Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับเทนเซอร์พลังงานความเครียดจากแรงโน้มถ่วง

เทนเซอร์ความเครียด-พลังงานหรือบางครั้งเรียกว่าเทนเซอร์ความเครียด-พลังงาน-โมเมนตัมหรือเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมเป็นปริมาณสนามเทนเซอร์ ที่อธิบายความหนาแน่นและการไหลของพลังงานและโมเมนตัมณ แต่ละจุดในปริภูมิเวลาโดยเป็นการขยายความของเทนเซอร์ความเครียดในฟิสิกส์แบบนิวตันมันเป็นคุณสมบัติของสสารรังสีและสนามแรงที่ไม่ใช่แรงโน้มถ่วงความหนาแน่นและการไหลของพลังงานและโมเมนตัมนี้เป็นแหล่งกำเนิดของสนามโน้มถ่วงในสมการสนามของไอน์สไตน์ใน ทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปเช่นเดียวกับความหนาแน่นของมวลที่เป็นแหล่งกำเนิดของสนามดังกล่าวในแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน

เทนเซอร์พลังงานความเครียดแม่เหล็กไฟฟ้าได้รับการแนะนำโดยHermann Minkowskiในปี พ.ศ. 2450 และต่อมาได้รับการขยายความโดยMax von Laueในปี พ.ศ. 2454 ^{[ 1 ]}

เทนเซอร์พลังงานความเครียดเกี่ยวข้องกับการใช้ตัวแปรที่มีตัวยก ( ไม่ใช่เลขชี้กำลัง ดูสัญกรณ์ดัชนีเทนเซอร์และสัญกรณ์ผลรวมของไอน์สไตน์ ) พิกัด ทั้งสี่ ของเหตุการณ์ในปริภูมิเวลาxกำหนดโดยx ⁰ , x ¹ , x ² , x ³ซึ่งโดยทั่วไปจะกำหนดให้เป็นt , x , y , zโดยที่tคือพิกัดเวลา และx , yและzคือพิกัดเชิงพื้นที่

เทนเซอร์พลังงานความเครียดถูกกำหนดให้เป็นเทนเซอร์T ^αβอันดับสอง ซึ่งให้ฟลักซ์ของ องค์ประกอบที่ αของเวกเตอร์โมเมนตัม ผ่านพื้นผิวที่มีพิกัดคงที่x ^βในทฤษฎีสัมพัทธภาพเวกเตอร์โมเมนตัมนี้ถือเป็นโมเมนตัมสี่มิติในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป เทนเซอร์พลังงานความเครียดมีความสมมาตร^{[ a ]}$${\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.}$$

ในบางทฤษฎีทางเลือก เช่นทฤษฎีของไอน์สไตน์-คาร์ตันเทนเซอร์พลังงานความเครียดอาจไม่สมมาตรอย่างสมบูรณ์เนื่องจากเทนเซอร์สปิน ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งในทางเรขาคณิตสอดคล้องกับเทนเซอร์ทอร์ ชั่น ที่ ไม่เป็นศูนย์

เนื่องจากเทนเซอร์พลังงานความเครียดมีลำดับที่ 2 ส่วนประกอบต่างๆ จึงสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ 4 × 4 ได้ โดยที่ดัชนีμและνมีค่าเป็น 0, 1, 2, 3 แต่ละส่วนประกอบของเทนเซอร์พลังงานความเครียดมีการตีความทางกายภาพโดยตรง^{[ 3 ]}$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}\,,}$$

ต่อไปนี้kและℓจะมีค่าตั้งแต่ 1 ถึง 3 ^{[ b ]}

ในฟิสิกส์ของของแข็งและกลศาสตร์ของไหลเทนเซอร์ความเค้นถูกนิยามให้เป็นส่วนประกอบเชิงพื้นที่ของเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานใน กรอบ อ้างอิงที่เหมาะสม กล่าวอีกนัยหนึ่ง เทนเซอร์ความเค้น-พลังงานใน ทางวิศวกรรมแตกต่างจากเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานเชิงสัมพัทธภาพโดยมีพจน์การพาโมเมนตัมเข้ามาเกี่ยวข้อง

บทความนี้ส่วนใหญ่ใช้รูปแบบคอนทราแวเรียนต์T ^μν ของเทนเซอร์พลังงานความเครียด อย่างไรก็ตาม การทำงานกับรูปแบบโคแวเรียนต์ หรือรูปแบบผสม มักสะดวกกว่า $${\displaystyle T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },}$$$${\displaystyle T^{\mu }{__{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }.}$$

