แบบจำลอง Solow –Swanหรือแบบจำลองการเติบโตภายนอกเป็นแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ ของ การเติบโตทางเศรษฐกิจในระยะยาว แบบ จำลองนี้พยายามอธิบายการเติบโตทางเศรษฐกิจในระยะยาวโดยพิจารณาจากการสะสมทุน การเติบโตของแรงงานหรือประชากรและการเพิ่มขึ้นของผลิตภาพซึ่งส่วนใหญ่ขับเคลื่อนโดยความก้าวหน้าทางเทคโนโลยี โดยแก่นแท้แล้ว แบบจำลองนี้เป็นฟังก์ชันการผลิต รวม ซึ่งมักกำหนดให้เป็น แบบ Cobb–Douglasซึ่งทำให้แบบจำลองนี้ “สามารถเชื่อมโยงกับเศรษฐศาสตร์จุลภาค ได้ ” ^{[ 1 ] : 26} แบบจำลองนี้ได้รับการพัฒนาโดยอิสระโดยRobert SolowและTrevor Swanในปี 1956 ^{[ 2 ] [ 3 ] [หมายเหตุ 1 ]}และแทนที่แบบจำลอง Harrod–Domarของ Keynesian

ในทางคณิตศาสตร์ แบบจำลอง Solow–Swan เป็นระบบไม่เชิงเส้นที่ประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ เพียงสมการเดียว ที่จำลองวิวัฒนาการของ ทุน ต่อหัวประชากรเนื่องจากลักษณะทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเป็นพิเศษ Solow–Swan จึงพิสูจน์แล้วว่าเป็นจุดเริ่มต้นที่สะดวกสำหรับการขยายต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในปี 1965 David CassและTjalling Koopmansได้ บูร ณาการการวิเคราะห์การเพิ่มประสิทธิภาพผู้บริโภคของFrank Ramsey ^{[ 4 ]}โดยทำให้มีการกำหนดอัตราการออม^{[ 5 ]}เพื่อสร้างสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อแบบจำลอง Ramsey–Cass– Koopmans

แบบจำลอง Solow–Swan เป็นส่วนขยายของแบบจำลอง Harrod–Domar ปี 1946 ที่ตัดข้อสมมติฐานที่จำกัดว่าเฉพาะทุนเท่านั้นที่ก่อให้เกิดการเติบโต (ตราบใดที่มีแรงงานเพียงพอที่จะใช้ทุนทั้งหมด) ผลงานที่สำคัญของแบบจำลองนี้มาจากการทำงานของ Solow และ Swan ในปี 1956 ซึ่งทั้งสองได้พัฒนาแบบจำลองการเติบโตที่ค่อนข้างง่ายโดยอิสระ^{[ 2 ] [ 3 ]}แบบจำลองของ Solow สอดคล้องกับข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับ การเติบโตทางเศรษฐกิจ ของสหรัฐฯได้ค่อนข้างดี^{[ 6 ]}ในปี 1987 Solow ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์จากผลงานของเขา ปัจจุบัน นักเศรษฐศาสตร์ใช้การบัญชีแหล่งที่มาของการเติบโตของ Solow เพื่อประเมินผลกระทบที่แยกต่างหากต่อการเติบโตทางเศรษฐกิจของการเปลี่ยนแปลงทางเทคโนโลยี ทุน และแรงงาน^{[ 7 ]}

แบบจำลองโซโลว์ยังเป็นหนึ่งในแบบจำลองที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในทางเศรษฐศาสตร์เพื่ออธิบายการเติบโตทางเศรษฐกิจ^{[ 8 ]}โดยพื้นฐานแล้ว แบบจำลองนี้ยืนยันว่าผลลัพธ์ของ " ผลผลิตปัจจัยรวม (TFP) สามารถนำไปสู่การเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดของมาตรฐานการครองชีพในประเทศ" ^{[ 8 ]}

