ความไม่แน่นอนเชิงควอนตัมคือ ความไม่สมบูรณ์ที่เห็น ได้ชัดซึ่ง จำเป็นในการอธิบายระบบทางกายภาพซึ่งกลายเป็นหนึ่งในลักษณะเฉพาะของการอธิบายมาตรฐานของฟิสิกส์ควอนตัมก่อนที่จะมีฟิสิกส์ควอนตัม มีความคิดว่า

ความไม่แน่นอนเชิงควอนตัมสามารถอธิบายได้ในเชิงปริมาณด้วยการกระจายความน่าจะเป็นบนเซตของผลลัพธ์ของการวัดค่าที่สังเกตได้การกระจายนี้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยสถานะของระบบ และยิ่งไปกว่านั้น กลศาสตร์ควอนตัมยังให้สูตรสำหรับการคำนวณการกระจายความน่าจะเป็นนี้ด้วย

ความไม่แน่นอนในการวัดไม่ใช่สิ่งที่คิดค้นขึ้นใหม่ในกลศาสตร์ควอนตัม เนื่องจากนักทดลองได้พิสูจน์ไว้ตั้งแต่แรกแล้วว่าข้อผิดพลาดในการวัดอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่แน่นอน ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 18 ข้อผิดพลาดในการวัดเป็นที่เข้าใจกันดี และเป็นที่ทราบกันดีว่าสามารถลดข้อผิดพลาดเหล่านั้นได้ด้วยอุปกรณ์ที่ดีกว่า หรืออธิบายได้ด้วยแบบจำลองข้อผิดพลาดทางสถิติ อย่างไรก็ตาม ในกลศาสตร์ควอนตัม ความไม่แน่นอนนั้นมีลักษณะพื้นฐานมากกว่ามาก โดยไม่เกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดหรือการรบกวนใดๆ

การอธิบายความไม่แน่นอนของควอนตัมอย่างเพียงพอต้องอาศัยทฤษฎีการวัด ทฤษฎีมากมายได้รับการเสนอมาตั้งแต่เริ่มต้นของกลศาสตร์ควอนตัมและการวัดควอนตัมยังคงเป็นพื้นที่วิจัยที่กระตือรือร้นทั้งในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและเชิงทดลอง^{[ 1 ]}ความพยายามอย่างเป็นระบบครั้งแรกเกี่ยวกับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์อาจได้รับการพัฒนาโดยJohn von Neumannประเภทของการวัดที่เขาตรวจสอบในปัจจุบันเรียกว่าการวัดเชิงฉาย ทฤษฎีดังกล่าวมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีการวัดค่าการฉายสำหรับตัวดำเนินการแบบสมมาตรที่ได้รับการพัฒนาขึ้นเมื่อเร็ว ๆ นี้ (โดย von Neumann และโดยอิสระโดยMarshall Stone ) และการกำหนดรูปแบบปริภูมิฮิลเบิร์ตของกลศาสตร์ควอนตัม (ซึ่ง von Neumann ระบุว่าเป็นของPaul Dirac )

ในการกำหนดรูปแบบนี้ สถานะของระบบทางกายภาพสอดคล้องกับเวกเตอร์ที่มีความยาว 1 ในปริภูมิฮิลเบิร์ตHบนจำนวนเชิงซ้อน ปริมาณที่สังเกตได้จะถูกแทนด้วยตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง (เช่น ตัว ดำเนินการ เฮอร์มิเชียน ) AบนHถ้าH มี มิติจำกัดตามทฤษฎีบทสเปกตรัม A จะมีฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉากกันถ้าหากระบบอยู่ในสถานะψแล้วทันทีหลังจากการวัด ระบบจะอยู่ในสถานะที่เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะeของAและค่าที่สังเกตได้λจะเป็นค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับสมการAe = λeจากนี้จะเห็นได้ทันทีว่าการวัดโดยทั่วไปจะไม่แน่นอน ยิ่งไปกว่านั้น กลศาสตร์ควอนตัมยังให้สูตรสำหรับการคำนวณการแจกแจงความน่าจะเป็น Pr บนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เมื่อกำหนดสถานะเริ่มต้นของระบบเป็นψความน่าจะเป็นคือ โดยที่E ( λ ) คือการฉายภาพลงบนปริภูมิของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของAที่ มีค่าลักษณะเฉพาะλ$${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\langle \operatorname {E} (\lambda )\psi \mid \psi \rangle }$$

ในตัวอย่างนี้ เราพิจารณาอนุภาคที่มีสปิน 1/2 เพียงอนุภาคเดียว (เช่น อิเล็กตรอน) โดยที่เราพิจารณาเฉพาะระดับความเป็นอิสระของสปินเท่านั้น ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่สอดคล้องกันคือปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนสองมิติ^C² โดยแต่ละสถานะควอนตัมสอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วยในC² (ไม่ซ้ำกันจนถึงเฟส) ในกรณีนี้ ปริภูมิสถานะสามารถแสดงในเชิงเรขาคณิต ^ได้เป็นพื้นผิวของทรงกลม ดังแสดงในรูปทางด้านขวา

