ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีหมวด หมู่ ค วาซิหมวดหมู่ (หรือเรียกอีกอย่างว่าควาซิ หมวดหมู่ , คอมเพล็กซ์ คานอ่อน , คอมเพล็กซ์คานภายใน , หมวดหมู่อนันต์ , หมวดหมู่อนันต์ , คอมเพล็กซ์บอร์ดแมน , ควาซิโกรี ) คือการขยายแนวคิดของหมวดหมู่ การศึกษาเกี่ยวกับการ ขยายแนวคิดดังกล่าวเรียกว่าทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูง

แนวคิดควาซีแคโทรีได้รับการแนะนำโดยBoardman & Vogt (1973) André Joyal ได้พัฒนาการศึกษาควาซีแคโทรีให้ก้าวหน้าขึ้นมาก โดยแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีแคโทรีพื้นฐานทั่วไปส่วนใหญ่ รวมถึงแนวคิดและทฤษฎีบทขั้นสูงบางส่วน มีสิ่งที่เทียบเคียงได้ในควาซีแคโทรี Jacob Lurie ( 2009 )ได้อธิบายทฤษฎีควาซีแคโทรีอย่างละเอียดไว้ 

ควาซีแคโทรี (Quasi-categories) คือเซตเชิงซิมพลิเชียล บางประเภท เช่นเดียวกับแคโทซีทั่วไป ควาซีแคโทรีประกอบด้วยวัตถุ (ซิมพลิเชียล 0 ของเซตเชิงซิมพลิเชียล) และมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุเหล่านี้ (ซิมพลิเชียล 1) แต่ต่างจากแคโทซีตรงที่ การประกอบกันของมอร์ฟิซึมสองตัวไม่จำเป็นต้องถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง มอร์ฟิซึมทั้งหมดที่สามารถใช้เป็นการประกอบกันของมอร์ฟิซึมสองตัวที่กำหนด จะมีความสัมพันธ์กันโดยมอร์ฟิซึมผกผันลำดับสูงกว่า (ซิมพลิเชียล 2 ซึ่งคิดว่าเป็น "โฮโมโทปี") มอร์ฟิซึมลำดับสูงกว่าเหล่านี้ก็สามารถประกอบกันได้เช่นกัน แต่การประกอบกันนั้นจะถูกกำหนดไว้อย่างดีเฉพาะจนถึงมอร์ฟิซึมผกผันลำดับสูงกว่าเท่านั้น เป็นต้น

แนวคิดของทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูง (อย่างน้อยที่สุด ทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูงเมื่อมอร์ฟิซึมระดับสูงสามารถผกผันได้) คือ ตรงกันข้ามกับแนวคิดมาตรฐานของหมวดหมู่ ควรจะมีปริภูมิการแมป (แทนที่จะเป็นเซตการแมป) ระหว่างวัตถุสองชิ้น นี่ชี้ให้เห็นว่าหมวดหมู่ระดับสูงควรจะเป็นเพียงหมวดหมู่ที่เสริมด้วยโทโพโล ยี อย่างไรก็ตาม แบบจำลองของควาซีหมวดหมู่เหมาะสมกับการประยุกต์ใช้มากกว่าแบบจำลองของหมวดหมู่ที่เสริมด้วยโทโพโลยี แม้ว่าลูรีจะพิสูจน์แล้วว่าทั้งสองมีโครงสร้างแบบจำลองตามธรรมชาติที่เทียบเท่ากันตามแนวคิดของควิลเลน (ดู§  เส้นประสาทที่สอดคล้องกันของโฮโมโทปี )

ตามนิยามแล้ว ควาซีแคโทดCคือเซตเชิงซิมพลิเชียลที่สอดคล้องกับเงื่อนไขคานภายใน (หรือเรียกว่าเงื่อนไขคานแบบอ่อน): ทุกฮอร์นภายในในCกล่าวคือ แผนที่ของเซตเชิงซิมพลิเชียล${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]\to C}$ที่ไหน${\displaystyle 0<k<n}$มีส่วนเติมเต็ม ซึ่งก็คือส่วนต่อขยายของแผนที่${\displaystyle \Delta [n]\to C}$(ดูคำจำกัดความของเซตเชิงซิมพลิเชียลได้ที่Kan fibration#Definitions)${\displaystyle \Delta [n]}$และ${\displaystyle \แลมบ์ดา ^{k}[n]}$.)

