การเลี้ยวเบนคือการเบี่ยงเบนของคลื่นจากการแพร่กระจายเป็นเส้นตรงเนื่องจากสิ่งกีดขวางหรือผ่านช่องเปิดโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงพลังงานการเลี้ยวเบนเป็นปรากฏการณ์ทางกายภาพเช่นเดียวกับการแทรกสอดแต่โดยทั่วไปแล้วการแทรกสอดจะใช้สำหรับการซ้อนทับของคลื่นเพียงไม่กี่คลื่น ในขณะที่คำว่าการเลี้ยวเบนจะใช้เมื่อคลื่นจำนวนมากซ้อนทับกัน^{[ 1 ] : 433} คำว่ารูปแบบการเลี้ยวเบนใช้เพื่ออ้างถึงภาพหรือแผนที่ของทิศทางต่างๆ ของคลื่นหลังจากที่พวกมันเลี้ยวเบนแล้ว รูปแบบการเลี้ยวเบนจะเด่นชัดเมื่อคลื่นจากแหล่งกำเนิดที่สอดคล้องกัน (เช่น เลเซอร์) พบกับช่องแคบ/ช่องเปิดดังแสดงในภาพแรก

ในฟิสิกส์คลาสสิกการเลี้ยวเบนอธิบายโดยหลักการของ Huygens–Fresnelซึ่งถือว่าแต่ละจุดในหน้าคลื่น ที่แพร่กระจาย เป็นกลุ่มของ คลื่น ทรงกลม แต่ละลูก ^{[ 2 ]}รูปแบบต่างๆ เกิดจากการรวมกันเหนือจุดต่างๆ บนหน้าคลื่น (หรือเทียบเท่ากับคลื่นแต่ละลูก) ที่เดินทางตามเส้นทางที่มีความยาวต่างกันไปยังพื้นผิวที่บันทึก หากมีช่องเปิดที่อยู่ใกล้กันหลายช่อง อาจส่งผลให้เกิดรูปแบบที่ซับซ้อนที่มีความเข้มแปรผันได้ ช่องเปิดหรือสิ่งกีดขวางประเภทอื่นๆ นำไปสู่รูปแบบที่แตกต่างกัน ซึ่งบางส่วนจะอธิบายในภายหลังในหน้านี้

ผลกระทบเหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อคลื่นแสงเดินทางผ่านตัวกลางที่มีดัชนี หักเหแปรผัน หรือเมื่อคลื่นเสียงเดินทางผ่านตัวกลางที่มีความต้านทานเสียง แปรผัน – คลื่นทั้งหมดจะเกิดการเลี้ยวเบน^{[ 3 ]}รวมถึงคลื่นแรงโน้มถ่วง [ ^{4 ] คลื่น}น้ำและคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า อื่นๆ เช่นรังสีเอกซ์คลื่นวิทยุตลอดจนคลื่นสสารเช่นอิเล็กตรอนและนิวตรอนมันมีบทบาทในหลายด้าน ตั้งแต่อุปกรณ์รักษาความปลอดภัยบนบัตรเครดิตไปจนถึงวิธีการกำหนดโครงสร้างอะตอมของวัสดุในระดับ นาโน

นักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลีฟรานเชสโก มาเรีย กริมัลดีเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "การเลี้ยวเบน" และเป็นคนแรกที่บันทึกการสังเกตปรากฏการณ์นี้อย่างแม่นยำในปี 1660 หลังจากนั้นก็มีการกำหนดสูตรที่เทียบเท่ากันต่างๆ ขึ้นมา ในทางคณิตศาสตร์ การเลี้ยวเบนสามารถอธิบายได้โดยการแก้สมการคลื่นสำหรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า หรือสมการของชโรดิงเกอร์สำหรับคลื่นสสาร ในบางกรณีอาจมีการแก้ไขเชิงสัมพัทธภาพด้วย

ผลกระทบของการเลี้ยวเบนของแสงได้รับการสังเกตและอธิบายอย่างละเอียดเป็นครั้งแรกโดยFrancesco Maria Grimaldiซึ่งเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่าdiffractionจากภาษาละตินdiffringereซึ่งหมายถึง 'แตกเป็นชิ้นๆ' โดยอ้างถึงแสงที่แตกออกเป็นทิศทางต่างๆ^{[ 6 ]}ผลการสังเกตของ Grimaldi ได้รับการตีพิมพ์หลังการเสียชีวิตของเขาในปี1665 ^{[ 7 ] [ 8 ]} Isaac Newtonศึกษาผลกระทบเหล่านี้และระบุว่าเกิดจากการหักเหของรังสีแสงJames Gregory ( 1638 – 1675 ) สังเกตเห็นรูปแบบการเลี้ยวเบนที่เกิดจากขนนก ซึ่งถือเป็น ตะแกรงเลี้ยวเบนตัวแรกที่ถูกค้นพบ^{[ 9 ]}

โทมัส ยังพัฒนาวิธีการรักษาคลื่นแรกของการเลี้ยวเบนในปี ค.ศ. 1800 ในแบบจำลองของเขา ยังเสนอว่าริ้วที่สังเกตเห็นด้านหลังขอบคมที่ส่องสว่างเกิดจากการแทรกสอดระหว่างคลื่นระนาบที่ส่งผ่านโดยตรงและคลื่นทรงกระบอกที่ดูเหมือนจะปล่อยออกมาจากขอบ^{[ 10 ] : 57}