โซโลว์ได้ขยายแบบจำลอง Harrod–Domar โดยเพิ่มแรงงานเป็นปัจจัยการผลิตและอัตราส่วนทุนต่อผลผลิตที่ไม่คงที่เหมือนในแบบจำลอง Harrod–Domar การปรับปรุงเหล่านี้ทำให้ความเข้มข้นของทุน ที่เพิ่มขึ้น สามารถแยกแยะออกจากความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีได้ โซโลว์มองว่าฟังก์ชันการผลิตสัดส่วนคงที่เป็น "สมมติฐานที่สำคัญ" ต่อผลลัพธ์ที่ไม่เสถียรในแบบจำลอง Harrod-Domar งานของเขาขยายความในเรื่องนี้โดยการสำรวจนัยยะของข้อกำหนดทางเลือก ได้แก่Cobb–Douglas และ ความยืดหยุ่นของการทดแทนคงที่ทั่วไป (CES ) ^{[ 2 ]}แม้ว่าเรื่องนี้จะกลายเป็นเรื่องราวที่เป็นแบบอย่างและได้รับการยกย่อง^{[ 9 ]}ในประวัติศาสตร์เศรษฐศาสตร์ ซึ่งปรากฏอยู่ในตำราเศรษฐศาสตร์หลายเล่ม^{[ 10 ]}แต่การประเมินผลงานของ Harrod ใหม่ล่าสุดได้โต้แย้งเรื่องนี้ ข้อวิจารณ์หลักประการหนึ่งคือ งานดั้งเดิมของ Harrod ^{[ 11 ]}ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการเติบโตทางเศรษฐกิจเป็นหลัก และเขาก็ไม่ได้ใช้ฟังก์ชันการผลิตสัดส่วนคงที่อย่างชัดเจน^{[ 10 ] [ 12 ]}

แบบจำลอง Solow มาตรฐานคาดการณ์ว่าในระยะยาว เศรษฐกิจจะบรรจบกันที่ สมดุล การเติบโตและการเติบโตของรายได้ต่อหัวอย่างถาวรจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อมีความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีเท่านั้น การเปลี่ยนแปลงทั้งในด้านการออมและการเติบโตของประชากรจะส่งผลกระทบต่อระดับในระยะยาวเท่านั้น (เช่น ในมูลค่าสัมบูรณ์ของรายได้ที่แท้จริงต่อหัว) ข้อสรุปที่น่าสนใจอย่างหนึ่งของแบบจำลองของ Solow คือ ประเทศยากจนควรเติบโตเร็วกว่าและในที่สุดก็จะตามทันประเทศที่ร่ำรวยกว่าการบรรจบ กันนี้ สามารถอธิบายได้โดย: ^{[ 13 ]}

• ความล่าช้าในการเผยแพร่ความรู้ ความแตกต่างของรายได้ที่แท้จริงอาจลดลงเมื่อประเทศยากจนได้รับเทคโนโลยีและข้อมูลที่ดีขึ้น
• การจัดสรรกระแสเงินทุนระหว่างประเทศอย่างมีประสิทธิภาพ เนื่องจากอัตราผลตอบแทนจากเงินทุนควรจะสูงกว่าในประเทศที่ยากจนกว่า ในทางปฏิบัติ สิ่งนี้เกิดขึ้นได้ยากและเป็นที่รู้จักกันในชื่อปรากฏการณ์ขัดแย้งของลูคัส
• ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลอง (โดยสมมติว่าประเทศยากจนยังไม่ถึงสภาวะสมดุล)

Baumolพยายามตรวจสอบสิ่งนี้ในเชิงประจักษ์และพบความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งมากระหว่างการเติบโตของผลผลิตของประเทศในช่วงระยะเวลานาน (ค.ศ. 1870 ถึง 1979) และความมั่งคั่งเริ่มต้นของประเทศนั้น^{[ 14 ]}ต่อมาDeLong ได้โต้แย้งผลการค้นพบของเขา โดยอ้างว่าทั้งการสุ่มตัวอย่างประเทศที่ไม่เป็นแบบสุ่ม และศักยภาพของข้อผิดพลาดในการวัดที่สำคัญสำหรับการประมาณรายได้ที่แท้จริงต่อหัวในปี ค.ศ. 1870 ทำให้ผลการค้นพบของ Baumol มีอคติ DeLong สรุปว่ามีหลักฐานเพียงเล็กน้อยที่จะสนับสนุนทฤษฎีการบรรจบกัน

ข้อสมมติฐานหลักของแบบจำลองการเติบโตของโซโลว์-สวอน คือ ทุนจะได้รับผลตอบแทนลดลงในระบบเศรษฐกิจแบบปิด

