การชนแบบยืดหยุ่นคือการชนที่ไม่มีพลังงานจลน์ถูกเปลี่ยนเป็นความร้อนหรือพลังงานรูปแบบอื่น การชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อวัตถุไม่สัมผัสกัน เช่น ในการกระเจิงของอะตอมหรือนิวเคลียร์ที่แรงผลักทางไฟฟ้าทำให้วัตถุอยู่ห่างกันการเคลื่อนที่แบบสลิงช็อตของดาวเทียมรอบดาวเคราะห์ก็สามารถมองได้ว่าเป็นการชนแบบยืดหยุ่นสมบูรณ์ การชนกันระหว่างลูกบิลเลียดสองลูกเป็นตัวอย่างที่ดีของ การชนแบบยืดหยุ่น เกือบสมบูรณ์ เนื่องจากความแข็งแกร่ง สูงของลูกบิลเลียด แต่เมื่อวัตถุสัมผัสกันก็จะมีการสูญเสียพลังงานอยู่ บ้างเสมอ ^{[ 9 ]}

การชนแบบตรงหน้าอย่างยืดหยุ่นระหว่างวัตถุสองชิ้นสามารถแสดงได้ด้วยความเร็วในมิติเดียวตามแนวเส้นตรงที่ผ่านวัตถุทั้งสอง ถ้าความเร็วเป็นv และv ก่อนการชน และv และv หลังการชน สมการที่แสดงถึงการอนุรักษ์โมเมนตัมและพลังงานจลน์คือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}\,.\end{aligned}}}$$

การเปลี่ยนกรอบอ้างอิงสามารถทำให้การวิเคราะห์การชนง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีวัตถุสองชิ้นที่มีมวลเท่ากันm ชิ้นหนึ่งอยู่นิ่งและอีกชิ้นหนึ่งกำลังเข้าใกล้อีกชิ้นหนึ่งด้วยความเร็วv (ดังในรูป) จุดศูนย์กลางมวลกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว⁠v / 2⁠และวัตถุทั้งสองกำลังเคลื่อนที่เข้าหาจุดศูนย์กลางมวลด้วยความเร็ว⁠v/ 2⁠ เนื่องจากสมมาตร หลังจากชนกันแล้ว วัตถุ ทั้ง สองจะต้องเคลื่อนที่ออกห่างจากจุดศูนย์กลางมวลด้วยความเร็วเท่ากัน เมื่อบวกความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลเข้ากับทั้งสอง เราจะพบว่าวัตถุที่เคยเคลื่อนที่นั้นหยุดนิ่งแล้ว และอีกชิ้นหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ออกห่างด้วยความเร็วvวัตถุทั้งสองได้แลกเปลี่ยนความเร็วกันแล้ว ไม่ว่าความเร็วของวัตถุจะเป็นเท่าใด การเปลี่ยนไปใช้กรอบอ้างอิงของจุดศูนย์กลางมวลจะนำเราไปสู่ข้อสรุปเดียวกัน ดังนั้น ความเร็วสุดท้ายจึงกำหนดโดย^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

โดยทั่วไป เมื่อทราบความเร็วเริ่มต้นแล้ว ความเร็วสุดท้ายจะกำหนดโดย^{[ 10 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=\left({\frac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}+\left({\frac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}\\v_{B2}&=\left({\frac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{B1}+\left({\frac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}\right)v_{A1}\,.\end{aligned}}}$$

หากวัตถุหนึ่งมีมวลมากกว่าอีกวัตถุหนึ่งมาก ความเร็วของวัตถุนั้นจะเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยจากการชน ในขณะที่ความเร็วของวัตถุอีกวัตถุหนึ่งจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างมาก

ในการชนแบบไม่ยืดหยุ่น พลังงานจลน์บางส่วนของวัตถุที่ชนกันจะถูกแปลงเป็นพลังงานรูปแบบอื่น (เช่น^{ความร้อนหรือเสียง) ตัวอย่างเช่น การชนกันของยานพาหนะ [} 11 ] ซึ่งผลของการ^{สูญเสีย}พลังงานจลน์สามารถเห็นได้จากความเสียหายของยานพาหนะ อิเล็กตรอนสูญเสียพลังงานบางส่วนให้กับอะตอม (เช่นในการทดลอง Franck–Hertz ) ^{[ 12 ]}และเครื่องเร่งอนุภาคซึ่งพลังงานจลน์ถูกแปลงเป็นมวลในรูปของอนุภาคใหม่

ในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ (เช่น แมลงชนกระจกรถ) วัตถุทั้งสองจะมีทิศทางการเคลื่อนที่เหมือนเดิมหลังจากนั้น การชนแบบไม่ยืดหยุ่นตรงหน้าของวัตถุสองชิ้นสามารถแสดงได้ด้วยความเร็วในมิติเดียว ตามแนวเส้นตรงที่ลากผ่านวัตถุทั้งสอง ถ้าความเร็วก่อนการชนคือv และv แล้วในการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ วัตถุทั้งสองจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วv หลังจากชนกัน สมการที่แสดงถึงการอนุรักษ์โมเมนตัมคือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}&=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,.\end{aligned}}}$$

หากวัตถุหนึ่งอยู่นิ่งตั้งแต่แรก (เช่น${\displaystyle v_{B1}=0}$) สมการสำหรับการอนุรักษ์โมเมนตัมคือ

$${\displaystyle m_{A}v_{A1}=\left(m_{A}+m_{B}\right)v_{2}\,,}$$

ดังนั้น

$${\displaystyle v_{2}={\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}\,.}$$

ในสถานการณ์ที่แตกต่างออกไป หากกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสุดท้ายดังนี้${\displaystyle v_{2}=0}$วัตถุจะหยุดนิ่งด้วยการชนแบบไม่ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์ และพลังงานจลน์ทั้งหมด 100% จะถูกแปลงเป็นพลังงานรูปแบบอื่น ในกรณีนี้ ความเร็วเริ่มต้นของวัตถุจะต้องไม่เป็นศูนย์ หรือวัตถุจะต้องไม่มีมวล

การวัดความไม่ยืดหยุ่นของการชนอย่างหนึ่งคือสัมประสิทธิ์การคืนตัวC ซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของความเร็วสัมพัทธ์ของการแยกตัวต่อความเร็วสัมพัทธ์ของการเข้าใกล้ ในการนำการวัดนี้ไปใช้กับลูกบอลที่กระดอนจากพื้นผิวแข็ง สามารถวัดได้ง่ายโดยใช้สูตรต่อไปนี้: ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.}$$

สมการโมเมนตัมและพลังงานยังใช้ได้กับการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เริ่มต้นพร้อมกันแล้วแยกออกจากกัน ตัวอย่างเช่นการระเบิดเป็นผลมาจากปฏิกิริยาลูกโซ่ที่เปลี่ยนพลังงานศักยภาพที่เก็บไว้ในรูปเคมี กลไก หรือนิวเคลียร์ให้กลายเป็นพลังงานจลน์ พลังงานเสียง และรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าจรวดยังใช้หลักการอนุรักษ์โมเมนตัมด้วย กล่าวคือ เชื้อเพลิงถูกผลักออกไปด้านนอก ทำให้ได้รับโมเมนตัม และโมเมนตัมที่เท่ากันและตรงข้ามกันจะถูกส่งไปยังจรวด^{[ 14 ]}

ในสาขาต่างๆ เช่นพลศาสตร์ของไหลและกลศาสตร์ของแข็งการติดตามการเคลื่อนที่ของอะตอมหรือโมเลกุลแต่ละตัวนั้นเป็นไปไม่ได้ จึงต้องประมาณวัสดุโดยใช้ตัวกลางต่อเนื่องโดยที่ในแต่ละจุดจะมีอนุภาคหรืออนุภาคของไหลซึ่งมีคุณสมบัติเฉลี่ยของอะตอมในบริเวณเล็กๆ ใกล้เคียง โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะมีค่าความหนาแน่นρและความเร็วvที่ขึ้นอยู่กับเวลาtและตำแหน่ง^rโมเมนตัมต่อหน่วยปริมาตรคือρv ^[ 31 ^]

