ในด้านวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์การวิเคราะห์มิติ ของ ปริมาณทางกายภาพต่างๆคือการวิเคราะห์มิติทางกายภาพหรือมิติเชิงปริมาณ ซึ่งกำหนดเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ระบุถึงกำลังของปริมาณพื้นฐานที่เกี่ยวข้อง (เช่น ความยาว มวล เวลาฯลฯ )และติดตามมิติเหล่านี้ในขณะที่ทำการคำนวณหรือเปรียบเทียบ^{[ 1 ]} แนวคิดของการวิเคราะห์มิติและมิติเชิงปริมาณได้รับการแนะนำโดยโจเซฟ ฟูริเยร์ในปี 1822 ^{[ 2 ] : 42}

ปริมาณทางกายภาพ ที่เทียบเคียงกันได้ คือ ปริมาณที่มีมิติและ ชนิดเดียวกันดังนั้นจึงสามารถเปรียบเทียบกันได้โดยตรง แม้ว่าจะแสดงด้วยหน่วยวัด ที่แตกต่างกัน เช่น เมตรและฟุต กรัมและปอนด์ วินาทีและปี ส่วนปริมาณทางกายภาพที่เทียบเคียงกันไม่ได้คือ ปริมาณที่มีมิติแตกต่างกัน ดังนั้นจึงไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้โดยตรง ไม่ว่าหน่วยวัดจะเป็นอะไรก็ตาม เช่น เมตรและกรัม วินาทีและกรัม เมตรและวินาที ตัวอย่างเช่น การถามว่ากรัมใหญ่กว่าชั่วโมงหรือไม่นั้นไม่มีความหมาย

สมการหรืออสมการ ใดๆ ที่มีความหมายทางกายภาพจะต้องมีมิติเท่ากันทั้งด้านซ้ายและด้านขวา ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เรียกว่าความเป็นเอกรูปเชิงมิติการตรวจสอบความเป็นเอกรูปเชิงมิติเป็นการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์เชิงมิติที่พบ ได้ทั่วไป โดยใช้เป็นวิธีตรวจสอบความน่าเชื่อถือของ สมการและการคำนวณที่ ได้ มา นอกจากนี้ยังทำหน้าที่เป็นแนวทางและข้อจำกัดในการสร้างสมการที่อาจอธิบายระบบ ทางกายภาพ ได้ ในกรณีที่ไม่มีการพิสูจน์ที่เข้มงวดกว่า

ทฤษฎีบทบัคกิงแฮม πอธิบายว่าสมการที่มีความหมายทางกายภาพทุกสมการที่เกี่ยวข้องกับ ตัวแปร nตัว สามารถเขียนใหม่ให้เทียบเท่าได้ในรูปสมการของ พารามิเตอร์ไร้มิติ n − mตัว โดยที่mคืออันดับ ของ เมทริกซ์มิตินอกจากนี้ และที่สำคัญที่สุด ทฤษฎีบทนี้ยังให้วิธีการคำนวณพารามิเตอร์ไร้มิติเหล่านี้จากตัวแปรที่กำหนดให้ด้วย

สมการมิติสามารถลดหรือกำจัดมิติได้โดยการทำให้เป็นไร้มิติซึ่งเริ่มต้นด้วยการวิเคราะห์มิติ และเกี่ยวข้องกับการปรับขนาดปริมาณโดยใช้หน่วยลักษณะเฉพาะของระบบหรือค่าคงที่ทางกายภาพของธรรมชาติ^{[ 2 ] : 43} สิ่งนี้อาจให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของระบบ ดังที่แสดงในตัวอย่างด้านล่าง

มิติของปริมาณทางกายภาพสามารถแสดงได้ในรูปผลคูณของมิติทางกายภาพพื้นฐาน เช่น ความยาว มวล และเวลา โดยแต่ละมิติยกกำลังด้วยจำนวนเต็ม (และบางครั้งก็เป็นจำนวนตรรกยะ) มิติของปริมาณทางกายภาพนั้นมีความสำคัญพื้นฐานมากกว่ามาตราส่วนหรือหน่วยที่ใช้ในการแสดงปริมาณของปริมาณทางกายภาพนั้น ตัวอย่างเช่นมวลเป็นมิติ ในขณะที่กิโลกรัมเป็นปริมาณอ้างอิงเฉพาะที่เลือกมาเพื่อแสดงปริมาณของมวล การเลือกหน่วยนั้นเป็นไปโดยพลการ และมักอิงตามแบบอย่างทางประวัติศาสตร์หน่วยธรรมชาติซึ่งอิงตามค่าคงที่สากลเท่านั้น อาจถือได้ว่า "มีความเป็นไปโดยพลการน้อยกว่า"

มีตัวเลือกมากมายสำหรับขนาดทางกายภาพพื้นฐานมาตรฐาน SIเลือกใช้ขนาดต่อไปนี้และสัญลักษณ์แสดงขนาด ที่เกี่ยวข้อง :

เวลา (T), ความยาว (L), มวล (M), กระแสไฟฟ้า (I), อุณหภูมิสัมบูรณ์ (Θ), ปริมาณสาร (N) และความเข้มแสง (J)

ตามธรรมเนียมแล้ว สัญลักษณ์มักจะเขียนด้วยแบบอักษรโรมันแบบไม่มีเชิง^{[ 3 ]}ในทางคณิตศาสตร์ มิติของปริมาณQกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}}$

โดยที่a , b , c , d , e , f , gคือเลขชี้กำลังของมิติ ปริมาณทางกายภาพอื่นๆ สามารถกำหนดให้เป็นปริมาณพื้นฐานได้ ตราบใดที่มันเป็นฐาน – ตัวอย่างเช่น เราสามารถแทนที่มิติ (I) ของกระแสไฟฟ้าในฐาน SI ด้วยมิติ (Q) ของประจุไฟฟ้าได้ เนื่องจากQ = TI

ปริมาณที่มีเฉพาะb ≠ 0 (โดยที่เลขชี้กำลังอื่นๆ เป็นศูนย์ทั้งหมด) เรียกว่าปริมาณเชิงเรขาคณิตปริมาณที่มีเฉพาะa ≠ 0และb ≠ 0เรียกว่าปริมาณเชิงจลนศาสตร์ปริมาณที่มีเฉพาะa ≠ 0 , b ≠ 0และc ≠ 0เรียกว่าปริมาณเชิงพลศาสตร์^{[ 4 ]} ปริมาณที่มีเลขชี้กำลังทั้งหมดเป็นศูนย์เรียกว่ามีมิติหนึ่ง^{[ 3 ]}

หน่วยที่เลือกใช้ในการแสดงปริมาณทางกายภาพและมิติของมันมีความสัมพันธ์กัน แต่ไม่ใช่แนวคิดที่เหมือนกันทุกประการ หน่วยของปริมาณทางกายภาพถูกกำหนดโดยข้อตกลงและสัมพันธ์กับมาตรฐานบางอย่าง เช่น ความยาวอาจมีหน่วยเป็นเมตร ฟุต นิ้ว ไมล์ หรือไมโครเมตร แต่ความยาวใดๆ ก็จะมีมิติเป็น L เสมอ ไม่ว่าหน่วยความยาวใดจะถูกเลือกใช้ในการแสดงก็ตาม หน่วยที่แตกต่างกันสองหน่วยของปริมาณทางกายภาพเดียวกันจะมีตัวประกอบการแปลงที่เชื่อมโยงกัน ตัวอย่างเช่น1 นิ้ว = 2.54 เซนติเมตรในกรณีนี้ 2.54 เซนติเมตร/นิ้ว คือตัวประกอบการแปลง ซึ่งไม่มีมิติและเท่ากับ 1 ดังนั้น การคูณด้วยตัวประกอบการแปลงนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงทั้งมิติหรือค่าของปริมาณทางกายภาพ