บทความนี้ใช้สัญลักษณ์ คล้ายช่องว่าง (− + + +)สำหรับเครื่องหมายกำกับเมตริก

เทนเซอร์พลังงานความเครียดคือกระแสโนอีเธอร์ ที่อนุรักษ์ไว้ ซึ่ง เกี่ยวข้องกับการเลื่อนตำแหน่งในปริภูมิเวลา

ค่าไดเวอร์เจนซ์ของพลังงานความเครียดที่ไม่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงเป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ พลังงานและโมเมนตัมที่ไม่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงจะถูกอนุรักษ์ไว้ $${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{__{;\nu }\ \equiv \ \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }.}$$

รูปแบบอินทิกรัลของสูตรที่ไม่แปรผันร่วมคือ โดยที่Nคือบริเวณสี่มิติขนาดกะทัดรัดใดๆ ของปริภูมิเวลา; คือขอบเขตของบริเวณนั้น ซึ่งเป็นพื้นผิวสามมิติ; และคือองค์ประกอบของขอบเขตที่ถือว่าเป็นเวกเตอร์ปกติที่ชี้ออกด้านนอก $${\displaystyle 0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$$${\textstyle \partial N}$${\textstyle \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$

ในปริภูมิเวลาแบบราบเรียบและใช้พิกัดเชิงเส้น หากนำสิ่งนี้มารวมกับสมมาตรของเทนเซอร์พลังงานความเครียด จะสามารถแสดงได้ว่าโมเมนตัมเชิงมุมก็ได้รับการอนุรักษ์เช่นกัน: $${\displaystyle 0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }\,.}$$

เมื่อแรงโน้มถ่วงไม่สามารถละเลยได้ หรือเมื่อใช้ระบบพิกัดใดๆ การล divergence ของความเครียด-พลังงานก็ยังคงเป็นศูนย์ แต่ในกรณีนี้จะใช้คำจำกัดความของการล divergence ที่ไม่ขึ้นกับพิกัด ซึ่งรวมถึง อนุพันธ์ร่วมแปร โดยที่คือสัญลักษณ์ Christoffelซึ่งเป็นสนามแรงโน้มถ่วง $${\displaystyle 0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{__{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{__{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{__{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$$${\textstyle \Gamma ^{\mu }{__{\sigma \nu }}$

ดังนั้น ถ้าเป็นสนามเวกเตอร์คิลลิง ใดๆ กฎการอนุรักษ์ที่เกี่ยวข้องกับสมมาตรที่สร้างขึ้นโดยสนามเวกเตอร์คิลลิงนั้น อาจแสดงได้ดังนี้ ${\textstyle \xi ^{\mu }}$$${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }T^{\nu }{__{\mu }\right)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }\left({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)}$$

รูปแบบปริพันธ์ของสิ่งนี้คือ $${\displaystyle 0=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }T^{\nu }\,.}$$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเทนเซอร์ความเครียด-พลังงานประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัมของระบบที่กำหนด นอกเหนือจากความหนาแน่นของฟลักซ์โมเมนตัมและพลังงาน^{[ 4 ]}

เมื่อกำหนดความหนาแน่นลากรางจ์ที่เป็นฟังก์ชันของเซตของฟิลด์และอนุพันธ์ของฟิลด์เหล่านั้น แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันของพิกัดปริภูมิเวลาใดๆ อย่างชัดเจน เราสามารถสร้างเทนเซอร์ความเครียด-พลังงานแบบแคนอนิกได้โดยพิจารณาจากอนุพันธ์รวมเทียบกับพิกัดทั่วไปตัวใดตัวหนึ่งของระบบ ดังนั้น ด้วยเงื่อนไขของเรา ${\textstyle {\mathcal {L}}}$${\textstyle \phi _{\alpha }}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x^{\nu }}}=0}$$

โดยใช้กฎลูกโซ่ เราจะได้ว่า $${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dx^{\nu }}}=d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}{\frac {\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}{\บางส่วน x^{\nu }}}+{\frac {\บางส่วน {\mathcal {L}}}{\บางส่วน \phi _{\alpha }}}{\frac {\บางส่วน \phi _{\alpha }}{\บางส่วน x^{\nu }}}}$$

เขียนด้วยตัวย่อที่ใช้งานได้สะดวก $${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }\phi _{\alpha }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\บางส่วน \phi _{\alpha }}}\บางส่วน _{\nu }\phi _{\alpha }}$$

จากนั้น เราสามารถใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ได้: $${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}}$$

จากนั้นใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ย่อยสามารถสลับที่กันได้ ดังนั้นเราจึงได้ว่า $${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi _{\alpha }+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$$

เราสามารถระบุฝั่งขวามือว่าเป็นกฎผลคูณ การเขียนให้อยู่ในรูปอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันจะบอกเราว่า $${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]}$$

ในพื้นที่ราบ เราสามารถเขียนได้ดังนี้การทำเช่นนี้และย้ายไปอีกด้านหนึ่งของสมการจะบอกเราว่า ${\textstyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }[\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}]}$$${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]-\partial _{\mu }\left(\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right)=0}$$

และเมื่อพิจารณาเงื่อนไขการจัดกลุ่มใหม่ $${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right]=0}$$

กล่าวคือ ค่าไดเวอร์เจนซ์ของเทนเซอร์ในวงเล็บมีค่าเป็น 0 อันที่จริง ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถกำหนดเทนเซอร์พลังงานความเครียดได้ดังนี้: $${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}}$$

โดยโครงสร้างแล้ว มันมีคุณสมบัติที่ว่า $${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu }{}_{\nu }=0}$$

โปรดสังเกตว่าคุณสมบัติไร้การล divergence ของเทนเซอร์นี้เทียบเท่ากับสมการความต่อเนื่อง สี่สมการ นั่นคือ ฟิลด์มีอย่างน้อยสี่ชุดของปริมาณที่สอดคล้องกับสมการความต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น จะเห็นได้ว่าคือความหนาแน่นของพลังงานของระบบ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถหาความหนาแน่นของแฮมิลโทเนียนได้จากเทนเซอร์ความเครียด-พลังงาน ${\textstyle T^{0}{}_{0}}$

อันที่จริง เนื่องจากเป็นเช่นนั้น เมื่อพิจารณาว่าเราจึงได้ว่า ${\textstyle \partial _{\mu }T^{\mu }{}_{0}=0}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }\right)=0}$$

ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า พจน์ต่างๆแสดงถึงความหนาแน่นของการไหลของพลังงานในระบบ ${\textstyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }}$

ร่องรอยของเทนเซอร์พลังงานความเครียดถูกกำหนดให้เป็น⁠ ⁠${\displaystyle T^{\mu }{}_{\mu }}$ดังนั้น $${\displaystyle T^{\mu }{}_{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\mathcal {L}}.}$$

ตั้งแต่⁠ ⁠${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$ , $${\displaystyle T^{\mu }{}_{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-4{\mathcal {L}}.}$$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเท นเซอร์พลังงาน-ความเครียด แบบสมมาตรทำหน้าที่เป็นแหล่งกำเนิดความโค้ง ของปริภูมิเวลา และเป็นความหนาแน่นกระแสที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเกจของแรงโน้มถ่วง ซึ่งเป็นการแปลงพิกัด โค้งทั่วไป (หากมีการบิดตัว เทนเซอร์จะไม่สมมาตรอีกต่อไป ซึ่งสอดคล้องกับกรณีที่มีเทนเซอร์สปิน ไม่เป็นศูนย์ ในทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์-คาร์ตัน )

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอนุพันธ์ย่อยที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกแทนที่ด้วยอนุพันธ์ร่วมแปรหมายความว่าสมการความต่อเนื่องจะไม่บ่งชี้ว่าพลังงานและโมเมนตัมที่ไม่ใช่แรงโน้มถ่วงที่แสดงโดยเทนเซอร์นั้นได้รับการอนุรักษ์อย่างสมบูรณ์อีกต่อไป กล่าวคือ สนามโน้มถ่วงสามารถทำงานกับสสารและในทางกลับกันได้ ในขีดจำกัดคลาสสิกของแรงโน้มถ่วงแบบนิวตันการตีความนี้ทำได้ง่าย: พลังงานจลน์ถูกแลกเปลี่ยนกับพลังงานศักย์โน้มถ่วงซึ่งไม่ได้รวมอยู่ในเทนเซอร์ และโมเมนตัมถูกถ่ายโอนผ่านสนามไปยังวัตถุอื่น ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเทนเซอร์เทียมของแลนเดา-ลิฟชิตซ์เป็นวิธีเฉพาะในการกำหนดความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัมของสนามโน้มถ่วง เท นเซอร์เทียมพลังงาน-ความเครียด ใด ๆ สามารถทำให้เป็นศูนย์ได้ในระดับท้องถิ่นโดยการแปลงพิกัด