พิจารณาคอลัมน์น้ำที่อยู่ในสภาวะสมดุลอุทกสถิตแรงทั้งหมดที่กระทำต่อน้ำอยู่ในสมดุลและน้ำอยู่นิ่ง บนหยดน้ำใดๆ ก็ตามจะมีแรงสองแรงที่สมดุลกัน แรงแรกคือแรงโน้มถ่วง ซึ่งกระทำโดยตรงต่ออะตอมและโมเลกุลแต่ละตัวภายใน แรงโน้มถ่วงต่อหน่วยปริมาตรคือρg โดยที่ g คือความเร่งโน้มถ่วงแรงที่สองคือผลรวมของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อพื้นผิวโดยน้ำโดยรอบ แรงจากด้านล่างมากกว่าแรงจากด้านบนในปริมาณที่เพียงพอที่จะสมดุลกับแรงโน้มถ่วง แรงปกติต่อหน่วยพื้นที่คือความดันpแรงเฉลี่ยต่อหน่วยปริมาตรภายในหยดน้ำคือความชันของความดัน ดังนั้นสมการสมดุลของแรงคือ^{[ 32 ]}

$${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.}$$

หากแรงไม่สมดุล หยดน้ำจะเร่งความเร็ว การเร่งความเร็วนี้ไม่ใช่เพียงอนุพันธ์ย่อย⁠ ∂ v / ∂ t ⁠เนื่องจากของเหลวในปริมาตรที่กำหนดเปลี่ยนแปลงตามเวลา แต่จำเป็นต้องใช้อนุพันธ์เชิงวัสดุ แทน: ^{[ 33 ]}

$${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.}$$

เมื่อนำไปใช้กับปริมาณทางกายภาพใดๆ อนุพันธ์เชิงวัสดุจะรวมถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง และการเปลี่ยนแปลงอันเนื่องมาจากการพาความร้อนขณะที่ของเหลวเคลื่อนที่ผ่านจุดนั้น ต่อหน่วยปริมาตร อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมจะเท่ากับρ ⁠ D v / D t ⁠ซึ่งเท่ากับแรงสุทธิที่กระทำต่อหยดน้ำ

แรงที่สามารถเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของหยดน้ำ ได้แก่ ความแตกต่างของความดันและแรงโน้มถ่วง ดังที่กล่าวมาแล้วข้างต้น นอกจากนี้ แรงที่พื้นผิวยังสามารถทำให้หยดน้ำเสียรูปได้ ในกรณีที่ง่ายที่สุดแรงเฉือนτที่เกิดจากแรงขนานกับพื้นผิวของหยดน้ำ จะเป็นสัดส่วนกับอัตราการเสียรูปหรืออัตราความเครียด แรงเฉือนดังกล่าวเกิดขึ้นหากของเหลวมีความแตกต่างของความเร็ว เนื่องจากของเหลวเคลื่อนที่เร็วกว่าในด้านหนึ่งมากกว่าอีกด้านหนึ่ง หากความเร็วใน ทิศทาง xแปรผันตามzแรงสัมผัสในทิศทางxต่อหน่วยพื้นที่ตั้งฉากกับ ทิศทาง zคือ

$${\displaystyle \sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,}$$

โดยที่μคือความหนืดนอกจากนี้ยังเป็นฟลักซ์หรือการไหลต่อหน่วยพื้นที่ของ โมเมนตัม xผ่านพื้นผิว^{[ 34 ]}

เมื่อรวมผลกระทบของความหนืดแล้ว สมการสมดุลโมเมนตัมสำหรับการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ของของไหลแบบนิวตันมีดังนี้

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,}$$

สมการเหล่านี้เรียกว่าสมการนาเวียร์-สโตกส์^{[ 35 ]}

สมการสมดุลโมเมนตัมสามารถขยายไปใช้กับวัสดุทั่วไปได้มากขึ้น รวมถึงของแข็ง สำหรับแต่ละพื้นผิวที่มีเวกเตอร์ตั้งฉากในทิศทางiและแรงในทิศทางjจะมีส่วนประกอบของความเค้นσ ส่วนประกอบทั้งเก้าประกอบกันเป็นเทนเซอร์ความเค้นของโคชีσซึ่งรวมถึงทั้งความดันและแรงเฉือน การอนุรักษ์โมเมนตัมในระดับท้องถิ่นแสดงโดยสมการโมเมนตัมของโคชี :

$${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,}$$

โดยที่fคือแรงภายนอก^{[ 36 ]}

สมการโมเมนตัมของโคชีสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้อย่างกว้างขวางกับการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของของแข็งและของเหลว ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและอัตราการเปลี่ยนแปลงรูปร่างขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของวัสดุ (ดูประเภทของความหนืด )