นอกจากนี้ยังมีนักฟิสิกส์บางคนที่ตั้งข้อสงสัยเกี่ยวกับการมีอยู่ของมิติพื้นฐานที่ไม่เข้ากันของปริมาณทางกายภาพ^{[ 5 ]}แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ทำให้ประโยชน์ของการวิเคราะห์มิติเป็นโมฆะก็ตาม

ตัวอย่างเช่น มิติของปริมาณทางกายภาพความเร็วvคือ $${\displaystyle \operatorname {dim} v={\frac {\text{length}}{\text{time}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.}$$

มิติของปริมาณทางกายภาพความเร่งaคือ $${\displaystyle \operatorname {dim} a={\frac {\text{velocity}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.}$$

มิติของปริมาณทางกายภาพแรงFคือ $${\displaystyle \operatorname {dim} F={\text{มวล}}\times {\text{ความเร่ง}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.}$$

มิติของปริมาณทางกายภาพความดันPคือ $${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{แรง}}{\text{พื้นที่}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.}$$

มิติของปริมาณทางกายภาพพลังงานEคือ $${\displaystyle \operatorname {dim} E={\text{แรง}}\times {\text{การกระจัด}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$$

มิติของปริมาณทางกายภาพกำลังPคือ $${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{energy}}{\text{time}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$$

มิติของปริมาณทางกายภาพประจุไฟฟ้าQคือ $${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\text{current}}\times {\text{time}}={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.}$$

มิติของปริมาณทางกายภาพแรงดันไฟฟ้าVคือ $${\displaystyle \operatorname {dim} V={\frac {\text{กำลัง}}{\text{กระแส}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.}$$

มิติของปริมาณทางกายภาพความจุCคือ $${\displaystyle \operatorname {dim} C={\frac {\text{ประจุไฟฟ้า}}{\text{ความต่างศักย์ไฟฟ้า}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.}$$

ในการวิเคราะห์มิติวิธีของเรย์ลีย์เป็นเครื่องมือเชิงแนวคิดที่ใช้ในฟิสิกส์เคมีและวิศวกรรมศาสตร์มันแสดงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของตัวแปร บางตัว ในรูปสมการเลขชี้กำลัง ชื่อ ของ วิธี นี้ตั้งตามชื่อของลอร์ดเรย์ลีย์

วิธีการนี้ประกอบด้วยขั้นตอนดังต่อไปนี้:

1. รวบรวมตัวแปรอิสระ ทั้งหมด ที่มีแนวโน้มจะส่งผลต่อตัวแปรตาม
2. ถ้าRเป็นตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระR ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _nแล้วสมการเชิงฟังก์ชันสามารถเขียนได้เป็นR = F ( R ₁ , R ₂ , R ₃ , ..., R _n )
3. เขียนสมการข้างต้นให้อยู่ในรูปR = C R ₁ ^a R ₂ ^b R ₃ ^c ... R _n ^mโดยที่Cเป็นค่าคงที่ไร้มิติและa , b , c , ..., mเป็นเลขชี้กำลังใดๆ
4. จงแสดงปริมาณแต่ละตัวในสมการในหน่วยพื้นฐานที่ต้องการหาคำตอบ
5. โดยใช้หลักการความเป็นเอกรูปเชิงมิติจะได้ชุดสมการเชิงเส้นพร้อมกันที่มีเลขชี้กำลังa , b , c , ... , m
6. จงแก้สมการเหล่านี้เพื่อหาค่าของเลขชี้กำลังa , b , c , ... , m
7. แทนค่าเลขชี้กำลังลงในสมการหลัก และสร้างพารามิเตอร์ไร้มิติ โดยการจัดกลุ่มตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังเหมือนกัน

ข้อเสียอย่างหนึ่งคือ วิธีของเรย์ลีย์ไม่ได้ให้ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับจำนวนกลุ่มไร้มิติที่จะได้มาจากการวิเคราะห์มิติ

พารามิเตอร์และการวัดจำนวนมากในวิทยาศาสตร์กายภาพและวิศวกรรมศาสตร์นั้นแสดงออกมาในรูปของตัวเลขที่แน่นอนซึ่งก็คือปริมาณเชิงตัวเลขและหน่วยวัดที่สอดคล้องกัน บ่อยครั้งที่ปริมาณหนึ่งๆ จะถูกแสดงในรูปของปริมาณอื่นๆ หลายอย่าง ตัวอย่างเช่น ความเร็วเป็นผลรวมของระยะทางและเวลา เช่น 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง หรือ 1.4 กิโลเมตรต่อวินาที ความสัมพันธ์เชิงประกอบที่มีคำว่า "ต่อ" จะแสดงด้วยการหารเช่น 60 กม./ชม. ความสัมพันธ์อื่นๆ อาจเกี่ยวข้องกับการคูณ (มักแสดงด้วยจุดตรงกลางหรือการวางติดกัน ) การยกกำลัง (เช่น m² ^{สำหรับ}ตารางเมตร) หรือการรวมกันของสิ่งเหล่านี้

ชุดหน่วยพื้นฐานสำหรับระบบการวัดคือชุดหน่วยที่เลือกตามธรรมเนียม ซึ่งไม่มีหน่วยใดที่สามารถแสดงเป็นการรวมกันของหน่วยอื่นได้ และหน่วยที่เหลือทั้งหมดของระบบสามารถแสดงได้โดยใช้หน่วยพื้นฐานเหล่านี้^{[ 6 ]}ตัวอย่างเช่น หน่วยความยาวและเวลาโดยปกติจะถูกเลือกเป็นหน่วยพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม หน่วยปริมาตรสามารถแยกตัวประกอบเป็นหน่วยพื้นฐานของความยาว (m³ ⁾ได้ ดังนั้นจึงถือว่าเป็นหน่วยอนุพันธ์หรือหน่วยประกอบ

บางครั้งชื่อของหน่วยอาจทำให้เข้าใจผิดว่าหน่วยเหล่านั้นเป็นหน่วยอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่นนิวตัน (N) เป็นหน่วยของแรงซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปผลคูณของมวล (มีหน่วยเป็นกิโลกรัม) และความเร่ง (มีหน่วยเป็นเมตรต่อวินาที^² ) โดย นิวตันถูกกำหนดให้เป็น1 N = 1 ^{kg⋅m⋅s⁻²}

เปอร์เซ็นต์เป็นปริมาณที่ไม่มีมิติ เนื่องจากเป็นอัตราส่วนของปริมาณสองปริมาณที่มีมิติเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เครื่องหมาย % สามารถอ่านได้ว่า "ส่วนร้อย" เนื่องจาก1% = 1/100

การหาอนุพันธ์เทียบกับปริมาณใดๆ จะเป็นการหารมิติของปริมาณนั้นด้วยมิติของตัวแปรที่นำมาหาอนุพันธ์ ดังนั้น:

• ตำแหน่ง ( x ) มีมิติเป็น L (ความยาว)
• อนุพันธ์ของตำแหน่งเทียบกับเวลา ( dx / dt , ความเร็ว ) มีมิติ T ⁻¹ L—ความยาวจากตำแหน่ง เวลาเนื่องจากอนุพันธ์
• อนุพันธ์อันดับสอง ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , ความเร่ง ) มีมิติT ⁻² L

ในทำนองเดียวกัน การหาปริพันธ์จะเพิ่มมิติของตัวแปรที่เรากำลังหาปริพันธ์ด้วย แต่จะเพิ่มในส่วนของตัวเศษ

• แรงมีมิติเป็นT ⁻² L M (มวลคูณด้วยความเร่ง)
• ปริมาณอินทิ กรัลของแรงเทียบกับระยะทาง ( s ) ที่วัตถุเคลื่อนที่ไป ( งาน) ${\displaystyle \textstyle \int F\ ds}$มีมิติT ⁻² L ² M

