ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในโทโพโลยีคอมเพล็กซ์ CW ( หรือคอมเพล็กซ์เซลลูลาร์หรือคอมเพล็กซ์เซลล์ ) คือปริภูมิโทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อลูกบอลโทโพโลยี (ที่เรียกว่าเซลล์ ) ที่มีมิติต่างกันเข้าด้วยกันในลักษณะเฉพาะ แนวคิดนี้เป็นการขยายแนวคิดของทั้งแมนิโฟลด์และคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลและมีความสำคัญเป็นพิเศษสำหรับโทโพโลยีเชิงพีชคณิต [ ^{1 ] แนวคิด}นี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยJHC Whiteheadเพื่อตอบสนองความต้องการของทฤษฎีโฮโมโทปี [ ^{2 ] คอมเพล็กซ์} CW มี คุณสมบัติเชิงหมวดหมู่ ที่ดี กว่า คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลแต่ยังคงรักษาลักษณะเชิงการจัดเรียงที่ช่วยให้สามารถคำนวณได้ (บ่อยครั้งด้วยคอมเพล็กซ์ที่เล็กกว่ามาก)

C ใน CW ย่อมาจาก "closure-finite" และ W ย่อมาจาก "weak" topology ^{[ 2 ]}

คอมเพล็กซ์CWถูกสร้างขึ้นโดยการนำลำดับของปริภูมิเชิงทอพอโลยีมารวมกันโดยที่แต่ละปริภูมิได้มาจากการเชื่อมต่อสำเนาของเซลล์ k แต่ละเซลล์ซึ่งมีลักษณะทางโทโพโลยีเหมือนกับ ลูกบอลหน่วยเปิดในปริภูมิยุคลิดมิติไปยังโดยการเชื่อมต่อแผนที่ต่อเนื่องโดยที่ เป็นลูกบอลหน่วยปิด แผนที่เหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าแผนที่การเชื่อมต่อดังนั้น ในฐานะเซต. $${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots }$$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle X_{k-1}}$${\displaystyle (e_{\alpha }^{k})_{\alpha \in J}}$${\displaystyle B^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X_{k-1}}$${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:\partial {\bar {e}}_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}}$${\displaystyle {\bar {e}}^{k}\cong {\bar {B}}^{k}}$${\displaystyle X_{k}=X_{k-1}\sqcup _{\alpha }e_{\alpha }^{k}}$

กล่าวโดยละเอียดคือ เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ(ในที่นี้คือดิสก์ปิดใน) โดยที่เรากำหนดโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องให้กับ และโดยที่คือความสัมพันธ์สมมูลที่สร้างขึ้นโดย สำหรับและ${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle (X_{k-1}\sqcup (J\times {\overline {e}}^{k}))/\sim }$${\displaystyle {\overline {e}}^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (a,x)\sim g_{a}^{k}(x)}$${\displaystyle a\in J}$${\displaystyle x\in \partial e^{k}}$

แต่ละส่วนเรียกว่าโครงกระดูก kของคอมเพล็กซ์ ${\displaystyle X_{k}}$

โทโพโลยีของเป็นโทโพโลยีแบบอ่อน : เซตย่อยเป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อเป็นเซตเปิดสำหรับ k-skeleton แต่ละตัว ${\displaystyle X=\cup _{k}X_{k}}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle U\cap X_{k}}$${\displaystyle X_{k}}$

ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่โทโพโลยีบนคือลิมิตโดยตรงของไดอะแกรมชื่อ "CW" ย่อมาจาก "closure-finite weak topology" ซึ่งอธิบายได้ด้วยทฤษฎีบทต่อไปนี้: ${\displaystyle X}$$${\displaystyle X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots }$$

การแบ่งส่วนของX นี้ เรียกว่าการแบ่งเซลล์ (cellulation )

การสร้างคอมเพล็กซ์ CW เป็นการสรุปกระบวนการต่อไปนี้อย่างตรงไปตรงมา:

• คอมเพล็กซ์ CWแบบ 0 มิติ คือเซตของจุดแบบไม่ต่อเนื่องจำนวนศูนย์จุดขึ้นไป (โดยมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง )
• คอมเพล็กซ์ CW มิติเดียวถูกสร้างขึ้นโดยการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของคอมเพล็กซ์ CW มิติศูนย์กับสำเนาหนึ่งชุดหรือมากกว่าของช่วงหน่วยสำหรับแต่ละสำเนาจะมีแผนที่ที่ " เชื่อม " ขอบเขต (จุดปลายทั้งสอง) เข้ากับองค์ประกอบของคอมเพล็กซ์มิติศูนย์ (จุดต่างๆ) โทโพโลยีของคอมเพล็กซ์ CW คือโทโพโลยีของปริภูมิผลหารที่กำหนดโดยแผนที่การเชื่อมเหล่านี้
• โดยทั่วไปแล้วคอมเพล็กซ์ CW มิติ nถูกสร้างขึ้นโดยการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของ คอมเพล็กซ์ CW มิติ k (สำหรับบางค่า n ) กับสำเนาหนึ่งชุดหรือมากกว่าของทรงกลมมิติnสำหรับแต่ละสำเนา จะมีแผนที่ที่ "เชื่อม" ขอบเขตของมัน ( ทรงกลมมิติ n ) เข้ากับองค์ประกอบของคอมเพล็กซ์มิติ n โทโพโลยีของคอมเพล็กซ์ CW คือโทโพโลยีผลหารที่กำหนดโดยแผนที่การเชื่อมเหล่านี้${\displaystyle k<n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle k}$
• สามารถสร้าง คอมเพล็กซ์CW ที่มีมิติอนันต์ได้โดยการทำซ้ำกระบวนการข้างต้นเป็นจำนวนครั้งที่นับได้ เนื่องจากโทโพโลยีของการรวมกันนั้นไม่แน่นอน จึงใช้ โทโพโลยี ลิมิตโดยตรงเนื่องจากแผนภาพนั้นชี้แนะถึงลิมิตโดยตรงอย่างมาก ซึ่งปรากฏว่ามีประโยชน์ทางเทคนิคอย่างมาก${\displaystyle \cup _{k}X_{k}}$

คอมเพล็กซ์CW ปกติคือ คอมเพล็กซ์ CW ที่แผนที่การเชื่อมต่อเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ดังนั้น การแบ่งส่วนของXจึงเรียกว่า เซลลูเลชันปกติ ด้วยเช่น กัน

กราฟที่ไม่มีวงวนแสดงด้วย CW-complex แบบ 1 มิติปกติกราฟ 2 เซลล์ปิดที่ฝังตัวอยู่บนพื้นผิวเป็น CW-complex แบบ 2 มิติปกติ สุดท้าย สมมติฐานการแบ่งเซลล์แบบปกติบนทรงกลม 3 มิติกล่าวอ้างว่ากราฟ 2-เชื่อมต่อ ทุกกราฟ เป็นโครงร่าง 1-ของ CW-complex แบบปกติบน ทรง กลม3 มิติ^{[ 3 ]}

โดยคร่าวๆ แล้วคอมเพล็กซ์ CW สัมพัทธ์จะแตกต่างจากคอมเพล็กซ์ CW ตรงที่เราอนุญาตให้มีหน่วยสร้างพิเศษเพิ่มอีกหนึ่งหน่วยซึ่งไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างเซลล์ หน่วยพิเศษนี้สามารถถือได้ว่าเป็นเซลล์มิติ (−1) ในคำจำกัดความก่อนหน้านี้^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องทุกปริภูมิเป็นคอมเพล็กซ์ CW มิติศูนย์

