ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ใน ทฤษฎีกลุ่มดัชนีของกลุ่มย่อยHในกลุ่มGคือจำนวนโคเซต ซ้าย ของHในGหรือเทียบเท่ากับจำนวนโคเซตขวาของHในGดัชนีนี้ใช้สัญลักษณ์หรือหรือเนื่องจากGคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของโคเซตซ้าย และเนื่องจากโคเซตซ้ายแต่ละอันมีขนาดเท่ากับHดัชนีจึงมีความสัมพันธ์กับอันดับของทั้งสองกลุ่มโดยสูตร = ${\displaystyle |G:H|}$${\displaystyle [G:H]}$${\displaystyle (G:H)}$

${\displaystyle |G|=|G:H||H|}$

(ตีความปริมาณเหล่านั้นเป็นจำนวน เชิงคาร์ดินัลหากบางปริมาณเป็นอนันต์) ดังนั้น ดัชนีจึงวัด "ขนาดสัมพัทธ์" ของGและH${\displaystyle |G:H|}$

ตัวอย่างเช่น ให้เป็นกลุ่มของจำนวนเต็มภายใต้การบวกและให้เป็นกลุ่มย่อยที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มคู่แล้ว จะ มีโคเซต 2 โคเซตในคือ เซตของจำนวนเต็มคู่ และเซตของจำนวนเต็มคี่ ดังนั้นดัชนีคือ 2 โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเต็มบวก nใดๆ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |}$${\displaystyle |\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n}$

เมื่อGเป็นเซตจำกัดสูตรอาจเขียนได้เป็นและนั่นหมายความว่า ทฤษฎีบทของลากรองจ์จะหาร ลงตัว${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$${\displaystyle |H|}$${\displaystyle |G|}$

เมื่อGเป็นอนันต์จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอาจเป็นจำนวนจำกัดหรืออนันต์ก็ได้ ตัวอย่างเช่นแต่เป็นอนันต์ ${\displaystyle |G:H|}$${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2}$${\displaystyle |\mathbb {R} :\mathbb {Z} |}$

ถ้าNเป็นกลุ่มย่อยปกติของGแล้วจะเท่ากับอันดับของ กลุ่ม ผล หารเนื่องจากเซตพื้นฐานของคือเซตของโคเซตของNในG${\displaystyle |G:N|}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G/N}$

• ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGและKเป็นกลุ่มย่อยของHแล้ว

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}$

• ถ้าHและKเป็นกลุ่มย่อยของGแล้ว

${\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}$

โดยมีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อ. (ถ้ามีค่าจำกัด ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ.)${\displaystyle HK=G}$${\displaystyle |G:H\cap K|}$${\displaystyle HK=G}$

• ในทำนองเดียวกัน ถ้าHและKเป็นกลุ่มย่อยของGแล้ว

${\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}$

โดยมีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อ. (ถ้ามีค่าจำกัด ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ.)${\displaystyle HK=G}$${\displaystyle |H:H\cap K|}$${\displaystyle HK=G}$

• ถ้าGและHเป็นกลุ่ม และเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแล้วดัชนีของเคอร์เนลของในGจะเท่ากับอันดับของภาพ:${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}$

• ให้Gเป็นกลุ่มที่กระทำต่อเซตXและให้x  ∈  Xแล้วจำนวนสมาชิกของวงโคจรของxภายใต้Gจะเท่ากับดัชนีของตัวรักษาเสถียรภาพของx :

${\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}$

นี่คือสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีการรักษาเสถียรภาพวงโคจร

• ในกรณีพิเศษของทฤษฎีบทการ รักษาเสถียรภาพวงโคจร จำนวนคู่สังยุค ขององค์ประกอบหนึ่งจะเท่ากับดัชนีของตัวกลางของxในG${\displaystyle gxg^{-1}}$${\displaystyle x\in G}$
• ในทำนองเดียวกัน จำนวนคอนจูเกตของกลุ่มย่อยHในGจะเท่ากับดัชนีของนอร์มัลไลเซอร์ของHในG${\displaystyle gHg^{-1}}$
• ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGดัชนีของแกนปกติของHจะเป็นไปตามอสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}$

