ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อนุกรมเทย์เลอร์หรือการกระจายเทย์เลอร์ของฟังก์ชันคือผลรวมอนันต์ของพจน์ที่แสดงในรูปของอนุพันธ์ ของฟังก์ชัน ณ จุดเดียว สำหรับฟังก์ชันทั่วไปส่วนใหญ่ ฟังก์ชันและผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์จะมีค่าเท่ากันใกล้จุดนี้ อนุกรมเทย์เลอร์ตั้งชื่อตามบรูค เทย์เลอร์ผู้ริเริ่มอนุกรมนี้ในปี 1715 อนุกรมเทย์เลอร์ยังเรียกว่าอนุกรมแมคลาอรินเมื่อ0คือจุดที่พิจารณาอนุพันธ์ ตามชื่อของโคลิน แมคลาอรินผู้ใช้กรณีพิเศษของอนุกรมเทย์เลอร์อย่างกว้างขวางในศตวรรษที่ 18

ผลรวมย่อย ที่เกิดจากพจน์ n + 1 พจน์ แรกของอนุกรมเทย์เลอร์ คือพหุนามดีกรีnซึ่งเรียกว่าพหุนาม เทย์เลอร์ลำดับที่ nของฟังก์ชัน พหุนามเทย์เลอร์เป็นการประมาณค่าของฟังก์ชัน ซึ่งโดยทั่วไปจะมีความแม่นยำมากขึ้นเมื่อnเพิ่มขึ้นทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ให้การประมาณค่าเชิงปริมาณเกี่ยวกับข้อผิดพลาดที่เกิดจากการใช้การประมาณค่าดังกล่าว ถ้าอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันลู่เข้าผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์จะเป็นลิมิตของลำดับอนันต์ของพหุนามเทย์เลอร์ ฟังก์ชันอาจแตกต่างจากผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์ แม้ว่าอนุกรมเทย์เลอร์จะลู่เข้าก็ตาม ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุดxถ้าฟังก์ชันนั้นเท่ากับผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์ในช่วงเปิด (หรือวงกลมเปิดในระนาบเชิงซ้อน ) ที่มีx อยู่ ภายใน ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่ทุกจุดในช่วง (หรือวงกลม) นั้น

อนุกรมเทย์เลอร์ของ ฟังก์ชันค่า จริงหรือเชิงซ้อนf ( x )ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งที่ จำนวน จริงหรือเชิงซ้อนaคืออนุกรมกำลัง โดยที่n !หมายถึงแฟกทอเรียลของnฟังก์ชันf ^{( n )} ( a )หมายถึงอนุพันธ์อันดับที่nของfที่ประเมินค่า ณ จุดaอนุพันธ์อันดับศูนย์ของfถูกกำหนดให้เป็นfเอง และ( x − a ) ⁰และ0! ถูกกำหนดให้เป็น  1 ทั้งคู่ อนุกรมนี้สามารถเขียนได้โดยใช้สัญกรณ์ซิกมาดังในสูตรด้านขวา^{[ 1 ]}พหุนามเทย์เลอร์ ที่สอดคล้องกันของดีกรีnคือ เมื่อa = 0อนุกรมแมคลาลินจะมีรูปแบบดังนี้: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}.}$$$${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}.}$$$${\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.}$$

อนุกรมเทย์เลอร์สืบทอดคุณสมบัติพื้นฐานของอนุกรมกำลัง อนุกรมเทย์เลอร์ยังสามารถรวมกันได้ทางพีชคณิต ผลรวม ผลต่าง ผลคูณ และตัวคูณสเกลาร์ของอนุกรมเทย์เลอร์ได้มาจากการดำเนินการที่สอดคล้องกันบนอนุกรมกำลัง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุกรมเทย์เลอร์ของรอบจุดหนึ่งคือผลคูณโคชีของอนุกรมเทย์เลอร์ของและรอบจุดนั้น[ ^{3 ] การ}ประกอบของฟังก์ชันที่มีอนุกรมเทย์เลอร์ก็มีอนุกรมเทย์เลอร์เช่นกัน ซึ่งได้มาจากการแทนที่อนุกรมกำลังลู่เข้าหนึ่งลงในอีกอนุกรมหนึ่งเมื่อการแทนที่นั้นถูกต้อง^{[ 4 ]}${\displaystyle f(x)g(x)}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle x=a}$

อนุกรมเทย์เลอร์สามารถหาอนุพันธ์และอินทิเกรตได้ทีละพจน์ ดังนั้น และ อนุกรมที่หาอนุพันธ์และอินทิเกรตแล้วจะมีรัศมีการลู่เข้าเท่ากับอนุกรมกำลังเดิม แม้ว่าพฤติกรรมการลู่เข้าที่ขอบเขตอาจแตกต่างกันก็ตาม^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(xa)^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(xa)^{n-1},}$$$${\displaystyle \int \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(xa)^{n}\,dx=C+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n+1}}(xa)^{n+1}.}$$

