ตัวเลขหลักที่ใช้ในเลขคณิต ได้แก่จำนวนธรรมชาติจำนวนเต็มบวกจำนวนเต็มบวกจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง^{[ 12 ]}จำนวนธรรมชาติคือจำนวนเต็มบวกที่เริ่มต้นจาก 1 และไปถึงอนันต์ โดยไม่รวม 0 และจำนวนลบ นอกจากนี้ยังเรียกว่าจำนวนนับ และสามารถแสดงได้ดังนี้${\displaystyle \{1,2,3,4,...\}}$สัญลักษณ์ของจำนวนธรรมชาติคือ${\displaystyle \mathbb {N} }$[ ^ก]จำนวนเต็มนั้นเหมือนกับจำนวนธรรมชาติทุกประการ โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือจำนวนเต็มนั้นรวม 0 อยู่ด้วย สามารถแสดงได้^{ดังนี้}${\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}$และมีสัญลักษณ์${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$[ ^{14 ] [ b ] นักคณิตศาสตร์บางคนไม่ได้แยกความแตก ต่าง}ระหว่างจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มโดยการรวม 0 ไว้ในเซตของจำนวนธรรมชาติ^{[ 16 ]}เซตของจำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกและลบ มีสัญลักษณ์${\displaystyle \mathbb {Z} }$และสามารถแสดงได้ดังนี้${\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$[ ^{17 ]​}

โดยพิจารณาจากวิธีการใช้จำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็ม สามารถแบ่งออกได้เป็นจำนวนนับและจำนวนลำดับจำนวนนับ เช่น หนึ่ง สอง และสาม เป็นจำนวนที่แสดงปริมาณของวัตถุ ตอบคำถามว่า "มีกี่ชิ้น?" จำนวนลำดับ เช่น ที่หนึ่ง ที่สอง และที่สาม ระบุลำดับหรือตำแหน่งในชุด ตอบคำถามว่า "อยู่ในตำแหน่งใด?" ^{[ 18 ]}

จำนวนใดๆ เรียกว่าจำนวนตรรกยะ ถ้าสามารถแสดงได้ในรูปอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน ตัวอย่างเช่น จำนวนตรรกยะ 1/2${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$เกิดจากการหารจำนวนเต็ม 1 ซึ่งเรียกว่าตัวเศษ ด้วยจำนวนเต็ม 2 ซึ่งเรียกว่าตัวส่วน ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$และ${\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$เซตของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนเต็มทั้งหมด ซึ่งเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 1 สัญลักษณ์ของจำนวนตรรกยะคือ${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{19 ]}เศษส่วนทศนิยม เช่น 0.3 และ 25.12 เป็นจำนวนตรรกยะประเภทพิเศษ เนื่องจากตัวส่วนเป็นกำลังของ 10 ตัวอย่าง ^เช่น 0.3 เท่ากับ${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$และ 25.12 เท่ากับ${\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$[ ^{20 ]}จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสอดคล้องกับทศนิยมจำกัด^หรือทศนิยมซ้ำ^{[ 21 ] [ c ]}

จำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่สามารถแสดงได้ด้วยอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักจำเป็นต้องใช้ในการอธิบายขนาดทางเรขาคณิต เช่น ถ้า สามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านประกอบมุมฉากยาว 1 ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะกำหนดโดยจำนวนอตรรกยะ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$π เป็นจำนวนอตรรกยะอีกจำนวนหนึ่งและอธิบายอัตราส่วนของ^{เส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง [ 22 ]}การแสดงจำนวนอตรรกยะในรูป^{ทศนิยม}เป็น^{อนันต์} โดยไม่มี ทศนิยมซ้ำ^{[ 23 ]}เซตของจำนวนตรรกยะรวมกับเซตของจำนวนอตรรกยะประกอบกันเป็นเซตของจำนวนจริง สัญลักษณ์ของจำนวนจริงคือ${\displaystyle \mathbb {R} }$[ ^{24 ]}กลุ่มตัวเลขที่กว้างกว่านั้นได้แก่จำนวนเชิงซ้อนและควอเทอ^ร์เนียน^{[ 25 ]}

ตัวเลข คือ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวน และระบบตัวเลขคือกรอบการทำงานสำหรับการแสดงแทน^{[ 26 ]}โดยทั่วไปจะมีตัวเลขพื้นฐานจำนวนจำกัด ซึ่งอ้างอิงถึงจำนวนบางจำนวนโดยตรง ระบบจะควบคุมวิธีการรวมตัวเลขพื้นฐานเหล่านี้เพื่อแสดงจำนวนใดๆ^{[ 27 ]}ระบบตัวเลขมีทั้งแบบตำแหน่งและแบบไม่ตำแหน่ง ระบบตัวเลขในยุคแรกทั้งหมดเป็นแบบไม่ตำแหน่ง^{[ 28 ]}สำหรับระบบตัวเลขแบบไม่ตำแหน่ง ค่าของตัวเลขไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขนั้นในตัวเลข^{[ 29 ]}

เครื่องหมายนับและไม้ขีดนับ บางชนิด ใช้ระบบตัวเลขเอกภาคที่ไม่ขึ้นกับตำแหน่ง

ระบบตัวเลขแบบไม่ใช้ตำแหน่งที่ง่ายที่สุดคือระบบตัวเลขเอกภาค ระบบนี้ใช้สัญลักษณ์เดียวแทนเลข 1 ตัวเลขที่สูงกว่าจะเขียนโดยการทำซ้ำสัญลักษณ์นี้ เช่น เลข 7 สามารถแทนได้โดยการทำซ้ำสัญลักษณ์ 1 เจ็ดครั้ง ระบบนี้ทำให้การเขียนตัวเลขขนาดใหญ่เป็นเรื่องยุ่งยาก ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมระบบตัวเลขแบบไม่ใช้ตำแหน่งหลายระบบจึงมีสัญลักษณ์เพิ่มเติมเพื่อแทนตัวเลขขนาดใหญ่โดยตรง^{[ 30 ]}รูปแบบต่างๆ ของระบบตัวเลขเอกภาคถูกนำมาใช้ในไม้ขีดนับโดยใช้รอยบุ๋มและในเครื่องหมายนับ^{[ 31 ]}

อักษรภาพอียิปต์ มี ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งที่ซับซ้อนกว่าพวกเขามีสัญลักษณ์เพิ่มเติมสำหรับตัวเลขเช่น 10, 100, 1000 และ 10,000 สัญลักษณ์เหล่านี้สามารถรวมกันเป็นผลรวมเพื่อแสดงตัวเลขที่ใหญ่กว่าได้อย่างสะดวกยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสำหรับ 10,405 ใช้สัญลักษณ์สำหรับ 10,000 หนึ่งครั้ง สัญลักษณ์สำหรับ 100 สี่ครั้ง และสัญลักษณ์สำหรับ 1 ห้าครั้ง กรอบการทำงานที่คล้ายกันซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีคือระบบตัวเลขโรมันมีสัญลักษณ์ I, V, X, L, C, D, M เป็นตัวเลขพื้นฐานเพื่อแสดงตัวเลข 1, 5, 10, 50, 100, 500 และ 1000 ^{[ 33 ]}