ในปริภูมิเวลาโค้งการอิน ทิกรัลเชิงพื้นที่ จะขึ้นอยู่กับส่วนตัดเชิงพื้นที่โดยทั่วไป ในความเป็นจริงแล้ว ไม่มีวิธีใดที่จะกำหนดเวกเตอร์พลังงาน-โมเมนตัมโดยรวมในปริภูมิเวลาโค้งทั่วไปได้

ในทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป เทนเซอร์ความเครียด-พลังงานจะถูกศึกษาในบริบทของสมการสนามของไอน์สไตน์ ซึ่งมักเขียนในรูปแบบ ที่คือเทนเซอร์ของไอน์ส ไตน์ คือเทนเซอร์ของริชชีคือความโค้งสเกลาร์คือเทนเซอร์เมตริก Λ คือค่าคงที่ทางจักรวาลวิทยา (ซึ่งมีค่าเล็กน้อยมากในระดับกาแล็กซีหรือเล็กกว่า) และคือ ค่าคงที่ความโน้มถ่วงของไอน์สไตน์$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$${\textstyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }}$${\textstyle R_{\mu \nu }}$${\textstyle R=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \beta }}$${\textstyle g_{\mu \nu }\,}$${\textstyle \kappa =8\pi G/c^{4}}$

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ พลังงาน-ความเครียดของอนุภาคที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์ซึ่งมีมวลนิ่งmและวิถีการเคลื่อนที่คือ: โดยที่คือเวกเตอร์ความเร็ว (ซึ่งไม่ควรสับสนกับความเร็วสี่มิติเนื่องจากขาด a ไป) คือฟังก์ชันเดลตาของดิแรกและคือพลังงานของอนุภาค ${\textstyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)&={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)}\\[1ex]&={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)}\end{aligned}}}$$${\textstyle v^{\alpha }}$${\textstyle \gamma }$$${\displaystyle v^{\alpha }=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,}$$${\textstyle \delta }$${\textstyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

หากเขียนด้วยภาษาของฟิสิกส์คลาสสิก เทนเซอร์ความเครียด-พลังงานจะเป็น (มวลสัมพัทธภาพ โมเมนตัมผลคูณไดอะดิกของโมเมนตัมและความเร็ว) $${\displaystyle \left({\frac {E}{c^{2}}},\,\mathbf {p} ,\,\mathbf {p} \,\mathbf {v} \right)\,.}$$

สำหรับของไหลที่สมบูรณ์แบบเทนเซอร์พลังงานความเครียดจะมีรูปแบบ^{[ 5 ]} โดยที่คือความหนาแน่นมวล และคือความดันไอโซโทรปิกในกรอบอ้างอิงหยุดนิ่งคือความเร็วสี่มิติของของไหลและคือเมทริกซ์ผกผันของเทนเซอร์เมตริกดังนั้นร่องรอยจึงกำหนดโดย $${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}$$${\textstyle \rho }$${\textstyle p}$${\textstyle u^{\alpha }}$${\textstyle g^{\alpha \beta }}$$${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\,\alpha }=g_{\alpha \beta }T^{\beta \alpha }=3p-\rho c^{2}\,.}$$

ความเร็วสี่ระดับนั้นตรงตามข้อกำหนด $${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}$$

ใน กรอบอ้างอิง ที่เหมาะสม ของของเหลว ความเร็วทั้งสี่คือ$${\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}$$

เมทริกซ์ผกผันของเทนเซอร์เมตริกคือ และเทนเซอร์ความเครียด-พลังงานเป็นเมทริกซ์แนวทแยง $${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-{\frac {1}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$$$${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$$

เทนเซอร์พลังงาน-ความเครียดของฮิล เบิ ร์ตของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่ไม่มีแหล่งกำเนิดคือ โดยที่คือเทนเซอร์สนามแม่เหล็กไฟฟ้า$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$$${\textstyle F_{\mu \nu }}$

เทนเซอร์พลังงานความเครียดสำหรับสนามสเกลาร์เชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการไคลน์-กอร์ดอนคือ และเมื่อเมตริกแบนราบ (มิงโกวสกีในพิกัดคาร์ทีเซียน) ส่วนประกอบของมันจะออกมาเป็น: ${\textstyle \phi }$$${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\bar {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\bar {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\ \mathrm {and} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\bar {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}}$$

