพิมพ์โดยนิวตันในPrincipiaในปี 1687 ^{[ 30 ]}ในปี 1912 Karl Fritiof Sundmanได้พัฒนาอนุกรมอนันต์ที่ลู่เข้าซึ่งแก้ปัญหาสามวัตถุ ทั่วไป อย่างไรก็ตาม มันลู่เข้าช้าเกินไปจนใช้ประโยชน์ได้ไม่มากนัก ปัญหาสามวัตถุแบบจำกัด ซึ่งถือว่าวัตถุที่สามมีมวลน้อยมาก ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง วิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้รวมถึงจุด Lagrangian ^{[ 47} ] ในกรณีของทฤษฎีดวงจันทร์งานในศตวรรษที่ 19 ของCharles-Eugène Delaunayทำให้สามารถทำนายการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ได้ภายในเส้นผ่านศูนย์กลางของมันเองในช่วง 20 ปี^{[ 48 ] ยังไม่มีวิธีการ ใด}ที่ใช้ได้ผลโดยทั่วไปในการแก้สมการการเคลื่อนที่สำหรับระบบที่มีวัตถุสี่ชิ้นขึ้นไป

การพิสูจน์ต่อไปนี้ใช้ได้กับวงโคจรวงรี โดยมีข้อสมมติว่าวัตถุศูนย์กลางมีมวลมากพอที่จะถือว่าอยู่นิ่ง ดังนั้นจึงสามารถละเลย ผลกระทบที่ละเอียดอ่อนกว่าของ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ได้

กฎ แรงโน้มถ่วงของ นิวตันระบุว่า ความเร่งโน้มถ่วงของมวลที่สองเข้าหาวัตถุกลางมีความสัมพันธ์กับส่วนกลับของกำลังสองของระยะห่างระหว่างกัน กล่าวคือ: ^{[ 49 ]}

${\displaystyle F_{2}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

โดยที่F ₂คือแรงที่กระทำต่อมวลm ₂อันเกิดจากแรงดึงดูดระหว่างมวลm ₁กับm ₂ , Gคือค่าคงที่แรงโน้มถ่วง สากล และrคือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของมวลทั้งสอง

จากกฎข้อที่สองของนิวตัน ผลรวมของแรงที่กระทำต่อm ₂สัมพันธ์กับความเร่งของวัตถุนั้น:

${\displaystyle F_{2}=m_{2}A_{2}}$

โดยที่A ₂คือความเร่งของm ₂ที่เกิดจากแรงดึงดูดF ₂ของm ₁ที่ กระทำต่อm ₂

เมื่อรวมสมการที่ 1 และ 2 เข้าด้วยกัน:

${\displaystyle -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}$

แก้สมการหาค่าความเร่งA ₂ :

${\displaystyle A_{2}={\frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{\frac {1}{m_{2}}}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

โดยที่พารามิเตอร์แรงโน้มถ่วงมาตรฐานคือในกรณีนี้^{[ 50 ]}เป็นที่เข้าใจกันว่าระบบที่กำลังอธิบายคือm ₂ดังนั้นจึงสามารถละเว้นตัวห้อยได้ ${\displaystyle \mu \,}$${\displaystyle Gm_{1}}$

ตำแหน่งของวัตถุที่โคจร ณ เวลาปัจจุบันนั้นตั้งอยู่ในระนาบวงโคจรโดยใช้แคลคูลัสเวกเตอร์ในพิกัดเชิงขั้วทั้งแบบฐาน ยูคลิดมาตรฐาน และแบบฐานเชิงขั้วที่มีจุดกำเนิดตรงกับศูนย์กลางของแรง ให้เป็นระยะทางระหว่างวัตถุกับศูนย์กลาง และเป็นมุมที่วัตถุหมุนไป ให้และ เป็นฐาน ยูคลิดมาตรฐานและให้: ^{[ 49 ]}${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\boldสัญลักษณ์ {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

ให้เป็นฐาน พิกัดเชิงขั้วรัศมีและเชิงขั้วตามขวาง ฐานพิกัดแรกเป็นเวกเตอร์หน่วยที่ชี้จากจุดศูนย์กลางไปยังตำแหน่งปัจจุบันของวัตถุที่โคจรอยู่ และฐานพิกัดที่สองเป็นเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากที่ชี้ไปในทิศทางที่วัตถุที่โคจรจะเคลื่อนที่หากโคจรเป็นวงกลมทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นเวกเตอร์ไปยังวัตถุที่โคจรอยู่คือ:

${\displaystyle {\mathbf {O} }=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

สัญกรณ์ของนิวตัน และ แสดงถึง อนุพันธ์มาตรฐานของการเปลี่ยนแปลงระยะทางและมุมนี้เมื่อเวลาผ่านไป^{[ 51 ]}การหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์เพื่อดูว่ามันเปลี่ยนแปลงอย่างไรในช่วงเวลาเล็กน้อยลบตำแหน่งของมันที่เวลา t ออกจากตำแหน่งที่เวลา t แล้วหารด้วยt ผลลัพธ์ยังคงเป็นเวกเตอร์ ${\displaystyle {\dot {r}}}$${\displaystyle {\dot {\theta }}}$${\displaystyle \delta t}$${\displaystyle t+\delta t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \delta t}$

เนื่องจากเวกเตอร์ฐานเคลื่อนที่ไปพร้อมกับการโคจรของวัตถุ ขั้นตอนแรกคือการหาอนุพันธ์ของเวกเตอร์ฐานเพื่อหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเชิงรัศมีเทียบกับเวลา ตั้งแต่เวลาถึงเวกเตอร์จะเริ่มต้นที่จุดกำเนิดและหมุนจากมุมถึงซึ่งทำให้ส่วนหัวของเวกเตอร์เคลื่อนที่ไปเป็นระยะทางในทิศทางตั้งฉากทำให้ได้อนุพันธ์เท่ากับ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\delta t}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta +{\dot {\theta }}\ \delta t}$${\displaystyle {\dot {\theta }}\ \delta t}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$${\displaystyle {\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {\mathbf {r} }}&=-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\delta t}}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}&=-\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}}$