ระบบตัวเลขเรียกว่าระบบตัวเลขตามตำแหน่ง หากตำแหน่งของตัวเลขพื้นฐานในนิพจน์เชิงประกอบกำหนดค่าของตัวเลขนั้น ระบบตัวเลขตามตำแหน่งมีฐานที่ทำหน้าที่เป็นตัวคูณของตำแหน่งต่างๆ สำหรับแต่ละตำแหน่งถัดไป ฐานจะถูกยกกำลังด้วยค่าที่สูงกว่า ในระบบเลขฐานสิบทั่วไป หรือที่เรียกว่าระบบตัวเลขฮินดู-อารบิก ฐานคือ 10 ซึ่งหมายความว่าหลักแรกจะถูกคูณด้วย 10${\displaystyle 10^{0}}$ตัวเลขหลักถัดไปจะถูกคูณด้วย${\displaystyle 10^{1}}$และอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขทศนิยม 532 หมายถึง${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}}$เนื่องจากผลของตำแหน่งตัวเลข ตัวเลข 532 จึงแตกต่างจากตัวเลข 325 และ 253 แม้ว่าจะมีตัวเลขเหมือนกันก็ตาม^{[ 34 ]}

ระบบตัวเลขตำแหน่งอีกระบบหนึ่งที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณทางคอมพิวเตอร์คือระบบเลขฐานสองซึ่งมีฐานเป็น 2 หมายความว่าตัวเลขหลักแรกจะถูกคูณด้วย${\displaystyle 2^{0}}$ตัวเลขถัดไปโดย${\displaystyle 2^{1}}$และอื่นๆ ตัวอย่างเช่น เลข 13 เขียนเป็น 1101 ในระบบเลขฐานสอง ซึ่งหมายถึง${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$ในการคำนวณ ตัวเลขแต่ละหลักในระบบเลขฐานสองจะสอดคล้องกับหนึ่งบิต^[ 35 ^]ระบบตำแหน่งที่เก่าแก่ที่สุดได้รับการพัฒนาโดยชาวบาบิโลนโบราณและมีฐานเป็น^{60 [ 36 ]}

การบวกและการลบ

การบวกเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่นำตัวเลขสองจำนวน (เรียกว่าตัวบวก) มาบวกกันให้ได้เป็นตัวเลขเดียว (เรียกว่าผลบวก) สัญลักษณ์ของการบวกคือ${\displaystyle +}$ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 2+2=4}$และ${\displaystyle 6.3+1.26=7.56}$[ ^{44 ]}คำว่าผลรวม จะใช้เมื่อมีการ ^บวกหลายครั้งติดต่อกัน^{[ 45 ]}การนับเป็นการบวกซ้ำประเภทหนึ่งซึ่งมีการเพิ่มเลข 1 อย่างต่อเนื่อง^{[ 46 ]}

การลบเป็นการกระทำตรงข้ามกับการบวก ในการลบนั้น ตัวเลขหนึ่งเรียกว่าตัวลบ จะถูกลบออกจากอีกตัวเลขหนึ่งเรียกว่าตัวตั้งลบ ผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้เรียกว่าผลต่าง สัญลักษณ์ของการลบคือ${\displaystyle -}$[ ^{47 ] ตัวอย่าง}คือ${\displaystyle 14-8=6}$และ${\displaystyle 45-1.7=43.3}$การลบมักถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษของการบวก: แทนที่จะลบจำนวนบวก เรายังสามารถบวกจำนวนลบได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 14-8=14+(-8)}$สิ่งนี้ช่วยลดความซับซ้อนของการคำนวณทางคณิตศาสตร์โดยการลดจำนวนการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่จำเป็นในการคำนวณ^{[ 48 ]}

เอกลักษณ์การบวกคือ 0 และตัวผกผันการบวกของจำนวนใดๆ คือจำนวนลบของจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 13+0=13}$และ${\displaystyle 13+(-13)=0}$การบวกเป็นทั้งการสลับที่และการจัดกลุ่ม^{[ 49 ]}

การคูณและการหาร

การคูณเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่นำตัวเลขสองตัว เรียกว่าตัวคูณและตัวถูกคูณ มารวมกันเป็นตัวเลขเดียว เรียกว่าผลคูณ [ ^{50 ] [ d ] สัญลักษณ์}ของการคูณคือ${\displaystyle \times }$,${\displaystyle \cdot }$และ *. ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 2\times 3=6}$และ${\displaystyle 0.3\cdot 5=1.5}$ถ้าตัวตั้งคูณเป็นจำนวนธรรมชาติ การคูณก็จะเหมือนกับการบวกซ้ำๆ ดังเช่นในตัวอย่างนี้${\displaystyle 2\times 3=2+2+2}$[ ^{52 ]​}

การหารเป็นการผกผันของการคูณ ในการหาร จำนวนหนึ่งเรียกว่าตัวตั้งหาร จะถูกแบ่งออกเป็นหลายส่วนเท่าๆ กันโดยจำนวนอีกจำนวนหนึ่งเรียกว่าตัวหาร ผลลัพธ์ของการหารเรียกว่าผลหารสัญลักษณ์ของการหารคือ${\displaystyle \div }$และ${\displaystyle /}$ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 48\div 8=6}$และ${\displaystyle 29.4/1.4=21}$[ ^{53 ]}การหารมักถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษของการคูณ: แทนที่จะหารด้วยจำนวนหนึ่ง ก็ยังสามารถคูณด้วยส่วนกลับ ของ ^{จำนวน} นั้นได้ ส่วนกลับของจำนวนหนึ่งคือ 1 หารด้วยจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}}$[ ^{54 ]​}

เอกลักษณ์การคูณคือ 1 และตัวผกผันการคูณของจำนวนใดๆ คือส่วนกลับของจำนวนนั้น ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 13\times 1=13}$และ${\displaystyle 13\times {\tfrac {1}{13}}=1}$การคูณเป็นทั้งการสลับที่และการจัดกลุ่ม^{[ 55 ]}

การยกกำลังและลอการิทึม

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่นำจำนวนหนึ่ง (เรียกว่าฐาน) มายกกำลังด้วยอีกจำนวนหนึ่ง (เรียกว่าเลขชี้กำลัง) ผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้เรียกว่ากำลัง การยกกำลังบางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์ ^ แต่โดยทั่วไปแล้วจะเขียนเลขชี้กำลังเป็นตัวยกไว้หลังฐาน ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 2^{4}=16}$และ${\displaystyle 3}$^${\displaystyle 3=27}$ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ การยกกำลังก็จะเหมือนกับการคูณซ้ำๆ ดังเช่นในตัวอย่างนี้${\displaystyle 2^{4}=2\times 2\times 2\times 2}$. ^{[ 56 ] [ e ]}

รากเป็นรูปแบบพิเศษของการยกกำลังโดยใช้เลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่นรากที่สองของจำนวนใดๆ ก็เหมือนกับการยกกำลังจำนวนนั้นด้วย...${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$และรากที่สามของจำนวนใดๆ ก็เหมือนกับการยกกำลังจำนวนนั้นด้วย${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ตัวอย่างเช่น${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$และ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3}$[ ^{58 ]​}

ลอการิทึมคือส่วนกลับของการยกกำลัง ลอการิทึมของจำนวนหนึ่ง${\displaystyle x}$ไปยังฐาน${\displaystyle b}$คือเลขชี้กำลังซึ่ง${\displaystyle b}$ต้องได้รับการเลี้ยงดูเพื่อผลิตผล${\displaystyle x}$ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก${\displaystyle 1000=10^{3}}$ลอการิทึมฐาน 10 ของ 1000 คือ 3 ลอการิทึมของ${\displaystyle x}$ฐาน${\displaystyle b}$ถูกกำหนดให้เป็น${\displaystyle \log _{b}(x)}$หรือไม่มีวงเล็บ${\displaystyle \log _{b}x}$หรือแม้กระทั่งไม่มีฐานที่ระบุอย่างชัดเจน${\displaystyle \log x}$เมื่อสามารถเข้าใจพื้นฐานได้จากบริบท ดังนั้น ตัวอย่างก่อนหน้านี้จึงสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle \log _{10}1000=3}$[ ^{59 ]​}