ตัวอย่างบางส่วนของคอมเพล็กซ์ CW แบบ 1 มิติ ได้แก่: ^{[ 7 ]}

• ช่วง (Interval ) สามารถสร้างขึ้นได้จากจุดสองจุด ( xและy ) และทรงกลมหนึ่งมิติB (ช่วง) โดยที่ปลายด้านหนึ่งของBติดกับxและปลายอีกด้านหนึ่งติดกับyจุดxและyคือเซลล์ 0 ส่วนภายในของBคือเซลล์ 1 หรืออีกทางหนึ่ง สามารถสร้างได้จากช่วงเดียวโดยไม่มีเซลล์ 0
• วงกลมสามารถสร้างขึ้นได้จากจุดx จุดเดียว และทรงกลม 1 มิติBโดยที่ปลายทั้งสอง ของ Bติดกับจุด xหรืออีกวิธีหนึ่ง สามารถสร้างขึ้นได้จากจุดxและy สองจุด และทรงกลม 1 มิติAและB สองลูก โดยที่ปลายของAติดกับ จุด xและyและปลายของBก็ติดกับ จุด xและyเช่นกัน
• กราฟเมื่อกำหนดกราฟ มาให้แล้ว สามารถสร้างคอมเพล็กซ์ CW แบบ 1 มิติได้ โดยที่เซลล์ 0 คือจุดยอด และเซลล์ 1 คือขอบของกราฟ จุดปลายของแต่ละขอบจะถูกระบุด้วยจุดยอดที่เชื่อมต่อกับขอบนั้น การรับรู้กราฟเชิงการจัดเรียงในรูปแบบปริภูมิเชิงโทโพโลยีนี้ บางครั้งเรียกว่ากราฟเชิงโทโพโลยี
  • กราฟ 3-ปกติสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นคอมเพล็กซ์ CW 1 มิติแบบทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า Xเป็นคอมเพล็กซ์ CW 1 มิติ แผนที่การเชื่อมต่อสำหรับเซลล์ 1 คือแผนที่จากปริภูมิสองจุดไปยังXแผนที่นี้สามารถถูกรบกวนให้แยกออกจากโครงร่าง 0 ของXได้ก็ต่อเมื่อและไม่ใช่จุดยอดที่มีวาเลนซ์ 0 ของX${\displaystyle f:\{0,1\}\to X}$${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle f(1)}$
• โครงสร้าง CW มาตรฐานบนจำนวนจริงมีโครงร่าง 0 เป็นจำนวนเต็มและมีเซลล์ 1 เป็นช่วง ในทำนองเดียวกัน โครงสร้าง CW มาตรฐานบนจำนวนจริงมีเซลล์ทรงลูกบาศก์ซึ่งเป็นผลคูณของเซลล์ 0 และ 1 จากจำนวนจริง นี่คือ โครงสร้างเซลล์แลตติซทรง ลูกบาศก์ มาตรฐาน บน จำนวน จริง${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ตัวอย่างบางส่วนของคอมเพล็กซ์ CW มิติจำกัด ได้แก่: ^{[ 7 ]}

• ทรงกลม n มิติมีโครงสร้าง CW ที่มีสองเซลล์ คือเซลล์ 0 และเซลล์ n โดยเซลล์ n นั้นเชื่อมต่อด้วยการแมปคงที่จากขอบของมันไปยังเซลล์ 0 เพียงเซลล์เดียว การแบ่งเซลล์แบบอื่นมีทรงกลม ( n -1) มิติหนึ่งลูก (เรียกว่า " เส้นศูนย์สูตร ") และ เซลล์ n สอง เซลล์ที่เชื่อมต่อกับมัน (เรียกว่า "ซีกทรงกลมบน" และ "ซีกทรงกลมล่าง") โดยวิธีการอุปนัย จะได้การแบ่งเซลล์แบบ CW ที่มีสองเซลล์ในทุกมิติ k เช่นนั้น${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$
• ปริภูมิเชิงฉายจริง nมิติยอมรับโครงสร้าง CW ที่มีเซลล์หนึ่งเซลล์ในแต่ละมิติ
• คำ ศัพท์สำหรับคอมเพล็กซ์ CW 2 มิติทั่วไปคือเงา^{[ 8 ]}
• ทรงหลายเหลี่ยมเป็นคอมเพล็กซ์ CW โดยธรรมชาติ
• แมนิโฟลด์ แบบกราสส์มันน์ยอมรับโครงสร้าง CW ที่เรียกว่าเซลล์ชูเบิร์ต
• แมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ ได้ วาไร ตี้เชิงพีชคณิตและเชิงโปรเจกทีฟมีประเภทโฮโมโทปีของคอมเพล็กซ์ CW
• การทำให้เป็นคอมแพ็กต์ แบบจุดเดียวของแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกแบบปลายแหลม มีการแยกส่วน CW แบบแคนอนิกที่มี เซลล์0 เพียงเซลล์เดียว (จุดคอมแพ็กต์) ซึ่งเรียกว่าการแยกส่วน Epstein–Pennerการแยกส่วนเซลล์ดังกล่าว มักเรียกว่าการแยกส่วนทรงหลายเหลี่ยมในอุดมคติและใช้ในซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์ยอดนิยม เช่นSnapPea