ในทางเศรษฐศาสตร์ เราสามารถแยกแยะระหว่างปริมาณสะสมและกระแสเงินสดได้ โดยปริมาณสะสมจะมีหน่วยวัด (เช่น จำนวนสินค้าหรือจำนวนเงิน) ในขณะที่กระแสเงินสดเป็นผลสืบเนื่องมาจากปริมาณสะสม และมีหน่วยวัดในรูปแบบของการนำหน่วยสะสมนั้นมาหารด้วยหน่วยของเวลา (เช่น จำนวนเงินต่อปี)

ในบางบริบท ปริมาณที่มีมิติจะถูกแสดงเป็นปริมาณที่ไม่มีมิติหรือเป็นเปอร์เซ็นต์โดยการละเว้นมิติบางส่วน ตัวอย่างเช่นอัตราส่วนหนี้ต่อ GDPโดยทั่วไปจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์: หนี้คงค้างทั้งหมด (มิติของสกุลเงิน) หารด้วย GDP ต่อปี (มิติของสกุลเงิน) — แต่บางคนอาจโต้แย้งว่า ในการเปรียบเทียบปริมาณสะสมกับกระแสเงินสด GDP ต่อปีควรมีมิติของสกุลเงิน/เวลา (เช่น ดอลลาร์/ปี) และดังนั้นอัตราส่วนหนี้ต่อ GDP ควรมีหน่วยเป็นปี ซึ่งบ่งชี้ว่าอัตราส่วนหนี้ต่อ GDP คือจำนวนปีที่จำเป็นสำหรับ GDP ที่คงที่ในการชำระหนี้ หาก GDP ทั้งหมดถูกใช้ไปกับการชำระหนี้และหนี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

กฎพื้นฐานที่สุดของการวิเคราะห์มิติคือกฎของความเป็นเนื้อเดียวกันของมิติ^{[ 7 ]}

อย่างไรก็ตาม มิติเหล่านี้ก่อให้เกิดกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การคูณ ดังนั้น:

ตัวอย่างเช่น การถามว่า 1 ชั่วโมงมากกว่า เท่ากัน หรือน้อยกว่า 1 กิโลเมตรนั้นไม่มีเหตุผล เพราะหน่วยวัดต่างกัน และการบวก 1 ชั่วโมงกับ 1 กิโลเมตรก็ไม่มีความหมายเช่นกัน อย่างไรก็ตาม การถามว่า 1 ไมล์มากกว่า เท่ากัน หรือน้อยกว่า 1 กิโลเมตรนั้นสมเหตุสมผล เพราะเป็นปริมาณทางกายภาพที่มีมิติเดียวกัน แม้ว่าหน่วยจะต่างกันก็ตาม ในทางกลับกัน หากวัตถุเคลื่อนที่ได้ 100 กิโลเมตรใน 2 ชั่วโมง เราอาจหารเวลาและสรุปได้ว่าความเร็วเฉลี่ยของวัตถุคือ 50 กิโลเมตรต่อชั่วโมง

กฎนี้บ่งชี้ว่า ในนิพจน์ ที่มีความหมายทางกายภาพ นั้น เฉพาะปริมาณที่มีมิติเดียวกันเท่านั้นที่สามารถบวก ลบ หรือเปรียบเทียบกันได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าm _man , m _ratและL _manแทนมวลของคนคนหนึ่ง มวลของหนู และความยาวของคนคนนั้น ตามลำดับ นิพจน์ที่มีมิติเดียวกันm _man + m _rat นั้น มีความหมาย แต่นิพจน์ที่มีมิติต่างกันm _man + L _{man นั้น}ไม่มีความหมาย อย่างไรก็ตามm _man / L ² _{man นั้น}ใช้ได้ ดังนั้น การวิเคราะห์มิติสามารถใช้เป็นวิธีตรวจสอบความถูกต้องของสมการทางฟิสิกส์ได้ กล่าวคือ ทั้งสองข้างของสมการใดๆ ต้องสามารถเปรียบเทียบกันได้ หรือมีมิติเดียวกัน

แม้ว่าปริมาณทางกายภาพสองปริมาณจะมีมิติที่เหมือนกัน แต่การเปรียบเทียบหรือการบวกอาจไม่มีความหมาย ตัวอย่างเช่น แม้ว่าแรงบิดและพลังงานจะมีมิติเดียวกันคือT ⁻² L ² M แต่ โดยพื้นฐานแล้วเป็นปริมาณทางกายภาพที่แตกต่างกัน

ในการเปรียบเทียบ บวก หรือลบปริมาณที่มีมิติเดียวกันแต่มีหน่วยต่างกัน ขั้นตอนมาตรฐานคือการแปลงปริมาณเหล่านั้นให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อน ตัวอย่างเช่น ในการเปรียบเทียบ 32 เมตรกับ 35 หลา ให้ใช้1 หลา = 0.9144 เมตรเพื่อแปลง 35 หลาเป็น 32.004 เมตร

หลักการที่เกี่ยวข้องคือ กฎทางฟิสิกส์ใดๆ ที่อธิบายโลกแห่งความเป็นจริงได้อย่างแม่นยำจะต้องเป็นอิสระจากหน่วยที่ใช้ในการวัดตัวแปรทางฟิสิกส์^{[ 8 ]}ตัวอย่างเช่นกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจะต้องเป็นจริงไม่ว่าระยะทางจะวัดเป็นไมล์หรือกิโลเมตร หลักการนี้ก่อให้เกิดรูปแบบที่ว่า ตัวแปลงระหว่างสองหน่วยที่วัดมิติเดียวกันจะต้องคูณด้วยค่าคงที่อย่างง่าย นอกจากนี้ยังรับประกันความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าอาคารสองหลังมีความสูงเท่ากันในหน่วยฟุต อาคารทั้งสองหลังก็ต้องมีความสูงเท่ากันในหน่วยเมตร

ตัวอย่างเช่น หากกำลังคำนวณความเร็วหน่วยจะต้องรวมกันเป็น L/T เสมอ หากกำลังคำนวณพลังงานหน่วยจะต้องรวมกันเป็น ML²/T² เสมอ^{เป็นต้น}ตัวอย่าง^เช่นสูตรต่อไปนี้อาจเป็นนิพจน์ที่ถูกต้องสำหรับพลังงานบางประเภท:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2};~~E=mc^{2};~~E=pv;~~E=hc/\lambda }$

ถ้าmคือมวลvและcคือความเร็วpคือโมเมนตัมhคือค่าคงที่ของพลังค์และλ คือความยาว ในทางกลับกัน ถ้าหน่วยทางด้านขวามือไม่รวมกันเป็น [มวล][ความยาว] ^² / [เวลา] ^²ก็จะไม่ใช่การแสดงออกที่ถูกต้องสำหรับพลังงาน บาง อย่าง

^{การเป็นเนื้อเดียวกันไม่ได้หมายความ ว่า}สมการนั้นจะเป็นจริงเสมอไป เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงปัจจัยเชิงตัวเลข ตัวอย่างเช่นE = mv²อาจจะเป็นหรืออาจจะไม่ใช่สูตรที่ถูกต้องสำหรับพลังงานของอนุภาคที่มีมวลmเคลื่อนที่ด้วยความเร็วvและเราไม่สามารถรู้ได้ว่าhc / λ ควรหารหรือคูณด้วย2π

ในการวิเคราะห์มิติ ตัวหารที่แปลงหน่วยวัดหนึ่งไปเป็นอีกหน่วยหนึ่งโดยไม่เปลี่ยนแปลงปริมาณ เรียกว่าตัวประกอบการแปลงตัวอย่างเช่น กิโลปาสคาล (kPa) และ บาร์ (bar) ต่างก็เป็นหน่วยของความดัน และ100 kPa = 1 barกฎของพีชคณิตอนุญาตให้ทั้งสองข้างของสมการหารด้วยนิพจน์เดียวกันได้ ดังนั้นจึงเท่ากับ100 kPa / 1 bar = 1เนื่องจากปริมาณใดๆ ก็สามารถคูณด้วย 1 ได้โดยไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นนิพจน์ " 100 kPa / 1 bar " จึงสามารถใช้แปลงจาก bar เป็น kPa ได้โดยการคูณกับปริมาณที่จะแปลง รวมทั้งหน่วยด้วย ตัวอย่างเช่น5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPaเพราะ5 × 100 / 1 = 500และ bar/bar ตัดกันได้ ดังนั้น5 bar = 500 kPa

