ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีทฤษฎีสนามควอนตัม ( QFT ) เป็นกรอบทฤษฎีที่รวมทฤษฎีสนามทฤษฎี สั มพัทธภาพพิเศษและกลศาสตร์ควอนตัมเข้า ด้วย กัน^{[ 1 ] : xi} QFT ถูกนำมาใช้ในฟิสิกส์อนุภาคเพื่อสร้างแบบจำลองทางกายภาพของอนุภาคย่อยอะตอมและในฟิสิกส์สสารควบแน่นเพื่อสร้างแบบจำลองของอนุภาคเสมือน แบบจำลองมาตรฐาน ปัจจุบันของฟิสิกส์อนุภาคมีพื้นฐานมาจาก QFT

แม้ว่าทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) จะประสบความสำเร็จอย่างมากในการทำนาย แต่ก็ยังคงเผชิญกับความท้าทายอย่างต่อเนื่องในการบูรณาการแรงโน้มถ่วง อย่างเต็มรูปแบบ และในการสร้างรากฐานทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดอย่างสมบูรณ์

ทฤษฎีสนามควอนตัมถือกำเนิดขึ้นจากผลงานของนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีหลายรุ่นตลอดช่วงศตวรรษที่ 20 การพัฒนาเริ่มต้นขึ้นในทศวรรษ 1920 ด้วยการอธิบายปฏิสัมพันธ์ระหว่างแสงและอิเล็กตรอนซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีสนามควอนตัมแรก นั่นคือควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์อุปสรรคทางทฤษฎีที่สำคัญตามมาในไม่ช้าด้วยการปรากฏและการคงอยู่ของค่าอนันต์ต่างๆ ในการคำนวณแบบรบกวน ซึ่งเป็นปัญหาที่ได้รับการแก้ไขในทศวรรษ 1950 ด้วยการคิดค้น กระบวนการ ปรับค่า มาตรฐาน (renormalization ) อุปสรรคสำคัญประการที่สองมาจากการที่ทฤษฎีสนามควอนตัมไม่สามารถอธิบายปฏิสัมพันธ์แบบอ่อนและ แบบแรงได้ จนถึงจุดที่นักทฤษฎีบางคนเรียกร้องให้ละทิ้งแนวทางทฤษฎีสนาม การพัฒนาทฤษฎีเกจและการสร้างแบบจำลองมาตรฐาน ให้เสร็จสมบูรณ์ ในทศวรรษ 1970 นำไปสู่การฟื้นฟูทฤษฎีสนามควอนตัมอีกครั้ง

ทฤษฎีสนามควอนตัมเป็นผลมาจากการรวมกันของทฤษฎีสนามคลาสสิกกลศาสตร์ควอนตัมและ ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษ^{[ 1 ] : xi} ต่อไปนี้เป็นภาพรวมโดยย่อของทฤษฎีเบื้องต้นเหล่านี้

ทฤษฎีสนามคลาสสิกที่ประสบความสำเร็จในยุคแรกสุดนั้นเกิดขึ้นจากกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันแม้ว่าจะไม่มีแนวคิดเรื่องสนามเลยในตำราPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica ปี 1687 ของเขา แรงโน้มถ่วงตามที่ไอแซค นิวตันอธิบายไว้คือ " การกระทำจากระยะไกล " ผลกระทบต่อวัตถุที่อยู่ไกลออกไปนั้นเกิดขึ้นทันที ไม่ว่าระยะทางจะเป็นเท่าใดก็ตาม อย่างไรก็ตาม ในการแลกเปลี่ยนจดหมายกับริชาร์ด เบนท์ลีย์ นิวตันกล่าวว่า "เป็นไปไม่ได้ที่สสารที่ไม่มีชีวิตจะสามารถกระทำและส่งผลกระทบต่อสสารอื่นโดยปราศจากการสัมผัสกันโดยปราศจากการไกล่เกลี่ยของสิ่งอื่นที่ไม่ใช่สสาร" ^{[ 2 ] : 4} จนกระทั่งศตวรรษที่ 18 นักฟิสิกส์คณิตศาสตร์จึงค้นพบคำอธิบายที่สะดวกของแรงโน้มถ่วงโดยอิงจากสนาม ซึ่งเป็นปริมาณเชิงตัวเลข ( เวกเตอร์ในกรณีของสนามโน้มถ่วง ) ที่กำหนดให้กับทุกจุดในอวกาศที่บ่งบอกถึงการกระทำของแรงโน้มถ่วงต่ออนุภาคใด ๆ ณ จุดนั้น อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ถูกมองว่าเป็นเพียงกลอุบายทางคณิตศาสตร์เท่านั้น^{[ 3 ] : 18}

สนามเริ่มมีตัวตนขึ้นมาเองด้วยการพัฒนาแม่เหล็กไฟฟ้าในศตวรรษที่ 19 ไมเคิล ฟาราเดย์เป็นผู้บัญญัติศัพท์ภาษาอังกฤษว่า "สนาม" ในปี 1845 เขาแนะนำว่าสนามเป็นคุณสมบัติของพื้นที่ (แม้ว่าจะปราศจากสสาร) ที่มีผลทางกายภาพ เขาโต้แย้งเรื่อง "การกระทำจากระยะไกล" และเสนอว่าปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุเกิดขึ้นผ่าน "เส้นแรง" ที่เติมเต็มพื้นที่ คำอธิบายเกี่ยวกับสนามนี้ยังคงใช้มาจนถึงทุกวันนี้^{[ 2 ] [ 4 ] : 301 [ 5 ] : 2}

ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกเสร็จสมบูรณ์ในปี พ.ศ. 2407 ด้วยสมการของแม็กซ์เวลล์ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสนามไฟฟ้าสนามแม่เหล็กกระแสไฟฟ้าและประจุไฟฟ้าสม การ ของแม็กซ์เวลล์บ่งชี้ถึงการมีอยู่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กแพร่กระจายจากจุดหนึ่งในอวกาศไปยังอีกจุดหนึ่งด้วยความเร็วที่จำกัด ซึ่งก็คือความเร็วแสงดังนั้น ทฤษฎีการกระทำจากระยะไกลจึงถูกหักล้างอย่างเด็ดขาด^{[ 2 ] : 19}

แม้ว่าแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกจะประสบความสำเร็จอย่างมาก แต่ก็ไม่สามารถอธิบายเส้นที่ไม่ต่อเนื่องในสเปกตรัมของอะตอมหรือการกระจายตัวของรังสีวัตถุดำในความยาวคลื่นต่างๆ ได้^{[ 6 ]} การศึกษารังสีวัตถุดำของแม็กซ์ พลังค์ ถือเป็นจุดเริ่มต้นของกลศาสตร์ควอนตัม เขาถือว่าอะตอมซึ่งดูดซับและปล่อย รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นตัวสั่น ขนาดเล็ก ที่มีคุณสมบัติสำคัญคือพลังงานของพวกมันสามารถมีค่าเป็นชุดค่าที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ไม่ใช่ค่าต่อเนื่อง ค่าเหล่านี้เรียกว่าตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมกระบวนการจำกัดพลังงานให้เป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่องนี้เรียกว่าการควอนตัม^{[ 7 ] :} บทที่ 2 จากแนวคิดนี้อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ได้เสนอคำอธิบายสำหรับปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก ในปี 1905 ว่าแสงประกอบด้วยแพ็กเก็ตพลังงานแต่ละแพ็กเก็ตที่เรียกว่าโฟตอน (ควอนตัมของแสง) ซึ่งหมายความว่ารังสีแม่เหล็กไฟฟ้า แม้จะเป็นคลื่นในสนามแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิก แต่ก็มีอยู่ในรูปของอนุภาคด้วย^{[ 6 ]}

ในปี พ.ศ. 2456 นีลส์ โบห์รได้นำเสนอแบบจำลองโครงสร้างอะตอมของโบห์ร ซึ่งอิเล็กตรอนภายในอะตอมสามารถรับพลังงานได้เพียงชุดที่ไม่ต่อเนื่อง ไม่ใช่พลังงานแบบต่อเนื่อง นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการควอนตัม แบบจำลองของโบห์รสามารถอธิบายลักษณะที่ไม่ต่อเนื่องของเส้นสเปกตรัมของอะตอมได้อย่างประสบความสำเร็จ ในปี พ.ศ. 2467 หลุยส์ เดอ บรอยล์ได้เสนอสมมติฐานเรื่องความเป็นคู่ของคลื่นและอนุภาคโดยที่อนุภาคขนาดเล็กแสดงคุณสมบัติทั้งแบบคลื่นและแบบอนุภาคภายใต้สถานการณ์ที่แตกต่างกัน^{[ 6 ]}การรวมแนวคิดที่กระจัดกระจายเหล่านี้เข้าด้วยกัน ทำให้เกิดสาขาวิชาที่สอดคล้องกัน นั่นคือกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งถูกกำหนดขึ้นระหว่างปี พ.ศ. 2468 ถึง พ.ศ. 2469 โดยมีส่วนสำคัญจากแม็กซ์ พลังค์ , หลุยส์ เดอ บรอยล์ , เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก , แม็กซ์ บอ ร์น , เออร์วิน ชโรดิงเกอร์ , พอล ดิแรกและโวล์ฟกัง พอลี [ ^{3 ] : 22–23}

ในปีเดียวกับที่ไอน์สไตน์ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก เขายังได้ตีพิมพ์ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษซึ่งสร้างขึ้นบนพื้นฐานของแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ กฎใหม่ที่เรียกว่าการแปลงลอเรนซ์ถูกกำหนดขึ้นเพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงของพิกัดเวลาและพื้นที่ของเหตุการณ์ภายใต้การเปลี่ยนแปลงความเร็วของผู้สังเกต และความแตกต่างระหว่างเวลาและพื้นที่ก็เลือนหายไป^{[ 3 ] : 19} มีการเสนอว่ากฎทางฟิสิกส์ทั้งหมดจะต้องเหมือนกันสำหรับผู้สังเกตที่ความเร็วต่างกัน กล่าวคือ กฎทางฟิสิกส์จะต้องไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์

ยังคงมีความยากลำบากอยู่สองประการ จากการสังเกตสมการชโรดิงเกอร์ซึ่งเป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมสามารถอธิบายการปล่อยรังสีแบบกระตุ้นจากอะตอมได้ โดยที่อิเล็กตรอนปล่อยโฟตอนใหม่ภายใต้การกระทำของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าภายนอก แต่ไม่สามารถอธิบายการปล่อยรังสีแบบเกิดขึ้นเองได้โดยที่อิเล็กตรอนลดพลังงานลงเองและปล่อยโฟตอนออกมาแม้ไม่มีการกระทำของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าภายนอก ในทางทฤษฎี สมการชโรดิงเกอร์ไม่สามารถอธิบายโฟตอนได้และไม่สอดคล้องกับหลักการของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ—โดยถือว่าเวลาเป็นตัวเลขธรรมดาในขณะที่ยกระดับพิกัดเชิงพื้นที่ให้เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น^{[ 6 ]}

ทฤษฎีสนามควอนตัมเริ่มต้นจากการศึกษาปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า เนื่องจากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสนามคลาสสิกเพียงสนามเดียวที่เป็นที่รู้จักในช่วงทศวรรษ 1920 ^{[ 8 ] : 1}

จากผลงานของบอร์น ไฮเซนเบิร์ก และปาสกัวล จอร์แดนในปี พ.ศ. 2468–2469 ทฤษฎีควอนตัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าอิสระ (ซึ่งไม่มีปฏิสัมพันธ์กับสสาร) ได้รับการพัฒนาผ่านการควอนตัมแบบแคนอนิกโดยถือว่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นชุดของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัม [ ^{8 ] : 1} อย่างไรก็ตาม ด้วยการไม่รวมปฏิสัมพันธ์ ทฤษฎีดังกล่าวยังไม่สามารถทำการทำนายเชิงปริมาณเกี่ยวกับโลกแห่งความเป็นจริงได้^{[ 3 ] : 22}

ในบทความสำคัญปี 1927 เรื่อง"ทฤษฎีควอนตัมของการแผ่รังสีและการดูดกลืนรังสี"ดิแรกได้บัญญัติศัพท์"ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ " (QED) ซึ่งเป็นทฤษฎีที่เพิ่มพจน์ปฏิสัมพันธ์เพิ่มเติมระหว่าง ความหนาแน่นกระแส ไฟฟ้า และศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้าเข้าไปในพจน์ที่อธิบายสนามแม่เหล็กไฟฟ้าอิสระ โดยใช้ ทฤษฎีการรบกวนอันดับแรกเขาได้อธิบายปรากฏการณ์การแผ่รังสีแบบเกิดขึ้นเองได้อย่างประสบความสำเร็จ ตามหลักการความไม่แน่นอนในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมไม่สามารถอยู่นิ่งได้ แต่จะมีพลังงานต่ำสุดที่ไม่เป็นศูนย์และต้องสั่นอยู่เสมอ แม้ในสถานะพลังงานต่ำสุด ( สถานะพื้นฐาน ) ดังนั้น แม้ในสุญญากาศ ที่สมบูรณ์แบบ ก็ยังคงมีสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่สั่นอยู่ซึ่งมีพลังงานจุดศูนย์ความผันผวนควอนตัม ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในสุญญากาศ นี้เองที่ "กระตุ้น" การแผ่รังสีแบบเกิดขึ้นเองโดยอิเล็กตรอนในอะตอม ทฤษฎีของ Dirac ประสบความสำเร็จอย่างมากในการอธิบายทั้งการปล่อยและการดูดกลืนรังสีโดยอะตอม โดยการใช้ทฤษฎีการรบกวนอันดับสอง ทำให้สามารถอธิบายการกระเจิงของโฟตอน การเรือง แสงแบบเรโซแนนซ์ และ การกระเจิงคอมป์ตันแบบไม่สัมพัทธภาพได้อย่างไรก็ตาม การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการรบกวนอันดับสูงกว่านั้นประสบปัญหาเรื่องค่าอนันต์ในการคำนวณ^{[ 6 ] : 71}