Augustin-Jean Fresnelได้กลับมาพิจารณาปัญหาอีกครั้งและคิดค้นทฤษฎีคลื่นทางเลือกโดยอิงจากหลักการของ Huygens ในแบบจำลองนี้ แหล่งกำเนิดแสงแบบจุดจะกระจายไปจนถึงขอบการเลี้ยวเบนแต่ไม่อยู่ในสิ่งกีดขวาง แหล่งกำเนิดแสงแบบจุดเหล่านี้ถูกขับเคลื่อนโดยคลื่นระนาบที่เข้ามาและเกิดการแทรกสอดกันเกินสิ่งกีดขวาง Fresnel ได้พัฒนาวิธีการทางคณิตศาสตร์จากแนวทางของเขา และแบบจำลองของ Young ในตอนแรกถือว่าไม่ถูกต้อง ต่อมางานวิจัยแสดงให้เห็นว่าแนวทางทางกายภาพของ Young เทียบเท่ากับแนวทางทางคณิตศาสตร์ของ Fresnel ^{[ 10 ] : 58}

ในปี พ.ศ. 2361 ผู้สนับสนุน ทฤษฎีอนุภาคของแสงเสนอให้คำถามรางวัลของสถาบันปารีส เกี่ยวกับการเลี้ยวเบน โดยคาดหวังว่าทฤษฎีคลื่นจะพ่ายแพ้ เมื่อการนำเสนอของเฟรสเนลเกี่ยวกับทฤษฎีใหม่ของเขาซึ่งอิงจากการแพร่กระจายของคลื่นดูเหมือนว่าจะได้รับรางวัล ซิเมออน เดนิส ปัวซงได้ท้าทายทฤษฎีของเฟรสเนลโดยแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีดังกล่าวทำนายแสงในเงาด้านหลังสิ่งกีดขวางทรงกลม โดมินิก-ฟรองซัวส์-ฌอง อาราโกดำเนินการสาธิตเชิงทดลองว่าแสงดังกล่าวสามารถมองเห็นได้ซึ่งเป็นการยืนยันแบบจำลองการเลี้ยวเบนของเฟรสเนล^{[ 11 ] : xxiii [ 12 ]}

ในปี พ.ศ. 2392 เฮอร์มันน์ ฟอน เฮล์มโฮลทซ์และต่อมาในปี พ.ศ. 2325 กุสตาฟ เคิร์ชฮอฟฟ์ได้พัฒนาสมการอินทิกรัลสำหรับการเลี้ยวเบนโดยอาศัยแนวคิดที่เสนอโดยเฟรสเนล รวมถึงการประมาณค่าที่จำเป็นในการนำไปใช้ โดยทั่วไป วิธีการเหล่านี้ทั้งหมดจำเป็นต้องกำหนดปัญหาในแง่ของแหล่งกำเนิดเสมือน กรณีเช่นกรณีที่มีสิ่งกีดขวางการดูดซับต้องใช้วิธีการที่พัฒนาขึ้นในช่วงปี พ.ศ. 2483 โดยอาศัยการแพร่กระจายแอมพลิจูดตามขวาง^{[ 10 ] : 58}

การเลี้ยวเบนเป็นปรากฏการณ์ทั่วไปของคลื่น เกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่คลื่นพบกับสิ่งกีดขวาง สิ่งกีดขวางอาจเป็นของแข็งที่ปิดกั้นคลื่น หรือโปร่งใสและเปลี่ยนเฟสของคลื่นโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงพลังงาน ( การกระเจิงแบบยืดหยุ่น ) คลื่นที่อยู่เลยสิ่งกีดขวางไปจะเกิดการแทรกสอดกัน ทำให้เกิดรูปแบบการเลี้ยวเบน รูปแบบการเลี้ยวเบนไม่สามารถทำนายได้จากวิถีเส้นตรงของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตตัวอย่างง่ายๆ เช่น แหล่งกำเนิดแสงที่สว่างจ้าซึ่งถูกปิดกั้นด้วยวัตถุแข็ง จะไม่แสดงเงาดำที่คมชัดเมื่อตรวจสอบอย่างละเอียด^{[ 1 ] : 433}

แบบจำลองที่เหมาะสมสำหรับการเลี้ยวเบนขึ้นอยู่กับลักษณะของคลื่นและสิ่งกีดขวาง แบบจำลองที่ง่ายที่สุดใช้หลักการของ Huygens–Fresnelส่วนของ Huygens แสดงให้เห็นภาพการแพร่กระจายของคลื่นโดยพิจารณาทุกจุดบนหน้าคลื่นเป็นแหล่งกำเนิดของคลื่นทรงกลมทุติย ภูมิ ซึ่งเรียกว่าคลื่นย่อยของ Huygensส่วนของ Fresnel คือการซ้อนทับ (ผลรวมเชิงเส้น) ของคลื่นทุติยภูมิเหล่านี้และการรบกวนที่เกิดขึ้น^{[ 1 ] : 434}

ในกรณีที่ไม่มีสิ่งกีดขวาง หลักการของฮุยเกนส์เพียงอย่างเดียวสามารถทำนายการแพร่กระจายของหน้าคลื่นได้^{[ 1 ] : 104} เมื่อคลื่นทุติยภูมิบางส่วนถูกปิดกั้นด้วยสิ่งกีดขวาง ส่วนที่เหลือจะสร้างทั้งการแพร่กระจายของหน้าคลื่นในทิศทางที่ไม่ถูกปิดกั้นและคลื่นด้านหลังสิ่งกีดขวางซึ่งก่อให้เกิดรูปแบบการเลี้ยวเบน

