ในทางฟิสิกส์กลุ่มคลื่น (หรือที่รู้จักกันในชื่อขบวนคลื่นหรือกลุ่มคลื่น ) คือคลื่นที่เกิดขึ้นเป็นช่วงสั้นๆ ในบริเวณเฉพาะที่ซึ่งเคลื่อนที่ไปเป็นหน่วยเดียวกัน โดยมีขอบเขตเป็นซองคลื่น กลุ่มคลื่นสามารถวิเคราะห์หรือสังเคราะห์ได้จากชุดคลื่นไซน์ที่ เป็นส่วนประกอบที่มี เลขคลื่นต่างกัน จำนวนอนันต์ โดยมีเฟสและแอมพลิจูดที่ทำให้เกิดการแทรกสอดแบบเสริมกันเฉพาะในบริเวณเล็กๆ และแทรกสอดแบบหักล้างกันในที่อื่นๆ^{[ 1 ]}สัญญาณใดๆ ที่มีความกว้างจำกัดในเวลาหรือพื้นที่ จำเป็นต้องมีส่วนประกอบความถี่จำนวนมากรอบความถี่ศูนย์กลางภายในแบนด์วิดท์ที่แปรผกผันกับความกว้างนั้น แม้แต่ฟังก์ชันเกาส์เซียนก็ถือว่าเป็นกลุ่มคลื่น เพราะการแปลงฟูริเยร์ ของมัน คือ "กลุ่ม" ของคลื่นความถี่ที่รวมกลุ่มกันอยู่รอบความถี่ศูนย์กลาง^{[ 2 ]}ฟังก์ชันคลื่น ที่ เป็นส่วนประกอบแต่ละ ฟังก์ชัน และด้วยเหตุนี้ กลุ่มคลื่น จึงเป็นคำตอบของ สม การคลื่นขึ้นอยู่กับสมการคลื่น รูปทรงของกลุ่มคลื่นอาจคงที่ (ไม่มีการกระจายตัว ) หรืออาจเปลี่ยนแปลง ( มีการกระจายตัว ) ในขณะที่เคลื่อนที่

แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับแพ็กเก็ตคลื่น – การมอดูเลชั่น คลื่นพาหะความเร็วเฟสและความเร็วกลุ่ม – มีมาตั้งแต่ช่วงกลางทศวรรษ 1800 แนวคิดเรื่องความเร็วกลุ่มที่แตกต่างจากความเร็วเฟสของคลื่นได้รับการเสนอครั้งแรกโดยWR Hamiltonในปี 1839 และได้รับการอธิบายอย่างละเอียดครั้งแรกโดยRayleighในหนังสือ "Theory of Sound" ของเขาในปี 1877 ^{[ 3 ]}

เออร์วิน ชโรดิงเกอร์ได้นำเสนอแนวคิดเรื่องแพ็กเก็ตคลื่นหลังจากตีพิมพ์สมการคลื่น อันโด่งดังของเขา ^{[ 4 ]}เขาแก้สมการคลื่นสำหรับควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์แนะนำหลักการซ้อนทับและใช้มันเพื่อแสดงให้เห็นว่าสถานะกระชับสามารถคงอยู่ได้ แม้ว่างานนี้จะส่งผลให้เกิดแนวคิดที่สำคัญของสถานะโคฮีเรนต์ แต่แนวคิดแพ็กเก็ตคลื่นก็ไม่ได้คงอยู่ หนึ่งปีหลังจากบทความของชโรดิงเกอร์เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์กได้ตีพิมพ์บทความของเขาเกี่ยวกับหลักการความไม่แน่นอน ซึ่งแสดงให้เห็นในกระบวนการว่าผลลัพธ์ของชโรดิงเกอร์ใช้ได้กับ ควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เท่านั้นไม่ใช่กับศักยภาพคูลอมบ์ที่เป็นลักษณะเฉพาะของอะตอม^{[ 4 ] : 829}