ในปี พ.ศ. 2461 ดิแรกได้เขียนสมการคลื่นที่อธิบายอิเล็กตรอนเชิงสัมพัทธภาพ: สมการดิแรก สมการนี้มีผลสำคัญดังต่อไปนี้: สปินของอิเล็กตรอนคือ 1/2; ค่าg -factor ของอิเล็กตรอน คือ 2; นำไปสู่สูตร Sommerfeld ที่ถูกต้องสำหรับโครงสร้างละเอียดของอะตอมไฮโดรเจน ; และสามารถใช้เพื่อหาอนุพันธ์ของสูตร Klein–Nishinaสำหรับการกระเจิงคอมป์ตันเชิงสัมพัทธภาพ แม้ว่าผลลัพธ์จะประสบความสำเร็จ แต่ทฤษฎียังบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของสถานะพลังงานลบ ซึ่งจะทำให้อะตอมไม่เสถียร เนื่องจากอะตอมสามารถสลายตัวไปยังสถานะพลังงานที่ต่ำกว่าได้เสมอโดยการปล่อยรังสี^{[ 6 ] : 71–72}

มุมมองที่แพร่หลายในเวลานั้นคือ โลกประกอบด้วยส่วนประกอบที่แตกต่างกันสองอย่าง ได้แก่ อนุภาคสสาร (เช่น อิเล็กตรอน) และสนามควอนตัม (เช่น โฟตอน) อนุภาคสสารถือว่าคงอยู่ชั่วนิรันดร์ โดยสถานะทางกายภาพของพวกมันอธิบายได้ด้วยความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคแต่ละชนิดในบริเวณใดบริเวณหนึ่งของอวกาศหรือช่วงความเร็วใด ๆ ในทางกลับกัน โฟตอนถือเป็นเพียงสถานะกระตุ้นของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าควอนตัมพื้นฐาน และสามารถสร้างหรือทำลายได้อย่างอิสระ ระหว่างปี 1928 ถึง 1930 จอร์แดนยูจีน วิกเนอร์ไฮเซนเบิร์ก พอลี และเอนริโก เฟอร์มี ค้นพบว่าอนุภาคสสารสามารถมองได้ว่าเป็นสถานะกระตุ้นของสนามควอนตัมเช่นกัน เช่นเดียวกับที่โฟตอนเป็นสถานะกระตุ้นของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าควอนตัม อนุภาคแต่ละชนิดก็มีสนามควอนตัมที่สอดคล้องกัน เช่น สนามอิเล็กตรอน สนามโปรตอน เป็นต้น หากมีพลังงานเพียงพอ ก็สามารถสร้างอนุภาคสสารได้ โดยอาศัยแนวคิดนี้ เฟอร์มีได้เสนอคำอธิบายสำหรับการสลายตัวแบบเบตา ในปี 1932 ซึ่งรู้จักกันในชื่อปฏิสัมพันธ์ของเฟอร์มีนิวเคลียสของอะตอมไม่ได้มีอิเล็กตรอนอยู่ด้วยตัวมันเองแต่ในกระบวนการสลายตัว อิเล็กตรอนจะถูกสร้างขึ้นจากสนามอิเล็กตรอนโดยรอบ คล้ายกับโฟตอนที่สร้างขึ้นจากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าโดยรอบในการสลายตัวแบบแผ่รังสีของอะตอมที่ถูกกระตุ้น^{[ 3 ] : 22–23}

ในปี ค.ศ. 1929 ดิแรกและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ ตระหนักว่าสถานะพลังงานลบที่บ่งชี้โดยสมการของดิแรกนั้นสามารถกำจัดได้โดยการสมมติว่ามีอนุภาคที่มีมวลเท่ากับอิเล็กตรอนแต่มีประจุไฟฟ้าตรงข้ามอยู่ สิ่งนี้ไม่เพียงแต่รับประกันความเสถียรของอะตอมเท่านั้น แต่ยังเป็นข้อเสนอแรกของการมีอยู่ของปฏิสสาร อีก ด้วย แท้จริงแล้ว หลักฐานการมีอยู่ของโพซิตรอนถูกค้นพบในปี ค.ศ. 1932 โดยคาร์ล เดวิด แอนเดอร์สันในรังสีคอสมิกด้วยพลังงานที่เพียงพอ เช่น โดยการดูดซับโฟตอน คู่ของอิเล็กตรอน-โพซิตรอนสามารถเกิดขึ้นได้ กระบวนการนี้เรียกว่าการสร้างคู่กระบวนการย้อนกลับคือการทำลายล้าง ก็สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยการปล่อยโฟตอน สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าจำนวนอนุภาคไม่จำเป็นต้องคงที่ในระหว่างการปฏิสัมพันธ์ อย่างไรก็ตาม ในทางประวัติศาสตร์ โพซิตรอนถูกมองว่าเป็น "หลุม" ในทะเลอิเล็กตรอนที่ไม่มีที่สิ้นสุด มากกว่าที่จะเป็นอนุภาคชนิดใหม่ และทฤษฎีนี้ถูกเรียกว่าทฤษฎีหลุมของดิแรก^{[ 6 ] : 72 [ 3 ] : 23} QFT ได้รวมอนุภาคปฏิปักษ์ไว้ในรูปแบบของมันโดยธรรมชาติ^{[ 3 ] : 24}

โรเบิร์ต โอปเพนไฮเมอร์แสดงให้เห็นในปี พ.ศ. 2473 ว่าการคำนวณแบบรบกวนลำดับสูงใน QED มักจะส่งผลให้ได้ปริมาณอนันต์ เช่นพลังงานตัวเองของ อิเล็กตรอน และพลังงานศูนย์จุดสุญญากาศของสนามอิเล็กตรอนและโฟตอน^{[ 6 ]}ซึ่งชี้ให้เห็นว่าวิธีการคำนวณในขณะนั้นไม่สามารถจัดการกับปฏิสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับโฟตอนที่มีโมเมนตัมสูงมากได้อย่างเหมาะสม^{[ 3 ] : 25} จนกระทั่ง 20 ปีต่อมาจึงมีการพัฒนาแนวทางที่เป็นระบบเพื่อขจัดอนันต์ดังกล่าว

Ernst Stueckelbergได้ตีพิมพ์เอกสารชุดหนึ่งระหว่างปี 1934 ถึง 1938 ซึ่งได้สร้างสูตร QFT ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามสัมพัทธภาพ ในปี 1947 Stueckelberg ยังได้พัฒนาขั้นตอนการปรับค่าใหม่ทั้งหมดโดยอิสระอีกด้วย ความสำเร็จดังกล่าวไม่ได้รับการเข้าใจและยอมรับจากชุมชนทฤษฎี^{[ 6 ]}

เมื่อเผชิญกับอนันต์เหล่านี้จอห์น อาร์ชิบัลด์ วีลเลอร์และไฮเซนเบิร์ก ได้เสนอในปี 1937 และ 1943 ตามลำดับ ให้แทนที่ QFT ที่มีปัญหาด้วยทฤษฎีเมทริกซ์ S ที่เรียกว่า เนื่องจากรายละเอียดเฉพาะของการปฏิสัมพันธ์ระดับจุลภาคไม่สามารถเข้าถึงได้จากการสังเกต ทฤษฎีนี้จึงควรพยายามอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่สังเกตได้ จำนวนเล็กน้อย ( เช่นพลังงานของอะตอม) ในการปฏิสัมพันธ์ มากกว่าที่จะกังวลเกี่ยวกับรายละเอียดปลีกย่อยระดับจุลภาคของการปฏิสัมพันธ์ ในปี 1945 ริชาร์ด ไฟน์แมนและวีลเลอร์ได้เสนออย่างกล้าหาญให้ละทิ้ง QFT โดยสิ้นเชิงและเสนอการกระทำระยะไกลเป็นกลไกของการปฏิสัมพันธ์ของอนุภาค^{[ 3 ] : 26}

ในปี พ.ศ. 2490 วิลลิส แลมบ์และโรเบิร์ต เรเธอร์ฟอร์ดได้วัดความแตกต่างเล็กน้อยใน ระดับพลังงาน ² S _1/2และ² P _1/2ของอะตอมไฮโดรเจน ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าการเลื่อนของแลมบ์โดยการละเลยการมีส่วนร่วมของโฟตอนที่มีพลังงานเกินมวลอิเล็กตรอนฮันส์ เบเธอได้ประมาณค่าตัวเลขของการเลื่อนของแลมบ์ได้สำเร็จ^{[ 6 ] [ 3 ] : 28} ต่อมา นอร์แมน ไมล์ส โครลล์แลมบ์เจมส์ บรูซ เฟรนช์และวิคเตอร์ ไวส์คอฟฟ์ได้ยืนยันค่านี้อีกครั้งโดยใช้วิธีการที่ค่าอนันต์หักล้างค่าอนันต์อื่นๆ เพื่อให้ได้ปริมาณที่จำกัด อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ยุ่งยากและไม่น่าเชื่อถือ และไม่สามารถนำไปใช้กับการคำนวณอื่นๆ ได้^{[ 6 ]}

ความก้าวหน้าครั้งสำคัญเกิดขึ้นในราวปี 1950 เมื่อJulian Schwinger , Richard Feynman , Freeman DysonและShinichiro Tomonaga ได้พัฒนาวิธีการที่แข็งแกร่งกว่าในการกำจัดค่าอนันต์ แนวคิดหลักคือการแทนที่ค่ามวลและประจุที่คำนวณได้ แม้ว่าจะเป็นค่าอนันต์ก็ตาม ด้วยค่าที่วัดได้ซึ่งเป็นค่าจำกัด กระบวนการคำนวณอย่างเป็นระบบนี้เรียกว่าการปรับค่าใหม่ (renormalization)และสามารถนำไปใช้กับลำดับใดก็ได้ในทฤษฎีการรบกวน^{[ 6 ]}ดังที่ Tomonaga กล่าวไว้ในสุนทรพจน์รับรางวัลโนเบลของเขา:

เนื่องจากส่วนต่างๆ ของมวลและประจุที่เปลี่ยนแปลงไปอันเนื่องมาจากปฏิกิริยาของสนาม [กลายเป็นอนันต์] จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะคำนวณโดยใช้ทฤษฎี อย่างไรก็ตาม มวลและประจุที่สังเกตได้ในการทดลองไม่ใช่ค่ามวลและประจุเดิม แต่เป็นมวลและประจุที่เปลี่ยนแปลงไปเนื่องจากปฏิกิริยาของสนาม และมีค่าจำกัด ในทางกลับกัน มวลและประจุที่ปรากฏในทฤษฎีคือ… ค่าที่เปลี่ยนแปลงไปเนื่องจากปฏิกิริยาของสนาม เนื่องจากเป็นเช่นนั้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากทฤษฎีไม่สามารถคำนวณมวลและประจุที่เปลี่ยนแปลงไปได้ เราจึงอาจใช้วิธีการแทนที่ค่าทดลองด้วยค่าเหล่านั้นในเชิงปรากฏการณ์… วิธีการนี้เรียกว่าการปรับค่ามวลและประจุใหม่… หลังจากการคำนวณที่ยาวนานและยากลำบาก ซึ่งไม่ชำนาญเท่าของ Schwinger เราได้ผลลัพธ์… ซึ่งสอดคล้องกับของชาวอเมริกัน^{[ 9 ]}

โดยการใช้ขั้นตอนการปรับค่ามาตรฐาน ในที่สุดก็มีการคำนวณเพื่ออธิบาย โมเมนต์แม่เหล็กที่ผิดปกติของอิเล็กตรอน (การเบี่ยงเบนของ ค่าgของอิเล็กตรอนจาก 2) และโพลาไรเซชันสุญญากาศผลลัพธ์เหล่านี้สอดคล้องกับการวัดเชิงทดลองในระดับที่น่าทึ่ง ซึ่งถือเป็นการสิ้นสุดของ "สงครามต่อต้านอนันต์" ^{[ 6 ]}

ในขณะเดียวกัน เฟย์แมนได้แนะนำสูตรอินทิกรัลเส้นทางของกลศาสตร์ควอนตัมและแผนภาพเฟย์แมน [ ^{8 ] : 2} แผนภาพเหล่านี้สามารถใช้เพื่อจัดระเบียบและช่วยคำนวณเทอมในการขยายแบบรบกวนได้อย่างเห็นภาพและโดยสัญชาตญาณ แผนภาพแต่ละอันสามารถตีความได้ว่าเป็นเส้นทางของอนุภาคในการปฏิสัมพันธ์ โดยแต่ละจุดยอดและเส้นจะมีนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกัน และผลคูณของนิพจน์เหล่านี้จะให้แอมพลิจูดการกระเจิงของการปฏิสัมพันธ์ที่แสดงโดยแผนภาพ^{[ 1 ] : 5}

ด้วยการคิดค้นกระบวนการปรับมาตรฐานและแผนภาพเฟย์นแมน ทำให้ QFT เกิดขึ้นเป็นกรอบทฤษฎีที่สมบูรณ์ในที่สุด^{[ 8 ] : 2}

เนื่องจากความสำเร็จอย่างมหาศาลของ QED นักทฤษฎีหลายคนเชื่อในช่วงไม่กี่ปีหลังปี 1949 ว่า QFT จะสามารถให้ความเข้าใจเกี่ยวกับปรากฏการณ์ระดับจุลภาคทั้งหมดได้ในไม่ช้า ไม่ใช่แค่เพียงปฏิสัมพันธ์ระหว่างโฟตอน อิเล็กตรอน และโพซิตรอนเท่านั้น ตรงกันข้ามกับความมองโลกในแง่ดีนี้ QFT กลับเข้าสู่ช่วงเวลาแห่งความตกต่ำอีกครั้งซึ่งกินเวลานานเกือบสองทศวรรษ^{[ 3 ] : 30}

อุปสรรคประการแรกคือการประยุกต์ใช้กระบวนการปรับค่าใหม่มีข้อจำกัด ในการคำนวณแบบรบกวนใน QED ปริมาณอนันต์ทั้งหมดสามารถกำจัดได้โดยการกำหนดปริมาณทางกายภาพจำนวนเล็กน้อย (จำกัด) ใหม่ (กล่าวคือ มวลและประจุของอิเล็กตรอน) ไดสันพิสูจน์ในปี 1949 ว่าสิ่งนี้เป็นไปได้เฉพาะกับทฤษฎีกลุ่มเล็กๆ ที่เรียกว่า "ทฤษฎีที่ปรับค่าใหม่ได้" ซึ่ง QED เป็นตัวอย่างหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีส่วนใหญ่ รวมถึงทฤษฎีเฟอร์มิของปฏิสัมพันธ์แบบอ่อนเป็น "ทฤษฎีที่ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้" การคำนวณแบบรบกวนใดๆ ในทฤษฎีเหล่านี้ที่เกินกว่าอันดับแรกจะส่งผลให้เกิดอนันต์ที่ไม่สามารถกำจัดได้โดยการกำหนดปริมาณทางกายภาพจำนวนจำกัดใหม่^{[ 3 ] : 30}