แนวคิดคือ 2-ซิมเพล็กซ์${\displaystyle \Delta [2]\to C}$ควรจะแทนสามเหลี่ยมสลับที่ได้ (อย่างน้อยก็ในระดับโฮโมโทปี) แผนที่${\displaystyle \Lambda ^{1}[2]\to C}$แสดงถึงคู่ที่สามารถประกอบกันได้ ดังนั้น ในควาซีแคโทดิก เราจึงไม่สามารถกำหนดกฎการประกอบบนมอร์ฟิซึมได้ เนื่องจากเราสามารถเลือกวิธีการประกอบแผนที่ได้หลายวิธี

ตามที่จอยัลกล่าว ผลที่ตามมาประการหนึ่งจากคำจำกัดความนี้คือ${\displaystyle C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}}$เป็นไฟเบอร์ Kan ที่ไม่มีความสำคัญ^{[ 1 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง แม้ว่ากฎการประกอบจะไม่ได้รับการกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง แต่ก็มีความเฉพาะเจาะจงจนถึงทางเลือกที่สามารถหดตัวได้^{[ 2 ]}

เมื่อกำหนดควาซีแคโทดC แล้ว เราสามารถเชื่อมโยงแคโทดธรรมดาhC เข้ากับมันได้ ซึ่งเรียกว่าแคโทดโฮโมโทปีของCแคโทดโฮโมโทปีมีจุดยอดของC เป็นวัตถุ มอร์ ฟิซึมกำหนดโดยคลาสโฮโมโทปีของขอบระหว่างจุดยอด การประกอบกำหนดโดยใช้เงื่อนไขฮอร์นฟิลเลอร์สำหรับn  =  2

สำหรับเซตเชิงซิมพลิเชียลทั่วไปจะมีฟังก์ชันเตอร์อยู่${\displaystyle \tau }$จากsSetไปยังCatซึ่งเป็นตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันประสาทและสำหรับควาซีแคตกอรีCเรามี${\displaystyle \tau (C)=hC}$.

• เส้นประสาทของหมวดหมู่หนึ่งเป็นกึ่งหมวดหมู่ที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือ การเติมของเขาภายในใดๆ ก็ตามนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ในทางกลับกัน กึ่งหมวดหมู่ที่มีเขาภายในใดๆ ก็ตามมีการเติมที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวนั้น จะสมสัณฐานกับเส้นประสาทของหมวดหมู่บางหมวดหมู่ หมวดหมู่โฮโมโทปีของเส้นประสาทของC นั้นสมสัณฐานกับC
• เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีXแล้ว เราสามารถกำหนดเซตเอกฐานS ( X ) หรือที่รู้จักกันในชื่อ กรุปอยด์ อนันต์พื้นฐานของ Xได้S ( X ) เป็นควาซีแคทิกอรี่ซึ่งมอร์ฟิซึมทุกตัวสามารถผกผันได้ แคทิกอรี่โฮโมโทปีของS ( X ) คือ กรุปอย ด์พื้นฐานของX
• โดยทั่วไปแล้วKan complex ทุกตัว เป็นตัวอย่างของ quasi-category ใน Kan complex แผนที่ทั้งหมดจาก horn ทุกตัว—ไม่ใช่แค่ horn ภายใน—สามารถเติมเต็มได้ ซึ่งส่งผลให้ morphism ทั้งหมดใน Kan complex สามารถผกผันได้ ดังนั้น Kan complex จึงคล้ายคลึงกับ groupoid—แกนหลักของ category จะเป็น Kan complex ก็ต่อเมื่อ category นั้นเป็น groupoid
• กลุ่ม Kan นั้นก่อตัวเป็นหมวดหมู่อนันต์ (∞-category) ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์KanหรือSโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือเส้นประสาทที่สอดคล้องกันแบบโฮโมโทปี (homotopy coherent nerve) ของหมวดหมู่กลุ่ม Kan (ดูเพิ่มเติมที่§  เส้นประสาทที่สอดคล้องกันแบบโฮโมโทปี )
• ในทำนองเดียวกัน ∞-category ของ ∞-category ขนาดเล็ก ถูกนิยามว่าเป็นเส้นประสาทที่สอดคล้องกันแบบโฮโมโทปีของหมวดหมู่ของ ∞-category กล่าวคือ ให้Kเป็นหมวดหมู่ที่เสริมด้วยซิมพลิเชียล โดยที่วัตถุเป็น ∞-category ขนาดเล็ก และเซตซิมพลิเชียลโฮโมโทปีจากCไปยังDเป็นแกนหลักของ ∞-category${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(C,D)}$[ ^{3 ]}จากนั้นเส้นประสาทที่สอดคล้องกันของโฮโมโทปีของKคือหมวดหมู่อนันต์ของหมวดหมู่อนันต์ขนาด^เล็ก

