ในทางคณิตศาสตร์ตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน ที่มีผลคูณภายในคือแผนที่เชิงเส้น (จาก ไปยังตัวมันเอง) ที่เป็น ตัวดำเนินการสมมาตรของตัวเองนั่นคือสำหรับทุกถ้าเป็นปริภูมิที่มีมิติจำกัด และมีฐานเชิงตั้ง ฉากที่กำหนดให้ เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่าเมทริกซ์ของเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิ เชียน กล่าวคือ เท่ากับ เมทริก ซ์ทรานสโพสสังยุค ของมัน ตาม ทฤษฎีบทสเปกตรัมของปริภูมิที่มีมิติจำกัดมีฐานเชิงตั้งฉากที่ทำให้เมทริกซ์ของเทียบกับฐานนี้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงบทความนี้กล่าวถึงการประยุกต์ใช้แนวคิดทั่วไปนี้กับตัวดำเนินการบน ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตที่มีมิติใดๆ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle ขวาน,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$

ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง (Self-adjoint operators) ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและกลศาสตร์ควอนตัมในกลศาสตร์ควอนตัม ความสำคัญของตัวดำเนินการเหล่านี้อยู่ที่การกำหนดสูตรของ Dirac–von Neumannในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งปริมาณทางกายภาพที่สังเกตได้เช่นตำแหน่งโมเมนตัมโมเมนตัมเชิงมุมและสปิน จะถูกแทนด้วยตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองบนปริภูมิฮิล เบิ ร์ต ตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนที่กำหนดโดย มีความสำคัญเป็นพิเศษ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi ,}$

ซึ่งในฐานะที่เป็นปริมาณที่สังเกตได้นั้น สอดคล้องกับ พลังงานรวมของอนุภาคที่มีมวลในสนามศักย์ จริง ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เป็นกลุ่มสำคัญของตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดขอบเขต ${\displaystyle m}$${\displaystyle V}$

โครงสร้างของตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติอนันต์นั้นโดยพื้นฐานแล้วคล้ายคลึงกับกรณีมิติจำกัด กล่าวคือ ตัวดำเนินการสมมาตรก็ต่อเมื่อมัน สมมูลกัน แบบเอกภาพ กับ ตัวดำเนินการคูณค่าจริงด้วยการปรับเปลี่ยนที่เหมาะสม ผลลัพธ์นี้สามารถขยายไปยังตัวดำเนินการที่อาจไม่มีขอบเขตในปริภูมิมิติอนันต์ได้ เนื่องจากตัวดำเนินการสมมาตรที่กำหนดได้ทุกที่นั้นจำเป็นต้องมีขอบเขต จึงจำเป็นต้องให้ความสนใจกับประเด็นเรื่องโดเมนในกรณีที่ไม่มีขอบเขตมากขึ้น ซึ่งจะอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

ให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตและเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่จำกัด (กล่าวคือไม่จำเป็นต้องจำกัด) ที่มีโดเมนหนาแน่นเงื่อนไขนี้เป็นจริงโดยอัตโนมัติเมื่อเป็นปริภูมิที่มีมิติจำกัดเนื่องจากสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นทุกตัวบนปริภูมิที่มีมิติจำกัด ${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {Dom} A=H}$

กราฟของตัวดำเนินการ (ใดๆ) คือเซตตัวดำเนินการจะเรียกว่าขยายได้ก็ ต่อ เมื่อ^{[ 1 ]}เขียนได้ดังนี้${\displaystyle A}$${\displaystyle G(A)=\{(x,Ax)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G(A)\subseteq G(B).}$${\displaystyle A\subseteq B.}$

ให้ผลคูณภายในเป็นเชิงเส้นคู่ควบบนอาร์กิวเมนต์ที่สองตัวดำเนินการผกผันกระทำบนปริภูมิย่อยที่ประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆโดยที่ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\subseteq H}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,\quad \forall x\in \ตัวดำเนินการ {Dom} A.}$

ตัวดำเนินการที่มีนิยามหนาแน่นเรียกว่าสมมาตร (หรือเฮอร์มิเชียน ) ถ้านั่นคือ ถ้าและสำหรับทุก หรือ เทียบเท่ากันจะเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A\subseteq A^{*}}$${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}}$${\displaystyle Ax=A^{*}x}$${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \ตัวดำเนินการ {Dom} A.}$

เนื่องจากมีความหนาแน่นในตัวดำเนินการสมมาตรจึงสามารถปิดได้ เสมอ (กล่าวคือ การปิดของคือกราฟของตัวดำเนินการ) ^{[ 2 ]}ถ้าเป็นส่วนขยายแบบปิดของส่วนขยายแบบปิดที่เล็กที่สุดของจะต้องบรรจุอยู่ในดังนั้น ${\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\supseteq \operatorname {Dom} A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G(A)}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{**}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle A\subseteq A^{**}\subseteq A^{*}}$

สำหรับตัวดำเนินการสมมาตรและ

${\displaystyle A=A^{**}\subseteq A^{*}}$

สำหรับตัวดำเนินการสมมาตรแบบปิด^{[ 3 ]}

ตัวดำเนินการที่กำหนดอย่างหนาแน่นเรียกว่าตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองถ้านั่นคือ ถ้าและเฉพาะเมื่อเป็นสมมาตรและเทียบเท่ากัน ตัวดำเนินการสมมาตรแบบปิดจะเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองก็ต่อเมื่อเป็นสมมาตร ถ้าเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง แล้วจะเป็นจำนวนจริงสำหรับทุก นั่นคือ^{[ 4 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A=A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\langle x,Ax\right\rangle }$${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A}$