ขณะนี้สามารถกำหนดความเร็วและความเร่งของวัตถุที่โคจรได้แล้ว^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {O} }&=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {O} }}&={\frac {\delta r}{\delta t}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r\left[{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]\\{\ddot {\mathbf {O} }}&=\left[{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]+\left[{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\\&=\left[{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\end{aligned}}}$

ในบรรทัดสุดท้าย สัมประสิทธิ์ของและให้ความเร่งในทิศทางรัศมีและทิศทางขวาง ตามที่กล่าวไว้ นิวตันให้ค่าแรกเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็นและค่าที่สองเป็นศูนย์ตามกฎข้อแรกของนิวตัน ดังนั้น: ^{[ 49 ]}${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$${\displaystyle -\mu /r^{2}}$

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

1

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0}$

2

สมการ (2) สามารถจัดเรียงใหม่ได้โดยใช้การอินทิเกรตโดยส่วน

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0}$

ตอนนี้สามารถคูณทั้งสองข้างด้วยค่าคงที่ได้แล้วเพราะค่าคงที่นั้นจะไม่เป็นศูนย์ เว้นแต่ว่าวัตถุที่โคจรอยู่จะตกกระแทก การที่อนุพันธ์เป็นศูนย์แสดงว่าฟังก์ชันนั้นเป็นค่าคงที่ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h}$

3

ซึ่งจริงๆ แล้วเป็นการพิสูจน์ทางทฤษฎีของกฎข้อที่สองของเคปเลอร์ (เส้นที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์จะกวาดพื้นที่เท่ากันในช่วงเวลาเท่ากัน) ^{[ 49 ]}ค่าคงที่ของการอินทิเกรต h คือโมเมนตัม เชิงมุมต่อ ^{หน่วย}มวล^{[ 52} ]

เพื่อให้ได้สมการสำหรับวงโคจรจากสมการ (1) จำเป็นต้องกำจัดตัวแปรเวลา (ดูสมการของ Binet ด้วย ) ในพิกัดเชิงขั้ว สมการนี้จะแสดงระยะห่างของวัตถุที่โคจรจากศูนย์กลางเป็นฟังก์ชันของมุมอย่างไรก็ตาม การแนะนำตัวแปรเสริมและแสดงเป็นฟังก์ชันของ นั้น ง่ายกว่า อนุพันธ์ของเทียบกับเวลาอาจเขียนใหม่เป็นอนุพันธ์ของเทียบกับมุม^{[ 49 ]}${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle u=1/r}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u={1 \over r}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}}$(ปรับปรุงใหม่ (3))

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}&={\frac {\delta }{\delta t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {1}{h}}{\frac {\delta {\dot {r}}}{\delta t}}{\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\ \ \ {\text{ or }}\ \ \ {\ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}\end{aligned}}}$

เมื่อเสียบสิ่งเหล่านี้ลงใน (1) จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\\-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {1}{u}}\left(hu^{2}\right)^{2}&=-\mu u^{2}\end{aligned}}}$

ดังนั้น: ^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}+u={\frac {\mu }{h^{2}}}}$

4

ดังนั้นสำหรับแรงโน้มถ่วง หรือโดยทั่วไปแล้ว สำหรับ กฎแรงผกผันกำลังสอง ใดๆด้านขวามือของสมการจะกลายเป็นค่าคงที่ และสมการนั้นจะกลายเป็นสมการฮาร์มอนิก (โดยมีการเลื่อนจุดกำเนิดของตัวแปรตาม) คำตอบคือ:

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}+A\cos(\theta -\theta _{0})}$

โดยที่Aและθ ₀เป็นค่าคงที่ใดๆ สมการวงโคจรของวัตถุที่ได้นี้จะเป็นสมการวงรีในรูปแบบพิกัดเชิงขั้วเมื่อเทียบกับจุดโฟกัสจุดหนึ่ง ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยให้ θ เป็นค่าความเยื้องศูนย์กลางเมื่อจัดเรียงใหม่จะได้ดังนี้: ${\displaystyle e\equiv h^{2}A/\mu }$

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))}$

โปรดทราบว่าเมื่อกำหนดให้เป็นแกนกึ่งเอกและกำหนดให้แกนยาวของวงรีอยู่ตามพิกัดxบวก จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 49 ]}${\displaystyle a\equiv h^{2}/\mu \left(1-e^{2}\right)}$${\displaystyle \theta _{0}\equiv 0}$

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}$

เมื่อeเป็นศูนย์ ผลลัพธ์ที่ได้คือวงโคจรเป็นวงกลมโดยมี rเท่ากับa

เมื่อรวมกฎของนิวตันแล้ว ค่าคงที่ในกฎข้อที่สามของเคปเลอร์สามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 53 ]}

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}}$

โดยที่คือมวลของดวงอาทิตย์ , Gคือค่าคงที่ความโน้มถ่วง, คือมวลของดาวเคราะห์, คือคาบการโคจร, คือแกนกึ่งเอกวงรี, และคือหน่วยดาราศาสตร์ซึ่งเป็นระยะทางเฉลี่ยจากโลกถึงดวงอาทิตย์ จากข้อมูลนี้ เราสามารถหาคาบการโคจรได้จากแกนกึ่งเอก ${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\text{AU}}}$

แรงบิดต่อดาวเทียมอาจเกิดขึ้นได้ เช่น เนื่องจากการรบกวนจากมวลที่ไม่เป็นทรงกลม^{[ 54 ]}เมื่อระบบสองวัตถุอยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงบิด โมเมนตัมเชิงมุมhจะไม่คงที่ หลังจากการคำนวณต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta r}{\delta \theta }}&=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}=-{\frac {h}{m}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\{\frac {\delta ^{2}r}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {hu^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta h}{\delta \theta }}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\\left({\frac {\delta \theta }{\delta t}}\right)^{2}r&={\frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

ผลลัพธ์คือสมการ Sturm-Liouvilleของระบบสองวัตถุ^{[ 55 ]}

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \theta }}\left(h{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\right)+hu={\frac {\mu }{h}}}$