การยกกำลังและลอการิทึมไม่มีเอกลักษณ์ทั่วไปและตัวผกผันเหมือนกับการบวกและการคูณ ตัวประกอบที่เป็นกลางของการยกกำลังเมื่อเทียบกับเลขชี้กำลังคือ 1 ดังเช่นใน${\displaystyle 14^{1}=14}$อย่างไรก็ตาม การยกกำลังไม่มีเอกลักษณ์ทั่วไป เนื่องจาก 1 ไม่ใช่องค์ประกอบที่เป็นกลางสำหรับฐาน^{[ 60 ]}การยกกำลังและลอการิทึมไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่หรือการจัดกลุ่ม^{[ 61 ]}

เลขคณิตจำนวนเต็มเป็นสาขาหนึ่งของเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับการจัดการจำนวนเต็มบวกและลบ^{[ 63 ]}การดำเนินการเลขหลักเดียวแบบง่ายๆ สามารถทำได้โดยการปฏิบัติตามหรือจดจำตารางที่แสดงผลลัพธ์ของการรวมกันที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่นตารางการบวกหรือตารางการคูณวิธีการทั่วไปอื่นๆ ได้แก่การนับ ด้วยวาจา และ การ นับด้วยนิ้ว^{[ 64 ]}

ตัวอย่างการบวกที่มีตัวทดตัวเลขสีดำคือตัวบวก ตัวเลขสีเขียวคือตัวทด และตัวเลขสีฟ้าคือผลบวก

ตัวอย่างการคูณแบบยาว ตัวเลขสีดำคือตัวคูณและตัวตั้งคูณ ตัวเลขสีเขียวคือผลคูณระหว่างกลางที่ได้จากการคูณตัวคูณกับตัวเลขหลักเดียวของตัวตั้งคูณ ตัวเลขสีน้ำเงินคือผลคูณทั้งหมดที่ได้จากการบวกผลคูณระหว่างกลางเหล่านั้นเข้าด้วยกัน

สำหรับการดำเนินการกับตัวเลขที่มีมากกว่าหนึ่งหลัก สามารถใช้เทคนิคต่างๆ ในการคำนวณผลลัพธ์โดยใช้การดำเนินการหลักเดียวหลายๆ ครั้งติดต่อกัน ตัวอย่างเช่น ในวิธีการบวกแบบมีตัวทดตัวเลขสองตัวจะถูกเขียนเรียงกัน โดยเริ่มจากหลักขวาสุด แต่ละคู่ของตัวเลขจะถูกบวกเข้าด้วยกัน หลักขวาสุดของผลรวมจะถูกเขียนไว้ด้านล่าง หากผลรวมเป็นตัวเลขสองหลัก หลักซ้ายสุดที่เรียกว่า "ตัวทด" จะถูกบวกกับคู่ตัวเลขถัดไปทางซ้าย กระบวนการนี้จะทำซ้ำจนกว่าจะบวกตัวเลขทั้งหมดเสร็จ^{[ 65 ]}วิธีการอื่นๆ ที่ใช้สำหรับการบวกจำนวนเต็ม ได้แก่ วิธี เส้นจำนวนวิธีผลรวมบางส่วน และวิธีชดเชย^{[ 66 ]}เทคนิคที่คล้ายกันนี้ถูกนำมาใช้สำหรับการลบ โดยเริ่มจากหลักขวาสุดเช่นกัน และใช้ "การยืม" หรือตัวทดที่เป็นลบสำหรับหลักทางซ้าย หากผลลัพธ์ของการลบหลักเดียวเป็นลบ^{[ 67 ]}

เทคนิคพื้นฐานของการคูณจำนวนเต็มคือการใช้การบวกซ้ำๆ ตัวอย่างเช่น ผลคูณของ${\displaystyle 3\times 4}$สามารถคำนวณได้ดังนี้${\displaystyle 3+3+3+3}$[ ^{68 ]}เทคนิคทั่วไปสำหรับการคูณด้วยจำนวนที่มากขึ้นเรียกว่า^การคูณแบบยาววิธีนี้เริ่มต้นด้วยการเขียนตัวคูณไว้เหนือตัวตั้งคูณ การคำนวณเริ่มต้นด้วยการคูณตัวคูณกับตัวเลขหลักขวาสุดของตัวตั้งคูณเท่านั้น และเขียนผลลัพธ์ไว้ด้านล่าง โดยเริ่มจากคอลัมน์ขวาสุด ทำเช่นเดียวกันสำหรับแต่ละหลักของตัวตั้งคูณ และผลลัพธ์ในแต่ละกรณีจะถูกเลื่อนไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง ขั้นตอนสุดท้ายคือการบวกผลคูณแต่ละส่วนเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ผลคูณทั้งหมดของจำนวนหลายหลักสองจำนวน^{[ 69 ]}เทคนิคอื่นๆ ที่ใช้สำหรับการคูณ ได้แก่วิธีตารางและวิธีแลตติส [ ^{70 ] วิทยาศาสตร์}คอมพิวเตอร์สนใจในอัลกอริทึมการคูณ ที่มี ความซับซ้อนในการคำนวณต่ำเพื่อให้สามารถคูณจำนวนเต็มขนาดใหญ่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ เช่นอัลกอริทึม Karatsuba อัลกอริทึม Schönhage –Strassenและอัลกอริทึม Toom–Cook [ ^{71 ] เทคนิค}ทั่วไปที่ใช้สำหรับการหารเรียกว่า การ หารแบบยาววิธีการอื่นๆ ได้แก่การหารสั้นและการแบ่งกลุ่ม^{[ 72 ]}

เลขคณิตจำนวนเต็มไม่เป็นไปตามกฎการหาร ซึ่งหมายความว่าเมื่อหารจำนวนเต็มหนึ่งด้วยจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง ผลลัพธ์จะไม่ใช่จำนวนเต็มเสมอไป ตัวอย่างเช่น 7 หารด้วย 2 ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่เป็น 3.5 ^{[ 73 ]}วิธีหนึ่งที่จะทำให้แน่ใจว่าผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มคือการปัดเศษผลลัพธ์ให้เป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ทำให้เกิดความไม่แม่นยำเนื่องจากค่าเดิมถูกเปลี่ยนแปลง^{[ 74 ]}อีกวิธีหนึ่งคือการหารเพียงบางส่วนและเก็บเศษไว้ตัวอย่างเช่น 7 หารด้วย 2 คือ 3 โดยมีเศษเหลือ 1 ความยากลำบากเหล่านี้จะถูกหลีกเลี่ยงโดยเลขคณิตจำนวนตรรกยะ ซึ่งช่วยให้สามารถแสดงเศษส่วนได้อย่างแม่นยำ^{[ 75 ]}

