กลุ่มจุด ที่เลือกในสามมิติ

สมมาตรการผกผัน C s , (*) [ ] =	สมมาตรแบบวัฏจักร C nv , (*nn) [n] =	สมมาตรไดเฮดรัล D nh , (*n22) [n,2] =
กลุ่มทรงหลายเหลี่ยม , [n,3], (*n32)
สมมาตรทรงสี่หน้า T d , (*332) [3,3] =	สมมาตรทรงแปดเหลี่ยม O h , (*432) [4,3] =	สมมาตรไอโคซาเฮดรัล I h , (*532) [5,3] =

ทรงสี่เหลี่ยมหน้าด้านเท่าปกติมีสมมาตรแบบหมุน (หรือสมมาตรที่รักษาทิศทาง ) 12 แบบ และลำดับสมมาตร 24 แบบ รวมทั้งการแปลงที่รวมการสะท้อนและการหมุนเข้าด้วยกัน

กลุ่มของสมมาตรทั้งหมด (ซึ่งไม่จำเป็นต้องรักษาทิศทาง) นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่ม S₄ _ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตร ของการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุสี่ชิ้น เนื่องจากมีสมมาตรดังกล่าวเพียงหนึ่งเดียวสำหรับการ เรียง สับเปลี่ยนจุดยอดของทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าแต่ละแบบ เซตของสมมาตรที่รักษาทิศทาง _นั้นก่อตัวเป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มย่อยสลับ A₄ ของ_S₄

สมมาตร ไครัลและ สมมาตร เต็ม (หรือ สมมาตรทรงสี่หน้า แบบ ไม่ไครัลและสมมาตรทรงสามหน้า ) คือสมมาตรจุดแบบไม่ต่อเนื่อง (หรือเทียบเท่ากับสมมาตรบนทรงกลม ) ซึ่งอยู่ในกลุ่มจุดทางผลึกศาสตร์ของระบบผลึกทรงลูกบาศก์

แกนการหมุน

ซี3	ซี3	ซี2
2	2	3

เมื่อมองผ่านภาพฉายสาม มิติ ขอบของทรงหกเหลี่ยมด้านเท่าจะก่อให้เกิดวงกลม 6 วง (หรือเส้นรัศมีจากจุดศูนย์กลาง) ในระนาบ วงกลมทั้ง 6 วงนี้แสดงถึงเส้นสะท้อนในสมมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า จุดตัดของวงกลมเหล่านี้จะมาบรรจบกันที่จุดไจเรชันลำดับที่ 2 และ 3

ตั้งฉาก	การฉายภาพสามมิติ
	4 เท่า	3 เท่า	2 เท่า
สมมาตรเตตระเฮดรัลไครัล T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
สมมาตรไพริโทเฮดรัล, T h , (3*2), [4,3 + ],
สมมาตรทรงสี่หน้าแบบอะไครัล, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

กลุ่มการหมุนทรงสี่หน้า T ที่มีโดเมนพื้นฐานสำหรับทรงสี่หน้าไตรอาคิส โปรดดูด้านล่าง โดยทรงสี่หน้าดังกล่าวมีหน้าเต็มหนึ่งหน้า

รูป ทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดสามารถวางในตำแหน่งที่แตกต่างกันได้ 12 ตำแหน่งโดยการหมุนเพียงอย่างเดียว ดังแสดงในภาพด้านบนใน รูปแบบ กราฟวงจร พร้อมกับการหมุนขอบ 180° (ลูกศรสีน้ำเงิน) และ การหมุนจุดยอด 120° (ลูกศรสีแดง) ซึ่งทำให้รูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งเหล่านั้น

ในทรงหกเหลี่ยมเททราคิสหน้าเต็มหนึ่งหน้าถือเป็นโดเมนพื้นฐาน รูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ ที่มีสมมาตรเดียวกันสามารถได้มาจากการปรับทิศทางของหน้า เช่น การทำให้กลุ่มย่อยของหน้าบางส่วนแบนราบลงเพื่อรวมแต่ละกลุ่มย่อยเข้าเป็นหน้าเดียว หรือการแทนที่แต่ละหน้าด้วยหลายหน้า หรือพื้นผิวโค้ง