เส้นประสาทธรรมดาของหมวดหมู่จะพลาดมอร์ฟิซึมระดับสูงกว่า (เช่น การแปลงธรรมชาติระหว่างฟังก์ชัน ซึ่งเป็น 2-มอร์ฟิซึม หรือโฮโมโทปีระหว่างเส้นทาง) เส้นประสาทโฮโมโทปีที่สอดคล้องกัน${\displaystyle N^{hc}(C)}$ของหมวดหมู่ที่เสริมด้วยซิมพลิเชียล${\displaystyle C}$ช่วยให้สามารถจับภาพมอร์ฟิซึมระดับสูงดังกล่าวได้

ขั้นแรก เรามานิยามกันก่อน${\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}$ในฐานะเวอร์ชันที่ "เข้มข้นขึ้น" ของหมวดหมู่${\displaystyle [n]=\{0,1,\cdots ,n\}}$(${\displaystyle [n]}$เป็นเซตที่มีลำดับบางส่วน ดังนั้นจึงสามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่) ตามคำนิยาม^{[ 4 ]}มันมีเซตของวัตถุเดียวกันกับ${\displaystyle [n]}$แต่เซตซิมพลิเชียลของโฮมจาก${\displaystyle i}$ถึง${\displaystyle j}$คือเส้นประสาทของ${\displaystyle P_{i,j}}$ที่ไหน${\displaystyle P_{i,j}}$คือเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ${\displaystyle [i,j]=\{k\mid i\leq k\leq j\}}$ประกอบด้วย${\displaystyle i,j}$และมีการเรียงลำดับบางส่วนโดยการรวมเข้าด้วยกัน นั่นคือ ใน${\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}$มอร์ฟิซึมมีลักษณะดังนี้${\displaystyle i\to k_{1}\to \cdots \to j}$หรือไม่มีเลยหาก${\displaystyle i>j}$(อย่างเป็นทางการ)${\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}$เป็นการทดแทนโคไฟแบรนต์ของ${\displaystyle [n]}$[ ^{5 ]} )^​

แล้ว${\displaystyle N^{hc}(C)}$ถูกกำหนดให้เป็นเซตเชิงซิมพลิเชียล โดยที่ ซิมเพล็กซ์ n ตัวแต่ละตัว เป็นฟังก์ชันเสริมเชิงซิมพลิเชียลจาก${\displaystyle {\mathfrak {C}}[n]}$ถึง${\displaystyle C}$[ ^{6 ] ยิ่งไปกว่า นั้น}ถ้า${\displaystyle C}$มีคุณสมบัติที่${\displaystyle \operatorname {แผนที่} (x,y)}$เป็นคอมเพล็กซ์ Kan สำหรับวัตถุแต่ละคู่${\displaystyle x,y}$, แล้ว${\displaystyle N^{hc}(C)}$เป็นหมวดหมู่อนันต์^{[ 7 ]}

ฟังก์ชัน${\displaystyle {\mathfrak {C}}[-]}$จากนั้นการแปลงจาก sSetไปยังsSet-Catจะถูกกำหนดให้เป็นตัวผกผันซ้ายของ${\displaystyle N^{hc}}$การประยุกต์ใช้งานที่สำคัญอย่างหนึ่งคือ:

ทฤษฎีบทนี้บ่งชี้ว่า แนวทางเชิงซิมพลิเชียลต่อทฤษฎีของ ∞-หมวดหมู่ เทียบเท่า (ในความหมายแบบอ่อนที่กล่าวมาข้างต้น) กับแนวทางเชิงโทโพโลยีต่อทฤษฎีนั้น

ถ้าXและYเป็น ∞-categories แล้วเซตซิมพลิเชียล${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(X,Y)}$Hom ภายในในsSetก็เป็น ∞-category เช่นกัน (โดยทั่วไปแล้ว จะเป็น ∞-category ถ้าXเป็นเพียงเซตซิมพลิเชียลและYเป็น ∞-category) ^{[ 9 ]}

ถ้า${\displaystyle x,y}$ถ้าวัตถุเหล่านั้นอยู่ในหมวดหมู่อนันต์Cแล้ว${\displaystyle \operatorname {Map} _{C}(x,y)}$เป็นคอมเพล็กซ์ Kan แต่${\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Map} _{C}(x,y)}$โดยหลักการแล้วไม่ใช่ฟังก์ชัน ฟังก์ชันที่จำกัดให้อยู่ในนั้นสามารถสร้างได้ดังต่อไปนี้

ให้Sเป็นเซตเชิงซิมพลิเชียล และ${\displaystyle S'={\mathfrak {C}}[S]}$หมวด หมู่ที่เสริมด้วย sSetซึ่งสร้างขึ้นโดยมัน ตั้งแต่${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S'}}$เป็นฟังก์ชัน${\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Sing} |\operatorname {Hom} _{C}(x,y)|}$ให้ฟังก์ชัน

${\displaystyle S'^{op}\times S'\to \mathrm {Kan} \,,}$

โดยทางด้านขวาคือกลุ่ม Kan complex ประเภทที่ 1 จากนั้น เนื่องจาก${\displaystyle {\mathfrak {C}}[-]}$เป็นตัวผกผันซ้ายของ${\displaystyle N^{hc}}$,${\displaystyle {\mathfrak {C}}[S^{op}\times S]\to S'^{op}\times S'\to \mathrm {Kan} }$สอดคล้องกับ

${\displaystyle S^{op}\times S\to \mathbf {Kan} =N^{hc}({\textrm {Kan}}))}$

การเอาไป${\displaystyle S}$เพื่อให้เป็น ∞-category Cข้างต้นคือฟังก์ชัน hom

${\displaystyle \operatorname {Hom} :C^{op}\times C\to \mathbf {Kan} ,}$

ซึ่งจำกัดไว้ที่${\displaystyle (x,y)\mapsto \operatorname {Map} _{C}(x,y).}$

ดูเพิ่มเติม: ลิมิตและโคลิมิตในอนันต์-หมวดหมู่ , แกนหลักของอนันต์-หมวดหมู่

เมื่อกำหนดฟังก์ชันแล้ว${\displaystyle F:C\to D}$ระหว่างหมวดหมู่ ∞, Fจะถูกเรียกว่าเป็นความเท่าเทียมกัน (ในความหมายของ Joyal) หากสามารถผกผันได้ใน ∞-Cat ซึ่งเป็นหมวดหมู่ ∞ ของหมวดหมู่ ∞ (ขนาดเล็ก) ^{[ 10 ]}

เช่นเดียวกับในทฤษฎีหมวดหมู่ทั่วไป (โดยมีสัจพจน์ของการเลือก) Fจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อ F เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

• ซื่อสัตย์อย่างเต็มที่หมายความว่า${\displaystyle F:\operatorname {Map} (x,y)\to \operatorname {Map} (F(x),F(y))}$คือความเท่าเทียมกันสำหรับวัตถุแต่ละคู่${\displaystyle x,y}$, และ
• โดยพื้นฐานแล้วเป็นฟังก์ชันทั่วถึงหมายความว่าสำหรับวัตถุy แต่ละ ตัวในD${\displaystyle y\simeq F(x)}$สำหรับวัตถุ^xบาง อย่าง ในC [ ^{11 ]}