5

การวิเคราะห์ กลศาสตร์วงโคจรแบบคลาสสิก ( แบบนิวตัน ) ถือว่าผลกระทบที่ละเอียดอ่อนกว่าของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเช่นการลากเฟรมและการยืดเวลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงนั้นถือว่าไม่สำคัญ ผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพจะไม่สามารถละเลยได้เมื่ออยู่ใกล้กับวัตถุที่มีมวลมาก (เช่นเดียวกับการหมุนควงของวงโคจรของดาวพุธรอบดวงอาทิตย์) ^{[ 19 ]}หรือเมื่อต้องการความแม่นยำสูง (เช่นเดียวกับการคำนวณองค์ประกอบวงโคจรและการอ้างอิงสัญญาณเวลาสำหรับดาวเทียมGPS ^{[ 56 ]} )

เนื่องจากทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป มีรัศมีที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้สำหรับอนุภาคที่จะโคจรรอบหลุมดำ ได้อย่างเสถียร การรบกวนใดๆ ที่เกิดขึ้นภายในวงโคจรนี้จะนำไปสู่การที่อนุภาคหมุนวนเข้าไปในหลุมดำ ขนาดของวงโคจรวงกลมที่เสถียรที่สุดภายใน นี้ ขึ้นอยู่กับการหมุนของหลุมดำและการหมุนของอนุภาคเอง^{[ 57 ]}แต่หากไม่มีการหมุน รัศมีวงโคจรตามทฤษฎีจะมีขนาดเพียงสามเท่าของรัศมีของ^ขอบฟ้าเหตุการณ์ [ ^{58 ]}

ต้องใช้พารามิเตอร์หกตัวเพื่อระบุวงโคจรแบบเคปเลอร์รอบวัตถุ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสามตัวที่ระบุตำแหน่งเริ่มต้นของวัตถุและค่าสามค่าที่ระบุความเร็วของวัตถุจะกำหนดวงโคจรที่ไม่ซ้ำกันซึ่งสามารถคำนวณไปข้างหน้า (หรือย้อนกลับ) ในเวลาได้^{[ 59 ]}

วง โคจร ที่ไม่ถูกรบกวนนั้นเป็นแบบสองมิติในระนาบคงที่ในอวกาศ ซึ่งเรียกว่าระนาบวงโคจรในสามมิติ การวางแนวของระนาบนี้เมื่อเทียบกับระนาบอ้างอิงเช่นระนาบของท้องฟ้าสามารถกำหนดได้ด้วยมุมสามมุม การขยายการวิเคราะห์ไปยังสามมิติทำได้ง่ายๆ โดยการหมุนระนาบสองมิติไปยังมุมที่ต้องการเมื่อเทียบกับขั้วของวัตถุในระบบสุริยะที่เกี่ยวข้อง

ตามธรรมเนียมแล้ว ชุดมาตรฐานขององค์ประกอบวงโคจรเรียกว่าชุดองค์ประกอบเคปเลอร์ตามชื่อของโยฮันเนส เคปเลอร์และกฎของเขา องค์ประกอบเคปเลอร์ทั้งหกนี้มีดังต่อไปนี้: ^{[ 60 ]}

• ความเอียง ( i )
• ลองจิจูดของจุดตัดขาขึ้น (Ω)
• อาร์กิวเมนต์ของจุดใกล้ที่สุด (ω)
• ความเยื้องศูนย์ ( e )
• แกนกึ่งเอก ( a )
• ความผิดปกติที่แท้จริงณยุค ( θ ₀ )

คาบ การโคจรคือระยะเวลาที่วัตถุใช้ในการโคจรครบรอบหนึ่งครั้ง ซึ่งสามารถคำนวณได้จากแกนกึ่งเอกและมวลรวม ในทางทฤษฎี เมื่อทราบองค์ประกอบของวงโคจรแล้ว ก็สามารถคำนวณตำแหน่งของวัตถุนั้นได้ทั้งไปข้างหน้าและย้อนกลับไปในอนาคตอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ วงโคจรจะได้รับผลกระทบหรือถูกรบกวนจากแรงอื่นๆ นอกเหนือจากแรงโน้มถ่วงอย่างง่ายจากแหล่งกำเนิดจุดสมมติ ดังนั้นองค์ประกอบของวงโคจรจึงเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา

โปรดทราบว่า เว้นแต่ว่าค่าความเยื้องศูนย์จะเป็นศูนย์aจะไม่ใช่รัศมีวงโคจรเฉลี่ย ระยะทางวงโคจรเฉลี่ยตามเวลาจะกำหนดโดย: ^{[ 61 ]}

${\displaystyle {\bar {r}}=a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)}$

ซึ่งจะมีค่าเท่ากับa ก็ต่อ เมื่อeเป็นศูนย์ สำหรับวงโคจรเป็นวงกลม

การรบกวนวงโคจรคือเมื่อแรงหรือแรงกระตุ้นทำให้เกิดความเร่งที่เปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ของวงโคจรเมื่อเวลาผ่านไป การรบกวนนี้มีขนาดเล็กกว่าแรงโดยรวมหรือแรงกระตุ้นเฉลี่ยของวัตถุหลักที่ก่อให้เกิดแรงโน้มถ่วงมาก แหล่งที่มาของการรบกวนที่อาจเกิดขึ้น ได้แก่ การเบี่ยงเบนจากความเป็นทรงกลม การมีส่วนร่วมของวัตถุที่สามแรงดันรังสี แรงต้านของบรรยากาศและความเร่งจากกระแสน้ำขึ้นน้ำลง^{[ 62 ]}