${\displaystyle \langle x,Ax\rangle ={\overline {\langle Ax,x\rangle }}={\overline {\langle x,Ax\rangle }}\in \mathbb {R} ,\quad \forall x\in \ตัวดำเนินการ {Dom} A.}$

กล่าวได้ว่าตัวดำเนินการสมมาตร เป็น ตัวดำเนินการสมมาตรโดยพื้นฐานหากส่วนปิดของตัวดำเนินการนั้นเป็นตัวดำเนินการสมมาตร หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวดำเนินการ สมมาตรจะเป็นตัวดำเนินการสมมาตรโดยพื้นฐาน หากมี ส่วนขยายสมมาตรเพียง หนึ่งเดียวในทางปฏิบัติ การมีตัวดำเนินการสมมาตรโดยพื้นฐานนั้นเกือบจะดีเท่ากับการมีตัวดำเนินการสมมาตร เนื่องจากเราเพียงแค่ต้องหาส่วนปิดเพื่อให้ได้ตัวดำเนินการสมมาตร ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ในทางฟิสิกส์ คำว่าเฮอร์มิเชียนหมายถึงทั้งตัวดำเนินการสมมาตรและตัวดำเนินการผันตัวเอง ความแตกต่างเล็กน้อยระหว่างทั้งสองมักถูกมองข้ามไป

ให้เป็น ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตและเป็นตัวดำเนินการสมมาตร ตามทฤษฎีบทของเฮลลิงเกอร์-โทปลิตซ์ถ้าแล้วจะต้องมีขอบเขต^{[ 5 ]} ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตจะเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง ถ้า ${\displaystyle H}$${\displaystyle A:\operatorname {Dom} (A)\to H}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A:H\to H}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in H.}$

ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตทุกตัวสามารถเขียนในรูปแบบเชิงซ้อนได้โดยที่และเป็นตัวดำเนินการสมมาตรที่มีขอบเขต^{[ 6 ]}${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle T=A+iB}$${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle B:H\to H}$

หรืออีกทางหนึ่งตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบวก ทุกตัวจะเป็นตัว ดำเนินการสมมาตรในตัวเองหากปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นเชิงซ้อน^{[ 7 ]}${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle H}$

ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่มีขอบเขตซึ่งกำหนดไว้บนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A\right)=H}$

• ${\displaystyle A:H\to \operatorname {Im} A\subseteq H}$สามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อภาพของมีความหนาแน่นใน${\displaystyle A}$${\displaystyle H.}$
• ค่ามาตรฐานของตัวดำเนินการกำหนดโดย${\displaystyle \left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|=1\right\}}$
• ถ้าเป็นค่าลักษณะเฉพาะของแล้ว; ค่าลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนจริง และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ที่สอดคล้องกัน จะตั้งฉากกัน${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$${\displaystyle |\lambda |\leq \sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|\leq 1\right\}}$

ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่มีขอบเขตไม่จำเป็นต้องมีค่าลักษณะเฉพาะ อย่างไรก็ตาม หากเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองแบบกระชับมันจะมีค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นมาตรฐานที่สอดคล้องกัน เสมอ ^{[ 10 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle |\lambda |=\|A\|}$

ให้เป็นตัวดำเนินการที่ไม่จำกัด^{[ 11 ]}เซตตัวแก้ไข (หรือเซตปกติ ) ของถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle A:\operatorname {Dom} (A)\to H}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,\exists (A-\lambda I)^{-1}\;{\text{bounded and densely defined}}\right\}.}$

ถ้ามีขอบเขต นิยามจะลดลงเหลือเพียงการเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงบนสเปกตรัมของถูกกำหนดให้เป็นส่วนเติมเต็ม ${\displaystyle A}$${\displaystyle A-\lambda I}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A).}$

ในมิติจำกัด ประกอบด้วย ค่าลักษณะเฉพาะ (เชิงซ้อน) เท่านั้น[ ^{12 ] สเปกตรัม}ของตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองจะเป็นจำนวนจริงเสมอ (เช่น) แม้ว่าจะมีตัวดำเนินการที่ไม่สมมาตรตัวเองที่มีสเปกตรัมเป็นจำนวนจริงอยู่ด้วยก็ตาม^{[ 13 ] [ 14 ]} อย่างไรก็ตาม สำหรับตัวดำเนินการที่มีขอบเขต ( ปกติ ) สเปกตรัมจะเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการนั้นเป็นสมมาตรตัวเอง^{[ 15 ]}ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนินการที่ไม่สมมาตรตัวเองที่มีสเปกตรัมเป็นจำนวนจริงนั้นย่อมไม่มีขอบเขต ${\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {R} }$

ในเบื้องต้น ให้กำหนดและด้วยจากนั้น สำหรับทุกๆและทุกๆ${\displaystyle S=\{x\in \operatorname {Dom} A\mid \Vert x\Vert =1\},}$${\displaystyle \textstyle m=\inf _{x\in S}\langle Ax,x\rangle }$${\displaystyle \textstyle M=\sup _{x\in S}\langle Ax,x\rangle }$${\displaystyle m,M\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A,}$

${\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,}$

ที่ไหน${\displaystyle \textstyle d(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]}|r-\lambda |.}$

อันที่จริง ให้พิจารณาจากอสมการโคชี-ชวาร์ซ ${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A\setminus \{0\}.}$

${\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq {\frac {|\langle (A-\lambda )x,x\rangle |}{\Vert x\Vert }}=\left|\left\langle A{\frac {x}{\Vert x\Vert }},{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\rangle -\lambda \right|\cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert .}$

ถ้าเช่นนั้นและเรียกว่า มี ขอบเขต ล่าง${\displaystyle \lambda \notin [m,M],}$${\displaystyle d(\lambda )>0,}$${\displaystyle A-\lambda I}$