เมทริกซ์สปินของ Pauli เป็น เมท ริกซ์ สมมาตรในตัวเองและสอดคล้องกับการวัดสปินตามแกนพิกัดทั้ง 3 แกน $${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

เมทริกซ์ Pauli ทั้งหมดมีค่าไอเกนเป็น +1 และ −1

• สำหรับσ ₁ค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้จะสอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,-1)}$$
• สำหรับσ ₃นั้น สอดคล้องกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ$${\displaystyle (1,0),(0,1)}$$

ดังนั้นในสถานะนี้ σ ₁มีค่าที่แน่นอนคือ +1 ในขณะที่การวัดσ ₃สามารถให้ผลลัพธ์เป็น +1 หรือ −1 โดยแต่ละค่ามีโอกาสเท่ากับ 1/2 อันที่จริงแล้ว ไม่มีสถานะใดที่การวัดทั้งσ ₁และσ ₃มีค่าที่แน่นอนพร้อม กัน$${\displaystyle \psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),}$$

มีคำถามหลายข้อที่สามารถถามได้เกี่ยวกับข้อความที่ระบุถึงความไม่แน่นอนข้างต้น

1. ความไม่แน่นอนที่ปรากฏนั้นสามารถตีความได้ว่าเป็นแบบกำหนดได้หรือไม่ แต่ขึ้นอยู่กับปริมาณที่ไม่ได้จำลองไว้ในทฤษฎีปัจจุบัน ซึ่งจะทำให้ทฤษฎีนั้นไม่สมบูรณ์? หรือกล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น มีตัวแปรที่ซ่อนอยู่ซึ่งสามารถอธิบายความไม่แน่นอนทางสถิติในแบบคลาสสิกได้อย่างสมบูรณ์หรือไม่?
2. ความไม่แน่นอนนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นความปั่นป่วนของระบบที่กำลังวัดอยู่หรือไม่?

ฟอน นอยมันน์ได้ตั้งคำถาม 1) และให้เหตุผลว่าทำไมคำตอบจึงต้องเป็น "ไม่" หากยอมรับรูปแบบที่เขาเสนอ อย่างไรก็ตาม ตามที่เบลล์กล่าว การพิสูจน์อย่างเป็นทางการของฟอน นอยมันน์ไม่ได้พิสูจน์ข้อสรุปที่ไม่เป็นทางการของเขา^{[ 2 ]} คำตอบเชิงลบที่ชัดเจนแต่ไม่สมบูรณ์สำหรับ 1) ได้รับการพิสูจน์แล้วจากการทดลอง: เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันของเบลล์ถูกละเมิด ตัวแปรที่ซ่อนอยู่ดังกล่าวจึงไม่สามารถเป็นตัวแปรเฉพาะที่ได้ (ดูการทดลองทดสอบของเบลล์ )

คำตอบสำหรับข้อ 2) ขึ้นอยู่กับว่าเราเข้าใจการรบกวนอย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากการวัดเกี่ยวข้องกับการรบกวน (อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่านี่คือผลกระทบของผู้สังเกตซึ่งแตกต่างจากหลักการความไม่แน่นอน) ถึงกระนั้น ในการตีความที่เป็นธรรมชาติที่สุด คำตอบก็คือไม่ใช่เช่นกัน เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองพิจารณาลำดับการวัดสองลำดับ: (A) ที่วัดเฉพาะσ ₁และ (B) ที่วัดเฉพาะσ ₃ของระบบสปินในสถานะψผลลัพธ์การวัดของ (A) ทั้งหมดเป็น +1 ในขณะที่การกระจายทางสถิติของการวัด (B) ยังคงแบ่งระหว่าง +1 และ −1 ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน

ความไม่แน่นอนเชิงควอนตัมสามารถอธิบายได้ในแง่ของอนุภาคที่มีโมเมนตัมที่วัดได้แน่นอน แต่จะต้องมีข้อจำกัดพื้นฐานว่าตำแหน่งของอนุภาคนั้นจะระบุได้อย่างแม่นยำเพียงใดหลักการความไม่แน่นอน เชิงควอนตัมนี้ สามารถแสดงได้ในรูปของตัวแปรอื่นๆ ตัวอย่างเช่น อนุภาคที่มีพลังงานที่วัดได้แน่นอนจะมีข้อจำกัดพื้นฐานว่าเราจะระบุได้อย่างแม่นยำเพียงใดว่าอนุภาคนั้นจะมีพลังงานนั้นอยู่ได้นานแค่ไหน ขนาดของความไม่แน่นอนเชิงควอนตัมอยู่ในระดับเดียวกับค่าคงที่ของพลังค์ (6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ^{−1 ‍ [3 ]} ).