การรบกวนในตัวกลางก่อให้เกิดการสั่นหรือคลื่นซึ่งแพร่กระจายออกไปจากแหล่งกำเนิด ในของเหลว การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของความดันpมักสามารถอธิบายได้ด้วยสมการคลื่นเสียง :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,}$$

โดยที่cคือความเร็วเสียงในของแข็ง สมการที่คล้ายกันสามารถหาได้สำหรับการแพร่กระจายของความดัน ( คลื่น P ) และแรงเฉือน ( คลื่น S ) ^{[ 37 ]}

ฟลักซ์ หรือการ ขนส่งต่อหน่วยพื้นที่ขององค์ประกอบโมเมนตัมρ v โดยความเร็วv เท่ากับρ v v ในการประมาณเชิงเส้นที่นำไปสู่สมการอะคูสติกข้างต้น ค่าเฉลี่ยของฟลักซ์นี้ในช่วงเวลาหนึ่งจะเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ผลกระทบที่ไม่เป็นเชิงเส้นสามารถทำให้เกิดค่าเฉลี่ยที่ไม่เป็นศูนย์ได้^{[ 38 ]}เป็นไปได้ที่ฟลักซ์โมเมนตัมจะเกิดขึ้นแม้ว่าคลื่นเองจะไม่มีโมเมนตัมเฉลี่ยก็ตาม^{[ 39 ]}

ในสมการของแม็กซ์เวลล์แรงระหว่างอนุภาคจะถูกส่งผ่านโดยสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก แรงแม่เหล็กไฟฟ้า ( แรงลอเรนซ์ ) ที่กระทำต่ออนุภาคที่มีประจุq อัน เนื่องมาจากการรวมกันของสนามไฟฟ้าEและสนามแม่เหล็กBคือ

$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).}$$

(ในหน่วย SI ) ^{[ 40 ] : 2} มีศักย์ไฟฟ้าφ ( r , t )และศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กA ( r , t ) ^{[ 22 ]} ในระบอบที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ โมเมนตัมทั่วไปของมันคือ

$${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,}$$

ในขณะที่ในกลศาสตร์สัมพัทธภาพ สิ่งนี้จะกลายเป็น

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .}$$

ปริมาณV = q Aบางครั้งเรียกว่าโมเมนตัมศักย์^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}มันคือโมเมนตัมอันเนื่องมาจากปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ชื่อนี้เป็นการเปรียบเทียบกับพลังงานศักย์U = q φซึ่งเป็นพลังงานอันเนื่องมาจากปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ปริมาณเหล่านี้ประกอบกันเป็นเวกเตอร์สี่มิติ ดังนั้นการเปรียบเทียบจึงสอดคล้องกัน นอกจากนี้ แนวคิดของโมเมนตัมศักย์ยังมีความสำคัญในการอธิบายสิ่งที่เรียกว่าโมเมนตัมที่ซ่อนอยู่ของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า^{[ 44 ]}

ในกลศาสตร์นิวตัน กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถอนุมานได้จากกฎการกระทำและปฏิกิริยาซึ่งระบุว่าแรงทุกแรงจะมีแรงกระทำที่เท่ากันและตรงข้ามกัน ในบางสถานการณ์ อนุภาคที่มีประจุเคลื่อนที่สามารถออกแรงกระทำต่อกันในทิศทางที่ไม่ตรงข้ามกันได้^{[ 45 ]}อย่างไรก็ตาม โมเมนตัมรวมของอนุภาคและสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจะถูกอนุรักษ์ไว้