• เมื่อปริมาณแรงงานคงที่ ผลกระทบต่อผลผลิตจากการสะสมทุนหน่วยสุดท้ายจะน้อยกว่าหน่วยก่อนหน้าเสมอ
• สมมติเพื่อความง่ายว่าไม่มีความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีหรือการเติบโตของแรงงาน ผลตอบแทนที่ลดลงหมายความว่า ณ จุดหนึ่ง ปริมาณทุนใหม่ที่ผลิตได้มีเพียงพอที่จะชดเชยปริมาณทุนที่มีอยู่ซึ่งสูญเสียไปเนื่องจากการเสื่อมราคาเท่านั้น^[1]ณ จุดนี้ เนื่องจากสมมติฐานที่ว่าไม่มีความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีหรือการเติบโตของแรงงาน เราจึงเห็นว่าเศรษฐกิจหยุดการเติบโต
• การสมมติว่าอัตราการเติบโตของแรงงานไม่เป็นศูนย์ทำให้เรื่องยุ่งยากขึ้นเล็กน้อย แต่ตรรกะพื้นฐานยังคงใช้ได้^[2] – ในระยะสั้น อัตราการเติบโตจะชะลอตัวลงเนื่องจากผลตอบแทนที่ลดลงมีผล และเศรษฐกิจจะบรรจบกันที่อัตราการเติบโต "คงที่" (นั่นคือไม่มีการเติบโตทางเศรษฐกิจต่อหัว)
• การรวมความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีที่ไม่เป็นศูนย์นั้นคล้ายคลึงกับการสมมติการเติบโตของแรงงานที่ไม่เป็นศูนย์ในแง่ของ "แรงงานที่มีประสิทธิภาพ": สภาวะสมดุลใหม่เกิดขึ้นโดยมีผลผลิตคงที่ต่อชั่วโมงการทำงานของคนงานที่จำเป็นสำหรับผลผลิตหนึ่งหน่วยอย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ผลผลิตต่อหัวจะเติบโตในอัตราความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีใน "สภาวะสมดุล" ^[3] (นั่นคือ อัตราการเติบโตของผลิตภาพ )

ในแบบจำลองโซโลว์-สวอน การเปลี่ยนแปลงที่ไม่สามารถอธิบายได้ในอัตราการเติบโตของผลผลิตหลังจากพิจารณาผลกระทบของการสะสมทุนแล้ว เรียกว่าส่วนเหลือของโซโลว์ (Solow residual ) ส่วนเหลือนี้วัดการเพิ่มขึ้นภายนอกของผลิตภาพปัจจัยรวม (Total Factor Productivity : TFP) ในช่วงเวลาหนึ่ง การเพิ่มขึ้นของ TFP มักถูกระบุว่าเป็นผลมาจากความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีทั้งหมด แต่ยังรวมถึงการปรับปรุงประสิทธิภาพอย่างถาวรในการรวมปัจจัยการผลิตในช่วงเวลาต่างๆ ด้วย โดยปริยาย การเติบโตของ TFP รวมถึงการปรับปรุงผลิตภาพอย่างถาวรที่เกิดจากการปรับปรุงแนวทางการจัดการในภาคเอกชนหรือภาครัฐของเศรษฐกิจ ในทางตรงกันข้าม แม้ว่าการเติบโตของ TFP จะเป็นปัจจัยภายนอกในแบบจำลอง แต่ก็ไม่สามารถสังเกตได้ ดังนั้นจึงสามารถประมาณค่าได้ก็ต่อเมื่อทำการประมาณผลกระทบของการสะสมทุนต่อการเติบโตในช่วงเวลาหนึ่งไปพร้อมกันเท่านั้น

สามารถปรับเปลี่ยนรูปแบบโมเดลได้เล็กน้อย โดยใช้สมมติฐานด้านผลิตภาพที่แตกต่างกัน หรือตัวชี้วัดการวัดที่แตกต่างกัน:

• ประสิทธิภาพแรงงานเฉลี่ย ( ALP ) คือ ผลผลิตทางเศรษฐกิจต่อชั่วโมงการทำงาน
• ผลผลิตหลายปัจจัย ( MFP ) คือ ผลผลิตหารด้วยค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของปัจจัยการผลิตด้านทุนและแรงงาน โดยปกติแล้ว น้ำหนักที่ใช้จะอิงตามส่วนแบ่งรวมของปัจจัยการผลิตแต่ละอย่าง อัตราส่วนนี้มักถูกอ้างถึง เช่น ผลตอบแทนต่อทุน 33% และผลตอบแทนต่อแรงงาน 67% (ในประเทศตะวันตก)

ในเศรษฐกิจที่กำลังเติบโต ทุนจะถูกสะสมเร็วกว่าอัตราการเกิดของประชากร ดังนั้น ตัวหารในฟังก์ชันการเติบโตภายใต้การคำนวณ MFP จึงเติบโตเร็วกว่าในการคำนวณ ALP ด้วยเหตุนี้ การเติบโตของ MFP จึงมักจะต่ำกว่าการเติบโตของ ALP เสมอ (ดังนั้น การวัดในแง่ของ ALP จึงเพิ่ม ผลกระทบ ของการสะสมทุน ที่เห็นได้ชัด ) MFP วัดโดย " ส่วนที่เหลือของโซโลว์ " ไม่ใช่ ALP