ในเอกสารทางฟิสิกส์ ทฤษฎีบทสเปกตรัมมักกล่าวโดยระบุว่าตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองมีฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉากกัน อย่างไรก็ตาม นักฟิสิกส์ตระหนักดีถึงปรากฏการณ์ของ "สเปกตรัมต่อเนื่อง" ดังนั้นเมื่อพวกเขาพูดถึง "ฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉากกัน" พวกเขาหมายถึงฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉากกันในความหมายแบบคลาสสิกหรือแบบต่อเนื่องที่คล้ายกัน ในกรณีของตัวดำเนินการโมเมนตัม ตัวอย่างเช่น นักฟิสิกส์จะกล่าวว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะคือฟังก์ชันซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่ได้อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ต(นักฟิสิกส์จะกล่าวว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้น "ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้") จากนั้นนักฟิสิกส์จะกล่าวต่อไปว่า "เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบทั่วไป" เหล่านี้ก่อให้เกิด "ฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉากกันในความหมายต่อเนื่อง" สำหรับหลังจากแทนที่เดลต้าโครเนกเกอร์ ปกติ ด้วยฟังก์ชันเดลต้าดิแรก^{[ 16 ]}${\textstyle P=-i{\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle f_{p}(x):=e^{ipx}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \delta _{i,j}}$${\displaystyle \delta \left(p-p'\right)}$

แม้ว่าข้อความเหล่านี้อาจดูน่าสับสนสำหรับนักคณิตศาสตร์ แต่ก็สามารถทำให้มีความแม่นยำได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ ซึ่งช่วยให้สามารถแสดงฟังก์ชันทั่วไปได้ในรูป "การซ้อนทับ" (เช่น ปริพันธ์) ของฟังก์ชันต่างๆ แม้ว่าฟังก์ชันเหล่านั้นจะไม่ได้อยู่ใน ก็ตามการแปลงฟูริเยร์จะ "ทำให้เป็นแนวทแยง" ของตัวดำเนินการโมเมนตัม กล่าวคือ มันจะแปลงตัวดำเนินการนั้นให้เป็นตัวดำเนินการคูณด้วย โดยที่คือตัวแปรของการแปลงฟูริเยร์ ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle e^{ipx}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

ทฤษฎีบทสเปกตรัมโดยทั่วไปสามารถแสดงได้ในทำนองเดียวกันกับความเป็นไปได้ในการ "ทำให้เป็นตัวทแยงมุม" ของตัวดำเนินการโดยการแสดงให้เห็นว่ามันสมมูลกันแบบเอกภาพกับตัวดำเนินการการคูณ ทฤษฎีบทสเปกตรัมในรูปแบบอื่นๆ ก็มีจุดประสงค์ในทำนองเดียวกันเพื่อแสดงให้เห็นถึงแนวคิดที่ว่าตัวดำเนินการแบบสมมาตรในตัวเองสามารถมี "เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ" ที่ไม่ได้อยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่เกี่ยวข้องจริงๆ

ขั้นแรก ให้เป็นปริภูมิการวัดแบบ σ-finiteและเป็นฟังก์ชันที่วัดได้บนแล้วตัวดำเนินการซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle h:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{h}:\operatorname {Dom} T_{h}\to L^{2}(X,\mu )}$

${\displaystyle T_{h}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in \operatorname {Dom} T_{h},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \operatorname {Dom} T_{h}:=\left\{\psi \in L^{2}(X,\mu )\;|\;h\psi \in L^{2}(X,\mu )\right\},}$

เรียกว่าตัวดำเนินการคูณ [ ^{17 ] ตัว}ดำเนินการคูณใดๆ ก็เป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง^{[ 18 ]}

ประการที่สอง ตัวดำเนินการสองตัวและที่มีโดเมนหนาแน่นและในปริภูมิฮิลเบิร์ตและตามลำดับจะเทียบเท่ากันแบบเอกภาพก็ต่อเมื่อมีการแปลงเอกภาพเช่นนั้น: ^{[ 19 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H_{1}}$${\displaystyle \operatorname {Dom} B\subseteq H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$

• ${\displaystyle U\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} B,}$
• ${\displaystyle UAU^{-1}\xi =B\xi ,\quad \forall \xi \in \operatorname {Dom} B.}$

ถ้า สมมูลกันโดยเอกภาพและมีขอบเขตจำกัด แล้ว; ถ้าเป็นตัวผกผันในตัวเอง แล้ว ก็เป็นตัวผกผันในตัวเองเช่นกัน ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \|A\|_{H_{1}}=\|B\|_{H_{2}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ทฤษฎีบทสเปกตรัมใช้ได้กับตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองที่มีขอบเขตและไม่มีขอบเขต การพิสูจน์ของกรณีหลังเป็นไปตามการลดรูปเป็นทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับตัวดำเนินการเอกภาพ [ 21 ^{]เราอาจ}สังเกตได้ว่าถ้าเป็นการคูณด้วย แล้วสเปกตรัมของก็คือช่วงสำคัญของ${\displaystyle T}$${\displaystyle h}$${\displaystyle T}$${\displaystyle h}$

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีบทสเปกตรัมเวอร์ชันที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นซึ่งเกี่ยวข้องกับอินทิกรัลโดยตรงและมีแนวคิดของ "เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป" ^{[ 22 ]}

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทสเปกตรัมอย่างหนึ่งคือการนิยามแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันกล่าวคือ ถ้าเป็นฟังก์ชันบนเส้นจำนวนจริง และเป็นตัวดำเนินการสมมาตร เราต้องการนิยามตัวดำเนินการ ทฤษฎีบทสเปกตรัมแสดงให้เห็นว่า ถ้าถูกแทนด้วยตัวดำเนินการคูณด้วยแล้ว คือตัวดำเนิน การ คูณด้วยองค์ประกอบ${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f(T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f(T)}$${\displaystyle f\circ h}$