การวิเคราะห์มิติส่วนใหญ่มักใช้ในวิชาฟิสิกส์และเคมี รวมถึงคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง แต่ก็มีการประยุกต์ใช้ในสาขาอื่นๆ ด้วยเช่นกัน

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์มิติอย่างง่ายในคณิตศาสตร์ คือ การคำนวณปริมาตรของทรงกลมnมิติ (ทรงกลมตันในnมิติ) หรือพื้นที่ผิวของทรง กลม nมิติ : เนื่องจากเป็น รูปทรง nมิติ ปริมาตรจึงแปรผันตามx ⁿในขณะที่พื้นที่ผิวเป็น รูปทรง ( n − 1)มิติ จึงแปรผันตามx ^{n − 1}ดังนั้น ปริมาตรของทรงกลม nมิติ ในรูปของรัศมีคือC _n r ⁿสำหรับค่าคงที่C _n บาง ค่า การหาค่าคงที่นั้นต้องใช้คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่า แต่รูปแบบสามารถอนุมานและตรวจสอบได้โดยใช้การวิเคราะห์มิติเพียงอย่างเดียว

ในด้านการเงิน เศรษฐศาสตร์ และการบัญชี การวิเคราะห์มิติโดยทั่วไปมักถูกกล่าวถึงในแง่ของการแยกแยะระหว่างปริมาณคงเหลือและกระแสเงินสด โดยทั่วไปแล้ว การวิเคราะห์มิติจะถูกนำมาใช้ในการตีความ อัตราส่วนทางการเงินอัตราส่วนทางเศรษฐศาสตร์ และอัตราส่วนทางการบัญชี ต่างๆ

• ตัวอย่างเช่นอัตราส่วนราคาต่อกำไร (P/E ratio)มีมิติของเวลา (หน่วย: ปี) และสามารถตีความได้ว่า "จำนวนปีของกำไรที่จะได้รับคืนเท่ากับราคาที่จ่ายไป"
• ในทางเศรษฐศาสตร์อัตราส่วนหนี้ต่อ GDPก็มีหน่วยเป็นปีเช่นกัน (หนี้มีหน่วยเป็นสกุลเงิน ส่วน GDP มีหน่วยเป็นสกุลเงินต่อปี)
• อัตราความเร็วของเงินมีหน่วยเป็น 1/ปี (GDP/ปริมาณเงินมีหน่วยเป็นสกุลเงิน/ปี ต่อสกุลเงิน): คือความถี่ที่สกุลเงินหนึ่งหน่วยหมุนเวียนต่อปี
• อัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องรายปีและอัตราดอกเบี้ยแบบง่ายมักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ (ปริมาณไร้มิติ) ในขณะที่เวลาแสดงเป็นปริมาณไร้มิติที่ประกอบด้วยจำนวนปี อย่างไรก็ตาม หากเวลามีปีเป็นหน่วยวัด มิติของอัตราดอกเบี้ยจะเป็น 1/ปี แน่นอนว่าไม่มีอะไรพิเศษ (นอกเหนือจากธรรมเนียมปฏิบัติทั่วไป) เกี่ยวกับการใช้ปีเป็นหน่วยเวลา: สามารถใช้หน่วยเวลาอื่นใดก็ได้ นอกจากนี้ หากอัตราดอกเบี้ยและเวลามีหน่วยวัด การใช้หน่วยที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละอย่างก็ไม่ใช่ปัญหา ในทางตรงกันข้าม อัตราดอกเบี้ยและเวลาจำเป็นต้องอ้างอิงถึงช่วงเวลาเดียวกันหากเป็นปริมาณไร้มิติ (โปรดทราบว่าอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงสามารถกำหนดได้เฉพาะในรูปของปริมาณไร้มิติเท่านั้น)
• ในการวิเคราะห์ทางการเงินระยะเวลาของพันธบัตรสามารถกำหนดได้เป็น( dV / dr )/ Vโดยที่Vคือมูลค่าของพันธบัตร (หรือพอร์ตโฟลิโอ) rคืออัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง และdV / drคืออนุพันธ์ จากที่กล่าวมาข้างต้น มิติของrคือ 1/เวลา ดังนั้น มิติของระยะเวลาจึงเป็นเวลา (โดยปกติแสดงเป็นปี) เนื่องจากdrอยู่ใน "ตัวส่วน" ของอนุพันธ์

ในกลศาสตร์ของไหลการวิเคราะห์มิติจะดำเนินการเพื่อให้ได้เทอมหรือกลุ่ม pi ที่ไม่มีมิติ ตามหลักการของการวิเคราะห์มิติ ต้นแบบใดๆ ก็สามารถอธิบายได้ด้วยชุดของเทอมหรือกลุ่มเหล่านี้ที่อธิบายพฤติกรรมของระบบ การใช้เทอมหรือกลุ่ม pi ที่เหมาะสม ทำให้สามารถพัฒนาชุดเทอม pi ที่คล้ายกันสำหรับแบบจำลองที่มีความสัมพันธ์เชิงมิติเดียวกันได้^{[ 9 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง เทอม pi ช่วยให้สามารถพัฒนาแบบจำลองที่แสดงถึงต้นแบบที่กำหนดได้ง่ายขึ้น กลุ่มที่ไม่มีมิติที่ใช้กันทั่วไปในกลศาสตร์ของไหล ได้แก่:

• เลขเรย์โนลด์ ( Re ) ซึ่งโดยทั่วไปมีความสำคัญในปัญหาเกี่ยวกับของไหลทุกประเภท:$${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.}$$
• เลขฟรูด ( Fr ) ใช้ในการจำลองการไหลที่มีพื้นผิวอิสระ:$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$$
• เลขออยเลอร์ ( Eu ) ใช้ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความดัน:$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}$$
• เลขมัค ( Ma ) มีความสำคัญในกระแสลมความเร็วสูงที่ความเร็วเข้าใกล้หรือเกินความเร็วเสียงในบริเวณนั้นโดยที่cคือความเร็วเสียงในบริเวณนั้น$${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$$

ต้นกำเนิดของการวิเคราะห์มิติเป็นที่ถกเถียงกันในหมู่นักประวัติศาสตร์^{[ 10 ] [ 11 ]}การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์มิติเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกได้รับการยกย่องให้แก่François DavietนักศึกษาของJoseph-Louis Lagrangeในบทความปี 1799 ที่สถาบันวิทยาศาสตร์ตูริน^{[ 11 ]}

สิ่งนี้นำไปสู่ข้อสรุปว่ากฎที่มีความหมายจะต้องเป็นสมการเอกพันธุ์ในหน่วยการวัดต่างๆ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ได้รับการกำหนดเป็นทางการในภายหลังในทฤษฎีบท Buckingham π Simeon Poissonยังได้จัดการกับปัญหาเดียวกันของกฎสี่เหลี่ยมด้านขนานโดย Daviet ในตำราของเขาในปี 1811 และ 1833 (เล่มที่ 1 หน้า 39) ^{[ 12 ]}ในฉบับพิมพ์ครั้งที่สองของปี 1833 Poisson ได้แนะนำคำว่ามิติ อย่างชัดเจน แทนที่จะใช้ความเป็นเอกพันธุ์ของ Daviet

ในปี พ.ศ. 2365 โจเซฟ ฟูริเยร์ นักวิทยาศาสตร์คนสำคัญของนโปเลียน ได้มีส่วนสำคัญที่ได้รับการยอมรับเป็นครั้งแรก^{[ 13 ]}โดยอิงจากแนวคิดที่ว่ากฎทางฟิสิกส์เช่นF = maควรเป็นอิสระจากหน่วยที่ใช้ในการวัดตัวแปรทางฟิสิกส์

เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์และเฟลมมิง เจนกินมีบทบาทสำคัญในการสร้างการใช้งานการวิเคราะห์มิติสมัยใหม่ โดยแยกแยะมวล ความยาว และเวลาเป็นหน่วยพื้นฐาน ในขณะที่อ้างถึงหน่วยอื่นๆ ว่าเป็นหน่วยที่ได้มา^{[ 14 ] [ 15 ]}แม้ว่าแม็กซ์เวลล์จะกำหนดความยาว เวลา และมวลให้เป็น "หน่วยพื้นฐานสามหน่วย" แต่เขายังตั้งข้อสังเกตอีกว่ามวลโน้มถ่วงสามารถหาได้จากความยาวและเวลาโดยสมมติรูปแบบของกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันซึ่งค่าคงที่โน้มถ่วงGถือเป็นหนึ่งหน่วยจึงกำหนดM = T ⁻² L ^{3 [ 16 ]}โดยการสมมติรูปแบบของกฎของคูลอมบ์ซึ่ง^ค่าคงที่คูลอมบ์k _eถือเป็นหนึ่ง แม็กซ์เวลล์จึงกำหนดว่ามิติของหน่วยประจุไฟฟ้าสถิตคือQ = T ⁻¹ L ^3/2 M ^1/2 [ ^{17 ]}ซึ่งหลังจากแทนสม การ M = T ⁻² L ³ ของเขา สำหรับมวลแล้ว ส่งผลให้ประจุมีมิติเดียวกับมวล กล่าวคือQ = T ⁻² L ³

การวิเคราะห์มิติยังใช้เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์เฉพาะที่ต้องการทำความเข้าใจและอธิบาย มีการใช้วิธีนี้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2415 โดยลอร์ดเรย์ลีย์ซึ่งพยายามทำความเข้าใจว่าทำไมท้องฟ้าจึงเป็นสีฟ้า^{[ 18 ]} เรย์ลีย์ได้ตีพิมพ์เทคนิคนี้เป็นครั้งแรกในหนังสือThe Theory of Sound ในปี พ.ศ. 2420 ^{[ 19 ]}

ความหมายดั้งเดิมของคำว่ามิติในTheorie de la Chaleur ของ Fourier คือค่าตัวเลขของเลขชี้กำลังของหน่วยพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น ความเร่งถือว่ามีมิติ 1 เมื่อเทียบกับหน่วยความยาว และมีมิติ −2 เมื่อเทียบกับหน่วยเวลา^{[ 20 ]} Maxwell ได้เปลี่ยนแปลงสิ่งนี้เล็กน้อย โดยกล่าวว่ามิติของความเร่งคือ T ⁻² L แทนที่จะเป็นเพียงเลขชี้กำลัง^{[ 21 ]}

คาบการแกว่งTของมวลmที่ติดอยู่กับสปริงเชิงเส้นในอุดมคติที่มีค่าคงที่สปริงkซึ่งแขวนอยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วงg คืออะไร ? คาบนั้นคือคำตอบสำหรับTของสมการไร้มิติบางสมการในตัวแปรT , m , kและgปริมาณทั้งสี่มีมิติดังต่อไปนี้: T (T); m (M); k (M/T² ⁾ ; และg (L/T² ⁾ จากสิ่งเหล่านี้ เราสามารถสร้างผลคูณไร้มิติของกำลังของตัวแปรที่เราเลือกได้เพียงหนึ่งเดียว G₁ = T²k ^/ m ₍ T² · M / T² / ^M = ¹ )และการแทน_ค่าG₁ = Cสำหรับค่าคงที่ไร้มิติCบางค่า จะได้สมการไร้มิติที่ต้องการ ผลคูณไร้มิติของกำลังของตัวแปรบางครั้งเรียกว่ากลุ่มตัวแปรไร้มิติ ในที่นี้คำว่า "กลุ่ม" หมายถึง "การรวบรวม" มากกว่ากลุ่ม ทางคณิตศาสตร์ พวกมันมักถูกเรียกว่าจำนวนไร้มิติด้วยเช่นกัน

ตัวแปรgไม่ปรากฏในกลุ่ม เห็นได้ชัดว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างผลคูณกำลังไร้มิติที่รวมgกับk , mและT เข้าด้วยกัน เพราะgเป็นปริมาณเดียวที่เกี่ยวข้องกับมิติ L ซึ่งหมายความว่า ในปัญหานี้gไม่มีความสำคัญ การวิเคราะห์มิติบางครั้งอาจให้ข้อสรุปที่ชัดเจนเกี่ยวกับความไม่สำคัญของปริมาณบางอย่างในปัญหา หรือความจำเป็นสำหรับพารามิเตอร์เพิ่มเติม หากเราเลือกตัวแปรเพียงพอที่จะอธิบายปัญหาได้อย่างถูกต้อง จากข้อโต้แย้งนี้เราสามารถสรุปได้ว่า คาบของมวลบนสปริงไม่ขึ้นอยู่กับgกล่าวคือ มันเหมือนกันทั้งบนโลกและบนดวงจันทร์ สมการที่แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของผลคูณกำลังสำหรับปัญหาของเราสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่เทียบเท่ากันอย่างสมบูรณ์: ⁠ ⁠${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$สำหรับค่าคงที่ไร้มิติκ บางค่า (เท่ากับจากสมการไร้มิติเดิม) ${\displaystyle {\sqrt {C}}}$

เมื่อเผชิญกับกรณีที่การวิเคราะห์มิติปฏิเสธตัวแปร ( gในที่นี้) ซึ่งโดยสัญชาตญาณแล้วคาดว่าจะเป็นส่วนหนึ่งของคำอธิบายทางกายภาพของสถานการณ์นั้น อีกความเป็นไปได้หนึ่งคือ ตัวแปรที่ถูกปฏิเสธนั้นมีความเกี่ยวข้องจริง แต่มีตัวแปรอื่นที่เกี่ยวข้องถูกละเลยไป ซึ่งอาจรวมกับตัวแปรที่ถูกปฏิเสธเพื่อสร้างปริมาณไร้มิติ อย่างไรก็ตาม นั่นไม่ใช่กรณีในที่นี้

เมื่อการวิเคราะห์มิติให้ผลลัพธ์เป็นกลุ่มไร้มิติเพียงกลุ่มเดียว ดังเช่นในกรณีนี้ จะไม่มีฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และจะกล่าวได้ว่าคำตอบนั้น "สมบูรณ์" แม้ว่าอาจยังมีค่าคงที่ไร้มิติที่ไม่ทราบค่าอยู่ เช่นκก็ตาม

พิจารณากรณีของลวดที่สั่นยาวℓ (L) ด้วยแอมพลิจูดA (L) ลวดมีความหนาแน่นเชิงเส้นρ (M/L) และอยู่ภายใต้_แรงดึงs (LM/T² ⁾และเราต้องการทราบพลังงานE (L²M ^/ T² ⁾ _ในลวด ให้π₁และπ₂เป็นผลคูณไร้มิติของกำลังของตัวแปรที่เลือกไว้ โดยกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}$

ความหนาแน่นเชิงเส้นของลวดไม่เกี่ยวข้อง กลุ่มทั้งสองที่พบสามารถรวมกันให้อยู่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากันได้ในรูปสมการ

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}$

โดยที่Fเป็นฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า หรือเทียบเท่ากับ