วิธีง่ายๆ ในการคำนวณเลขยกกำลังคือการคูณซ้ำๆ ตัวอย่างเช่น เลขยกกำลังของ${\displaystyle 3^{4}}$สามารถคำนวณได้ดังนี้${\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3}$[ ^{76 ]}เทคนิคที่มีประสิทธิภาพมากกว่าที่ใช้สำหรับเลขชี้กำลังขนาดใหญ่คือการยกกำลังโดยการยกกำลังสอง ซึ่งจะแบ่งการ ^{คำนวณ}ออกเป็นการดำเนินการยกกำลังสองหลายครั้ง ตัวอย่างเช่น การยกกำลัง${\displaystyle 3^{65}}$สามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle (((((3^{2})^{2})^{2})^{2})^{2})^{2}\times 3}$โดยการใช้ประโยชน์จากการดำเนินการยกกำลังซ้ำๆ จะใช้การดำเนินการเพียง 7 ครั้งเท่านั้น แทนที่จะเป็น 64 ครั้งที่จำเป็นสำหรับการคูณซ้ำแบบปกติ^{[ 77 ]}วิธีการคำนวณลอการิทึมได้แก่อนุกรมเทย์เลอร์และเศษส่วนต่อเนื่อง [ ^{78 ] เลขคณิต}จำนวนเต็มไม่ปิดภายใต้ลอการิทึมและภายใต้การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังลบ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของการดำเนินการเหล่านี้ไม่ใช่จำนวนเต็มเสมอไป^{[ 79 ]}

เลขคณิตจำนวนตรรกยะเป็นสาขาหนึ่งของเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับการจัดการจำนวนที่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้^{[ 93 ]}การดำเนินการทางเลขคณิตส่วนใหญ่บนจำนวนตรรกยะสามารถคำนวณได้โดยการดำเนินการทางเลขคณิตจำนวนเต็มหลายชุดกับตัวเศษและตัวส่วนของจำนวนที่เกี่ยวข้อง หากจำนวนตรรกยะสองจำนวนมีตัวส่วนเดียวกัน ก็สามารถบวกกันได้โดยการบวกตัวเศษและคงตัวส่วนร่วมไว้ ตัวอย่างเช่น${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}}$วิธีการที่คล้ายกันนี้ใช้สำหรับการลบ หากตัวเลขสองจำนวนมีตัวส่วนไม่เหมือนกัน จะต้องแปลงตัวเลขทั้งสองเพื่อหาตัวส่วนร่วม ซึ่งสามารถทำได้โดยการปรับขนาดตัวเลขแรกด้วยตัวส่วนของตัวเลขที่สอง ในขณะที่ปรับขนาดตัวเลขที่สองด้วยตัวส่วนของตัวเลขแรก ตัวอย่างเช่น${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$[ ^{94 ]​}

การคูณจำนวนตรรกยะสองจำนวน ทำได้โดยการคูณตัวเศษและตัวส่วนของจำนวนทั้งสองตามลำดับ ดังนี้${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}}$การหารจำนวนตรรกยะหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง สามารถทำได้โดยการคูณจำนวนแรกด้วยส่วนกลับของจำนวนที่สอง ซึ่งหมายความว่าตัวเศษและตัวส่วนของจำนวนที่สองจะสลับตำแหน่งกัน ตัวอย่างเช่น${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}}$[ ^{95 ] ต่างจากเลขคณิตจำนวนเต็ม เลขคณิตจำนวนตรรกยะจะปิดภายใต้การ หาร}ตราบใดที่ตัวหารไม่ใช่ 0 ^{[ 96 ]}

ทั้งเลขคณิตจำนวนเต็มและเลขคณิตจำนวนตรรกยะไม่ปิดภายใต้การยกกำลังและลอการิทึม^{[ 97 ]}วิธีหนึ่งในการคำนวณการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนคือการคำนวณแยกกันสองครั้ง: ครั้งหนึ่งยกกำลังโดยใช้ตัวเศษของเลขชี้กำลัง ตามด้วยการหาค่ารากที่ nของผลลัพธ์โดยใช้ตัวส่วนของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น${\displaystyle 5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$การดำเนินการครั้งแรกสามารถทำได้โดยใช้วิธีการต่างๆ เช่น การคูณซ้ำ หรือการยกกำลังโดยการยกกำลังสอง วิธีหนึ่งในการหาผลลัพธ์โดยประมาณสำหรับการดำเนินการครั้งที่สองคือการใช้วิธีการของนิวตันซึ่งใช้ขั้นตอนต่างๆ เพื่อค่อยๆ ปรับปรุงการคาดเดาเบื้องต้นจนกว่าจะถึงระดับความแม่นยำที่ต้องการ^{[ 98 ]}สามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์หรือวิธีเศษส่วนต่อเนื่องในการคำนวณลอการิทึมได้^{[ 99 ]}

การ เขียน เศษส่วนทศนิยมเป็นวิธีพิเศษในการแสดงจำนวนตรรกยะที่มีตัวส่วนเป็นกำลังของ 10 ตัวอย่างเช่น จำนวนตรรกยะ${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$,${\displaystyle {\tfrac {371}{100}}}$, และ${\displaystyle {\tfrac {44}{10000}}}$เขียนเป็น 0.1, 3.71 และ 0.0044 ในสัญกรณ์เศษส่วนทศนิยม^{[ 100 ]}สามารถนำวิธีการคำนวณจำนวนเต็มที่ดัดแปลงแล้ว เช่น การบวกแบบมีตัวทด และการคูณแบบยาว มาใช้กับการคำนวณเศษส่วนทศนิยมได้^{[ 101 ]}ไม่ใช่จำนวนตรรกยะทั้งหมดที่มีการแสดงผลแบบจำกัดในสัญกรณ์ทศนิยม ตัวอย่างเช่น จำนวนตรรกยะ n${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$สอดคล้องกับ 0.333... ที่มีเลข 3 จำนวนอนันต์ สัญลักษณ์ย่อสำหรับทศนิยมซ้ำ ประเภทนี้ คือ0.3 ^{[ 102 ]} ทศนิยมซ้ำทุกตัวแสดง ถึงจำนวนตรรกยะ^{[ 103 ]}

เลขคณิตจำนวนจริงเป็นสาขาหนึ่งของเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับการจัดการทั้งจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่ไม่สามารถแสดงได้ด้วยเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำ เช่น รากที่สองของ 2 และ^{π [ 104 ]}ต่าง^{จากเลขคณิต}จำนวนตรรกยะเลขคณิตจำนวนจริงจะปิดภายใต้การยกกำลังตราบใดที่ใช้จำนวนบวกเป็นฐาน เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมของจำนวนจริงบวกตราบใดที่ฐานของลอการิทึมเป็นบวกและไม่ใช่ 1 ^{[ 105 ]}