ปัญหาสำคัญประการที่สองเกิดจากความถูกต้องที่จำกัดของวิธีการแผนภาพไฟน์แมน ซึ่งอิงจากการขยายอนุกรมในทฤษฎีการรบกวน เพื่อให้อนุกรมลู่เข้าและการคำนวณลำดับต่ำเป็นการประมาณที่ดีค่าคงที่การเชื่อมต่อซึ่งอนุกรมถูกขยาย ต้องเป็นจำนวนที่เล็กพอ ค่าคงที่การเชื่อมต่อใน QED คือค่าคงที่โครงสร้างละเอียดα ≈ 1/137ซึ่งเล็กพอที่จะต้องพิจารณาเฉพาะแผนภาพไฟน์แมนที่ง่ายที่สุดและลำดับต่ำสุดในการคำนวณที่สมจริง ในทางตรงกันข้าม ค่าคงที่การเชื่อมต่อในปฏิสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งนั้นมีค่าประมาณหนึ่ง ทำให้แผนภาพไฟน์แมนที่ซับซ้อนและลำดับสูงกว่ามีความสำคัญเท่ากับแผนภาพที่เรียบง่าย ดังนั้นจึงไม่มีวิธีใดที่จะได้การคาดการณ์เชิงปริมาณที่เชื่อถือได้สำหรับปฏิสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งโดยใช้วิธี QFT แบบรบกวน^{[ 3 ] : 31}

ด้วยความยากลำบากเหล่านี้ที่กำลังจะเกิดขึ้น นักทฤษฎีหลายคนจึงเริ่มหันเหออกจากทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) บางคนมุ่งเน้นไปที่ หลักการ สมมาตรและกฎการอนุรักษ์ในขณะที่บางคนหยิบยกทฤษฎีเมทริกซ์ S เก่าของ Wheeler และ Heisenberg ขึ้นมาใช้ QFT ถูกนำมาใช้ในเชิงอนุมานเป็นหลักการชี้นำ แต่ไม่ใช่เป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณเชิงปริมาณ^{[ 3 ] : 31}

อย่างไรก็ตาม ชวิงเกอร์เลือกเส้นทางที่แตกต่างออกไป เป็นเวลากว่าทศวรรษที่เขาและนักศึกษาของเขาเป็นผู้เชี่ยวชาญเพียงกลุ่มเดียวในทฤษฎีสนาม^{[ 10 ] : 454} แต่ในปี พ.ศ. 2494 ^{[ 11 ] [ 12 ]}เขาพบวิธีแก้ปัญหาเรื่องอนันต์ด้วยวิธีการใหม่โดยใช้แหล่งกำเนิดภายนอกเป็นกระแสที่เชื่อมต่อกับสนามเกจ [ ^{13 ] ด้วย}แรงบันดาลใจจากการค้นพบก่อนหน้านี้ ชวิงเกอร์จึงยังคงดำเนินตามแนวทางนี้ต่อไปเพื่อที่จะ "ขยาย" กระบวนการคลาสสิกของการเชื่อมต่อแรงภายนอกกับพารามิเตอร์ของปริภูมิการกำหนดค่าที่เรียกว่าตัวคูณลากรางจ์ในเชิงควอนตัม เขาได้สรุปทฤษฎีแหล่งกำเนิด ของเขา ในปี พ.ศ. 2509 ^{[ 14 ]}จากนั้นจึงขยายการประยุกต์ใช้ทฤษฎีไปยังควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ในชุดหนังสือสามเล่มของเขาที่มีชื่อว่า: อนุภาค แหล่งกำเนิด และสนาม^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}การพัฒนาในฟิสิกส์ไพอน ซึ่งมุมมองใหม่นี้ได้รับการประยุกต์ใช้อย่างประสบความสำเร็จมากที่สุด ทำให้เขาเชื่อมั่นในข้อดีมากมายของความเรียบง่ายทางคณิตศาสตร์และความชัดเจนเชิงแนวคิดที่การใช้งานนี้มอบให้^{[ 15 ]}

ในทฤษฎีแหล่งกำเนิดไม่มีการเบี่ยงเบนและไม่มีการปรับค่าใหม่ อาจถือได้ว่าเป็นเครื่องมือคำนวณของทฤษฎีสนาม แต่โดยทั่วไปแล้ว^{[ 18 ]} โดยใช้ทฤษฎีแหล่งกำเนิด ชวิงเกอร์สามารถคำนวณโมเมนต์แม่เหล็กผิดปกติของอิเล็กตรอนได้ ซึ่งเขาเคยทำในปี 1947 แต่ครั้งนี้ไม่มี 'ข้อสังเกตที่ทำให้ไขว้เขว' เกี่ยวกับปริมาณอนันต์^{[ 10 ] : 467}

ชวิงเกอร์ยังได้นำทฤษฎีแหล่งกำเนิดมาใช้กับทฤษฎีแรงโน้มถ่วง QFT ของเขา และสามารถจำลองผลลัพธ์คลาสสิกทั้งสี่ของไอน์สไตน์ได้ ได้แก่ การเลื่อนสีแดงเนื่องจากแรงโน้มถ่วง การเบี่ยงเบนและการชะลอตัวของแสงเนื่องจากแรงโน้มถ่วง และการเคลื่อนที่ของจุดใกล้ดวงอาทิตย์ของดาวพุธ^{[ 19 ]} การละเลยทฤษฎีแหล่งกำเนิดโดยชุมชนฟิสิกส์เป็นเรื่องที่น่าผิดหวังอย่างมากสำหรับชวิงเกอร์:

การที่คนอื่นไม่เข้าใจข้อเท็จจริงเหล่านี้เป็นเรื่องที่น่าเศร้า แต่ก็เข้าใจได้

ในปี พ.ศ. 2497 หยาง เฉินหนิงและโรเบิร์ต มิลส์ได้ขยายความสมมาตรเฉพาะที่ของ QED ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีเกจแบบไม่เชิงอะเบเลียน (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีหยาง-มิลส์) ซึ่งมีพื้นฐานมาจากกลุ่มสมมาตร เฉพาะที่ที่ซับซ้อนกว่า ^{[ 20 ] : 5} ใน QED อนุภาคที่มีประจุ (ทางไฟฟ้า) จะมีปฏิสัมพันธ์กันผ่านการแลกเปลี่ยนโฟตอน ในขณะที่ในทฤษฎีเกจแบบไม่เชิงอะเบเลียน อนุภาคที่มี " ประจุ " ชนิดใหม่จะมีปฏิสัมพันธ์กันผ่านการแลกเปลี่ยนโบซอนเกจ ที่ไม่มีมวล ซึ่งแตกต่างจากโฟตอน โบซอนเกจเหล่านี้เองก็มีประจุ^{[ 3 ] : 32 [ 21 ]}

เชลดอน แกลชอว์พัฒนาทฤษฎีเกจแบบไม่เชิงอะเบเลียนที่รวมปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าและปฏิสัมพันธ์แบบอ่อนเข้าด้วยกันในปี พ.ศ. 2503 ในปี พ.ศ. 2507 อับดุส ซาลามและจอห์น ไคลฟ์ วอร์ดได้มาถึงทฤษฎีเดียวกันนี้โดยใช้เส้นทางที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีนี้ไม่สามารถปรับขนาดใหม่ได้^{[ 22 ]}

Peter Higgs , Robert Brout , François Englert , Gerald Guralnik , Carl HagenและTom Kibbleได้เสนอในบทความPhysical Review Letters อันโด่งดังของพวกเขา ว่าสมมาตรเกจในทฤษฎี Yang–Mills สามารถถูกทำลายได้ด้วยกลไกที่เรียกว่าการทำลายสมมาตรโดยธรรมชาติซึ่งโบซอนเกจที่ไม่มีมวลแต่เดิมสามารถได้รับมวลได้^{[ 20 ] : 5–6}

โดยการรวมทฤษฎีก่อนหน้าของ Glashow, Salam และ Ward เข้ากับแนวคิดของการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติSteven Weinbergได้เขียนทฤษฎีที่อธิบายปฏิสัมพันธ์อิเล็กโทรวีคระหว่างเลปตอน ทั้งหมด และผลกระทบของฮิกส์โบซอน ในปี 1967 ทฤษฎีของเขาถูกละเลยในตอนแรกเป็นส่วนใหญ่^{[ 22 ] [ 20 ] : 6} จนกระทั่งถูกนำกลับมากล่าวถึงอีกครั้งในปี 1971 โดยGerard 't Hooftพิสูจน์ว่าทฤษฎีเกจที่ไม่ใช่แบบอาเบเลียนสามารถปรับค่าใหม่ได้ ทฤษฎีอิเล็กโทรวีคของ Weinberg และ Salam ได้รับการขยายจากเลปตอนไปยังควาร์กในปี 1970 โดย Glashow, John IliopoulosและLuciano Maianiซึ่งถือเป็นการเสร็จสิ้นสมบูรณ์^{[ 22 ]}

Harald Fritzsch , Murray Gell-MannและHeinrich Leutwylerค้นพบในปี 1971 ว่าปรากฏการณ์บางอย่างที่เกี่ยวข้องกับปฏิสัมพันธ์แบบแรงสามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีเกจแบบไม่เชิงอะเบเลียน จึงกำเนิดควอนตัมโครโมไดนามิกส์ (QCD) ขึ้น ในปี 1973 David Gross , Frank WilczekและHugh David Politzerแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเกจแบบไม่เชิงอะเบเลียนนั้น "เป็นอิสระเชิงอะ ซิม โทติก" ซึ่งหมายความว่าภายใต้การปรับค่าใหม่ ค่าคงที่ของการเชื่อมโยงของปฏิสัมพันธ์แบบแรงจะลดลงเมื่อพลังงานปฏิสัมพันธ์เพิ่มขึ้น (มีการค้นพบที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นหลายครั้งก่อนหน้านี้ แต่ส่วนใหญ่ถูกละเลย) ^{[ 20 ] : 11} ดังนั้น อย่างน้อยในปฏิสัมพันธ์พลังงานสูง ค่าคงที่ของการเชื่อมโยงใน QCD จะมีขนาดเล็กพอที่จะรับประกันการขยายอนุกรมแบบรบกวน ทำให้สามารถทำนายเชิงปริมาณสำหรับปฏิสัมพันธ์แบบแรงได้^{[ 3 ] : 32}

ความก้าวหน้าทางทฤษฎีเหล่านี้ทำให้เกิดการฟื้นฟูในทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) ทฤษฎีฉบับสมบูรณ์ซึ่งรวมถึงทฤษฎีอิเล็กโทรวีคและโครโมไดนามิกส์ ปัจจุบันเรียกว่าแบบจำลองมาตรฐานของอนุภาคพื้นฐาน^{[ 23 ]}แบบจำลองมาตรฐานสามารถอธิบายปฏิสัมพันธ์พื้นฐาน ทั้งหมดได้สำเร็จ ยกเว้นแรงโน้มถ่วงและการคาดการณ์จำนวนมากของแบบจำลองนี้ได้รับการยืนยันจากการทดลองที่น่าทึ่งในทศวรรษต่อมา^{[ 8 ] : 3} อนุภาคฮิกส์ซึ่งเป็นหัวใจสำคัญของกลไกการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติ ถูกตรวจพบในที่สุดในปี 2012 ที่CERNซึ่งเป็นการยืนยันการมีอยู่ของส่วนประกอบทั้งหมดของแบบจำลองมาตรฐานอย่างสมบูรณ์^{[ 24 ]}

ทศวรรษ 1970 ได้เห็นการพัฒนาวิธีการที่ไม่ใช่การรบกวนในทฤษฎีเกจที่ไม่ใช่แบบอาเบเลียน โมโนโพล't Hooft–Polyakovถูกค้นพบในเชิงทฤษฎีโดย 't Hooft และAlexander Polyakovท่อฟลักซ์โดยHolger Bech NielsenและPoul Olesenและอินสแตนตอนโดย Polyakov และผู้ร่วมเขียน วัตถุเหล่านี้ไม่สามารถเข้าถึงได้ผ่านทฤษฎีการรบกวน^{[ 8 ] : 4}

ซูเปอร์สมมาตรก็ปรากฏขึ้นในช่วงเวลาเดียวกัน QFT ซูเปอร์สมมาตรตัวแรกในสี่มิติถูกสร้างขึ้นโดยYuri GolfandและEvgeny Likhtmanในปี 1970 แต่ผลงานของพวกเขาไม่ได้รับความสนใจอย่างกว้างขวางเนื่องจากม่านเหล็กทฤษฎีซูเปอร์สมมาตรเริ่มแพร่หลายในแวดวงทฤษฎีหลังจากผลงานของJulius WessและBruno Zuminoในปี 1973 ^{[ 8 ] : 7} แต่จนถึงปัจจุบันยังไม่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าเป็นส่วนหนึ่งของแบบจำลองมาตรฐานเนื่องจากขาดหลักฐานเชิงทดลอง^{[ 25 ]}

ในบรรดาปฏิสัมพันธ์พื้นฐานทั้งสี่ แรงโน้มถ่วงยังคงเป็นเพียงอย่างเดียวที่ขาดคำอธิบาย QFT ที่สอดคล้องกัน ความพยายามต่างๆ ในการสร้างทฤษฎีแรงโน้มถ่วงควอนตัมนำไปสู่การพัฒนาทฤษฎีสตริง^{[ 8 ] : 6} ซึ่งเป็น QFT สองมิติประเภทหนึ่งที่มีสมมาตรแบบคอนฟอร์มอล [ ^{26 ] Joël} ScherkและJohn Schwarzเสนอเป็นครั้งแรกในปี 1974 ว่าทฤษฎีสตริงอาจเป็นทฤษฎีควอนตัมของแรงโน้มถ่วง^{[ 27 ]}

แม้ว่าทฤษฎีสนามควอนตัมจะเกิดขึ้นจากการศึกษาปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาคพื้นฐาน แต่ก็ได้รับการประยุกต์ใช้กับระบบทางฟิสิกส์อื่นๆ ได้อย่างประสบความสำเร็จ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับระบบหลายอนุภาคในฟิสิกส์ สสารควบแน่น

ในอดีต กลไกฮิกส์ของการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติเป็นผลมาจากการประยุกต์ใช้ ทฤษฎี ตัวนำยิ่งยวด กับอนุภาคพื้นฐานของ โยอิจิโร นัมบุ ในขณะที่แนวคิดของการปรับมาตรฐานเกิดขึ้นจากการศึกษา การเปลี่ยนเฟสอันดับสองในสสาร^{[ 28 ]}