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}$

โดยที่fคือฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าอื่น ในที่นี้ ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าหมายความว่าคำตอบของเรายังไม่สมบูรณ์ แต่การวิเคราะห์มิติได้ให้บางสิ่งที่อาจไม่ชัดเจนมาก่อน นั่นคือ พลังงานแปรผันตรงกับกำลังแรกของแรงตึง หากไม่มีการวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์เพิ่มเติม เราอาจดำเนินการทดลองเพื่อค้นหารูปแบบของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า  fแต่การทดลองของเราจะง่ายกว่าในกรณีที่ไม่มีการวิเคราะห์มิติ เราจะไม่ทำการทดลองใดๆ เพื่อตรวจสอบว่าพลังงานแปรผันตรงกับแรงตึงหรือไม่ หรือบางทีเราอาจเดาว่าพลังงานแปรผันตรงกับ  ℓและจึงอนุมานได้ว่าE = ℓsพลังของการวิเคราะห์มิติในฐานะเครื่องมือช่วยในการทดลองและการสร้างสมมติฐานจึงปรากฏชัดเจน

พลังของการวิเคราะห์มิติจะปรากฏชัดเจนเมื่อนำไปใช้กับสถานการณ์ที่ซับซ้อนกว่าที่กล่าวมาข้างต้น ชุดของตัวแปรที่เกี่ยวข้องไม่ชัดเจน และสมการพื้นฐานซับซ้อนอย่างเหลือเชื่อ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาก้อนหินเล็กๆ ที่วางอยู่บนพื้นแม่น้ำ หากแม่น้ำไหลเร็วพอ มันจะยกก้อนหินขึ้นและไหลไปกับน้ำ เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นที่ความเร็ววิกฤตเท่าใด การหาค่าตัวแปรที่คาดเดาไว้ไม่ใช่เรื่องง่ายเหมือนก่อน แต่การวิเคราะห์มิติสามารถเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการทำความเข้าใจปัญหาเช่นนี้ และมักเป็นเครื่องมือแรกสุดที่นำไปใช้กับปัญหาที่ซับซ้อนซึ่งสมการและข้อจำกัดพื้นฐานนั้นเข้าใจได้ยาก ในกรณีเช่นนี้ คำตอบอาจขึ้นอยู่กับตัวเลขไร้มิติเช่นเลขเรย์โนลด์ซึ่งสามารถตีความได้โดยการวิเคราะห์มิติ

พิจารณากรณีของแผ่นดิสก์แข็งบางที่มีด้านขนานกันและหมุนได้ โดยมีความหนาตามแนวแกนt (L) และรัศมีR (L) แผ่นดิสก์มีความหนาแน่นρ (M/L³ ⁾หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมω (T⁻¹ ⁾และทำให้เกิดความเค้น^S ( T⁻²L⁻¹M ⁾ ในวัสดุ มีวิธีแก้ปัญหาเชิงทฤษฎีแบบยืดหยุ่นเชิงเส้นที่ Lame ให้ไว้สำหรับปัญหานี้ เมื่อแผ่นดิสก์บางเมื่อเทียบกับรัศมี ด้านของแผ่นดิสก์สามารถเคลื่อนที่ตามแนวแกน ได้อย่างอิสระ และสามารถถือว่าความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างของความเค้นระนาบนั้นใช้ได้ เมื่อแผ่นดิสก์หนาขึ้นเมื่อเทียบกับรัศมี วิธีแก้ปัญหาความเค้นระนาบจะใช้ไม่ได้ หากแผ่นดิสก์ถูกยึดตามแนวแกนบนด้านอิสระของมัน จะเกิดสภาวะความเครียดระนาบขึ้น อย่างไรก็ตาม หากไม่ใช่เช่นนั้น สภาวะของความเค้นอาจถูกกำหนดได้โดยการพิจารณาความยืดหยุ่นสามมิติเท่านั้น และไม่มีวิธีแก้ปัญหาเชิงทฤษฎีที่ทราบสำหรับกรณีนี้ ดังนั้น วิศวกรอาจสนใจที่จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรทั้งห้า การวิเคราะห์มิติสำหรับกรณีนี้จะนำไปสู่กลุ่มไร้มิติ ( 5 − 3 = 2 ) กลุ่มดังต่อไปนี้:

ความต้องการ/กำลังการผลิต = ρR ² ω ² / S

ความหนา/รัศมี หรือ อัตราส่วนด้าน = t / R

จากการใช้การทดลองเชิงตัวเลข เช่นวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์จะสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มไร้มิติทั้งสองกลุ่มได้ดังแสดงในรูป เนื่องจากปัญหานี้เกี่ยวข้องกับกลุ่มไร้มิติเพียงสองกลุ่มเท่านั้น จึงสามารถแสดงภาพรวมทั้งหมดได้ในแผนภูมิเดียว และสามารถใช้เป็นแผนภูมิการออกแบบ/ประเมินสำหรับแผ่นดิสก์หมุนได้^{[ 22 ]}

มิติที่สามารถสร้างขึ้นจากชุดของมิติทางกายภาพพื้นฐานที่กำหนด เช่น T, L และ M จะก่อให้เกิดกลุ่มอาเบเลียน : เอกลักษณ์เขียนได้เป็น 1; L ⁰ = 1และตัวผกผันของ L คือ 1/L หรือ L ⁻¹ L ที่ยกกำลังจำนวนเต็มใดๆpเป็นสมาชิกของกลุ่ม โดยมีตัวผกผันเป็น L ^{− p}หรือ 1/L ^pการดำเนินการของกลุ่มคือการคูณ โดยมีกฎปกติสำหรับการจัดการเลขยกกำลัง ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ) ในทางกายภาพ 1/L สามารถตีความได้ว่าเป็นส่วนกลับของความยาวและ 1/T เป็นส่วนกลับของเวลา (ดูส่วนกลับของวินาที )

กลุ่มอาเบเลียนเทียบเท่ากับโมดูลเหนือจำนวนเต็ม โดยมีสัญลักษณ์มิติT ⁱ L ^j M ^kที่สอดคล้องกับทูเปิล( i , j , k )เมื่อปริมาณที่วัดได้ทางกายภาพ (ไม่ว่าจะมีมิติเหมือนกันหรือต่างกัน) ถูกคูณหรือหารด้วยปริมาณอื่น หน่วยมิติของปริมาณเหล่านั้นก็จะถูกคูณหรือหารด้วยเช่นกัน ซึ่งสอดคล้องกับการบวกหรือการลบในโมดูล เมื่อปริมาณที่วัดได้ถูกยกกำลังด้วยจำนวนเต็ม สัญลักษณ์มิติที่แนบมากับปริมาณเหล่านั้นก็จะถูกยกกำลังด้วยเช่นกัน ซึ่งสอดคล้องกับการคูณด้วยสเกลาร์ในโมดูล

ฐานสำหรับโมดูลของสัญลักษณ์มิติดังกล่าวเรียกว่าเซตของปริมาณฐานและเวกเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดเรียกว่าหน่วยอนุพันธ์ เช่นเดียวกับในโมดูลใดๆ เราสามารถเลือกฐาน ที่แตกต่างกันได้ ซึ่งจะทำให้ได้ระบบหน่วยที่แตกต่างกัน (เช่นการเลือกว่าหน่วยสำหรับประจุจะมาจากหน่วยสำหรับกระแสไฟฟ้า หรือในทางกลับกัน)

เอกลักษณ์ของกลุ่ม ซึ่งเป็นมิติของปริมาณไร้มิติ สอดคล้องกับจุดกำเนิดในโมดูลนี้(0, 0, 0 )

ในบางกรณี เราสามารถกำหนดมิติเศษส่วนได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยการกำหนดกำลังเศษส่วนของปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติอย่างเป็นทางการ เช่นV ^{L 1/2 [ 23} ] อย่างไรก็ตาม เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้ ^{กำลัง}เศษส่วนของหน่วยตามอำเภอใจ เนื่องจากข้อจำกัดทางทฤษฎีการแทน^{[ 24 ]}

เราสามารถทำงานกับปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติที่กำหนดโดยไม่จำเป็นต้องใช้หน่วย (ที่สอดคล้องกับระบบพิกัดของปริภูมิเวกเตอร์) ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดมิติMและLเราจะมีปริภูมิเวกเตอร์V ^MและV ^LและสามารถกำหนดV ^ML  := V ^M ⊗ V ^Lเป็นผลคูณเทนเซอร์ได้ ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิคู่สามารถตีความได้ว่ามีมิติ "ลบ" ^{[ 25 ]}ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าภายใต้การจับคู่ตามธรรมชาติระหว่างปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิคู่ มิติจะหักล้างกัน เหลือเพียงสเกลาร์ ที่ไม่มีมิติ

เซตของหน่วยของปริมาณทางกายภาพที่เกี่ยวข้องในปัญหาหนึ่งๆ สอดคล้องกับเซตของเวกเตอร์ (หรือเมทริกซ์) nullityอธิบายถึงจำนวนวิธี (เช่นm ) ที่เวกเตอร์เหล่านี้สามารถรวมกันเพื่อสร้างเวกเตอร์ศูนย์ได้ ซึ่งสอดคล้องกับการสร้าง (จากค่าที่วัดได้) ปริมาณไร้มิติจำนวนหนึ่ง{π ₁ , ..., π _m } (อันที่จริง วิธีเหล่านี้ครอบคลุมปริภูมิย่อยว่างของปริภูมิอื่นที่แตกต่างกันอย่างสมบูรณ์ นั่นคือปริภูมิของกำลังของค่าที่วัดได้) ทุกวิธีที่เป็นไปได้ในการคูณ (และยกกำลัง ) ปริมาณที่วัดได้เข้าด้วยกันเพื่อสร้างบางสิ่งที่มีหน่วยเดียวกันกับปริมาณที่ได้มาXสามารถแสดงได้ในรูปแบบทั่วไป

${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}$

ด้วยเหตุนี้ สมการ ที่สอดคล้องกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับฟิสิกส์ของระบบจึงสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

${\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}$

การทราบข้อจำกัดนี้สามารถเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการได้รับข้อมูลเชิงลึกใหม่ ๆ เกี่ยวกับระบบได้

มิติของปริมาณทางกายภาพที่น่าสนใจในกลศาสตร์สามารถแสดงได้ในรูปของมิติพื้นฐาน T, L และ M ซึ่งประกอบกันเป็นปริภูมิเวกเตอร์ 3 มิติ นี่ไม่ใช่ตัวเลือกมิติพื้นฐานที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียว แต่เป็นตัวเลือกที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด ตัวอย่างเช่น เราอาจเลือกแรง ความยาว และมวลเป็นมิติพื้นฐาน (ดังที่บางคนได้ทำ) โดยมีมิติที่เกี่ยวข้องคือ F, L, M ซึ่งสอดคล้องกับฐานที่แตกต่างกัน และเราสามารถแปลงระหว่างการแสดงเหล่านี้ได้โดยการเปลี่ยนฐานการเลือกชุดมิติพื้นฐานจึงเป็นเพียงข้อตกลงร่วมกัน โดยมีข้อดีคือช่วยเพิ่มประโยชน์ใช้สอยและความคุ้นเคย การเลือกมิติพื้นฐานไม่ได้เป็นไปโดยพลการทั้งหมด เพราะมิติเหล่านั้นต้องประกอบกันเป็นฐานกล่าวคือ ต้องครอบคลุมปริภูมิ และต้องเป็นอิสระเชิงเส้น

ตัวอย่างเช่น F, L, M ก่อให้เกิดชุดของมิติพื้นฐาน เนื่องจากเป็นฐานที่เทียบเท่ากับ T, L, M โดยที่ F สามารถแสดงได้เป็น [F = LM/T ² ], L, M ในขณะที่ T สามารถแสดงได้เป็น [T = (LM/F) ^1/2 ], L, M

ในทางกลับกัน ความยาว ความเร็ว และเวลา (T, L, V) ไม่ได้เป็นชุดมิติพื้นฐานสำหรับกลศาสตร์ ด้วยเหตุผลสองประการ:

• ไม่มีทางที่จะได้มวล หรือสิ่งใดก็ตามที่ได้มาจากมวล เช่น แรง โดยปราศจากการนำมิติพื้นฐานอื่นมาใช้ (ดังนั้น พวกมันจึงไม่สามารถครอบคลุมพื้นที่ได้ )
• ความเร็ว ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปของความยาวและเวลา ( V = L/T ) นั้น เป็นสิ่งที่ซ้ำซ้อน (เซตนี้ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น )

ขึ้นอยู่กับสาขาฟิสิกส์ อาจเป็นประโยชน์ที่จะเลือกใช้ชุดสัญลักษณ์มิติแบบขยายชุดใดชุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ในแม่เหล็กไฟฟ้า อาจเป็นประโยชน์ที่จะใช้มิติ T, L, M และ Q โดยที่ Q แทนมิติของประจุไฟฟ้าในอุณหพลศาสตร์ชุดมิติพื้นฐานมักจะขยายออกไปเพื่อรวมมิติของอุณหภูมิ Θ ในเคมีปริมาณของสาร (จำนวนโมเลกุลหารด้วยค่าคงที่ของอะโวกาโด ≈6.02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ) ถูกกำหนดให้เป็นมิติพื้นฐาน N ด้วยเช่นกัน ในปฏิสัมพันธ์ของพลาสมาเชิงสัมพัทธภาพกับพัลส์เลเซอร์ที่รุนแรงพารามิเตอร์ความคล้ายคลึงเชิงสัมพัทธภาพ ไร้มิติ ซึ่งเชื่อมโยงกับคุณสมบัติสมมาตรของสมการ Vlasov แบบไร้การชนกัน จะถูกสร้างขึ้นจากความหนาแน่นของพลาสมา อิเล็กตรอน และความหนาแน่นวิกฤต นอกเหนือจากศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้า การเลือกมิติหรือแม้แต่จำนวนมิติที่จะใช้ในสาขาฟิสิกส์ต่างๆ นั้นค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจ แต่ความสอดคล้องในการใช้งานและความง่ายในการสื่อสารเป็นคุณลักษณะทั่วไปและจำเป็น

ทฤษฎีบทของ Bridgman จำกัดประเภทของฟังก์ชันที่สามารถใช้เพื่อกำหนดปริมาณทางกายภาพจากปริมาณทั่วไป (ที่ประกอบขึ้นจากมิติ) ให้เหลือเพียงผลคูณของกำลังของปริมาณเท่านั้น เว้นแต่ว่าปริมาณอิสระบางส่วนจะถูกรวมเข้าด้วยกันทางพีชคณิตเพื่อให้ได้กลุ่มที่ไม่มีมิติ ซึ่งฟังก์ชันของกลุ่มเหล่านั้นจะถูกจัดกลุ่มเข้าด้วยกันในตัวคูณเชิงตัวเลขที่ไม่มีมิติ^{[ 26 ] [ 27 ]} ซึ่งไม่รวมพหุนามที่มีมากกว่าหนึ่งพจน์หรือฟังก์ชันอดิศัยที่ไม่มีรูปแบบดังกล่าว

อาร์กิวเมนต์ เชิงสเกลาร์ของฟังก์ชันอดิศัยเช่น ฟังก์ชัน เลขชี้กำลังฟังก์ชันตรีโกณมิติและ ฟังก์ชัน ลอการิทึมหรือของพหุนามเอกพันธุ์ต้องเป็นปริมาณไร้มิติ (หมายเหตุ: ข้อกำหนดนี้ผ่อนปรนลงบ้างในการวิเคราะห์เชิงทิศทางของเซียโนที่อธิบายไว้ด้านล่าง ซึ่งกำลังสองของปริมาณที่มีมิติบางอย่างเป็นปริมาณไร้มิติ)