เป็นไปได้ที่จะเข้าใจปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนหลายอย่างในเชิงคุณภาพโดยพิจารณาว่าเฟสสัมพัทธ์ของแหล่งกำเนิดคลื่นทุติยภูมิแต่ละแหล่งเปลี่ยนแปลงอย่างไร และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเงื่อนไขที่ความแตกต่างของเฟสเท่ากับครึ่งรอบ ซึ่งในกรณีนี้คลื่นจะหักล้างกัน เมื่อคลื่นถูกรวมเข้าด้วยกัน ผลรวมของคลื่นจะถูกกำหนดโดยเฟส สัมพัทธ์ของคลื่นแต่ละแหล่ง รวมถึงแอมพลิจูดของคลื่นแต่ละแหล่ง ดังนั้นแอมพลิจูดที่รวมกันจึงสามารถมีค่าใดก็ได้ระหว่างศูนย์และผลรวมของแอมพลิจูดแต่ละแหล่ง ดังนั้นรูปแบบการเลี้ยวเบนจึงมักมีจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดเป็นชุด^{[ 1 ] : 435}

ในกลศาสตร์ควอนตัมการเลี้ยวเบนยังถูกอธิบายในแง่ของคลื่นด้วย แต่ฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงแอมพลิจูดความน่าจะเป็นซึ่งค่ากำลังสองของสัมบูรณ์คือความน่าจะเป็นของการตรวจจับ บริเวณสว่างและมืดในรูปแบบการเลี้ยวเบนจึงเป็นบริเวณที่ควอนตัมมีโอกาสถูกตรวจจับมากหรือน้อย^{[ 13 ]}

Quantitative models which allow the diffraction to be calculated include the Kirchhoff diffraction equation (derived from the wave equation),^[14] the Fraunhofer diffraction approximation of the Kirchhoff equation (applicable to the far field),^{[11]: 427} and the Fresnel diffraction approximation (applicable to the near field).^[11] Most configurations cannot be solved analytically, but can yield numerical solutions through finite element and boundary element methods. In many cases it is assumed that there is only one scattering event, what is called kinematical diffraction, with an Ewald's sphere construction used to represent that there is no change in energy during the diffraction process.^[15] For matter waves a similar but slightly different approach is used based upon a relativistically corrected form of the Schrödinger equation,^[16] as first detailed by Hans Bethe.^[17] The Fraunhofer and Fresnel limits exist for these as well, although they correspond more to approximations for the matter wave Green's function (propagator)^[13] for the Schrödinger equation.^[15][18] Multiple scattering models are required in many types of electron diffraction;^[19] in some cases similar dynamical diffraction models are also used for X-rays.^[20][21]

The simplest descriptions of diffraction are those in which the situation can be reduced to a two-dimensional problem. For water waves, this is already the case; water waves propagate only on the surface of the water.^[22] For light, we can often neglect one direction if the diffracting object extends in that direction over a distance far greater than the wavelength. In the case of light shining through small circular holes, we have to take into account the full three-dimensional nature of the problem.

• 
  Diffraction pattern from a square aperture
• 
  Interference pattern from two-slit diffraction
• 
  Two-slit diffraction
• 
  Optical diffraction pattern
• 
  สีในใยแมงมุมเนื่องจากการเลี้ยวเบน^{[ 23 ]}

ผลกระทบของการเลี้ยวเบนนั้นมักพบเห็นได้ในชีวิตประจำวัน ตัวอย่างของการเลี้ยวเบนที่พบเห็นได้บ่อยที่สุดคือตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับแสง เช่น แทร็กที่อยู่ใกล้กันบนซีดีหรือดีวีดีซึ่งทำหน้าที่เป็นตะแกรงเลี้ยวเบนเพื่อสร้างลวดลายสีรุ้งที่คุ้นเคยเมื่อมองดูแผ่นดิสก์^{[ 24 ]}หลักการนี้สามารถขยายไปสู่การออกแบบตะแกรงที่มีโครงสร้างเพื่อให้เกิดรูปแบบการเลี้ยวเบนใดๆ ที่ต้องการได้โฮโลแกรมบนบัตรเครดิตเป็นตัวอย่างหนึ่ง^{[ 25 ]}

• 
  พิกเซลบนหน้าจอสมาร์ทโฟนทำหน้าที่เสมือนตะแกรงเลี้ยวเบน
• 
  ข้อมูลที่อยู่ในรูปของหลุมบนแผ่นซีดี ทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบนของแสง
• 
  โคโรนาของดวงจันทร์
• 
  ปรากฏการณ์แสงอาทิตย์ รุ่งโรจน์ มองเห็นจากเครื่องบิน

การเลี้ยวเบนในชั้นบรรยากาศโดยอนุภาคขนาดเล็กสามารถทำให้เกิดโคโรนาซึ่งเป็นแผ่นดิสก์สว่างและวงแหวนรอบแหล่งกำเนิดแสง เช่น ดวงอาทิตย์หรือดวงจันทร์ ในทางตรงกันข้าม อาจสังเกตเห็นกลอรี่ ซึ่งเป็นวงแหวนสว่างรอบเงาของผู้สังเกต ในทางตรงกันข้ามกับโคโรนา กลอรี่ต้องการให้อนุภาคเป็นทรงกลมโปร่งใส (เช่น ละอองหมอก) เนื่องจาก แสงที่ กระเจิงกลับซึ่งก่อให้เกิดกลอรี่นั้นเกี่ยวข้องกับการหักเหและการสะท้อนภายในของละออง^{[ 26 ]}