ตัวอย่างหนึ่งจากกลศาสตร์ควอนตัมคือกรณีที่เป็นตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนถ้ามีฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉากแท้จริงที่มีค่าลักษณะเฉพาะแล้วสามารถนิยามได้ว่าเป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตเพียงหนึ่งเดียวที่มีค่าลักษณะเฉพาะเช่นนั้น: ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle \lambda _{j}}$${\displaystyle f({\hat {H}}):=e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$${\displaystyle f(\lambda _{j}):=e^{-it\lambda _{j}/\hbar }}$

${\displaystyle f({\hat {H}})e_{j}=f(\lambda _{j})e_{j}.}$

เป้าหมายของแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันคือการขยายแนวคิดนี้ไปยังกรณีที่มีสเปกตรัมต่อเนื่อง (กล่าวคือไม่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้) ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

ธรรมเนียมปฏิบัติคือการนำสัญลักษณ์ต่อไปนี้มาใช้

${\displaystyle \operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}$

โดยที่คือฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของช่วงตระกูลของตัวดำเนินการฉายภาพ E(λ) เรียกว่าการแก้ปัญหาเอกลักษณ์สำหรับTนอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ การแสดง แทนอินทิกรัล Stieltjes ต่อไปนี้ สำหรับT ได้:${\displaystyle \mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}}$${\displaystyle (-\infty ,\lambda ]}$

${\displaystyle T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} (\lambda ).}$

ในกลศาสตร์ควอนตัม สัญกรณ์ของ Diracถูกใช้เป็นการแสดงออกรวมกันของทั้งทฤษฎีบทสเปกตรัมและแคลคูลัสเชิงฟังก์ชันของ Borelนั่นคือ ถ้าHเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง และfเป็นฟังก์ชัน Borel

${\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|}$

กับ

${\displaystyle H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle }$

โดยที่ปริพันธ์ครอบคลุมสเปกตรัมทั้งหมดของHสัญลักษณ์นี้บ่งชี้ว่าHถูกทำให้เป็นแนวทแยงโดยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ Ψ _Eสัญลักษณ์ดังกล่าวเป็นเพียงรูปแบบ เท่านั้น การแก้ปัญหาเอกลักษณ์ (บางครั้งเรียกว่าการวัดค่าการฉายภาพ ) มีลักษณะคล้ายกับการฉายภาพอันดับ 1 ในเชิงรูป แบบ ในสัญลักษณ์ของ Dirac การวัด (เชิงฉายภาพ) จะถูกอธิบายผ่านค่าลักษณะเฉพาะและสถานะลักษณะเฉพาะ ซึ่งทั้งสองอย่างเป็นเพียงรูปแบบเท่านั้น ดังที่คาดไว้ สิ่งนี้ไม่คงอยู่เมื่อผ่านการแก้ปัญหาเอกลักษณ์ ในสูตรหลัง การวัดจะถูกอธิบายโดยใช้การวัดสเปกตรัมของหากระบบถูกเตรียมไว้ก่อนการวัด หรืออีกทางหนึ่ง หากต้องการรักษาแนวคิดของสถานะลักษณะเฉพาะและทำให้มันเข้มงวด แทนที่จะเป็นเพียงรูปแบบ สามารถแทนที่ปริภูมิสถานะด้วย ปริภูมิฮิลเบิ ร์ ต ที่เหมาะสมได้${\displaystyle \left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |\Psi \rangle }$

ถ้าf = 1ทฤษฎีบทนี้จะเรียกว่า การแยกเอกลักษณ์ (resolution of unity):

${\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|}$

ในกรณีที่ผลรวมของตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนHและตัวดำเนินการสเกวเฮอร์มิเชียน (ดูเมทริกซ์สเกวเฮอร์มิเชียน ) เกิดขึ้นเราจะกำหนดเซตฐาน ไบออร์โทกอนอล${\displaystyle H_{\text{eff}}=H-i\Gamma }$${\displaystyle -i\Gamma }$

${\displaystyle H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle }$

และเขียนทฤษฎีสเปกตรัมดังนี้:

${\displaystyle f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|}$

(ดูการแบ่งส่วนแบบ Feshbach–Fanoสำหรับบริบทที่ตัวดำเนินการดังกล่าวปรากฏในทฤษฎีการกระเจิง )

ทฤษฎีบทสเปกตรัมใช้ได้เฉพาะกับตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองเท่านั้น และโดยทั่วไปแล้วใช้ไม่ได้กับตัวดำเนินการสมมาตร อย่างไรก็ตาม ณ จุดนี้ เราสามารถยกตัวอย่างง่ายๆ ของตัวดำเนินการสมมาตร (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐาน) ที่มีฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉากกันได้ พิจารณาปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนL ² [0,1] และตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}$

โดย ประกอบด้วย ฟังก์ชันเชิงซ้อนf ทั้งหมดที่สามารถ หาอนุพันธ์ ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง บนช่วง [0, 1] ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต ${\displaystyle \mathrm {Dom} (A)}$

${\displaystyle f(0)=f(1)=0.}$

จากนั้นการอินทิเกรตโดยส่วนของผลคูณภายในแสดงให้เห็นว่าAเป็นเมทริกซ์สมมาตร^{[ nb 1 ]}ฟังก์ชันเฉพาะของAคือไซนูซอยด์

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots }$

โดยมีค่าไอเกนจริงn ² π ² ; คุณสมบัติความเป็นตั้งฉากที่รู้จักกันดีของฟังก์ชันไซน์นั้นเป็นผลมาจากการที่Aเป็นเมทริกซ์สมมาตร