โดยที่ ! หมายถึง ฟังก์ชัน แฟกทอเรียลซึ่งจะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

• ผลที่ตามมาคือ ถ้าดัชนีของHในGคือ 2 หรือสำหรับกลุ่มจำกัดคือจำนวนเฉพาะp ที่ต่ำที่สุด ที่หารอันดับของG ลงตัว แล้วHจะเป็นกลุ่มปกติ เนื่องจากดัชนีของแกนกลางของ H ต้องเป็นp ด้วย ดังนั้นH จึง เท่ากับแกนกลางของ H นั่นคือ H เป็นกลุ่มปกติ
• โปรดทราบว่ากลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำนวนเฉพาะต่ำที่สุดอาจไม่มีอยู่จริง เช่น ในกลุ่มอย่างง่าย ใดๆ ที่มีอันดับไม่ใช่จำนวนเฉพาะ หรือโดยทั่วไปแล้วในกลุ่มสมบูรณ์ ใดๆ ก็ตาม

• กลุ่มสลับ มีดัชนี 2 ในกลุ่มสมมาตรดังนั้นจึงเป็นกลุ่มปกติ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle S_{n},}$
• กลุ่มออร์โทโกนอลพิเศษ นี้มีดัชนี 2 ในกลุ่มออร์โทโกนอลดังนั้นจึงเป็นกลุ่มปกติ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$
• กลุ่ม อาเบเลียนอิสระ มีกลุ่มย่อยสามกลุ่มที่มีดัชนี 2 ได้แก่${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ เป็นคู่}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ เป็นคู่}}\},\quad {\text{และ}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ เป็นคู่}}\}}$.

• โดยทั่วไปแล้ว ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะแล้วจะมีกลุ่มย่อยที่มีดัชนีpซึ่งสอดคล้องกับโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$${\displaystyle (p^{n}-1)}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$
• ในทำนองเดียวกันกลุ่มอิสระ ก็มี กลุ่มย่อยที่มีดัชนีp${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$
• กลุ่มไดเฮดรัลอนันต์มีกลุ่มย่อยวัฏจักรที่มีดัชนี 2 ซึ่งจำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติ

ถ้าHมีโคเซตจำนวนอนันต์ในGแล้ว ดัชนีของHในGจะเรียกว่าเป็นอนันต์ ในกรณีนี้ ดัชนีจะเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลตัวอย่างเช่น ดัชนีของHในGอาจเป็นจำนวนนับได้หรือจำนวนนับไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าHมีโคเซตจำนวนนับได้ในG หรือไม่ โปรด สังเกตว่าดัชนีของHมีค่ามากที่สุดเป็นอันดับของGซึ่งเกิดขึ้นได้สำหรับกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญ หรือในความเป็นจริง กลุ่มย่อยH ใดๆ ที่มีจำนวนสมาชิกอนันต์น้อยกว่าจำนวนสมาชิกของG${\displaystyle |G:H|}$

กลุ่มย่อยHที่มีดัชนีจำกัดในกลุ่มG (ไม่ว่าจะเป็นกลุ่มจำกัดหรือกลุ่มอนันต์) จะมีกลุ่มย่อยปกติN (ของG ) ที่มีดัชนีจำกัดเช่นกันอยู่เสมอ อันที่จริง ถ้าHมีดัชนีnแล้ว ดัชนีของNจะเป็นตัวหารของn ! และเป็นพหุคูณของnยิ่งไปกว่านั้นNอาจถูกพิจารณาว่าเป็นเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมธรรมชาติจากGไปยังกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของโคเซตซ้าย (หรือขวา) ของHเรามาอธิบายเรื่องนี้โดยละเอียดมากขึ้นโดยใช้โคเซตขวา:

สมาชิกของGที่ทำให้โคเซตทั้งหมดเหมือนกันนั้น ก่อให้เกิดกลุ่มขึ้นมา

ให้เราเรียกกลุ่มนี้ว่าAโปรดสังเกตว่าAเป็นกลุ่มย่อยของHเนื่องจากHa ⊂ HตามนิยามของAให้Bเป็นเซตของสมาชิกในGที่ทำการเรียงสับเปลี่ยนที่กำหนดบนโคเซตของHแล้วBเป็นโคเซตขวาของ A