ฟิสิกส์แบบนิวตันถือว่าเวลาและอวกาศสัมบูรณ์มีอยู่ภายนอกผู้สังเกตการณ์ใดๆ ซึ่งทำให้เกิดความไม่แปรเปลี่ยนแบบกาลิเลียน นอกจากนี้ ยังส่งผลให้มีการทำนายว่าความเร็วของแสงสามารถเปลี่ยนแปลงได้จากกรอบอ้างอิงหนึ่งไปยังอีกกรอบอ้างอิงหนึ่ง ซึ่งขัดแย้งกับสิ่งที่สังเกตได้ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไอน์สไตน์ยังคงใช้สมมติฐานว่าสมการการเคลื่อนที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิง แต่ถือว่าความเร็วของแสงcไม่แปรเปลี่ยน ส่งผลให้ตำแหน่งและเวลาในสองกรอบอ้างอิงมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงลอเรนซ์แทนที่จะเป็นการแปลงกาลิเลียน^{[ 51 ]}

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาเฟรมอ้างอิงหนึ่งที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับอีกเฟรมหนึ่งด้วยความเร็วvใน ทิศทาง xการแปลงแบบกาลิเลียนจะให้พิกัดของเฟรมที่เคลื่อนที่ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}}$$

ในขณะที่การแปลงลอเรนซ์ให้^{[ 52 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}}$$

โดยที่γคือตัวประกอบลอเรนซ์ :

$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$$

กฎข้อที่สองของนิวตัน เมื่อมวลคงที่ จะไม่คงที่ภายใต้การแปลงลอเรนซ์ อย่างไรก็ตาม สามารถทำให้คงที่ได้โดยการทำให้มวลเฉื่อยmของวัตถุเป็นฟังก์ชันของความเร็ว:

$${\displaystyle m=\gamma m_{0}\,;}$$

m คือ มวลคงที่^ของวัตถุ[ ^{53 ]}

โมเมนตัมที่ปรับเปลี่ยนแล้ว

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,}$$

เป็นไปตามกฎข้อที่สองของนิวตัน:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$

ในขอบเขตของกลศาสตร์คลาสสิก โมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพจะใกล้เคียงกับโมเมนตัมแบบนิวตันมาก กล่าวคือ ที่ความเร็วต่ำγ m vจะมีค่าประมาณเท่ากับm vซึ่งเป็นนิพจน์โมเมนตัมแบบนิวตัน

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ปริมาณทางกายภาพจะถูกแสดงในรูปของเวกเตอร์สี่มิติซึ่งรวมถึงเวลาเป็นพิกัดที่สี่พร้อมกับพิกัดเชิงพื้นที่สามพิกัด เวกเตอร์เหล่านี้โดยทั่วไปจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวใหญ่ เช่นRสำหรับตำแหน่ง การแสดงออกของ โมเมนตัม สี่มิติขึ้นอยู่กับวิธีการแสดงพิกัด เวลาอาจแสดงในหน่วยปกติหรือคูณด้วยความเร็วแสงเพื่อให้ส่วนประกอบทั้งหมดของเวกเตอร์สี่มิติมีมิติของความยาว หากใช้การปรับขนาดแบบหลัง ช่วงเวลาที่เหมาะสม τ จะถูกกำหนดโดย^{[ 54 ]}

$${\displaystyle c^{2}{\text{d}}\tau ^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}-{\text{d}}z^{2}\,,}$$

ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ (ในนิพจน์นี้และในส่วนต่อไปนี้จะใช้สัญลักษณ์เมตริก(+ − − −) ผู้เขียนแต่ละคนใช้ข้อกำหนดที่แตกต่างกัน) ในทางคณิตศาสตร์ ความไม่เปลี่ยนแปลงนี้สามารถรับประกันได้สองวิธี: โดยการปฏิบัติต่อเวกเตอร์สี่มิติเป็น เวกเตอร์ยุคลิดและคูณเวลาด้วย√ −1หรือโดยการทำให้เวลาเป็นปริมาณจริงและฝังเวกเตอร์ในปริภูมิMinkowski ^{[ 55 ]}ในปริภูมิ Minkowski ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สี่มิติสองตัวU = ( U , U , U , U )และV = ( V , V , V , V )ถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.}$$