จะเห็นได้ว่าตัวดำเนินการA มีตัวผกผัน แบบกระชับซึ่งหมายความว่าสมการเชิงอนุพันธ์ ที่สอดคล้องกัน Af = gจะถูกแก้โดยตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์ (และดังนั้นจึงกระชับ) G บาง ตัว ตัวดำเนินการสมมาตรแบบกระชับGนั้นมีตระกูลเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่นับได้ซึ่งสมบูรณ์ในL² ดังนั้น^จึงสามารถกล่าวได้เช่นเดียวกันสำหรับA

ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองAบนH จะมี สเปกตรัมจุดบริสุทธิ์ก็ต่อเมื่อHมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ { e _i } _{i ∈ I}ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับ A

ตัวอย่างแฮมิลโทเนียนสำหรับตัวสั่นฮาร์มอนิกมีศักย์กำลังสองVนั่นคือ

${\displaystyle -\Delta +|x|^{2}.}$

แฮมิลโทเนียนนี้มีสเปกตรัมจุดบริสุทธิ์ ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับแฮมิลโทเนียน สถานะผูกพัน ในกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 23 ]}ดังที่ได้ชี้ให้เห็นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เงื่อนไขที่เพียงพอที่ตัวดำเนินการสมมาตรที่ไม่จำกัดจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สร้างฐานปริภูมิฮิลเบิร์ตคือต้องมีตัวผกผันแบบกระชับ

แม้ว่าความแตกต่างระหว่างตัวดำเนินการสมมาตรและตัวดำเนินการที่ (โดยพื้นฐานแล้ว) สมมาตรในตัวเองจะค่อนข้างละเอียดอ่อน แต่ก็มีความสำคัญ เนื่องจากความสมมาตรในตัวเองเป็นสมมติฐานในทฤษฎีบทสเปกตรัม ในที่นี้เราจะกล่าวถึงตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมบางประการของความแตกต่างนี้

ในกรณีที่ปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิของฟังก์ชันบนโดเมนที่มีขอบเขต ความแตกต่างเหล่านี้เกี่ยวข้องกับประเด็นที่คุ้นเคยในฟิสิกส์ควอนตัม: เราไม่สามารถกำหนดตัวดำเนินการ—เช่น ตัวดำเนินการโมเมนตัมหรือตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียน—บนโดเมนที่มีขอบเขตได้โดยไม่ระบุเงื่อนไขขอบเขตในทางคณิตศาสตร์ การเลือกเงื่อนไขขอบเขตเท่ากับการเลือกโดเมนที่เหมาะสมสำหรับตัวดำเนินการ ลองพิจารณาปริภูมิฮิลเบิร์ต(ปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้บนช่วง [0,1]) ให้เรากำหนดตัวดำเนินการโมเมนตัมAบนปริภูมินี้โดยใช้สูตรปกติ โดยกำหนดค่าคงที่ของพลังค์เป็น 1: ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$

${\displaystyle Af=-i{\frac {df}{dx}}.}$

ตอนนี้เราต้องกำหนดโดเมนสำหรับAซึ่งก็คือการเลือกเงื่อนไขขอบเขต ถ้าเราเลือก

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\},}$

ดังนั้นAจึงไม่สมมาตร (เนื่องจากพจน์ขอบเขตในการอินทิเกรตโดยส่วนไม่เป็นศูนย์)

ถ้าเราเลือก

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

จากนั้นใช้การอินทิเกรตโดยส่วนต่างๆ สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าAเป็นสมมาตร ตัวดำเนินการนี้ไม่ได้เป็นตัวดำเนินการแบบสมมาตรโดยแท้จริง^{[ 24 ]}อย่างไรก็ตาม โดยพื้นฐานแล้วเป็นเพราะเราได้กำหนดเงื่อนไขขอบเขตมากเกินไปในโดเมนของAซึ่งทำให้โดเมนของตัวดำเนินการแบบสมมาตรมีขนาดใหญ่เกินไป (ดูตัวอย่างด้านล่างด้วย)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อเลือกโดเมนสำหรับA ตามที่กล่าวมาข้างต้น โดเมนของการปิดของAคือ ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\mid f(0)=f(1)=0\right\},}$

ในขณะที่โดเมนของตัวผกผันของAคือ ${\displaystyle A^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}.}$

กล่าวคือ โดเมนของการปิดมีเงื่อนไขขอบเขตเดียวกันกับโดเมนของAเอง เพียงแต่สมมติฐานเรื่องความเรียบนั้นเข้มงวดน้อยกว่า ในขณะเดียวกัน เนื่องจากมีเงื่อนไขขอบเขตบนA มากเกินไป จึงมีเงื่อนไขขอบเขตบน A น้อยเกินไป (จริงๆ แล้วไม่มีเลยในกรณีนี้) สำหรับถ้าเราคำนวณโดยใช้การอินทิเกรตโดยส่วน เนื่องจากหายไปที่ปลายทั้งสองข้างของช่วง จึงไม่จำเป็นต้องมีเงื่อนไขขอบเขตบน เพื่อหักล้างพจน์ขอบเขตในการอินทิเกรตโดยส่วน ดังนั้น ฟังก์ชันที่เรียบเพียงพอใดๆ ก็อยู่ในโดเมนของโดยที่^{[ 25 ]}${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \langle g,Af\rangle }$${\displaystyle f\in \operatorname {Dom} (A)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A^{*}g=-i\,dg/dx}$