คุณสมบัติเหล่านี้บางครั้งทำให้สามารถคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน เช่น อาร์คแทงเจนต์ ในรูปของอนุกรมที่ง่ายกว่า เช่น อนุกรมเรขาคณิต^{[ 3 ]}

สามารถใช้วิธีการหลายวิธีในการคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์ วิธีหนึ่งอาจใช้คำจำกัดความโดยตรง แม้ว่าวิธีนี้มักจะต้องระบุสูตรทั่วไปสำหรับอนุพันธ์หรือสัมประสิทธิ์ก่อน^{[ 7 ]}ในหลายกรณี อนุกรมเทย์เลอร์ยังสามารถหาได้จากการขยายที่ทราบโดยการจัดการทางพีชคณิตของอนุกรมกำลัง เช่น การแทนที่ การคูณ การหาร การบวก หรือการลบ รวมถึงการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์ของอนุกรมเทย์เลอร์ที่ทราบ^{[ 8 ]}ในบางกรณี อาจได้มาจากการอินทิเกรตซ้ำๆ โดยส่วนในทางปฏิบัติ อนุกรมเทย์เลอร์มักจะคำนวณโดยใช้ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์^{[ 9 ] [ 10 ]}

อนุกรมแมคลาลินมาตรฐานจำนวนหนึ่งมักถูกใช้เป็นจุดเริ่มต้นในการคำนวณอนุกรมเทย์เลอร์อื่นๆ ตัวอย่างพื้นฐานบางส่วนแสดงไว้ด้านล่างนี้ ส่วนรายการที่ครอบคลุมมากขึ้นจะปรากฏในภายหลังของบทความนี้

ซีรี่ส์แมคลาอรินทั่วไป

การทำงาน	ซีรีส์แมคลาอริน	การบรรจบกัน
${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$	ทั้งหมด${\displaystyle x}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots }$	ทั้งหมด${\displaystyle x}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots }$	ทั้งหมด${\displaystyle x}$
${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}$	${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }$	${\displaystyle |x|<1}$

ภายในบริเวณการบรรจบกัน อนุกรมเทย์เลอร์สามารถหาอนุพันธ์ได้ทีละพจน์ ตัวอย่างเช่น การหาอนุพันธ์ของอนุกรมเรขาคณิต จะได้ ดังนั้น กระบวนการนี้สามารถทำซ้ำได้ ทำให้ได้ และอื่นๆ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\quad |x|<1,}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}=0+1+2x+3x^{2}+\cdots ,\quad |x|<1.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1},\quad |x|<1.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)x^{n-2},\quad |x|<1.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{4}}}=\sum _{n=3}^{\infty }n(n-1)(n-2)x^{n-3},\quad |x|<1.}$$

ภายในบริเวณการบรรจบกัน อนุกรมเทย์เลอร์สามารถอินทิเกรตได้ทีละพจน์ ตัวอย่างเช่น การอินทิเกรตอนุกรมเรขาคณิต จะ ได้ สิ่งนี้ ซึ่งให้อนุกรมแมคลาลิน^{[ 11 ]} ที่ใช้ได้สำหรับ$${\displaystyle {\frac {1}{1-t}}=1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots ,\quad |t|<1,}$$$${\displaystyle -\log(1-x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1-t}}=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ,\quad |x|<1.}$$$${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}},}$$${\displaystyle |x|<1}$

อนุกรมเทย์เลอร์สามารถประกอบขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น หากทราบอนุกรมเทย์เลอร์ของ ก็จะได้อนุกรมเทย์เลอร์ของ โดยการประเมินที่เทอมต่อเทอม ตัวอย่างเช่น อนุกรมเรขาคณิต ที่ ประเมิน ที่ จะได้ อนุกรมสุดท้ายนี้สามารถอินทิเกรตเทอมต่อเทอมเพื่อให้ได้^{[ 11 ]} สำหรับ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f(x^{n})}$${\displaystyle t=x^{n}}$${\displaystyle 1/(1-t)=1+t+t^{2}+\cdots }$${\displaystyle t=-x^{2}}$$${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n}.}$$$${\displaystyle \arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1},}$$${\displaystyle |x|<1}$

ในการคำนวณพหุนามแมคลาลินดีกรี 7 สำหรับฟังก์ชันนั้น เราอาจเขียนฟังก์ชันใหม่เป็นการ ประกอบกันของสองฟังก์ชัน ก่อน คือ x ↦ ln(1 + x )และx ↦ cos x − 1อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับลอการิทึมธรรมชาติคือ (โดยใช้สัญกรณ์บิ๊กโอ ) และสำหรับฟังก์ชันโคไซน์คือ $${\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )},}$$$${\displaystyle f(x)={\ln }{\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )},}$$$${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O{\left(x^{4}\right)}}$$$${\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O{\left(x^{8}\right)}.}$$