ในระบบพิกัดทั้งหมด ความเร็วสี่มิติเชิงสัมพัทธภาพ ( แบบผกผัน ) ถูกกำหนดโดย

$${\displaystyle \mathbf {U} \equiv {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}\tau }}=\gamma {\frac {{\text{d}}\mathbf {R} }{{\text{d}}t}}\,,}$$

และ โมเมนตัมสี่มิติ (คอนทราเวเรียนต์) คือ

$${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,}$$

โดยที่m คือมวลไม่แปรเปลี่ยน ถ้าR = ( c t , x , y , z ) (ในปริภูมิ Minkowski) แล้ว

$${\displaystyle \mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.}$$

โดยใช้ สมดุลระหว่างมวลและพลังงานของไอน์สไตน์E = m c 2 สามารถ^{เขียน}ใหม่ได้ดังนี้

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.}$$

ดังนั้น การอนุรักษ์โมเมนตัมสี่มิติจึงคงรูปภายใต้การแปลงลอเรนซ์ และหมายถึงการอนุรักษ์ทั้งมวลและพลังงานด้วย

ขนาดของเวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติเท่ากับm c :

$${\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,}$$

และคงที่ในทุกกรอบอ้างอิง

ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพยังคงใช้ได้แม้กระทั่งกับอนุภาคไร้มวล เช่น โฟตอน โดยการกำหนดให้m = 0จะได้ว่า

$${\displaystyle E=pc\,.}$$

ในเกม "บิลเลียด" แบบสัมพัทธภาพ หากอนุภาคที่อยู่กับที่ถูกอนุภาคที่เคลื่อนที่ชนในการชนแบบยืดหยุ่น เส้นทางที่ทั้งสองสร้างขึ้นหลังจากนั้นจะทำมุมแหลม ซึ่งแตกต่างจากกรณีที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพที่พวกมันเคลื่อนที่ในมุมฉาก^{[ 56 ]}

โมเมนตัมสี่มิติของคลื่นระนาบสามารถเชื่อมโยงกับเวกเตอร์สี่มิติของคลื่นได้^{[ 57 ]}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$$

สำหรับอนุภาค ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบเชิงเวลาE = ħ ωคือความสัมพันธ์ของพลังค์-ไอน์สไตน์และความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบเชิงพื้นที่p = ħ kอธิบายถึงคลื่นสสารเดอ บรอย ล์

ในราวปี ค.ศ. 530 จอห์น ฟิโลโพนัสได้พัฒนาแนวคิดเรื่องโมเมนตัมในหนังสือ On Physicsซึ่งเป็นคำอธิบายประกอบหนังสือ Physicsของอริสโตเติลอริสโตเติลอ้างว่าทุกสิ่งที่เคลื่อนที่ต้องมีสิ่งใดสิ่งหนึ่งคอยผลักดันให้เคลื่อนที่ต่อไป ตัวอย่างเช่น ลูกบอลที่ถูกขว้างต้องเคลื่อนที่ต่อไปด้วยการเคลื่อนที่ของอากาศ ฟิโลโพนัสชี้ให้เห็นถึงความไร้สาระในคำกล่าวอ้างของอริสโตเติลที่ว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุได้รับการส่งเสริมโดยอากาศเดียวกันกับที่ต้านทานการเคลื่อนที่ของมัน เขาเสนอว่าแรงผลักดันถูกส่งต่อให้กับวัตถุในขณะที่ขว้างมัน^{[ 58 ]}

ในปี ค.ศ. 1020 อิบนุ ซีนา (หรือที่รู้จักกันใน ชื่อ ภาษาละตินว่าอวิเซนนา) ได้อ่านงานของฟิโลโปนัสและตีพิมพ์ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของตนเองในหนังสือ The Book of Healingเขาเห็นด้วยว่าแรงผลักดันนั้นเกิดขึ้นกับวัตถุที่ถูกขว้างโดยผู้ขว้าง แต่ต่างจากฟิโลโปนัสที่เชื่อว่ามันเป็นคุณสมบัติชั่วคราวที่จะลดลงแม้ในสุญญากาศ เขาเห็นว่ามันเป็นคุณสมบัติที่คงอยู่และต้องการแรงภายนอก เช่นแรงต้านอากาศเพื่อทำให้มันสลายไป^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ]}