อีกตัวอย่างหนึ่งที่พบได้บ่อยคือหนามแหลมจากการเลี้ยวเบนซึ่งเกิดจากกระบวนการต่างๆ รวมถึงรูรับแสง ที่ไม่เป็นวงกลม ในกล้อง หรือจากโครงค้ำยันในกล้องโทรทรรศน์ในการมองเห็นปกติ การเลี้ยวเบนผ่านขนตาอาจทำให้เกิดหนามแหลมที่คล้ายกันได้^{[ 27 ]}

เมื่อเนื้อเดลี่ปรากฏเป็นสีรุ้งผลกระทบนี้เกิดจากการเลี้ยวเบนจากเส้นใยของเนื้อ^{[ 28 ]}เช่นเดียวกับสีของใยแมงมุม^{[ 23 ]}และยังมีกรณีอื่นๆ อีกมากมายสำหรับสีอ่อน^{[ 29 ]}

แม้ว่าการเลี้ยวเบนของแสงจะเป็นกรณีที่พบได้บ่อยที่สุด แต่การเลี้ยวเบนสามารถเกิดขึ้นได้กับคลื่นทุกชนิด ตัวอย่างเช่น คลื่นในมหาสมุทรจะเลี้ยวเบนรอบท่าเทียบเรือและสิ่งกีดขวางอื่นๆ^{[ 30 ]}

คลื่นเสียงสามารถเลี้ยวเบนรอบวัตถุได้ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมเราถึงยังได้ยินเสียงคนเรียกแม้จะซ่อนตัวอยู่หลังต้นไม้ก็ตาม^{[ 31 ]}

ตัวอย่างอื่นๆ ของการเลี้ยวเบนจะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

รูปแบบการเลี้ยวเบนขึ้นอยู่กับลักษณะของสิ่งกีดขวางที่คลื่นพบเจอ ทั้งมิติทางกายภาพและวิธีที่สิ่งกีดขวางเหล่านั้นเปลี่ยนแปลงเฟสและ/หรือทิศทางของคลื่น สิ่งกีดขวางที่ง่ายที่สุดคือช่องแคบหรือช่องเปิดที่ปิดกั้นส่วนหนึ่งของคลื่น^{[ 1 ] : 444} ในบริเวณสนามไกล / บริเวณฟราวน์โฮเฟอร์ หลักการของฮุยเกนส์ที่ใช้กับบริเวณเปิดรอบสิ่งกีดขวางดังกล่าวกล่าวว่ารูปแบบการเลี้ยวเบนของสนามไกลคือการแปลงฟูริเยร์ เชิงพื้นที่ ของรูปร่างบริเวณเปิด นี่เป็นผลพลอยได้โดยตรงจากการใช้การประมาณรังสีขนาน ซึ่งเหมือนกับการแยกส่วนคลื่นระนาบของสนามระนาบข้ามบริเวณเปิด (ดูทัศนศาสตร์ฟูริเยร์ ) ^{[ 15 ]}

ช่องแสงที่ส่องสว่างซึ่งมีความกว้างมากกว่าความยาวคลื่นจะทำให้เกิดปรากฏการณ์การแทรกสอดในพื้นที่ด้านล่างของช่องแสง สมมติว่าช่องแสงมีพฤติกรรมเสมือนมีแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดจำนวนมากที่กระจายอย่างสม่ำเสมอตามความกว้างของช่องแสง ปรากฏการณ์การแทรกสอดสามารถคำนวณได้ หากแสงตกกระทบมีความยาวคลื่นเดียวและมีความสอดคล้องกันแหล่งกำเนิดแสงเหล่านี้จะมีเฟสเดียวกันทั้งหมด แสงในพื้นที่ด้านล่างของช่องแสงประกอบด้วยส่วนประกอบจากแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดแต่ละแหล่ง หากเฟสสัมพัทธ์ของส่วนประกอบจากแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดแต่ละแหล่งแตกต่างกันเนื่องจากความแตกต่างของความยาวเส้นทาง ความเข้มที่ได้ก็จะแตกต่างกัน ลองจินตนาการว่าช่องแสงเป็นแกนy โดยมีแกน zขวางช่องแสงและ แกน xชี้ไปทางด้านล่าง จะเห็นค่าความเข้มต่ำสุดและสูงสุดตามแนวแกนzสำหรับค่าx ที่มาก ^{[ 1 ]} : ⁴⁴⁴