T , 332 , [3,3] ⁺ , หรือ 23 , ของลำดับ 12 –สมมาตรเตตระเฮดรัลไครัลหรือมีแกนการหมุน 2 เท่าตั้งฉากกัน 3 แกน เช่นเดียวกับสมมาตรไดเฮด รัลไครัล D ₂หรือ 222 โดยมีแกน 3 เท่าเพิ่มเติมอีก 4 แกน ซึ่งอยู่ตรงกลางระหว่างทิศทางตั้งฉากทั้งสาม กลุ่มนี้มีลักษณะเหมือนกับ A ₄ซึ่งเป็นกลุ่ม สลับ บนองค์ประกอบ 4 ตัว อันที่จริงมันคือกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนคู่ของแกน 3 เท่าทั้ง 4 แกน: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)

กลุ่มการผันแปรของ T คือ:

• ตัวตน
• หมุน 4 เท่า 120° ตามเข็มนาฬิกา (มองจากจุดยอด): (234), (143), (412), (321)
• หมุนทวนเข็มนาฬิกา 4 ครั้ง ครั้งละ 120° (เช่นเดียวกัน)
• หมุน 3 ครั้ง ครั้งละ 180°

การหมุน 180° ร่วมกับเอกลักษณ์ ก่อให้เกิดกลุ่มย่อยปกติประเภท Dih ₂โดยมีกลุ่มผลหารประเภท Z ₃องค์ประกอบทั้งสามของกลุ่มหลังนี้ ได้แก่ เอกลักษณ์ "การหมุนตามเข็มนาฬิกา" และ "การหมุนทวนเข็มนาฬิกา" ซึ่งสอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยนของแกน 2 เท่าตั้งฉากทั้งสามแกน โดยรักษาทิศทางไว้

_{กลุ่ม A₄}เป็นกลุ่มที่เล็กที่สุดที่แสดงให้เห็นว่าบทกลับของทฤษฎีบทของลากรองจ์ไม่เป็นจริงโดยทั่วไป: เมื่อกำหนดกลุ่มจำกัดGและตัวหารdของ | G | แล้ว ไม่จำเป็นต้องมีกลุ่มย่อยของGที่มีอันดับd เสมอไป : กลุ่มG = A₄ _{ไม่มี}กลุ่มย่อยที่มีอันดับ 6 แม้ว่าจะเป็นคุณสมบัติสำหรับกลุ่มนามธรรมโดยทั่วไป แต่ก็เห็นได้ชัดจากกลุ่มไอโซเมตรีของสมมาตรทรงสี่หน้าไครัล: เนื่องจากความเป็นไครัล กลุ่มย่อยจะต้องเป็น C₆ _หรือ D₃ _แต่ทั้งสองอย่างก็ใช้ไม่ได้

โช.	ค็อกซ์เตอร์		ออร์บ	เอชเอ็ม	เครื่องกำเนิดไฟฟ้า	โครงสร้าง	ไซค	คำสั่ง	ดัชนี
ที	[3,3] +	=	332	23	2	เอ4		12	1
ดี2	[2,2] +	=	222	222	3	ดี4		4	3
ซี3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	4
ซี2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	6
ซี1	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	12

T _d , *332 , [3,3] หรือ4 3m, ลำดับ 24 – สมมาตรแบบอะไครัลหรือ เตตระเฮดรัลสมบูรณ์ หรือที่รู้จักกันในชื่อกลุ่มสามเหลี่ยม (2,3,3) กลุ่มนี้มีแกนการหมุนเหมือนกับ T แต่มีระนาบสะท้อนหกระนาบ แต่ละระนาบผ่านแกน 3 เท่าสองแกน แกน 2 เท่าในที่นี้คือแกน S ₄ ( 4 ) T _dและ O เป็นกลุ่มนามธรรมที่สมมาตรกัน: ทั้งสองสอดคล้องกับ S ₄ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรบนวัตถุ 4 T _dคือการรวมกันของ T และเซตที่ได้จากการรวมแต่ละองค์ประกอบของO \ Tด้วยการผกผัน ดูเพิ่มเติม ที่ ไอโซเมตรีของเตตระเฮดรัลปกติ