แบบจำลอง Solow–Swan ในตำราเรียนตั้งอยู่ใน โลก เวลาต่อเนื่องที่ไม่มีรัฐบาลหรือการค้าระหว่างประเทศ สินค้าหนึ่งชนิด (ผลผลิต) ผลิตโดยใช้ปัจจัยการผลิต สองอย่าง คือ แรงงาน ( ) และทุน ( ) ในฟังก์ชันการผลิตรวมที่ตรงตามเงื่อนไขของ Inadaซึ่งหมายความว่าความยืดหยุ่นของการทดแทนจะต้องเท่ากับหนึ่งในเชิงอะซิมโทติก^{[ 15 ] [ 16 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }(A(t)L(t))^{1-\alpha }\,}$

โดยที่แทนเวลาคือความยืดหยุ่นของผลผลิตเทียบกับทุน และแทนผลผลิตรวมหมายถึงเทคโนโลยีหรือ “ ความรู้ ” ที่ช่วยเพิ่มประสิทธิภาพแรงงาน ดังนั้น จึงแทนแรงงานที่มีประสิทธิภาพ ปัจจัยการผลิตทั้งหมดถูกใช้ประโยชน์อย่างเต็มที่ และค่าเริ่มต้น, , และถูกกำหนดไว้แล้ว จำนวนคนงาน หรือก็คือแรงงาน รวมทั้งระดับของเทคโนโลยีเติบโตจากภายนอกในอัตราและตามลำดับ: ${\displaystyle t}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$${\displaystyle Y(t)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AL}$${\displaystyle A(0)}$${\displaystyle K(0)}$${\displaystyle L(0)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle L(t)=L(0)e^{nt}}$

${\displaystyle A(t)=A(0)e^{gt}}$

จำนวนหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพ ( ) จึงเพิ่มขึ้นในอัตราในขณะเดียวกันทุนจะเสื่อมราคาลงตามเวลาในอัตราคงที่อย่างไรก็ตาม มีเพียงเศษส่วนของผลผลิต ( โดยที่) เท่านั้นที่ถูกบริโภคทำให้เหลือส่วนที่ออมไว้เพื่อการลงทุนพลวัตนี้แสดงออกมาในรูปสมการเชิงอนุพันธ์ ต่อไปนี้ : ${\displaystyle A(t)L(t)}$${\displaystyle (n+g)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle cY(t)}$${\displaystyle 0<c<1}$${\displaystyle s=1-c}$

${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}=s\cdot Y(t)-\delta \cdot K(t)\,}$

${\displaystyle {\frac {dK(t)}{dt}}}$คืออนุพันธ์ของทุนคงเหลือเทียบกับเวลา โดยจะมีค่าเป็นบวกเมื่อจำนวนเงินออมสัมบูรณ์มากกว่าการลดลงของทุนคงเหลือสัมบูรณ์ ${\displaystyle s\cdot Y(t)}$${\displaystyle \delta \cdot K(t)}$

เนื่องจากฟังก์ชันการผลิตมีผลตอบแทนคงที่ตามขนาดจึงสามารถเขียนได้เป็นผลผลิตต่อหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพซึ่งเป็นมาตรวัดการสร้างความมั่งคั่ง: ^{[หมายเหตุ 2 ]}${\displaystyle Y(K,AL)}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t)={\frac {Y(t)}{A(t)L(t)}}=k(t)^{\alpha }}$

ประเด็นสำคัญของแบบจำลองนี้คือพลวัตของความเข้มข้นของทุน ซึ่งก็คือปริมาณทุนต่อหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพ พฤติกรรมของความเข้มข้นของทุนเมื่อเวลาผ่านไปนั้นแสดงโดยสมการหลักของแบบจำลอง Solow–Swan: ^{[หมายเหตุ 3 ]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)}$

เทอมแรกคือการลงทุนจริงต่อหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพ: สัดส่วนของผลผลิตต่อหน่วยแรงงานที่มีประสิทธิภาพที่ถูกออมและลงทุน เทอมที่สองคือ “การลงทุนจุดคุ้มทุน”: จำนวนเงินลงทุนที่ต้องลงทุนเพื่อป้องกันไม่ให้ลดลง^{[ 17 ] : 16} สมการนี้แสดงให้เห็นว่าลู่เข้าสู่ค่าสถานะคงที่ของ ซึ่งกำหนดโดย ซึ่งความเข้มข้นของทุนจะไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลง ${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=sy(t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle (n+g+\delta )k(t)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle k^{*}}$${\displaystyle sk(t)^{\alpha }=(n+g+\delta )k(t)}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{1/(1-\alpha )}\,}$

ซึ่งปริมาณทุนและแรงงานที่มีประสิทธิภาพกำลังเติบโตในอัตราในทำนองเดียวกัน สามารถคำนวณภาวะสมดุลของความมั่งคั่งที่สร้างขึ้นซึ่งสอดคล้องกับ: ${\displaystyle K}$${\displaystyle AL}$${\displaystyle (n+g)}$${\displaystyle y^{*}}$${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle y^{*}=\left({\frac {s}{n+g+\delta }}\right)^{\alpha /(1-\alpha )}\,}$