หลังจากมีการนำโฟตอนมาใช้ไม่นาน ไอน์สไตน์ได้ดำเนินการควอนตัมกระบวนการสั่นสะเทือนในผลึก ซึ่งนำไปสู่อนุภาคเสมือน ตัวแรก — โฟนอนเลฟ แลนเดาอ้างว่าการกระตุ้นพลังงานต่ำในระบบสสารควบแน่นหลายระบบสามารถอธิบายได้ในแง่ของปฏิสัมพันธ์ระหว่างชุดของอนุภาคเสมือน วิธีแผนภาพไฟน์แมนของ QFT เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ต่างๆ ในระบบสสารควบแน่น^{[ 29 ]}

ทฤษฎีเกจใช้เพื่ออธิบายการควอนตัมของ ฟลัก ซ์แม่เหล็กในตัวนำยิ่งยวดความต้านทานในปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์รวมถึงความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และแรงดันไฟฟ้าในปรากฏการณ์โจเซฟสันกระแสสลับ^{[ 29 ]}

เพื่อความง่าย ในส่วนต่อไปนี้จะใช้ หน่วยธรรมชาติโดยกำหนดให้ค่าคงที่ของพลังค์แบบลดรูปħและความเร็วแสงcมีค่าเท่ากับหนึ่งทั้งคู่

สนามคลาสสิกเป็นฟังก์ชันของพิกัดเชิงพื้นที่และเวลา^{[ 30 ]}ตัวอย่างเช่นสนามโน้มถ่วงg ( x , t )ในแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันและสนามไฟฟ้าE ( x , t )และสนามแม่เหล็กB ( x , t )ในแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกสนามคลาสสิกสามารถคิดได้ว่าเป็นปริมาณเชิงตัวเลขที่กำหนดให้กับทุกจุดในอวกาศที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้นจึงมีองศาอิสระ มากมายนับไม่ ถ้วน^{[ 30 ] [ 31 ]}

ปรากฏการณ์หลายอย่างที่แสดงคุณสมบัติทางกลศาสตร์ควอนตัมไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสนามแบบคลาสสิกเพียงอย่างเดียว ปรากฏการณ์เช่นปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกนั้น อธิบายได้ดีที่สุดด้วยอนุภาคที่ไม่ต่อเนื่อง ( โฟตอน ) มากกว่าสนามที่มีความต่อเนื่องในเชิงพื้นที่ เป้าหมายของทฤษฎีสนามควอนตัมคือการอธิบายปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ควอนตัมต่างๆ โดยใช้แนวคิดของสนามที่ได้รับการปรับปรุงแก้ไข

การควอนตัมแบบแคนอนิกและอินทิกรัลเส้นทางเป็นสูตรทั่วไปสองสูตรของ QFT ^{[ 32 ] : 61} เพื่อเป็นแรงจูงใจพื้นฐานของ QFT จะมีการสรุปภาพรวมของทฤษฎีสนามแบบคลาสสิกต่อไป

สนามคลาสสิกที่ง่ายที่สุดคือสนามสเกลาร์ จริง ซึ่งเป็นจำนวนจริงณ ทุกจุดในอวกาศที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยแสดงด้วยϕ ( x , t )โดยที่xคือเวกเตอร์ตำแหน่ง และtคือเวลา สมมติว่าลากรางเจียนของสนามคือ โดยที่คือความหนาแน่นของลากรางเจียนคืออนุพันธ์ของสนามเทียบกับเวลา∇คือตัวดำเนินการเกรเดียนต์ และmคือพารามิเตอร์จริง (“มวล” ของสนาม) เมื่อใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์กับลากรางเจียน: ^{[ 1 ] : 16} เราจะได้สมการการเคลื่อนที่ของสนาม ซึ่งอธิบายวิธีการเปลี่ยนแปลงตามเวลาและอวกาศ: นี่คือสมการไคลน์-กอร์ดอน [ ^{1 ] : 17} ${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial t)}}\right]+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial \phi /\partial x^{i})}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0,}$$$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+m^{2}\right)\phi =0.}$$

สมการ Klein–Gordon เป็นสมการคลื่นดังนั้นคำตอบของสมการนี้จึงสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของโหมดปกติ (ที่ได้จากการแปลงฟูริเยร์ ) ดังนี้: โดยที่aเป็นจำนวนเชิงซ้อน (ที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานตามธรรมเนียม) *หมายถึงการสังยุคเชิงซ้อนและωpคือความถี่ของโหมดปกติ: ดังนั้นแต่ละโหมดปกติที่สอดคล้องกับ p เดียวสามารถมองได้ว่าเป็นออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบ คลาสสิ _กที่มีความถี่ωp ^{[ 1 ] : 21,26} $${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left(a_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+a_{\mathbf {p} }^{*}e^{i\omega _{\mathbf {p} }ti\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right),}$$$${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }={\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.}$$

กระบวนการควอนตัมของสนามคลาสสิกข้างต้นไปเป็นสนามตัวดำเนินการควอนตัมนั้นคล้ายคลึงกับการเปลี่ยนสถานะของตัวสั่นฮาร์มอนิกคลาสสิกไปเป็นตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัม

การกระจัดของตัวสั่นฮาร์มอนิกแบบคลาสสิกอธิบายได้ด้วยสมการ โดย ที่aคือจำนวนเชิงซ้อน (ซึ่งถูกทำให้เป็นค่าปกติตามธรรมเนียม) และωคือความถี่ของตัวสั่น โปรดทราบว่าxคือการกระจัดของอนุภาคที่เคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายจากตำแหน่งสมดุล ซึ่งไม่ควรสับสนกับค่าx ในเชิงพื้นที่ ของสนามควอนตัม $${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}ae^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}a^{*}e^{i\omega t},}$$

สำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกควอนตัมx ( t )จะถูกยกระดับเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น : จำนวนเชิงซ้อนaและa ^*จะถูกแทนที่ด้วยตัวดำเนินการทำลายและตัวดำเนินการสร้างตามลำดับ โดยที่†หมายถึงการผันแบบเฮอร์มิเชียน ความสัมพันธ์ การสลับระหว่างทั้งสองคือ แฮมิลโทเนียนของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่ายสามารถเขียนได้เป็น สถานะสุญญากาศซึ่งเป็นสถานะพลังงานต่ำสุด ถูกกำหนดโดย และมีพลังงาน สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าซึ่งหมายความว่า จะเพิ่มพลังงานของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกอย่างง่ายโดย ตัวอย่างเช่น สถานะเป็นสถานะไอเกนที่มีพลังงานสถานะไอเกนพลังงานใดๆ ของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกเดี่ยวสามารถหาได้จากโดยการใช้ตัวดำเนินการสร้างอย่างต่อเนื่อง: ^{[ 1 ] : 20} และสถานะใดๆ ของระบบสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของสถานะ ${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$$${\displaystyle {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}e^{-i\omega t}+{\frac {1}{\sqrt {2\omega }}}{\hat {a}}^{\dagger }e^{i\omega t}.}$$${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$$${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1.}$$$${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$$${\displaystyle |0\rangle }$$${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\hbar \omega .}$${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {a}}^{\dagger }]=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger },}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle \hbar \omega }$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle }$${\displaystyle 3\hbar \โอเมก้า /2}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$$${\displaystyle |n\rangle \propto \left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle .}$$

สามารถใช้ขั้นตอนที่คล้ายกันกับฟิลด์สเกลาร์จริงϕได้ โดยการส่งเสริมให้เป็นตัวดำเนินการฟิลด์ควอนตัมในขณะที่ตัวดำเนินการทำลาย ตัวดำเนินการสร้างและความถี่เชิงมุมสำหรับp ที่เฉพาะเจาะจง : ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งคือ: ^{[ 1 ] : 21} โดยที่δคือฟังก์ชันเดลต้าของ Diracสถานะสุญญากาศถูกกำหนดโดย สถานะควอนตัมใดๆ ของฟิลด์สามารถได้รับจากโดยการใช้ตัวดำเนินการสร้างอย่างต่อเนื่อง(หรือโดยการรวมเชิงเส้นของสถานะดังกล่าว) เช่น^{[ 1 ] : 22} ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }}$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$${\displaystyle \omega _{\mathbf {p} }}$$${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}__{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }ti\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right)}$$$${\displaystyle \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad \left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }\right]=\left[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }\right]=0,}$$${\displaystyle |0\rangle }$$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{for all }}\mathbf {p} .}$$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$$${\displaystyle \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger }\right)^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger }\right)^{2}|0\rangle .}$$

ในขณะที่ปริภูมิสถานะของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมเดี่ยวประกอบด้วยสถานะพลังงานแบบไม่ต่อเนื่องทั้งหมดของอนุภาคที่สั่นหนึ่งอนุภาค ปริภูมิสถานะของสนามควอนตัมประกอบด้วยระดับพลังงานแบบไม่ต่อเนื่องของอนุภาคจำนวนใดๆ ปริภูมิหลังนี้เรียกว่าปริภูมิฟ็อคซึ่งสามารถอธิบายข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนอนุภาคไม่ได้คงที่ในระบบควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ^{[ 33 ]}กระบวนการควอนไทซ์อนุภาคจำนวนใดๆ แทนที่จะเป็นอนุภาคเดี่ยว มักเรียกว่า การควอนไท ซ์แบบที่สอง^{[ 1 ] : 19}

ขั้นตอนข้างต้นเป็นการประยุกต์ใช้กลศาสตร์ควอนตัมแบบไม่สัมพัทธภาพโดยตรง และสามารถใช้ในการหาปริมาณสนามสเกลาร์ (เชิงซ้อน) สนาม Dirac ^{[ 1 ]} : ⁵² สนามเวกเตอร์ ( เช่นสนามแม่เหล็กไฟฟ้า) และแม้แต่สตริง[ ^{34 ] อย่างไรก็ตาม}ตัวดำเนินการสร้างและทำลายนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดีเฉพาะในทฤษฎีที่ง่ายที่สุดที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์ (ที่เรียกว่าทฤษฎีอิสระ) ในกรณีของสนามสเกลาร์จริง การมีอยู่ของตัวดำเนินการเหล่านี้เป็นผลมาจากการแยกส่วนของคำตอบของสมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกออกเป็นผลรวมของโหมดปกติ ในการคำนวณในทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ที่สมจริงใดๆจำเป็นต้อง ใช้ ทฤษฎีการรบกวน

ลากรางเจียนของสนามควอนตัมใดๆ ในธรรมชาติจะมีเทอมปฏิสัมพันธ์นอกเหนือจากเทอมทฤษฎีอิสระ ตัวอย่างเช่น เทอม ปฏิสัมพันธ์ควอติกสามารถแนะนำในลากรางเจียนของสนามสเกลาร์จริงได้: ^{[ 1 ] : 77} โดยที่μคือดัชนีปริภูมิเวลาเป็นต้น การรวมผลเหนือดัชนีμถูกละเว้นตามสัญกรณ์ของไอน์สไตน์หากพารามิเตอร์λมีขนาดเล็กเพียงพอ ทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ที่อธิบายโดยลากรางเจียนข้างต้นสามารถถือได้ว่าเป็นการรบกวนเล็กน้อยจากทฤษฎีอิสระ $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )\left(\partial ^{\mu }\phi \right)-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},}$$${\displaystyle \partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}}$

การกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทางของ QFT เกี่ยวข้องกับการคำนวณโดยตรงของแอมพลิจูดการกระเจิงของกระบวนการปฏิสัมพันธ์บางอย่าง มากกว่าการสร้างตัวดำเนินการและปริภูมิสถานะ ในการคำนวณแอมพลิจูดความน่าจะเป็นสำหรับระบบที่จะวิวัฒนาการจากสถานะเริ่มต้นที่เวลาt = 0ไปยังสถานะสุดท้ายที่t = Tเวลาทั้งหมดTจะถูกแบ่งออกเป็นNช่วงเล็กๆ แอมพลิจูดโดยรวมคือผลคูณของแอมพลิจูดของการวิวัฒนาการภายในแต่ละช่วง ซึ่งรวมเข้าด้วยกันเหนือสถานะกลางทั้งหมด ให้Hเป็นแฮมิลโทเนียน ( เช่นตัวสร้างการวิวัฒนาการของเวลา ) แล้ว^{[ 32 ] : 10} เมื่อพิจารณาลิมิตN → ∞ผลคูณของอินทิกรัลข้างต้นจะกลายเป็นอินทิกรัลเส้นทางของ Feynman: ^{[ 1 ] : 282 [ 32 ] : 12} โดยที่Lคือ Lagrangian ที่เกี่ยวข้องกับϕและอนุพันธ์ของมันเทียบกับพิกัดเชิงพื้นที่และเวลา ซึ่งได้มาจากแฮมิลโทเนียนHผ่านการแปลง Legendre เงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขสุดท้ายของการอินทิกรัลเส้นทางคือ ตามลำดับ กล่าว อีกนัยหนึ่ง แอมพลิจูดโดยรวมคือผลรวมของแอมพลิจูดของทุกเส้นทางที่เป็นไปได้ระหว่างสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้าย โดยที่แอมพลิจูดของเส้นทางกำหนดโดยเลขชี้กำลังในตัวอินทิกรัล ${\displaystyle |\phi _{I}\rangle }$${\displaystyle |\phi _{F}\rangle }$$${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .}$$$${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},}$$$${\displaystyle \phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.}$$

ในการคำนวณ มักจะพบการแสดงออกเช่นในทฤษฎีอิสระหรือทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ ตามลำดับ ในที่นี้และคือเวกเตอร์ตำแหน่งสี่มิติคือตัว ดำเนินการ เรียงลำดับเวลาที่สลับตัวถูกดำเนินการเพื่อให้ส่วนประกอบเวลาและเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย และคือสถานะพื้นฐาน (สถานะสุญญากาศ) ของทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ ซึ่งแตกต่างจากสถานะพื้นฐานอิสระการแสดงออกนี้แสดงถึงแอมพลิจูดความน่าจะเป็นสำหรับสนามที่จะแพร่กระจายจากyไปยังx และมีชื่อเรียกหลายชื่อ เช่น ตัวแพร่กระจายสองจุดฟังก์ชันสหสัมพันธ์สองจุดฟังก์ชันกรีนสองจุดหรือเรียกสั้นๆ ว่า ฟังก์ชันสองจุด^{[ 1 ] : 82} $${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \quad {\text{or}}\quad \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle }$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x^{0}}$${\displaystyle y^{0}}$${\displaystyle |\Omega \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$