สำหรับวัตถุที่โคจรอยู่ แรงรบกวนสามารถแบ่งออกเป็นสาม องค์ประกอบ ตั้งฉากกันได้แก่ แนวรัศมี แนวขวาง และแนวตั้งฉาก สององค์ประกอบแรกอยู่ในระนาบวงโคจร (ในทิศทางของวัตถุที่ดึงดูดและตามเส้นทางของวงโคจรวงกลม ตามลำดับ) และองค์ประกอบที่สามอยู่ห่างจากระนาบวงโคจร^{[ 64 ]}แรงกระตุ้นแนวรัศมีขนาดเล็กที่ให้กับวัตถุที่โคจรอยู่จะเปลี่ยนค่าความเยื้องศูนย์แต่ไม่เปลี่ยนคาบการโคจร (ในลำดับแรก) แรงกระตุ้นแนวขวาง แบบตามทิศทางหรือย้อนกลับ (เช่น แรงกระตุ้นที่ใช้ตามการเคลื่อนที่ของวงโคจร) จะเปลี่ยนทั้งค่าความเยื้องศูนย์และคาบการโคจรที่น่าสังเกตคือ แรงกระตุ้นแบบตามทิศทางที่จุดใกล้ที่สุดของวงโคจรจะเพิ่มระดับความสูงที่จุดไกลที่สุดของวงโคจร และในทางกลับกัน และแรงกระตุ้นแบบย้อนกลับจะทำในสิ่งที่ตรงกันข้าม แรงกระตุ้นแนวตั้งฉาก (ออกจากระนาบวงโคจร) จะทำให้ระนาบวงโคจรหมุนโดยไม่เปลี่ยนคาบหรือค่าความเยื้องศูนย์ ในทุกกรณี วงโคจรปิดจะยังคงตัดกับจุดรบกวนเสมอ

สำหรับวัตถุที่โคจรใกล้ดาวเคราะห์ที่มีชั้นบรรยากาศหนาพอสมควร วงโคจรอาจเสื่อมลงเนื่องจากแรงต้าน^{[ 65 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จุดใกล้ที่สุดของวงโคจรที่มีความเยื้องศูนย์มาก วัตถุจะประสบกับแรงต้านของชั้นบรรยากาศ ทำให้สูญเสียพลังงาน ในแต่ละครั้ง วงโคจรจะมีความเยื้องศูนย์น้อยลง (เป็นวงกลมมากขึ้น) เนื่องจากวัตถุสูญเสียพลังงานจลน์ในช่วงเวลาที่พลังงานนั้นมีค่าสูงสุด^{[ 66 ]}นี่คล้ายกับผลของการชะลอลูกตุ้มที่จุดต่ำสุด จุดสูงสุดของการแกว่งของลูกตุ้มจะต่ำลง ในที่สุด ผลกระทบจะมากจนพลังงานจลน์สูงสุดไม่เพียงพอที่จะทำให้วงโคจรกลับขึ้นเหนือขีดจำกัดของผลกระทบจากแรงต้านของชั้นบรรยากาศ เมื่อเกิดเหตุการณ์นี้ วัตถุจะหมุนวนลงอย่างรวดเร็วและตัดกับวัตถุศูนย์กลาง

บริเวณที่เกิดแรงต้านอากาศจะแตกต่างกันไปตามดาวเคราะห์ ยานลงจอดต้องเข้าใกล้ดาวอังคารมากกว่าโลก^{[ 67 ]}ตัวอย่างเช่น และแรงต้านอากาศจะน้อยมากสำหรับดาวพุธ ขอบเขตของชั้นบรรยากาศจะแตกต่างกันอย่างมากเนื่องจากแรงกระทำจากดวงอาทิตย์และ สภาพ อากาศในอวกาศ^{[ 68 ]}ในช่วงที่ดวงอาทิตย์มีกิจกรรมสูงสุดชั้นบรรยากาศของโลกจะทำให้เกิดแรงต้านอากาศสูงกว่าในช่วงที่ดวงอาทิตย์มีกิจกรรมต่ำสุดถึงหนึ่งร้อยกิโลเมตร

วงโคจรสามารถถูกควบคุมได้โดยการใช้เครื่องยนต์จรวด ซึ่งจะเปลี่ยนพลังงานจลน์ของวัตถุ ณ จุดใดจุดหนึ่งในเส้นทาง ด้วยวิธีนี้ การเปลี่ยนแปลงรูปร่างหรือทิศทางของวงโคจรจึงสามารถเกิดขึ้นได้ง่ายขึ้นใบเรือพลังงานแสงอาทิตย์หรือใบเรือแม่เหล็กเป็นรูปแบบการขับเคลื่อนที่ไม่ต้องใช้เชื้อเพลิงหรือพลังงานอื่นใดนอกจากพลังงานจากดวงอาทิตย์ ดังนั้นจึงสามารถใช้รักษาตำแหน่งได้ไม่จำกัด^{[ 69 ] [ 70 ]} (ดูstatiteสำหรับการใช้งานที่เสนอไว้) ดาวเทียมที่มีสายเคเบิลนำไฟฟ้ายาวอาจประสบกับการลดลงของวงโคจรเนื่องจากแรงต้านแม่เหล็กไฟฟ้าจาก สนาม แม่เหล็กโลก^{[ 71 ]}เมื่อลวดตัดกับสนามแม่เหล็ก มันจะทำหน้าที่เป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้า เคลื่อนย้ายอิเล็กตรอนจากปลายด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง พลังงานวงโคจรจะถูกแปลงเป็นความร้อนในลวด

สำหรับวัตถุที่อยู่ต่ำกว่าวงโคจรซิงโครนัสของวัตถุที่มันโคจรอยู่ การลดลงของวงโคจรอาจเกิดขึ้นเนื่องจากแรงไทดัล [ ^{72 ] แรง}โน้มถ่วงของวัตถุที่โคจรอยู่ทำให้เกิดส่วนนูนไทดัลในวัตถุหลัก และเนื่องจากมันอยู่ต่ำกว่าวงโคจรซิงโครนัส วัตถุที่โคจรอยู่จึงเคลื่อนที่เร็วกว่าพื้นผิวของวัตถุ ดังนั้นส่วนนูนจึงล้าหลังไปเล็กน้อย แรงโน้มถ่วงของส่วนนูนนั้นเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากแกนหลัก-ดาวเทียม ดังนั้นจึงมีส่วนประกอบตามทิศทางการเคลื่อนที่ของดาวเทียม ส่วนนูนที่อยู่ใกล้จะทำให้วัตถุช้าลงมากกว่าส่วนนูนที่อยู่ไกลจะทำให้มันเร็วขึ้น และเป็นผลให้วงโคจรลดลง