โดยสมมติฐานของผลตอบแทนคงที่ ผลผลิตจึงเติบโตในอัตรานั้นเช่นกัน โดยพื้นฐานแล้ว แบบจำลอง Solow–Swan ทำนายว่าเศรษฐกิจจะบรรจบกันที่สมดุลการเติบโตไม่ว่าจุดเริ่มต้นจะเป็นอย่างไร ในสถานการณ์นี้ การเติบโตของผลผลิตต่อคนงานจะถูกกำหนดโดยอัตราความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีเท่านั้น^{[ 17 ] : 18} ${\displaystyle Y}$

เนื่องจากตามนิยามแล้วณ จุดสมดุลเราจึงมี ${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}=k(t)^{1-\alpha }}$${\displaystyle k^{*}}$

${\displaystyle {\frac {K(t)}{Y(t)}}={\frac {s}{n+g+\delta }}}$

ดังนั้น ณ จุดสมดุล อัตราส่วนทุนต่อผลผลิตจึงขึ้นอยู่กับอัตราการออม การเติบโต และการเสื่อมราคาเท่านั้น นี่คืออัตราการออมตามกฎทองคำใน แบบจำลองโซโลว์-สวอน

เนื่องจากณ เวลาใด ๆผลผลิตส่วนเพิ่มของทุนในแบบจำลองโซโลว์-สวอนมีความสัมพันธ์ผกผันกับอัตราส่วนทุนต่อแรงงาน ${\displaystyle {\alpha }<1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle K(t)}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

หากผลิตภาพเท่ากันในทุกประเทศ ประเทศที่มีทุนต่อแรงงานน้อยกว่าจะมีผลผลิตส่วนเพิ่มสูงกว่า ซึ่งจะส่งผลให้ผลตอบแทนจากการลงทุนสูงขึ้น ดังนั้น แบบจำลองจึงคาดการณ์ว่าในโลกของเศรษฐกิจแบบตลาดเสรีและทุนทางการเงินระดับโลก การลงทุนจะไหลจากประเทศร่ำรวยไปยังประเทศยากจน จนกว่าอัตราส่วนทุนต่อแรงงานและรายได้ต่อแรงงานจะเท่ากันในทุกประเทศ ${\displaystyle A}$${\displaystyle K/L}$${\displaystyle K/L}$${\displaystyle Y/L}$

เนื่องจากผลผลิตส่วนเพิ่มของทุนทางกายภาพไม่ได้สูงกว่าในประเทศยากจนเมื่อเทียบกับประเทศร่ำรวย^{[ 18 ]}นั่นหมายความว่าผลิตภาพจะต่ำกว่าในประเทศยากจน แบบจำลอง Solow พื้นฐานไม่สามารถอธิบายได้ว่าทำไมผลิตภาพจึงต่ำกว่าในประเทศเหล่านี้ Lucas แนะนำว่าระดับทุนมนุษย์ที่ต่ำกว่าในประเทศยากจนอาจอธิบายถึงผลิตภาพที่ต่ำกว่าได้^{[ 19 ]}

ถ้าอัตราผลตอบแทน เท่ากับผลผลิตส่วนเพิ่มของทุนแล้ว ${\displaystyle r}$${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}}$

${\displaystyle {\frac {rK}{Y}}={\frac {K{\frac {\partial Y}{\partial K}}}{Y}}=\alpha \,}$

ดังนั้น นั่นคือสัดส่วนของรายได้ที่ถูกจัดสรรโดยทุน ด้วยเหตุนี้ แบบจำลองโซโลว์-สวอนจึงตั้งสมมติฐานตั้งแต่แรกว่า การแบ่งรายได้ระหว่างแรงงานและทุนนั้นคงที่ ${\displaystyle \alpha }$

ในปี พ.ศ. 2535 N. Gregory Mankiw , David RomerและDavid N. Weilได้เสนอทฤษฎีเกี่ยวกับแบบจำลอง Solow-Swan เวอร์ชันที่ปรับปรุงให้รวมบทบาทของทุนมนุษย์ซึ่งสามารถอธิบายความล้มเหลวของการลงทุนระหว่างประเทศที่ไหลไปยังประเทศยากจนได้^{[ 20 ]}ในแบบจำลองนี้ ผลผลิตและผลผลิตส่วนเพิ่มของทุน (K) จะต่ำกว่าในประเทศยากจนเนื่องจากมีทุนมนุษย์น้อยกว่าประเทศร่ำรวย

เช่นเดียวกับแบบจำลอง Solow–Swan ในตำราเรียน ฟังก์ชันการผลิตเป็นแบบ Cobb–Douglas:

