ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์โทโพโลยีทั่วไป ปริภูมิโปแลนด์ (Polish space)คือปริภูมิโทโพโลยีที่แยกได้และสามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์ กล่าวคือ เป็นปริภูมิที่สมมูลกับปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่มี เซต ย่อยหนาแน่นที่นับได้ปริภูมิโปแลนด์ได้รับการตั้งชื่อเช่นนี้เพราะได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางเป็นครั้งแรกโดยนักโทโพโลยีและนักตรรกศาสตร์ชาวโปแลนด์ เช่นSierpiński , Kuratowski , Tarskiและคนอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบัน ปริภูมิโปแลนด์ได้รับการศึกษาเป็นหลักเพราะเป็นกรอบหลักสำหรับทฤษฎีเซตเชิงพรรณนารวมถึงการศึกษาความสัมพันธ์สมมูลของบอเรล ปริภูมิ โปแลนด์ยังเป็นกรอบที่สะดวกสำหรับ ทฤษฎีการวัดขั้นสูงโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น

ตัวอย่างทั่วไปของปริภูมิแบบ Polish ได้แก่เส้นจำนวนจริงปริภูมิ Banachที่แยกได้ปริภูมิ CantorและปริภูมิBaireนอกจากนี้ ปริภูมิบางปริภูมิที่ไม่ใช่ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ในเมตริกปกติก็อาจเป็นปริภูมิแบบ Polish ได้ เช่นช่วงเปิด(0, 1)เป็นปริภูมิแบบ Polish

ระหว่าง ปริภูมิโปแลนด์ ที่นับไม่ได้ สองปริภูมิใดๆ จะมีไอโซมอร์ฟิซึมแบบบอเรลนั่นคือการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่รักษาโครงสร้างแบบบอเรลไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิโปแลนด์ที่นับไม่ได้ทุกปริภูมิจะมีขนาดเท่ากับจำนวนสมาชิกในคอนติเนียม

ปริภูมิ Lusin ,ปริภูมิ Suslinและปริภูมิ Radonเป็นการขยายความของปริภูมิ Polish

1. พื้นที่โปแลนด์ทุกแห่งสามารถนับได้เป็นลำดับที่สอง (โดยอาศัยคุณสมบัติที่แยกได้และวัดได้) ^{[ 1 ]}
2. ปริภูมิย่อยQของปริภูมิโปแลนด์Pเป็นปริภูมิโปแลนด์ (ภายใต้โทโพโลยีที่เหนี่ยวนำ) ก็ต่อเมื่อQเป็นจุดตัดของลำดับของเซตย่อยเปิดของP (กล่าวคือQเป็น เซต G ) ^{[ 2 ]}
3. ( ทฤษฎีบทแคนเตอร์-เบนดิกซ์สัน ) ถ้าXเป็นปริภูมิโปแลนด์แล้ว เซตปิดใดๆ ของXสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของเซตสมบูรณ์และเซตที่นับได้ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าปริภูมิโปแลนด์Xเป็นปริภูมิที่นับไม่ได้ มันสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของเซตสมบูรณ์และเซตเปิดที่นับได้
4. พื้นที่โปแลนด์ทุกแห่งมีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับ เซตย่อย G ของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต (นั่นคือของI ^Nโดยที่Iคือช่วงหน่วยและNคือเซตของจำนวนธรรมชาติ) ^{[ 3 ]}

ช่องว่างต่อไปนี้เป็นภาษาโปแลนด์:

• เซตย่อยปิดของปริภูมิโปแลนด์
• เซตย่อยแบบเปิดของพื้นที่ภาษาโปแลนด์
• ผลิตภัณฑ์และสหภาพที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มพื้นที่โปแลนด์ที่นับได้
• พื้นที่ที่ มีขนาดกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นซึ่งสามารถวัดได้และนับได้ที่อนันต์
• จุดตัดที่นับได้ของปริภูมิย่อยแบบโปแลนด์ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟ
• เซตของจำนวนอตรรกยะที่มีโทโพโลยีซึ่งได้มาจากโทโพโลยีมาตรฐานของเส้นจำนวนจริง

มีเกณฑ์จำแนกมากมายที่บอกว่าปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่นับได้ลำดับที่สองนั้นสามารถกำหนดเมตริกได้หรือไม่ เช่นทฤษฎีบทการกำหนดเมตริกของอูรีโซห์นปัญหาในการพิจารณาว่าปริภูมิที่สามารถกำหนดเมตริกได้นั้นสามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์หรือไม่นั้นยากกว่า ปริภูมิเชิงทอพอโลยี เช่น ช่วงหน่วยเปิด (0,1) สามารถกำหนดได้ทั้งเมตริกที่สมบูรณ์และเมตริกที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งสร้างทอพอโลยีของมัน

มีการอธิบายลักษณะของปริภูมิเมตริกที่แยกส่วนได้อย่างสมบูรณ์โดยใช้เกม ที่เรียกว่า เกม Choquetที่แข็งแกร่งปริภูมิเมตริกที่แยกส่วนได้จะสามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อผู้เล่นคนที่สองมีกลยุทธ์ที่ชนะในเกมนี้