ฟังก์ชันสองจุดอิสระ หรือที่รู้จักกันในชื่อตัวแพร่กระจายของไฟน์แมนสามารถหาได้สำหรับฟิลด์สเกลาร์จริงโดยการควอนตัมแบบแคนอนิกหรืออินทิกรัลเส้นทางเป็น^{[ 1 ] : 31,288 [ 32 ] : 23} ในทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ ซึ่งลากรางเจียนหรือแฮมิลโทเนียนมีเทอมหรือที่อธิบายปฏิสัมพันธ์ ฟังก์ชันสองจุดจะยากต่อการกำหนดมากขึ้น อย่างไรก็ตาม ผ่านทั้งการกำหนดสูตรควอนตัมแบบแคนอนิกและการกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทาง ก็สามารถแสดงออกมาได้ผ่านอนุกรมการรบกวนอนันต์ของฟังก์ชันสองจุด อิสระ$${\displaystyle \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle \equiv D_{F}(x-y)=\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.}$$${\displaystyle L_{I}(t)}$${\displaystyle H_{I}(t)}$

ในการควอนตัมแบบแคนอนิก ฟังก์ชันสหสัมพันธ์สองจุดสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 1 ] :} 87 โดยที่εเป็น จำนวน อนันต์เล็ก ๆและϕ _Iเป็นตัวดำเนินการสนามภายใต้ทฤษฎีอิสระ ในที่นี้ เลขชี้กำลังควรเข้าใจว่าเป็นการ ขยาย อนุกรมกำลังตัวอย่างเช่น ในทฤษฎี - เทอมปฏิสัมพันธ์ของแฮมิลโทเนียนคือ[ ^{1 ] : 84} และการขยายตัวสหสัมพันธ์สองจุดในรูปของ^จะกลายเป็นการขยายการรบกวนนี้แสดงฟังก์ชันสองจุดปฏิสัมพันธ์ในรูปของปริมาณที่ประเมินในทฤษฎี อิสระ$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\left\langle 0\left|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }{\left\langle 0\left|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}\right|0\right\rangle }},}$$${\displaystyle \phi ^{4}}$${\textstyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ={\frac {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\lambda )^{n}}{(4!)^{n}n!}}\int d^{4}z_{1}\cdots \int d^{4}z_{n}\langle 0|T\{\phi _{I}(z_{1})^{4}\cdots \phi _{I}(z_{n})^{4}\}|0\rangle }}.}$$${\displaystyle \langle 0|\cdots |0\rangle }$

ในการกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทาง ฟังก์ชันสหสัมพันธ์สองจุดสามารถเขียนได้ดังนี้^{[ 1 ] : 284} โดยที่คือความหนาแน่นของลากรางจ์ เช่นเดียวกับในย่อหน้าก่อนหน้า เลขชี้กำลังสามารถขยายเป็นอนุกรมในλซึ่งลดฟังก์ชันสองจุดที่มีปฏิสัมพันธ์ลงเป็นปริมาณในทฤษฎีอิสระ $${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

ทฤษฎีบทของวิกยังลด ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ nจุดใดๆ ในทฤษฎีอิสระให้เหลือเพียงผลรวมของผลคูณของฟังก์ชันสหสัมพันธ์สองจุด ตัวอย่างเช่น เนื่องจากฟังก์ชันสหสัมพันธ์แบบมีปฏิสัมพันธ์สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อิสระ จึงจำเป็นต้องประเมินเฉพาะฟังก์ชันสหสัมพันธ์อิสระเท่านั้นเพื่อคำนวณปริมาณทางกายภาพทั้งหมดในทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ (แบบรบกวน) ^{[ 1 ] : 90} สิ่งนี้ทำให้ตัวแพร่กระจายของไฟน์แมนเป็นหนึ่งในปริมาณที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีสนามควอนตัม $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle &=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ในทฤษฎีปฏิสัมพันธ์สามารถเขียนได้ในรูปอนุกรมการรบกวน แต่ละพจน์ในอนุกรมเป็นผลคูณของตัวแพร่กระจายของไฟน์แมนในทฤษฎีอิสระ และสามารถแสดงได้ด้วยแผนภาพไฟน์แมนตัวอย่างเช่น พจน์ λ ¹ในฟังก์ชันสหสัมพันธ์สองจุดใน ทฤษฎี ϕ ⁴คือ หลังจากใช้ทฤษฎีบทของวิกแล้ว พจน์หนึ่งคือ พจน์ นี้สามารถหาได้จากแผนภาพไฟน์แมนแทน $${\displaystyle {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .}$$$${\displaystyle 12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z).}$$

.

แผนภาพประกอบด้วย

• จุดยอดภายนอกที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบด้านเดียวและแสดงด้วยจุด (ในที่นี้มีป้ายกำกับว่าและ)${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$
• จุดยอดภายในที่เชื่อมต่อกันด้วยขอบสี่ด้านและแสดงด้วยจุด (ในที่นี้มีป้ายกำกับว่า)${\displaystyle z}$
• เส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดและแสดงด้วยเส้นตรง

จุดยอดแต่ละจุดสอดคล้องกับปัจจัยสนามเดี่ยวณ จุดที่สอดคล้องกันในปริภูมิเวลา ในขณะที่ขอบสอดคล้องกับตัวแพร่กระจายระหว่างจุดในปริภูมิเวลา พจน์ในอนุกรมการรบกวนที่สอดคล้องกับไดอะแกรมได้มาจากการเขียนนิพจน์ที่สืบเนื่องมาจากสิ่งที่เรียกว่ากฎของไฟน์แมน: ${\displaystyle \phi }$

1. สำหรับจุดยอดภายในทุกจุดให้เขียนตัวประกอบลงไป${\displaystyle z_{i}}$${\textstyle -i\lambda \int d^{4}z_{i}}$
2. สำหรับทุกขอบที่เชื่อมจุดยอดสองจุดคือ และ ให้ เขียนตัวประกอบลงไป${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle D_{F}(z_{i}-z_{j})}$
3. หารด้วยค่าสัมประสิทธิ์สมมาตรของแผนภาพ

ด้วยปัจจัยสมมาตร การปฏิบัติตามกฎเหล่านี้จะให้ผลลัพธ์ที่ตรงกับนิพจน์ข้างต้นอย่างแม่นยำ โดยการแปลงฟูริเยร์ของตัวแพร่ กฎของไฟน์แมนสามารถกำหนดใหม่ได้จากปริภูมิตำแหน่งไปสู่ปริภูมิโมเมนตัม^{[ 1 ] : 91–94} ${\displaystyle 2}$

เพื่อคำนวณ ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ nจุดถึง ลำดับที่ kให้แสดงรายการไดอะแกรม Feynman ที่ถูกต้องทั้งหมดที่มีจุดภายนอกn จุดและจุดยอด kหรือน้อยกว่า จากนั้นใช้กฎของ Feynman เพื่อให้ได้นิพจน์สำหรับแต่ละเทอม กล่าว คือ เท่ากับผลรวมของ (นิพจน์ที่สอดคล้องกับ) ไดอะแกรมที่เชื่อมต่อทั้งหมดที่มี จุดภายนอก nจุด (ไดอะแกรมที่เชื่อมต่อคือไดอะแกรมที่จุดยอดทุกจุดเชื่อมต่อกับจุดภายนอกผ่านเส้น ส่วนประกอบที่ไม่ได้เชื่อมต่อกับเส้นภายนอกโดยสิ้นเชิงบางครั้งเรียกว่า "ฟองสุญญากาศ") ใน ทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ ϕ ⁴ที่กล่าวถึงข้างต้น จุดยอดทุกจุดต้องมีสี่ขา^{[ 1 ] : 98} $${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle }$$

ในการใช้งานจริง แอมพลิจูดการกระเจิงของปฏิสัมพันธ์บางอย่างหรืออัตราการสลายตัวของอนุภาคสามารถคำนวณได้จากเมทริกซ์ Sซึ่งสามารถหาได้โดยใช้วิธีแผนภาพของไฟน์แมน^{[ 1 ] : 102–115}

แผนภาพ Feynman ที่ไม่มี "ลูป" เรียกว่าแผนภาพระดับต้นไม้ ซึ่งอธิบายกระบวนการปฏิสัมพันธ์ลำดับต่ำสุด ส่วนแผนภาพที่มีnลูป เรียกว่า แผนภาพ nลูป ซึ่งอธิบายการมีส่วนร่วมลำดับสูงกว่า หรือการแก้ไขการแผ่รังสีต่อปฏิสัมพันธ์^{[ 32 ] : 44} เส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดยอดสามารถคิดได้ว่าเป็นการแพร่กระจายของอนุภาคเสมือน [ ^{1 ] : 31}

กฎของไฟน์แมนสามารถใช้ประเมินไดอะแกรมระดับต้นไม้ได้โดยตรง อย่างไรก็ตาม การคำนวณไดอะแกรมลูปแบบง่ายๆ เช่นที่แสดงไว้ข้างต้น จะส่งผลให้ปริพันธ์โมเมนตัมลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ ซึ่งดูเหมือนจะบ่งชี้ว่าเกือบทุกเทอมในการขยายแบบรบกวนมีค่าเป็นอนันต์ กระบวนการ ปรับค่ามาตรฐานเป็นกระบวนการที่เป็นระบบเพื่อขจัดค่าอนันต์ดังกล่าว

พารามิเตอร์ที่ปรากฏในลากรางเจียน เช่น มวลmและค่าคงที่การเชื่อมต่อλนั้นไม่มีความหมายทางกายภาพ — m , λและความแรงของสนามϕไม่ใช่ปริมาณที่วัดได้จากการทดลอง และในที่นี้เรียกว่า มวลเปล่า ค่าคงที่การเชื่อมต่อเปล่า และสนามเปล่า ตามลำดับ มวลและค่าคงที่การเชื่อมต่อทางกายภาพนั้นวัดได้ในกระบวนการปฏิสัมพันธ์บางอย่าง และโดยทั่วไปจะแตกต่างจากปริมาณเปล่า ในขณะที่คำนวณปริมาณทางกายภาพจากกระบวนการปฏิสัมพันธ์นี้ เราอาจจำกัดขอบเขตของปริพันธ์โมเมนตัมที่ลู่เข้าให้อยู่ต่ำกว่าค่าตัดโมเมนตัมΛ บาง ค่า หาค่าแสดงสำหรับปริมาณทางกายภาพ แล้วจึงหาลิมิตΛ → ∞นี่เป็นตัวอย่างของการทำให้เป็นระเบียบ (regularization) ซึ่งเป็น วิธีการประเภทหนึ่งในการจัดการกับความไม่เป็นระเบียบในทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) โดยที่Λเป็นตัวควบคุม

วิธีการที่แสดงไว้ข้างต้นเรียกว่าทฤษฎีการรบกวนแบบพื้นฐาน (bare perturbation theory) เนื่องจากการคำนวณเกี่ยวข้องเฉพาะปริมาณพื้นฐาน เช่น มวลและค่าคงที่การเชื่อมต่อเท่านั้น วิธีการที่แตกต่างออกไป เรียกว่าทฤษฎีการรบกวนแบบปรับค่าใหม่ (renormalized perturbation theory) คือการใช้ปริมาณที่มีความหมายทางกายภาพตั้งแต่เริ่มต้น ในกรณีของ^{ทฤษฎี}_ϕ⁴นั้น ความแรงของสนามจะ _ถูกกำหนดใหม่ก่อน โดยที่ϕคือสนามพื้นฐานϕrคือสนามที่ปรับค่าใหม่ และZคือค่าคงที่ที่จะต้องหาค่า ความหนาแน่นของลากรางจ์จะกลายเป็น: _โดย ที่mrและλrคือมวลและค่าคงที่การเชื่อมต่อที่วัดได้จากการทดลองตามลำดับ และ เป็นค่าคงที่ที่จะต้องหาค่า สามพจน์แรกคือ ความหนาแน่นของลากราง ^จ์ϕ⁴ที่เขียนในรูปของปริมาณที่ปรับค่าใหม่ ในขณะที่สามพจน์หลังเรียกว่า "พจน์แก้ไข" (counterterms) เนื่องจากลากรางจ์มีพจน์มากขึ้น ดังนั้นแผนภาพไฟน์แมนจึงควรมีองค์ประกอบเพิ่มเติม โดยแต่ละองค์ประกอบมีกฎของไฟน์แมนของตนเอง ขั้นตอนโดยสังเขปมีดังต่อไปนี้ ขั้นแรกให้เลือกรูปแบบการปรับค่า (เช่น การปรับค่าแบบตัดขอบที่แนะนำไว้ข้างต้น หรือการปรับค่าแบบมิติ ) เรียกตัวควบคุมว่าΛคำนวณไดอะแกรมของไฟน์แมน ซึ่งพจน์ที่ล divergent จะขึ้นอยู่กับΛจากนั้น กำหนดδ _Z , δ _mและδ _λเพื่อให้ไดอะแกรมของไฟน์แมนสำหรับพจน์แก้ไขจะหักล้างพจน์ที่ล divergent ในไดอะแกรมของไฟน์แมนปกติอย่างแม่นยำเมื่อลิมิตΛ → ∞ด้วยวิธีนี้จะได้ปริมาณจำกัดที่มีความหมาย^{[ 1 ] : 323–326} $${\displaystyle \phi =Z^{1/2}\phi _{r},}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},}$$$${\displaystyle \delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}}$$

เป็นไปได้เฉพาะในทฤษฎีที่สามารถปรับค่าใหม่ได้เท่านั้นที่จะกำจัดค่าอนันต์ทั้งหมดเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่จำกัด ในขณะที่ในทฤษฎีที่ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้นั้น ไม่สามารถกำจัดค่าอนันต์ได้ด้วยการกำหนดพารามิเตอร์จำนวนเล็กน้อยใหม่แบบจำลองมาตรฐานของอนุภาคพื้นฐานเป็น QFT ที่สามารถปรับค่าใหม่ได้^{[ 1 ] : 719–727} ในขณะที่แรงโน้มถ่วงควอนตัมไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้^{[ 1 ] : 798 [ 32 ] : 421}

กลุ่มการปรับค่าใหม่ (Renormalization group ) ซึ่งพัฒนาโดยKenneth Wilsonเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์ทางกายภาพ (สัมประสิทธิ์ใน Lagrangian) เมื่อมองระบบที่ระดับต่างๆ^{[ 1 ] : 393} วิธีที่แต่ละพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงไปตามระดับจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันβ ของ มัน^{[ 1 ] : 417} ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ ซึ่งเป็นพื้นฐานของการทำนายทางกายภาพเชิงปริมาณ จะเปลี่ยนแปลงไปตามระดับตามสมการ Callan–Symanzik ^{[ 1 ] : 410–411}