${\displaystyle Y(t)=K(t)^{\alpha }H(t)^{\beta }(A(t)L(t))^{1-\alpha -\beta },}$

โดยที่ทุนมนุษย์นั้นมีมูลค่าลดลงในอัตราเดียวกับทุนทางกายภาพ เพื่อความง่าย พวกเขาจึงสมมติว่าฟังก์ชันการสะสมทุนของทุนทั้งสองประเภทเหมือนกัน เช่นเดียวกับในแบบจำลองของโซโลว์-สวอน ส่วนหนึ่งของผลลัพธ์จะถูกเก็บออมในแต่ละช่วงเวลา แต่ในกรณีนี้จะถูกแบ่งและลงทุนบางส่วนในทุนทางกายภาพและบางส่วนในทุนมนุษย์ โดยที่ดังนั้น ในแบบจำลองนี้จึงมีสมการพลวัตพื้นฐานสองสมการ: ${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle sY(t)}$${\displaystyle s=s_{K}+s_{H}}$

${\displaystyle {\dot {k}}=s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k}$

${\displaystyle {\dot {h}}=s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h}$

เส้นทางการเติบโตที่สมดุล (หรือสภาวะคงที่) ถูกกำหนดโดยซึ่งหมายถึงและการแก้หาค่าระดับสภาวะคงที่ของและจะได้: ${\displaystyle {\dot {k}}={\dot {h}}=0}$${\displaystyle s_{K}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )k=0}$${\displaystyle s_{H}k^{\alpha }h^{\beta }-(n+g+\delta )h=0}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle k^{*}=\left({\frac {s_{K}^{1-\beta }s_{H}^{\beta }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

${\displaystyle h^{*}=\left({\frac {s_{K}^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}{n+g+\delta }}\right)^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}$

ในสภาวะสมดุล. ${\displaystyle y^{*}=(k^{*})^{\alpha }(h^{*})^{\beta }}$

Klenow และ Rodriguez-Clare ตั้งข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องของแบบจำลองที่ปรับปรุงแล้ว เนื่องจากประมาณการของ Mankiw, Romer และ Weil ดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกับประมาณการที่ยอมรับกันเกี่ยวกับผลกระทบของการเพิ่มขึ้นของการศึกษาต่อเงินเดือนของคนงาน แม้ว่าแบบจำลองที่ประมาณการจะอธิบายความแปรปรวนของรายได้ระหว่างประเทศได้ 78% แต่ประมาณการของบ่งชี้ว่าผลกระทบภายนอกของทุนมนุษย์ต่อรายได้ประชาชาติมีมากกว่าผลกระทบโดยตรงต่อเงินเดือนของคนงาน^{[ 21 ]}${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle {\beta }}$

ธีโอดอร์ เบรตัน ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกที่เชื่อมโยงผลกระทบขนาดใหญ่ของทุนมนุษย์จากการศึกษาในแบบจำลองของแมนคิว โรเมอร์ และไวล์ กับผลกระทบที่น้อยกว่าของการศึกษาต่อเงินเดือนของคนงาน เขาแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองนั้นรวมถึงผลกระทบภายนอกที่สำคัญระหว่างปัจจัยการผลิต เนื่องจากทุนมนุษย์และทุนทางกายภาพเป็นปัจจัยการผลิตแบบทวีคูณ^{[ 22 ]}ผลกระทบภายนอกของทุนมนุษย์ต่อผลิตภาพของทุนทางกายภาพนั้นเห็นได้ชัดในผลผลิตส่วนเพิ่มของทุนทางกายภาพ:

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}={\frac {\alpha A^{1-\alpha }(H/L)^{\beta }}{(K/L)^{1-\alpha }}}}$

เขาแสดงให้เห็นว่าการประมาณค่าขนาดใหญ่ของผลกระทบของทุนมนุษย์ในการประมาณค่าข้ามประเทศของแบบจำลองนั้นสอดคล้องกับผลกระทบที่เล็กกว่าที่มักพบในเงินเดือนของคนงานเมื่อพิจารณาผลกระทบภายนอกของทุนมนุษย์ที่มีต่อทุนทางกายภาพและแรงงาน ข้อมูลเชิงลึกนี้ช่วยเสริมความแข็งแกร่งให้กับกรณีของแบบจำลอง Solow–Swan เวอร์ชัน Mankiw, Romer และ Weil อย่างมีนัยสำคัญ การวิเคราะห์ส่วนใหญ่ที่วิพากษ์วิจารณ์แบบจำลองนี้ล้มเหลวในการพิจารณาผลกระทบภายนอกทางการเงินของทุนทั้งสองประเภทที่มีอยู่ในแบบจำลอง^{[ 22 ]}