ความไม่แน่นอน เชิงควอนตัมคือการยืนยันว่าสถานะของระบบไม่ได้กำหนดค่าที่ไม่ซ้ำกันสำหรับคุณสมบัติที่วัดได้ทั้งหมดของระบบนั้น แท้จริงแล้ว ตามทฤษฎีบทโคเชน-สเปคเกอร์ในรูปแบบกลศาสตร์ควอนตัม เป็นไปไม่ได้ที่สำหรับสถานะควอนตัมที่กำหนด คุณสมบัติที่วัดได้แต่ละตัว ( ตัวแปร ที่สังเกตได้ ) จะมีค่าที่แน่นอน (คมชัด) ค่าของตัวแปรที่สังเกตได้จะได้รับแบบไม่แน่นอนตามการกระจายความน่าจะเป็นซึ่งถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยสถานะของระบบ โปรดทราบว่าสถานะจะถูกทำลายโดยการวัด ดังนั้นเมื่อเราอ้างถึงชุดของค่า แต่ละค่าที่วัดได้ในชุดนี้จะต้องได้มาจากการใช้สถานะที่เตรียมขึ้นใหม่

ความไม่แน่นอนนี้อาจถือได้ว่าเป็นความไม่สมบูรณ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งในการอธิบายระบบทางกายภาพของเรา อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่าความไม่แน่นอนดังที่กล่าวมาข้างต้นนั้นใช้ได้เฉพาะกับค่าของการวัดเท่านั้น ไม่ใช่สถานะควอนตัม ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างสปิน 1/2 ที่กล่าวถึงข้างต้น ระบบสามารถเตรียมให้อยู่ในสถานะψ ได้ โดยใช้การวัดσ ₁เป็นตัวกรองที่คงไว้เฉพาะอนุภาคที่σ ₁ ให้ค่า +1 เท่านั้น ตามสมมติฐานของฟอน นอยมันน์ (ที่เรียกกันว่า) ทันทีหลังจากการวัด ระบบจะอยู่ในสถานะψ อย่างแน่นอน

อย่างไรก็ตามอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์เชื่อว่าสถานะควอนตัมไม่สามารถเป็นคำอธิบายที่สมบูรณ์ของระบบทางกายภาพได้ และโดยทั่วไปแล้วเชื่อกันว่าเขาไม่เคยยอมรับกลศาสตร์ควอนตัมเลย ในความเป็นจริง ไอน์สไตน์บอริส โพดอลสกีและนาธาน โรเซนได้แสดงให้เห็นว่า หากกลศาสตร์ควอนตัมถูกต้อง มุมมองแบบคลาสสิกเกี่ยวกับวิธีการทำงานของโลกแห่งความเป็นจริง (อย่างน้อยหลังจากทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ) ก็จะไม่สามารถใช้ได้อีกต่อไป มุมมองนี้รวมถึงแนวคิดสองประการต่อไปนี้:

1. คุณสมบัติที่วัดได้ของระบบทางกายภาพซึ่งสามารถทำนายค่าได้อย่างแน่นอนนั้น แท้จริงแล้วคือองค์ประกอบหนึ่งของความเป็นจริง (ในระดับท้องถิ่น) (นี่คือคำศัพท์ที่EPR ใช้ )
2. ผลกระทบจากการกระทำในระดับท้องถิ่นมีอัตราการแพร่กระจายที่จำกัด

ความล้มเหลวของมุมมองแบบคลาสสิกนี้เป็นหนึ่งในข้อสรุปของการทดลองทางความคิด EPR ซึ่งผู้สังเกตการณ์ สองคนที่อยู่ห่างไกลกัน ซึ่งปัจจุบันมักเรียกกันว่าอลิซและบ็อบทำการวัดค่าสปินของอิเล็กตรอนคู่หนึ่งอย่างอิสระ โดยอิเล็กตรอนคู่นั้นถูกเตรียมไว้ที่แหล่งกำเนิดในสถานะพิเศษที่เรียกว่า สถานะ สปินซิงเกล็ตข้อสรุปของ EPR โดยใช้เครื่องมืออย่างเป็นทางการของทฤษฎีควอนตัม คือ เมื่ออลิซวัดค่าสปินใน ทิศทาง x แล้ว การวัดค่าสปินของบ็อบใน ทิศทาง xจะถูกกำหนดได้อย่างแน่นอน ในขณะที่ก่อนการวัดของอลิซ ผลลัพธ์ของบ็อบถูกกำหนดทางสถิติเท่านั้น จากนี้จึงสรุปได้ว่า ค่าสปินใน ทิศทาง x ค่าใดค่าหนึ่ง ไม่ใช่องค์ประกอบของความเป็นจริง หรือผลของการวัดของอลิซมีความเร็วในการแพร่กระจายที่ไม่มีที่สิ้นสุด