มีคำจำกัดความที่ไม่เท่ากันจำนวนหนึ่ง^{[ 6 ]}ของพลังงานความเครียดที่ไม่ใช่แรงโน้มถ่วง:

เทนเซอร์พลังงาน-ความเครียดของฮิลเบิร์ตถูกนิยามว่าเป็นอนุพันธ์เชิงฟังก์ชัน โดย ที่คือส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงของแอคชั่นคือส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงของ ความหนาแน่น ของลากรางจ์และใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ เทนเซอร์ นี้สมมาตรและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจ ดู แอคชั่นของไอน์สไตน์-ฮิลเบิร์ตสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม $${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\right)}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} },}$$${\textstyle S_{\mathrm {matter} }}$${\textstyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$

ทฤษฎีบทของ Noetherบ่งชี้ว่ามีกระแสอนุรักษ์ที่เกี่ยวข้องกับการเลื่อนผ่านอวกาศและเวลา สำหรับรายละเอียด โปรดดูส่วนด้านบนเกี่ยวกับเทนเซอร์ความเครียด-พลังงานในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ นี่เรียกว่าเทนเซอร์ความเครียด-พลังงานแบบแคนอนิก โดยทั่วไปแล้ว เทนเซอร์นี้จะไม่สมมาตร และหากเรามีทฤษฎีเกจบางอย่าง มันอาจจะไม่คงสภาพเกจไว้ได้เนื่องจากการแปลงเกจ ที่ขึ้นอยู่กับพื้นที่ ไม่สอดคล้องกับการเลื่อนในอวกาศ

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปการแปลจะเกิดขึ้นโดยสัมพันธ์กับระบบพิกัด และด้วยเหตุนี้จึงไม่เกิดการแปลงแบบโคแวเรียนต์ โปรดดูส่วนด้านล่างเกี่ยวกับเทนเซอร์เทียมของความเครียด-พลังงานโน้มถ่วง

ในกรณีที่มีสปินหรือโมเมนตัมเชิงมุมภายในอื่นๆ เทนเซอร์พลังงาน-ความเครียดแบบแคนอนิกของโนอีเธอร์จะไม่สมมาตร เทนเซอร์พลังงาน-ความเครียดของเบลินฟองเต-โรเซนเฟลด์ถูกสร้างขึ้นจากเทนเซอร์พลังงาน-ความเครียดแบบแคนอนิกและกระแสสปินในลักษณะที่สมมาตรและยังคงอนุรักษ์ไว้ได้ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป เทนเซอร์ที่ปรับปรุงแล้วนี้สอดคล้องกับเทนเซอร์พลังงาน-ความเครียดของฮิลเบิร์ต

เนื่องจากตามหลักการสมมูลพลังงานความเค้นโน้มถ่วงจะหายไปเสมอในระดับท้องถิ่น ณ จุดใด ๆ ที่เลือกไว้ในกรอบอ้างอิงที่เลือกไว้ ดังนั้นพลังงานความเค้นโน้มถ่วงจึงไม่สามารถแสดงออกมาในรูปของเทนเซอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ได้ แต่เราต้องใช้พ севдотеротеро แทน

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป มีนิยามที่แตกต่างกันหลายแบบสำหรับเทนเซอร์เทียมของความเค้น-พลังงาน-โมเมนตัม ซึ่งรวมถึงเทนเซอร์เทียมของไอน์สไตน์และเทนเซอร์เทียมของแลนเดา-ลิฟชิตซ์ เทนเซอร์เทียมของแลนเดา-ลิฟชิตซ์สามารถลดให้เป็นศูนย์ได้ที่เหตุการณ์ใดๆ ในปริภูมิเวลาโดยการเลือกใช้ระบบพิกัดที่เหมาะสม

• Wyss, Walter (14 กรกฎาคม 2548). "เทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมในทฤษฎีสนามคลาสสิก" (PDF) . วารสารฟิสิกส์สากลและการประยุกต์ใช้ . แนวคิด เก่าและใหม่ของฟิสิกส์[ชื่อวารสารเดิม] . II ( 3– 4): 295– 310. ISSN  2331-6543 . ... ทฤษฎีสนามคลาสสิก และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในบทบาทที่เทอมไดเวอร์เจนซ์มีในลากรางจ์ ...

• การบรรยายโดย สเตฟาน วาเนอร์