• ทรงกลมมิติอนันต์ มันยอมรับโครงสร้าง CW ที่มี 2 เซลล์ในแต่ละมิติ ซึ่งประกอบกันในลักษณะที่โครงร่าง -skeleton นั้นกำหนดโดยทรงกลม-sphere อย่างแม่นยำ${\displaystyle S^{\infty }:=\mathrm {colim} _{n\to \infty }S^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟมิติอนันต์, และมีเซลล์หนึ่งเซลล์ในทุกมิติมีเซลล์หนึ่งเซลล์ในทุกมิติคู่ และมีเซลล์หนึ่งเซลล์ในทุกมิติที่หารด้วย 4 ลงตัว โครงร่างที่เกี่ยวข้องจึงกำหนดโดย, (โครงร่าง 2n) และ(โครงร่าง 4n) ตาม ลำดับ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

• ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติอนันต์ไม่ใช่คอมเพล็กซ์ CW: มันเป็นปริภูมิแบร์และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถเขียนได้ในรูปของการรวมกันแบบนับได้ของ โครงร่าง nมิติ โดยแต่ละโครงร่างเป็นเซตปิดที่มีภายในว่างเปล่า ข้อโต้แย้งนี้ขยายไปถึงปริภูมิที่มีมิติอนันต์อื่นๆ อีกมากมาย
• ปริภูมิเม่น นั้น สมมูล เชิงโฮโม โทปีกับคอมเพล็กซ์ CW (จุด) แต่ไม่สามารถแยกส่วนแบบ CW ได้ เนื่องจากไม่ สามารถหดตัวได้ ในระดับท้องถิ่น${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }$
• ต่างหูฮาวายไม่มีการแยกส่วน CW เนื่องจากไม่สามารถหดตัวได้ในระดับท้องถิ่น ณ จุดกำเนิด นอกจากนี้ยังไม่เทียบเท่าแบบโฮโมโทปีกับคอมเพล็กซ์ CW เนื่องจากไม่มีฝาครอบเปิดที่ดี

• คอมเพล็กซ์ CW สามารถหดตัวได้ในระดับท้องถิ่น^{[ 9 ]}
• ถ้าปริภูมิหนึ่งเทียบเท่ากับคอมเพล็กซ์ CW โฮโมโทปี ปริภูมินั้นจะมีคลุมเปิดที่ดี^{[ 10 ]}คลุมเปิดที่ดีคือคลุมเปิดที่จุดตัดจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าทุกจุดสามารถหดตัวได้
• คอมเพล็กซ์ CW เป็นแบบพาราคอมแพ็กต์ คอมเพล็กซ์ CW แบบจำกัดเป็นแบบคอมแพ็กต์ ซับสเปซแบบคอมแพ็กต์ของคอมเพล็กซ์ CW จะบรรจุอยู่ในซับคอมแพ็กต์แบบจำกัดเสมอ^{[ 11 ] [ 12 ]}
• คอมเพล็กซ์ CW สอดคล้องกับทฤษฎีบทของไวท์เฮด กล่าวคือ แผนที่ระหว่างคอมเพล็กซ์ CW เป็นการสมมูลแบบโฮโมโทปีก็ต่อเมื่อมันเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมบนกลุ่มโฮโมโทปีทั้งหมด
• พื้นที่ครอบคลุมของคอมเพล็กซ์ CW ก็เป็นคอมเพล็กซ์ CW เช่นกัน^{[ 13 ]}
• ผลคูณของคอมเพล็กซ์ CW สองตัวสามารถสร้างเป็นคอมเพล็กซ์ CW ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าXและYเป็นคอมเพล็กซ์ CW แล้ว เราสามารถสร้างคอมเพล็กซ์ CW X × Y ได้ โดยที่แต่ละเซลล์เป็นผลคูณของเซลล์ในXและเซลล์ในYซึ่งมีโทโพโลยีแบบอ่อนเซตพื้นฐานของX × Yคือผลคูณคาร์ทีเซียนของXและYตามที่คาดไว้ นอกจากนี้ โทโพโลยีแบบอ่อนบนเซตนี้มักจะสอดคล้องกับโทโพโลยีแบบผลคูณ ที่คุ้นเคยมากกว่า บนX × Yตัวอย่างเช่น ถ้าXหรือYเป็นเซตจำกัด อย่างไรก็ตาม โทโพโลยีแบบอ่อนอาจละเอียดกว่าโทโพโลยีแบบผลคูณ ตัวอย่างเช่น ถ้าทั้งXและYไม่ใช่เซตกระชับเฉพาะที่ในกรณีที่ไม่เอื้ออำนวยนี้ ผลคูณX × Yในโทโพโลยีแบบผลคูณจะไม่ใช่คอมเพล็กซ์ CW ในทางกลับกัน ผลคูณของXและYในหมวดหมู่ของปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกระชับจะสอดคล้องกับโทโพโลยีแบบอ่อนและดังนั้นจึงกำหนดคอมเพล็กซ์ CW ได้
• ให้XและYเป็นคอมเพล็กซ์ CW แล้วปริภูมิฟังก์ชัน Hom( X , Y ) (ที่มีโทโพโลยีแบบกระชับเปิด ) โดยทั่วไป จะ ไม่ใช่ คอมเพล็กซ์ CW ถ้า Xเป็นเซตจำกัดแล้ว Hom( X , Y ) จะเทียบเท่ากับคอมเพล็กซ์ CW ในเชิงโฮโมโทปีตามทฤษฎีบทของJohn Milnor (1959) ^{[ 14 ]} โปรดทราบว่าXและYเป็นปริภูมิ Hausdorff ที่สร้างขึ้นอย่างกระชับดังนั้น Hom( X , Y ) มักจะใช้ โทโพโลยีแบบกระชับเปิด ที่สร้างขึ้นอย่างกระชับข้อความข้างต้นยังคงเป็นจริง^{[ 15 ]}
• ทฤษฎีบทการประมาณค่าเซลลูลาร์

ความเหมือนกันเชิงเอกลักษณ์และความเหมือนกันเชิงร่วมของคอมเพล็กซ์ CW สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายผ่านความเหมือนกันเชิงเซลล์ยิ่งไปกว่านั้น ในหมวดหมู่ของคอมเพล็กซ์ CW และแผนที่เซลล์ ความเหมือนกันเชิงเซลล์สามารถตีความได้ว่าเป็นทฤษฎีความเหมือนกันเชิงเอกลักษณ์ในการคำนวณทฤษฎีความเหมือนกันเชิงร่วมแบบพิเศษสำหรับคอมเพล็กซ์ CW ลำดับสเปกตรัม Atiyah–Hirzebruchเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้กับความเหมือนกันเชิงเซลล์

ตัวอย่างบางส่วน:

• สำหรับทรงกลมให้พิจารณาการแบ่งเซลล์ออกเป็นสองเซลล์ ได้แก่ เซลล์ 0 หนึ่งเซลล์ และ เซลล์ n หนึ่งเซลล์ โครงสร้างเชิงซ้อนของสายโซ่ความเหมือนของเซลล์และความเหมือนจะแสดงได้ดังนี้:${\displaystyle S^{n},}$${\displaystyle C_{*}}$

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}}$

เนื่องจากอนุพันธ์ทั้งหมดเป็นศูนย์

อีกทางเลือกหนึ่ง หากเราใช้การแบ่งส่วนตามเส้นศูนย์สูตรโดยใช้สองเซลล์ในทุกมิติ

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

และอนุพันธ์เป็นเมทริกซ์ในรูปแบบนี้ ซึ่งให้การคำนวณโฮโมโลยีแบบเดียวกันกับข้างต้น เนื่องจากคอมเพล็กซ์ลูกโซ่มีความแม่นยำในทุกเทอมยกเว้นและ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{n}.}$

• เพราะเราก็ได้รับในทำนองเดียวกัน${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ตัวอย่างทั้งสองข้างต้นนั้นเรียบง่ายเป็นพิเศษ เนื่องจากความคล้ายคลึงกันถูกกำหนดโดยจำนวนเซลล์ กล่าวคือ แผนที่การยึดเกาะของเซลล์ไม่มีบทบาทในการคำนวณเหล่านี้ นี่เป็นปรากฏการณ์พิเศษมากและไม่ได้บ่งชี้ถึงกรณีทั่วไป

มีเทคนิคหนึ่งที่พัฒนาโดยไวท์เฮด สำหรับใช้แทนที่คอมเพล็กซ์ CW ด้วยคอมเพล็กซ์ CW ที่สมมูลกันในเชิงโฮโมโทปี ซึ่งมีการแยกส่วน CW ที่ง่ายกว่า

ลองพิจารณาตัวอย่างเช่น คอมเพล็กซ์ CW ใดๆ โครงสร้าง 1-skeleton ของมันอาจค่อนข้างซับซ้อน เนื่องจากเป็นกราฟ ใดๆ ก็ได้ ทีนี้ลองพิจารณา ป่า สูงสุดFในกราฟนี้ เนื่องจากมันเป็นชุดของต้นไม้ และต้นไม้สามารถยุบตัวได้ ลองพิจารณาพื้นที่ที่ความสัมพันธ์สมมูลถูกสร้างขึ้นโดยถ้าพวกมันอยู่ในต้นไม้ร่วมกันในป่าสูงสุดFแผนที่ผลหารคือความสมมูลแบบโฮโมโทปี ยิ่งไปกว่านั้น ยังสืบทอดโครงสร้าง CW โดยธรรมชาติ โดยมีเซลล์ที่สอดคล้องกับเซลล์ของที่ไม่ได้อยู่ในFโดยเฉพาะอย่างยิ่ง โครงสร้าง 1-skeleton ของคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของลิ่มของวงกลม ${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle X\to X/{\sim }}$${\displaystyle X/{\sim }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/{\sim }}$

อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงข้างต้นคือ คอมเพล็กซ์ CW ที่เชื่อมต่อกันสามารถแทนที่ได้ด้วยคอมเพล็กซ์ CW ที่สมมูลกันในเชิงโฮโมโทปี ซึ่งโครงกระดูก 0 ประกอบด้วยจุดเพียงจุดเดียว

ลองพิจารณาการไต่ระดับการเชื่อมต่อ—สมมติว่าXคือคอมเพล็กซ์ CW ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายซึ่งโครงร่าง 0 ประกอบด้วยจุดหนึ่งจุด เราสามารถแทนที่Xด้วยคอมเพล็กซ์ CW ที่สมมูลกันในเชิงโฮโมโทปีโดยที่ประกอบด้วยจุดเดียวได้หรือไม่ ผ่านการดัดแปลงที่เหมาะสม คำตอบคือได้ ขั้นตอนแรกคือการสังเกตว่าและแผนที่การเชื่อมต่อเพื่อสร้างจาก นั้นก่อให้เกิดการนำเสนอ แบบกลุ่มทฤษฎีบทTietzeสำหรับการนำเสนอแบบกลุ่มระบุว่ามีลำดับของการเคลื่อนไหวที่เราสามารถทำได้เพื่อลดการนำเสนอแบบกลุ่มนี้ให้เหลือการนำเสนอแบบไม่สำคัญของกลุ่มไม่สำคัญมีการเคลื่อนไหวของ Tietze สองแบบ: ${\displaystyle X^{1}}$${\displaystyle X^{1}}$${\displaystyle X^{2}}$${\displaystyle X^{1}}$

1) การเพิ่ม/การลบตัวสร้าง การเพิ่มตัวสร้างจากมุมมองของการแยกส่วน CW ประกอบด้วยการเพิ่มเซลล์ 1 และเซลล์ 2 ซึ่งแผนที่การเชื่อมต่อประกอบด้วยเซลล์ 1 ใหม่ และส่วนที่เหลือของแผนที่การเชื่อมต่ออยู่ในถ้าเราให้เป็นคอมเพล็กซ์ CW ที่สอดคล้องกันจะมีการสมมูลแบบโฮโมโทปีที่กำหนดโดยการเลื่อนเซลล์ 2 ใหม่เข้าไปในX${\displaystyle X^{1}}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}}$${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

2) การเพิ่ม/ลบความสัมพันธ์ การเพิ่มความสัมพันธ์นั้นคล้ายกัน เพียงแต่เป็นการแทนที่Xด้วย โดย ที่เซลล์ 3 มิติ ใหม่จะมีแผนที่เชื่อมต่อซึ่งประกอบด้วยเซลล์ 2 มิติใหม่และแผนที่ส่วนที่เหลือไปยังสไลด์ที่คล้ายกันจะแสดงความสมมูลแบบโฮโมโทปี${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}}$${\displaystyle X^{2}}$${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

ถ้าคอมเพล็กซ์ CW Xเป็นn-เชื่อมต่อเราสามารถหาคอมเพล็กซ์ CW ที่สมมูลกันในเชิงโฮโมโทปีได้โดยที่โครงร่างn-ประกอบด้วยจุดเดียว การให้เหตุผลสำหรับ กรณี นี้คล้ายกับกรณีก่อนหน้า เพียงแต่เราแทนที่การเคลื่อนที่ของ Tietze สำหรับการนำเสนอของกลุ่มพื้นฐานด้วย การดำเนินการ เมทริกซ์พื้นฐานสำหรับเมทริกซ์การนำเสนอ(โดยใช้เมทริกซ์การนำเสนอที่ได้มาจากโฮโมโลยีของเซลล์ ) กล่าวคือ เราสามารถดำเนินการเมทริกซ์พื้นฐานได้ในทำนองเดียวกันโดยลำดับของการบวก/ลบเซลล์หรือโฮโมโทปีที่เหมาะสมของแผนที่ที่เชื่อมต่อกัน ${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}$

หมวดหมู่โฮโมโทปีของคอมเพล็กซ์ CW นั้น ตามความเห็นของผู้เชี่ยวชาญบางคน ถือเป็นตัวเลือกที่ดีที่สุด หากไม่ใช่ตัวเลือกเดียวสำหรับหมวดหมู่โฮโมโทปี (ด้วยเหตุผลทางเทคนิค เวอร์ชันสำหรับพื้นที่ชี้จุดจึงถูกนำมาใช้จริง) ^{[ 16 ]}ต้องใช้การสร้างเสริมที่ให้พื้นที่ที่ไม่ใช่คอมเพล็กซ์ CW ในบางโอกาส ผลลัพธ์พื้นฐานประการหนึ่งคือฟังก์ชันที่สามารถแสดงแทนได้บนหมวดหมู่โฮโมโทปีมีลักษณะเฉพาะที่เรียบง่าย ( ทฤษฎีบทความสามารถในการแสดงแทนของบราวน์ )

• คอมเพล็กซ์เซลล์นามธรรม
• แนวคิดของคอมเพล็กซ์ CW มีการปรับใช้กับแมนิโฟลด์เรียบที่เรียกว่าการแยกส่วนแบบแฮนด์เดิลซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีการผ่าตัด