พจน์แรกๆ จากอนุกรมที่สองสามารถแทนที่ลงในแต่ละพจน์ของอนุกรมแรกได้ เนื่องจากพจน์แรกในอนุกรมที่สองมีดีกรี 2 พจน์สามพจน์ของอนุกรมแรกจึงเพียงพอที่จะให้พหุนามดีกรี 7: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+O{\left((\cos x-1)^{4}\right)}\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O{\left(x^{8}\right)}.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากฟังก์ชันโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ดังนั้นสัมประสิทธิ์สำหรับเลขชี้กำลังคี่ทั้งหมดจึงเป็นศูนย์

โดยที่อนุกรมเทย์เลอร์ที่จุด 0ของฟังก์ชันg ( x ) = ⁠อดีต^​/cos xอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือ และอนุกรมสำหรับฟังก์ชันโคไซน์คือ $${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,}$$$${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots .}$$

สมมติว่าอนุกรมสำหรับผลหารของพวกมันคือ เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนcos xแล้วกระจายออกมาเป็นอนุกรมจะได้ $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\[5mu]&=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2!}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2!}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2!}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

เมื่อเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ของg ( x ) cos xกับสัมประสิทธิ์ของ e ^x$${\displaystyle c_{0}=1,\ \ c_{1}=1,\ \ c_{2}-{\tfrac {1}{2}}c_{0}={\tfrac {1}{2}},\ \ c_{3}-{\tfrac {1}{2}}c_{1}={\tfrac {1}{6}},\ \ c_{4}-{\tfrac {1}{2}}c_{2}+{\tfrac {1}{24}}c_{0}={\tfrac {1}{24}},\ \ldots .}$$

ดังนั้น สัมประสิทธิ์c _iของอนุกรมสำหรับg ( x )สามารถคำนวณได้ทีละตัว ซึ่งเทียบเท่ากับการหารยาวของอนุกรมสำหรับe ^xและcos x : $${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{4}+\cdots .}$$

การอินทิเกรตอนุกรมเทย์เลอร์แบบเทอมต่อเทอมสามารถใช้เพื่อหาอนุกรมเทย์เลอร์ของอินทิกรัลที่ไม่ใช่แบบพื้นฐานได้ ตัวอย่างเช่น อินทิกรัลเฟรสเนลคือ และไม่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้ อนุกรมแมคลาอรินของมันสามารถกำหนดได้โดยการอินทิเกรตอนุกรมแบบเทอมต่อเทอมซึ่ง ให้^{[ 13 ]}$${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt}$$${\displaystyle S(x)}$$${\displaystyle \sin(t^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}t^{4n+2},}$$$${\displaystyle S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(4n+3)(2n+1)!}}x^{4n+3}.}$$

อนุกรมเทย์เลอร์ยังสามารถใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญบางสมการได้ อีก ด้วย วิธีการคือสมมติว่าคำตอบมีการขยายอนุกรมกำลัง ทำการอนุพันธ์อนุกรมทีละพจน์ แทนที่อนุกรมที่ได้ลงในสมการเชิงอนุพันธ์ จากนั้นกำหนดสัมประสิทธิ์โดยการเทียบกำลังที่เหมือนกันของตัวแปร^{[ 14 ]}

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า ในการแก้ปัญหานั้น เมื่อ แทนค่าลงในสมการเชิงอนุพันธ์จะได้ เนื่องจากการกระจายอนุกรมกำลังมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว สัมประสิทธิ์แต่ละตัวจึงต้องเป็นศูนย์ ดังนั้น สัมประสิทธิ์คู่และคี่จึงถูกกำหนดแยกกันโดยค่าคงที่ที่กำหนดขึ้นเองและ: ดังนั้น หรือเทียบเท่ากับ $${\displaystyle y''-y=0,}$$$${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$$${\displaystyle y''=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_{n}{\bigr )}x^{n}=0.}$$$${\displaystyle a_{n+2}={\frac {a_{n}}{(n+2)(n+1)}}.}$$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{1}}$$${\displaystyle y=a_{0}\left(1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \right)+a_{1}\left(x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \right).}$$$${\displaystyle y=a_{0}\cosh x+a_{1}\sinh x,}$$${\displaystyle y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}}$

ภาพที่แสดงคือค่าประมาณที่แม่นยำของsin xรอบจุดx = 0เส้นโค้งสีชมพูเป็นพหุนามดีกรีเจ็ด$${\displaystyle \sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.}$$

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่านี้ไม่เกิน| x | ⁹ / 9!สำหรับวัฏจักรที่สมบูรณ์ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ( −π < x < π ) ข้อผิดพลาดจะน้อยกว่า 0.08215 โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ−1 < x < 1ข้อผิดพลาดจะน้อยกว่า 0.000003