ในศตวรรษที่ 13 และ 14 ปีเตอร์ โอลิวีและฌอง บูริแดนได้อ่านและปรับปรุงงานของฟิโลโพนัส และอาจรวมถึงงานของอิบนุ ซินาด้วย^{[ 61 ]}บูริแดน ซึ่งในราวปี ค.ศ. 1350 ได้รับแต่งตั้งเป็นอธิการบดีของมหาวิทยาลัยปารีส ได้กล่าวถึงแรงส่งที่แปรผันตรงกับน้ำหนักคูณด้วยความเร็ว ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีของบูริแดนแตกต่างจากของบรรพบุรุษของเขาตรงที่เขาไม่ถือว่าแรงส่งจะสลายไปเอง โดยยืนยันว่าวัตถุจะถูกหยุดโดยแรงต้านอากาศและแรงโน้มถ่วงซึ่งอาจต้านแรงส่งของมัน^{[ 62 ] [ 63 ]}

ในหนังสือหลักการปรัชญา ( Principia Philosophiae ) จากปี 1644 นักปรัชญาชาวฝรั่งเศสเรเน่ เดส์การ์ตได้นิยาม "ปริมาณการเคลื่อนที่" ( ภาษาละติน : quantitas motus ) ว่าเป็นผลคูณของขนาดและความเร็ว^{[ 64 ]}และอ้างว่าปริมาณการเคลื่อนที่ทั้งหมดในจักรวาลนั้นคงที่^{[ 64 ] [ 65 ]}

ถ้า x มีขนาดเป็นสองเท่าของ y และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วครึ่งหนึ่งของ y แล้ว ปริมาณการเคลื่อนที่ในแต่ละวัตถุจะเท่ากัน

[พระเจ้า] ทรงสร้างสสารพร้อมกับการเคลื่อนที่ของมัน... เพียงแค่ปล่อยให้สิ่งต่างๆ ดำเนินไปตามธรรมชาติ พระองค์ก็ทรงรักษาระดับการเคลื่อนที่เท่าเดิม... เหมือนที่พระองค์ทรงสร้างไว้ตั้งแต่แรก

ไม่ควรตีความข้อความนี้ว่าเป็นคำแถลงของกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม สมัยใหม่ เนื่องจากเดส์การ์ตไม่มีแนวคิดเรื่องมวลที่แตกต่างจากน้ำหนักและขนาด (แนวคิดเรื่องมวลที่แตกต่างจากน้ำหนักนั้นถูกนำเสนอโดยนิวตันในปี ค.ศ. 1686) ^{[ 66 ]}ที่สำคัญกว่านั้น เขาเชื่อว่าความเร็วต่างหากที่ได้รับการอนุรักษ์ ไม่ใช่อัตราเร็ว ดังนั้นสำหรับเดส์การ์ต หากวัตถุที่เคลื่อนที่กระเด้งออกจากพื้นผิว เปลี่ยนทิศทางแต่ไม่เปลี่ยนความเร็ว ปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุนั้นจะไม่มีการเปลี่ยนแปลง^{[ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]}กาลิเลโอในหนังสือวิทยาศาสตร์ใหม่สองเล่ม ของเขา (ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1638) ใช้คำภาษาอิตาลี ว่า impetoเพื่ออธิบายปริมาณการเคลื่อนที่ของเดส์การ์ตในทำนองเดียวกัน

ในช่วงทศวรรษ 1600 คริสเตียน ฮุยเกนส์สรุปได้ค่อนข้างเร็วว่ากฎของเดส์การ์ตสำหรับการชนแบบยืดหยุ่นของวัตถุสองชิ้นนั้นต้องผิด และเขาก็ได้กำหนดกฎที่ถูกต้องขึ้นมา^{[ 70 ]}ขั้นตอนสำคัญคือการที่เขายอมรับความไม่แปรเปลี่ยนแบบกาลิเลียนของปัญหา^{[ 71 ]}มุมมองของเขาใช้เวลาหลายปีกว่าจะเผยแพร่ออกไป เขาได้ส่งต่อมุมมองเหล่านั้นด้วยตนเองให้กับวิลเลียม บราวน์เคอร์และคริสโตเฟอร์ เรนในลอนดอนในปี 1661 ^{[ 72 ]}สิ่งที่สปิโนซาเขียนถึงเฮนรี โอลเดนเบิร์กเกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1666 ระหว่างสงครามแองโกล-ดัตช์ครั้งที่สองนั้นถูกเก็บรักษาไว้เป็นความลับ^{[ 73 ]}ฮุยเกนส์ได้ทำงานเกี่ยวกับเรื่องนี้ในต้นฉบับDe motu corporum ex percussioneในช่วงปี 1652–1656 สงครามสิ้นสุดลงในปี 1667 และฮุยเกนส์ประกาศผลการวิจัยของเขาต่อราชสมาคมในปี 1668 เขาได้ตีพิมพ์ผลการวิจัยดังกล่าวในวารสาร Journal des sçavansในปี 1669 ^{[ 74 ]}