เช่นเดียวกับในทฤษฎีหมวดหมู่ทั่วไป เราสามารถพิจารณาพรีชีฟบนหมวดหมู่ ∞- Cได้ จากมุมมองของทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูงพรีชีฟดังกล่าวไม่ควรมีค่าเป็นเซต แต่ควร มีค่าเป็น ปริภูมิ (ตัวอย่างเช่น สำหรับการกำหนดสูตรที่ถูกต้องของเลมมาโยเนดะ ) สมมติฐานโฮโมโทปีกล่าวว่าเราสามารถใช้กรุปอยด์ ∞ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือคอมเพล็กซ์คาน เป็นปริภูมิได้ เมื่อพิจารณาเช่นนั้น เราจึงใช้หมวดหมู่ของ "พรีชีฟ ∞" บนCเป็น${\displaystyle {\widehat {C}}={\ขีดเส้นใต้ {\ชื่อผู้ดำเนินการ {Hom} }}(C^{op},{\textbf {Kan}})}$ที่ไหน${\displaystyle {\textbf {กัน}}}$คือ∞-category ของ Kan complexes presheaf ที่มีค่าเป็น category มักเรียกว่า prestack ดังนั้น${\displaystyle {\widehat {C}}}$อาจมองได้ว่าประกอบด้วยพรีสแต็กจำนวนอนันต์ (∞-prestacks)

(โดยเลือกโครงสร้างฟังก์ชันบน Hom) จะได้การฝังแบบ ∞-Yoneda เช่นเดียว กับกรณีของหมวดหมู่ทั่วไป:

${\displaystyle C\hookrightarrow {\widehat {C}}.}$

มีแนวทางที่เทียบเท่ากันอย่างน้อยสองวิธีสำหรับการเชื่อมโยง ในหนังสือของซิซินสกี การเชื่อมโยงถูกนิยามเช่นเดียวกับในทฤษฎีหมวดหมู่ทั่วไป กล่าวคือ ฟังก์ชันสองตัว${\displaystyle F:C\to D,\,G:D\to C}$กล่าวกันว่าคู่สมมาตรเป็นคู่ผกผันกันหากมี 2-มอร์ฟิซึมอยู่${\displaystyle c:\operatorname {Hom} (F,\operatorname {id)} \to \operatorname {Hom} (\operatorname {id} ,G)}$โดยที่ข้อจำกัดสำหรับแต่ละคู่ของวัตถุxในCและyในDนั้น

${\displaystyle c|_{x,y}:\operatorname {Map} _{D}(F(x),y)\to \operatorname {Map} _{C}(x,G(y))}$

สามารถผกผันได้ใน${\displaystyle {\textbf {กัน}}}$(โปรดจำไว้ว่าพื้นที่การแมปคือคอมเพล็กซ์ Kan) ^{[ 12 ]}

ในหนังสือHigher Topos Theory ของเขา ลูรีได้นิยามการเชื่อมโยง (adjunction) ว่าเป็นแผนที่ (map)${\displaystyle q:M\to \Delta ^{1}}$นั่นคือทั้ง ไฟเบรชัน แบบคาร์ทีเซียนและโคคาร์ทีเซียน^{[ 13 ]}เนื่องจาก${\displaystyle q}$เป็นการจัดเรียงแบบคาร์ทีเซียน โดย การสร้าง แบบGrothendieck (หรือ การทำให้ตรงอย่างแม่นยำ) จะได้ฟังก์ชัน

${\displaystyle G:D=q^{-1}(1)\to D=q^{-1}(0).}$

ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle q}$นอกจากนี้ยังเป็นไฟเบรชันโคคาร์ทีเซียนอีกด้วย และยังมีอีกด้วย${\displaystyle F:C\to D.}$ดังนั้น พวกมันจึงเป็นคู่แอดจอยต์ และในทางกลับกัน คู่แอดจอยต์ก็กำหนดแอดจังก์ชันได้

อนุญาต${\displaystyle \omega }$เป็นวัตถุในหมวดหมู่อนันต์Cจากนั้นสิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

• ฟังก์ชันคงที่ที่มีค่า${\displaystyle \omega }$เป็นวัตถุสุดท้ายในหมวดหมู่${\displaystyle \tau ({\underline {\operatorname {Hom} }}(X,C))}$สำหรับแต่ละเซตซิมพลิเชียลX
• พื้นที่การทำแผนที่${\displaystyle \operatorname {Map} (x,\omega )}$สามารถ หดตัวได้สำหรับวัตถุx แต่ละชิ้น ในC
• การฉายภาพ${\displaystyle C\downarrow \omega \to C}$เป็นภาวะหัวใจเต้นผิดจังหวะแบบ Joyal ที่ไม่ร้ายแรง
• ${\displaystyle \omega }$เหมือนกับแผนที่${\displaystyle \Delta ^{0}\to C}$เป็นส่วนขยายที่ไม่ก่อให้เกิดอาการปวดทางด้าน ขวา
• ${\displaystyle \omega }$คือขีดจำกัดของฟังก์ชันเฉพาะ${\displaystyle \emptyset \to C}$จากเซตว่าง

แล้ว${\displaystyle \omega }$กล่าวกันว่าเป็นขั้นสุดท้ายหากเงื่อนไขเทียบเท่าข้างต้นข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง วัตถุขั้นสุดท้ายจะก่อตัวเป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ ซึ่งเป็น ∞-groupoid ที่ว่างเปล่าหรือหดตัวได้^{[ 17 ]}

ตัวอย่างเช่น รวงข้าวเบื้องต้น${\displaystyle F:C^{op}\to {\textbf {Kan}}}$สามารถแสดงได้ก็ต่อเมื่อหมวดหมู่อนันต์ขององค์ประกอบสำหรับ${\displaystyle F}$มีวัตถุสุดท้าย (เนื่องจากความสามารถในการแสดงแทนนั้นเทียบเท่ากับการกล่าวว่าหมวดหมู่ ∞ ขององค์ประกอบนั้นเทียบเท่ากับหมวดหมู่คอมมาเหนือC ) ^{[ 18 ]}

โดยทั่วไปแล้ว แผนที่ระหว่างเซตเชิงซิมพลิเชียลจะเรียกว่าแผนที่สุดท้ายหากแผนที่นั้นอยู่ในคลาสที่เล็กที่สุด${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ของแผนที่ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• ส่วนขยายแอนโนดีนด้านขวาจัดอยู่ในกลุ่ม${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.
• ชั้นเรียน${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$มีความเสถียรภายใต้องค์ประกอบต่างๆ
• ถ้า${\displaystyle f}$และ${\displaystyle g\circ f}$อยู่ใน${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, แล้ว${\displaystyle g}$อยู่ใน${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$[ ^{19 ]​}

จากนั้นวัตถุ${\displaystyle \omega }$จะถือเป็นที่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อแผนที่นั้น${\displaystyle \omega$ :\Delta ^{0}\to C} เป็นแผนที่สุดท้าย ^{[ 20 ]}นอกจากนี้ แผนที่${\displaystyle f:X\to Y}$เรียกว่าcofinalถ้า${\displaystyle f:X^{op}\to Y^{op}}$ถือเป็นขั้นสุดท้าย^{[ 21 ]}

หมวดหมู่พรีชีฟ (ที่กล่าวถึงข้างต้น) มีคุณสมบัติที่ดีบางประการ และการหาโลคัลไลเซชันของหมวดหมู่เหล่านี้ก็สืบทอดคุณสมบัติเหล่านั้นมาบ้างเช่นกัน หมวดหมู่อนันต์เรียกว่าสามารถนำเสนอได้หากเป็นการหาโลคัลไลเซชันของหมวดหมู่พรีชีฟบนหมวดหมู่อนันต์ในความหมายของ Bousfield (แนวคิดนี้ขึ้นอยู่กับการเลือกเอกภพอย่างมาก ซึ่งในที่นี้ไม่ได้กล่าวถึง แต่มีวิธีหนึ่งที่จะจัดการกับปัญหานี้คือการติดตามจำนวนคาร์ดินัลด้วยตนเอง อีกวิธีหนึ่งคือการใช้แนวคิดของหมวดหมู่อนันต์ที่เข้าถึงได้ดังที่ Lurie ทำ)