สำหรับจุดที่อยู่ใกล้มากแหล่งกำเนิดจุดทั้งหมดจะอยู่ในเฟสเดียวกัน นี่คือลำแสงที่ไม่เลี้ยวเบน ทำให้เกิดค่าสูงสุด เมื่อเคลื่อนห่างจากแกน ความยาวเส้นทางจากแหล่งกำเนิดจุดตรงกลางและแหล่งกำเนิดจุดที่ขอบของช่องจะแตกต่างกัน เมื่อความแตกต่างของเส้นทางเท่ากับแหล่งกำเนิดตรงกลางจะหักล้างกับแหล่งกำเนิดที่ขอบด้วยการรบกวนแบบทำลายล้าง สำหรับมุมที่เบี่ยงเบนจากแกนของความแตกต่างของเส้นทางจะมีค่าประมาณดังนั้นความเข้มต่ำสุดจะเกิดขึ้นที่มุมที่กำหนดโดย โดย ที่คือความกว้างของช่อง และคือความยาวคลื่นของแสง^{[ 1 ] : 444} ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda /2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\frac {d\sin(\theta )}{2}}}$${\displaystyle \theta _{\text{min}}}$$${\displaystyle d\,\sin \theta _{\text{min}}=\lambda ,}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle \lambda }$

สามารถคำนวณโปรไฟล์ความเข้มทั้งหมด ได้โดยใช้สมการ การเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์ดังนี้

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {d\pi }{\lambda }}\sin \theta \right),}$$ โดยที่คือความเข้มที่มุมที่กำหนดคือความเข้มที่จุดสูงสุดตรงกลาง( )ซึ่งเป็นปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานของโปรไฟล์ความเข้มที่สามารถกำหนดได้โดยการอินทิเกรตจากถึงและการอนุรักษ์พลังงาน และซึ่งเป็นฟังก์ชัน sinc ที่ไม่ได้ทำให้เป็นมาตรฐาน [ ^{1 ] : 443} ${\displaystyle I(\theta )}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle \theta =0}$${\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}}$

การวิเคราะห์นี้ใช้ได้เฉพาะกับสนามไกล ( การเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์ ) ซึ่งก็คือที่ระยะทางที่ไกลกว่าความกว้างของช่องมาก^{[ 1 ] : 443}

รูปแบบการเลี้ยวเบนระยะไกลของคลื่นระนาบที่ตกกระทบช่องเปิดวงกลมเรียกว่าจานแอร์รี (Airy disk ) จานแอร์รีมีการกระจายความเข้มดังต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันของมุม θ: ^{[ 1 ] : 461} โดยที่คือรัศมีของช่องเปิดวงกลมเท่ากับและคือฟังก์ชันเบสเซลยิ่งช่องเปิดเล็กลง ขนาดจุดที่ระยะทางที่กำหนดก็จะยิ่งใหญ่ขึ้น และการกระจายตัวของลำแสงที่เลี้ยวเบนก็จะยิ่งมากขึ้น สำหรับเส้นผ่านศูนย์กลางของช่องเปิดที่ใกล้เคียงกับความยาวคลื่นของแสง จานแอร์รีจะเริ่มทำหน้าที่เหมือนแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดที่มีการกระจายตัวของลำแสงที่เลี้ยวเบนมาก^{[ 1 ] : 461} $${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2},}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2\pi /\แลมบ์ดา }$${\displaystyle J_{1}}$

วัตถุทึบแสงและรูที่มีขนาดและรูปร่างเดียวกันกับวัตถุทึบแสงเรียกว่า ช่อง เปิดเสริม : เมื่อรวมกันแล้ว ช่องเปิดเหล่านี้จะทำให้เกิดพื้นที่เปิดโล่งอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น หน้าจอที่มีรูวงกลมจะเป็นช่องเปิดเสริมกับแผ่นดิสก์วงกลมที่มีขนาดเท่ากับรู ผลทางแสงของช่องเปิดเหล่านี้จะรวมกัน ทำให้เกิดผลทางแสงเหมือนไม่มีสิ่งกีดขวาง นี่คือหลักการของ Babinet ซึ่งใช้ได้ดีในขีดจำกัดการเลี้ยวเบนของ Fraunhofer เมื่อเป็นเช่นนั้น ความเข้มในสองรูปแบบจะเท่ากันทุกที่ เมื่อฉายภาพแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดผ่านช่องเปิดใดช่องหนึ่ง จะได้รูปแบบเดียวกันทุกที่ ยกเว้นตรงจุดโฟกัส^{[ 1 ] : 500 [ 11 ] : §8.3} ${\displaystyle E}$$${\displaystyle E_{\textrm {ทึบแสง}}+E_{\textrm {รู}}=E_{0}}$$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E_{0}\approx 0,}$${\displaystyle E_{\textrm {ทึบแสง}}=-E_{\textrm {รู}}}$

ปรากฏการณ์ขอบมีดหรือการเลี้ยวเบนขอบมีดคือการตัดทอนส่วนหนึ่งของรังสี ตกกระทบ ที่กระทบกับสิ่งกีดขวางที่คมชัด เช่น เทือกเขาหรือกำแพงอาคาร การเลี้ยวเบนขอบมีดเป็นผลสืบเนื่องมาจาก " ปัญหา ครึ่งระนาบ " ซึ่งเดิมทีได้รับการแก้ไขโดยArnold Sommerfeldโดยใช้สูตรสเปกตรัมคลื่นระนาบ การขยายความของปัญหาครึ่งระนาบคือ "ปัญหาลิ่ม" ซึ่งสามารถแก้ไขได้ในฐานะปัญหาค่าขอบเขตในพิกัดทรงกระบอก ต่อมาJoseph B. Keller ได้ขยายการแก้ปัญหาในพิกัดทรงกระบอกไปยังระบอบแสง โดย เขาได้แนะนำแนวคิดของสัมประสิทธิ์การเลี้ยวเบนผ่านทฤษฎีการเลี้ยวเบนทางเรขาคณิต (GTD) ของเขา ในปี 1974 Prabhakar Pathak และRobert Kouyoumjianได้ขยายสัมประสิทธิ์ Keller (เอกพจน์) ผ่านทฤษฎีการเลี้ยวเบนแบบเอกรูป (UTD) ^{[ 32 ] [ 33 ]}