ชั้นสมมูลของ T _dคือ:

• ตัวตน
• หมุน 8 ครั้ง ครั้งละ 120° (C ₃ )
• หมุน 3 ครั้ง ครั้งละ 180° (C ₂ )
• 6 × การสะท้อนในระนาบที่ผ่านแกนหมุนสองแกน (C _s )
• 6 × การสะท้อนของโรเตอร์ 90° (S ₄ )

โช.	ค็อกซ์เตอร์		ออร์บ	เอชเอ็ม	เครื่องกำเนิดไฟฟ้า	โครงสร้าง	ไซค	คำสั่ง	ดัชนี
ทีดี	[3,3]		*332	4 3ม.	3	เอส4		24	1
ซี3วี	[3]		*33	3 เมตร	2	D 6 =S 3		6	4
ซี2วี	[2]		*22	มม.2	2	ดี4		4	6
ซีเอส	[ ]		*	2หรือ ม.	1	Z 2 = D 2		2	12
ดี2ด	[2 + ,4]		2*2	4 2ม.	2	ดี8		8	3
เอส4	[2 + ,4 + ]		2×	4	1	Z 4		4	6
ที	[3,3] +		332	23	2	เอ4		12	2
ดี2	[2,2] +		222	222	2	ดี4		4	6
ซี3	[3] +		33	3	1	Z 3 = A 3		3	8
ซี2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
ซี1	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	24

T _h , 3*2 , [4,3 ⁺ ] หรือ m 3 , ของลำดับ 24 – สมมาตรไพริโทเฮดรัล [ ^{1 ] กลุ่ม}นี้มีแกนการหมุนเหมือนกับ T โดยมีระนาบสะท้อนผ่านทิศทางตั้งฉากสองทิศทาง แกน 3 เท่าตอนนี้คือแกนS ₆ ( 3 ) และมีสมมาตรการผกผันตรงกลาง T _hเป็นไอโซมอร์ฟิกกับT × Z ₂ : ทุกองค์ประกอบของ T _hเป็นองค์ประกอบของ T หรือเป็นองค์ประกอบที่รวมกับการผกผัน นอกเหนือจากสองกลุ่มย่อยปกติเหล่านี้แล้ว ยังมีกลุ่มย่อยปกติ D _2h (ของทรงลูกบาศก์ ) ประเภทDih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂เป็นผลคูณโดยตรงของกลุ่มย่อยปกติของ T (ดูด้านบน) กับC _iกลุ่มผลหารเหมือนกับข้างต้น: ประเภทZ ₃องค์ประกอบทั้งสามของสิ่งหลังนี้ได้แก่ เอกลักษณ์ "การหมุนตามเข็มนาฬิกา" และ "การหมุนทวนเข็มนาฬิกา" ซึ่งสอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยนของแกนสมมาตรสองเท่าสามแกนที่ตั้งฉากกัน โดยยังคงรักษาทิศทางไว้