ในปี ค.ศ. 1670 จอห์น วอลลิสในMechanica sive De Motu, Tractatus Geometricusได้กล่าวถึงกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมว่า "สถานะเริ่มต้นของวัตถุ ไม่ว่าจะเป็นการหยุดนิ่งหรือการเคลื่อนที่ จะคงอยู่" และ "ถ้าแรงมากกว่าแรงต้าน การเคลื่อนที่ก็จะเกิดขึ้น" ^{[ 75 ]}วอลลิสใช้โมเมนตัมแทนปริมาณของการเคลื่อนที่ และvisแทนแรง

ในปี ค.ศ. 1686 ก็อตฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซในบทความเรื่องอภิปรัชญาได้โต้แย้งกับการสร้างหลักการอนุรักษ์ "ปริมาณการเคลื่อนที่" ของเดส์การ์ต โดยใช้ตัวอย่างการปล่อยบล็อกที่มีขนาดต่างกันและระยะทางต่างกัน เขาชี้ให้เห็นว่าแรงยังคงอนุรักษ์อยู่ แต่ปริมาณการเคลื่อนที่ ซึ่งตีความว่าเป็นผลคูณของขนาดและความเร็วของวัตถุนั้น ไม่ได้รับการอนุรักษ์^{[ 76 ]}

ในปี ค.ศ. 1687 ไอแซค นิวตันในหนังสือ Philosophiæ Naturalis Principia Mathematicaเช่นเดียวกับวอลลิส ได้แสดงให้เห็นถึงการค้นหาคำที่คล้ายคลึงกันเพื่อใช้อธิบายโมเมนตัมทางคณิตศาสตร์ คำนิยามที่ 2 ของเขาได้นิยามquantitas motusซึ่งหมายถึง "ปริมาณของการเคลื่อนที่" ว่า "เกิดจากความเร็วและปริมาณของสสารร่วมกัน" ซึ่งระบุว่าเป็นโมเมนตัม^{[ 77 ]}ดังนั้นเมื่อเขากล่าวถึงmutatio motusซึ่งหมายถึง "การเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่" ในกฎข้อที่ 2 ว่าเป็นสัดส่วนกับแรงที่กระทำ โดยทั่วไปแล้วเขามักจะหมายถึงโมเมนตัม ไม่ใช่การเคลื่อนที่^{[ 78 ]}

ในปี ค.ศ. 1721 จอห์น เจนนิงส์ได้ตีพิมพ์Miscellaneaซึ่งเป็นที่ยืนยันถึงโมเมนตัมในความหมายทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ห้าปีก่อนที่นิวตันจะตีพิมพ์Principia Mathematicaฉบับ สมบูรณ์ โมเมนตัมMหรือ "ปริมาณการเคลื่อนที่" ถูกกำหนดให้กับนักเรียนว่าเป็น "สี่เหลี่ยมผืนผ้า" ซึ่งเป็นผลคูณของQและVโดยที่Q คือ " ^{ปริมาณ ของวัสดุ "}และVคือ "ความเร็ว" s / t [ 79 ^]

ในปี ค.ศ. 1728 สารานุกรมระบุว่า:

โมเมนตัมแรงขับหรือปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆ คือผลคูณของความเร็ว (หรือระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ในช่วงเวลาที่กำหนด ดูการเคลื่อนที่ ) กับมวลของวัตถุนั้น