Cisinski ตั้งข้อสังเกตว่า “โครงสร้างพีชคณิตใดๆ [ที่สมเหตุสมผล] จะกำหนดหมวดหมู่ ∞ ที่นำเสนอได้” หลังจากพิจารณาถึงเส้นประสาท^{[ 22 ]}ดังนั้น ตัวอย่างเช่น “หมวดหมู่ของกลุ่ม หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบล หมวดหมู่ของวงแหวน” ล้วนเป็นหมวดหมู่ ∞ ที่นำเสนอได้ (เส้นประสาทของพวกมันก็เป็นเช่นกัน) นอกจากนี้ เส้นประสาทของหมวดหมู่ของเซตขนาดเล็กก็สามารถนำเสนอได้เช่นกัน^{[ 23 ]}

แนวคิดนี้มีนัยสำคัญต่อทฤษฎีของหมวดหมู่แบบจำลองโดยประมาณเนื่องจากข้อสังเกตข้างต้น หมวดหมู่แบบจำลองทั่วไปทั้งหมดที่ใช้ในทางปฏิบัติมีเส้นประสาทที่สามารถนำเสนอได้ หมวดหมู่แบบจำลองดังกล่าวเรียกว่าแบบผสมผสาน^{[ 24 ]}กล่าวคือ เรามี: (Dugger) ถ้าCเป็นหมวดหมู่แบบจำลองแบบผสมผสานแล้ว การกำหนดตำแหน่ง${\displaystyle L(C)}$เมื่อพิจารณาถึงความสมมูลที่อ่อนแอ จะเป็นหมวดหมู่ ∞ ที่นำเสนอได้^{[ 25 ]}และในทางกลับกัน หมวดหมู่ ∞ ที่นำเสนอได้แต่ละรายการจะมีรูปแบบดังกล่าว จนถึงความสมมูล^{[ 26 ]}

• (∞,  1)-categoryคือ∞-category ที่ไม่จำเป็นต้องเป็น quasi-category ซึ่งn- morphism ทั้งหมดสำหรับn  >  1 เป็น equivalence มีแบบจำลองของ (∞,  1)-category หลายแบบ รวมถึงSegal category , simplicially enriched category , topological categoryและcomplete Segal spaceนอกจากนี้ quasi-category ก็เป็น (∞,  1)-category ด้วย
• โครงสร้างโมเดลมีโครงสร้างโมเดลบน sSet-categories ที่แสดง (∞,1)-category (∞,1)Cat
• การขยายโฮโมโทปีคานแนวคิดของการขยายโฮโมโทปีคาน และโดยเฉพาะอย่างยิ่งแนวคิดของลิมิตโฮโมโทปีและโคลิมิตโฮโมโทปี มีการกำหนดสูตรโดยตรงในแง่ของหมวดหมู่ที่เสริมด้วยคอมเพล็กซ์คาน ดูที่ การขยายโฮโมโทปีคาน สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม
• การนำเสนอทฤษฎี (∞,1)-toposทฤษฎี (∞,1)-topos ทั้งหมดสามารถจำลองได้ในแง่ของ sSet-categories (ToënVezzosi) มีแนวคิดของ sSet-site C ที่จำลองแนวคิดของ (∞,1)-site และโครงสร้างแบบจำลองบน presheaves ที่เสริมด้วย sSet บน sSet-sites ซึ่งเป็นการนำเสนอสำหรับ (∞,1)-toposes แบบ ∞-stack บน C

• หมวดหมู่โมเดล
• หมวดหมู่อินฟินิตี้ที่เสถียร
• ∞-กรุปอยด์
• ทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูง
• ชุดทรงกลม
• ฟังก์ชัน Mackey
• (∞, n)-หมวดหมู่
• โฮโมโทปี เส้นประสาทที่สอดคล้องกัน
• การกำหนดตำแหน่งของหมวดหมู่ ∞

• https://math.stackexchange.com/questions/4471234/why-use-infty-categories-over-model-categories
• https://ncatlab.org/nlab/show/locally+presentable+(infinity%2C1)-category
• หมวดหมู่กึ่งที่ห้องปฏิบัติการn
• หมวดหมู่อนันต์ที่n Lab
• หมวดหมู่พื้นฐานที่n Lab
• บทความของ Joyal ใน Catlab: ทฤษฎีของควาซิแคตเทอรี
• (∞,  1)-หมวดหมู่ที่n Lab