สิ่งที่เรากล่าวมาข้างต้นใช้ได้ไม่ว่าดัชนีของHจะเป็นจำนวนจำกัดหรืออนันต์ก็ตาม ตอนนี้สมมติว่าดัชนีเป็นจำนวนจำกัดnเนื่องจากจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ของโคเซตมีจำนวนจำกัด นั่นคือn ! ดังนั้นจึงมีเซตที่เหมือนกับB ได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น (ถ้าGเป็นอนันต์ ดังนั้นเซตทั้งหมดดังกล่าวจึงเป็นอนันต์) เซตของเซตเหล่านี้ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมมาตรกับเซตย่อยของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน ดังนั้นจำนวนของเซตเหล่านี้ต้องหารn ! ลงตัว ยิ่งไปกว่านั้น มันต้องเป็นพหุคูณของnเพราะแต่ละโคเซตของHประกอบด้วยจำนวนโคเซตของA เท่ากัน สุดท้าย ถ้าสำหรับc ∈ G บางตัว และa ∈ A บางตัว เรามีca = xcแล้วสำหรับd ∈ G ใดๆ dca = dxcแต่dca = hdcสำหรับh ∈ H บางตัว (ตามนิยามของA ) ดังนั้นhd = dx เนื่องจากเงื่อนไขนี้เป็นจริงสำหรับd ใดๆ ดังนั้นxจะต้องเป็นสมาชิกของ A ดังนั้นca = xcจึงหมายความว่าcac ⁻¹ ∈ Aและด้วยเหตุนี้Aจึงเป็นกลุ่มย่อยปกติ

ดัชนีของกลุ่มย่อยปกติไม่เพียงแต่ต้องเป็นตัวหารของn ! เท่านั้น แต่ยังต้องเป็นไปตามเกณฑ์อื่นๆ ด้วย เนื่องจากกลุ่มย่อยปกติเป็นกลุ่มย่อยของHดัชนีของมันในGจึงต้องเป็นnเท่าของดัชนีภายในHดัชนีของมันในGจะต้องสอดคล้องกับกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตร S _nซึ่งเป็นกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนของ วัตถุ nชิ้น ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าnคือ 5 ดัชนีไม่สามารถเป็น 15 ได้ แม้ว่า 15 จะหาร 5! ลงตัวก็ตาม เพราะไม่มีกลุ่มย่อยที่มีอันดับ 15 ในS ₅

ในกรณีที่n = 2 ผลลัพธ์ที่ได้ค่อนข้างชัดเจนว่ากลุ่มย่อยHที่มีดัชนี 2 เป็นกลุ่มย่อยปกติ เพราะกลุ่มย่อยปกติของHต้องมีดัชนี 2 ในGและดังนั้นจึงเหมือนกับH (เราสามารถได้ข้อเท็จจริงนี้โดยสังเกตว่าสมาชิกทั้งหมดของGที่ไม่ได้อยู่ในHประกอบกันเป็นโคเซตขวาของH และโคเซตซ้ายด้วย ดังนั้นทั้งสองจึงเหมือนกัน) โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มย่อยที่มีดัชนี pโดยที่pเป็นตัวประกอบเฉพาะที่เล็กที่สุดของอันดับของG (ถ้าGเป็นกลุ่มจำกัด) จะต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติ เนื่องจากดัชนีของNหารp ! ลงตัว และดังนั้นต้องเท่ากับp โดย ไม่มีตัวประกอบเฉพาะอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น กลุ่มย่อยZ7 ของกลุ่มไม่สลับที่อันดับ ₂₁เป็นกลุ่มย่อยปกติ (ดูรายชื่อกลุ่มไม่สลับที่ขนาดเล็กและกลุ่มฟรอเบเนียส#ตัวอย่าง )

การพิสูจน์ทางเลือกของผลลัพธ์ที่ว่ากลุ่มย่อยที่มีดัชนีเป็นจำนวนเฉพาะต่ำสุดpเป็นกลุ่มย่อยปกติ และคุณสมบัติอื่นๆ ของกลุ่มย่อยที่มีดัชนีเป็นจำนวนเฉพาะนั้นมีอยู่ใน ( Lam 2004 )

