ในทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีการจำแนกประเภทของวิกเนอร์เป็นการ จำแนกประเภทของค่าที่ไม่เป็นลบ${\displaystyle ~(~E\geq 0~)~}$ทฤษฎีบทนี้เสนอ การแสดงแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนพลังงาน ไม่ได้ ของกลุ่มปวงกาเรซึ่งมีค่าไอ เกนมวลจำกัดหรือเป็นศูนย์ (การแสดงแทนแบบเอกภาพเหล่านี้มีมิติอนันต์ กลุ่มนี้ไม่ใช่กลุ่มกึ่งง่าย และไม่สอดคล้องกับทฤษฎีบทของไวล์เกี่ยวกับการลดทอนได้อย่างสมบูรณ์ ) ยูจีน วิกเนอร์ เป็นผู้นำเสนอทฤษฎีบท นี้เพื่อจำแนกอนุภาคและสนามในฟิสิกส์—ดูบทความเรื่องฟิสิกส์อนุภาคและทฤษฎีบทการแสดงแทน ทฤษฎีบท นี้ อาศัยกลุ่มย่อยที่มีเสถียรภาพของกลุ่มนั้น ซึ่งเรียกว่ากลุ่มเล็ก ๆของวิกเนอร์ที่มีสถานะมวลต่าง ๆ

ค่าคงที่แคซิเมียร์ของกลุ่มปวงกาเรคือ${\displaystyle ~C_{1}=P^{\mu }\,P_{\mu }~,}$( สัญกรณ์ของไอน์สไตน์ ) โดยที่Pคือตัวดำเนินการโมเมนตัม 4 มิติและ${\displaystyle ~C_{2}=W^{\alpha }\,W_{\alpha }~,}$โดยที่Wคือเวกเตอร์เทียมของ Pauli–Lubanskiค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเหล่านี้ใช้ในการกำหนดชื่อแทน ค่าแรกเกี่ยวข้องกับกำลังสองของมวล และค่าที่สองเกี่ยวข้องกับเฮลิซิตี้หรือสปิน

ดังนั้น การแสดงผลที่เกี่ยวข้องทางกายภาพจึงอาจถูกจำแนกได้ตามว่า

• ${\displaystyle ~m>0~;}$
• ${\displaystyle ~m=0~}$แต่${\displaystyle ~P_{0}>0~;\quad }$หรือว่า
• ${\displaystyle ~m=0~}$กับ${\displaystyle ~P^{\mu }=0~,{\text{ สำหรับ }}\mu =0,1,2,3~.}$

วิกเนอร์ค้นพบว่าอนุภาคไร้มวลนั้นแตกต่างจากอนุภาคมีมวลอย่างสิ้นเชิง

สำหรับกรณีแรก

โปรดทราบว่าปริภูมิไอเกน (ดูปริภูมิไอเกนทั่วไปของตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดขอบเขต ) ที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle ~P=(m,0,0,0)~}$เป็นการแทน SO (3 )

ในการตีความรังสีเราสามารถเปลี่ยนไปใช้Spin(3)แทนได้ ดังนั้น สถานะที่มีมวลจะถูกจำแนกโดยการแสดงแทนเอกภาพ Spin(3) ที่ไม่สามารถลดทอนได้ ซึ่งกำหนดลักษณะเฉพาะของสปินและมวลบวกm

สำหรับกรณีที่สอง

ดูที่ตัวกันสั่นของ

${\displaystyle ~P=(k,0,0,-k)~.}$

นี่คือการครอบคลุมสองชั้นของSE(2) (ดูการแสดงแทนเชิงโปรเจกทีฟ)เรามีสองกรณี กรณีหนึ่งที่irrepsถูกอธิบายโดยผลคูณจำนวนเต็มของ1/2 ที่เรียกว่าเฮลิซิตี้และ อีก กรณีหนึ่งเรียกว่าการแสดงแทน " สปินต่อเนื่อง "

สำหรับกรณีที่สาม

คำตอบเอกภาพที่มีมิติจำกัดเพียงหนึ่งเดียวคือ การ แสดงแทนแบบไม่สำคัญที่เรียกว่าสุญญากาศ

ยกตัวอย่างเช่น ลองจินตนาการถึงการแสดงแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ด้วย${\displaystyle ~m>0~,}$และ${\displaystyle ~s=0~.}$มันสอดคล้องกับปริภูมิของสนามสเกลาร์มวลมาก