มันคือสมมาตรของลูกบาศก์ที่มีส่วนของเส้นตรงแบ่งหน้าแต่ละหน้าออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปเท่ากัน โดยที่ส่วนของเส้นตรงของหน้าที่อยู่ติดกันจะไม่มาบรรจบกันที่ขอบ สมมาตรนี้สอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยนแบบคู่ของเส้นทแยงมุมของทรงลูกบาศก์ และการเรียงสับเปลี่ยนแบบเดียวกันเมื่อรวมกับการผกผัน นอกจากนี้ยังเป็นสมมาตรของทรงพีริโทเฮดรอนซึ่งคล้ายกับลูกบาศก์ที่อธิบายไว้มาก โดยแต่ละสี่เหลี่ยมผืนผ้าถูกแทนที่ด้วยรูปห้าเหลี่ยมที่มีแกนสมมาตรหนึ่งแกนและด้านเท่ากัน 4 ด้านและด้านที่แตกต่างกัน 1 ด้าน (ด้านที่สอดคล้องกับส่วนของเส้นตรงที่แบ่งหน้าของลูกบาศก์) กล่าวคือ หน้าของลูกบาศก์จะโป่งออกที่เส้นแบ่งและแคบลงที่นั่น มันเป็นกลุ่มย่อยของ กลุ่ม สมมาตรไอโคซาเฮดรอน แบบเต็ม (ในฐานะกลุ่มไอโซเมตรี ไม่ใช่แค่กลุ่มนามธรรม) โดยมีแกน 3 เท่า 4 ใน 10 แกน

กลุ่มการผันคำของ T _hประกอบด้วยกลุ่มการผันคำของ T โดยมีกลุ่ม 4 สองกลุ่มรวมกัน และแต่ละกลุ่มมีการผกผัน:

• ตัวตน
• หมุน 8 ครั้ง ครั้งละ 120° (C ₃ )
• หมุน 3 ครั้ง ครั้งละ 180° (C ₂ )
• การผกผัน (S ₂ )
• 8 × การสะท้อนของโรเตอร์ 60° (S ₆ )
• 3 × การสะท้อนในระนาบ (C _s )

โช.	ค็อกซ์เตอร์		ออร์บ	เอชเอ็ม	เครื่องกำเนิดไฟฟ้า	โครงสร้าง	ไซค	คำสั่ง	ดัชนี
ไทย​	[3 + ,4]		3*2	ม.3	2	4 × Z 2		24	1
ดี2 ชม.	[2,2]		*222	อืมมม	3	ดี4 ×ดี2		8	3
ซี2วี	[2]		*22	มม.2	2	ดี4		4	6
ซีเอส	[ ]		*	2หรือ ม.	1	ดี2		2	12
ซี2 ชม.	[2 + ,2]		2*	2/ม.	2	Z 2 ×D 2		4	6
เอส2	[2 + ,2 + ]		×	1	1	Z 2		2	12
ที	[3,3] +		332	23	2	เอ4		12	2
ดี3	[2,3] +		322	3	2	ดี6		6	4
ดี2	[2,2] +		222	222	3	ดี8		4	6
ซี3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	8
ซี2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
ซี1	[ ] +		11	1	1	Z 1		1	24

ทรงยี่สิบหน้าที่มีสีเหมือนทรงสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าแบบเฉียงจะมีสมมาตรแบบไครัล

ระดับ	ชื่อ	รูปภาพ	ใบหน้า	ขอบ	จุดยอด
ทรงหลายเหลี่ยมเพลโต	จัตุรมุข		4	6	4
ทรงเรขาคณิตแบบอาร์คิมีเดียน	ทรงสี่เหลี่ยมตัดยอด		8	18	12
คาตาลันโซลเจอร์	ทรงสี่หน้าไตรอาคิส		12	18	8
จอห์นสันเกือบพลาดแล้ว แข็งแกร่งมาก	ทรงสี่หน้าไตรอาคิสแบบตัด		16	42	28
	ทรงสิบสองเหลี่ยมสี่เหลี่ยม		28	54	28
ทรงหลายเหลี่ยมดาวสม่ำเสมอ	เตตระเฮมิเฮกซาเฮดรอน		7	12	6

• สมมาตรทรงแปดเหลี่ยม
• สมมาตรทรงยี่สิบหน้า
• กลุ่มเตตระเฮดรัลไบนารี

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "กลุ่มทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า" . MathWorld .
• สื่อการเรียนรู้ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มสมมาตร S4ที่ Wikiversity