กลุ่มOที่มีสมมาตรไครัลแบบทรง แปดเหลี่ยม มีสมาชิก 24 ตัว มี กลุ่มย่อย ไดเฮดรัล D₄ (อันที่จริงมีสามกลุ่ม) ที่มีอันดับ 8 และมีดัชนี 3 ในOซึ่งเราจะเรียกว่า_H กลุ่ม ไดเฮดรัลนี้มีกลุ่มย่อย _D₂ ที่ มีสมาชิก 4 ตัวซึ่งเราอาจเรียกว่าA การคูณสมาชิกใดๆ ของโคเซตขวาของ Hทางด้านขวาด้วยสมาชิกของAจะได้สมาชิกของโคเซตเดียวกันของH ( Hca = Hc ) A เป็น _{กลุ่ม}ปกติในOมีโคเซตของA หกชุด ซึ่งสอดคล้องกับสมาชิกหกตัวของกลุ่มสมมาตร S₃ สมาชิกทั้งหมดจากโคเซตใดๆ ของAจะทำการเรียงสับเปลี่ยนแบบเดียวกันกับโคเซตของ H

ในทางกลับกัน กลุ่ม T _hที่มีสมมาตรแบบไพริโทเฮดรัลก็มีสมาชิก 24 ตัวและกลุ่มย่อยที่มีดัชนี 3 (ในครั้งนี้เป็น กลุ่ม สมมาตรปริซึม D _2h ดูกลุ่มจุดในสามมิติ ) แต่ในกรณีนี้กลุ่มย่อยทั้งหมดเป็นกลุ่มย่อยปกติ สมาชิกทั้งหมดของโคเซตเฉพาะจะดำเนินการเรียงสับเปลี่ยนแบบเดียวกันของโคเซตเหล่านี้ แต่ในกรณีนี้พวกมันแสดงเฉพาะ กลุ่มสลับ 3 องค์ประกอบ ใน กลุ่มสมมาตร S ₃ที่มีสมาชิก 6 ตัว

กลุ่มย่อยปกติของ ดัชนี กำลังของจำนวนเฉพาะเป็นแกนหลักของแผนที่ทั่วถึงไปยังกลุ่มpและมีโครงสร้างที่น่าสนใจ ดังที่อธิบายไว้ในทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัส: กลุ่มย่อยและขยายความในทฤษฎีบทกลุ่มย่อยโฟกัส

มีกลุ่มย่อยปกติที่สำคัญสามกลุ่มของดัชนีกำลังของจำนวนเฉพาะ โดยแต่ละกลุ่มเป็นกลุ่มย่อยปกติที่เล็กที่สุดในแต่ละชั้น:

• E ^p ( G ) คือจุดตัดของกลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนีp ทั้งหมด ; G / E ^p ( G ) คือกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานและเป็นกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานp ที่ใหญ่ที่สุด ที่Gกระจาย ไปทั่ว
• A ^p ( G ) คือจุดตัดของกลุ่มย่อยปกติทั้งหมดKโดยที่G / Kเป็น กลุ่ม p แบบอาเบเลียน (กล่าวคือKเป็นกลุ่มย่อยปกติแบบดัชนีที่ประกอบด้วยกลุ่มอนุพันธ์): G / A ^p ( G ) คือกลุ่ม p แบบอาเบเลียนที่ใหญ่ที่สุด(ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มพื้นฐาน) ที่Gส่งผ่าน ไปยัง${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle [G,G]}$
• O ^p ( G ) คือจุดตัดของกลุ่มย่อยปกติK ทั้งหมด ของGโดยที่G / K เป็นกลุ่ม p (อาจจะไม่เป็นกลุ่มสลับที่) (กล่าวคือKเป็นกลุ่มย่อยปกติแบบดัชนี): G / O ^p ( G ) คือ กลุ่ม p ที่ใหญ่ที่สุด (ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มสลับที่) ที่Gส่งผ่าน ไปยัง O p ( G ) นอกจากนี้ O ^p ( G ) ยังรู้จักกันในชื่อ${\displaystyle p^{k}}$กลุ่มย่อย p - residual