เนื่องจากโดเมนของตัวปิดและโดเมนของตัวผกผันไม่ตรงกัน ดังนั้นAจึงไม่ใช่ตัวผกผันสมมาตรโดยเนื้อแท้ เพราะโดยทั่วไปแล้ว ผลลัพธ์หนึ่งกล่าวว่า โดเมนของตัวผกผันของ นั้นเหมือนกับโดเมนของตัวผกผันของAดังนั้น ในกรณีนี้ โดเมนของตัวผกผันของ จึงใหญ่กว่าโดเมนของตัวมันเอง ซึ่งแสดงว่าไม่ใช่ตัวผกผันสมมาตรโดยเนื้อแท้ ซึ่งตามนิยามแล้วหมายความว่าAก็ไม่ใช่ตัวผกผันสมมาตรโดยเนื้อแท้เช่นกัน ${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$${\displaystyle A^{\mathrm {cl} }}$

ปัญหาของตัวอย่างก่อนหน้านี้คือ เรากำหนดเงื่อนไขขอบเขตมากเกินไปในโดเมนของAทางเลือกที่ดีกว่าคือการใช้เงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ:

${\displaystyle \operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)\}.}$

ด้วยโดเมนนี้Aจึงเป็นตัวผกผันตัวเองโดยพื้นฐาน^{[ 26 ]}

ในกรณีนี้ เราสามารถเข้าใจถึงนัยสำคัญของปัญหาโดเมนที่มีต่อทฤษฎีบทสเปกตรัมได้ หากเราใช้โดเมนตัวเลือกแรก (โดยไม่มีเงื่อนไขขอบเขต) ฟังก์ชันทั้งหมดสำหรับจะเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ โดยมีค่าลักษณะเฉพาะและดังนั้นสเปกตรัมจึงครอบคลุมระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด หากเราใช้โดเมนตัวเลือกที่สอง (โดยมีเงื่อนไขขอบเขตแบบดิริชเลต์) Aจะไม่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเลย หากเราใช้โดเมนตัวเลือกที่สาม (โดยมีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบ) เราสามารถหาฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบตั้งฉากสำหรับAได้ ซึ่งก็คือฟังก์ชันดังนั้น ในกรณีนี้ การหาโดเมนที่ทำให้Aเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองจึงเป็นการประนีประนอม กล่าวคือ โดเมนต้องมีขนาดเล็กพอที่A จะสมมาตร แต่ต้องมี ขนาด ใหญ่พอที่${\displaystyle f_{\beta }(x)=e^{\beta x}}$${\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }$${\displaystyle -i\beta }$${\displaystyle f_{n}(x):=e^{2\pi inx}}$${\displaystyle D(A^{*})=D(A)}$

ตัวอย่างที่ละเอียดอ่อนกว่าของการแยกแยะระหว่างตัวดำเนินการสมมาตรและตัวดำเนินการที่ (โดยพื้นฐานแล้ว) เป็นตัวดำเนินการแบบสมมาตรในตัวเอง มาจากตัวดำเนินการชโรดิงเกอร์ในกลศาสตร์ควอนตัม หากพลังงานศักย์เป็นเอกฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากศักย์ไม่มีขอบเขตล่าง ตัวดำเนินการชโรดิงเกอร์ที่เกี่ยวข้องอาจไม่สามารถเป็นตัวดำเนินการแบบสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐานได้ ตัวอย่างเช่น ในมิติเดียว ตัวดำเนินการ

${\displaystyle {\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}}$

ไม่ใช่ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐานบนพื้นที่ของฟังก์ชันเรียบที่ลดลงอย่างรวดเร็ว^{[ 27 ]}ในกรณีนี้ ความล้มเหลวของความเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐานสะท้อนถึงพยาธิสภาพในระบบคลาสสิกพื้นฐาน: อนุภาคคลาสสิกที่มีศักยภาพหลุดออกไปสู่อนันต์ในเวลาจำกัด ตัวดำเนินการนี้ไม่เป็น ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง ที่ไม่ซ้ำกันแต่ยอมรับส่วนขยายสมมาตรในตัวเองที่ได้มาจากการระบุ "เงื่อนไขขอบเขตที่อนันต์" (เนื่องจากเป็นตัวดำเนินการจริง จึงสลับกับการสังยุคเชิงซ้อน ดังนั้นดัชนีความบกพร่องจึงเท่ากันโดยอัตโนมัติ ซึ่งเป็นเงื่อนไขสำหรับการมีส่วนขยายสมมาตรในตัวเอง) ${\displaystyle -x^{4}}$${\displaystyle {\hat {H}}}$

ในกรณีนี้ หากเรากำหนดตัวดำเนินการเริ่มต้นบนปริภูมิของฟังก์ชันที่เรียบและลดลงอย่างรวดเร็ว ตัวดำเนินการผกผันจะเป็นตัวดำเนินการ "เดียวกัน" (กล่าวคือ กำหนดโดยสูตรเดียวกัน) แต่บนโดเมนที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ นั่นคือ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}.}$

จากนั้นจึงสามารถแสดงได้ว่าไม่ใช่ตัวดำเนินการสมมาตร ซึ่งแน่นอนว่าหมายความว่าไม่ใช่ตัวดำเนินการสมมาตรโดยเนื้อแท้ อันที่จริงมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่มีค่าลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนจินตนาการบริสุทธิ์^{[ 28 ] [ 29 ]}ซึ่งเป็นไปไม่ได้สำหรับตัวดำเนินการสมมาตร เหตุการณ์แปลกประหลาดนี้เป็นไปได้เนื่องจากการหักล้างกันระหว่างสองเทอมใน: มีฟังก์ชันในโดเมนของซึ่งทั้งและ ไม่อยู่ใน แยกกันแต่การรวมกันของฟังก์ชันเหล่านี้ที่เกิดขึ้นใน อยู่ในสิ่งนี้ทำให้ไม่สมมาตร แม้ว่าทั้งและจะเป็นตัวดำเนินการสมมาตร การหักล้างแบบนี้จะไม่เกิดขึ้นหากเราแทนที่ศักยภาพการผลักด้วยศักยภาพการกักขัง ${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle d^{2}f/dx^{2}}$${\displaystyle x^{4}f(x)}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\hat {H}}^{*}}$${\displaystyle d^{2}/dx^{2}}$${\displaystyle X^{4}}$${\displaystyle -x^{4}}$${\displaystyle x^{4}}$

ในกลศาสตร์ควอนตัม ปริมาณที่สังเกตได้จะสอดคล้องกับตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง ตามทฤษฎีบทของสโตนเกี่ยวกับกลุ่มเอกภาพพารามิเตอร์เดียวตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองก็คือตัวสร้างอนันต์ของกลุ่มเอกภาพของตัวดำเนินการวิวัฒนาการเวลาอย่างไรก็ตาม ปัญหาทางฟิสิกส์หลายอย่างถูกกำหนดเป็นสมการวิวัฒนาการเวลาที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งแฮมิลโทเนียนเป็นเพียงสมมาตร ในกรณีเช่นนี้ แฮมิลโทเนียนอาจเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐาน ซึ่งในกรณีนี้ปัญหาทางฟิสิกส์จะมีคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน หรือเราอาจพยายามหาตัวดำเนินการสมมาตรในส่วนขยายของแฮมิลโทเนียนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตประเภทต่างๆ หรือเงื่อนไขที่อนันต์

ตัวอย่างตัวดำเนินการชโรดิงเกอร์หนึ่งมิติที่มีศักยภาพ ซึ่งกำหนดไว้เบื้องต้นบนฟังก์ชันที่มีการรองรับแบบกระชับและเรียบนั้น เป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐานสำหรับ0 < α ≤ 2แต่ไม่ใช่สำหรับα > 2 ^{[ 30 ] [ 31 ]}${\displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }}$

ความล้มเหลวของความสมมาตรในตัวเองที่สำคัญนั้นมีคู่ตรงข้ามในพลศาสตร์คลาสสิกของอนุภาคที่มีศักยภาพ: อนุภาคคลาสสิกจะหลุดออกไปสู่อนันต์ในเวลาจำกัด^{[ 32 ]}${\displaystyle \alpha >2}$${\displaystyle V(x)}$

ตัวอย่างไม่มีตัวดำเนินการโมเมนตัมแบบสมมาตรสำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่บนเส้นครึ่ง อย่างไรก็ตาม แฮมิลโทเนียนของอนุภาค "อิสระ" บนเส้นครึ่งมีส่วนขยายแบบสมมาตรหลายแบบที่สอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตประเภทต่างๆ ในทางกายภาพ เงื่อนไขขอบเขตเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการสะท้อนของอนุภาคที่จุดกำเนิด^{[ 33 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2}}$

เราจะพิจารณาปริภูมิฮิลเบิร์ตและตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ก่อน${\displaystyle L^{2}[0,1]}$

${\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '}$

กำหนดบนปริภูมิของฟังก์ชันเชิงซ้อนที่อนุพันธ์ต่อเนื่องบน [0,1] ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขต

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)=0.}$

ดังนั้นDจึงเป็นตัวดำเนินการสมมาตร ดังที่สามารถแสดงได้โดยการอินทิเกรตโดยส่วนปริภูมิN ₊ , N ₋ (ที่กำหนดไว้ด้านล่าง) กำหนดโดย ผลเฉลย เชิงการกระจายของสมการตามลำดับ

${\displaystyle {\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}}$

ซึ่งอยู่ในL ² [0, 1] สามารถแสดงได้ว่าปริภูมิคำตอบแต่ละอันมีมิติ 1 มิติ สร้างขึ้นโดยฟังก์ชันx → e ^−xและx → e ^xตามลำดับ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าDไม่ใช่ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยเนื้อแท้^{[ 34 ]}แต่มีส่วนขยายสมมาตรในตัวเอง ส่วนขยายสมมาตรในตัวเองเหล่านี้ถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยปริภูมิของการแมปเอกภาพN + _→ N − _ซึ่งในกรณีนี้คือวงกลมหน่วยT

ในกรณีนี้ ความล้มเหลวของตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองที่สำคัญเกิดจากการเลือกเงื่อนไขขอบเขตที่ไม่ถูกต้องในการกำหนดโดเมนของเนื่องจากเป็นตัวดำเนินการอันดับหนึ่ง จึงต้องการเงื่อนไขขอบเขตเพียงเงื่อนไขเดียวเพื่อให้แน่ใจว่าสมมาตร หากเราแทนที่เงื่อนไขขอบเขตที่ให้ไว้ข้างต้นด้วยเงื่อนไขขอบเขตเดียว ${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle \phi (0)=\phi (1)}$,

ดังนั้นDก็จะยังคงสมมาตรและในความเป็นจริงแล้วจะเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐาน การเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขขอบเขตนี้ทำให้เกิดส่วนขยายของD ที่เป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐานแบบเฉพาะเจาะจงหนึ่ง แบบ ส่วนขยายที่เป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองโดยพื้นฐานแบบอื่นๆ มาจากการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตในรูปแบบ ${\displaystyle \phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)}$

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นถึงข้อเท็จจริงทั่วไปเกี่ยวกับการขยายแบบสมมาตรของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์PบนเซตเปิดMซึ่งกำหนดโดยแผนที่เอกภาพระหว่างปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}}$

โดยที่P _distคือส่วนขยายเชิงการกระจายของ P

ต่อไปเราจะยกตัวอย่างตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ ให้ .