ในทางกลับกัน แรงโน้มถ่วงของดาวเทียมบนส่วนที่โป่งออกจะทำให้เกิดแรงบิดบนดาวหลักและเร่งการหมุนของมัน ดาวเทียมเทียมมีขนาดเล็กเกินกว่าจะมีผลกระทบต่อกระแสน้ำขึ้นน้ำลงของดาวเคราะห์ที่มันโคจรอยู่ได้มากนัก แต่ดวงจันทร์หลายดวงในระบบสุริยะกำลังประสบกับการลดลงของวงโคจรด้วยกลไกนี้^{[ 73 ]}โฟบอสดวงจันทร์ที่อยู่ใกล้ดาวอังคารที่สุดเป็นตัวอย่างที่สำคัญ และคาดว่าจะพุ่งชนพื้นผิวของดาวอังคารหรือแตกออกเป็นวงแหวนในอีก 20 ถึง 40 ล้านปีข้างหน้า^{[ 74 ]}

วงโคจรอาจสลายตัวได้ผ่านการปล่อยคลื่นความโน้มถ่วงกลไกนี้อ่อนแอมากสำหรับวัตถุทางดาราศาสตร์ส่วนใหญ่ และจะมีความสำคัญเฉพาะในกรณีที่มีมวลมากและความเร่งมาก เช่นวัตถุขนาดกะทัดรัดที่โคจรรอบกันอย่างใกล้ชิด^{[ 75 ]}

การวิเคราะห์มาตรฐานของวัตถุที่โคจรนั้นถือว่าวัตถุทั้งหมดประกอบด้วยทรงกลมที่สม่ำเสมอ หรือโดยทั่วไปแล้วคือเปลือกทรงกลมที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ ในทางคณิตศาสตร์ วัตถุดังกล่าวเทียบเท่ากับแหล่งกำเนิดจุดในเชิงแรงโน้มถ่วงตามทฤษฎีบทเปลือกทรงกลม [ ^{76 ] อย่างไรก็ตาม}ในโลกแห่งความเป็นจริง วัตถุจำนวนมากหมุน และสิ่งนี้ทำให้เกิดความแบนราบซึ่งเรียกว่าส่วนนูนบริเวณเส้นศูนย์สูตรสิ่งนี้เพิ่มโมเมนต์ควอดรูโพลให้กับสนามโน้มถ่วง ซึ่งมีความสำคัญที่ระยะทางที่เทียบได้กับรัศมีของวัตถุ^{[ 77 ] [ 78 ]}ในกรณีทั่วไป ศักยภาพโน้มถ่วงของวัตถุที่หมุน เช่น ดาวเคราะห์ สามารถขยายเป็นมัลติโพลเพื่ออธิบายการเบี่ยงเบนจากสมมาตรทรงกลม^{[ 79 ]}

จากมุมมองของพลศาสตร์ของดาวเทียม สิ่งที่มีความเกี่ยวข้องเป็นพิเศษคือสัมประสิทธิ์ฮาร์มอนิกโซนัลคู่หรือโซนัลคู่ เนื่องจากทำให้เกิดการรบกวนวงโคจรแบบสะสมในช่วงเวลาที่ยาวนานกว่าคาบวงโคจร^{[ 80 ] [ 81 ]}สัมประสิทธิ์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับการวางแนวของแกนสมมาตรของวัตถุในอวกาศ ซึ่งโดยทั่วไปจะส่งผลกระทบต่อวงโคจรทั้งหมด ยกเว้นแกนกึ่งเอก

การล็อกด้วยแรงโน้มถ่วงระหว่างวัตถุทางดาราศาสตร์ที่โคจรร่วมกันเกิดขึ้นเมื่อวัตถุหนึ่งถึงสถานะที่ไม่มีการถ่ายโอนโมเมนตัมเชิงมุม สุทธิอีกต่อไป ตลอดการโคจรครบวง^{[ 82 ]}ปฏิสัมพันธ์ทางแรงโน้มถ่วงของพวกมันทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องต่อวงโคจรและอัตราการหมุนอันเป็นผลมาจากการแลกเปลี่ยนพลังงานและการกระจาย ความร้อน จนกระทั่งเกิดสถานะล็อก วัตถุนั้นมีแนวโน้มที่จะอยู่ในสถานะนี้เนื่องจากการออกจากสถานะนี้จะต้องเพิ่มพลังงานกลับเข้าไปในระบบ ตัวอย่างเช่น ดาวเคราะห์เมอร์คิวรี ซึ่งล็อกอยู่ในสถานะที่หมุนรอบแกนของตัวเองครบสามรอบทุกๆ สองวงโคจร^{[ 83 ]}

ในกรณีที่วัตถุที่ถูกล็อกด้วยแรงโน้มถ่วงมีการหมุนแบบซิงโครนัส วัตถุนั้นจะใช้เวลาหมุนรอบแกนของตัวเองเท่ากับเวลาโคจรรอบคู่ของมัน ในกรณีนี้ ด้านหนึ่งของวัตถุท้องฟ้าจะหันหน้าเข้าหาวัตถุหลักอย่างถาวร ซึ่งเป็นกรณีของดวงจันทร์ของโลกและสมาชิกทั้งสองของระบบพลูโต-ชารอน^{[ 84 ]}

ผลกระทบจากแรงโน้มถ่วงของวัตถุอื่น ๆ อาจมีนัยสำคัญ ตัวอย่างเช่นวงโคจรของดวงจันทร์ไม่สามารถอธิบายได้อย่างแม่นยำหากไม่คำนึงถึงแรงโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์และโลกด้วย^{[ 85 ]}ผลลัพธ์โดยประมาณอย่างหนึ่งคือ วัตถุต่าง ๆ มักจะมีวงโคจรที่ค่อนข้างเสถียรรอบดาวเคราะห์หรือดวงจันทร์ที่มีมวลมากกว่า แม้จะมีการรบกวนเหล่านี้ก็ตาม โดยมีเงื่อนไขว่าวัตถุเหล่านั้นโคจรอยู่ภายในทรงกลมฮิลล์ของ วัตถุที่มีมวลมากกว่า ^{[ 86 ]}

ผลกระทบระยะยาวของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุหลายชิ้นอาจเป็นการ หมุนควงของจุดใกล้สุดและจุดไกลสุด (apsides precession)ซึ่งเป็นการหมุนอย่างค่อยเป็นค่อยไปของเส้นระหว่างจุดใกล้สุดและ จุด ไกลสุด สำหรับระบบวงรี ผลลัพธ์ที่ได้คือวงโคจรแบบโรเซตตานักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณฮิปปาร์คัสได้บันทึกการหมุนควงของจุดใกล้สุดและจุดไกลสุดของวงโคจรของดวงจันทร์ไว้เช่นกัน โดยเป็นการโคจรรอบจุดไกลสุดของดวงจันทร์ด้วยคาบเวลาประมาณ 8.85 ปี^{[ 87 ]} การหมุนควงของ จุด ใกล้สุดและจุด ไกลสุดอาจเกิดจากการรบกวนจากกระแสน้ำ การรบกวนจากการหมุน ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 19 ]}หรือการรวมกันของผลกระทบเหล่านี้ การตรวจพบการหมุนควงของจุดใกล้สุดและจุดไกลสุดใน ระบบดาวคู่ที่อยู่ห่างไกล สามารถเป็นตัวบ่งชี้ถึงผลกระทบจากการรบกวนของดาวคู่ดวงที่สามที่มองไม่เห็น^{[ 88 ]}

เมื่อมีวัตถุมากกว่าสองชิ้นที่ดึงดูดกัน จะเรียกว่าปัญหาหลายวัตถุ (n-body problem ) ปัญหาหลายวัตถุส่วนใหญ่ไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด (closed form solution ) แม้ว่าจะมีการกำหนดคำตอบสำหรับกรณีพิเศษบางกรณีแล้วก็ตาม

แทนที่จะใช้คำตอบแบบปิดที่แน่นอน วงโคจรที่มีวัตถุหลายชิ้นสามารถประมาณได้ด้วยความแม่นยำสูงตามอำเภอใจ วิธีหนึ่งคือการใช้การเคลื่อนที่แบบวงรีบริสุทธิ์เป็นพื้นฐานและเพิ่ม พจน์ การรบกวนเพื่ออธิบายอิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของวัตถุหลายชิ้น^{[ 89 ]}วิธีนี้สะดวกสำหรับการคำนวณตำแหน่งของวัตถุทางดาราศาสตร์ สมการการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ ดาวเคราะห์ และวัตถุอื่นๆ เป็นที่ทราบกันดีด้วยความแม่นยำสูง และใช้ในการสร้างตารางสำหรับ การนำทาง ทางดาราศาสตร์^{[ 90 ]}อย่างไรก็ตาม ยังมีปรากฏการณ์ทางโลกที่ต้องจัดการด้วยวิธีการ หลังนิวตัน

แนวทางแบบเพิ่มขึ้นใช้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อวัตถุประสงค์ทางวิทยาศาสตร์หรือการวางแผนภารกิจ^{[ 91 ]}ตามกฎของนิวตัน แรงโน้มถ่วงแต่ละแรงที่กระทำต่อวัตถุจะขึ้นอยู่กับระยะห่างจากแหล่งกำเนิด ดังนั้น ความเร่งจึงสามารถแสดงได้ในรูปของตำแหน่ง เงื่อนไขการรบกวนนั้นอธิบายได้ง่ายกว่ามากในรูปแบบนี้ การทำนายตำแหน่งและความเร็วในอนาคตจากค่าเริ่มต้นของตำแหน่งและความเร็วจะสอดคล้องกับการแก้ปัญหาค่าเริ่มต้นวิธีการเชิงตัวเลขคำนวณตำแหน่งและความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาสั้น ๆ ในอนาคต จากนั้นจึงทำการคำนวณซ้ำไปเรื่อย ๆ อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์เล็ก ๆ น้อย ๆ จากความแม่นยำที่จำกัดของคณิตศาสตร์ของคอมพิวเตอร์จะสะสม ซึ่งจำกัดความแม่นยำในระยะยาวของแนวทางนี้

การจำลองเชิงอนุพันธ์ที่มีวัตถุจำนวนมากจะทำการคำนวณในลักษณะคู่ลำดับชั้นระหว่างศูนย์กลางมวล โดยใช้แผนการนี้ กาแล็กซี กระจุกดาว และกลุ่มวัตถุขนาดใหญ่อื่นๆ ได้รับการจำลอง^{[ 92 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับวัตถุขนาดเล็ก แสง^{[ 65 ]}และลมดาวฤกษ์สามารถทำให้เกิดการรบกวนอย่างมีนัยสำคัญต่อทัศนคติและทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ และเมื่อเวลาผ่านไปอาจส่งผลกระทบอย่างมาก วัตถุที่มีสนามแม่เหล็กตกค้างสามารถโต้ตอบกับสนามแม่เหล็ก ของดาวเคราะห์ ทำให้วงโคจรของพวกมันถูกรบกวน^{[ 65 ]}ในบรรดาวัตถุในระบบสุริยะ การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ น้อย ได้รับผลกระทบเป็นพิเศษในช่วงเวลาที่ยาวนานจากปรากฏการณ์ Yarkovskyเมื่อดาวเคราะห์น้อยหมุนรอบดวงอาทิตย์^{[ 93 ]}