ลักษณะเฉพาะประการที่สองได้มาจากทฤษฎีบทของอเล็กซานดรอฟ ซึ่งกล่าวว่าปริภูมิเมตริกที่แยกได้จะเป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิเมตริกที่แยกได้${\displaystyle G_{\delta }}$ส่วนย่อยของการดำเนินการให้เสร็จสมบูรณ์ตามตัวชี้วัดเดิม

แม้ว่าปริภูมิโปแลนด์จะสามารถกำหนดเมตริกได้ แต่ปริภูมิโปแลนด์เองก็ไม่ใช่ปริภูมิเมตริก โดยตัวของมันเอง ปริภูมิโปแลนด์แต่ละปริภูมิยอมรับเมตริกสมบูรณ์ได้ หลายแบบ ซึ่งก่อให้เกิดโทโพโลยีเดียวกัน แต่ไม่มีเมตริกใดถูกเลือกหรือแยกแยะออกมา ปริภูมิโปแลนด์ที่มีเมตริกสมบูรณ์ที่โดดเด่นเรียกว่าปริภูมิเมตริกโปแลนด์แนวทางอื่นที่เทียบเท่ากับแนวทางที่กล่าวมาข้างต้นคือ การกำหนด "ปริภูมิเมตริกโปแลนด์" ให้หมายถึง "ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่แยกได้" ก่อน แล้วจึงกำหนด "ปริภูมิโปแลนด์" ว่าเป็นปริภูมิโทโพโลยีที่ได้จากปริภูมิเมตริกโปแลนด์โดยการละทิ้งเมตริก

กลุ่มโปแลนด์เป็นกลุ่มโทโพโลยีGที่เป็นปริภูมิโปแลนด์ด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็นโฮโมมอร์ฟิกกับปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่แยกได้ มีผลลัพธ์คลาสสิกหลายอย่างของBanach , FreudenthalและKuratowskiเกี่ยวกับโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มโปแลนด์^{[ 10 ]}ประการแรก ข้อโต้แย้งของ Banach ^{[ 11 ]}ใช้ได้กับกลุ่มโปแลนด์ที่ไม่ใช่อาเบเลียนโดยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย : ถ้า GและHเป็นปริภูมิเมตริกที่แยกได้ โดยที่G เป็นกลุ่ม โปแลนด์ โฮโมมอร์ฟิซึม Borel ใดๆ จากGไปยังHจะต่อเนื่อง^{[ 12 ]}ประการที่สอง มีทฤษฎีบทการแมปแบบเปิดหรือทฤษฎีบทกราฟปิดเวอร์ชัน หนึ่ง เนื่องจาก Kuratowski: ^{[ 13 ]}โฮโมมอร์ฟิซึมแบบต่อเนื่องทั่วถึงของกลุ่มโปแลนด์Gไปยังกลุ่มโปแลนด์H อีกกลุ่มหนึ่ง คือการแมปแบบเปิด โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มโปแลนด์จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อกราฟของมันปิด ด้วยเหตุนี้ ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งเกี่ยวกับกลุ่มโปแลนด์ก็คือ การแมปที่วัดได้ด้วย Baire (กล่าวคือ สำหรับซึ่งภาพผกผันของเซตเปิดใดๆ มีคุณสมบัติ Baire ) ที่เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกันนั้น จะมีความต่อเนื่องโดยอัตโนมัติ^{[ 14 ]}กลุ่มโฮโมมอร์ฟิซึมของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต[0,1] ^Nเป็นกลุ่มโปแลนด์สากล ในแง่ที่ว่าทุกกลุ่มโปแลนด์เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มย่อยปิดของมัน

ตัวอย่าง:

• กลุ่ม Lieมิติจำกัดทั้งหมดที่มีส่วนประกอบนับได้นั้นเป็นกลุ่ม Polish
• กลุ่มเอกภาพของปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่แยกส่วนได้ (ที่มีโทโพโลยีตัวดำเนินการที่เข้มงวด ) เป็นกลุ่มโปแลนด์
• กลุ่มของโฮมีโอเมอร์ฟิซึมของปริภูมิเมตริกกระชับเรียกว่ากลุ่มโปแลนด์
• ผลคูณของกลุ่มชาวโปแลนด์จำนวนนับได้ คือ กลุ่มชาวโปแลนด์หนึ่งกลุ่ม
• กลุ่มของไอโซเมตรีของปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่แยกได้นั้นเป็นกลุ่มโปแลนด์

• พื้นที่มาตรฐานของโบเรล

• Ambrosio, L., Gigli, N. และ Savaré, G. (2005). การไหลของเกรเดียนต์ในปริภูมิเมตริกและในปริภูมิของการวัดความน่าจะเป็นบาเซิล: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link )
• Arveson, William (1981). An Invitation to C*-Algebras . Graduate Texts in Mathematics . Vol.  39. New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90176-0.
• Kechris, A. (1995). ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาแบบคลาสสิก . ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 156. Springer. ISBN 0-387-94374-9.