${\displaystyle P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }}$

ให้ เป็นพหุนามบนR ⁿที่มี สัมประสิทธิ์เป็นจำนวน จริงโดยที่ α ครอบคลุมเซตของดัชนีหลายตัว (จำนวนจำกัด) ดังนั้น

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

และ

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.}$

นอกจากนี้เรายังใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวด้วย

${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.}$

จากนั้นตัวดำเนินการP (D) ที่กำหนดบนปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งซึ่งมีส่วนรองรับแบบกระชับบนR ⁿโดย

${\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi }$

โดยพื้นฐานแล้วเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองบนL ² ( R ⁿ )

โดยทั่วไปแล้ว ให้พิจารณาตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่กระทำกับฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งและมีขอบเขตจำกัด ถ้าMเป็นเซตย่อยเปิดของR ⁿ

${\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)}$

โดยที่a และ_αเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง (ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าคงที่) และ Pเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).}$

สอดคล้องกับPยังมีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อีกตัวหนึ่ง ซึ่งก็คือตัวดำเนินการผกผันเชิงรูปธรรมของP

${\displaystyle P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)}$

การแสดงผลการคูณของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง แม้จะมีประโยชน์อย่างยิ่ง แต่ก็ไม่ใช่การแสดงผลแบบมาตรฐาน นี่แสดงให้เห็นว่าไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะดึงเกณฑ์จากรูปแบบการแสดงผลนี้เพื่อพิจารณาว่าเมื่อใดที่ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองAและBจะสมมูลกันแบบเอกภาพ การแสดงผลที่ละเอียดที่สุดที่เราจะกล่าวถึงต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับความหลากหลายเชิงสเปกตรัม วงจรของผลลัพธ์นี้เรียกว่าทฤษฎีความหลากหลายเชิงสเปกตรัมของฮาห์น - เฮลลิงเกอร์

ก่อนอื่น เราจะกำหนดนิยามของความหลากหลายแบบสม่ำเสมอ :

นิยามตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองAมีความซ้ำซ้อนสม่ำเสมอnโดยที่nเป็นไปตามเงื่อนไข 1 ≤ n ≤ ωก็ต่อเมื่อAสมมูลแบบเอกภาพกับตัวดำเนินการ M _fของการคูณด้วยฟังก์ชันf ( λ ) = λบน

${\displaystyle L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\text{ measurable and }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}}$

โดยที่H _nคือปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติnโดเมนของ M _fประกอบด้วยฟังก์ชันเวกเตอร์ψบนRเช่นนั้น

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .}$

มาตรวัดบวกนับได้ที่ไม่เป็นลบμและνจะเป็นเอกฐานซึ่งกันและกันก็ต่อเมื่อมาตรวัดทั้งสองนี้ได้รับการรองรับบนเซตบอเรลที่ไม่ทับซ้อนกัน

การนำเสนอแบบนี้มีความพิเศษในความหมายดังต่อไปนี้: สำหรับการนำเสนอ Aสองแบบใดๆ ก็ตามค่าการวัดที่สอดคล้องกันจะเทียบเท่ากันในแง่ที่ว่ามีเซตของค่าการวัด 0 เหมือนกัน

ทฤษฎีบทความหลากหลายเชิงสเปกตรัมสามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้ภาษาของปริพันธ์โดยตรงของปริภูมิฮิลเบิร์ต:

แตกต่างจากทฤษฎีบทสเปกตรัมเวอร์ชันตัวดำเนินการคูณ เวอร์ชันอินทิกรัลโดยตรงมีเอกลักษณ์ในแง่ที่ว่าชั้นสมมูลการวัดของμ (หรือเทียบเท่ากับเซตของการวัด 0) ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน และฟังก์ชันที่วัดได้ถูกกำหนดเกือบทุกที่โดยสัมพันธ์กับμ [ ^{36 ]}ฟังก์ชันดังกล่าว^คือฟังก์ชันความซ้ำซ้อนสเปกตรัมของตัวดำเนินการ ${\displaystyle \lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })}$${\displaystyle \lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)}$

ตอนนี้เราอาจระบุผลการจำแนกประเภทสำหรับตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองได้ดังนี้: ตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองสองตัวจะเทียบเท่ากันแบบเอกภาพก็ต่อเมื่อ (1) สเปกตรัมของพวกมันตรงกันเป็นเซต (2) มาตรวัดที่ปรากฏในการแสดงอินทิกรัลโดยตรงของพวกมันมีเซตของมาตรวัดศูนย์เดียวกัน และ (3) ฟังก์ชันความซ้ำซ้อนของสเปกตรัมของพวกมันตรงกันเกือบทุกที่โดยสัมพันธ์กับมาตรวัดในอินทิกรัลโดยตรง^{[ 37 ]}

ตัวดำเนินการลาปลาเซียนบนR ⁿคือตัวดำเนินการ

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.}$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ตัวดำเนินการลาปลาเซียนจะถูกทำให้เป็นแนวทแยงโดยการแปลงฟูริเยร์ อันที่จริงแล้ว การพิจารณาค่าลบของลาปลาเซียน −Δ นั้นดูเป็นธรรมชาติมากกว่า เนื่องจากเป็นตัวดำเนินการที่มีค่าไม่เป็นลบ (ดูตัวดำเนินการเชิงวงรี )

• ตัวดำเนินการขนาดกะทัดรัดในปริภูมิฮิลเบิร์ต
• ตัวดำเนินการไร้ขอบเขต
• เฮอร์มิเชียนแอดจอยต์
• ผู้ปฏิบัติงานปกติ
• ผู้ปฏิบัติงานเชิงบวก
• สูตร Helffer–Sjöstrand