ตัวอย่างเช่น ค่าคงที่การเชื่อมต่อใน QED ซึ่งก็คือประจุพื้นฐานeมีฟังก์ชัน β ดังต่อไปนี้: โดยที่Λคือระดับพลังงานที่ใช้ในการวัดeสมการเชิงอนุพันธ์นี้บ่งชี้ว่าประจุพื้นฐานที่สังเกตได้จะเพิ่มขึ้นเมื่อระดับพลังงานเพิ่มขึ้น^{[ 35 ]}ค่าคงที่การเชื่อมต่อที่ปรับค่าใหม่ซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามระดับพลังงาน เรียกอีกอย่างว่าค่าคงที่การเชื่อมต่อแบบเคลื่อนที่^{[ 1 ] : 420} $${\displaystyle \beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O{\mathord {\left(e^{5}\right)}},}$$

ค่าคงที่การเชื่อมต่อgในควอนตัมโครโมไดนามิกส์ซึ่งเป็นทฤษฎีเกจแบบไม่เชิงอะเบเลียนที่อิงตามกลุ่มสมมาตรSU(3)มี ฟังก์ชัน β ดังต่อไปนี้ : โดยที่N _fคือจำนวนรสชาติ ของ ควาร์กในกรณีที่N _f ≤ 16 (แบบจำลองมาตรฐานมีN _f = 6 ) ค่าคงที่การเชื่อมต่อgจะลดลงเมื่อระดับพลังงานเพิ่มขึ้น ดังนั้น ในขณะที่ปฏิสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งนั้นแข็งแกร่งที่พลังงานต่ำ มันจะอ่อนมากในปฏิสัมพันธ์พลังงานสูง ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าอิสรภาพเชิงอะซิมโทติก [ ^{1 ] : 531} $${\displaystyle \beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O{\mathord {\left(g^{5}\right)}},}$$

ทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอล (CFTs) เป็น QFT พิเศษที่ยอมรับสมมาตรคอนฟอร์มอลพวกมันไม่ไวต่อการเปลี่ยนแปลงของมาตราส่วน เนื่องจากค่าคงที่การเชื่อมต่อทั้งหมดของพวกมันมี ฟังก์ชัน β เป็นศูนย์ (อย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง — การที่ ฟังก์ชัน β เป็นศูนย์ทั้งหมด ไม่ได้หมายความว่าทฤษฎีนั้นมีสมมาตรคอนฟอร์มอล) ^{[ 36 ]}ตัวอย่างได้แก่ทฤษฎีสตริง^{[ 26 ]}และ ทฤษฎีหยาง-มิล ส์แบบซูเปอร์สมมาตรN = 4 ^{[ 37 ]}

ตามภาพของวิลสัน ทฤษฎีสนามควอนตัมทุกทฤษฎีจะมาพร้อมกับขีดจำกัดพลังงานΛ โดยพื้นฐาน กล่าวคือทฤษฎีจะไม่ถูกต้องอีกต่อไปที่พลังงานสูงกว่าΛและจะต้องละเว้นระดับความเป็นอิสระทั้งหมดที่อยู่เหนือระดับΛตัวอย่างเช่น ขีดจำกัดอาจเป็นค่าผกผันของระยะห่างระหว่างอะตอมในระบบสสารควบแน่น และในฟิสิกส์อนุภาคพื้นฐาน อาจเกี่ยวข้องกับ "ความหยาบ" พื้นฐานของกาลอวกาศที่เกิดจากความผันผวนควอนตัมในแรงโน้มถ่วง ระดับขีดจำกัดของทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคอยู่ไกลเกินกว่าการทดลองในปัจจุบัน แม้ว่าทฤษฎีจะซับซ้อนมากที่ระดับนั้น ตราบใดที่การเชื่อมต่อของมันอ่อนเพียงพอ ก็จะต้องอธิบายที่พลังงานต่ำโดยทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพที่สามารถปรับค่าใหม่ได้[ 1 ^{] : 402–403ความ} แตกต่างระหว่างทฤษฎีที่สามารถปรับค่าใหม่ได้และทฤษฎีที่ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้คือ ทฤษฎีแบบแรกไม่ไวต่อรายละเอียดที่พลังงานสูง ในขณะที่ทฤษฎีแบบหลังขึ้นอยู่กับรายละเอียดเหล่านั้น^{[ 8 ] : 2} ตามมุมมองนี้ ทฤษฎีที่ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้นั้นถือเป็นทฤษฎีที่มีประสิทธิภาพในระดับพลังงานต่ำของทฤษฎีพื้นฐานที่มากกว่า ความล้มเหลวในการกำจัดค่าตัดΛ ออก จากการคำนวณในทฤษฎีดังกล่าวเป็นเพียงการบ่งชี้ว่าปรากฏการณ์ทางกายภาพใหม่ปรากฏขึ้นที่ระดับเหนือΛซึ่งจำเป็นต้องมีทฤษฎีใหม่^{[ 32 ] : 156}

ขั้นตอนการควอนตัมและการปรับค่ามาตรฐานที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้านี้ ดำเนินการสำหรับทฤษฎีอิสระและทฤษฎีϕ ⁴ของสนามสเกลาร์จริง กระบวนการที่คล้ายกันนี้สามารถทำได้สำหรับสนามประเภทอื่น ๆ รวมถึงสนามสเกลาร์เชิงซ้อนสนามเวกเตอร์และสนามดิแรก ตลอดจนเทอมปฏิสัมพันธ์ประเภทอื่น ๆ รวมถึงปฏิสัมพันธ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าและปฏิสัมพันธ์ยูกาวะ

ตัวอย่างเช่นควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ประกอบด้วยสนาม Dirac ψที่แทน สนาม อิเล็กตรอนและสนามเวกเตอร์A ^μที่แทนสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ( สนาม โฟตอน ) (ถึงแม้จะมีชื่อว่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าควอนตัม แต่ในความเป็นจริงแล้ว สนามแม่เหล็กไฟฟ้าควอนตัมนั้นสอดคล้องกับศักย์สี่มิติของแม่เหล็กไฟฟ้า แบบคลาสสิก มากกว่าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กแบบคลาสสิก) ความหนาแน่นของลากรางเจียน QED แบบเต็มคือ: โดยที่γ ^μคือเมทริกซ์ Dirac , , และคือความแรงของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าพารามิเตอร์ในทฤษฎีนี้คือมวลอิเล็กตรอน (เปล่า) m และ ประจุพื้นฐาน (เปล่า) eเทอมแรกและเทอมที่สองในความหนาแน่นของลากรางเจียนสอดคล้องกับสนาม Dirac อิสระและสนามเวกเตอร์อิสระตามลำดับ เทอมสุดท้ายอธิบายปฏิสัมพันธ์ระหว่างสนามอิเล็กตรอนและสนามโฟตอน ซึ่งถือเป็นการรบกวนจากทฤษฎีอิสระ^{[ 1 ] : 78} $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$$${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

ภาพด้านบนแสดงตัวอย่างแผนภาพไฟน์แมนระดับต้นไม้ในทฤษฎีควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) มันอธิบายถึงการทำลายล้างกันของอิเล็กตรอนและโพซิตรอน ทำให้เกิด โฟ ตอนนอกเปลือกและจากนั้นก็สลายตัวเป็นอิเล็กตรอนและโพซิตรอนคู่ใหม่ เวลาเดินจากซ้ายไปขวา ลูกศรที่ชี้ไปข้างหน้าในเวลาแสดงถึงการแพร่กระจายของอิเล็กตรอน ในขณะที่ลูกศรที่ชี้ไปข้างหลังในเวลาแสดงถึงการแพร่กระจายของโพซิตรอน เส้นหย wavy แสดงถึงการแพร่กระจายของโฟตอน จุดยอดแต่ละจุดในแผนภาพไฟน์แมนของ QED ต้องมีขาเฟอร์มิออน (โพซิตรอน/อิเล็กตรอน) ขาเข้าและขาออก รวมถึงขาโฟตอนด้วย

หากมีการแปลงต่อไปนี้กับฟิลด์ที่จุดx ในปริภูมิเวลาทุกจุด (การแปลงเฉพาะที่) แล้ว Lagrangian ของ QED จะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือคงที่: โดยที่α ( x )เป็นฟังก์ชันใดๆ ของพิกัดปริภูมิเวลา หาก Lagrangian ของทฤษฎี (หรือแอคชั่น ที่แม่นยำกว่า ) คงที่ภายใต้การแปลงเฉพาะที่บางอย่าง การแปลงนั้นจะถูกเรียกว่าสมมาตรเกจของทฤษฎี^{[ 1 ] : 482–483} สมมาตรเกจก่อตัวเป็นกลุ่มที่จุดในปริภูมิเวลาทุกจุด ในกรณีของ QED การประยุกต์ใช้การแปลงสมมาตรเฉพาะที่ที่แตกต่างกันสองแบบต่อเนื่องกันและเป็นการแปลงสมมาตรอีกแบบหนึ่งสำหรับα ( x ) ใดๆ จะเป็นองค์ประกอบของ กลุ่ม U(1)ดังนั้น QED จึงกล่าวได้ว่ามีสมมาตรเกจU(1) ^{[ 1 ] : 496} ฟิลด์โฟตอนAμอาจถูกเรียกว่าโบ ซอนเกจ_U (1)$${\displaystyle \psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},}$$${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$${\displaystyle e^{i\alpha '(x)}}$${\displaystyle e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}}$${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$

U(1)เป็นกลุ่มอาเบเลียนหมายความว่าผลลัพธ์จะเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงลำดับที่นำองค์ประกอบมาใช้ QFT ยังสามารถสร้างขึ้นบนกลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียนทำให้เกิดทฤษฎีเกจที่ไม่ใช่อาเบเลียน (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎี Yang–Mills) ^{[ 1 ] : 489} ควอนตัมโครโมไดนามิกส์ซึ่งอธิบายปฏิสัมพันธ์ที่แข็งแกร่ง เป็นทฤษฎีเกจที่ไม่ใช่อาเบเลียนที่มี สมมาตรเกจ SU(3)ประกอบด้วยฟิลด์ Dirac สามฟิลด์ψ ⁱ , i = 1,2,3ซึ่งแทน ฟิลด์ ควาร์กเช่นเดียวกับฟิลด์เวกเตอร์แปดฟิลด์A ^a,μ , a = 1,...,8ซึ่งแทน ฟิลด์ กลู ออน ซึ่งเป็นโบซอนเกจSU(3) ^{[ 1 ] : 547} ความหนาแน่นของลากรางเจียน QCD คือ: ^{[ 1 ] : 490–491} โดยที่D _μคืออนุพันธ์เกจโคแวเรียนต์ : โดยที่gคือค่าคงที่ของการเชื่อมต่อt ^aคือตัวสร้าง แปดตัว ของSU(3)ในการแสดงพื้นฐาน ( เมทริกซ์ 3×3 ) และf ^abcคือค่าคงที่โครงสร้างของSU(3)ดัชนีที่ซ้ำกันi , j , aจะถูกรวมโดยปริยายตามสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ ลากรางเจียนนี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง: โดยที่U ( x )คือองค์ประกอบของSU(3)ที่ทุกจุดปริภูมิเวลาx : $${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},}$$$${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},}$$$${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},}$$$${\displaystyle \psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x),}$$$${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.}$$

การอภิปรายเรื่องสมมาตรก่อนหน้านี้อยู่ในระดับของ Lagrangian กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สมมาตรเหล่านี้เป็นสมมาตรแบบ "คลาสสิก" หลังจากควอนตัมแล้ว ทฤษฎีบางทฤษฎีจะไม่แสดงสมมาตรแบบคลาสสิกอีกต่อไป ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าความผิดปกติตัวอย่างเช่น ในการกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทาง แม้ว่าความหนาแน่นของ Lagrangian จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเฉพาะที่ของฟิลด์บางอย่าง แต่การวัดของอินทิกรัลเส้นทางอาจเปลี่ยนแปลงได้^{[ 32 ] : 243} สำหรับทฤษฎีที่อธิบายธรรมชาติให้สอดคล้องกัน ทฤษฎีนั้นจะต้องไม่มีความผิดปกติใดๆ ในสมมาตรเกจ แบบจำลองมาตรฐานของอนุภาคพื้นฐานเป็นทฤษฎีเกจที่อิงตามกลุ่มSU(3) × SU(2) × U(1)ซึ่งความผิดปกติทั้งหมดจะหักล้างกันอย่างสมบูรณ์^{[ 1 ] : 705–707} ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]}$${\textstyle \int {\mathcal {D}}\phi }$

พื้นฐานทางทฤษฎีของ ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไปหลักการสมมูลสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นรูปแบบหนึ่งของสมมาตรเกจ ทำให้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีเกจที่อิงตามกลุ่มลอเรนซ์^{[ 38 ]}

ทฤษฎีบทของ Noetherระบุว่าสมมาตรต่อเนื่องทุกประการ กล่าวคือพารามิเตอร์ในการแปลงสมมาตรมีความต่อเนื่องแทนที่จะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง นำไปสู่กฎการอนุรักษ์ที่ สอดคล้องกัน ^{[ 1 ] : 17–18 [ 32 ] : 73} ตัวอย่างเช่น สมมาตร U(1)ของ QED บ่งบอกถึง การ อนุรักษ์ประจุ^{[ 39 ]}

การแปลงเกจไม่ได้เชื่อมโยงสถานะควอนตัมที่แตกต่างกัน แต่เชื่อมโยงคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่เทียบเท่ากันสองแบบของสถานะควอนตัมเดียวกัน ตัวอย่างเช่น สนามโฟตอนA ^μซึ่งเป็นเวกเตอร์สี่มิติมีระดับความเป็นอิสระที่เห็นได้ชัดสี่ระดับ แต่สถานะที่แท้จริงของโฟตอนถูกอธิบายโดยระดับความเป็นอิสระสองระดับที่สอดคล้องกับโพลาไรเซชันระดับความเป็นอิสระที่เหลืออีกสองระดับเรียกว่า "ส่วนเกิน" — วิธีการเขียนA ^μ ที่ดูเหมือนแตกต่างกัน สามารถเชื่อมโยงกันได้โดยการแปลงเกจ และในความเป็นจริงอธิบายสถานะเดียวกันของสนามโฟตอน ในแง่นี้ ความไม่แปรเปลี่ยนของเกจไม่ใช่สมมาตร "ที่แท้จริง" แต่เป็นการสะท้อนของ "ส่วนเกิน" ของคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่เลือก^{[ 32 ] : 168}