ปีต่อมาในปี 1927 ชาร์ลส์ กัลตัน ดาร์วินได้สำรวจสมการของชโรดิงเกอร์สำหรับอิเล็กตรอน อิสระ ในพื้นที่ว่าง โดยสมมติว่าแพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนเริ่ม ต้น ^{[ 5 ]}ดาร์วินแสดงให้เห็นว่า ณ เวลา${\displaystyle t}$ต่อมาตำแหน่ง${\displaystyle x}$ของแพ็กเก็ตที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว${\displaystyle v}$จะเป็น

$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle \sigma }$คือความไม่แน่นอนในตำแหน่งเริ่มต้น

ต่อมาในปี 1927 พอล เอห์เรนเฟสต์ได้แสดงให้เห็นว่าเวลา${\displaystyle T}$สำหรับ แพ็กเก็ต คลื่นสสารที่มีความกว้าง${\displaystyle \Delta x}$และมวล${\displaystyle m}$การแพร่กระจายด้วยปัจจัย 2 คือ${\textstyle T\approx m{\Delta x}^{2}/\hbar }$. เนื่องจาก${\displaystyle \hbar }$มีขนาดเล็กมาก แพ็กเก็ตคลื่นในระดับของวัตถุขนาดใหญ่ที่มีความกว้างและมวลมาก จะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าเฉพาะในช่วงเวลาจักรวาล เท่านั้น ^{[ 6 ] : 49}

กลศาสตร์ควอนตัมอธิบายธรรมชาติของระบบอะตอมและอนุภาคย่อยอะตอมโดยใช้สมการคลื่นของชโรดิงเกอร์ ขีดจำกัดคลาสสิกของกลศาสตร์ควอนตัมและสูตรการกระเจิงควอนตัมจำนวนมากใช้แพ็กเก็ตคลื่นที่เกิดจากคำตอบต่างๆ ของสมการนี้ โปรไฟล์แพ็กเก็ตคลื่นควอนตัมเปลี่ยนแปลงขณะแพร่กระจาย พวกมันแสดงการกระจายตัว นักฟิสิกส์สรุปว่า "แพ็กเก็ตคลื่นไม่สามารถใช้เป็นตัวแทนของอนุภาคย่อยอะตอมได้" ^{[ 4 ] : 829}

แพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนแบบกระจายข้างต้น ซึ่งไม่ได้ทำให้เป็นมาตรฐานและมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด แทนที่จะเป็นที่t = 0 สามารถเขียนเป็น 3 มิติได้แล้ว โดยใช้หน่วยมาตรฐานดังนี้: ^{[ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},}$$ การแปลงฟูริเยร์ก็เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนในแง่ของเลขคลื่น ซึ่งก็คือเวกเตอร์ k เช่นกัน$${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.}$$ โดยที่aและส่วนกลับของมันเป็นไปตามความสัมพันธ์ของความไม่แน่นอน$${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,}$$ โดยที่ $${\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2},}$$ สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกำลังสองของความกว้างของกลุ่มคลื่นในขณะที่ส่วนกลับของมันสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2}.}$$

คลื่นแต่ละลูกจะหมุนเฟสในเวลาเท่านั้น ดังนั้นคำตอบที่แปลงฟูริเยร์แบบขึ้นอยู่กับเวลาจึงเป็นดังนี้

การแปลงฟูริเยร์ผกผันยังคงเป็นฟังก์ชันเกาส์เซียน แต่ในที่นี้พารามิเตอร์aกลายเป็นจำนวนเชิงซ้อน และมีปัจจัยการปรับค่ามาตรฐานโดยรวม

อินทิกรัลของΨเหนือปริภูมิทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากเป็นผลคูณภายในของΨกับสถานะพลังงานศูนย์ ซึ่งเป็นคลื่นที่มีความยาวคลื่นอนันต์ เป็นฟังก์ชันคงที่ของปริภูมิ สำหรับสถานะพลังงานη ( x ) ใดๆ ผลคูณภายใน $${\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$$ การเปลี่ยนแปลงตามเวลาเกิดขึ้นในรูปแบบง่ายๆ เท่านั้น คือ เฟสของมันจะหมุนด้วยความถี่ที่กำหนดโดยพลังงานของηเมื่อηมีพลังงานเป็นศูนย์ เช่นเดียวกับคลื่นที่มีความยาวคลื่นอนันต์ มันจะไม่เปลี่ยนแปลงเลย

สำหรับค่าที่กำหนด${\displaystyle t}$เฟสของฟังก์ชันคลื่นจะแปรผันตามตำแหน่งดังนี้${\displaystyle {\frac {\hbar t/m}{2(a^{2}+(\hbar t/m)^{2})}}\|\mathbf {r} \|^{2}}$มันแปรผัน ตามตำแหน่ง แบบกำลังสองซึ่งหมายความว่ามันแตกต่างจากการคูณด้วยตัวประกอบเฟส เชิงเส้น${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$เช่นเดียวกับกรณีของการให้โมเมนตัมคงที่แก่กลุ่มคลื่น โดยทั่วไปแล้ว เฟสของกลุ่มคลื่นเกาส์เซียนจะมีทั้งพจน์เชิงเส้นและพจน์กำลังสอง สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสองเริ่มต้นด้วยการเพิ่มขึ้นจาก${\displaystyle -\infty }$ต่อ${\displaystyle 0}$เมื่อกลุ่มคลื่นเกาส์เซียนมีความคมชัดมากขึ้น ณ ขณะที่มีความคมชัดสูงสุด เฟสของฟังก์ชันคลื่นจะแปรผันเชิงเส้นกับตำแหน่ง จากนั้นสัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสองจะเพิ่มขึ้นจาก${\displaystyle 0}$ต่อ${\displaystyle +\infty }$ขณะที่กลุ่มคลื่นเกาส์เซียนแผ่ขยายออกไปอีกครั้ง

อินทิกรัล∫ |Ψ| ² d ³ rก็ไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน ซึ่งเป็นข้อความแสดงถึงการอนุรักษ์ความน่าจะเป็น^{[ 16 ]}อย่างชัดเจน $${\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},}$$ โดยที่rคือระยะห่างจากจุดกำเนิด ความเร็วของอนุภาคเป็นศูนย์ และความกว้างกำหนดโดย $${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}},}$$ ซึ่งคือ√ aณ เวลาt = 0 (ที่เลือกโดยพลการ) ในขณะที่เติบโตเชิงเส้นตามเวลาในที่สุดเป็นħt /( m √ a )ซึ่งบ่งชี้ถึง การแพร่ กระจายของกลุ่มคลื่น^{[ 17 ]}

ตัวอย่างเช่น หากแพ็กเก็ตคลื่นอิเล็กตรอนเริ่มต้นอยู่ในบริเวณที่มีขนาดระดับอะตอม (เช่น10 ⁻¹⁰ม.) ความกว้างของแพ็กเก็ตจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าในเวลาประมาณ10 ⁻¹⁶วินาที เห็นได้ชัดว่าแพ็กเก็ตคลื่นอนุภาคแพร่กระจายออกไปอย่างรวดเร็วมาก (ในพื้นที่ว่าง): ^{[ 18 ]}ตัวอย่างเช่น หลังจาก1มิลลิวินาที ความกว้างจะเพิ่มขึ้นเป็นประมาณหนึ่งกิโลเมตร

การเติบโตเชิงเส้นนี้สะท้อนให้เห็นถึงความไม่แน่นอนของโมเมนตัม (ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา): กลุ่มคลื่นถูกจำกัดอยู่ในช่วงแคบๆΔ x = √ a /2ดังนั้นจึงมีโมเมนตัมที่ไม่แน่นอน (ตามหลักการความไม่แน่นอน) เป็นจำนวนħ / √ 2 aการกระจายตัวของความเร็วเป็นħ/m √ 2 aและดังนั้นตำแหน่งในอนาคตจึงเป็นħt /m √ 2 aความสัมพันธ์ของความไม่แน่นอนจึงเป็นอสมการที่เข้มงวด ซึ่งห่างไกลจากจุดอิ่มตัวมาก! ความไม่แน่นอนเริ่มต้นΔ x Δ p = ħ /2ได้เพิ่มขึ้นเป็นปัจจัยħt/ma (สำหรับ tที่มาก)

กรณี 2 มิติ

ฟังก์ชันคลื่นควอนตัม 2 มิติแบบเกาส์เซียน:

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\psi (x,t)\psi (y,t)}$

${\displaystyle \psi (x,t)=\left({\frac {2a^{2}}{\pi }}\right)^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{\left(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}}\right)^{1/4}}}e^{ik_{0}x}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}\right]}$

โดยที่^{[ 19 ]}

${\displaystyle \phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\hbar t}{ma^{2}}}}$

ตรงกันข้ามกับแพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนข้างต้นซึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วกลุ่มคงที่และกระจายตัวอยู่เสมอ มีฟังก์ชันคลื่นที่อิงตามฟังก์ชัน Airyซึ่งแพร่กระจายอย่างอิสระโดยไม่มีการกระจายซอง รักษารูปร่าง และเร่งความเร็วในพื้นที่ว่าง: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} \left[{\frac {B}{\hbar ^{2/3}}}\left(x-{\frac {B^{3}t^{2}}{4m^{2}}}\right)\right]e^{(iB^{3}t/2m\hbar )[x-(B^{3}t^{2}/6m^{2})]},}$$ โดยเพื่อความเรียบง่าย (และการทำให้เป็นมิติไร้หน่วย ) การเลือกħ = 1 , m = 1/2และBเป็นค่าคงที่ใดๆ จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} [B(x-B^{3}t^{2})]\,e^{iB^{3}t(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2})}\,.}$$

ในสถานการณ์ที่ปราศจากแรงนี้ ไม่มีความขัดแย้งกับทฤษฎีบทของ Ehrenfestเนื่องจากสถานะดังกล่าวไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ และมีค่า⟨ x ⟩ ที่ไม่นิยาม (อนันต์) สำหรับทุกช่วงเวลา (ในขอบเขตที่สามารถนิยามได้ ค่า⟨ p ⟩ = 0สำหรับทุกช่วงเวลา แม้ว่าจะมีการเร่งความเร็วที่เห็นได้ชัดของส่วนหน้าก็ตาม)

คลื่น Airy เป็นคลื่นไร้การกระจายตัวเพียงชนิดเดียวในพื้นที่ว่างหนึ่งมิติ^{[ 21 ]}ในมิติที่สูงกว่านั้น คลื่นไร้การกระจายตัวชนิดอื่นก็เป็นไปได้^{[ 22 ]}

ในปริภูมิเฟสสิ่งนี้เห็นได้ชัดเจนใน ฟังก์ชันความ น่าจะเป็นวิกเนอร์แบบบริสุทธิ์ของคลื่นชุดนี้ ซึ่งรูปร่างในxและpไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป แต่ลักษณะเฉพาะจะเร่งตัวไปทางขวาในลักษณะพาราโบลาที่เร่งตัวขึ้น ฟังก์ชันวิกเนอร์เป็นไปตามเงื่อนไข$${\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={\frac {1}{2^{1/3}\pi B}}\,\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(B(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2})^{2}\right)\right)\\&=W(x-2pt,p;0).\end{aligned}}}$$ความเท่าเทียมกันทั้งสามประการนี้แสดงให้เห็นถึงข้อเท็จจริงสามประการ:

1. การเปลี่ยนแปลงตามเวลาเทียบเท่ากับการแปลในปริภูมิเฟสโดย${\displaystyle (B^{3}t^{2},B^{3}t)}$.
2. เส้นโค้งแสดงระดับของฟังก์ชันวิกเนอร์มีรูปร่างเป็นพาราโบลา${\textstyle B\left(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2}\right)^{2}=C}$.
3. การเปลี่ยนแปลงตามเวลาเทียบเท่ากับการเฉือนในปริภูมิเฟสตามแนว${\displaystyle x}$-ทิศทางที่ความเร็ว${\displaystyle p/m=2p}$.

โปรดสังเกตว่าการกระจายโมเมนตัมที่ได้จากการอินทิเกรตเหนือค่าx ทั้งหมด นั้นมีค่าคงที่ เนื่องจากนี่คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในปริภูมิโมเมนตัมจึงเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันคลื่นนั้นไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้

ขีดจำกัดความกว้างแคบของโซลูชันแพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียนที่กล่าวถึงคือเคอร์เนลตัวแพร่ แบบอิสระ Kสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ โดยทั่วไปจะเรียกว่าฟังก์ชันกรีน [ ^{23 ]}แต่ในกลศาสตร์ควอนตัมเป็นธรรมเนียมที่จะสงวนชื่อฟังก์ชันกรีนไว้สำหรับการแปลงฟูริเยร์^เวลาของK

เพื่อความง่าย จึงกลับมาพิจารณาในมิติเดียว โดย กำหนดให้ mและ ħ เท่ากับหนึ่ง เมื่อaคือปริมาณอนันต์εซึ่งเป็นเงื่อนไขเริ่มต้นแบบเกาส์เซียนที่ปรับขนาดใหม่เพื่อให้ปริพันธ์มีค่าเท่ากับหนึ่ง $${\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,}$$ กลายเป็นฟังก์ชันเดลต้า δ ( x )ดังนั้นวิวัฒนาการตามเวลาของ มัน$${\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2(it+\varepsilon )}\,}$$ ส่งผลให้ได้ตัวแพร่

โปรดสังเกตว่ากลุ่มคลื่นเริ่มต้นที่แคบมากจะขยายกว้างออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในทันที แต่เฟสจะแกว่งตัวเร็วขึ้นเมื่อค่าx มีขนาดใหญ่ สิ่งนี้อาจดูแปลก—คำตอบเปลี่ยนจากที่จำกัดอยู่ ณ จุดหนึ่งไปเป็น "ทุกหนทุกแห่ง" ในช่วงเวลาต่อมาทั้งหมดแต่เป็นการสะท้อนถึงความไม่แน่นอนของโมเมนตัม มหาศาล ของอนุภาคที่จำกัดอยู่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น

นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่าค่ามาตรฐานของฟังก์ชันคลื่นเป็นอนันต์ ซึ่งก็ถูกต้องเช่นกัน เนื่องจากกำลังสองของฟังก์ชันเดลต้ามีค่าลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ในลักษณะเดียวกัน

ปัจจัยที่เกี่ยวข้องกับεคือปริมาณเล็กน้อยมากซึ่งมีอยู่เพื่อให้แน่ใจว่าการอินทิเกรตเหนือK นั้น มีความหมายที่ชัดเจน ในกรณีที่ε → 0นั้นKจะกลายเป็นเพียงการแกว่งไปมา และการอินทิเกรตของKจะไม่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ในส่วนที่เหลือของหัวข้อนี้ เราจะกำหนดให้ ε เป็นศูนย์ แต่เพื่อให้การอินทิเกรตเหนือสถานะกลางทั้งหมดมีความหมายที่ชัดเจน การพิจารณาลิมิตε → 0 นั้นจะต้องพิจารณาหลังจากคำนวณสถานะสุดท้ายแล้วเท่านั้น

ตัวแพร่คือแอมพลิจูดสำหรับการไปถึงจุดxที่เวลาtเมื่อเริ่มต้นจากจุดกำเนิดx = 0 เนื่องจากสมบัติการไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง แอมพลิจูดสำหรับการไปถึงจุดxเมื่อเริ่มต้นจากจุดyจะเป็นฟังก์ชันเดียวกัน เพียงแต่ตอนนี้ถูกเลื่อนตำแหน่งแล้ว $${\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}$$

ในกรณีที่tมีค่าน้อยมาก ตัวแพร่กระจายจะกลายเป็นฟังก์ชันเดลต้า $${\displaystyle \lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}$$ แต่เฉพาะในแง่ของการกระจาย เท่านั้น : อินทิกรัลของปริมาณนี้คูณด้วยฟังก์ชันทดสอบ ที่หาอนุพันธ์ได้โดยพลการ จะให้ค่าของฟังก์ชันทดสอบที่ศูนย์

เพื่อให้เห็นภาพนี้ โปรดสังเกตว่าปริพันธ์เหนือปริภูมิทั้งหมดของKมีค่าเท่ากับ 1 ตลอดเวลา $${\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}$$ เนื่องจากปริพันธ์นี้คือผลคูณภายในของKกับฟังก์ชันคลื่นสม่ำเสมอ แต่ตัวประกอบเฟสในเลขชี้กำลังมีอนุพันธ์เชิงพื้นที่ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่จุดกำเนิด ดังนั้นเมื่อเวลาน้อย จะมีการหักล้างเฟสอย่างรวดเร็วที่ทุกจุดยกเว้นจุดเดียว นี่เป็นความจริงอย่างเคร่งครัดเมื่อพิจารณา ลิมิต ε →0 ในตอนท้ายสุด

ดังนั้น เคอร์เนลการแพร่กระจายคือวิวัฒนาการของฟังก์ชันเดลต้าในอนาคต และมีความต่อเนื่องในแง่หนึ่ง กล่าวคือ มันจะกลับไปสู่ฟังก์ชันเดลต้าเริ่มต้นในช่วงเวลาสั้นๆ หากฟังก์ชันคลื่นเริ่มต้นเป็นยอดแหลมที่แคบมาก ณตำแหน่ง y$${\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,}$$ มันกลายเป็นคลื่นสั่น $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}$$

เนื่องจากฟังก์ชันทุกฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมถ่วงน้ำหนักของยอดแหลมแคบๆ เหล่านั้น $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}$$ การเปลี่ยนแปลงตามเวลาของ ฟังก์ชัน ψ ทุกฟังก์ชัน ถูกกำหนดโดยเคอร์เนลการแพร่กระจายKนี้

ดังนั้น นี่จึงเป็นวิธีการอย่างเป็นทางการในการแสดงคำตอบพื้นฐานหรือคำตอบทั่วไปการตีความของนิพจน์นี้คือ แอมพลิจูดสำหรับอนุภาคที่จะพบที่จุดxในเวลาtคือแอมพลิจูดที่เริ่มต้นที่yคูณด้วยแอมพลิจูดที่เคลื่อนที่จากyไปยังxรวมกันเหนือจุดเริ่มต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด กล่าวอีก นัยหนึ่งคือ เป็นการสังเคราะห์ของเคอร์เนลKกับเงื่อนไขเริ่มต้นψ $${\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}$$

เนื่องจากแอมพลิจูดในการเดินทางจากxไปyหลังจากเวลาt + t ' สามารถพิจารณาได้ในสองขั้นตอน ตัวแพร่กระจายจึงเป็นไปตามเอกลักษณ์การประกอบ $${\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}$$ ซึ่งสามารถตีความได้ดังนี้: แอมพลิจูดในการเดินทางจากxไปยังzในเวลาt + t ' คือผลรวมของแอมพลิจูดในการเดินทางจากxไปยังyในเวลาtคูณด้วยแอมพลิจูดในการเดินทางจากyไปยังzในเวลาt ' ซึ่งรวมกันเหนือสถานะกลางที่เป็นไปได้ทั้งหมด yนี่เป็นคุณสมบัติของระบบควอนตัมใดๆ และการแบ่งเวลาออกเป็นหลายส่วนทำให้สามารถแสดงวิวัฒนาการของเวลาเป็นปริพันธ์เส้นทางได้^{[ 24 ]}

การแพร่กระจายของกลุ่มคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมมีความสัมพันธ์โดยตรงกับการแพร่กระจายของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในการแพร่กระจายสำหรับอนุภาคที่เดินแบบสุ่มฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะสอดคล้องกับสมการการแพร่กระจาย^{[ 25 ]}$${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ,}$$ โดยที่ตัวประกอบ 2 ซึ่งสามารถกำจัดออกได้โดยการปรับขนาดเวลาหรือพื้นที่นั้น มีไว้เพื่อความสะดวกเท่านั้น

คำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันเกาส์เซียน ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา$${\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t},}$$ ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของความร้อนเนื่องจากปริพันธ์ของρtมีค่าคงที่ในขณะที่ความกว้างแคบลงในช่วงเวลาสั้นๆ ฟังก์ชันนี้จึงเข้าใกล้ฟังก์ชันเดลต้าที่t = 0 $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)}$$ อีกครั้ง เฉพาะในแง่ของการกระจายเท่านั้น ดังนั้น $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)}$$ สำหรับฟังก์ชันทดสอบf ใด ๆ

ฟังก์ชันเกาส์เซียนที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเป็นแกนการแพร่กระจายสำหรับสมการการแพร่ และเป็นไปตามเอกลักษณ์ การสังเคราะห์$${\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,}$$ซึ่งช่วยให้สามารถแสดงการแพร่กระจายได้ในรูป ของ ปริพันธ์ตามเส้นทาง ตัวแพร่กระจายคือเลขชี้กำลังของตัวดำเนินการH$${\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,}$$ ซึ่งก็คือตัวดำเนินการแพร่กระจายแบบอนันต์ $${\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}$$

เมทริกซ์มีดัชนีสองตัว ซึ่งในปริภูมิต่อเนื่องทำให้เป็นฟังก์ชันของxและx ' ในกรณีนี้ เนื่องจากความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การเลื่อน เมทริกซ์องค์ประกอบKจึงขึ้นอยู่กับความแตกต่างของตำแหน่งเท่านั้น และการใช้สัญลักษณ์ ที่สะดวกอย่างหนึ่ง คือการเรียกตัวดำเนินการ เมทริกซ์องค์ประกอบ และฟังก์ชันของความแตกต่างด้วยชื่อเดียวกัน: $${\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}$$

ความไม่แปรเปลี่ยนของการเลื่อนหมายความว่าการ คูณเมทริกซ์ แบบต่อเนื่อง$${\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,}$$ โดยพื้นฐานแล้วคือการแปลงแบบคอนโวลูชัน $${\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}$$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถกำหนดได้ในช่วงของtซึ่งรวมถึงค่าเชิงซ้อน ตราบใดที่ปริพันธ์เหนือเคอร์เนลการแพร่กระจายยังคงลู่เข้า $${\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}$$ ตราบใดที่ส่วนจริงของzเป็นค่าบวก สำหรับค่าx ที่มาก K จะลดลงแบบเลขชี้กำลัง และปริพันธ์เหนือK จะลู่เข้า อย่างสมบูรณ์

ลิมิตของนิพจน์นี้สำหรับค่าzที่เข้าใกล้แกนจินตนาการบริสุทธิ์คือตัวแพร่กระจายของชโรดิงเกอร์ที่พบข้างต้น $${\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,}$$ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงวิวัฒนาการของฟังก์ชันเกาส์เซียนตามเวลาที่กล่าวมาข้างต้น

จากเอกลักษณ์พื้นฐานของการยกกำลัง หรือการอินทิเกรตเส้นทาง $${\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}$$ ใช้ได้กับ ค่า z เชิงซ้อนทั้งหมด โดยที่ปริพันธ์ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ทำให้ตัวดำเนินการมีนิยามที่ชัดเจน

ดังนั้น วิวัฒนาการควอนตัมของฟังก์ชันเกาส์เซียน ซึ่งก็คือเคอร์เนลการแพร่กระจายเชิงซ้อน K$${\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,}$$ เท่ากับสถานะที่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา $${\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}$$

นี่คือตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงรูปแบบการแพร่กระจายของคำตอบเกาส์เซียนเชิงซ้อนดังกล่าวข้างต้น $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}$$

• สื่อการเรียนรู้ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของกลุ่มคลื่นที่ Wikiversity
• คำจำกัดความของคำว่า"wave packet"ในพจนานุกรมวิกิพีเดีย
• แผนภาพแพ็กเก็ตคลื่น 1 มิติใน Google
• แผนภาพแสดงคลื่น 1 มิติและความหนาแน่นความน่าจะเป็นใน Google
• แผนภาพคลื่นแพ็กเก็ต 2 มิติใน Google
• แผนภูมิแสดงคลื่น 2 มิติใน Google
• แผนภาพความหนาแน่นความน่าจะเป็น 2 มิติใน Google
• ฟิสิกส์ควอนตัมออนไลน์ : การจำลองแบบโต้ตอบของแพ็กเก็ตคลื่นอิสระ
• เว็บ-ชโรดิงเกอร์ : การจำลองพลวัตของกลุ่มคลื่นแบบ 2 มิติเชิงโต้ตอบ
• การจำลองกลุ่มคลื่นใน 2 มิติ (ตามทฤษฎีการสังเคราะห์ฟูริเยร์ใน 2 มิติ)