เนื่องจากเงื่อนไขเหล่านี้อ่อนกว่าสำหรับกลุ่มKจึงทำให้ได้การบรรจุ

${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G)}$

กลุ่มเหล่านี้มีความเชื่อมโยงที่สำคัญกับกลุ่มย่อยของ Sylowและโฮโมมอร์ฟิซึมการถ่ายโอน ดังที่ได้กล่าวไว้ในที่นั้น

ข้อสังเกตพื้นฐานประการหนึ่งคือ เราไม่สามารถมีกลุ่มย่อยที่มีดัชนี 2 ได้เพียง 2 กลุ่มเท่านั้น เนื่องจากส่วนเติมเต็มของผลต่างสมมาตร ของกลุ่มย่อยเหล่านั้น จะให้กลุ่มย่อยที่สาม นี่เป็นผลลัพธ์ที่ง่ายจากข้อโต้แย้งข้างต้น (กล่าวคือ การทำให้โครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์ของกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานเป็นแบบโปรเจคทีฟ)

${\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}}$,

นอกจากนี้Gไม่กระทำการใดๆ กับเรขาคณิตนี้ และไม่สะท้อนโครงสร้างที่ไม่เป็นอาเบเลียนใดๆ (ในทั้งสองกรณี เนื่องจากผลหารเป็นอาเบเลียน)

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นผลลัพธ์พื้นฐาน ซึ่งสามารถมองเห็นได้อย่างเป็นรูปธรรมดังนี้: เซตของกลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนีp ที่กำหนด ให้ก่อให้เกิดปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ นั่นคือ ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ

${\displaystyle \mathbf {P} (\ชื่อผู้ดำเนินการ {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))}$

โดยละเอียดแล้ว ปริภูมิของโฮโมมอร์ฟิซึมจากGไปยังกลุ่ม (วัฏจักร) อันดับp คือปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์จำกัดแผนที่ดังกล่าวที่ไม่เป็นศูนย์จะมีเคอร์เนลเป็นกลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนีpและการคูณแผนที่ด้วยสมาชิกของ(จำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ mod p ) จะไม่เปลี่ยนเคอร์เนล ดังนั้นจึงได้แผนที่จาก ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}$${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

ไปยังกลุ่มย่อยที่มีดัชนีปกติpในทางกลับกัน กลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนีpกำหนดแผนที่ที่ไม่ใช่แบบธรรมดาไปยังโดยมีตัวเลือก "ซึ่งโคเซตใดแมปไปยังซึ่งแสดงให้เห็นว่าแผนที่นี้เป็นการจับ คู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง " ${\displaystyle \mathbf {Z} /p}$${\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p,}$

ดังนั้น จำนวนกลุ่มย่อยปกติของดัชนีpคือ

${\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}$

สำหรับค่าk บางค่า จะไม่มีกลุ่มย่อยปกติที่มีดัชนีpนอกจากนี้ หากกำหนดกลุ่มย่อยปกติที่แตกต่างกันสองกลุ่มที่มีดัชนีpจะได้เส้นตรงเชิงโปรเจก ทีฟ ที่ประกอบด้วยกลุ่มย่อยดังกล่าว ${\displaystyle k=-1}$${\displaystyle p+1}$

ผลต่างสมมาตรของกลุ่มย่อยดัชนี 2 สองกลุ่มที่แตกต่างกัน (ซึ่งจำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติ) จะให้จุดที่สามบนเส้นเชิงฉายที่ประกอบด้วยกลุ่มย่อยเหล่านั้น และกลุ่มจะต้องมีกลุ่มย่อยดัชนี 2 อยู่ด้วย – ไม่สามารถมีกลุ่มย่อยดัชนี 2 เพียง 2 หรือ 4 กลุ่มได้ ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots }$

• เสมือนจริง
• มิติร่วม

• ความ ปกติของกลุ่มย่อยของดัชนีจำนวนเฉพาะที่PlanetMath
• " กลุ่มย่อยที่มีดัชนีจำนวนเฉพาะน้อยที่สุดเป็นกลุ่มย่อยปกติ " ที่Groupprops, The Group Properties Wiki