ในทางตรงกันข้าม ยังแสดงภาพของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติln(1 + x )และพหุนามเทย์เลอร์บางส่วนของฟังก์ชันนี้รอบๆ ค่าa = 0 ด้วย ค่าประมาณเหล่านี้จะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันเฉพาะในบริเวณ−1 < x ≤ 1 เท่านั้น นอกบริเวณนี้ พหุนามเทย์เลอร์ที่มีดีกรีสูงกว่าจะเป็น ค่าประมาณ ที่ไม่ดีสำหรับฟังก์ชันนี้

ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการประมาณฟังก์ชันด้วยพหุนาม เทย์เลอร์ดีกรี nเรียกว่าเศษเหลือและแสดงด้วยฟังก์ชันR _n ( x ) ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์สามารถใช้เพื่อหาขอบเขตของขนาดของเศษเหลือได้^{[ 15 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์เขียนฟังก์ชันที่ตรงตามสมมติฐานของทฤษฎีบทในรูปแบบ พฤติกรรมของส่วนที่เหลือเมื่อnเข้าสู่∞ จะเป็นตัวกำหนดว่าอนุกรมเทย์เลอร์แสดงถึงฟังก์ชันดั้งเดิมหรือไม่ ซึ่งเป็นคำถามเกี่ยวกับการลู่เข้าและความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(x).}$$

รูปแบบหนึ่งของสูตรการแทรกสอดของเกรกอรี-นิวตันสามารถเขียนได้ดังนี้ ซึ่งแทรกสอดพหุนามในรูปของผลต่างจำกัดที่ประเมิน ณ จุดเดียวและโดยที่คือแฟกทอเรียลที่ลดลงสำหรับพหุนาม อนุกรมนี้จะสิ้นสุดและให้พหุนามอย่างแม่นยำ โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันจะยอมรับการพัฒนาของเกรกอรี-นิวตันภายใต้สมมติฐานเชิงวิเคราะห์ที่เหมาะสม ซึ่งกำหนดขึ้นอย่างคลาสสิกโดยNiels Erik Nørlundในแง่ของโฮโลมอร์ฟีในระนาบครึ่งพร้อมกับเงื่อนไขการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (x-a)_{k}}$

การสรุปทั่วไปของอนุกรมเทย์เลอร์ที่ลู่เข้าสู่ค่าของฟังก์ชันเองสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขต ใด ^ๆบน(0, ∞)และสามารถทำได้โดยใช้แคลคูลัสของผลต่างจำกัดโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ซึ่งเกิดจากEinar Hilleว่าสำหรับt > 0 ใดๆ [ ^{19 ]} ที่นี่Δ$${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$$^เอ็น_เอชคือ ตัวดำเนินการผลต่างจำกัดลำดับที่ nโดยมีขนาดขั้นตอนhอนุกรมนี้คืออนุกรมเทย์เลอร์อย่างแม่นยำ ยกเว้นว่าผลต่างหารปรากฏแทนการหาอนุพันธ์ เมื่อฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุดaพจน์ในอนุกรมจะลู่เข้าสู่พจน์ของอนุกรมเทย์เลอร์ และในแง่นี้จึงเป็นการขยายอนุกรมเทย์เลอร์แบบปกติ

โดยทั่วไป สำหรับลำดับอนันต์ใดๆa _iเอกลักษณ์อนุกรมกำลังต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 20 ]} ดังนั้นโดยเฉพาะ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$$$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.}$$

อนุกรมทางด้านขวาคือค่าที่คาดหวังของf ( a + X )โดยที่Xเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปัวซง ซึ่งมีค่าเป็นjhด้วยความน่าจะเป็นe ^{− t / h} · ⁠( ต / ชม . ) ^จ/เจ !ดังนั้น [ ^{21 ]​}$${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}$$

กฎของจำนวนมากบ่งชี้ว่าเอกลักษณ์นั้นเป็นจริง^{[ 20 ]}

อนุกรมเทย์เลอร์เกิดจากการหาค่าอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันที่จุดเดียว แต่การที่อนุกรมนี้ลู่เข้าสู่ฟังก์ชันนั้นไม่ได้หมายความว่าอนุกรมจะลู่เข้าเสมอไป โดยทั่วไปแล้ว อนุกรมเทย์เลอร์อาจไม่ลู่เข้า หรืออาจลู่เข้าสู่ฟังก์ชันที่แตกต่างจากฟังก์ชันเดิมก็ได้

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน สามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งที่และอนุพันธ์ทั้งหมดของฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับศูนย์ดังนั้นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันที่ จึงเป็นอนุกรมศูนย์ แม้ว่าตัวฟังก์ชันเองจะไม่เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ก็ตาม นี่เป็นตัวอย่างมาตรฐานของ ฟังก์ชัน เรียบที่ไม่ใช่เชิงวิเคราะห์^{[ 22 ]}$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0,\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

โดยทั่วไปแล้ว อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันแสดงถึงฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งที่พจน์เหลือในทฤษฎีบทของเทย์เลอร์มีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์ ณ จุดนั้น ถ้า เช่นนั้น อนุกรมเทย์เลอร์จะลู่เข้าสู่ ค่าใดค่าหนึ่ง อย่างแม่นยำเมื่อใด ${\displaystyle x}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(x),}$$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0.}$$

ฟังก์ชันเรียกว่าเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ณ จุดหนึ่ง หากฟังก์ชันนั้นเท่ากับผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันนั้นในช่วงเปิดบางช่วงรอบจุดนั้น หรือในกรณีเชิงซ้อน ในวงกลมเปิดบางวง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในบริเวณหนึ่ง หากฟังก์ชันนั้นกำหนดโดยอนุกรมกำลังลู่เข้าในบริเวณนั้น ดังนั้น หาก อยู่ใกล้ แล้วการหาอนุพันธ์ของอนุกรมทีละพจน์และกำหนดให้ จะได้ ดังนั้น การขยายอนุกรมกำลังของฟังก์ชันวิเคราะห์คืออนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันนั้น^{[ 23 ] [ 24 ]}$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}}$$${\displaystyle b}$${\displaystyle x=b}$$${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}.}$$

ในการวิเคราะห์เชิงจริง ความสามารถในการหาอนุพันธ์อนันต์ไม่ได้หมายความถึงความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ดังที่ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นทฤษฎีบทของโบเรลบ่งชี้ว่า อนุกรมกำลัง ทุกชุดเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเรียบบางฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ทุกฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์^{[ 25 ]}ฟังก์ชันที่มีอนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้าสู่ฟังก์ชันตลอดระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด เรียกว่า ฟังก์ชันเอนไทร์ พหุนามฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันเอนไทร์^{[ 26 ]}

สำหรับอนุกรมกำลังใดๆ จะมีจำนวนหนึ่งที่เรียกว่ารัศมีของการลู่เข้าซึ่งอนุกรมจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์สำหรับและลู่เข้าสำหรับ[ ^{27 ] [ 28 ] รัศมี}อาจเป็นศูนย์ มีค่าจำกัดและเป็นบวก หรือเป็นอนันต์ โดยกำหนดจากสูตร Cauchy–Hadamard โดยใช้ข้อกำหนดทั่วไปสำหรับและเมื่อลิมิตมีอยู่ การทดสอบอัตราส่วนมักจะให้ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n},}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle |x-a|<R}$${\displaystyle |x-a|>R}$$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|c_{n}|^{1/n},}$$${\displaystyle R=0}$${\displaystyle R=\infty }$$${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}$$

ดังนั้น เมื่ออนุกรมเทย์เลอร์ลู่เข้า มันจะลู่เข้าในช่วงเปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ในกรณีจำนวนจริง หรือในวงกลมเปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ในกรณีจำนวนเชิงซ้อน พฤติกรรมที่จุดขอบเขตอาจแตกต่างกันไป อนุกรมอาจลู่เข้าที่บางจุด ทุกจุด หรือไม่ลู่เข้าเลยก็ได้^{[ 29 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

สำหรับฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อน รัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์ที่คือระยะทางจากไปยังจุดที่ใกล้ที่สุดซึ่งฟังก์ชันไม่สามารถขยายต่อไปได้แบบโฮโลมอร์ฟิก ในตัวอย่างทั่วไปหลายๆ ตัวอย่าง นี่คือระยะทางไปยังจุดเอกฐาน ที่ใกล้ที่สุด ในระนาบเชิงซ้อน^{[ 30 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

สิ่งนี้อธิบายรัศมีของการลู่เข้าที่แตกต่างกันสำหรับอนุกรมเทย์เลอร์ที่คุ้นเคย อนุกรมสำหรับ, , และมีรัศมีของการลู่เข้าเป็นอนันต์เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ ในทางตรงกันข้าม อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับที่มีรัศมีของการลู่เข้าเนื่องจากจุดเอกฐานที่ใกล้ที่สุดอยู่ที่^{[ 31 ]}${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \sin x}$${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle \log(1+x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x=-1}$

ความผิดปกติเชิงซ้อนสามารถกำหนดรัศมีของการลู่เข้าได้แม้กระทั่งสำหรับฟังก์ชันที่เรียบบนเส้นจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น เรียบสำหรับจำนวนจริงทุกค่าแต่ชุดอนุกรมเทย์เลอร์ที่มีรัศมีของการลู่เข้า เนื่องจากฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สอดคล้อง กันมีความผิดปกติที่และ^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x=i}$${\displaystyle x=-i}$

รัศมีของการลู่เข้าไม่ควรสับสนกับคุณภาพของการประมาณค่าด้วยพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีต่ำ พหุนามเทย์เลอร์อาจประมาณค่าฟังก์ชันได้อย่างแม่นยำใกล้จุดศูนย์กลาง แม้ว่าอนุกรมเทย์เลอร์ทั้งหมดจะมีรัศมีของการลู่เข้าเล็กน้อยก็ตาม ในทางกลับกัน ใกล้ขอบเขตของช่วงหรือวงกลมของการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์อาจลู่เข้าช้า นอกรัศมีของการลู่เข้า อนุกรมเทย์เลอร์จะไม่แสดงถึงฟังก์ชัน^{[ 27 ] [ 32 ]}

อนุกรมเทย์เลอร์ไม่สามารถมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่ฟังก์ชันไม่เป็นเชิงวิเคราะห์ได้ ความผิดปกติบางอย่าง เช่นขั้วสามารถอธิบายได้ด้วยอนุกรมลอเรนต์ถ้ามีขั้วอันดับที่แล้วใกล้ๆขั้วนั้นจะมีอนุกรมลอเรนต์ในรูปแบบ ฟังก์ชัน เมโรเมอร์ฟิกคือฟังก์ชันที่เป็นเชิงวิเคราะห์ ยกเว้นที่ขั้วที่แยกเดี่ยวๆ ใกล้ๆ ขั้วแต่ละขั้วจะมีอนุกรมลอเรนต์ที่มีพจน์กำลังลบเพียงจำนวนจำกัด^{[ 33 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle z=a}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle \sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันวิเคราะห์ในวงแหวน จะมีอนุกรมลอเรนต์ลู่เข้าในรูปแบบ ในวงแหวนนั้น^{[ 34 ]}$${\displaystyle r<|z-a|<R}$$$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}}$$

ความผิดปกติประเภทอื่น ๆ เช่นจุดแตกแขนงสามารถเกิดขึ้นได้กับฟังก์ชันพีชคณิตหากเป็นฟังก์ชันพีชคณิตของตัวแปรเชิงซ้อนและเป็นจุดแตกแขนง ก็ไม่จำเป็นต้องมีอนุกรมเทย์เลอร์ที่จุดอย่างไรก็ตาม หลังจากการเปลี่ยนตัวแปร โดยที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่เรียกว่าดัชนีการแตกแขนงสาขาของฟังก์ชัน จะกลายเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของการขยายที่ได้ในกำลังเศษส่วนของเรียกว่าอนุกรมPuiseux ^{[ 35 ]}${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z=a}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z=a}$$${\displaystyle z-a=t^{e},}$$${\displaystyle e}$${\displaystyle t}$${\displaystyle z-a}$

อนุกรมเทย์เลอร์อาจขยายไปสู่ฟังก์ชันของตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวด้วย^{[ 36 ]} นิพจน์สุดท้ายคืออนุกรมเทย์เลอร์แบบหลายตัวแปรในแง่ของสัญกรณ์ดัชนีหลาย ตัว ที่มีความคล้ายคลึงกับกรณีตัวแปรเดียวอย่างสมบูรณ์ $${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots ,\\&=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ).\end{aligned}}}$$

ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันf ( x , y )ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรสองตัวคือxและyอนุกรมเทย์เลอร์อันดับสองรอบจุด( a , b )คือ โดยที่ตัวห้อยแสดงถึงอนุพันธ์ย่อย ตาม ลำดับ $${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$$

การขยายอนุกรมเทย์เลอร์อันดับสองของฟังก์ชันค่าสเกลาร์ที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวสามารถเขียนได้อย่างกระชับดังนี้ โดย ที่D f ( a )คือเกรเดียนต์ของfที่ประเมินค่าที่x = aและD ² f ( a )คือเมทริกซ์เฮสเซียน $${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$$

ในการคำนวณการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์อันดับสองรอบจุด( a , b ) = (0, 0)ของฟังก์ชัน จำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ย่อยที่จำเป็นทั้งหมดก่อน: $${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}},\\f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}},\\f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$$

การประเมินค่าอนุพันธ์เหล่านี้ที่จุดกำเนิดจะให้ค่าสัมประสิทธิ์ของเทย์เลอร์ $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0,&f_{y}(0,0)&=1,\\f_{xx}(0,0)&=0,&f_{yy}(0,0)&=-1,\\f_{xy}(0,0)&=1.\end{aligned}}}$$

เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรทั่วไป จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&\qquad {}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}}$$

เนื่องจากln(1 + y )เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ใน| y | < 1ดังนั้นเราจึงได้ $${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$$

พหุนามเทย์เลอร์ใช้ในการประมาณค่าฟังก์ชันใกล้จุดใดจุดหนึ่ง การเก็บเฉพาะพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์พจน์แรกมักจะให้แบบจำลองที่ง่ายกว่าสำหรับนิพจน์ที่ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น การประมาณค่ามุมเล็ก มาจากการใช้พจน์แรกของอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันไซน์ และการประมาณค่าลำดับสูงกว่าจะได้มาจากการเก็บพจน์เพิ่มเติม การประมาณค่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลาย เช่น ในทัศนศาสตร์แบบเกาส์เซียนซึ่งศึกษาพฤติกรรมของรังสีแสงที่ทำมุมเล็ก ๆ กับแกนโดยการแทนที่ฟังก์ชันไซน์ด้วยการประมาณค่าเชิงเส้น $${\displaystyle \sin x\approx x}$$

การประมาณค่าดังกล่าวถูกนำมาใช้ในคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิศวกรรม ในทฤษฎีการรบกวน ปริมาณที่ซับซ้อนมักจะถูกขยายเป็นกำลังของพารามิเตอร์ขนาดเล็ก และพจน์แรก ๆ สองสามพจน์จะถูกใช้เป็นคำตอบโดยประมาณ การขยายอนุกรมเทย์เลอร์ยังเกิดขึ้นในการวิเคราะห์ลูกตุ้มอย่างง่ายและในวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการประมาณฟังก์ชัน^{[ 37 ] [ 38 ]}

นักปรัชญากรีกโบราณซีโนแห่งเอเลียพิจารณาปัญหาของการรวมอนุกรมอนันต์เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่จำกัด แต่ปฏิเสธว่าเป็นไปไม่ได้ ผลลัพธ์ที่ได้คือปริศนาของซีโน [ ^{39 ] ต่อ}มาอริสโตเติลเสนอวิธีแก้ปัญหาเชิงปรัชญาของปริศนานี้ แต่เนื้อหาทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะยังไม่ได้รับการแก้ไขจนกระทั่งอาร์คิมิดีส หยิบยกขึ้นมา เช่นเดียวกับที่เดโมคริตัส นักอะตอมนิยมสมัยก่อนโสเครติสได้กล่าวถึงก่อนหน้าอริสโตเติล วิธีการของอาร์คิมิดีสในการหาค่าที่ครบถ้วนทำให้สามารถทำการแบ่งย่อยแบบก้าวหน้าจำนวนอนันต์เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่จำกัดได้^{[ 40 ]}หลิวฮุยได้ใช้วิธีการที่คล้ายกันนี้โดยอิสระในอีกไม่กี่ศตวรรษต่อมา^{[ 41 ]}

ในศตวรรษที่ 14 ตัวอย่างแรกสุดของอนุกรมเทย์เลอร์เฉพาะ (แต่ไม่ใช่วิธีทั่วไป) ได้รับการนำเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อมาธาวะแห่งสังคมาคราม [ ^{42 ] แม้ว่า}จะไม่มีบันทึกเกี่ยวกับงานของเขาหลงเหลืออยู่ แต่บันทึกของลูกศิษย์ของเขาในโรงเรียนดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์แห่งเกรละ ชี้ให้เห็นว่าเขาค้นพบอนุกรม เทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติของไซน์โคไซน์และอาร์คแทงเจนต์ดูอนุกรมมาธาวะในช่วงสองศตวรรษต่อมา ลูกศิษย์ของเขาได้พัฒนาการขยายอนุกรมและการประมาณค่าเชิงตรรกะเพิ่มเติม^{[ 43 ]}

ในช่วงปลายปี 1670 เจมส์ เกรกอรีได้รับจดหมายจากจอห์น คอลลินส์ แสดงให้เห็น อนุกรมแมคลาลินหลายชุด ( sin x , cos x , arcsin xและx cot x ) ซึ่งไอแซค นิวตันได้ คิดค้นขึ้น และได้รับแจ้งว่านิวตันได้พัฒนาวิธีการทั่วไปสำหรับการขยายฟังก์ชันในรูปอนุกรม อันที่จริงนิวตันใช้วิธีที่ยุ่งยากซึ่งเกี่ยวข้องกับการหารอนุกรมแบบยาวและการอินทิเกรตทีละพจน์ แต่เกรกอรีไม่ทราบวิธีการนี้และจึงเริ่มค้นหาวิธีการทั่วไปด้วยตนเอง ในช่วงต้นปี 1671 เกรกอรีได้ค้นพบสิ่งที่คล้ายกับอนุกรมแมคลาลินทั่วไป และส่งจดหมายถึงคอลลินส์ซึ่งรวมถึงอนุกรมสำหรับarctan x , tan x , sec x , ln sec x (อินทิกรัลของtan x ), ln tan x1/2( ⁠​1/2⁠ π + x ) (อินทิกรัลของsec ซึ่งเป็น ฟังก์ชัน Gudermannianผกผัน), arcsec( √ 2 e ^x )และ 2 arctan e ^x − ⁠1/2π (ฟังก์ชันกูเดอร์มันน์) อย่างไรก็ตาม เกรกอรีคิดว่าเขาเพียงแค่พัฒนาวิธีการของนิวตันขึ้นมาใหม่ จึงไม่เคยอธิบายว่าเขาได้อนุกรมเหล่านี้มาได้อย่างไร และสามารถอนุมานได้เพียงว่าเขาเข้าใจวิธีการทั่วไปโดยการตรวจสอบงานร่างที่เขาเขียนไว้ด้านหลังจดหมายอีกฉบับหนึ่งจากปี 1671 ^{[ 44 ]}

ในปี ค.ศ. 1691–1692 นิวตันได้เขียนข้อความที่ชัดเจนเกี่ยวกับอนุกรมเทย์เลอร์และแมคลาอรินในฉบับที่ไม่ได้รับการตีพิมพ์ของงานของเขาDe Quadratura Curvarumซึ่งเป็นสูตรที่ชัดเจนที่สุดที่เก่าแก่ที่สุดของอนุกรมเทย์เลอร์ทั่วไป^{[ 45 ]}อย่างไรก็ตาม งานของนิวตันชิ้นนี้ไม่เคยเสร็จสมบูรณ์ และส่วนที่เกี่ยวข้องถูกละเว้นจากส่วนที่ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1704 ภายใต้ชื่อTractatus de Quadratura Curvarum ^{[ 46 ]}

จนกระทั่งปี ค.ศ. 1715 จึงได้มีการเผยแพร่วิธีการทั่วไปในการสร้างอนุกรมเหล่านี้สำหรับฟังก์ชันทั้งหมดที่มีอยู่โดยBrook Taylorซึ่งปัจจุบันอนุกรมเหล่านี้ได้รับการตั้งชื่อตามเขา^{[ 47 ]}

อนุกรม Maclaurin ได้รับการตั้งชื่อตามColin Maclaurinนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตแลนด์ ซึ่งตีพิมพ์กรณีพิเศษของผลลัพธ์ Taylor ในช่วงกลางศตวรรษที่ 18 ^{[ 48 ]}

ต่อไปนี้เป็นการขยายอนุกรมแมคลาลินที่สำคัญหลายประการ การขยายทั้งหมดนี้ใช้ได้กับอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนxสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อนหลายค่า เช่น ลอการิทึม กำลังเศษส่วน และฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน จะมี สาขาหลักที่เข้าใจได้

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังe ^x (ที่มีฐานe ) มีอนุกรม Maclaurin ^{[ 49 ]} ซึ่งลู่เข้าสำหรับxทั้งหมด $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดเลขชี้กำลังของจำนวนเบลล์คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก่อนหน้า: $${\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$$

ลอการิทึมธรรมชาติ (ฐานe ) มีอนุกรม Maclaurin ^{[ 50 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$$

อนุกรมสุดท้ายเรียกว่าอนุกรมเมอร์เคเตอร์ซึ่งตั้งชื่อตามนิโคลัส เมอร์เคเตอร์เนื่องจากได้รับการตีพิมพ์ในตำราLogarithmotechnia ของเขาในปี 1668 ^{[ 51 ]}อนุกรมทั้งสองนี้ลู่เข้าสำหรับ| x | < 1นอกจากนี้ อนุกรมสำหรับln(1 − x )ลู่เข้าสำหรับx = −1และอนุกรมสำหรับln(1 + x )ลู่เข้าสำหรับx = 1 ^{[ 50 ]}

อนุกรมเรขาคณิตและอนุพันธ์ของอนุกรมเหล่านี้มีอนุกรมแมคลาลิน $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$$

อนุกรมทั้งหมดลู่เข้าเมื่อ| x | < 1ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของอนุกรมทวินามที่กล่าวถึงในส่วนถัดไป

อนุกรมทวินามคืออนุกรมกำลัง

$${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$$

ซึ่งสัมประสิทธิ์คือสัมประสิทธิ์ทวินาม ทั่วไป ^{[ 52 ]}

$${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$$

(ถ้าn = 0ผลคูณนี้จะเป็นผลคูณว่างและมีค่าเท่ากับ1 )และลู่เข้าเมื่อ| x | < 1สำหรับจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนα ใดๆ

เมื่อα = −1นี่คืออนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่กล่าวถึงในส่วนก่อนหน้า กรณีพิเศษα = ⁠1/2และ α = −​1/2ให้ ฟังก์ชัน รากที่สองและฟังก์ชันผกผัน : ^{[ 53 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

เมื่อคงไว้เฉพาะพจน์เชิงเส้น เท่านั้น จะได้เป็นการประมาณค่าแบบทวินาม

ฟังก์ชันตรีโกณมิติปกติและฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเหล่านั้นมีอนุกรม Maclaurin ดังต่อไปนี้: ^{[ 54 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$$

มุมทั้งหมดแสดงในหน่วยเรเดียนตัวเลขB _kที่ปรากฏในการขยายของtan xคือตัวเลขเบอร์นูลลีตัวเลขE _kในการขยายของsec xคือตัวเลขออยเลอร์^{[ 55 ]}

ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกมีอนุกรม Maclaurin ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับอนุกรมสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกัน: ^{[ 56 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$$

ตัวเลขB _kที่ปรากฏในอนุกรมสำหรับtanh xคือตัวเลขเบอร์นูลลี^{[ 56 ]}

ฟังก์ชันพหุโลการิธึมมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}\\{\text{Li}}_{3}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}\end{aligned}}}$$