จำนวนอตรรกยะประกอบด้วยชุดตัวเลขทศนิยมที่ไม่ซ้ำกันเป็นอนันต์ ด้วยเหตุนี้ จึงมักไม่มีวิธีที่ง่ายและแม่นยำในการแสดงผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่น การหารด้วยจำนวนอตรรกยะ${\displaystyle {\sqrt {2}}+\pi }$หรือ${\displaystyle e\cdot {\sqrt {3}}}$[ ^{106 ]}ในกรณีที่ไม่จำเป็นต้องใช้ความแม่นยำสัมบูรณ์ ปัญหาของการคำนวณทางคณิตศาสตร์บนจำนวนจริงมักจะได้รับการแก้ไขโดย^การตัดทอนหรือการปัดเศษสำหรับการตัดทอน จะเก็บตัวเลขหลักซ้ายสุดไว้จำนวนหนึ่ง และตัวเลขที่เหลือจะถูกทิ้งหรือแทนที่ด้วยศูนย์ ตัวอย่างเช่น จำนวนπมีจำนวนหลักอนันต์เริ่มต้นด้วย 3.14159.... หากตัวเลขนี้ถูกตัดทอนเหลือ 4 ตำแหน่งทศนิยม ผลลัพธ์คือ 3.141 การปัดเศษเป็นกระบวนการที่คล้ายกัน โดยที่ตัวเลขหลักสุดท้ายที่เก็บไว้จะเพิ่มขึ้นหนึ่งหากตัวเลขถัดไปเป็น 5 หรือมากกว่า แต่จะคงเดิมหากตัวเลขถัดไปน้อยกว่า 5 ดังนั้นจำนวนที่ปัดเศษจึงเป็นค่าประมาณที่ดีที่สุดของความแม่นยำที่กำหนดสำหรับจำนวนเดิม ตัวอย่างเช่น หากปัดเศษจำนวนπเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง ผลลัพธ์คือ 3.142 เนื่องจากหลักถัดไปคือ 5 ดังนั้น 3.142 จึงอยู่ใกล้πมากกว่า 3.141 ^{[ 107 ]}วิธีการเหล่านี้ช่วยให้คอมพิวเตอร์สามารถคำนวณค่าประมาณของจำนวนจริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ^{[ 108 ]}

ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ตัวเลขแสดงถึงค่าประมาณของปริมาณทางกายภาพที่ได้มาจากการวัดหรือการสร้างแบบจำลอง ซึ่งแตกต่างจากตัวเลขที่แน่นอนทางคณิตศาสตร์ เช่นπหรือ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ข้อมูลเชิงตัวเลขที่เกี่ยวข้องทางวิทยาศาสตร์นั้นโดยเนื้อแท้แล้วไม่แม่นยำ เกี่ยวข้องกับความในการวัด ^{[ 109 ]}วิธีพื้นฐานวิธีหนึ่งในการแสดงระดับความแน่นอนเกี่ยวกับค่าของแต่ละตัวเลขและหลีกเลี่ยงความแม่นยำที่ผิดพลาด คือ การปัดเศษการวัดแต่ละครั้งให้เหลือจำนวนหลักที่แน่นอน เรียกว่าหลักสำคัญซึ่งถือว่ามีความแม่นยำ ตัวอย่างเช่น ความสูงของบุคคลที่วัดด้วยสายวัดอาจทราบได้อย่างแม่นยำเพียงเซนติเมตรที่ใกล้ที่สุด ดังนั้นควรแสดงเป็น 1.62 เมตร แทนที่จะเป็น 1.6217 เมตร หากแปลงเป็นหน่วยอิมพีเรียล ปริมาณนี้ควรปัดเศษเป็น 64 นิ้ว หรือ 63.8 นิ้ว แทนที่จะเป็น 63.7795 นิ้ว เพื่อสื่อถึงความแม่นยำของการวัดได้อย่างชัดเจน เมื่อเขียนตัวเลขโดยใช้สัญกรณ์ทศนิยมธรรมดา เลขศูนย์นำหน้าจะไม่ถือว่าสำคัญ และเลขศูนย์ต่อท้ายของตัวเลขที่ไม่ได้เขียนด้วยจุดทศนิยมจะถือว่าไม่สำคัญโดยปริยาย ^{[ 110 ]}ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 0.056 และ 1200 แต่ละตัวมีตัวเลขสำคัญเพียง 2 หลัก แต่ตัวเลข 40.00 มีตัวเลขสำคัญ 4 หลัก การแสดงความไม่แน่นอนโดยใช้เฉพาะตัวเลขสำคัญเป็นวิธีการที่ค่อนข้างหยาบและมีรายละเอียดปลีกย่อยที่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณ การติดตามค่าประมาณหรือขอบเขตบนของข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเป็นวิธีการที่ซับซ้อนกว่า ^{[ 111 ]}ในตัวอย่างนี้ ความสูงของบุคคลอาจแสดงเป็น1.62 ± 0.005เมตร หรือ63.8 ± 0.2นิ้ว ^{[ 112 ]}

ในการคำนวณปริมาณที่ไม่แน่นอนความไม่แน่นอนควรถูกส่งต่อไปยังปริมาณที่คำนวณได้ เมื่อบวกหรือลบปริมาณสองปริมาณขึ้นไป ให้บวกความไม่แน่นอนสัมบูรณ์ของแต่ละพจน์เข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ความไม่แน่นอนสัมบูรณ์ของผลรวม เมื่อคูณหรือหารปริมาณสองปริมาณขึ้นไป ให้บวกความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ของแต่ละตัวประกอบเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ของผลคูณ^{[ 113 ]}เมื่อแสดงความไม่แน่นอนด้วยตัวเลขสำคัญ ความไม่แน่นอนสามารถส่งต่ออย่างคร่าวๆ ได้โดยการปัดเศษผลลัพธ์ของการบวกหรือลบปริมาณสองปริมาณขึ้นไปไปที่ตำแหน่งทศนิยมสำคัญสุดท้ายทางซ้ายสุดในบรรดาพจน์ และโดยการปัดเศษผลลัพธ์ของการคูณหรือหารปริมาณสองปริมาณขึ้นไปไปที่จำนวนตัวเลขสำคัญน้อยที่สุดในบรรดาตัวประกอบ^{[ 114 ]} (ดูตัวเลขสำคัญ §  เลขคณิต )

วิธีการที่ซับซ้อนกว่าในการจัดการกับค่าที่ไม่แน่นอน ได้แก่เลขคณิตช่วงและเลขคณิตเชิงเส้นเลขคณิตช่วงอธิบายถึงการดำเนินการบนช่วง ช่วงสามารถใช้เพื่อแสดงช่วงของค่าได้ หากไม่ทราบขนาดที่แน่นอน เช่น เนื่องจากข้อผิดพลาดในการวัดเลขคณิตช่วงรวมถึงการดำเนินการ เช่น การบวกและการคูณบนช่วง ดังเช่นใน${\displaystyle [1,2]+[3,4]=[4,6]}$และ${\displaystyle [1,2]\times [3,4]=[3,8]}$[ ^{115 ] มันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเลขคณิตเชิงเส้นตรง ซึ่งมุ่ง หวัง}ที่จะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นโดยการคำนวณบนรูปแบบเชิงเส้นตรงแทนที่จะเป็นช่วง รูปแบบเชิงเส้นตรงคือตัวเลขพร้อมกับพจน์ความคลาดเคลื่อนที่อธิบายว่าตัวเลขนั้นอาจเบี่ยงเบนจากขนาดจริงอย่างไร^{[ 116 ]}