เพื่ออธิบายความซ้ำซ้อนของเกจในสูตรอินทิกรัลเส้นทาง จำเป็นต้องดำเนินการตาม ขั้นตอน การแก้ไขเกจ ที่เรียกว่า Faddeev–Popov ในทฤษฎีเกจที่ไม่ใช่อาเบเลียน ขั้นตอนดังกล่าวจะแนะนำฟิลด์ใหม่ที่เรียกว่า "โกสต์" อนุภาคที่สอดคล้องกับฟิลด์โกสต์เรียกว่าอนุภาคโกสต์ ซึ่งไม่สามารถตรวจจับได้จากภายนอก^{[ 1 ] : 512–515} การวางนัยทั่วไปที่เข้มงวดกว่าของขั้นตอน Faddeev–Popov ได้รับการให้โดย การควอนตั มBRST ^{[ 1 ] : 517}

การแตกสมมาตรโดยธรรมชาติเป็นกลไกที่สมมาตรของลากรางเจียนถูกละเมิดโดยระบบที่อธิบายโดยลากรางเจียน^{[ 1 ] : 347}

เพื่อแสดงกลไก ให้พิจารณาแบบจำลองซิกมา เชิงเส้น ที่มี ฟิลด์สเกลาร์จริง Nฟิลด์ ซึ่งอธิบายโดยความหนาแน่นลากรางจ์: โดยที่μและλเป็นพารามิเตอร์จริง ทฤษฎียอมรับสมมาตรทั่วโลก O( N ) สถานะพลังงานต่ำสุด (สถานะพื้นฐานหรือสถานะสุญญากาศ) ของทฤษฎีคลาสสิกคือฟิลด์เอกรูปϕ0 ใดๆ _ที่สอดคล้องกับ โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป ให้สถานะพื้นฐานอยู่ใน ทิศทางที่ N : ฟิลด์ N ดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้เป็น: และความหนาแน่นลากรางจ์ดั้งเดิมเป็น: โดยที่k = 1, ..., N − 1 สมมาตรทั่วโลก O( N )ดั้งเดิมไม่ปรากฏอีกต่อไป เหลือเพียงกลุ่มย่อยO( N − 1)สมมาตรที่ใหญ่กว่าก่อนการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติเรียกว่า "ซ่อนอยู่" หรือแตกโดยธรรมชาติ^{[ 1 ] : 349–350} $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{i}\right)\left(\partial ^{\mu }\phi ^{i}\right)+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\phi ^{i}\phi ^{i}\right)^{2},}$$$${\displaystyle \phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).}$$$${\displaystyle \phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$$$${\displaystyle \phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).}$$$${\displaystyle \phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\pi ^{k}\right)\left(\partial ^{\mu }\pi ^{k}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\sigma \right)\left(\partial ^{\mu }\sigma \right)-{\frac {1}{2}}\left(2\mu ^{2}\right)\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}\left(\pi ^{k}\pi ^{k}\right)^{2},}$$

ทฤษฎีบทของโกลด์สโตนกล่าวว่าภายใต้การแตกสมมาตรโดยธรรมชาติ สมมาตรทั่วโลกต่อเนื่องที่แตกทุกอันจะนำไปสู่สนามไร้มวลที่เรียกว่าโบซอนโกลด์สโตน ในตัวอย่างข้างต้นO( N )มี สมมาตรต่อเนื่อง N ( N − 1)/2 (มิติของพีชคณิตลี ) ในขณะที่O( N − 1 )มี( N − 1)( N − 2)/2จำนวนสมมาตรที่แตกคือผลต่างของพวกมันN − 1ซึ่งสอดคล้องกับสนามไร้มวลπk จำนวน^N − 1 ^{[ 1 ] : 351}

ในทางกลับกัน เมื่อสมมาตรเกจ (ตรงข้ามกับสมมาตรทั่วโลก) ถูกทำลายโดยธรรมชาติ โบซอนโกลด์สโตนที่เกิดขึ้นจะถูก "กลืนกิน" โดยโบซอนเกจที่สอดคล้องกันโดยกลายเป็นระดับความเป็นอิสระเพิ่มเติมสำหรับโบซอนเกจ ทฤษฎีบทสมมูลของโบซอนโกลด์สโตนระบุว่าที่พลังงานสูง แอมพลิจูดสำหรับการปล่อยหรือการดูดกลืนของโบซอนเกจมวลที่มีการโพลาไรซ์ตามแนวยาวจะเท่ากับแอมพลิจูดสำหรับการปล่อยหรือการดูดกลืนของโบซอนโกลด์สโตนที่ถูกโบซอนเกจกลืนกิน^{[ 1 ] : 743–744}

ใน QFT ของเฟอร์โรแมกเนติซึม การแตกสมมาตรโดยธรรมชาติสามารถอธิบายการเรียงตัวของไดโพลแม่เหล็กที่อุณหภูมิต่ำได้^{[ 32 ] : 199} ในแบบจำลองมาตรฐานของอนุภาคพื้นฐานโบซอน W และ Zซึ่งโดยปกติแล้วจะไม่มีมวลอันเป็นผลมาจากสมมาตรเกจ จะได้รับมวลผ่านการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติของโบซอนฮิกส์ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่ากลไกฮิกส์^{[ 1 ] : 690}

สมมาตรที่ทราบจากการทดลองในธรรมชาติทั้งหมดเชื่อมโยงโบซอนกับโบซอนและเฟอร์มิออนกับเฟอร์มิออน นักทฤษฎีได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของสมมาตรชนิดหนึ่งที่เรียกว่าซูเปอร์สมมาตรซึ่งเชื่อมโยงโบซอนและเฟอร์มิออน^{[ 1 ] : 795 [ 32 ] : 443}

แบบจำลองมาตรฐานเป็นไปตามสมมาตรปวงกาเรซึ่งตัวสร้างคือการแปลปริภูมิ เวลา P ^μและการแปลงลอเรนซ์J _μν ^{[ 40 ] : 58–60} นอกจากตัวสร้างเหล่านี้แล้ว ซูเปอร์สมมาตรในมิติ (3+1) ยังรวมถึงตัวสร้างเพิ่มเติมQ _αซึ่งเรียกว่าซูเปอร์ชาร์จซึ่งแปลงเป็นเฟอร์มิออนเวล์ [ 1 ^{] : 795 [ 32 ] : 444 กลุ่มสมมาตรที่สร้างขึ้นโดย ตัว}สร้างทั้งหมดเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มซูเปอร์ปวงกาเรโดยทั่วไปแล้วอาจมีชุดตัวสร้างซูเปอร์สมมาตรมากกว่าหนึ่งชุดQ _α ^I , I = 1, ..., Nซึ่งสร้างซูเปอร์สมมาตรN = 1 ที่สอดคล้องกัน ซูเปอร์สมมาตร N = 2และอื่นๆ^{[ 1 ] : 795 [ 32 ] : 450} ซูเปอร์สมมาตรยังสามารถสร้างขึ้นในมิติอื่นได้อีกด้วย^{[ 41 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งในมิติ (1+1) เพื่อการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีซูเปอร์สตริง^{[ 42 ]}

ลากรางเจียนของทฤษฎีซูเปอร์สมมาตรต้องไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่มซูเปอร์ปวงกาเร^{[ 32 ] : 448} ตัวอย่างของทฤษฎีดังกล่าว ได้แก่แบบจำลองมาตรฐานซูเปอร์สมมาตรขั้นต่ำ (MSSM) ทฤษฎีหยาง-มิลส์ซูเปอร์สมมาตรN = 4 ^{[ 32 ] : 450} และทฤษฎีซูเปอร์สตริง ในทฤษฎีซูเปอร์สมมาตร เฟอร์มิออนทุกตัวจะมีคู่ซูเปอร์ โบซอนิก และในทางกลับกัน^{[ 32 ] : 444}

หากซูเปอร์สมมาตรได้รับการยกระดับเป็นสมมาตรเฉพาะที่ ทฤษฎีเกจที่ได้จะเป็นส่วนขยายของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปที่เรียกว่าซูเปอร์กราวิตี้^{[ 43 ]}

ซูเปอร์สมมาตรเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาปัจจุบันหลายประการในฟิสิกส์ ตัวอย่าง เช่น ปัญหาลำดับชั้นของแบบจำลองมาตรฐาน—เหตุใดมวลของฮิกส์โบซอนจึงไม่ได้รับการแก้ไขด้วยการแผ่รังสี (ภายใต้การปรับค่าใหม่) ให้เป็นระดับที่สูงมาก เช่นระดับแกรนด์ยูนิไฟด์หรือระดับพลังค์ —สามารถแก้ไขได้โดยการเชื่อมโยงสนามฮิกส์และคู่หูซูเปอร์ของมัน คือ ฮิกส์ ซิโน การแก้ไขการแผ่รังสีเนื่องจากวงรอบของฮิกส์โบซอนในไดอะแกรมไฟน์แมนจะถูกยกเลิกโดยวงรอบฮิ กส์ซิโนที่สอดคล้องกัน ซูเปอร์สมมาตรยังให้คำตอบสำหรับแกรนด์ยูนิไฟด์ของค่าคงที่การเชื่อมต่อเกจทั้งหมดในแบบจำลองมาตรฐาน เช่นเดียวกับธรรมชาติของสสารมืด^{[ 1 ] : 796–797 [ 44 ]}

อย่างไรก็ตาม การทดลองยังไม่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ของอนุภาคซูเปอร์สมมาตรได้ หากซูเปอร์สมมาตรเป็นสมมาตรที่แท้จริงของธรรมชาติ มันจะต้องเป็นสมมาตรที่ถูกทำลาย และพลังงานของการทำลายสมมาตรจะต้องสูงกว่าพลังงานที่สามารถทำได้จากการทดลองในปัจจุบัน^{[ 1 ] : 797 [ 32 ] : 443}

ทฤษฎีϕ ⁴ , QED, QCD รวมทั้งแบบจำลองมาตรฐานทั้งหมด ต่างก็ถือว่าปริภูมิ Minkowski มี มิติ (3+1) (3 มิติเชิงพื้นที่และ 1 มิติเชิงเวลา) เป็นพื้นหลังในการกำหนดสนามควอนตัม อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) ไม่ได้กำหนดข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับจำนวนมิติหรือเรขาคณิตของปริภูมิเวลา ไว้ ล่วงหน้า

ในฟิสิกส์สสารควบแน่น QFT ถูกใช้เพื่ออธิบาย ก๊าซ อิเล็กตรอนมิติ (2+1) ^{[ 45 ]}ในฟิสิกส์พลังงานสูงทฤษฎีสตริงเป็น QFT มิติ (1+1) ประเภทหนึ่ง^{[ 32 ] : 452 [ 26 ]}ในขณะที่ทฤษฎี Kaluza–Kleinใช้แรงโน้มถ่วงในมิติพิเศษเพื่อสร้างทฤษฎีเกจในมิติที่ต่ำกว่า^{[ 32 ] : 428–429}

ในปริภูมิ Minkowski เมตริก แบบราบ η _μνถูกใช้เพื่อเพิ่มและลดดัชนีปริภูมิเวลาใน Lagrangian เช่น โดยที่η ^μνคือส่วนกลับของη _μνที่สอดคล้องกับη ^μρ η _ρν = δ ^μ _νในทางกลับกันสำหรับQFT ในปริภูมิเวลาโค้งจะใช้ เมตริกทั่วไป (เช่น เมตริก Schwarzschildที่อธิบายหลุมดำ ) โดยที่g ^μνคือส่วนกลับของg _μνสำหรับสนามสเกลาร์จริง ความหนาแน่นของ Lagrangian ในพื้นหลังปริภูมิเวลาทั่วไปคือ โดยที่g = det( g _μν )และ∇ _μหมายถึงอนุพันธ์ร่วมแปร [ ^{46 ] Lagrangian}ของ QFT ดังนั้นผลการคำนวณและการทำนายทางกายภาพจึงขึ้นอยู่กับเรขาคณิตของพื้นหลังปริภูมิเวลา $${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,}$$$${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),}$$

ฟังก์ชันสหสัมพันธ์และการคาดการณ์ทางกายภาพของ QFT ขึ้นอยู่กับเมตริกของปริภูมิเวลาg _μνสำหรับ QFT ประเภทพิเศษที่เรียกว่าทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยี (TQFT) ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ทั้งหมดเป็นอิสระจากการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องในเมตริกของปริภูมิเวลา^{[ 47 ] : QFT 36} ในปริภูมิเวลาโค้งโดยทั่วไปจะเปลี่ยนแปลงไปตามเรขาคณิต (โครงสร้างเฉพาะที่) ของพื้นหลังปริภูมิเวลา ในขณะที่ TQFT ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงปริภูมิ เวลาแบบดิฟเฟอเรนเชียล แต่มีความไวต่อทอพอโลยี (โครงสร้างโดยรวม) ของปริภูมิเวลา ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์การคำนวณทั้งหมดของ TQFT เป็นค่าคงที่เชิงทอพอโลยีของปริภูมิเวลาพื้นฐานทฤษฎี Chern–Simonsเป็นตัวอย่างของ TQFT และถูกนำมาใช้เพื่อสร้างแบบจำลองของแรงโน้มถ่วงควอนตัม^{[ 48 ]}การประยุกต์ใช้ TQFT ได้แก่ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบเศษส่วนและคอมพิวเตอร์ควอนตัมเชิงทอพอโลยี^{[ 49 ] : 1–5} วิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคเศษส่วน (ที่รู้จักกันในชื่อแอนยอน ) สามารถสร้างโครงสร้างการเชื่อมโยงในปริภูมิเวลาได้^{[ 50 ]}ซึ่งเชื่อมโยงสถิติการถักเปียของแอนยอนในฟิสิกส์กับตัวแปรการเชื่อมโยงในคณิตศาสตร์ ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยี (TQFTs) ที่สามารถนำไปใช้กับการวิจัยแนวหน้าของเรื่องควอนตัมเชิงทอพอโลยี ได้แก่ ทฤษฎีเกจ Chern-Simons-Witten ในมิติปริภูมิเวลา 2+1 มิติ และ TQFTs แปลกใหม่อื่นๆ ในมิติปริภูมิเวลา 3+1 มิติขึ้นไป^{[ 51 ]}