นักคณิตศาสตร์ค้นพบว่าในทางทฤษฎีแล้วเป็นไปได้ที่จะมีวัตถุหลายชิ้นโคจรในวงโคจรที่ไม่เป็นรูปวงรีซึ่งวนซ้ำเป็นระยะ แม้ว่าวงโคจรส่วนใหญ่จะไม่เสถียรต่อการรบกวนเล็กน้อยในมวล ตำแหน่ง หรือความเร็วก็ตาม อย่างไรก็ตาม ได้มีการระบุกรณีที่เสถียรเป็นพิเศษบางกรณี รวมถึงวงโคจรรูปเลขแปดบนระนาบซึ่งมีวัตถุเคลื่อนที่สามชิ้น [ ^{95 ] การ}ศึกษาเพิ่มเติมพบว่าวงโคจรที่ไม่เป็นระนาบก็เป็นไปได้เช่นกัน รวมถึงวงโคจรที่มีมวล 12 ก้อนเคลื่อนที่ในวงโคจรที่เชื่อมต่อกันเป็นรูปวงกลมโดยประมาณ 4 วง ซึ่งเทียบเท่าทาง โทโพโลยีกับขอบของทรงลูกบาศก์แปด เหลี่ยม ^{[ 96 ]}

การค้นพบวงโคจรดังกล่าวที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในจักรวาลนั้นถือว่าไม่น่าเป็นไปได้อย่างยิ่ง เนื่องจากโอกาสที่จะเกิดเงื่อนไขที่จำเป็นโดยบังเอิญนั้นมีน้อยมาก^{[ 96 ]}

กลศาสตร์วงโคจรหรือพลศาสตร์ดาราศาสตร์คือการประยุกต์ใช้ขีปนาวิถีและกลศาสตร์ท้องฟ้ากับปัญหาเชิงปฏิบัติเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจรวดและยานอวกาศอื่นๆ[ 97 ^{]การเคลื่อนที่}ของวัตถุเหล่านี้มักคำนวณจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันและกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันเป็นสาขาวิชาหลักในการออกแบบและควบคุมภารกิจอวกาศ กลศาสตร์ท้องฟ้ากล่าวถึงพลศาสตร์วงโคจรของระบบภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง ในวงกว้างขึ้น รวมถึงยานอวกาศและวัตถุทางดาราศาสตร์ตามธรรมชาติ เช่น ระบบดาวดาวเคราะห์ ดวงจันทร์และดาวหางกลศาสตร์วงโคจรมุ่งเน้นไปที่วิถีโคจร ของยานอวกาศ รวมถึงการเคลื่อนที่ในวงโคจรการเปลี่ยนแปลงระนาบวงโคจร และการถ่ายโอนระหว่างดาวเคราะห์^{[ 98 ]}และถูกใช้โดยนักวางแผนภารกิจเพื่อทำนายผลลัพธ์ของการเคลื่อนที่ด้วยแรงขับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีที่แม่นยำกว่ากฎของนิวตันในการคำนวณวงโคจร และบางครั้งก็จำเป็นสำหรับความแม่นยำที่มากขึ้นหรือในสถานการณ์ที่มีแรงโน้มถ่วงสูง (เช่น วงโคจรใกล้ดวงอาทิตย์หรือดาวเคราะห์) ^{[ 99 ]}

• วงโคจรต่ำของโลก (LEO): วงโคจรแบบศูนย์กลางโลกที่มีระดับความสูงไม่เกิน 2,000 กม . (0–1,240 ไมล์ ) ^{[ 100 ]}
• วงโคจรระดับกลางของโลก (MEO): วงโคจรแบบจีโอเซนทริกที่มีระดับความสูงตั้งแต่ 2,000 กม. (1,240 ไมล์ ) ไปจนถึงระดับต่ำกว่าวงโคจรจีโอซิงโครนัสที่ 35,786 กิโลเมตร (22,236 ไมล์) หรือที่รู้จักกันในชื่อวงโคจรวงกลมระดับกลาง วงโคจรเหล่านี้ "โดยทั่วไปจะอยู่ที่ 20,200 กิโลเมตร (12,600 ไมล์) หรือ 20,650 กิโลเมตร (12,830 ไมล์) โดยมีคาบการโคจร 12 ชั่วโมง" ^{[ 101 ]}
• ทั้งวงโคจรซิงโครนัสทางภูมิศาสตร์ (GSO) และวงโคจรคงที่ทางภูมิศาสตร์ (GEO) เป็นวงโคจรรอบโลกที่ตรงกับคาบ การหมุนของโลกตาม ระบบดาราศาสตร์ วงโคจรซิงโครนัส ทางภูมิศาสตร์และวงโคจรคงที่ทางภูมิศาสตร์ทั้งหมดมีแกนกึ่งเอก 42,164 กม. (26,199 ไมล์) วงโคจรคงที่ทางภูมิศาสตร์ทั้งหมดเป็นวงโคจรซิงโครนัสทางภูมิศาสตร์ด้วย แต่ไม่ใช่ว่าวงโคจรซิงโครนัสทางภูมิศาสตร์ทั้งหมดจะเป็นวงโคจรคงที่ทางภูมิศาสตร์ วงโคจรคงที่ทางภูมิศาสตร์จะอยู่เหนือเส้นศูนย์สูตรพอดี ในขณะที่วงโคจรซิงโครนัสทางภูมิศาสตร์อาจแกว่งไปทางเหนือและใต้เพื่อครอบคลุมพื้นผิวโลกมากขึ้น ทั้งสองวงโคจรจะโคจรรอบโลกครบหนึ่งรอบต่อวันดาราศาสตร์ (เทียบกับดวงดาว ไม่ใช่ดวงอาทิตย์) ^{[ 102 ]}
• วงโคจรโลกสูง : วงโคจรศูนย์กลางโลกที่อยู่เหนือระดับความสูงของวงโคจรซิงโครนัสโลกที่ 35,786 กม . (22,240 ไมล์ ) ^{[ 101 ]}

ค่าคงที่ความโน้มถ่วงGคำนวณได้ดังนี้:6.6743 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . ^{[ 103 ]}

• (6.6742 ± 0.001) × 10 ⁻¹¹ (กก./ม. ³ ) ⁻¹ s ⁻² .