อัตราการเติบโตของ TFP ( ผลิตภาพปัจจัยรวม ) ที่เป็นปัจจัยภายนอกในแบบจำลอง Solow–Swan คือส่วนที่เหลือหลังจากคำนึงถึงการสะสมทุนแล้ว แบบจำลอง Mankiw, Romer และ Weil ให้ค่าประมาณของ TFP (ส่วนที่เหลือ) ที่ต่ำกว่าแบบจำลอง Solow–Swan พื้นฐาน เนื่องจากการเพิ่มทุนมนุษย์เข้าไปในแบบจำลองทำให้การสะสมทุนสามารถอธิบายความแปรปรวนของรายได้ระหว่างประเทศได้มากขึ้น ในแบบจำลองพื้นฐาน ส่วนที่เหลือของ TFP จะรวมผลกระทบของทุนมนุษย์ไว้ด้วย เนื่องจากทุนมนุษย์ไม่ได้ถูกรวมไว้เป็นปัจจัยการผลิต

แบบจำลอง Solow–Swan ที่เสริมด้วยทุนมนุษย์ทำนายว่าระดับรายได้ของประเทศยากจนจะมีแนวโน้มที่จะตามทันหรือบรรจบกับระดับรายได้ของประเทศร่ำรวย หากประเทศยากจนมีอัตราการออมที่คล้ายคลึงกันทั้งในส่วนของทุนทางกายภาพและทุนมนุษย์เมื่อเทียบกับสัดส่วนของผลผลิต ซึ่งเป็นกระบวนการที่เรียกว่าการบรรจบกันแบบมีเงื่อนไข อย่างไรก็ตาม อัตราการออมมีความแตกต่างกันอย่างมากในแต่ละประเทศ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากมีข้อจำกัดทางการเงินจำนวนมากสำหรับการลงทุนด้านการศึกษา อัตราการออมสำหรับทุนมนุษย์จึงมีแนวโน้มที่จะแตกต่างกันไปตามลักษณะทางวัฒนธรรมและอุดมการณ์ในแต่ละประเทศ^{[ 23 ]}

นับตั้งแต่ทศวรรษ 1950 เป็นต้นมา ผลผลิตต่อแรงงานในประเทศร่ำรวยและประเทศยากจนโดยทั่วไปไม่ได้บรรจบกัน แต่ประเทศยากจนเหล่านั้นที่เพิ่มอัตราการออมขึ้นอย่างมากได้ประสบกับการบรรจบกันของรายได้ตามที่แบบจำลองโซโลว์-สวอนคาดการณ์ไว้ ตัวอย่างเช่น ผลผลิตต่อแรงงานในญี่ปุ่นซึ่งเป็นประเทศที่เคยยากจน ได้บรรจบกันสู่ระดับของประเทศร่ำรวย ญี่ปุ่นมีอัตราการเติบโตสูงหลังจากเพิ่มอัตราการออมในช่วงทศวรรษ 1950 และ 1960 และมีอัตราการเติบโตของผลผลิตต่อแรงงานชะลอตัวลงนับตั้งแต่ที่อัตราการออมมีเสถียรภาพประมาณปี 1970 ตามที่แบบจำลองคาดการณ์ไว้

ระดับรายได้ต่อหัวของรัฐทางตอนใต้ของสหรัฐอเมริกา มีแนวโน้มที่จะเข้าใกล้ระดับรายได้ต่อหัวของรัฐทางตอนเหนือ การเข้าใกล้กันที่สังเกตได้ในรัฐเหล่านี้ สอดคล้องกับ แนวคิด การเข้าใกล้กันแบบมีเงื่อนไข ด้วย เช่นกัน การเข้าใกล้กันอย่างสมบูรณ์ระหว่างประเทศหรือภูมิภาคจะเกิดขึ้นหรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับว่าประเทศหรือภูมิภาคเหล่านั้นมีลักษณะที่คล้ายคลึงกันหรือไม่ เช่น:

• นโยบายการศึกษา
• การจัดระเบียบเชิงสถาบัน
• ตลาดเสรีภายในประเทศ และนโยบายการค้ากับประเทศอื่น ๆ^{[ 24 ]}

หลักฐานเพิ่มเติมสำหรับการบรรจบกันแบบมีเงื่อนไขมาจากการถดถอยข้ามประเทศแบบหลายตัวแปร^{[ 25 ]}

การวิเคราะห์ ทางเศรษฐศาสตร์ เกี่ยวกับสิงคโปร์และ " เสือเอเชียตะวันออก " อื่นๆได้ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจว่า แม้ว่าผลผลิตต่อคนงานจะเพิ่มขึ้น แต่การเติบโตอย่างรวดเร็วของพวกเขาส่วนใหญ่ไม่ได้เกิดจากการเพิ่มขึ้นของผลิตภาพต่อหัว (พวกเขามี " ส่วนเหลือของโซโลว์ " ต่ำ) ^{[ 7 ]}

• การเติบโตทางเศรษฐกิจ
• ทฤษฎีการเติบโตภายใน

• Agénor, Pierre-Richard (2004). "การเติบโตและความก้าวหน้าทางเทคโนโลยี: แบบจำลองโซโลว์-สวอน" เศรษฐศาสตร์ของการปรับตัวและการเติบโต (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด. หน้า  439–462 . ISBN 978-0-674-01578-4.
• Barro, Robert J. ; Sala-i-Martin, Xavier (2004). "แบบจำลองการเติบโตที่มีอัตราการออมภายนอก" . การเติบโตทางเศรษฐกิจ (ฉบับที่สอง). นิวยอร์ก: McGraw-Hill. หน้า  23–84 . ISBN 978-0-262-02553-9.
• Burmeister, Edwin; Dobell, A. Rodney (1970). "แบบจำลองการเติบโตแบบภาคเดียว" ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการเติบโตทางเศรษฐกิจนิวยอร์ก: Macmillan. หน้า  20–64 .
• Dornbusch, Rüdiger ; Fischer, Stanley ; Startz, Richard (2004). "ทฤษฎีการเติบโต: แบบจำลองนีโอคลาสสิก" เศรษฐศาสตร์ มหภาค (ฉบับที่เก้า). นิวยอร์ก: McGraw-Hill Irwin. หน้า  61–75 . ISBN 978-0-07-282340-0.
• Farmer, Roger EA (1999). "ทฤษฎีการเติบโตแบบนีโอคลาสสิก" เศรษฐศาสตร์มหภาค (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). ซินซินเนติ: เซาท์-เวสเทิร์น. หน้า  333–355 . ISBN 978-0-324-12058-5.
• เฟอร์กูสัน, ไบรอัน เอส.; ลิม, จีซี (1998). บทนำสู่แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์เชิงพลวัต . แมนเชสเตอร์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยแมนเชสเตอร์. หน้า  42–48 . ISBN 978-0-7190-4996-5.
• Gandolfo, Giancarlo (1996). "แบบจำลองการเติบโตแบบนีโอคลาสสิก" . พลวัตทางเศรษฐกิจ (ฉบับที่สาม). เบอร์ลิน: Springer. หน้า  175–189 . ISBN 978-3-540-60988-9.
• Halsmayer, Verena (2024). การจัดการการเติบโตในขนาดเล็ก: แบบจำลองของ Solow ในฐานะสิ่งประดิษฐ์ . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. doi : 10.1017/9781009092340 . ISBN 9781009092340.
• Halsmayer, Verena (2014). "จากการสร้างแบบจำลองเชิงสำรวจสู่ความเชี่ยวชาญทางเทคนิค: แบบจำลองการเติบโตของ Solow ในฐานะการออกแบบอเนกประสงค์" . ประวัติศาสตร์เศรษฐศาสตร์การเมือง . 46 (ภาคผนวก 1, MIT และการเปลี่ยนแปลงของเศรษฐศาสตร์อเมริกัน ): 229– 251. doi : 10.1215/00182702-2716181 . สืบค้นเมื่อ2017-11-29 .
• Intriligator, Michael D. (1971). การหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ . Englewood Cliffs: Prentice-Hall. หน้า  398–416 . ISBN 978-0-13-561753-3.
• van Rijckeghem Willy (1963): โครงสร้างของแบบจำลองการเติบโตทางเศรษฐกิจมหภาคบางแบบ: การเปรียบเทียบวารสาร Weltwirtschaftliches Archivเล่มที่ 91 หน้า 84–100

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับแบบจำลองโซโลว์

• วิดีโอเกี่ยวกับแบบจำลองโซโลว์ - วิดีโอมากกว่า 20 คลิปที่อธิบายขั้นตอนการหาข้อสรุปของแบบจำลองการเติบโตของโซโลว์
• คำอธิบายวิดีโอโดยมหาวิทยาลัย Marginal Revolution
• แอปเพล็ต Java ที่คุณสามารถทดลองกับพารามิเตอร์และเรียนรู้เกี่ยวกับแบบจำลอง Solow ได้
• แบบจำลองการเติบโตของโซโลว์โดยฟิโอน่า แมคลาคลานโครงการสาธิตของวูลฟราม
• คำอธิบายทีละขั้นตอนเกี่ยวกับวิธีการทำความเข้าใจแบบจำลองโซโลว์
• หลักสูตรของศาสตราจารย์ José-Víctor Ríos-Rull ที่มหาวิทยาลัยมินนิโซตา