ให้Mเป็นแผ่นไฮเปอร์โบโลอิดที่กำหนดโดย:

${\displaystyle ~P_{0}^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$${\displaystyle ~P_{0}>0~.}$

เมตริกมินคอฟสกีจำกัดอยู่ที่เมตริกรีมันน์บนMทำให้Mมีโครงสร้างเมตริกของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันคือแบบจำลองไฮ เปอร์โบโลอิดของปริภูมิไฮเปอร์โบลิ ^กดูเรขาคณิตของปริภูมิมินคอฟสกีสำหรับหลักฐาน กลุ่มปวงกาเรPกระทำบนMเพราะ (โดยไม่คำนึงถึงการกระทำของกลุ่มย่อยการแปลℝ⁴ที่มีการบวกภายในP ) มันรักษาผลคูณภายในมินคอฟสกีและองค์ประกอบxของกลุ่มย่อยการแปลℝ⁴ของกลุ่มปวงกาเรกระทำบน ^M${\displaystyle ~L^{2}(M)~}$ โดยการคูณด้วยตัวคูณเฟสที่เหมาะสม ${\displaystyle ~\exp \left(-i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)~,}$ ที่ไหน${\displaystyle ~p\in M~.}$การกระทำทั้งสองนี้สามารถรวมเข้าด้วยกันได้อย่างชาญฉลาดโดยใช้การแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำเพื่อให้ได้การกระทำของPที่กระทำต่อ${\displaystyle ~L^{2}(M)~,}$ซึ่งเป็นการผสมผสานการเคลื่อนที่ของMและการคูณเฟส เข้าด้วยกัน

สิ่งนี้ทำให้เกิดการกระทำของกลุ่มปวงกาเรบนปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ซึ่งกำหนดไว้บนไฮเปอร์เซอร์เฟ ซ Mในปริภูมิมิงโกวสกี ฟังก์ชันเหล่านี้อาจมองได้ว่าเป็นมาตรวัดที่กำหนดบนปริภูมิมิงโกวสกีซึ่งกระจุกตัวอยู่บนเซตMที่กำหนดโดย

${\displaystyle E^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}~,\quad }$${\displaystyle ~E~\equiv ~P_{0}>0~.}$

การแปลงฟูริเยร์ (ในตัวแปรทั้งสี่) ของมาตรวัดดังกล่าวจะให้คำตอบที่มีพลังงานเป็นบวกและมีพลังงานจำกัดของสมการไคลน์-กอร์ดอนที่กำหนดบนปริภูมิมีนโกวสกี กล่าวคือ

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +m^{2}\psi =0,}$

โดยไม่มีหน่วยทางกายภาพ ด้วยวิธีนี้${\displaystyle ~m>0,\quad s=0~}$การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มปวงกาเรเกิดขึ้นได้จากการกระทำของกลุ่มนั้นบนปริภูมิคำตอบที่เหมาะสมของสมการคลื่นเชิงเส้น

ในเชิงกายภาพ เราสนใจการแสดงแทน เอกภาพ เชิงโปรเจคทีฟ ที่ไม่สามารถลดทอนได้ ของกลุ่มปวงกาเร เพราะเวกเตอร์สองตัวในปริภูมิฮิลเบิร์ตควอนตัมที่แตกต่างกันโดยการคูณด้วยค่าคงที่นั้นแสดงถึงสถานะทางกายภาพเดียวกัน ดังนั้น ตัวดำเนินการเอกภาพสองตัวที่แตกต่างกันโดยผลคูณของเอกลักษณ์จะมีผลต่อสถานะทางกายภาพเหมือนกัน ด้วยเหตุนี้ ตัวดำเนินการเอกภาพที่แสดงถึงสมมาตรของปวงกาเรจึงถูกกำหนดขึ้นโดยมีค่าคงที่เท่านั้น และด้วยเหตุนี้ กฎการประกอบกลุ่มจึงจำเป็นต้องเป็นจริงโดยมีค่าคงที่เท่านั้น

ตามทฤษฎีบทของบาร์กมันน์การแทนแบบเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟทุกรูปแบบของกลุ่มปวงกาเร มาจาก1การแทนแบบเอกภาพธรรมดาของกลุ่มปกคลุมสากล ซึ่งเป็นกลุ่มปกคลุมสองชั้น (ทฤษฎีบทของบาร์กมันน์ใช้ได้เพราะกลุ่มปกคลุมสองชั้นของกลุ่มปวงกาเรไม่มีส่วนขยายศูนย์กลาง หนึ่งมิติที่ไม่เป็นศูนย์ )

การเปลี่ยนไปใช้การครอบคลุมแบบคู่มีความสำคัญเพราะช่วยให้สามารถพิจารณากรณีสปินครึ่งจำนวนคี่ได้ ตัวอย่างเช่น ในกรณีมวลบวก กลุ่มเล็กจะเป็น SU(2) แทนที่จะเป็น SO(3) การแสดงแทนของ SU(2) จะรวมทั้งกรณีสปินจำนวนเต็มและครึ่งจำนวนคี่ด้วย

เนื่องจากเกณฑ์ทั่วไปในทฤษฎีบทของบาร์กมันน์ยังไม่เป็นที่รู้จักในขณะที่วิกเนอร์ทำการจำแนกประเภท เขาจึงจำเป็นต้องแสดงด้วยมือ (§5 ของบทความ) ว่าสามารถเลือกเฟสในตัวดำเนินการเพื่อสะท้อนกฎการประกอบในกลุ่มได้ โดยคำนึงถึงเครื่องหมาย ซึ่งจะถูกนำมาพิจารณาโดยการเปลี่ยนไปใช้การปกคลุมสองชั้นของกลุ่มปวงกาเร

จากการจำแนกประเภทนี้ ไม่รวม โซลูชัน ทาคิออนิกโซลูชันที่ไม่มีมวลคงที่ อนุภาคอินฟราที่ไม่มีมวลคงที่ ฯลฯ โซลูชันเหล่านี้มีความสำคัญทางฟิสิกส์เมื่อพิจารณาสถานะเสมือน ตัวอย่างที่โดดเด่นคือกรณีของการกระเจิงแบบไม่ยืดหยุ่นอย่างลึกซึ้งซึ่งโฟตอน เสมือนแบบสเปซไลค์ จะถูกแลกเปลี่ยนระหว่างเลปตอน ที่เข้ามา และแฮดรอน ที่เข้ามา นี่เป็นเหตุผลที่ต้องมีการแนะนำโฟตอนที่มีการโพลาไรซ์ตามแนวขวางและตามแนวยาว และแนวคิดที่เกี่ยวข้องของฟังก์ชันโครงสร้างตามแนวขวางและตามแนวยาว เมื่อพิจารณาสถานะเสมือนเหล่านี้ว่าเป็นตัวตรวจสอบที่มีประสิทธิภาพของเนื้อหาควาร์กและกลูออนภายในของแฮดรอน จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ เราพิจารณากลุ่ม SO(2,1) แทน กลุ่ม SO(3) ทั่วไป ที่พบในกรณีมวลปกติที่กล่าวถึงข้างต้น ซึ่งอธิบายการเกิดขึ้นของเวกเตอร์โพลาไรซ์ตามแนวขวางสองตัว${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda =1,2}~}$และ${\displaystyle ~\epsilon _{L}~}$ ซึ่งเป็นที่น่าพอใจ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{2}=-1~}$และ${\displaystyle ~\epsilon _{L}^{2}=+1~,}$เพื่อเปรียบเทียบกับกรณีปกติของฟรี${\displaystyle ~Z_{0}~}$โบซอนที่มีเวกเตอร์โพลาไรเซชันสามตัว${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{\lambda }{\text{ for }}\lambda =1,2,3~;}$แต่ละอย่างล้วนน่าพึงพอใจ${\displaystyle ~\epsilon _{T}^{2}=-1~.}$

• การสร้างภาพแทนโดยการเหนี่ยวนำ– กระบวนการขยายภาพแทนของกลุ่มย่อยไปยังกลุ่มหลัก 
• ฟิสิกส์อนุภาคและทฤษฎีการแทน– ความเชื่อมโยงระหว่างฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ 
• ตัวดำเนินการเวก เตอร์เทียมของ Pauli–Lubanski ในทฤษฎีสนามควอนตัม 
• ทฤษฎีการแทนของกลุ่มดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึม– ทฤษฎีการแทนของสมมาตรของแมนิโฟลด์หน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• ทฤษฎีการแทนของกลุ่มกาลิเลียน– ทฤษฎีการแทนของสมมาตรของปริภูมิควอนตัมที่ไม่สัมพัทธภาพ 
• ทฤษฎีการแทนของกลุ่มปวงกาเร– ทฤษฎีการแทนของกลุ่มสำคัญในฟิสิกส์ 
• ระบบแห่งความป่าเถื่อน