ดังนั้นค่าคงที่จึงมีความหนาแน่นมิติ⁻¹เวลา⁻²ซึ่งสอดคล้องกับคุณสมบัติดังต่อไปนี้

การปรับขนาดระยะทาง (รวมถึงขนาดของวัตถุ โดยคงความหนาแน่นไว้เท่าเดิม) จะทำให้ได้ วงโคจร ที่คล้ายคลึงกันโดยไม่ต้องปรับขนาดเวลา ตัวอย่างเช่น หากระยะทางลดลงครึ่งหนึ่ง มวลจะลดลง 8 เท่า แรงโน้มถ่วงจะลดลง 16 เท่า และความเร่งโน้มถ่วงจะลดลง 2 เท่า ดังนั้นความเร็วจะลดลงครึ่งหนึ่ง และคาบการโคจรและเวลาในการเดินทางอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงจะยังคงเท่าเดิม ตัวอย่างเช่น เมื่อปล่อยวัตถุจากหอคอย เวลาที่ใช้ในการตกถึงพื้นจะยังคงเท่าเดิมไม่ว่าจะเป็นแบบจำลองหอคอยบนแบบจำลองโลกก็ตาม

การปรับขนาดระยะทางโดยคงมวลไว้เท่าเดิม (ในกรณีของมวลจุด หรือโดยการปรับความหนาแน่น) จะให้วงโคจรที่คล้ายคลึงกัน หากระยะทางคูณด้วย 4 แรงโน้มถ่วงและความเร่งจะถูกหารด้วย 16 ความเร็วจะลดลงครึ่งหนึ่ง และคาบการโคจรจะเพิ่มขึ้นเป็น 8 เท่า

เมื่อความหนาแน่นทั้งหมดถูกคูณด้วย 4 วงโคจรจะยังคงเหมือนเดิม แรงโน้มถ่วงจะถูกคูณด้วย 16 และความเร่งจะถูกคูณด้วย 4 ความเร็วจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า และคาบการโคจรจะลดลงครึ่งหนึ่ง

เมื่อความหนาแน่นทั้งหมดถูกคูณด้วย 4 และขนาดทั้งหมดลดลงครึ่งหนึ่ง วงโคจรจะคล้ายคลึงกัน มวลถูกหารด้วย 2 แรงโน้มถ่วงเท่าเดิม ความเร่งโน้มถ่วงเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ดังนั้นความเร็วจึงเท่าเดิมและคาบการโคจรลดลงครึ่งหนึ่ง

ในทุกกรณีของการปรับขนาด หากความหนาแน่นเพิ่มขึ้นเป็น 4 เท่า เวลาจะลดลงครึ่งหนึ่ง และหากความเร็วเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า แรงจะเพิ่มขึ้นเป็น 16 เท่า

คุณสมบัติเหล่านี้แสดงให้เห็นได้ในสูตร (ซึ่งได้มาจากสูตรสำหรับคาบการโคจร )

${\displaystyle GT^{2}\rho =3\pi \left({\frac {a}{r}}\right)^{3},}$

สำหรับวงโคจรวงรีที่มีแกนกึ่งเอกaของวัตถุขนาดเล็กโคจรรอบวัตถุทรงกลมที่มีรัศมีrและความหนาแน่นเฉลี่ยρโดยที่Tคือคาบการโคจร ดูเพิ่มเติมที่กฎข้อที่สามของเคปเลอร์

• Abell, George O.; Morrison, David & Wolff, Sidney C. (1987). การสำรวจจักรวาล (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 5). สำนักพิมพ์ Saunders College. ISBN 978-0-03-005143-2.
• ลินตัน, คริสโตเฟอร์ (2004). จากยูโดซัสถึงไอน์สไตน์: ประวัติศาสตร์ของดาราศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-1-139-45379-0.

ลองค้นหาคำว่า "orbit"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับวงโคจร

• CalcTool: เครื่องคำนวณคาบการโคจรของดาวเคราะห์มีหน่วยให้เลือกมากมาย ต้องใช้ JavaScript
• การจำลองการเคลื่อนที่ในวงโคจรด้วยภาษา Javaต้องใช้ Java ในการพัฒนา
• หน้าเว็บของ NOAA เกี่ยวกับข้อมูลแรงผลักดันด้านสภาพภูมิอากาศประกอบด้วยข้อมูล (ที่คำนวณแล้ว) เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงวงโคจรของโลกในช่วง 50 ล้านปีที่ผ่านมา และสำหรับอีก 20 ล้านปีข้างหน้า
• โปรแกรมแสดงวงโคจรแบบออนไลน์ต้องใช้ JavaScript
• กลศาสตร์วงโคจร (เทคโนโลยีจรวดและอวกาศ)
• การจำลองวงโคจรโดย Varadi, Ghilและ Runnegar (2003) ให้ชุดข้อมูลอีกชุดหนึ่งที่แตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรของโลก และยังมีชุดข้อมูลสำหรับความเอียงของวงโคจรอีกด้วย วงโคจรของดาวเคราะห์ดวงอื่น ๆ ก็ได้รับการคำนวณโดยF. Varadi; B. Runnegar; M. Ghil (2003) เช่น กัน "การปรับปรุงอย่างต่อเนื่องในการบูรณาการระยะยาวของวงโคจรของดาวเคราะห์"วารสารดาราศาสตร์ฟิสิกส์ 592 ( 1): 620– 630. Bibcode : 2003ApJ...592..620V . doi : 10.1086/375560 .แต่มีเพียงข้อมูลความเยื้องศูนย์กลางของโลกและดาวพุธ เท่านั้น ที่สามารถดูได้ทางออนไลน์
• ทำความเข้าใจวงโคจรโดยใช้การควบคุมโดยตรงเก็บถาวรเมื่อวันที่ 8 พฤศจิกายน 2017 ที่Wayback Machineต้องใช้ JavaScript และ Macromedia
• เมอร์ริฟิลด์, ไมเคิล. "วงโคจร (รวมถึงวงโคจรที่มีมนุษย์ควบคุมครั้งแรก)" . หกสิบสัญลักษณ์ . เบรดี้ ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .