ฟังก์ชันควบคุมโดยรวมคือ

${\displaystyle u(t)=K_{\text{p}}e(t)+K_{\text{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,\mathrm {d} \tau +K_{\text{d}}{\frac {\mathrm {d} e(t)}{\mathrm {d} t}},}$

ที่ไหน${\displaystyle K_{\text{p}}}$,${\displaystyle K_{\text{i}}}$, และ${\displaystyle K_{\text{d}}}$โดยที่ และ ทั้งหมดเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ แทนค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์สัดส่วน พจน์ปริพันธ์ และพจน์อนุพันธ์ ตามลำดับ (บางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์P , IและD )

ในรูปแบบมาตรฐานของสมการ (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความ)${\displaystyle K_{\text{i}}}$และ${\displaystyle K_{\text{d}}}$ถูกแทนที่ด้วย ตามลำดับ${\displaystyle K_{\text{p}}/T_{\text{i}}}$และ${\displaystyle K_{\text{p}}T_{\text{d}}}$ข้อดีของวิธีนี้คือ${\displaystyle T_{\text{i}}}$และ${\displaystyle T_{\text{d}}}$มีความหมายทางกายภาพที่เข้าใจได้ เนื่องจากแสดงถึงเวลาการอินทิเกรตและเวลาอนุพันธ์ตามลำดับ${\displaystyle K_{\text{p}}T_{\text{d}}}$คือค่าคงที่เวลาที่ตัวควบคุมจะพยายามเข้าใกล้จุดที่ตั้งไว้ ${\displaystyle K_{\text{p}}/T_{\text{i}}}$กำหนดระยะเวลาที่ตัวควบคุมจะยอมให้ค่าเอาต์พุตสูงกว่าหรือต่ำกว่าค่าที่ตั้งไว้อย่างต่อเนื่อง

${\displaystyle u(t)=K_{\text{p}}\left(e(t)+{\frac {1}{T_{\text{i}}}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,\mathrm {d} \tau +T_{\text{d}}{\frac {\mathrm {d} e(t)}{\mathrm {d} t}}\right)}$

ที่ไหน

${\displaystyle T_{\text{i}}={K_{\text{p}} \over K_{\text{i}}}}$คือค่าคงที่เวลาในการรวม และ

${\displaystyle T_{\text{d}}={K_{\text{d}} \over K_{\text{p}}}}$คือค่าคงที่เวลาของอนุพันธ์

แม้ว่าตัวควบคุม PID จะมีพารามิเตอร์ควบคุมสามตัว แต่บางแอปพลิเคชันต้องการเพียงหนึ่งหรือสองตัวก็เพียงพอต่อการควบคุมที่เหมาะสม ซึ่งทำได้โดยการตั้งค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ได้ใช้เป็นศูนย์ และเรียกว่าตัวควบคุม PI, PD, P หรือ I ในกรณีที่ไม่มีการควบคุมอื่นๆ ตัวควบคุม PI ค่อนข้างพบได้ทั่วไปในแอปพลิเคชันที่การทำงานของอนุพันธ์มีความไวต่อสัญญาณรบกวนจากการวัด แต่พารามิเตอร์อินทิกรัลมักจำเป็นเพื่อให้ระบบบรรลุค่าเป้าหมาย

การใช้อัลกอริธึม PID ไม่ได้เป็นการรับประกันว่าระบบจะควบคุมได้อย่างเหมาะสมที่สุด หรือ มีความเสถียรในการควบคุมเสมอไป อาจเกิดสถานการณ์ที่มีความล่าช้ามากเกินไป เช่น การวัดค่ากระบวนการล่าช้า หรือการควบคุมไม่เกิดขึ้นเร็วพอ ในกรณีเหล่านี้ จำเป็นต้องมี การชดเชยแบบนำหน้า-ตามหลัง (lead-lag compensation)จึงจะมีประสิทธิภาพ การตอบสนองของตัวควบคุมสามารถอธิบายได้ในแง่ของการตอบสนองต่อข้อผิดพลาด ระดับที่ระบบเกินค่าเป้าหมาย และระดับของการแกว่ง ของระบบ แต่ตัวควบคุม PID สามารถใช้งานได้อย่างกว้างขวาง เนื่องจากอาศัยเพียงการตอบสนองของตัวแปรกระบวนการที่วัดได้เท่านั้น ไม่ได้อาศัยความรู้หรือแบบจำลองของกระบวนการพื้นฐาน

ตัวควบคุมแรงเหวี่ยงถูกคิดค้นโดยChristiaan Huygensในศตวรรษที่ 17 เพื่อควบคุมช่องว่างระหว่างหินโม่ในกังหันลมโดยขึ้นอยู่กับความเร็วในการหมุน และเพื่อชดเชยความเร็วในการป้อนเมล็ดพืชที่แปรผัน^{[ 3 ] [ 4 ]}

ด้วยการประดิษฐ์เครื่องยนต์ไอน้ำแบบอยู่กับที่แรงดันต่ำ จึงมีความจำเป็นต้องมีการควบคุมความเร็วอัตโนมัติ และ ตัวควบคุม " ลูกตุ้มทรงกรวย " ที่ออกแบบเองของเจมส์วัตต์ซึ่งเป็นชุดลูกเหล็กหมุนที่ติดอยู่กับแกนแนวตั้งโดยใช้แขนเชื่อมต่อ ได้กลายเป็นมาตรฐานอุตสาหกรรม โดยอิงตามแนวคิดการควบคุมช่องว่างของหินโม่^{[ 5 ]}

อย่างไรก็ตาม การควบคุมความเร็วด้วยตัวควบคุมแบบหมุนยังคงแปรผันได้ภายใต้สภาวะโหลดที่เปลี่ยนแปลง ซึ่งข้อบกพร่องของสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าการควบคุมแบบสัดส่วนเพียงอย่างเดียวนั้นเห็นได้ชัด ข้อผิดพลาดระหว่างความเร็วที่ต้องการและความเร็วที่แท้จริงจะเพิ่มขึ้นตามโหลดที่เพิ่มขึ้น ในศตวรรษที่ 19 พื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับการทำงานของตัวควบคุมได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยJames Clerk Maxwellในปี 1868 ในบทความที่มีชื่อเสียงของเขาเรื่อง On Governorsเขาได้สำรวจพื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับเสถียรภาพการควบคุมและก้าวหน้าไปมากพอสมควรในการแก้ปัญหา แต่ได้เรียกร้องให้นักคณิตศาสตร์ตรวจสอบปัญหา^{[ 6 ] [ 5 ]} ปัญหาได้รับการตรวจสอบเพิ่มเติมในปี 1874 โดยEdward Routh , Charles Sturmและในปี 1895 โดยAdolf Hurwitzซึ่งทั้งหมดมีส่วนร่วมในการสร้างเกณฑ์เสถียรภาพการควบคุม^{[ 5 ]} ในการใช้งานต่อมา ตัวควบคุมความเร็วได้รับการปรับปรุงเพิ่มเติม โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกันWillard Gibbsซึ่งในปี พ.ศ. 2415 ได้วิเคราะห์ทฤษฎีตัวควบคุมลูกตุ้มทรงกรวยของ Watt

ในช่วงเวลานี้ การประดิษฐ์ตอร์ปิโดไวท์เฮดทำให้เกิดปัญหาการควบคุมที่ต้องอาศัยการควบคุมความลึกในการวิ่งอย่างแม่นยำ การใช้เซ็นเซอร์วัดความดันเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ จึงได้มีการนำลูกตุ้มที่วัดการเอียงไปข้างหน้าและข้างหลังของตอร์ปิโดมารวมกับการวัดความลึก กลายเป็นระบบควบคุมแบบลูกตุ้มและไฮโดรสแตทการควบคุมความดันให้การควบคุมแบบสัดส่วนเท่านั้น ซึ่งหากค่าเกนการควบคุมสูงเกินไป จะทำให้ไม่เสถียรและเกิดการโอเวอร์ชูต ทำให้การ รักษาระดับความลึก ไม่เสถียร อย่างมาก ลูกตุ้มได้เพิ่มสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าการควบคุมแบบอนุพันธ์ ซึ่งช่วยลดการแกว่งโดยการตรวจจับมุมการดำดิ่ง/ขึ้นของตอร์ปิโด และด้วยเหตุนี้จึงสามารถตรวจจับอัตราการเปลี่ยนแปลงของความลึกได้^{[ 7 ]}การพัฒนานี้ (ไวท์เฮดตั้งชื่อว่า "ความลับ" เพื่อไม่ให้เบาะแสเกี่ยวกับการทำงานของมัน) เกิดขึ้นราวปี 1868 ^{[ 8 ]}

ตัวอย่างแรกๆ ของตัวควบคุมประเภท PID ได้รับการพัฒนาโดยElmer Sperryในปี พ.ศ. 2454 สำหรับการบังคับเลี้ยวเรือ แม้ว่างานของเขาจะเป็นไปตามสัญชาตญาณมากกว่าที่จะอิงตามหลักคณิตศาสตร์^{[ 9 ]}

อย่างไรก็ตาม จนกระทั่งปี 1922 จึงมีการพัฒนากฎการควบคุมอย่างเป็นทางการสำหรับสิ่งที่เราเรียกว่า PID หรือการควบคุมแบบสามเทอมโดยใช้การวิเคราะห์เชิงทฤษฎีเป็นครั้งแรก โดยวิศวกรชาวรัสเซีย-อเมริกันนิโคลัส ไมเนอร์สกี [ ^{10 ] ไมเนอร์}สกีทำการวิจัยและออกแบบระบบบังคับเลี้ยวเรืออัตโนมัติสำหรับกองทัพเรือสหรัฐฯ และได้ทำการวิเคราะห์โดยอิงจากการสังเกตของคนบังคับเรือเขาตั้งข้อสังเกตว่าคนบังคับเรือบังคับเรือโดยอาศัยไม่เพียงแต่ข้อผิดพลาดของเส้นทางปัจจุบันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อผิดพลาดในอดีตและอัตราการเปลี่ยนแปลงในปัจจุบันด้วย^{[ 11 ]}จากนั้นไมเนอร์สกีจึงได้นำสิ่งนี้มาใช้ในเชิงคณิตศาสตร์^{[ 5 ]} เป้าหมายของเขาคือเสถียรภาพ ไม่ใช่การควบคุมทั่วไป ซึ่งทำให้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ในขณะที่การควบคุมแบบสัดส่วนให้เสถียรภาพต่อการรบกวนเล็กน้อย แต่มันไม่เพียงพอที่จะรับมือกับการรบกวนที่คงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งพายุรุนแรง (เนื่องจากข้อผิดพลาดในสภาวะคงที่ ) ซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มเทอมอินทิกรัล ในที่สุด เทอมอนุพันธ์ก็ถูกเพิ่มเข้ามาเพื่อปรับปรุงเสถียรภาพและการควบคุม

การทดลองดำเนินการบนเรือUSS New Mexicoโดยตัวควบคุมจะควบคุมความเร็วเชิงมุม (ไม่ใช่มุม) ของหางเสือ การควบคุม PI ทำให้เกิดการเบี่ยงเบน (ข้อผิดพลาดเชิงมุม) อย่างต่อเนื่องที่ ±2° การเพิ่มองค์ประกอบ D ทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการเบี่ยงเบนที่ ±1/6° ซึ่งดีกว่าที่ผู้บังคับเรือส่วนใหญ่สามารถทำได้^{[ 12 ]}

ในท้ายที่สุดกองทัพเรือไม่ได้นำระบบนี้มาใช้เนื่องจากการต่อต้านจากบุคลากร งานวิจัยที่คล้ายคลึงกันนี้ได้รับการดำเนินการและตีพิมพ์โดยบุคคลอื่น ๆ อีกหลายคนในช่วงทศวรรษ 1930

การใช้งานตัวควบคุมแบบป้อนกลับอย่างแพร่หลายนั้นไม่สามารถทำได้จนกระทั่งมีการพัฒนาเครื่องขยายสัญญาณกำลังขยายสูงแบบบรอดแบนด์เพื่อใช้แนวคิดของการป้อนกลับเชิงลบซึ่งได้รับการพัฒนาในด้านอิเล็กทรอนิกส์วิศวกรรมโทรศัพท์โดยHarold Blackในช่วงปลายทศวรรษ 1920 แต่ไม่ได้ตีพิมพ์จนกระทั่งปี 1934 ^{[ 5 ]}ในขณะเดียวกัน Clesson E Mason จากบริษัท Foxboro ในปี 1930 ได้คิดค้นตัวควบคุมนิวแมติกแบบบรอดแบนด์โดยการรวม เครื่องขยายสัญญาณนิวแมติกกำลังขยายสูงแบบ หัวฉีดและแผ่นปิดซึ่งได้รับการคิดค้นขึ้นในปี 1914 เข้ากับการป้อนกลับเชิงลบจากเอาต์พุตของตัวควบคุม สิ่งนี้ช่วยเพิ่มช่วงการทำงานเชิงเส้นของเครื่องขยายสัญญาณหัวฉีดและแผ่นปิดอย่างมาก และยังสามารถเพิ่มการควบคุมแบบอินทิกรัลได้โดยใช้ลิ้นระบายอากาศที่มีความแม่นยำและลูกสูบที่สร้างเทอมอินทิกรัล ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวควบคุม "Stabilog" ซึ่งให้ทั้งฟังก์ชันสัดส่วนและอินทิกรัลโดยใช้ลูกสูบป้อนกลับ[ ^{5 ] เทอม}อินทิกรัลเรียกว่าReset ^{[ 13 ]} ต่อมา เทอมอนุพันธ์ถูกเพิ่มโดยใช้ลูกสูบเพิ่มเติมและรูที่ปรับได้

ตั้งแต่ประมาณปี 1932 เป็นต้นมา การใช้งานตัวควบคุมลมแบบบรอดแบนด์เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในงานควบคุมต่างๆ มากมาย แรงดันอากาศถูกใช้ในการสร้างเอาต์พุตของตัวควบคุม และยังใช้ในการจ่ายพลังงานให้กับอุปกรณ์ปรับเปลี่ยนกระบวนการ เช่น วาล์วควบคุมแบบไดอะแฟรม อุปกรณ์เหล่านี้เรียบง่าย บำรุงรักษาง่าย ทำงานได้ดีในสภาพแวดล้อมทางอุตสาหกรรมที่รุนแรง และไม่มีความเสี่ยงต่อการระเบิดในสถานที่อันตรายพวกมันเป็นมาตรฐานอุตสาหกรรมมานานหลายทศวรรษ จนกระทั่งการมาถึงของตัวควบคุมอิเล็กทรอนิกส์แบบแยกส่วนและระบบควบคุมแบบกระจาย (DCS)

ด้วยตัวควบคุมเหล่านี้ มาตรฐานการส่งสัญญาณของอุตสาหกรรมนิวแมติกจึงถูกกำหนดขึ้นที่3–15 psi (0.2–1.0 บาร์)โดยมีค่าศูนย์ที่สูงขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าอุปกรณ์ทำงานอยู่ภายในลักษณะเชิงเส้น และแสดงถึงช่วงการควบคุมที่ 0-100%  

ในช่วงทศวรรษ 1950 เมื่อเครื่องขยายสัญญาณอิเล็กทรอนิกส์ที่มีอัตราขยายสูงมีราคาถูกและเชื่อถือได้ ตัวควบคุม PID แบบอิเล็กทรอนิกส์จึงได้รับความนิยม และมาตรฐานนิวแมติกก็ถูกจำลองขึ้นโดยใช้ สัญญาณ ลูปกระแส 10-50 mA และ 4–20 mA (ซึ่งต่อมากลายเป็นมาตรฐานอุตสาหกรรม) แอคทูเอเตอร์สนามนิวแมติกยังคงถูกใช้งานอย่างแพร่หลายเนื่องจากข้อดีของพลังงานนิวแมติกสำหรับการควบคุมวาล์วในสภาพแวดล้อมโรงงานกระบวนการผลิต

ระบบควบคุม PID สมัยใหม่ส่วนใหญ่ในอุตสาหกรรมนั้นถูกนำไปใช้ในรูปแบบซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์ในระบบ DCS, ตัวควบคุมลอจิกแบบโปรแกรมได้ (PLC) หรือตัวควบคุมขนาดกะทัดรัด แบบแยก ส่วน

วงจรควบคุม PID แบบอนาล็อกอิเล็กทรอนิกส์มักพบได้ในระบบอิเล็กทรอนิกส์ที่ซับซ้อนกว่า เช่น การวางตำแหน่งหัวอ่านของไดรฟ์ดิสก์การปรับสภาพพลังงานของแหล่งจ่ายไฟหรือแม้แต่วงจรตรวจจับการเคลื่อนไหวของเครื่องวัดแผ่นดินไหว สมัยใหม่ ตัวควบคุมอนาล็อกอิเล็กทรอนิกส์แบบแยกส่วนส่วนใหญ่ถูกแทนที่ด้วยตัวควบคุมดิจิทัลโดยใช้ไมโครคอนโทรลเลอร์หรือFPGAในการใช้งานอัลกอริธึม PID อย่างไรก็ตาม ตัวควบคุม PID แบบอนาล็อกแบบแยกส่วนยังคงใช้ในแอปพลิเคชันเฉพาะกลุ่มที่ต้องการแบนด์วิดท์สูงและประสิทธิภาพเสียงรบกวนต่ำ เช่น ตัวควบคุมเลเซอร์ไดโอด^{[ 14 ]}

วิธีที่เห็นได้ชัดคือ การควบคุม แบบสัดส่วน : กระแสไฟฟ้าของมอเตอร์จะถูกตั้งค่าตามสัดส่วนของความคลาดเคลื่อนที่มีอยู่ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ใช้ไม่ได้ผลหากแขนกลต้องยกน้ำหนักที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น น้ำหนักที่มากขึ้นต้องการแรงที่มากขึ้นสำหรับความคลาดเคลื่อนเท่ากันในด้านลง แต่ต้องการแรงที่น้อยลงหากความคลาดเคลื่อนต่ำในด้านขึ้น นั่นคือจุดที่พจน์ปริพันธ์และอนุพันธ์เข้ามามีบทบาท

เทอมอินทิกรัลจะเพิ่มการทำงานโดยสัมพันธ์กับทั้งค่าความคลาดเคลื่อนและระยะเวลาที่ความคลาดเคลื่อนนั้นคงอยู่ ดังนั้น หากแรงที่ใช้ไม่เพียงพอที่จะทำให้ความคลาดเคลื่อนเป็นศูนย์ แรงนี้จะเพิ่มขึ้นตามเวลาที่ผ่านไป ตัวควบคุมแบบ "I" บริสุทธิ์อาจทำให้ความคลาดเคลื่อนเป็นศูนย์ได้ แต่การตอบสนองจะอ่อนแอในตอนเริ่มต้น (เนื่องจากการทำงานจะน้อยในตอนต้น ขึ้นอยู่กับเวลาจึงจะมีความสำคัญ) และจะรุนแรงมากขึ้นในตอนท้าย (การทำงานจะเพิ่มขึ้นตราบใดที่ความคลาดเคลื่อนยังเป็นบวก แม้ว่าความคลาดเคลื่อนจะใกล้ศูนย์ก็ตาม)

การใช้ค่าอินทิกรัลมากเกินไปเมื่อค่าความคลาดเคลื่อนมีขนาดเล็กและลดลงจะทำให้เกิดการโอเวอร์ชูต หลังจากเกิดการโอเวอร์ชูตแล้ว หากตัวควบคุมใช้การแก้ไขขนาดใหญ่ในทิศทางตรงกันข้ามและโอเวอร์ชูตตำแหน่งที่ต้องการซ้ำๆ เอาต์พุตจะแกว่ง ไปมารอบจุดตั้งค่าในลักษณะ ไซน์แบบคงที่ เพิ่มขึ้น หรือลดลงหากแอมพลิจูดของการแกว่งเพิ่มขึ้นตามเวลา ระบบจะไม่เสถียร หากลดลง ระบบจะเสถียร หากการแกว่งยังคงมีขนาดคงที่ ระบบจะเสถียรแบบกึ่งเสถียร

เทอมอนุพันธ์ไม่ได้พิจารณาขนาดของข้อผิดพลาด (หมายความว่ามันไม่สามารถทำให้เป็นศูนย์ได้: ตัวควบคุม D บริสุทธิ์ไม่สามารถนำระบบไปสู่จุดตั้งค่าได้) แต่จะพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงของข้อผิดพลาด โดยพยายามทำให้อัตรานี้เป็นศูนย์ จุดมุ่งหมายคือการทำให้เส้นทางของข้อผิดพลาดราบเรียบเป็นเส้นตรงแนวนอน ลดแรงที่ใช้ และลดการโอเวอร์ชูต (ข้อผิดพลาดอีกด้านหนึ่งเนื่องจากแรงที่ใช้มากเกินไป)

เพื่อให้การเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งที่ต้องการ (SP) เป็นไปอย่างควบคุมได้ ทันเวลา และแม่นยำ ระบบควบคุมจำเป็นต้องมีการหน่วงอย่างเหมาะสมระบบควบคุมตำแหน่งที่ปรับแต่งมาอย่างดีจะจ่ายกระแสไฟฟ้าที่จำเป็นไปยังมอเตอร์ที่ควบคุม เพื่อให้แขนกลผลักและดึงตามความจำเป็นเพื่อต้านทานแรงภายนอกที่พยายามเคลื่อนย้ายออกจากตำแหน่งที่ต้องการ จุดตั้งค่าอาจถูกสร้างขึ้นโดยระบบภายนอก เช่นPLCหรือระบบคอมพิวเตอร์อื่นๆ เพื่อให้มีการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องขึ้นอยู่กับงานที่คาดว่าแขนกลจะทำ ระบบควบคุม PID ที่ปรับแต่งมาอย่างดีจะช่วยให้แขนกลสามารถตอบสนองความต้องการที่เปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้อย่างเต็มประสิทธิภาพ

หากตัวควบคุมเริ่มต้นจากสถานะเสถียรที่มีข้อผิดพลาดเป็นศูนย์ (PV = SP) การเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมโดยตัวควบคุมจะเป็นการตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงในอินพุตที่วัดได้หรือวัดไม่ได้อื่นๆ ของกระบวนการที่ส่งผลกระทบต่อกระบวนการ และด้วยเหตุนี้จึงส่งผลต่อ PV ตัวแปรที่ส่งผลกระทบต่อกระบวนการนอกเหนือจาก MV เรียกว่าสิ่งรบกวน โดยทั่วไป ตัวควบคุมจะใช้เพื่อกำจัดสิ่งรบกวนและเพื่อดำเนินการเปลี่ยนแปลงจุดตั้งค่า การเปลี่ยนแปลงของภาระบนแขนหุ่นยนต์ถือเป็นสิ่งรบกวนต่อกระบวนการควบคุมแขนหุ่นยนต์

ในทางทฤษฎี ตัวควบคุมสามารถใช้ควบคุมกระบวนการใดๆ ก็ได้ที่มีเอาต์พุตที่วัดได้ (PV) ค่าอุดมคติที่ทราบสำหรับเอาต์พุตนั้น (SP) และอินพุตของกระบวนการ (MV) ที่จะส่งผลต่อ PV ที่เกี่ยวข้อง ตัวควบคุมถูกใช้ในอุตสาหกรรมเพื่อควบคุมอุณหภูมิความดันแรงอัตราการป้อน [ ^{16 ] อัตรา}การไหลองค์ประกอบทางเคมี ( ความเข้มข้นของ ส่วนประกอบ ) น้ำหนักตำแหน่งความเร็วและตัวแปรอื่นๆ แทบทุกตัวที่มีการวัด

เทอมสัดส่วนจะสร้างค่าเอาต์พุตที่แปรผันตามค่าความคลาดเคลื่อนปัจจุบัน การตอบสนองแบบสัดส่วนสามารถปรับได้โดยการคูณค่าความคลาดเคลื่อนด้วยค่าคงที่ซึ่งเรียกว่าค่าคงที่การขยายแบบสัดส่วน

พจน์สัดส่วนกำหนดโดย

${\displaystyle P_{\text{out}}=K_{\text{p}}e(t).}$

ค่าเกนสัดส่วนสูงจะส่งผลให้การเปลี่ยนแปลงของเอาต์พุตมีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของค่าความคลาดเคลื่อนที่กำหนด หากค่าเกนสัดส่วนสูงเกินไป ระบบอาจไม่เสถียร (ดูส่วนเกี่ยวกับการปรับจูนลูป ) ในทางตรงกันข้าม ค่าเกนต่ำจะส่งผลให้การตอบสนองของเอาต์พุตมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับค่าความคลาดเคลื่อนของอินพุตขนาดใหญ่ และตัวควบคุมจะตอบสนองได้น้อยลงหรือมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงน้อยลง หากค่าเกนสัดส่วนต่ำเกินไป การควบคุมอาจมีขนาดเล็กเกินไปเมื่อตอบสนองต่อการรบกวนของระบบ ทฤษฎีการปรับจูนและการปฏิบัติในอุตสาหกรรมบ่งชี้ว่าค่าสัดส่วนควรมีส่วนสำคัญในการเปลี่ยนแปลงของเอาต์พุต

ผลรวมจากพจน์อินทิกรัลนั้นแปรผันตรงกับทั้งขนาดของข้อผิดพลาดและระยะเวลาของข้อผิดพลาดอินทิกรัลในตัวควบคุม PID คือผลรวมของข้อผิดพลาดทันทีในช่วงเวลาหนึ่ง และให้ค่าชดเชยสะสมที่ควรได้รับการแก้ไขก่อนหน้านี้ จากนั้นข้อผิดพลาดสะสมจะถูกคูณด้วยค่าเกนอินทิกรัล ( K ) และเพิ่มเข้าไปในเอาต์พุตของตัวควบคุม

พจน์ปริพันธ์กำหนดโดย

${\displaystyle I_{\text{out}}=K_{\text{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau .}$

เทอมอินทิกรัลช่วยเร่งการเคลื่อนที่ของกระบวนการไปสู่ค่าเป้าหมายและขจัดข้อผิดพลาดคงที่ที่เหลืออยู่ซึ่งเกิดขึ้นกับตัวควบคุมแบบสัดส่วนอย่างเดียว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเทอมอินทิกรัลตอบสนองต่อข้อผิดพลาดที่สะสมมาจากอดีต จึงอาจทำให้ค่าปัจจุบันเกินค่าเป้าหมายได้ (ดูส่วนเกี่ยวกับการปรับจูนลูป )

อนุพันธ์ของข้อผิดพลาดในกระบวนการคำนวณได้จากการหาความชันของข้อผิดพลาดเทียบกับเวลา แล้วคูณอัตราการเปลี่ยนแปลงนี้ด้วยค่าเกนอนุพันธ์K ขนาดของการมีส่วนร่วมของเทอมอนุพันธ์ต่อการควบคุมโดยรวมเรียกว่าค่าเก นอนุพันธ์K

พจน์อนุพันธ์กำหนดโดย

${\displaystyle D_{\text{out}}=K_{\text{d}}{\frac {de(t)}{dt}}.}$

การทำงานของอนุพันธ์ทำนายพฤติกรรมของระบบและด้วยเหตุนี้จึงปรับปรุงเวลาการตั้งตัวและความเสถียรของระบบ^{[ 18 ] [ 19 ]}อนุพันธ์ในอุดมคติไม่ใช่สาเหตุดังนั้นการใช้งานตัวควบคุม PID จึงรวมการกรองความถี่ต่ำเพิ่มเติมสำหรับเทอมอนุพันธ์เพื่อจำกัดอัตราขยายความถี่สูงและสัญญาณรบกวน การทำงานของอนุพันธ์นั้นแทบจะไม่ถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติเลย – จากการประมาณการหนึ่งพบว่าใช้ในตัวควบคุมที่ใช้งานเพียง 25% เท่านั้น– เนื่องจากผลกระทบที่แปรผันต่อความเสถียรของระบบในการใช้งานจริง

หากเลือกพารามิเตอร์ของตัวควบคุม PID (ค่าเกนของเทอมสัดส่วน เทอมอินทิกรัล และเทอมอนุพันธ์) ไม่ถูกต้อง อินพุตของกระบวนการที่ถูกควบคุมอาจไม่เสถียร กล่าวคือ เอาต์พุตจะเบี่ยงเบนออกไปโดยอาจมีหรือไม่มีการแกว่งและถูกจำกัดได้เฉพาะโดยการอิ่มตัวหรือการแตกหักทางกลเท่านั้น ความไม่เสถียรเกิดจาก ค่าเกน ที่มากเกินไปโดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่มีการหน่วงเวลามาก

โดยทั่วไป จำเป็นต้องมีการรักษาเสถียรภาพของผลตอบสนอง และกระบวนการต้องไม่แกว่งไปมาสำหรับเงื่อนไขกระบวนการและจุดตั้งค่าใดๆ แม้ว่าบางครั้งเสถียรภาพในระดับปานกลาง (การแกว่งที่อยู่ในขอบเขตจำกัด) อาจเป็นที่ยอมรับหรือเป็นที่ต้องการก็ตาม

ในทางคณิตศาสตร์ ต้นกำเนิดของความไม่เสถียรสามารถมองเห็นได้ในโดเมนลาปลาซ^{[ 20 ]}

ฟังก์ชันถ่ายโอนแบบวงปิดคือ

${\displaystyle H(s)={\frac {K(s)G(s)}{1+K(s)G(s)}},}$

ที่ไหน${\displaystyle K(s)}$คือฟังก์ชันถ่ายโอน PID และ${\displaystyle G(s)}$คือฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบ ระบบจะไม่เสถียรเมื่อฟังก์ชันถ่ายโอนแบบวงปิดลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ในบางค่า${\displaystyle s}$[ ^{20 ] เหตุการณ์}นี้เกิดขึ้นในสถานการณ์ที่${\displaystyle K(s)G(s)=-1}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อ${\displaystyle |K(s)G(s)|=1}$ด้วยการเลื่อนเฟส 180° รับประกันความเสถียรเมื่อ${\displaystyle K(s)G(s)<1}$สำหรับความถี่ที่เกิดการเปลี่ยนแปลงเฟสสูง รูปแบบที่เป็นทางการที่ครอบคลุมกว่าของปรากฏการณ์นี้เรียกว่าเกณฑ์ความเสถียรของไนควิสต์ (Nyquist stability criterion )

พฤติกรรมที่เหมาะสมที่สุดเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงกระบวนการหรือค่าที่ตั้งไว้จะแตกต่างกันไปตามการใช้งาน

ข้อกำหนดพื้นฐานสองประการคือการควบคุม (การลดการรบกวน – การคงค่าไว้ที่จุดตั้งค่าที่กำหนด) และการติดตามคำสั่ง (การเปลี่ยนแปลงจุดตั้งค่า) คำเหล่านี้หมายถึงว่าตัวแปรที่ถูกควบคุมนั้นติดตามค่าที่ต้องการได้ดีเพียงใด เกณฑ์เฉพาะสำหรับการติดตามคำสั่ง ได้แก่เวลาเพิ่มขึ้นและเวลาเข้าสู่สภาวะคงที่กระบวนการบางอย่างต้องไม่อนุญาตให้ตัวแปรของกระบวนการเกินจุดตั้งค่า หากตัวอย่างเช่น การเกินจุดตั้งค่านั้นไม่ปลอดภัย กระบวนการอื่นๆ ต้องลดพลังงานที่ใช้ในการไปถึงจุดตั้งค่าใหม่ให้น้อยที่สุด

มีหลายวิธีในการปรับจูนลูป PID วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดโดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับการพัฒนารูปแบบจำลองกระบวนการบางอย่าง แล้วเลือกค่า P, I และ D โดยอิงจากพารามิเตอร์ของรูปแบบจำลองไดนามิก วิธีการปรับจูนด้วยตนเองอาจใช้เวลานาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับระบบที่มีเวลาวนรอบนาน

การเลือกใช้วิธีการปรับแต่งนั้นขึ้นอยู่กับว่าสามารถปิดระบบเพื่อทำการปรับแต่งได้หรือไม่ และขึ้นอยู่กับเวลาตอบสนองของระบบด้วย หากสามารถปิดระบบเพื่อทำการปรับแต่งได้ วิธีการปรับแต่งที่ดีที่สุดมักเกี่ยวข้องกับการให้ระบบได้รับอินพุตที่เปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลัน วัดเอาต์พุตเป็นฟังก์ชันของเวลา และใช้การตอบสนองนี้เพื่อกำหนดพารามิเตอร์ควบคุม

หากระบบต้องออนไลน์อยู่ตลอดเวลา วิธีการปรับแต่งอย่างหนึ่งคือการตั้งค่าก่อน${\displaystyle K_{i}}$และ${\displaystyle K_{d}}$ค่าต่างๆ ให้เป็นศูนย์ เพิ่มค่า${\displaystyle K_{p}}$จนกว่าเอาต์พุตของลูปจะสั่น จากนั้นจึงตั้งค่า${\displaystyle K_{p}}$ลดลงเหลือประมาณครึ่งหนึ่งของค่าดังกล่าวสำหรับการตอบสนองแบบ "การลดลงของแอมพลิจูดหนึ่งในสี่" จากนั้นจึงเพิ่มขึ้น${\displaystyle K_{i}}$จนกว่าค่าเบี่ยงเบนใด ๆ จะได้รับการแก้ไขในเวลาที่เพียงพอสำหรับกระบวนการ แต่ไม่ใช่จนกว่าค่าที่มากเกินไปจะทำให้เกิดความไม่เสถียร สุดท้าย ให้เพิ่มขึ้น${\displaystyle K_{d}}$หากจำเป็น จนกว่าวงจรจะกลับสู่ค่าอ้างอิงได้เร็วพอสมควรหลังจากเกิดการรบกวนของโหลด มากเกินไป${\displaystyle K_{p}}$ทำให้เกิดการตอบสนองที่มากเกินไปและการโอเวอร์ชูต การปรับจูนลูป PID อย่างรวดเร็วมักจะโอเวอร์ชูตเล็กน้อยเพื่อให้ถึงจุดตั้งค่าได้เร็วขึ้น อย่างไรก็ตาม บางระบบไม่สามารถยอมรับการโอเวอร์ชูตได้ ในกรณีเช่นนั้นจำเป็นต้องใช้ระบบวงปิดแบบโอเวอร์แด มป์ ซึ่งในทางกลับกันก็ต้องการ${\displaystyle K_{p}}$กำหนดให้มีค่าน้อยกว่าครึ่งหนึ่งอย่างมีนัยสำคัญ${\displaystyle K_{p}}$การตั้งค่าที่ทำให้เกิดการแกว่ง

ผลกระทบของการเพิ่มพารามิเตอร์อย่างอิสระ^{[ 23 ] [ 24 ]}

พารามิเตอร์	เวลาตื่น	โอเวอร์ชูต	เวลาในการปรับตัว	ข้อผิดพลาดสถานะคงที่	ความเสถียร
${\displaystyle K_{p}}$	ลด	เพิ่มขึ้น	เงินทอนเล็กน้อย	ลด	เสื่อมสภาพ
${\displaystyle K_{i}}$	ลด	เพิ่มขึ้น	เพิ่มขึ้น	กำจัด	เสื่อมสภาพ
${\displaystyle K_{d}}$	การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย	ลด	ลด	ในทางทฤษฎีแล้วไม่มีผลใดๆ	ปรับปรุงให้ดีขึ้นหาก${\displaystyle K_{d}}$เล็ก

อีกหนึ่งวิธีการปรับแต่งแบบฮิวริสติกคือวิธีการของ Ziegler–Nicholsซึ่งคิดค้นโดยJohn G. ZieglerและNathaniel B. Nicholsในช่วงทศวรรษ 1940 เช่นเดียวกับวิธีการข้างต้น${\displaystyle K_{i}}$และ${\displaystyle K_{d}}$ค่าเริ่มต้นของอัตรากำไรจะถูกตั้งไว้ที่ศูนย์ จากนั้นอัตรากำไรตามสัดส่วนจะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จนกว่าจะถึงอัตรากำไรสูงสุด${\displaystyle K_{u}}$ซึ่งทำให้เอาต์พุตของวงจรเริ่มแกว่งอย่างต่อเนื่อง${\displaystyle K_{u}}$และคาบการแกว่ง${\displaystyle T_{u}}$ใช้เพื่อตั้งค่าอัตราขยายดังต่อไปนี้:

วิธี Ziegler–Nichols

ประเภทการควบคุม	${\displaystyle K_{p}}$	${\displaystyle K_{i}}$	${\displaystyle K_{d}}$
พี	${\displaystyle 0.50{K_{u}}}$	—	—
พีไอ	${\displaystyle 0.45{K_{u}}}$	${\displaystyle 0.54{K_{u}}/T_{u}}$	—
PID	${\displaystyle 0.60{K_{u}}}$	${\displaystyle 1.2{K_{u}}/T_{u}}$	${\displaystyle 3{K_{u}}{T_{u}}/40}$

โดยทั่วไปมักจะวัดความถี่ของการสั่นแทน และค่าผกผันของการคูณแต่ละครั้งจะให้ผลลัพธ์เดียวกัน

ค่าเกนเหล่านี้ใช้ได้กับรูปแบบขนานในอุดมคติของตัวควบคุม PID เท่านั้น เมื่อนำไปใช้กับรูปแบบ PID มาตรฐาน จะมีเพียงค่าเกนอินทิกรัลและอนุพันธ์เท่านั้นที่มีผล${\displaystyle K_{i}}$และ${\displaystyle K_{d}}$ขึ้นอยู่กับคาบการแกว่ง${\displaystyle T_{u}}$.

วิธีการนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นในปี 1953 และอิงตามแบบจำลองอันดับหนึ่ง + การหน่วงเวลา คล้ายกับวิธีการของ Ziegler–Nicholsชุดพารามิเตอร์การปรับแต่งได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อให้ได้การตอบสนองแบบวงปิดที่มีอัตราส่วนการลดลง${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$อาจกล่าวได้ว่าปัญหาใหญ่ที่สุดของพารามิเตอร์เหล่านี้คือ การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในพารามิเตอร์ของกระบวนการอาจทำให้ระบบวงปิดไม่เสถียรได้

เผยแพร่ในปี 1984 โดยKarl Johan Åströmและ Tore Hägglund ^{[ 25 ]}วิธีการรีเลย์จะดำเนินการกระบวนการชั่วคราวโดยใช้การควบคุมแบบ Bang-Bangและวัดการแกว่งที่เกิดขึ้น เอาต์พุตจะถูกสลับ (ราวกับรีเลย์จึงเป็นที่มาของชื่อ) ระหว่างค่าสองค่าของตัวแปรควบคุม ค่าเหล่านี้ต้องถูกเลือกเพื่อให้กระบวนการผ่านจุดตั้งค่า แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น 0% และ 100% การเลือกค่าที่เหมาะสมจะช่วยหลีกเลี่ยงการแกว่งที่เป็นอันตรายได้

ตราบใดที่ตัวแปรของกระบวนการอยู่ต่ำกว่าค่าที่ตั้งไว้ เอาต์พุตควบคุมจะถูกตั้งค่าเป็นค่าที่สูงกว่า ทันทีที่ค่าสูงกว่าค่าที่ตั้งไว้ เอาต์พุตควบคุมจะถูกตั้งค่าเป็นค่าที่ต่ำกว่า ในอุดมคติแล้ว รูปคลื่นเอาต์พุตจะมีลักษณะเกือบเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยใช้เวลาอยู่เหนือและต่ำกว่าค่าที่ตั้งไว้เท่าๆ กัน คาบและแอมพลิจูดของการแกว่งที่เกิดขึ้นจะถูกวัดและใช้ในการคำนวณค่าเกนและคาบสุดท้าย ซึ่งจะถูกป้อนเข้าสู่วิธีการของ Ziegler–Nichols ต่อไป

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ช่วงเวลาสุดท้าย${\displaystyle T_{u}}$ถือว่าเท่ากับช่วงเวลาที่สังเกตได้ และกำไรขั้นสุดท้ายจะคำนวณได้ดังนี้${\displaystyle K_{u}=4b/\pi a,}$โดยที่aคือแอมพลิจูดของการแกว่งของตัวแปรกระบวนการ และbคือแอมพลิจูดของการเปลี่ยนแปลงเอาต์พุตควบคุมซึ่งเป็นสาเหตุของการแกว่งนั้น

มีรูปแบบต่างๆ มากมายของวิธีการส่งต่อ^{[ 26 ]}

ฟังก์ชันถ่ายโอนสำหรับกระบวนการอันดับหนึ่งที่มีเวลาหน่วงคือ

${\displaystyle y(s)={\frac {k_{\text{p}}e^{-\theta s}}{\tau _{\text{p}}s+1}}u(s),}$

โดยที่k คืออัตราขยายของกระบวนการ, τ คือค่าคงที่เวลา, θคือเวลาหน่วง และu ( s ) คืออินพุตแบบขั้นบันได การแปลงฟังก์ชันถ่ายโอนนี้ไปเป็นโดเมนเวลาจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle y(t)=k_{\text{p}}\Delta u\left(1-e^{\frac {-t-\theta }{\tau _{\text{p}}}}\right),}$

โดยใช้พารามิเตอร์เดียวกันกับที่พบข้างต้น

สิ่งสำคัญในการใช้วิธีนี้คือต้องใช้ค่าการเปลี่ยนแปลงแบบขั้นบันไดที่มากพอที่จะวัดค่าเอาต์พุตได้ อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงแบบขั้นบันไดที่มากเกินไปอาจส่งผลต่อเสถียรภาพของกระบวนการ นอกจากนี้ การเปลี่ยนแปลงแบบขั้นบันไดที่มากขึ้นจะช่วยให้มั่นใจได้ว่าเอาต์พุตจะไม่เปลี่ยนแปลงเนื่องจากการรบกวน (เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด ควรลดการรบกวนให้น้อยที่สุดเมื่อทำการทดสอบแบบขั้นบันได)

วิธีหนึ่งในการกำหนดพารามิเตอร์สำหรับกระบวนการอันดับแรกคือการใช้วิธี 63.2% ในวิธีนี้ อัตราขยายของกระบวนการ ( kp เท่ากับการเปลี่ยนแปลงของเอาต์พุตหารด้วยการเปลี่ยนแปลงของอินพุต เวลาหน่วงθคือปริมาณเวลาระหว่างที่เกิดการเปลี่ยนแปลงขั้นบันไดและเมื่อเอาต์พุตเปลี่ยนแปลงครั้งแรก ค่าคงที่เวลา ( τp คือปริมาณเวลาที่ใช้เพื่อให้เอาต์พุตถึง 63.2% ของค่าสถานะคงที่ใหม่หลังจากเกิดการเปลี่ยนแปลงขั้นบันได ข้อเสียอย่างหนึ่งของการใช้วิธีนี้คืออาจใช้เวลานานในการถึงค่าสถานะคงที่ใหม่หากกระบวนการมีค่าคงที่เวลามาก^{[ 27 ]}

โรงงานอุตสาหกรรมสมัยใหม่ส่วนใหญ่ไม่ได้ปรับจูนวงจรโดยใช้วิธีการคำนวณด้วยตนเองดังที่แสดงไว้ข้างต้นอีกต่อไปแล้ว แต่จะใช้ซอฟต์แวร์ปรับจูน PID และเพิ่มประสิทธิภาพวงจรแทน เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่สม่ำเสมอ ซอฟต์แวร์เหล่านี้จะรวบรวมข้อมูล พัฒนาแบบจำลองกระบวนการ และแนะนำการปรับจูนที่เหมาะสมที่สุด บางซอฟต์แวร์ยังสามารถพัฒนาการปรับจูนโดยการรวบรวมข้อมูลจากการเปลี่ยนแปลงค่าอ้างอิงได้อีกด้วย

การปรับจูนลูป PID ทางคณิตศาสตร์จะสร้างแรงกระตุ้นในระบบ จากนั้นใช้การตอบสนองความถี่ของระบบที่ถูกควบคุมเพื่อออกแบบค่าลูป PID ในลูปที่มีเวลาตอบสนองหลายนาที แนะนำให้ใช้การปรับจูนลูปทางคณิตศาสตร์ เพราะการลองผิดลองถูกอาจใช้เวลาหลายวันกว่าจะหาชุดค่าลูปที่เสถียรได้ การหาค่าที่เหมาะสมที่สุดนั้นยากกว่า ตัวควบคุมลูปแบบดิจิทัลบางตัวมีคุณสมบัติการปรับจูนอัตโนมัติ ซึ่งจะส่งการเปลี่ยนแปลงจุดตั้งค่าเล็กน้อยไปยังกระบวนการ ทำให้ตัวควบคุมสามารถคำนวณค่าการปรับจูนที่เหมาะสมที่สุดได้เอง

แนวทางอื่นคำนวณค่าเริ่มต้นโดยใช้วิธี Ziegler–Nichols และใช้เทคนิคการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลขเพื่อค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ PID ที่ดีกว่า^{[ 28 ]}

มีสูตรอื่นๆ ให้เลือกใช้เพื่อปรับลูปตามเกณฑ์ประสิทธิภาพที่แตกต่างกัน ปัจจุบันมีสูตรที่จดสิทธิบัตรจำนวนมากฝังอยู่ในซอฟต์แวร์และโมดูลฮาร์ดแวร์สำหรับการปรับ PID ^{[ 29 ]}

ความก้าวหน้าในซอฟต์แวร์การปรับจูนลูป PID อัตโนมัติยังนำเสนออัลกอริธึมสำหรับการปรับจูนลูป PID ในสถานการณ์แบบไดนามิกหรือสถานะไม่คงที่ (NSS) ซอฟต์แวร์จำลองพลวัตของกระบวนการผ่านการรบกวนและคำนวณพารามิเตอร์ควบคุม PID เพื่อตอบสนอง^{[ 30 ]}

ตัวควบคุม PID ทำงานได้ดีที่สุดเมื่อวงจรที่ต้องการควบคุมเป็นเชิงเส้นและสมมาตร ดังนั้นประสิทธิภาพของมันจึงลดลงในระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นและไม่สมมาตร

ตัวอย่างเช่น วาล์วที่ไม่เป็นเชิงเส้นในแอปพลิเคชันควบคุมการไหล จะส่งผลให้ความไวของวงจรควบคุมแปรผัน ซึ่งจำเป็นต้องมีการหน่วงเพื่อป้องกันความไม่เสถียร วิธีแก้ปัญหาอย่างหนึ่งคือการรวมแบบจำลองของความไม่เป็นเชิงเส้นของวาล์วไว้ในอัลกอริธึมควบคุมเพื่อชดเชยสิ่งนี้

ตัวอย่างเช่น การใช้งานแบบไม่สมมาตรคือการควบคุมอุณหภูมิในระบบปรับอากาศที่ใช้การทำความร้อนแบบแอคทีฟเท่านั้น (ผ่านองค์ประกอบความร้อน) ในขณะที่มีเพียงการทำความเย็นแบบพาสซีฟเท่านั้น การเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิที่สูงเกินไปสามารถแก้ไขได้อย่างช้าๆ เท่านั้น เนื่องจากไม่มีการทำความเย็นแบบแอคทีฟเพื่อบังคับให้อุณหภูมิลดลงตามเอาต์พุตการควบคุม ในกรณีนี้ ตัวควบคุม PID อาจถูกปรับให้มีการหน่วงมากเกินไปเพื่อป้องกันหรือลดการเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิที่สูงเกินไป แต่จะลดประสิทธิภาพลงโดยการเพิ่มเวลาในการปรับตัวของอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้นให้ถึงจุดที่ตั้งไว้ การลดลงของคุณภาพการควบคุมโดยธรรมชาติในการใช้งานนี้สามารถแก้ไขได้โดยการใช้การทำความเย็นแบบแอคทีฟ

ปัญหาของเทอมอนุพันธ์คือมันจะขยายสัญญาณรบกวน การวัดหรือกระบวนการที่มีความถี่สูง ซึ่งอาจทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงจำนวนมากในเอาต์พุต มักจะเป็นประโยชน์ที่จะกรองการวัดด้วยตัวกรองความถี่ต่ำเพื่อกำจัดส่วนประกอบสัญญาณรบกวนความถี่สูง เนื่องจากตัวกรองความถี่ต่ำและการควบคุมอนุพันธ์สามารถหักล้างกันได้ ปริมาณการกรองจึงมีจำกัด ดังนั้นเครื่องมือวัดที่มีสัญญาณรบกวนต่ำจึงมีความสำคัญ อาจใช้ตัวกรองค่ามัธยฐาน แบบไม่เชิงเส้น ซึ่งช่วยปรับปรุงประสิทธิภาพการกรองและประสิทธิภาพการใช้งานจริง ^{[ 31 ]}ในบางกรณี สามารถปิดย่านความถี่ที่แตกต่างกันได้โดยมีการสูญเสียการควบคุมเพียงเล็กน้อย ซึ่งเทียบเท่ากับการใช้ตัวควบคุม PID เป็น ตัว ควบคุมPI

ปัญหาทั่วไปอย่างหนึ่งที่เกิดจากการใช้งาน PID ในอุดมคติคือการสะสมค่าอินทิกรัล (integral windup ) หลังจากมีการเปลี่ยนแปลงค่าเป้าหมายอย่างมาก ค่าอินทิกรัลอาจสะสมข้อผิดพลาดมากกว่าค่าสูงสุดของตัวแปรควบคุม (windup) ส่งผลให้ระบบทำงานเกินเป้าหมายและเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จนกว่าข้อผิดพลาดที่สะสมนี้จะหมดไป ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดย:

• ปิดใช้งานการเชื่อมต่อจนกว่าแผงโซลาร์เซลล์จะเข้าสู่ช่วงที่ควบคุมได้
• ป้องกันไม่ให้พจน์ปริพันธ์สะสมเกินหรือต่ำกว่าขอบเขตที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
• การคำนวณย้อนกลับของเทอมอินทิกรัลเพื่อจำกัดเอาต์พุตของตัวควบคุมให้อยู่ภายในขอบเขตที่เป็นไปได้^{[ 32 ]}

ตัวอย่างเช่น วงจร PID ถูกใช้เพื่อควบคุมอุณหภูมิของเตาเผาไฟฟ้าแบบต้านทานความร้อน ซึ่งระบบได้เข้าสู่สภาวะเสถียรแล้ว แต่เมื่อเปิดประตูและนำสิ่งของเย็นเข้าไปในเตา อุณหภูมิจะลดลงต่ำกว่าจุดที่ตั้งไว้ ฟังก์ชันอินทิกรัลของตัวควบคุมจะพยายามชดเชยความผิดพลาดโดยการเพิ่มความผิดพลาดอีกค่าหนึ่งในทิศทางบวก การโอเวอร์ชูตนี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการหยุดฟังก์ชันอินทิกรัลชั่วคราวหลังจากเปิดประตู ในช่วงเวลาที่วงจรควบคุมต้องการเพื่อให้ความร้อนแก่เตาเผาอีกครั้ง

ตัวควบคุม PI (ตัวควบคุมสัดส่วน-อินทิกรัล) เป็นกรณีพิเศษของตัวควบคุม PID ซึ่งไม่ได้ใช้ค่าอนุพันธ์ (D) ของค่าความคลาดเคลื่อน

เอาต์พุตของตัวควบคุมจะได้รับจาก

${\displaystyle K_{P}\Delta +K_{I}\int \Delta \,dt}$

ที่ไหน${\displaystyle \Delta }$คือค่าความคลาดเคลื่อนหรือค่าเบี่ยงเบนของค่าที่วัดได้จริง ( PV ) จากค่าที่ตั้งไว้ ( SP )

${\displaystyle \Delta =SP-PV.}$

ตัวควบคุม PI สามารถจำลองได้ง่ายในซอฟต์แวร์ เช่นSimulinkหรือXcosโดยใช้กล่อง "ผังงาน" ที่เกี่ยวข้องกับ ตัวดำเนินการ ลาปลาส :

${\displaystyle C={\frac {G(1+\tau s)}{\tau s}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle G=K_{P}}$= กำไรตามสัดส่วน

${\displaystyle {\frac {G}{\tau }}=K_{I}}$= อัตราขยายแบบอินทิกรัล

การกำหนดค่าสำหรับ${\displaystyle G}$โดยทั่วไปแล้วมักเป็นการแลกเปลี่ยนระหว่างการลดค่าโอเวอร์ชูตและการเพิ่มเวลาในการเข้าสู่สภาวะคงที่

การที่ไม่มีการทำงานของอนุพันธ์อาจทำให้ระบบมีความเสถียรมากขึ้นในสภาวะสมดุลในกรณีที่มีข้อมูลรบกวน เนื่องจากอนุพันธ์มีความไวต่อพจน์ความถี่สูงในข้อมูลป้อนเข้ามากกว่า

หากไม่มีการทำงานของอนุพันธ์ ระบบควบคุม PI จะตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงสถานะที่เกิดขึ้นจริง (ไม่ใช่สัญญาณรบกวน) และค่อนข้างรวดเร็วได้น้อยลง ดังนั้นระบบจะใช้เวลานานกว่าในการไปถึงจุดตั้งค่าและตอบสนองต่อการรบกวนได้ช้ากว่าระบบ PID ที่ปรับแต่งมาอย่างดี

วงจร PID จำนวนมากควบคุมอุปกรณ์เชิงกล (เช่น วาล์ว) การบำรุงรักษาเชิงกลอาจเป็นค่าใช้จ่ายที่สำคัญ และการสึกหรอจะนำไปสู่การเสื่อมสภาพของการควบคุมในรูปแบบของการติดขัดหรือการคลายตัวในปฏิกิริยาเชิงกลต่อสัญญาณอินพุต อัตราการสึกหรอเชิงกลส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับความถี่ในการกระตุ้นอุปกรณ์เพื่อทำการเปลี่ยนแปลง ในกรณีที่การสึกหรอเป็นปัญหาสำคัญ วงจร PID อาจมีช่วงค่าที่ ไม่ตอบสนอง (deadband ) เพื่อลดความถี่ในการกระตุ้นเอาต์พุต (วาล์ว) ซึ่งทำได้โดยการปรับเปลี่ยนตัวควบคุมให้รักษาเอาต์พุตให้คงที่หากการเปลี่ยนแปลงมีขนาดเล็ก (ภายในช่วงค่าที่ไม่ตอบสนองที่กำหนดไว้) เอาต์พุตที่คำนวณได้ต้องออกจากช่วงค่าที่ไม่ตอบสนองก่อนที่เอาต์พุตจริงจะเปลี่ยนแปลง

เทอมสัดส่วนและเทอมอนุพันธ์อาจทำให้เอาต์พุตเคลื่อนไหวมากเกินไปเมื่อระบบได้รับความคลาดเคลื่อนเพิ่มขึ้นอย่างฉับพลัน เช่น การเปลี่ยนแปลงค่าเป้าหมายอย่างมาก ในกรณีของเทอมอนุพันธ์นั้น เกิดจากการหาอนุพันธ์ของความคลาดเคลื่อน ซึ่งจะมีค่ามากในกรณีที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลัน ดังนั้น อัลกอริทึม PID บางตัวจึงมีการปรับเปลี่ยนดังต่อไปนี้:

การปรับจุดตั้งค่า

ในการปรับเปลี่ยนนี้ จุดตั้งค่าจะค่อยๆ เปลี่ยนจากค่าเดิมไปสู่ค่าที่กำหนดใหม่โดยใช้ฟังก์ชันแรมป์เชิงเส้นหรือฟังก์ชันอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ซึ่งจะช่วยหลีกเลี่ยงความไม่ต่อเนื่องที่เกิดขึ้นในการเปลี่ยนแปลงแบบขั้นบันไดอย่างง่าย

อนุพันธ์ของตัวแปรกระบวนการ

ในกรณีนี้ ตัวควบคุม PID จะวัดอนุพันธ์ของค่า PV ที่วัดได้ แทนที่จะวัดอนุพันธ์ของค่าความคลาดเคลื่อน ปริมาณนี้จะต่อเนื่องเสมอ (กล่าวคือ ไม่มีการเปลี่ยนแปลงแบบขั้นบันไดอันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงค่าเป้าหมาย) การปรับเปลี่ยนนี้เป็นเพียงกรณีง่ายๆ ของการถ่วงน้ำหนักค่าเป้าหมาย

การถ่วงน้ำหนักจุดตั้งค่า

การถ่วงน้ำหนักจุดตั้งค่าจะเพิ่มปัจจัยที่ปรับได้ (โดยปกติอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1) ให้กับจุดตั้งค่าในส่วนความคลาดเคลื่อนขององค์ประกอบสัดส่วนและอนุพันธ์ของตัวควบคุม ความคลาดเคลื่อนในเทอมอินทิกรัลจะต้องเป็นความคลาดเคลื่อนในการควบคุมที่แท้จริงเพื่อหลีกเลี่ยงความคลาดเคลื่อนในการควบคุมสภาวะคงที่ พารามิเตอร์เพิ่มเติมสองตัวนี้ไม่มีผลต่อการตอบสนองต่อการรบกวนจากภาระและสัญญาณรบกวนจากการวัด และสามารถปรับแต่งเพื่อปรับปรุงการตอบสนองของตัวควบคุมต่อจุดตั้งค่าได้

ประสิทธิภาพของระบบควบคุมสามารถปรับปรุงได้โดยการผสมผสาน การควบคุม แบบป้อนกลับ (หรือแบบวงปิด) ของตัวควบคุม PID เข้ากับ การควบคุม แบบป้อนไปข้างหน้า (หรือแบบวงเปิด) ข้อมูลเกี่ยวกับระบบ (เช่น ความเร่งและความเฉื่อยที่ต้องการ) สามารถป้อนไปข้างหน้าและรวมกับเอาต์พุตของ PID เพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพโดยรวมของระบบ ค่าป้อนไปข้างหน้าเพียงอย่างเดียวมักจะให้ส่วนสำคัญของเอาต์พุตของตัวควบคุม ตัวควบคุม PID จะต้องชดเชยความแตกต่างหรือข้อผิดพลาดที่เหลืออยู่ระหว่างค่าเป้าหมาย (SP) และการตอบสนองของระบบต่อการควบคุมแบบวงเปิดเป็นหลัก เนื่องจากเอาต์พุตป้อนไปข้างหน้าไม่ได้รับผลกระทบจากการป้อนกลับของกระบวนการ จึงไม่สามารถทำให้ระบบควบคุมเกิดการแกว่งได้ ดังนั้นจึงช่วยปรับปรุงการตอบสนองของระบบโดยไม่ส่งผลกระทบต่อเสถียรภาพ การป้อนไปข้างหน้าสามารถอิงตามค่าเป้าหมายและสิ่งรบกวนที่วัดได้เพิ่มเติม การถ่วงน้ำหนักค่าเป้าหมายเป็นรูปแบบง่ายๆ ของการป้อนไปข้างหน้า

ตัวอย่างเช่น ในระบบควบคุมการเคลื่อนที่ส่วนใหญ่ เพื่อเร่งความเร็วของโหลดเชิงกลที่อยู่ภายใต้การควบคุม จำเป็นต้องใช้แรงจากแอคทูเอเตอร์มากขึ้น หากใช้ตัวควบคุม PID แบบลูปความเร็วเพื่อควบคุมความเร็วของโหลดและสั่งการแรงที่แอคทูเอเตอร์ใช้ จะเป็นประโยชน์ที่จะนำค่าความเร่งทันทีที่ต้องการมาปรับขนาดให้เหมาะสม และเพิ่มเข้าไปในเอาต์พุตของตัวควบคุม PID แบบลูปความเร็ว ซึ่งหมายความว่าเมื่อใดก็ตามที่โหลดกำลังเร่งความเร็วหรือลดความเร็ว แรงที่สั่งการจากแอคทูเอเตอร์จะมีสัดส่วนที่เหมาะสม โดยไม่คำนึงถึงค่าป้อนกลับ ในสถานการณ์นี้ ลูป PID จะใช้ข้อมูลป้อนกลับเพื่อเปลี่ยนเอาต์พุตรวมเพื่อลดความแตกต่างที่เหลืออยู่ระหว่างจุดตั้งค่าของกระบวนการและค่าป้อนกลับ การทำงานร่วมกันของตัวควบคุมแบบฟีดฟอร์เวิร์ดแบบวงเปิดและตัวควบคุม PID แบบวงปิด สามารถให้ระบบควบคุมที่ตอบสนองได้ดียิ่งขึ้น

ตัวควบคุม PID มักถูกนำไปใช้ด้วยคุณสมบัติการเริ่มต้นแบบ "ไร้รอยต่อ" ที่คำนวณเทอมสะสมอินทิกรัลใหม่เพื่อรักษาระดับเอาต์พุตของกระบวนการให้คงที่ผ่านการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์^{[ 33 ]}การใช้งานบางส่วนคือการจัดเก็บค่าเกนอินทิกรัลคูณด้วยค่าผิดพลาดแทนที่จะจัดเก็บค่าผิดพลาดแล้วคูณด้วยค่าเกนอินทิกรัลในภายหลัง ซึ่งจะป้องกันเอาต์พุตที่ไม่ต่อเนื่องเมื่อค่าเกน I เปลี่ยนแปลง แต่ไม่ใช่ค่าเกน P หรือ D

นอกจากฟีดฟอร์เวิร์ดแล้ว ตัวควบคุม PID มักได้รับการปรับปรุงผ่านวิธีการต่างๆ เช่นการกำหนดตารางค่าเกน PID (การเปลี่ยนพารามิเตอร์ในสภาวะการทำงานที่แตกต่างกัน) ตรรกะฟัซซีหรือตรรกะคำกริยาเชิงคำนวณ^{[ 34 ] [ 35 ]}ปัญหาการใช้งานจริงเพิ่มเติมอาจเกิดขึ้นจากเครื่องมือวัดที่เชื่อมต่อกับตัวควบคุม จำเป็นต้องมีอัตราการสุ่มตัวอย่าง ความแม่นยำในการวัด และความถูกต้องในการวัดที่สูงเพียงพอเพื่อให้ได้ประสิทธิภาพการควบคุมที่เพียงพอ อีกวิธีหนึ่งในการปรับปรุงตัวควบคุม PID คือการเพิ่มระดับความเป็นอิสระโดยใช้ลำดับเศษส่วนลำดับของตัวรวมและตัวแยกความแตกต่างจะเพิ่มความยืดหยุ่นให้กับตัวควบคุม^{[ 36 ]}

รูปแบบของตัวควบคุม PID ที่พบได้บ่อยที่สุดในอุตสาหกรรม และมีความเกี่ยวข้องมากที่สุดกับอัลกอริธึมการปรับแต่ง คือรูปแบบมาตรฐานในรูปแบบนี้${\displaystyle K_{p}}$มีการนำค่าเกนไปใช้กับ${\displaystyle I_{\mathrm {out} }}$, และ${\displaystyle D_{\mathrm {out} }}$เงื่อนไข ส่งผลให้เกิด:

${\displaystyle u(t)=K_{p}\left(e(t)+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau +T_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)\right)}$

ที่ไหน

${\displaystyle T_{i}}$คือเวลาอินทิกรัล

${\displaystyle T_{d}}$คืออนุพันธ์ของเวลา

ในรูปแบบมาตรฐานนี้ พารามิเตอร์ต่างๆ มีความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมภายในจะสร้างค่าความคลาดเคลื่อนใหม่เพียงค่าเดียว ซึ่งจะถูกชดเชยสำหรับความคลาดเคลื่อนในอนาคตและในอดีต ส่วนพจน์ความคลาดเคลื่อนตามสัดส่วนคือความคลาดเคลื่อนปัจจุบัน และพจน์อนุพันธ์พยายามทำนายค่าความคลาดเคลื่อน ณ ขณะนั้น${\displaystyle T_{d}}$วินาที (หรือตัวอย่าง) ในอนาคต โดยสมมติว่าการควบคุมลูปยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ส่วนประกอบอินทิกรัลจะปรับค่าความคลาดเคลื่อนเพื่อชดเชยผลรวมของความคลาดเคลื่อนในอดีตทั้งหมด โดยมีจุดประสงค์เพื่อกำจัดความคลาดเคลื่อนเหล่านั้นให้หมดไปในที่สุด${\displaystyle T_{i}}$วินาที (หรือตัวอย่าง) จากนั้นค่าความคลาดเคลื่อนเดี่ยวที่ได้รับการชดเชยแล้วจะถูกปรับขนาดด้วยค่าเกนเดี่ยว${\displaystyle K_{p}}$เพื่อคำนวณตัวแปรควบคุม

ในรูปแบบขนาน ดังที่แสดงในส่วนทฤษฎีตัวควบคุม

${\displaystyle u(t)=K_{p}e(t)+K_{i}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau +K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)}$

พารามิเตอร์การขยายมีความสัมพันธ์กับพารามิเตอร์ของรูปแบบมาตรฐานผ่านทาง${\displaystyle K_{i}=K_{p}/T_{i}}$และ${\displaystyle K_{d}=K_{p}T_{d}}$รูปแบบขนานนี้ ซึ่งพารามิเตอร์ถูกมองว่าเป็นค่าเกนอย่างง่าย เป็นรูปแบบที่ทั่วไปและยืดหยุ่นที่สุด อย่างไรก็ตาม มันก็เป็นรูปแบบที่พารามิเตอร์มีความสัมพันธ์กับพฤติกรรมทางกายภาพน้อยที่สุด และโดยทั่วไปแล้วจะสงวนไว้สำหรับการวิเคราะห์ทางทฤษฎีของตัวควบคุม PID เท่านั้น รูปแบบมาตรฐาน แม้ว่าจะซับซ้อนทางคณิตศาสตร์มากกว่าเล็กน้อย แต่ก็พบได้ทั่วไปในอุตสาหกรรมมากกว่า

ในหลายกรณี ตัวแปรที่ถูกควบคุมซึ่งส่งออกโดยตัวควบคุม PID นั้นเป็นเศษส่วนที่ไม่มีหน่วยระหว่าง 0 ถึง 100% ของค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ และการแปลงเป็นหน่วยจริง (เช่น อัตราการสูบน้ำหรือกำลังไฟฟ้าของเครื่องทำความร้อน) นั้นอยู่นอกเหนือการควบคุมของตัวควบคุม PID อย่างไรก็ตาม ตัวแปรของกระบวนการนั้นอยู่ในหน่วยที่มีหน่วย เช่น อุณหภูมิ ในกรณีนี้จึงมักแสดงค่าเกนออกมา${\displaystyle K_{p}}$ไม่ใช่ในรูป "ผลผลิตต่อองศา" แต่เป็นรูปผกผันของแถบสัดส่วน${\displaystyle 100/K_{p}}$ซึ่งก็คือ "องศาต่อเอาต์พุตเต็มที่": ช่วงที่เอาต์พุตเปลี่ยนแปลงจาก 0 ถึง 1 (0% ถึง 100%) นอกช่วงนี้ เอาต์พุตจะอิ่มตัว ปิดสนิท หรือเปิดเต็มที่ ยิ่งช่วงนี้แคบลงเท่าไร อัตราส่วนการขยายก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น