ความแม่นยำของปริมาณเชิงตัวเลขสามารถแสดงได้อย่างสม่ำเสมอโดยใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์มาตรฐานซึ่งสะดวกสำหรับการแสดงตัวเลขที่มากกว่าหรือน้อยกว่า 1 อย่างกระชับ โดยใช้สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ตัวเลขจะถูกแยกออกเป็นผลคูณของตัวเลขระหว่าง 1 ถึง 10 เรียกว่าตัวส่วนสำคัญ (significand)และ 10 ยกกำลังจำนวนเต็มใดๆ เรียกว่าเลขชี้กำลัง (exponent ) ตัวส่วนสำคัญประกอบด้วยตัวเลขที่มีนัยสำคัญของตัวเลข และเขียนเป็นตัวเลขนำหน้า 1–9 ตามด้วยจุดทศนิยมและลำดับของตัวเลข 0–9 ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์วิทยาศาสตร์มาตรฐานของตัวเลข 8276000 คือ${\displaystyle 8.276\times 10^{6}}$โดยมีค่าสำคัญ 8.276 และเลขชี้กำลัง 6 และสัญกรณ์วิทยาศาสตร์มาตรฐานของจำนวน 0.00735 คือ${\displaystyle 7.35\times 10^{-3}}$โดยมีค่าสำคัญ 7.35 และเลขชี้กำลัง− 3 ^{[ 117 ]}ต่างจากสัญกรณ์ทศนิยมทั่วไป ซึ่งเลขศูนย์ต่อท้ายของตัวเลขขนาดใหญ่ถือว่าไม่สำคัญโดยปริยาย ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ ตัวเลขทุกตัวในค่าสำคัญถือว่าสำคัญ และการเพิ่มเลขศูนย์ต่อท้ายแสดงถึงความแม่นยำที่สูงขึ้น ตัวอย่างเช่น ในขณะที่ตัวเลข 1200 โดยปริยายมีตัวเลขสำคัญเพียง 2 ตัว ตัวเลข⁠${\displaystyle 1.20\times 10^{3}}$⁠มี 3 อย่างชัดเจน ^{[ 118 ]}

วิธีการทั่วไปที่คอมพิวเตอร์ใช้ในการประมาณค่าเลขคณิตจำนวนจริงเรียกว่าเลขคณิตจุดลอยตัวโดยจะแสดงจำนวนจริงในลักษณะเดียวกับสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ผ่านตัวเลขสามตัว ได้แก่ ตัวเลขสำคัญ ฐาน และเลขชี้กำลัง^{[ 119 ]}ความแม่นยำของตัวเลขสำคัญนั้นจำกัดด้วยจำนวนบิตที่จัดสรรไว้เพื่อแสดงค่า หากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนที่ต้องการบิตมากกว่าที่มีอยู่ คอมพิวเตอร์จะปัดเศษผลลัพธ์ให้เป็นจำนวนที่ใกล้เคียงที่สุดที่สามารถแสดงได้ ซึ่งนำไปสู่ข้อผิดพลาดในการปัดเศษ [ ^{120 ] ผล}ที่ตามมาของพฤติกรรมนี้คือ เลขคณิตจุดลอยตัวละเมิดกฎทางคณิตศาสตร์บางประการ ตัวอย่างเช่น การบวกเลขคณิตจุดลอยตัวไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่ เนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษที่เกิดขึ้นอาจขึ้นอยู่กับลำดับของการบวก ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ของ${\displaystyle (a+b)+c}$บางครั้งอาจแตกต่างจากผลลัพธ์ของ${\displaystyle a+(b+c)}$[ ^{121 ]}มาตรฐานทางเทคนิคที่ใช้กันทั่วไปสำหรับการคำนวณเลขทศนิยมเรียกว่าIEEE 754 ^ซึ่งกำหนดวิธีการแสดงตัวเลข วิธีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และการปัดเศษ และวิธีการจัดการข้อผิดพลาดและข้อยกเว้น^{[ 122 ]}ในกรณีที่ความเร็วในการคำนวณไม่ใช่ปัจจัยจำกัด สามารถใช้การคำนวณเลขคณิตที่มีความแม่นยำสูงได้ซึ่งความแม่นยำของการคำนวณจะถูกจำกัดโดยหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์เท่านั้น^{[ 123 ]}

รูปแบบของเลขคณิตยังสามารถจำแนกได้ตามเครื่องมือที่ใช้ในการคำนวณ และรวมถึงวิธีการมากมายนอกเหนือจากการใช้ปากกาและกระดาษตามปกติเลขคณิตทางจิตอาศัยจิตใจ เพียงอย่างเดียว โดยไม่ใช้เครื่องมือภายนอก แต่จะใช้การมองเห็น การจดจำ และเทคนิคการคำนวณบางอย่างเพื่อแก้ปัญหาทางเลขคณิต^{[ 124 ]}เทคนิคหนึ่งคือวิธีการชดเชย ซึ่งประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงตัวเลขเพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น แล้วจึงปรับผลลัพธ์ในภายหลัง ตัวอย่างเช่น แทนที่จะคำนวณ${\displaystyle 85-47}$หนึ่งการคำนวณ${\displaystyle 85-50}$ซึ่งง่ายกว่าเพราะใช้ตัวเลขกลมๆ ในขั้นตอนต่อไป เราจะบวก${\displaystyle 3}$เพื่อผลลัพธ์ในการชดเชยการปรับก่อนหน้านี้^{[ 125 ]}การคำนวณทางจิตมักสอนในระดับประถมศึกษาเพื่อฝึกฝนความสามารถทางตัวเลขของนักเรียน^{[ 126 ]}

ร่างกายมนุษย์ยังสามารถใช้เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ได้อีกด้วย การใช้มือในการนับนิ้วมักถูกนำมาสอนเด็กเล็กเพื่อสอนตัวเลขและการคำนวณอย่างง่าย ในรูปแบบพื้นฐานที่สุด จำนวนนิ้วที่ยื่นออกมาจะสอดคล้องกับปริมาณที่แสดง และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่น การบวกและการลบ จะทำโดยการยื่นหรือหดนิ้ว ระบบนี้มีข้อจำกัดในการใช้กับตัวเลขขนาดเล็กเมื่อเทียบกับระบบที่ซับซ้อนกว่าซึ่งใช้วิธีการที่แตกต่างกันในการแสดงปริมาณที่มากขึ้น^{[ 127 ]}เสียงของมนุษย์ถูกใช้เป็นเครื่องมือช่วยในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในการนับด้วยวาจา^{[ 128 ]}

เครื่องหมายนับเป็นระบบง่ายๆ ที่ใช้เครื่องมือภายนอกที่ไม่ใช่ร่างกาย ระบบนี้อาศัยการทำเครื่องหมาย เช่น การขีดเส้นบนพื้นผิว หรือ การแกะสลัก รอยบากลงบนแท่งไม้ เพื่อติดตามปริมาณ เครื่องหมายนับบางรูปแบบจะจัดเรียงเส้นขีดเป็นกลุ่มละห้าเส้นเพื่อให้ง่ายต่อการอ่าน^{[ 129 ]}

ลูกคิดเป็นเครื่องมือขั้นสูงกว่าในการแสดงตัวเลขและทำการคำนวณ ลูกคิดมักประกอบด้วยแท่งหลายแท่ง แต่ละแท่งมีลูกปัด หลาย เม็ดลูกปัดแต่ละเม็ดแทนปริมาณ ซึ่งจะนับได้หากลูกปัดถูกเลื่อนจากปลายด้านหนึ่งของแท่งไปยังอีกด้านหนึ่ง การคำนวณเกิดขึ้นโดยการปรับตำแหน่งของลูกปัดจนกระทั่งรูปแบบลูกปัดสุดท้ายเผยผลลัพธ์^{[ 130 ]}เครื่องมือช่วยที่เกี่ยวข้อง ได้แก่กระดานนับซึ่งใช้โทเค็นที่มีค่าขึ้นอยู่กับพื้นที่บนกระดานที่วางไว้^{[ 131 ]}และแท่งนับซึ่งจัดเรียงในรูปแบบแนวนอนและแนวตั้งเพื่อแสดงตัวเลขที่แตกต่างกัน^{[ 132 ] [ f ]}

เซกเตอร์และไม้บรรทัดคำนวณเป็นเครื่องมือคำนวณที่ละเอียดกว่าซึ่งอาศัยความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตระหว่างมาตราส่วนต่างๆ เพื่อดำเนินการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งขั้นพื้นฐานและขั้นสูง^{[ 134 ] [ g ]}ตารางที่พิมพ์มีความสำคัญเป็นพิเศษในการช่วยค้นหาผลลัพธ์ของการดำเนินการต่างๆ เช่น ลอการิทึมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ^{[ 136 ]}

เครื่องคิดเลขเชิงกลทำให้กระบวนการคำนวณด้วยมือเป็นไปโดยอัตโนมัติ โดยนำเสนออุปกรณ์ป้อนข้อมูลบางรูปแบบแก่ผู้ใช้เพื่อป้อนตัวเลขโดยการหมุนแป้นหมุนหรือกดปุ่ม เครื่องคิดเลขเหล่านี้มีกลไกภายในซึ่งโดยปกติประกอบด้วยเฟืองคันโยกและล้อเพื่อทำการคำนวณและแสดงผลลัพธ์^{[ 137 ]}สำหรับเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ อิเล็กทรอนิกส์ กระบวนการนี้ได้รับการปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นโดยการแทนที่ส่วนประกอบเชิงกลด้วยวงจรอิเล็กทรอนิกส์เช่นไมโครโปรเซสเซอร์ที่รวมและแปลงสัญญาณไฟฟ้าเพื่อทำการคำนวณ^{[ 138 ]}

มีเลขคณิตประเภทอื่น ๆ อีกมากมายเลขคณิตแบบโมดูลาร์ทำงานกับเซตของตัวเลขที่จำกัด หากการดำเนินการใด ๆ ส่งผลให้ได้ตัวเลขที่อยู่นอกเซตที่จำกัดนี้ ตัวเลขนั้นจะถูกปรับกลับเข้าไปในเซต คล้ายกับเข็มนาฬิกาที่เริ่มต้นใหม่อีกครั้งหลังจากครบหนึ่งรอบ ตัวเลขที่เกิดการปรับนี้เรียกว่าโมดูลัส ตัวอย่างเช่น นาฬิกาปกติมีโมดูลัสเท่ากับ 12 ในกรณีของการบวก 4 กับ 9 หมายความว่าผลลัพธ์ไม่ใช่ 13 แต่เป็น 1 หลักการเดียวกันนี้ยังใช้กับการดำเนินการอื่น ๆ เช่น การลบ การคูณ และการหาร^{[ 139 ]}

คณิตศาสตร์บางรูปแบบเกี่ยวข้องกับการดำเนินการที่กระทำกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นที่ไม่ใช่ตัวเลข คณิตศาสตร์ช่วงอธิบายการดำเนินการบนช่วง^{[ 140 ]}คณิตศาสตร์เวกเตอร์และคณิตศาสตร์เมทริกซ์อธิบายการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บนเวกเตอร์และเมทริกซ์เช่นการบวกเวกเตอร์และการคูณเมทริกซ์^{[ 141 ]}

ระบบเลขคณิตสามารถจำแนกได้ตามระบบตัวเลขที่ใช้ ตัวอย่างเช่น เลขคณิต ฐานสิบอธิบายการดำเนินการทางเลขคณิตในระบบเลขฐานสิบ ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่เลขคณิตฐานสอง เลขคณิต ฐานแปดและเลขคณิตฐานสิบหก^{[ 142 ]}

เลขคณิตหน่วยประกอบอธิบายการดำเนินการทางเลขคณิตที่กระทำกับขนาดที่มีหน่วยประกอบ โดยเกี่ยวข้องกับการดำเนินการเพิ่มเติมเพื่อควบคุมการแปลงระหว่างปริมาณหน่วยเดียวและปริมาณหน่วยประกอบ ตัวอย่างเช่น การดำเนินการลดทอนใช้เพื่อแปลงปริมาณประกอบ 1 ชั่วโมง 90 นาที ให้เป็นปริมาณหน่วยเดียว 150 นาที^{[ 143 ]}

เลขคณิตที่ไม่ใช่แบบไดโอแฟนไทน์ คือระบบเลขคณิตที่ขัดแย้งกับสัญชาตญาณทางเลขคณิตแบบดั้งเดิม และรวมถึงสมการต่างๆ เช่น${\displaystyle 1+1=1}$และ${\displaystyle 2+2=5}$[ ^{144 ]}สามารถนำมาใช้เพื่อแสดงสถานการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงบางอย่างในฟิสิกส์สมัยใหม่และชีวิตประจำวันได้ ตัวอย่างเช่น สม^การ${\displaystyle 1+1=1}$สามารถใช้เพื่ออธิบายการสังเกตว่าหากหยดน้ำฝนหนึ่งหยดถูกเพิ่มเข้าไปในหยดน้ำฝนอีกหยดหนึ่ง หยดน้ำฝนทั้งสองจะไม่คงอยู่แยกกัน แต่จะกลายเป็นหนึ่งเดียว^{[ 145 ]}

การศึกษาเลขคณิตเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาขั้นพื้นฐานเป็นหนึ่งในรูปแบบแรกๆ ของการศึกษาคณิตศาสตร์ที่เด็กๆ ได้พบเจอเลขคณิตเบื้องต้นมีจุดมุ่งหมายเพื่อให้เด็กมีความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับตัวเลขและคุ้นเคยกับการดำเนินการทางตัวเลขพื้นฐาน เช่น การบวก การลบ การคูณ และการหาร^{[ 185 ]}โดยปกติจะแนะนำโดยใช้สถานการณ์ที่เป็นรูปธรรม เช่น การนับลูกปัดการแบ่งชั้นเรียนออกเป็นกลุ่มเด็กที่มีขนาดเท่ากัน และการคำนวณเงินทอนเมื่อซื้อของ เครื่องมือทั่วไปในการศึกษาเลขคณิตเบื้องต้น ได้แก่เส้นจำนวน ตารางการบวกและการคูณ บล็อกนับและลูกคิด^{[ 186 ]}

ในขั้นต่อมาจะเน้นไปที่ความเข้าใจเชิงนามธรรมมากขึ้น และแนะนำนักเรียนให้รู้จักกับตัวเลขประเภทต่างๆ เช่น จำนวนลบ เศษส่วน จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน นอกจากนี้ยังครอบคลุมการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง เช่น การยกกำลัง การถอดราก และลอการิทึม^{[ 187 ]}พวกเขายังแสดงให้เห็นว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้ในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์อย่างไร เช่น การนำไปใช้เพื่ออธิบายรูปทรงเรขาคณิต และการใช้ตัวแปรในพีชคณิต อีกแง่มุมหนึ่งคือการสอนนักเรียนให้ใช้อัลกอริทึมและเครื่องคิดเลขเพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน^{[ 188 ]}

จิตวิทยาของเลขคณิตสนใจว่ามนุษย์และสัตว์เรียนรู้เกี่ยวกับตัวเลข การแสดงผลตัวเลข และการใช้ตัวเลขในการคำนวณอย่างไร โดยจะศึกษาว่าปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้รับการเข้าใจและแก้ไขอย่างไร และความสามารถทางเลขคณิตเกี่ยวข้องกับการรับรู้ ความจำ การตัดสิน และการตัดสินใจอย่างไร[ 189 ]ตัวอย่างเช่นจะศึกษาว่ากลุ่ม^{ของสิ่งของที่}เป็นรูปธรรมได้รับการพบเจอครั้งแรกในการรับรู้และเชื่อมโยงกับตัวเลขได้อย่างไร^{[ 190 ]}สาขาการสอบถามเพิ่มเติมเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างการคำนวณตัวเลขและการใช้ภาษาเพื่อสร้างการแสดงผล^{[ 191 ]}จิตวิทยายังสำรวจต้นกำเนิดทางชีววิทยาของเลขคณิตในฐานะความสามารถที่มีมาแต่กำเนิด ซึ่งเกี่ยวข้องกับกระบวนการทางปัญญาที่มาก่อนภาษาและสัญลักษณ์ที่ดำเนินการในลักษณะคล้ายเลขคณิตที่จำเป็นต่อการแสดงผลโลกและปฏิบัติงานต่างๆ เช่น การนำทางเชิงพื้นที่ได้อย่างประสบความสำเร็จ^{[ 192 ]}

หนึ่งในแนวคิดที่ศึกษาโดยจิตวิทยาคือทักษะการคำนวณซึ่งเป็นความสามารถในการเข้าใจแนวคิดเชิงตัวเลข นำไปใช้ในสถานการณ์ที่เป็นรูปธรรม และใช้เหตุผลกับแนวคิดเหล่านั้น รวมถึงความรู้สึกพื้นฐานเกี่ยวกับตัวเลข ตลอดจนความสามารถในการประมาณและเปรียบเทียบปริมาณ นอกจากนี้ยังครอบคลุมถึงความสามารถในการแทนตัวเลขด้วยสัญลักษณ์ในระบบตัวเลข การตีความข้อมูลเชิงตัวเลขและการประเมินการคำนวณทางคณิตศาสตร์^{[ 193 ]}ทักษะการคำนวณเป็นทักษะสำคัญในหลายสาขาวิชาการ การขาดทักษะการคำนวณอาจขัดขวางความสำเร็จทางวิชาการและนำไปสู่การตัดสินใจทางเศรษฐกิจที่ไม่ดีในชีวิตประจำวัน ตัวอย่างเช่น การเข้าใจผิดเกี่ยวกับ^{แผนการ}จำนองและกรมธรรม์ประกันภัย^[ 194 ^]

ปรัชญาของเลขคณิตศึกษาแนวคิดและหลักการพื้นฐานที่อยู่เบื้องหลังตัวเลขและการดำเนินการทางเลขคณิต สำรวจธรรมชาติและสถานะทางภววิทยาของตัวเลข ความสัมพันธ์ของเลขคณิตกับภาษาและตรรกะและวิธีการที่จะได้รับความรู้ ทาง เลขคณิต^{[ 195 ]}

ตามหลักปรัชญาเพลโต ตัวเลขมีอยู่โดยอิสระจากจิตใจ กล่าวคือ มีอยู่เป็นวัตถุเชิงนามธรรม ที่ อยู่นอกเหนือกาลอวกาศและไม่มีอำนาจเชิงสาเหตุ^{[ 196 ] [ j ]}มุมมองนี้ถูกปฏิเสธโดยนักปรัชญาสัญชาตญาณนิยมซึ่งอ้างว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็นโครงสร้างทางจิต^{[ 198 ]}ทฤษฎีเพิ่มเติมคือลัทธิตรรกะนิยมซึ่งถือว่าความจริงทางคณิตศาสตร์สามารถลดทอนลงเป็นความจริงเชิงตรรกะได้ [ ^{199 ]}และลัทธิรูปนิยมซึ่งระบุว่าหลักการทางคณิตศาสตร์เป็นกฎเกณฑ์ของการจัดการสัญลักษณ์โดยไม่กล่าวอ้างว่าสอดคล้องกับเอนทิตีที่อยู่นอกเหนือกิจกรรมที่ควบคุมโดย^{กฎเกณฑ์[ 200 ]}

มุมมองที่เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในญาณวิทยาของเลขคณิตคือความจริงทางเลขคณิตสามารถรู้ได้โดยอาศัยประสบการณ์ ก่อน ⁽ a priori ) ซึ่งหมายความว่าสามารถรู้ได้โดยการคิดเพียงอย่างเดียวโดยไม่จำเป็นต้องอาศัยประสบการณ์ทางประสาทสัมผัส [ ^{201 ]}ผู้สนับสนุนมุมมองนี้บางคนกล่าวว่าความรู้ทางเลขคณิตเป็นสิ่งที่ติดตัวมาแต่กำเนิด ในขณะที่คนอื่นๆ อ้างว่ามีสัญชาตญาณเชิงเหตุผล บางรูปแบบ ที่ทำให้สามารถเข้าใจความจริงทางคณิตศาสตร์ได้^{[ 202 ]}มุมมองทางเลือกที่ใหม่กว่านั้นได้รับการเสนอแนะโดย นักปรัชญา ธรรมชาตินิยมเช่นวิลลาร์ด แวน ออร์แมน ไควน์ซึ่งโต้แย้งว่าหลักการทางคณิตศาสตร์เป็นการสรุปในระดับสูงที่ท้ายที่สุดแล้วมีพื้นฐานมาจากโลกแห่งประสาทสัมผัสตามที่อธิบายไว้ในวิทยาศาสตร์เชิงประจักษ์^{[ 203 ]}

คณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องกับหลายสาขา ในชีวิตประจำวันจำเป็นต้องใช้ในการคำนวณเงินทอนเมื่อซื้อของ จัดการการเงินส่วนบุคคลและปรับสูตรอาหารให้เหมาะสมกับจำนวนเสิร์ฟที่แตกต่างกัน ธุรกิจใช้คณิตศาสตร์ในการคำนวณกำไรขาดทุนและวิเคราะห์แนวโน้มตลาดในสาขาวิศวกรรมใช้ในการวัดปริมาณ คำนวณน้ำหนักบรรทุกและแรง และออกแบบโครงสร้าง^{[ 204 ]}การเข้ารหัสลับอาศัยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อปกป้องข้อมูลที่ละเอียดอ่อนโดยการเข้ารหัสข้อมูลและข้อความ^{[ 205 ]}

เลขคณิตมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับคณิตศาสตร์หลายสาขาที่อาศัยการดำเนินการทางตัวเลขพีชคณิตอาศัยหลักการทางเลขคณิตในการแก้สมการโดยใช้ตัวแปร หลักการเหล่านี้ยังมีบทบาทสำคัญในแคลคูลัสในการพยายามหาอัตราการเปลี่ยนแปลงและพื้นที่ใต้เส้นโค้งเรขาคณิต ใช้การดำเนินการทาง เลขคณิตในการวัดคุณสมบัติของรูปทรง ในขณะที่สถิติใช้การดำเนินการเหล่านี้ในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงตัวเลข^{[ 206 ]}เนื่องจากความสำคัญของการดำเนินการทางเลขคณิตในคณิตศาสตร์ทุกแขนง อิทธิพลของเลขคณิตจึงขยายไปถึงวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ เช่นฟิสิกส์วิทยาการคอมพิวเตอร์และเศรษฐศาสตร์การดำเนินการเหล่านี้ใช้ในการคำนวณการแก้ปัญหาการวิเคราะห์ข้อมูลและอัลกอริทึม ทำให้เป็นส่วนสำคัญของการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ การพัฒนาเทคโนโลยี และการสร้างแบบจำลองทางเศรษฐกิจ^{[ 207 ]}