โดยใช้ทฤษฎีการรบกวนผลกระทบโดยรวมของพจน์ปฏิสัมพันธ์ขนาดเล็กสามารถประมาณได้ทีละลำดับโดยการขยายอนุกรมในจำนวนอนุภาคเสมือนที่เข้าร่วมในปฏิสัมพันธ์ พจน์แต่ละพจน์ในการขยายสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นวิธีหนึ่งที่เป็นไปได้สำหรับอนุภาค (ทางกายภาพ) ในการมีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันผ่านอนุภาคเสมือน ซึ่งแสดงออกมาให้เห็นได้โดยใช้แผนภาพไฟน์แมนแรงแม่เหล็กไฟฟ้าระหว่างอิเล็กตรอนสองตัวใน QED ถูกแทน (ในลำดับแรกของทฤษฎีการรบกวน) โดยการแพร่กระจายของโฟตอนเสมือน ในทำนองเดียวกันโบซอน W และ Zเป็นตัวกลางในการส่งผ่านปฏิสัมพันธ์แบบอ่อน ในขณะที่กลูออนเป็นตัวกลางในการส่งผ่านปฏิสัมพันธ์แบบแรง การตีความปฏิสัมพันธ์ว่าเป็นผลรวมของสถานะกลางที่เกี่ยวข้องกับการแลกเปลี่ยนอนุภาคเสมือนต่างๆ นั้นสมเหตุสมผลเฉพาะในกรอบของทฤษฎีการรบกวนเท่านั้น ในทางตรงกันข้าม วิธีการที่ไม่ใช้การรบกวนใน QFT จะพิจารณา Lagrangian ที่มีปฏิสัมพันธ์เป็นส่วนรวมโดยไม่มีการขยายอนุกรมใดๆ แทนที่จะเป็นอนุภาคที่ส่งผ่านปฏิสัมพันธ์ วิธีการเหล่านี้ได้ก่อให้เกิดแนวคิดต่างๆ เช่น' t Hooft–Polyakov monopole , domain wall , flux tubeและinstanton ^{[ 8 ]}ตัวอย่างของ QFT ที่สามารถแก้ได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่รบกวน ได้แก่แบบจำลองขั้นต่ำของทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอล^{[ 52 ]}และ แบบ จำลองThirring ^{[ 53 ]}

แม้ว่า QFT จะประสบความสำเร็จอย่างมากในฟิสิกส์อนุภาคและฟิสิกส์สสารควบแน่น แต่ตัวมันเองกลับขาดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ ตัวอย่างเช่น ตามทฤษฎีบทของ Haagไม่มีภาพปฏิสัมพันธ์ ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน สำหรับ QFT ซึ่งหมายความว่าทฤษฎีการรบกวน ของ QFT ซึ่งเป็นพื้นฐานของวิธี การแผนภาพ Feynmanทั้งหมดนั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน^{[ 54 ]}

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีสนามควอนตัม แบบรบกวนซึ่งต้องการเพียงแค่ให้ปริมาณสามารถคำนวณได้เป็นอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการโดยไม่มีข้อกำหนดการลู่เข้าใดๆ สามารถได้รับการจัดการทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด โดยเฉพาะอย่างยิ่งหนังสือของKevin Costello เรื่อง Renormalization and Effective Field Theory ^{[ 55 ]}ให้สูตรที่เข้มงวดของการปรับค่าใหม่แบบรบกวนที่รวมวิธีการทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพของKadanoff , WilsonและPolchinskiเข้าด้วยกัน พร้อมกับ วิธีการ ของ Batalin-Vilkoviskyในการหาปริมาณทฤษฎีเกจ นอกจากนี้ วิธีการอินทิกรัลเส้นทางแบบรบกวน ซึ่งโดยทั่วไปเข้าใจว่าเป็นวิธีการคำนวณอย่างเป็นทางการที่ได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีการอินทิเกรตมิติจำกัด^{[ 56 ]}สามารถได้รับการตีความทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องจากอนาล็อกมิติจำกัด^{[ 57 ]}

ตั้งแต่ทศวรรษ 1950 ^{[ 58 ]}นักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและนักคณิตศาสตร์ได้พยายามจัดระเบียบ QFT ทั้งหมดให้เป็นชุดของสัจพจน์เพื่อสร้างแบบจำลองที่เป็นรูปธรรมของ QFT สัมพัทธภาพในทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด และเพื่อศึกษาคุณสมบัติของแบบจำลองเหล่านั้น แนวทางการศึกษานี้เรียกว่าทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงสร้างสรรค์ซึ่งเป็นสาขาย่อยของฟิสิกส์คณิตศาสตร์^{[ 59 ] : 2} ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์ต่างๆ เช่นทฤษฎีบท CPTทฤษฎีบทสถิติสปินและทฤษฎีบทของโกลด์สโตน [ ^{58 ]}และยังนำไปสู่การสร้าง QFT ที่มีปฏิสัมพันธ์กันจำนวนมากในมิติเวลาและอวกาศสองและสามมิติอย่างเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีสนามสเกลาร์สองมิติที่มีปฏิสัมพันธ์พหุนามแบบใดก็ได้^{[ 60 ] ทฤษฎี}สนามสเกลาร์สามมิติที่มีปฏิสัมพันธ์ควอติก เป็นต้น^{[ 61 ]}

เมื่อเปรียบเทียบกับ QFT ทั่วไปทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยีและทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอลได้รับการสนับสนุนทางคณิตศาสตร์ที่ดีกว่า — ทั้งสองสามารถจัดอยู่ในกรอบของการแสดงแทนโคบอร์ดิซึมได้^{[ 62 ]}

ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงพีชคณิตเป็นอีกแนวทางหนึ่งในการกำหนดสัจพจน์ของ QFT ซึ่งวัตถุพื้นฐานคือตัวดำเนินการเฉพาะที่และความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตระหว่างตัวดำเนินการเหล่านั้น ระบบสัจพจน์ตามแนวทางนี้รวมถึงสัจพจน์ของ Wightmanและ สัจพจน์ ของHaag–Kastler ^{[ 59 ] : 2–3} วิธีหนึ่งในการสร้างทฤษฎีที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของ Wightman คือการใช้สัจพจน์ของ Osterwalder–Schraderซึ่งให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการได้มาซึ่งทฤษฎีเวลาจริงจาก ทฤษฎี เวลาจินตนาการโดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ ( การหมุนของ Wick ) ^{[ 59 ] : 10}

ปัญหา การดำรงอยู่ของ Yang–Mills และช่องว่างมวลซึ่งเป็นหนึ่งในปัญหารางวัล Millennium Prize เกี่ยวข้องกับการดำรงอยู่ของ ทฤษฎี Yang–Mills ที่กำหนดไว้ อย่างชัดเจนตามสัจพจน์ข้างต้น คำแถลงปัญหาทั้งหมดมีดังนี้^{[ 63 ]}

พิสูจน์ว่าสำหรับกลุ่มเกจแบบง่ายขนาดกะทัดรัด ใดๆ Gทฤษฎี Yang–Mills ควอนตัมที่ไม่ธรรมดาจะมีอยู่จริงบนและมีช่องว่างมวลΔ > 0การมีอยู่รวมถึงการสร้างคุณสมบัติเชิงสัจพจน์ที่แข็งแกร่งอย่างน้อยเท่ากับที่อ้างถึงในStreater & Wightman (1964) , Osterwalder & Schrader (1973)และOsterwalder & Schrader (1975) [การอ้างอิงดัดแปลง] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Pais, A. (1994) [1986]. Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World (ฉบับพิมพ์ซ้ำ). อ็อกซ์ฟอร์ด, นิวยอร์ก, โทรอนโต: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ ฟอร์ด . ISBN 978-0-19-851997-3.
• Schweber, SS (1994). QED และผู้สร้างมัน: Dyson, Feynman, Schwinger และ Tomonaga . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน . ISBN 978-0-691-03327-3.
• Feynman, RP (2001) [1964]. ลักษณะของกฎทางฟิสิกส์สำนักพิมพ์MIT ISBN 978-0-262-56003-0.
• Feynman, RP (2006) [1985]. QED: ทฤษฎีแปลกประหลาดของแสงและสสารสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันISBN 978-0-691-12575-6.
• กริบบิน, เจ. (1998). Q คือ ควอนตัม: ฟิสิกส์อนุภาคจาก A ถึง Z.ไวเดนเฟลด์ แอนด์ นิโคลสัน . ISBN 978-0-297-81752-9.
• แคร์รอล, ฌอน (2024). แนวคิดที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในจักรวาล: ควอนตัมและสนาม . ดัตตัน . ISBN 978-0-593-18660-2.

• Pierre van Baal (2016). หลักสูตรทฤษฎีสนาม . CRC Press . doi : 10.1201/b15364 . ISBN 978-0-429-07360-1.
• Cabibbo, Nicola; Maiani, Luciano; Benhar, Omar (2025). บทนำสู่ทฤษฎีเกจ . สำนักพิมพ์ CRC . doi : 10.1201/9781003560708 . ISBN 9781003560708.
• Frampton, PH (2000). ทฤษฎีสนามเกจ . ขอบเขตในฟิสิกส์ (ฉบับที่ 2). ไวลีย์ .แฟรมป์ตัน, พอล เอช. (22 กันยายน 2551). 2008, ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3.จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์. ISBN 978-3-527-40835-1.
• ไกรเนอร์, ดับเบิลยู. ; มุลเลอร์, บี. (2000). ทฤษฎีเกจของปฏิสัมพันธ์แบบอ่อน . สปริงเกอร์ . ISBN 978-3-540-67672-0.
• Itzykson, C. ; Zuber, J.-B. (1980). ทฤษฎีสนามควอนตัม . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-032071-0.
• Kane, GL (1987). ฟิสิกส์อนุภาคพื้นฐานสมัยใหม่ . Perseus Group . ISBN 978-0-201-11749-3.
• ไคลเนิร์ต, เอช. ; ชูลเทอ-โฟรห์ลินเด, เวเรนา (2001) คุณสมบัติที่สำคัญของφ ⁴ -ทฤษฎี . วิทยาศาสตร์โลก . ไอเอสบีเอ็น 978-981-02-4658-7เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 22 กรกฎาคม 2555 เรียกดูเมื่อ2 กรกฎาคม 2552
• ไคลเนิร์ต, เอช. (2008). ฟิลด์หลายค่าในสสารควบแน่น ไฟฟ้าพลศาสตร์ และแรงโน้มถ่วง (PDF)เวิลด์ ไซเอนซ์ISBN 978-981-279-170-2เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 16 กรกฎาคม 2555 เรียกดูเมื่อวันที่ 2 กรกฎาคม 2552
• แลนแคสเตอร์, ทอม; บลันเดลล์, สตีเฟน (2014). ทฤษฎีสนามควอนตัมสำหรับมือสมัครเล่นผู้มีพรสวรรค์ . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-969933-9. OCLC  859651399 .
• ลูด้อน, อาร์. (1983). ทฤษฎีควอนตัมของแสง . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-851155-7.
• Maiani, Luciano ; Benhar, Omar (2024). กลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ: บทนำสู่สนามควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ . สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 9781003436263.
• แมนดล์, เอฟ. ; ชอว์, จี. (1993). ทฤษฎีสนามควอนตัม . จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ . ISBN 978-0-471-94186-6.
• ไรเดอร์, แอลเอช (1985). ทฤษฎีสนามควอนตัม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-33859-2.
• Schwartz, MD (2014). ทฤษฎีสนามควอนตัมและแบบจำลองมาตรฐาน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-1-107-03473-0เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2018-03-22 เรียกดูเมื่อ2020-05-13
• Ynduráin, FJ (1996). กลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพและบทนำสู่ทฤษฎีสนาม (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). สปริงเกอร์. รหัสบรรณานุกรม : 1996rqmi.book.....Y . doi : 10.1007/978-3-642-61057-8 . ISBN 978-3-540-60453-2.
• ไกรเนอร์, ดับเบิลยู. ; ไรน์ฮาร์ดต์, เจ. (1996). การควอนตัมสนาม . สปริงเกอร์. ISBN 978-3-540-59179-5.
• Peskin, M. ; Schroeder, D. (1995). บทนำสู่ทฤษฎีสนามควอนตัม . สำนักพิมพ์เวสต์วิว . ISBN 978-0-201-50397-5.
• Scharf, Günter (2014) [1989]. Finite Quantum Electrodynamics: The Causal Approach (ฉบับที่สาม). สำนักพิมพ์ Dover. ISBN 978-0-486-49273-5.
• Srednicki, M. (2007). ทฤษฎีสนามควอนตัม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0521-8644-97.
• ตง, เดวิด (2015). "การบรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีสนามควอนตัม" . สืบค้นเมื่อ 9 กุมภาพันธ์ 2016 .
• วิลเลียมส์, เอจี (2022). บทนำสู่ทฤษฎีสนามควอนตัม: กลศาสตร์คลาสสิกสู่ทฤษฎีสนามเกจ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-1-108-47090-2.
• ซี, แอนโทนี (2010). ทฤษฎีสนามควอนตัมฉบับย่อ (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน . ISBN 978-0-691-14034-6.

• อุเมะซาวะ, ฮ. (1956) ทฤษฎีสนามควอนตัม สำนักพิมพ์นอร์ทฮอลแลนด์
• บาร์ตัน, จี. (1963). บทนำสู่ทฤษฎีสนามขั้นสูง.สำนักพิมพ์อินทีไซแอนซ์.
• บราวน์, โลเวลล์ เอส. (1994). ทฤษฎีสนามควอนตัม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-46946-3.
• Bogoliubov, N.; Logunov, AA ; Oksak, AI; Todorov, IT (1990). หลักการทั่วไปของทฤษฎีสนามควอนตัม . สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-0-7923-0540-8.
• ไวน์เบิร์ก, เอส. (1995). ทฤษฎีควอนตัมของสนามเล่ม 1. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-55001-7.
• Badger, Simon; Henn, Johannes; Plefka, Jan Christoph; Zoia, Simone (2024). แอมพลิจูดการกระเจิงในทฤษฎีสนามควอนตัม . Springer. Bibcode : 2024saqf.book.....B . doi : 10.1007/978-3-031-46987-9 . ISBN 978-3-031-46987-9.

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีสนามควอนตัมในวิกิมีเดียคอมมอนส์

ทฤษฎีสนามควอนตัมหนึ่งมิติบน Wikiversity

• "ทฤษฎีสนามควอนตัม" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• สารานุกรมปรัชญาแห่งสแตนฟอร์ด : "ทฤษฎีสนามควอนตัม " โดย ไมน์นาร์ด คูลมันน์
• Siegel, Warren, 2005. Fields. arXiv : hep-th/9912205 .
• ทฤษฎีสนามควอนตัมโดย พี.เจ. มัลเดอร์ส