ตะแกรงเลี้ยวเบนเป็นส่วนประกอบทางแสงที่มีรูปแบบปกติ รูปแบบของแสงที่เลี้ยวเบนโดยตะแกรงขึ้นอยู่กับโครงสร้างขององค์ประกอบและจำนวนองค์ประกอบที่มีอยู่ แต่ตะแกรงทั้งหมดจะมีค่าความเข้มสูงสุดที่มุมθ _mซึ่งกำหนดโดยสมการตะแกรง^{[ 34 ] [ 35 ]} โดยที่คือมุมที่แสงตกกระทบคือระยะห่างระหว่างองค์ประกอบตะแกรง และคือจำนวนเต็มซึ่งสามารถเป็นบวกหรือลบก็ได้ $${\displaystyle d\left(\sin {\theta _{m}}\pm \sin {\theta _{i}}\right)=m\lambda ,}$$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle m}$

แสงที่เลี้ยวเบนผ่านตะแกรงนั้นได้มาจากการรวมแสงที่เลี้ยวเบนจากแต่ละองค์ประกอบของตะแกรง และโดยพื้นฐานแล้วเป็นการรวมกันของรูปแบบการเลี้ยวเบนและการแทรกสอด รูปแสดงแสงที่เลี้ยวเบนผ่านตะแกรง 2 องค์ประกอบและ 5 องค์ประกอบ โดยที่ระยะห่างระหว่างองค์ประกอบเท่ากัน จะเห็นได้ว่าจุดสูงสุดอยู่ที่ตำแหน่งเดียวกัน แต่โครงสร้างโดยละเอียดของความเข้มแสงนั้นแตกต่างกัน

แนวทางทางคณิตศาสตร์ที่มากขึ้นเกี่ยวข้องกับการพิจารณาปัญหาเป็นผลรวมของคลื่นทรงกลมที่ได้มาจากสมการคลื่นที่เกี่ยวข้อง ดูรายละเอียดได้ จาก Born และ Wolf ^{[ 11 ]}คลื่นที่เกิดขึ้นจากแหล่งกำเนิดจุดจะมีแอมพลิจูดที่ตำแหน่งที่กำหนดโดยผลเฉลยของสมการคลื่นโดเมนความถี่สำหรับแหล่งกำเนิดจุด ( สมการเฮล์มโฮลทซ์ ) โดยที่คือฟังก์ชันเดลต้า 3 มิติ โดยการแทนค่าโดยตรง สามารถแสดงได้ว่าคำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันกรีนแบบสเกลาร์ซึ่งในระบบพิกัดทรงกลม (และใช้ข้อกำหนดเวลาทางฟิสิกส์) คือ ซึ่งเป็นคลื่นทรงกลมที่แผ่ออกมาจากจุดกำเนิด ซึ่งเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของเวฟเล็ตของฮุยเกนส์ในแนวทางของฮุยเกนส์-เฟรสเนล คำตอบนี้สมมติว่าแหล่งกำเนิดฟังก์ชันเดลต้าอยู่ที่จุดกำเนิด หากแหล่งกำเนิดอยู่ที่จุดแหล่งกำเนิดใดๆ ซึ่งแทนด้วยเวกเตอร์และจุดสนามอยู่ที่จุดแล้วเราสามารถแทนฟังก์ชันกรีนแบบสเกลาร์ (สำหรับตำแหน่งแหล่งกำเนิดใดๆ) ได้ดังนี้ ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta (\mathbf {r} ),}$$${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$${\displaystyle e^{-i\omega t}}$$${\displaystyle \psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}.}$$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

ในบริเวณไกลออกไป ซึ่งมีค่ามาก ฟังก์ชันกรีนจะลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}}$$ดังนั้นสูตรสำหรับคลื่นระยะไกล (บริเวณฟราวน์โฮเฟอร์) จึงเป็นดังนี้ $${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}\,dx'\,dy'.}$$

โดยมีสนามไฟฟ้าตกกระทบที่ช่องเปิดในกรณีของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในบริเวณสนามไกล/ฟราวน์โฮเฟอร์ สิ่งนี้จะกลายเป็นการแปลงฟูริเยร์ เชิงพื้นที่ ของช่องเปิด หลักการของฮุยเกนส์เมื่อนำไปใช้กับช่องเปิดกล่าวอย่างง่ายๆ ว่ารูปแบบการเลี้ยวเบนในสนามไกลคือการแปลงฟูริเยร์เชิงพื้นที่ของรูปร่างช่องเปิด และนี่เป็นผลพลอยได้โดยตรงจากการใช้การประมาณรังสีขนาน ซึ่งเหมือนกับการแยกส่วนคลื่นระนาบของสนามระนาบของช่องเปิด (ดูทัศนศาสตร์ฟูริเยร์ ) ในสนามไกล ซึ่งrมีค่าคงที่โดยพื้นฐาน สมการ: เทียบเท่ากับการทำการแปลงฟูริเยร์บนช่องว่างในสิ่งกีดขวาง^{[ 36 ]}สามารถหาแบบฟอร์มที่คล้ายกันได้สำหรับสสารและคลื่นประเภทอื่นๆ^{[ 15 ]}ตัวอย่างเช่น สำหรับการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน ช่องเปิดจะถูกแทนที่ด้วยศักย์ไฟฟ้าสถิต ในขณะที่สำหรับการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์ จะเป็นความหนาแน่นประจุของอิเล็กตรอน ${\displaystyle E_{\mathrm {inc} }(x,y)}$$${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {aperture} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {aperture} }$$