เราได้อธิบายถึงความไม่แน่นอนสำหรับระบบควอนตัมที่อยู่ในสถานะบริสุทธิ์แล้วสถานะผสมเป็นสถานะทั่วไปที่ได้มาจากการผสมทางสถิติของสถานะบริสุทธิ์ สำหรับสถานะผสม "สูตรควอนตัม" สำหรับการกำหนดการกระจายความน่าจะเป็นของการวัดจะถูกกำหนดดังนี้:

ให้Aเป็นปริมาณที่สังเกตได้ของระบบกลศาสตร์ควอนตัมAกำหนดโดยตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่มีความหนาแน่นสูงบนHมาตรวัดสเปกตรัมของAเป็นมาตรวัดที่มีค่าตามการฉายภาพ ซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไข

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}\lambda \,d\operatorname {E} (\lambda ),}$

สำหรับเซตย่อยบอเรล UทุกเซตของRเมื่อกำหนดสถานะผสมSเราจะแนะนำการกระจายของAภายใต้Sดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

นี่คือมาตรวัดความน่าจะเป็นที่กำหนดบนเซตย่อยบอเรลของR ซึ่งเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ได้จากการวัดAในS

ความไม่แน่นอนเชิงควอนตัมมักถูกเข้าใจว่าเป็นข้อมูล (หรือการขาดข้อมูล) ซึ่งเราอนุมานถึงการมีอยู่ของมัน โดยเกิดขึ้นในระบบควอนตัมแต่ละระบบก่อนที่จะทำการวัด ความสุ่มเชิงควอนตัมเป็นการแสดงออกทางสถิติของความไม่แน่นอนนั้น ซึ่งสามารถสังเกตได้จากผลลัพธ์ของการทดลองที่ทำซ้ำหลายครั้ง อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ระหว่างความไม่แน่นอนเชิงควอนตัมและความสุ่มนั้นมีความละเอียดอ่อนและสามารถพิจารณาได้แตกต่างกัน^{[ 4 ]}

ในฟิสิกส์คลาสสิกการทดลองแบบสุ่ม เช่น การโยนเหรียญและการทอยลูกเต๋า ถือเป็นแบบกำหนดได้ ในแง่ที่ว่า หากทราบเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างสมบูรณ์ ผลลัพธ์ก็จะสามารถคาดเดาได้อย่างสมบูรณ์แบบ 'ความสุ่ม' เกิดจากความไม่รู้ข้อมูลทางกายภาพในการโยนครั้งแรก ในทางตรงกันข้าม ในกรณีของฟิสิกส์ควอนตัมทฤษฎีบทของ Kochen และ Specker ^{[ 5 ]}อสมการของ John Bell ^{[ 6 ]}และหลักฐานเชิงทดลองของ^Alain Aspect [ ^{7 ] [ 8 ]}ล้วนบ่งชี้ว่าความสุ่มของควอนตัมไม่ได้เกิดจากข้อมูลทางกายภาพ ใด ๆ

ในปี 2551 Tomasz Paterek และคณะได้ให้คำอธิบายในข้อมูลทางคณิตศาสตร์พวกเขาพิสูจน์ว่าความสุ่มควอนตัมเป็นผลลัพธ์เฉพาะของการทดลองวัดที่มีการตั้งค่าอินพุตที่นำความเป็นอิสระเชิงตรรกะเข้าสู่ระบบควอนตัม^{[ 9 ] [ 10 ]}

ความเป็นอิสระเชิงตรรกะเป็นปรากฏการณ์ที่รู้จักกันดีในตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์หมายถึงการเชื่อมต่อเชิงตรรกะที่เป็นศูนย์ซึ่งมีอยู่ระหว่างข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ (ในภาษาเดียวกัน) ที่ไม่ได้พิสูจน์หรือหักล้างซึ่งกันและกัน^{[ 11 ]}

ในงานของ Paterek และคณะ นักวิจัยได้แสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงระหว่างความสุ่มเชิงควอนตัมและความเป็นอิสระเชิงตรรกะในระบบข้อเสนอบูลีนอย่างเป็นทางการ ในการทดลองวัดโพลาไรเซชันของโฟตอน Paterek และคณะได้แสดงให้เห็นสถิติที่เชื่อมโยงผลลัพธ์ที่คาดการณ์ได้กับข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ที่ขึ้นอยู่กันทางตรรกะ และผลลัพธ์แบบสุ่มกับข้อเสนอที่เป็นอิสระทางตรรกะ^{[ 12 ] [ 13 ]}

• ความเข้าใจผิดทั่วไปเกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัมโปรดดูโดยเฉพาะส่วนที่ III "ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับการวัด"