ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขค่าสภาพของฟังก์ชันจะวัดว่าค่าเอาต์พุตของฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนแปลงได้มากน้อยเพียงใดเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในตัวแปรอินพุต ค่านี้ใช้ในการวัดว่า ฟังก์ชันมี ความไวต่อการเปลี่ยนแปลงหรือข้อผิดพลาดในอินพุตมากน้อยเพียงใด และข้อผิดพลาดในเอาต์พุตเกิดจากข้อผิดพลาดในอินพุตมากน้อยเพียงใด บ่อยครั้งที่ต้องแก้ปัญหาผกผัน กล่าวคือ เมื่อกำหนดให้ต้องแก้หาค่าxดังนั้นจึงต้องใช้ค่าสภาพของตัวผกผัน (เฉพาะที่) ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle f(x)=y,}$

ค่าดัชนีสภาพ (Condition number) ได้มาจากทฤษฎีการแพร่กระจายของความไม่แน่นอนและถูกนิยามอย่างเป็นทางการว่าเป็นค่าของ การเปลี่ยนแปลง สัมพัทธ์ในกรณีที่เลวร้ายที่สุดในระยะยาวของผลลัพธ์ สำหรับการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของปัจจัยนำเข้า "ฟังก์ชัน" คือคำตอบของปัญหา และ "ตัวแปร" คือข้อมูลในปัญหา ค่าดัชนีสภาพมักถูกนำไปใช้กับคำถามในพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งในกรณีนี้อนุพันธ์นั้นตรงไปตรงมา แต่ข้อผิดพลาดอาจอยู่ในทิศทางต่างๆ กันมากมาย ดังนั้นจึงคำนวณจากเรขาคณิตของเมทริกซ์ โดยทั่วไปแล้ว ค่าดัชนีสภาพสามารถกำหนดได้สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นในหลายตัวแปร

ปัญหาที่มีค่าสภาพต่ำเรียกว่า ปัญหาที่ มีสภาพดีในขณะที่ปัญหาที่มีค่าสภาพสูงเรียกว่าปัญหาที่มีสภาพไม่ดีในทางที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ ปัญหาที่มีสภาพไม่ดีคือปัญหาที่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในตัวแปรป้อนเข้า ( ตัวแปรอิสระ ) จะทำให้ค่าคำตอบหรือตัวแปรตาม เปลี่ยนแปลงไปมาก ซึ่งหมายความว่าการหาคำตอบที่ถูกต้องของสมการจะทำได้ยาก ค่าสภาพเป็นคุณสมบัติของปัญหา และมักจะมีอัลกอริทึมหลายตัวที่สามารถใช้แก้ปัญหาหรือคำนวณหาคำตอบได้ อัลกอริทึมบางตัวมีคุณสมบัติที่เรียกว่าความเสถียรแบบย้อนกลับโดยทั่วไปแล้ว อัลกอริทึมที่มีความเสถียรแบบย้อนกลับจะสามารถแก้ปัญหาที่มีสภาพดีได้อย่างแม่นยำ ตำราการวิเคราะห์เชิงตัวเลขจะให้สูตรสำหรับค่าสภาพของปัญหาและระบุอัลกอริทึมที่มีความเสถียรแบบย้อนกลับที่รู้จักกันดี

โดยทั่วไปแล้ว หากค่าสภาพ (condition number ) มี ค่ามาก ความแม่นยำอาจสูญเสียไปได้ถึงหลักหน่วย นอกเหนือจากความแม่นยำที่สูญเสียไปจากวิธีการเชิงตัวเลขเนื่องจากการสูญเสียความแม่นยำจากวิธีการทางเลขคณิต^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตาม ค่าสภาพไม่ได้ให้ค่าที่แน่นอนของความไม่แม่นยำสูงสุดที่อาจเกิดขึ้นในอัลกอริทึม โดยทั่วไปแล้วจะจำกัดค่าดังกล่าวด้วยค่าประมาณ (ซึ่งค่าที่คำนวณได้ขึ้นอยู่กับการเลือกบรรทัดฐานในการวัดความไม่แม่นยำ) ${\displaystyle \คัปปา (A)=10^{k}}$${\displaystyle k}$

ตัวอย่างเช่น ค่าสภาพ (condition number) ที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงเส้นAx  =  bจะให้ขอบเขตว่าค่าคำตอบx จะคลาดเคลื่อนมากน้อยเพียงใดหลังจากการประมาณค่า โปรดสังเกตว่านี่คือการพิจารณาก่อนที่ จะคำนึงถึงผลกระทบของข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ สภาพเป็นคุณสมบัติของ เมทริกซ์ไม่ใช่ คุณสมบัติของ อัลกอริทึมหรือ ความแม่นยำ ของเลขทศนิยมของคอมพิวเตอร์ที่ใช้ในการแก้ระบบสมการนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ควรคิดว่าค่าสภาพเป็น (อย่างคร่าวๆ) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ ค่าคำตอบ x เมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของ bดังนั้น หากค่าสภาพมีค่ามาก แม้แต่ข้อผิดพลาดเล็กน้อยในbก็อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดมากในxในทางกลับกัน หากค่าสภาพมีค่าน้อย ข้อผิดพลาดในxก็จะไม่มากไปกว่าข้อผิดพลาดในb มาก นัก

ค่าสภาพ (condition number ) ถูกกำหนดอย่างแม่นยำยิ่งขึ้นว่าเป็นอัตราส่วนสูงสุดของความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ในxต่อความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ในb

ให้eเป็นข้อผิดพลาดในbสมมติว่าAเป็น เมทริกซ์ ไม่เอกฐานข้อผิดพลาดในคำตอบA ⁻¹ bคือA ⁻¹ eอัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในคำตอบต่อข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในbคือ

${\displaystyle {\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}/{\frac {\|e\|}{\|b\|}}={\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}{\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}.}$

ค่าสูงสุด (สำหรับค่าbและe ที่ไม่ใช่ศูนย์ ) จะเห็นได้ว่าเป็นผลคูณของค่ามาตรฐานของตัวดำเนินการ ทั้งสอง ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\max _{e,b\neq 0}\left\{{\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}{\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right\}&=\max _{e\neq 0}\left\{{\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right\}\,\max _{b\neq 0}\left\{{\frac {\|b\|}{\left\|A^{-1}b\right\|}}\right\}\\&=\max _{e\neq 0}\left\{{\frac {\left\|A^{-1}e\right\|}{\|e\|}}\right\}\,\max _{x\neq 0}\left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}\right\}\\&=\left\|A^{-1}\right\|\,\|A\|.\end{aligned}}}$

นิยามเดียวกันนี้ใช้กับบรรทัดฐานที่สอดคล้องกันทุกประการ กล่าวคือ บรรทัดฐานที่ตรงตามเงื่อนไข

${\displaystyle \kappa (A)=\left\|A^{-1}\right\|\,\left\|A\right\|\geq \left\|A^{-1}A\right\|=1.}$

เมื่อค่าสภาพ (condition number) เท่ากับหนึ่งพอดี (ซึ่งจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อAเป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ของไอโซเมตรีเชิงเส้น ) แล้วอัลกอริทึมการแก้ปัญหาจะสามารถหาค่าประมาณของคำตอบได้ (ในทางทฤษฎี หมายความว่าหากอัลกอริทึมไม่ก่อให้เกิดข้อผิดพลาดใดๆ) ซึ่งมีความแม่นยำไม่แย่ไปกว่าข้อมูล

อย่างไรก็ตาม นั่นไม่ได้หมายความว่าอัลกอริทึมจะลู่เข้าสู่คำตอบนี้อย่างรวดเร็ว เพียงแต่ว่าจะไม่ลู่เข้าอย่างไม่มีเหตุผลเนื่องจากความไม่แม่นยำของข้อมูลต้นทาง (ข้อผิดพลาดแบบย้อนกลับ) โดยมีเงื่อนไขว่าข้อผิดพลาดแบบไปข้างหน้าที่เกิดจากอัลกอริทึมจะไม่ลู่เข้าเช่นกันเนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษระหว่างทางที่สะสมเพิ่มขึ้น

ค่าสภาพอาจเป็นอนันต์ได้เช่นกัน แต่นั่นหมายความว่าปัญหาดังกล่าวเป็นปัญหาที่ไม่เหมาะสม (ไม่มีคำตอบที่เฉพาะเจาะจงและชัดเจนสำหรับแต่ละตัวเลือกของข้อมูล กล่าวคือ เมทริกซ์ไม่สามารถผกผันได้ ) และไม่สามารถคาดหวังได้ว่าอัลกอริทึมใดจะสามารถหาคำตอบได้อย่างน่าเชื่อถือ

นิยามของค่าสภาพ (condition number) ขึ้นอยู่กับการเลือกค่ามาตรฐาน (norm ) ดังที่สามารถแสดงให้เห็นได้จากสองตัวอย่าง

ถ้าคือ ค่ามาตรฐาน ^ของเมทริกซ์ที่เกิดจากค่ามาตรฐานแบบยุคลิด (เวกเตอร์) (บางครั้งเรียกว่า ค่ามาตรฐาน L2และโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์) แล้ว ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$

${\displaystyle \kappa (A)={\frac {\sigma _{\text{max}}(A)}{\sigma _{\text{min}}(A)}},}$

โดยที่และ คือ ค่าเอกลักษณ์สูงสุดและต่ำสุดของตามลำดับ ดังนั้น: ${\displaystyle \sigma _{\text{max}}(A)}$${\displaystyle \sigma _{\text{min}}(A)}$${\displaystyle A}$

• ถ้าเป็นแบบปกติแล้ว โดยที่และ คือ ค่าไอเกนสูงสุดและต่ำสุด (ตามค่าสัมบูรณ์) ของตามลำดับ${\displaystyle A}$$${\displaystyle \kappa (A)={\frac {\max\{\left|\lambda (A)\right|\}}{\min\{\left|\lambda (A)\right|\}}},}$$${\displaystyle \lambda _{\text{max}}(A)}$${\displaystyle \lambda _{\text{min}}(A)}$${\displaystyle A}$
• ถ้าเป็นยูนิแทรีแล้ว${\displaystyle A}$${\displaystyle \kappa (A)=1.}$

ค่าสภาพ (condition number) ที่เกี่ยวข้องกับL ²ปรากฏขึ้นบ่อยครั้งในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขจนได้รับการตั้งชื่อว่าค่าสภาพของเมทริกซ์ (condition number of a matrix )

ถ้าเป็นนอร์มของเมทริกซ์ที่เกิดจาก นอร์ม (เวกเตอร์)และเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่ไม่เอกฐาน (กล่าวคือสำหรับทุก) แล้ว ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{ii}\neq 0}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \kappa (A)\geq {\frac {\max _{i}{\big (}|a_{ii}|{\big )}}{\min _{i}{\big (}|a_{ii}|{\big )}}}}$

โปรดจำไว้ว่าค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สามเหลี่ยมใดๆ ก็คือค่าที่อยู่บนแนวทแยงมุมนั่นเอง

โดยทั่วไปแล้ว ค่าสภาพที่คำนวณด้วยบรรทัดฐานนี้จะมีค่ามากกว่าค่าสภาพที่คำนวณโดยเทียบกับบรรทัดฐานแบบยุคลิดแต่สามารถประเมินได้ง่ายกว่า (และนี่มักจะเป็นค่าสภาพที่สามารถคำนวณได้ในทางปฏิบัติเพียงค่าเดียว เมื่อปัญหาที่ต้องแก้ไขเกี่ยวข้องกับพีชคณิตที่ไม่เป็นเชิงเส้นตัวอย่างเช่น เมื่อประมาณค่าฟังก์ชันหรือจำนวนอตรรกยะและ จำนวน อดิศัยด้วยวิธีการเชิงตัวเลข)

ถ้าค่าสภาพ (condition number) ไม่มากกว่าหนึ่งอย่างมีนัยสำคัญ เมทริกซ์นั้นจะ อยู่ในสภาพดี (well-conditioned ) ซึ่งหมายความว่าสามารถคำนวณเมทริกซ์ผกผันได้ด้วยความแม่นยำสูง แต่ถ้าค่าสภาพมีค่ามาก เมทริกซ์นั้นจะอยู่ในสภาพไม่ดี (ill-conditioned ) ในทางปฏิบัติ เมทริกซ์ดังกล่าวแทบจะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) และการคำนวณเมทริกซ์ผกผันหรือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นมักจะเกิดข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขสูง

เมทริกซ์ที่ไม่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ มักกล่าวกันว่ามีค่าสภาพ (condition number) เท่ากับอนันต์ หรืออาจนิยามได้ว่า โดยที่คือเมทริกซ์ผกผันเทียมของมัวร์-เพนโรส (Moore-Penrose pseudoinverse ) สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส การนิยามเช่นนี้ทำให้ค่าสภาพไม่ต่อเนื่อง แต่เป็นนิยามที่มีประโยชน์สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งไม่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้เลย แต่ยังคงใช้ในการกำหนดระบบสมการอยู่ ${\displaystyle \kappa (A)=\|A\|\|A^{\dagger }\|}$${\displaystyle A^{\dagger }}$

ค่าสภาพ (condition number) สามารถกำหนดได้สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้น และสามารถคำนวณได้โดยใช้แคลคูลัสค่าสภาพจะแตกต่างกันไปตามจุด ในบางกรณี เราสามารถใช้ค่าสภาพสูงสุด (หรือค่าสูงสุด ) ในโดเมนของฟังก์ชันหรือโดเมนของคำถามเป็นค่าสภาพโดยรวมได้ ในขณะที่ในบางกรณี ค่าสภาพ ณ จุดใดจุดหนึ่งมีความสำคัญมากกว่า

ค่า สภาพ สัมบูรณ์ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ในตัวแปรเดียว คือค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|f'(x)\right|}$

ค่า สภาพ สัมพัทธ์ของฟังก์ชัน คือเมื่อประเมินค่าที่จุด จะได้ ว่า ${\displaystyle f}$${\displaystyle \left|xf'/f\right|}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left|{\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right|=\left|{\frac {(\log f)'}{(\log x)'}}\right|.}$

โปรดทราบว่านี่คือค่าสัมบูรณ์ของความยืดหยุ่นของฟังก์ชันในทางเศรษฐศาสตร์

โดยสรุปอย่างสง่างามที่สุด สามารถเข้าใจได้ว่านี่คือ (ค่าสัมบูรณ์ของ) อัตราส่วนของอนุพันธ์ลอการิทึมของซึ่งก็คือและอนุพันธ์ลอการิทึมของซึ่งก็คือทำให้ได้อัตราส่วนเท่ากับเนื่องจากอนุพันธ์ลอการิทึมคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ ที่เล็กน้อยมากในฟังก์ชัน กล่าวคือเป็นอนุพันธ์ที่ปรับขนาดด้วยค่าของโปรดสังเกตว่าหากฟังก์ชันมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดใดจุดหนึ่ง ค่าสภาพของฟังก์ชันที่จุดนั้นจะเป็นอนันต์ เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมากในอินพุตสามารถเปลี่ยนเอาต์พุตจากศูนย์เป็นบวกหรือลบได้ ทำให้ได้อัตราส่วนที่มีศูนย์ในตัวส่วน ดังนั้นจึงเป็นการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ที่อนันต์ ${\displaystyle f}$${\displaystyle (\log f)'=f'/f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (\log x)'=x'/x=1/x}$${\displaystyle xf'/f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f}$

กล่าวโดยตรงกว่านั้น เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ในคือในขณะที่การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ในคือเมื่อนำอัตราส่วนมาคำนวณจะได้ ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [(x+\Delta x)-x]/x=(\Delta x)/x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)}$

${\displaystyle {\frac {[f(x+\Delta x)-f(x)]/f(x)}{(\Delta x)/x}}={\frac {x}{f(x)}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {x}{f(x)}}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}$

พจน์สุดท้ายคือผลหารส่วนต่าง (ความชันของเส้นตัด ) และการหาลิมิตจะได้อนุพันธ์

ค่าสภาพของฟังก์ชันพื้นฐาน ทั่วไป มีความสำคัญอย่างยิ่งในการคำนวณจำนวนหลักสำคัญและสามารถคำนวณได้โดยตรงจากอนุพันธ์ ตัวอย่างที่สำคัญบางส่วนมีดังต่อไปนี้:

ชื่อ	เครื่องหมาย	หมายเลขสภาพสัมพัทธ์
การบวก / การลบ	${\displaystyle x+a}$	${\displaystyle \left|{\frac {x}{x+a}}\right|}$
การคูณสเกลาร์	${\displaystyle ax}$	${\displaystyle 1}$
แผนก	${\displaystyle 1/x}$	${\displaystyle 1}$
พหุนาม	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle ||n|}$
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle |x|}$
ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ	${\displaystyle \ln(x)}$	${\displaystyle \left|{\frac {1}{\ln(x)}}\right|}$
ฟังก์ชันไซน์	${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle |x\cot(x)|}$
ฟังก์ชันโคไซน์	${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle |x\tan(x)|}$
ฟังก์ชันแทนเจนต์	${\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle |x(\tan(x)+\cot(x))|}$
ฟังก์ชันไซน์ผกผัน	${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arcsin(x)}}}$
ฟังก์ชันโคไซน์ผกผัน	${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle {\frac {|x|}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arccos(x)}}}$
ฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผัน	${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{(1+x^{2})\arctan(x)}}}$

สามารถกำหนดค่าสภาพ (condition number) สำหรับฟังก์ชันใดๆที่แมปข้อมูลจากโดเมน หนึ่ง (เช่นทูเปิลของจำนวนจริง n ตัว ) ไปยังโคโดเมน หนึ่ง (เช่นทูเปิลของจำนวนจริง n ตัว ) โดยที่ทั้งโดเมนและโคโดเมนเป็นปริภูมิบานาค (Banach space ) ค่าสภาพเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันนั้นมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย (หรือข้อผิดพลาดเล็กน้อย) ในอาร์กิวเมนต์มากน้อยเพียงใด ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในการประเมินความไวและปัญหาความแม่นยำที่อาจเกิดขึ้นในปัญหาการคำนวณต่างๆ มากมาย ตัวอย่างเช่นการหาค่ารากของพหุนามหรือการคำนวณ ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalues ) ${\displaystyle f}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)}$

หมายเลขเงื่อนไขของณ จุดหนึ่ง(โดยเฉพาะหมายเลขเงื่อนไขสัมพัทธ์^{[ 4 ]} ) จะถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนสูงสุดของการเปลี่ยนแปลงเศษส่วนในต่อการเปลี่ยนแปลงเศษส่วนใดๆ ในในขีดจำกัดที่การเปลี่ยนแปลงใน กลายเป็นเล็กจนแทบไม่มีนัยสำคัญ: ^{[ 4 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\sup _{\|\delta x\|\leq \varepsilon }\left[\left.{\frac {\left\|f(x+\delta x)-f(x)\right\|}{\|f(x)\|}}\right/{\frac {\|\delta x\|}{\|x\|}}\right],}$

โดยที่บรรทัดฐานบนโดเมน/โคโดเมนของ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle f}$

ถ้าสามารถหาอนุพันธ์ได้ จะเทียบเท่ากับ: ^{[ 4 ]}${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {\|J(x)\|}{\|f(x)\|/\|x\|}},}$

โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle J(x)}$แทนเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์ย่อยของที่และคือค่าบรรทัดฐานที่เหนี่ยวนำบนเมทริกซ์ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \|J(x)\|}$

• วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น
• เสถียรภาพเชิงตัวเลข
• เครื่องปรับสภาพเบื้องต้น
• เมทริกซ์ฮิลเบิร์ต
• ปัญหาที่ตั้งไว้ไม่ถูกต้อง
• ค่าเอกลักษณ์
• เมทริกซ์วิลสัน

• เดมเมล, เจมส์ (1990). "เมทริกซ์บกพร่องที่ใกล้ที่สุดและเรขาคณิตของภาวะไม่เสถียร" ใน ค็อกซ์, เอ็มจี; แฮมมาร์ลิง, เอส. (บรรณาธิการ). การคำนวณเชิงตัวเลขที่เชื่อถือได้ . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์แคลเรนดอน. หน้า  35–55 . ISBN 0-19-853564-3.
• Ludwig, Oswaldo (2025). "หมายเลขเงื่อนไขในฐานะตัวแทนที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วนสำหรับการเข้ารหัสข้อมูลในหน่วยประสาท" arXiv : 2506.16289 [ stat.ML ]

• ค่าสภาพของเมทริกซ์ที่สถาบันวิธีการเชิงตัวเลขแบบองค์รวม
• ฟังก์ชันจากไลบรารี MATLAB สำหรับคำนวณค่าสภาพ (condition number)
• หมายเลขเงื่อนไข – สารานุกรมคณิตศาสตร์
• ใครเป็นผู้คิดค้นหมายเลขเงื่อนไขเมทริกซ์? โดย นิค ไฮแฮม