ในกรณีที่กล่าวถึงข้างต้น ถือว่าคลื่นจะพบกับสิ่งกีดขวางหรือสิ่งกีดขวางเพียงสิ่งเดียว แล้วจึงเกิดการเลี้ยวเบน ในความเป็นจริง คลื่นอาจพบกับสิ่งกีดขวางหลายอย่างตามทิศทางที่มันเคลื่อนที่ การเลี้ยวเบนของคลื่นที่สิ่งกีดขวางแรกที่มันพบ อาจกลายเป็นการเลี้ยวเบนที่สิ่งกีดขวางถัดไป และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป กรณีที่เกิดการเลี้ยวเบนเพียงครั้งเดียวเรียกว่าการเลี้ยวเบนแบบจลนพลศาสตร์ (kinematical diffraction ) ส่วนกรณีทั่วไปเรียกว่าการเลี้ยวเบนแบบพลศาสตร์ (dynamical diffraction ) การเลี้ยวเบนแบบพลศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างดีสำหรับรังสีเอกซ์^{[ 20 ] [ 21 ]}และสำหรับอิเล็กตรอนด้วย^{[ 15 ] [ 18 ] [ 19 ]}ดังที่ได้กล่าวไว้อย่างกว้างขวางในเอกสารและบทวิจารณ์ที่มีอยู่ ผลลัพธ์ของการเลี้ยวเบนแบบพลศาสตร์อาจแตกต่างจากผลลัพธ์เมื่อพิจารณาเฉพาะการกระเจิงเพียงครั้งเดียว นอกจากนี้ยังสามารถเกิดขึ้นได้กับแสง ตัวอย่างหนึ่งคือโอปอลและผลึกโฟตอนิก^{[ 37 ]}

ตามทฤษฎีควอนตัม อนุภาคทุกชนิดแสดงคุณสมบัติของคลื่นและสามารถเกิดการเลี้ยวเบนได้ การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนและนิวตรอนเป็นหนึ่งในข้อโต้แย้งที่ทรงพลังที่สนับสนุนกลศาสตร์ควอนตัม ความยาวคลื่นที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคที่ไม่สัมพันธ์กับสัมพัทธภาพคือความยาวคลื่นเดอ บรอยล์^{[ 13 ]} โดยที่คือค่าคงที่ของพลังค์และคือโมเมนตัมของอนุภาค (มวล × ความเร็วสำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ช้า) ตัวอย่างเช่น อะตอมโซเดียมที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วประมาณ 300 ม./วินาที จะมีความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ประมาณ 50 พิโคเมตร $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}\,,}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$

การเลี้ยวเบนของคลื่นสสารได้รับการสังเกตสำหรับอนุภาคขนาดเล็ก เช่น อิเล็กตรอน นิวตรอน อะตอม และแม้แต่โมเลกุลขนาดใหญ่ ความยาวคลื่นสั้นของคลื่นสสารเหล่านี้ทำให้เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการศึกษาโครงสร้างอะตอมของของแข็ง โมเลกุล และโปรตีน^{[ 15 ]}

การเลี้ยวเบนจากโครงสร้างคาบสามมิติขนาดใหญ่ เช่น อะตอมหลายพันอะตอมในผลึก เรียกว่าการเลี้ยวเบนแบบแบรกก์^{[ 38 ]}ซึ่งคล้ายกับสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อคลื่นกระเจิงจากตะแกรง เลี้ยว เบน การเลี้ยวเบนแบบแบรกก์เป็นผลมาจากการแทรกสอดระหว่างคลื่นที่สะท้อนจากระนาบผลึกที่แตกต่างกันหลายระนาบ เงื่อนไขของการแทรกสอดแบบเสริมกันนั้นกำหนดโดยกฎของแบรกก์ : โดยที่คือความยาวคลื่นคือระยะห่างระหว่างระนาบผลึกคือมุมของคลื่นที่เลี้ยวเบน และคือจำนวนเต็มที่เรียกว่าลำดับของลำแสงที่เลี้ยวเบน $${\displaystyle m\lambda =2d\sin \theta ,}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle m}$

การเลี้ยวเบนของแบร็กอาจดำเนินการโดยใช้รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีความยาวคลื่นสั้นมาก เช่นรังสีเอกซ์หรือคลื่นสสาร เช่นนิวตรอนซึ่งมีความยาวคลื่นอยู่ในระดับเดียวกับ (หรือเล็กกว่ามาก) ระยะห่างระหว่างอะตอม^{[ 15 ]}รูปแบบที่เกิดขึ้นจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับการแยกตัวของระนาบผลึกทำให้สามารถอนุมานโครงสร้างผลึกได้ ${\displaystyle d}$

เพื่อความสมบูรณ์ การเลี้ยวเบนของแบร็กเป็นข้อจำกัดสำหรับอะตอมจำนวนมากด้วยรังสีเอกซ์หรือนิวตรอน และแทบจะไม่ใช้ได้กับการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนหรืออนุภาคของแข็งในช่วงขนาดที่น้อยกว่า 50 นาโนเมตร^{[ 15 ]}