ในระบบควบคุมเชิงพาณิชย์ส่วนใหญ่ การทำงานแบบอนุพันธ์จะขึ้นอยู่กับตัวแปรของกระบวนการมากกว่าค่าความคลาดเคลื่อน กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงค่าเป้าหมายจะไม่ส่งผลต่อการทำงานแบบอนุพันธ์ เนื่องจากเวอร์ชันดิจิทัลของอัลกอริทึมจะสร้างสัญญาณรบกวนที่ไม่พึงประสงค์ขนาดใหญ่เมื่อค่าเป้าหมายเปลี่ยนแปลง หากค่าเป้าหมายคงที่ การเปลี่ยนแปลงในตัวแปรของกระบวนการจะเหมือนกับการเปลี่ยนแปลงในค่าความคลาดเคลื่อน ดังนั้น การปรับเปลี่ยนนี้จึงไม่มีผลต่อวิธีการที่ตัวควบคุมตอบสนองต่อการรบกวนของกระบวนการ

ระบบควบคุมเชิงพาณิชย์ส่วนใหญ่มีตัวเลือกในการกำหนดการทำงานแบบสัดส่วนโดยอิงจากตัวแปรของกระบวนการเพียงอย่างเดียว ซึ่งหมายความว่าการทำงานแบบอินทิกรัลเท่านั้นที่จะตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงของจุดตั้งค่า การปรับเปลี่ยนอัลกอริทึมจะไม่ส่งผลกระทบต่อวิธีการที่ตัวควบคุมตอบสนองต่อการรบกวนของกระบวนการ การกำหนดการทำงานแบบสัดส่วนโดยอิงจาก PV จะช่วยขจัดความเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันและอาจมีขนาดใหญ่มากในเอาต์พุตที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันของจุดตั้งค่า ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับกระบวนการและการปรับแต่ง ซึ่งอาจเป็นประโยชน์ต่อการตอบสนองต่อการเปลี่ยนแปลงจุดตั้งค่า

${\displaystyle \mathrm {MV(t)} =K_{p}\left(\,{-PV(t)}+{\frac {1}{T_{i}}}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }-T_{d}{\frac {d}{dt}}PV(t)\right)}$

King ^{[ 39 ]}อธิบายวิธีการที่มีประสิทธิภาพโดยใช้แผนภูมิ

บางครั้ง การเขียนตัวควบคุม PID ในรูปแบบ การแปลงลาปลาสก็มีประโยชน์:

${\displaystyle G(s)=K_{p}+{\frac {K_{i}}{s}}+K_{d}{s}={\frac {K_{d}{s^{2}}+K_{p}{s}+K_{i}}{s}}}$

การที่ตัวควบคุม PID เขียนอยู่ในรูปของสมการลาปลาส และฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบที่ถูกควบคุม ทำให้สามารถกำหนดฟังก์ชันถ่ายโอนแบบวงปิดของระบบได้อย่างง่ายดาย

อีกรูปแบบหนึ่งของการควบคุม PID คือแบบอนุกรม หรือแบบปฏิสัมพันธ์

${\displaystyle G(s)=K_{c}\left({\frac {1}{\tau _{i}{s}}}+1\right)(\tau _{d}{s}+1)}$

โดยที่พารามิเตอร์มีความสัมพันธ์กับพารามิเตอร์ของแบบฟอร์มมาตรฐานผ่านทาง

${\displaystyle K_{p}=K_{c}\cdot \alpha }$,${\displaystyle T_{i}=\tau _{i}\cdot \alpha }$, และ

${\displaystyle T_{d}={\frac {\tau _{d}}{\alpha }}}$

กับ

${\displaystyle \alpha =1+{\frac {\tau _{d}}{\tau _{i}}}}$.

รูปแบบนี้โดยพื้นฐานแล้วประกอบด้วยตัวควบคุม PD และ PI ที่ต่ออนุกรมกัน เนื่องจากต้องใช้ค่าอินทิกรัลในการคำนวณค่าไบแอสของตัวควบคุม รูปแบบนี้จึงช่วยให้สามารถติดตามค่าไบแอสภายนอกได้ ซึ่งจำเป็นสำหรับการใช้งานอย่างถูกต้องในระบบควบคุมขั้นสูงแบบหลายตัวควบคุม

การวิเคราะห์เพื่อออกแบบการใช้งานดิจิทัลของตัวควบคุม PID ในไมโครคอนโทรลเลอร์ (MCU) หรือ อุปกรณ์ FPGAจำเป็นต้องทำให้รูปแบบมาตรฐานของตัวควบคุม PID เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง [ ^{40 ] การ}ประมาณค่าอนุพันธ์อันดับแรกทำได้โดยใช้ความแตกต่างจำกัดแบบ ย้อน กลับ${\displaystyle u(t)}$และ${\displaystyle e(t)}$แบ่งเป็นช่วงๆ โดยใช้ช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง${\displaystyle \Delta t}$โดยที่ k คือดัชนีของตัวอย่าง

เมื่อทำการหาอนุพันธ์ของทั้งสองข้างของสมการ PID โดยใช้สัญลักษณ์ของนิวตันจะได้:

${\displaystyle {\dot {u}}(t)=K_{p}{\dot {e}}(t)+K_{i}e(t)+K_{d}{\ddot {e}}(t)}$

พจน์อนุพันธ์จะถูกประมาณค่าดังนี้

${\displaystyle {\dot {f}}(t_{k})={\dfrac {df(t_{k})}{dt}}={\dfrac {f(t_{k})-f(t_{k-1})}{\Delta t}}}$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\frac {u(t_{k})-u(t_{k-1})}{\Delta t}}=K_{p}{\frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}+K_{i}e(t_{k})+K_{d}{\frac {{\dot {e}}(t_{k})-{\dot {e}}(t_{k-1})}{\Delta t}}}$

การนำผลต่างย้อนหลังมาใช้อีกครั้งจะได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {u(t_{k})-u(t_{k-1})}{\Delta t}}=K_{p}{\frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}+K_{i}e(t_{k})+K_{d}{\frac {{\frac {e(t_{k})-e(t_{k-1})}{\Delta t}}-{\frac {e(t_{k-1})-e(t_{k-2})}{\Delta t}}}{\Delta t}}}$

โดยการลดรูปและจัดกลุ่มพจน์ของสมการข้างต้นใหม่ ในที่สุดก็จะพบอัลกอริทึมสำหรับการใช้งานตัวควบคุม PID แบบไม่ต่อเนื่องใน MCU:

${\displaystyle u(t_{k})=u(t_{k-1})+\left(K_{p}+K_{i}\Delta t+{\dfrac {K_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k})+\left(-K_{p}-{\dfrac {2K_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k-1})+{\dfrac {K_{d}}{\Delta t}}e(t_{k-2})}$

หรือ:

${\displaystyle u(t_{k})=u(t_{k-1})+K_{p}\left[\left(1+{\dfrac {\Delta t}{T_{i}}}+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k})+\left(-1-{\dfrac {2T_{d}}{\Delta t}}\right)e(t_{k-1})+{\dfrac {T_{d}}{\Delta t}}e(t_{k-2})\right]}$

สต${\displaystyle T_{i}=K_{p}/K_{i},T_{d}=K_{d}/K_{p}}$

หมายเหตุ: วิธีนี้ใช้ได้ผลจริง${\displaystyle u(t)=K_{\text{p}}e(t)+K_{\text{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,\mathrm {d} \tau +K_{\text{d}}{\frac {\mathrm {d} e(t)}{\mathrm {d} t}}+u_{0}}$ที่ไหน${\displaystyle u_{0}}$เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับ t ค่าคงที่นี้มีประโยชน์เมื่อคุณต้องการควบคุมการเริ่มต้นและหยุดการทำงานของวงจรควบคุม ตัวอย่างเช่น การตั้งค่า Kp, Ki และ Kd เป็น 0 จะทำให้ u(t) คงที่ ในทำนองเดียวกัน เมื่อคุณต้องการเริ่มต้นการควบคุมในระบบที่ค่าความคลาดเคลื่อนใกล้เคียงกับ 0 อยู่แล้ว${\displaystyle u(t)}$หากค่าไม่ใช่ค่าว่าง จะป้องกันไม่ให้ส่งผลลัพธ์ไปยัง 0

• การควบคุม PID ใน MATLAB/Simulink และ Python ด้วย TCLab
• ไอ้ระบบ PID นี่มันคืออะไรกันแน่?บทความในนิตยสาร Electronic Design
• แสดงวิธีการสร้างตัวควบคุม PID ด้วยชิ้นส่วนอิเล็กทรอนิกส์พื้นฐาน (หน้า 22)
• PID ที่ไม่มีปริญญาเอก
• การควบคุม PID ด้วย MATLAB และ Simulink
• PID ที่ใช้ตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการตัวเดียว
• วิธีการที่ได้รับการพิสูจน์แล้วและแนวปฏิบัติที่ดีที่สุดสำหรับการควบคุม PID
• หลักการควบคุมและการปรับจูน PID
• คู่มือการปรับจูน PID: แนวทางปฏิบัติที่ดีที่สุดในการทำความเข้าใจและปรับจูนตัวควบคุม PID
• Michael Barr (30 กรกฎาคม 2002), บทนำเกี่ยวกับการควบคุมแบบวงปิด , การเขียนโปรแกรมระบบฝังตัว, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 9 กุมภาพันธ์ 2010
• จิงฮัว จง, วิศวกรรมเครื่องกล, มหาวิทยาลัยเพอร์ดู (ฤดูใบไม้ผลิ 2006). "การปรับจูนตัวควบคุม PID: คู่มือฉบับย่อ" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2015-04-21 . เรียกดูเมื่อ2013-12-04 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link )
• บทนำเกี่ยวกับตัวควบคุม P, PI, PD และ PID ด้วย MATLAB
• การพัฒนา PID สำหรับผู้เริ่มต้น