คำอธิบายของการเลี้ยวเบนอาศัยการแทรกแซงของคลื่นที่แผ่ออกมาจากแหล่งกำเนิดเดียวกันซึ่งใช้เส้นทางที่แตกต่างกันไปยังจุดเดียวกันบนหน้าจอ ในคำอธิบายนี้ ความแตกต่างของเฟสระหว่างคลื่นที่ใช้เส้นทางที่แตกต่างกันจะขึ้นอยู่กับความยาวเส้นทางที่มีประสิทธิภาพเท่านั้น ซึ่งไม่ได้คำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าคลื่นที่มาถึงหน้าจอในเวลาเดียวกันนั้นถูกปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดในเวลาที่ต่างกัน เฟสเริ่มต้นที่แหล่งกำเนิดปล่อยคลื่นออกมาสามารถเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาในลักษณะที่ไม่สามารถคาดเดาได้ ซึ่งหมายความว่าคลื่นที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดในเวลาที่ห่างกันมากเกินไปจะไม่สามารถสร้างรูปแบบการแทรกแซงที่คงที่ได้อีกต่อไป เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างเฟสของพวกมันไม่เป็นอิสระจากเวลาอีกต่อไป^{[ 39 ] : 919}

ความยาวที่เฟสในลำแสงมีความสัมพันธ์กันเรียกว่าความยาวโคเฮเรนซ์เพื่อให้เกิดการแทรกสอด ความแตกต่างของความยาวเส้นทางต้องน้อยกว่าความยาวโคเฮเรนซ์ บางครั้งเรียกว่า โคเฮเรนซ์เชิงสเปกตรัม เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการมีส่วนประกอบความถี่ที่แตกต่างกันในคลื่น ในกรณีของแสงที่ปล่อยออกมาจากการเปลี่ยนสถานะของอะตอมความยาวโคเฮเรนซ์จะสัมพันธ์กับอายุของสถานะกระตุ้นที่อะตอมเปลี่ยนสถานะ^{[ 40 ] : 71–74 [ 1 ] : 314–316}

หากคลื่นถูกปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดที่ขยายออกไป สิ่งนี้อาจนำไปสู่ความไม่สอดคล้องกันในทิศทางตามขวาง เมื่อพิจารณาส่วนตัดขวางของลำแสง ความยาวที่เฟสมีความสัมพันธ์กันเรียกว่าความยาวความสอดคล้องตามขวาง ในกรณีของการทดลองช่องคู่ของ Young นั่นหมายความว่าหากความยาวความสอดคล้องตามขวางมีขนาดเล็กกว่าระยะห่างระหว่างช่องทั้งสอง รูปแบบที่เกิดขึ้นบนหน้าจอจะดูเหมือนรูปแบบการเลี้ยวเบนของช่องเดี่ยวสองช่อง^{[ 40 ] : 74–79}

ในกรณีของอนุภาคเช่นอิเล็กตรอน นิวตรอน และอะตอม ความยาวของการคงตัวจะสัมพันธ์กับขอบเขตเชิงพื้นที่ของฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายอนุภาค^{[ 41 ] : 107}

• ทฤษฎีพลศาสตร์ของการเลี้ยวเบน  – การเลี้ยวเบนหลายครั้งของคลื่น
• การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน  – การเบี่ยงเบนของลำแสงอิเล็กตรอนเนื่องจากปฏิกิริยาทางไฟฟ้าสถิตกับสสาร
• การเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์  – การเลี้ยวเบนในระยะไกล
• การเลี้ยวเบนแบบเฟรสเนล  – การเลี้ยวเบนในระยะใกล้
• การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนในแก๊ส  – วิธีการสังเกตโครงสร้างอะตอมของแก๊ส
• การเลี้ยวเบนแบบตกกระทบเฉียง  – การเลี้ยวเบนโดยใช้มุมตกกระทบเล็กๆ
• การกระเจิงของอะตอมฮีเลียม  – การเลี้ยวเบนของฮีเลียมจากพื้นผิว
• การเลี้ยวเบนเชิงจลนศาสตร์  – การเลี้ยวเบนแบบกระเจิงเดี่ยวหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนพลังงานต่ำ  – เทคนิคสำหรับการกำหนดโครงสร้างพื้นผิวหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• การเลี้ยวเบนของนิวตรอน  – เทคนิคในการตรวจสอบโครงสร้างอะตอมโดยใช้การกระเจิงของนิวตรอน
• การเลี้ยวเบนของผง  – วิธีการทดลองในการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์
• การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนพลังงานสูงแบบสะท้อน  – การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนโดยการสะท้อนจากพื้นผิว
• การเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์  – ปฏิสัมพันธ์แบบยืดหยุ่นระหว่างรังสีเอกซ์กับอิเล็กตรอน

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนของแสง

• หนังสือบรรยายวิชาฟิสิกส์ของเฟย์นแมน เล่มที่ 1 บทที่ 30: การเลี้ยวเบน
• "การกระเจิงและการเลี้ยวเบน" ผลึกศาสตร์สหภาพผลึกศาสตร์ระหว่างประเทศ
• การใช้แผ่นซีดีเป็นตะแกรงเลี้ยวเบนใน YouTube