ในขณะที่เอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เกี่ยวกับจำนวนไร้มิติสามารถแปลงเป็นปริมาณที่มีมิติได้อย่างตรงไปตรงมา แต่ต้องระมัดระวังกับลอการิทึมของอัตราส่วน: เอกลักษณ์log( a / b ) = log a − log bโดยที่ลอการิทึมอยู่ในฐานใดก็ได้ จะใช้ได้กับจำนวนไร้มิติaและbแต่จะ ใช้ ไม่ได้หากaและbเป็นจำนวนที่มีมิติ เพราะในกรณีนี้ด้านซ้ายมือจะกำหนดได้ดี แต่ด้านขวามือจะกำหนดไม่ได้^{[ 28 ]}

ในทำนองเดียวกัน ในขณะที่เราสามารถประเมินค่าเอกนาม ( x ⁿ ) ของปริมาณที่มีมิติได้ แต่เราไม่สามารถประเมินค่าพหุนามที่มีดีกรีผสมที่มีสัมประสิทธิ์ไร้มิติบนปริมาณที่มีมิติได้: สำหรับx ²นิพจน์(3 m) ² = 9 m ²มีความหมาย (ในฐานะพื้นที่) ในขณะที่สำหรับx ² + xนิพจน์(3 m) ² + 3 m = 9 m ² + 3 mไม่มีความหมาย

อย่างไรก็ตาม พหุนามที่มีดีกรีคละก็อาจมีความหมายได้ หากสัมประสิทธิ์ถูกเลือกอย่างเหมาะสมโดยเป็นปริมาณทางกายภาพที่ไม่ใช่ค่าไร้มิติ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.}$

นี่คือความสูงที่วัตถุขึ้นไปถึงในเวลา  tถ้าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคือ 9.8 เมตรต่อวินาทีต่อวินาทีและความเร็วเริ่มต้นในการขึ้นไปคือ 500 เมตรต่อวินาทีไม่จำเป็นต้องให้tอยู่ในหน่วยวินาทีตัวอย่างเช่น สมมติว่าt  = 0.01 นาที พจน์แรกจะเป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}}$

ค่าของปริมาณทางกายภาพที่มีมิติZเขียนเป็นผลคูณของหน่วย [ Z ] ภายในมิติและค่าตัวเลขที่ไม่มีมิติหรือปัจจัยตัวเลขn ^{[ 29 ]}

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

เมื่อบวก ลบ หรือเปรียบเทียบปริมาณที่มีมิติเท่ากัน การแสดงปริมาณเหล่านั้นในหน่วยเดียวกันจะสะดวกกว่า เพื่อให้สามารถบวกหรือลบค่าตัวเลขของปริมาณเหล่านั้นได้โดยตรง แต่ในทางทฤษฎีแล้ว การบวกปริมาณที่มีมิติเดียวกันที่แสดงในหน่วยต่างกันนั้นไม่มีปัญหา ตัวอย่างเช่น 1 เมตร บวกกับ 1 ฟุต จะได้ความยาว แต่เราไม่สามารถหาความยาวนั้นได้โดยการบวก 1 กับ 1 โดยตรง จำเป็นต้องใช้ ตัวแปลงหน่วยซึ่งเป็นอัตราส่วนของปริมาณที่มีมิติเท่ากันและเท่ากับหนึ่งซึ่งไม่มีมิติ

${\displaystyle \mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m} }$เหมือนกับ${\displaystyle 1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.}$

ค่าตัวประกอบ 0.3048 เมตร/ฟุต นั้นเหมือนกับค่าไร้หน่วย 1 ดังนั้นการคูณด้วยตัวประกอบการแปลงนี้จึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไร จากนั้นเมื่อบวกปริมาณสองปริมาณที่มีมิติเดียวกัน แต่แสดงในหน่วยที่ต่างกัน จะใช้ตัวประกอบการแปลงที่เหมาะสม ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือค่าไร้หน่วย 1 เพื่อแปลงปริมาณเหล่านั้นให้มีหน่วยเดียวกัน เพื่อให้สามารถบวกหรือลบค่าตัวเลขได้

การกล่าวถึงการบวกปริมาณที่มีขนาดเท่ากันแต่มีหน่วยต่างกันนั้น จะมีความหมายก็ต่อเมื่อใช้วิธีนี้เท่านั้น

สมการปริมาณหรือบางครั้งเรียกว่าสมการสมบูรณ์คือสมการที่ยังคงใช้ได้โดยไม่ขึ้นกับหน่วยวัดที่ใช้ในการแสดง ปริมาณ ทางกายภาพ^{[ 30 ]}

ในทางตรงกันข้าม ในสมการค่าตัวเลขจะมีเพียงค่าตัวเลขของปริมาณเท่านั้น โดยไม่มีหน่วย ดังนั้น สมการดังกล่าวจึงใช้ได้เฉพาะเมื่อแต่ละค่าตัวเลขอ้างอิงถึงหน่วยเฉพาะเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น สมการปริมาณสำหรับการกระจัดdในรูปของความเร็วsคูณด้วยความแตกต่างของเวลาtจะเป็นดังนี้:

d = s t

สำหรับs = 5 m/s โดยที่tและdสามารถแสดงในหน่วยใดก็ได้ และแปลงหน่วยหากจำเป็น ในทางตรงกันข้าม สมการค่าตัวเลขที่สอดคล้องกันจะเป็นดังนี้:

ดี = 5 ที

โดยที่Tคือค่าตัวเลขของtเมื่อแสดงในหน่วยวินาที และDคือค่าตัวเลขของdเมื่อแสดงในหน่วยเมตร

โดยทั่วไป การใช้สมการค่าตัวเลขนั้นไม่เป็นที่นิยม^{[ 30 ]}

ค่าคงที่ไร้มิติที่ปรากฏในผลลัพธ์ที่ได้ เช่นCในปัญหาของกฎของ Poiseuille และκในปัญหาของสปริงที่กล่าวถึงข้างต้น มาจากการวิเคราะห์ฟิสิกส์พื้นฐานอย่างละเอียด และมักเกิดจากการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์บางอย่าง การวิเคราะห์มิติเองแทบไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับค่าคงที่เหล่านี้ แต่เป็นประโยชน์ที่จะทราบว่าค่าคงที่เหล่านี้มักมีขนาดประมาณหนึ่ง การสังเกตนี้บางครั้งช่วยให้เราสามารถ คำนวณอย่าง คร่าวๆเกี่ยวกับปรากฏการณ์ที่สนใจได้ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถออกแบบการทดลองเพื่อวัดปรากฏการณ์นั้นได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น หรือตัดสินว่าปรากฏการณ์นั้นสำคัญหรือไม่ เป็นต้น

ในทางตรงกันข้าม การวิเคราะห์มิติอาจเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ แม้ว่าพารามิเตอร์ทั้งหมดในทฤษฎีพื้นฐานจะไม่มีมิติก็ตาม ตัวอย่างเช่น แบบจำลองแลตติส เช่นแบบจำลอง Isingสามารถนำมาใช้ศึกษาการเปลี่ยนเฟสและปรากฏการณ์วิกฤตได้ แบบจำลองดังกล่าวสามารถกำหนดขึ้นได้ในรูปแบบที่ไม่มีมิติอย่างแท้จริง เมื่อเราเข้าใกล้จุดวิกฤตมากขึ้นเรื่อย ๆ ระยะทางที่ตัวแปรในแบบจำลองแลตติสมีความสัมพันธ์กัน (ที่เรียกว่าความยาวสหสัมพันธ์χ ) ก็จะมากขึ้นเรื่อย ๆ ความยาวสหสัมพันธ์นี้เป็นมาตราส่วนความยาวที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์วิกฤต ดังนั้นจึงสามารถสรุปได้จาก "พื้นฐานมิติ" ว่าส่วนที่ไม่สามารถวิเคราะห์ได้ของพลังงานอิสระต่อไซต์แลตติสควรเป็น~ 1/ χ ^dโดยที่dคือมิติของแลตติส

นักฟิสิกส์บางคน เช่น Michael J. Duff [ ^{5 ] [ 31 ] ได้}โต้แย้งว่ากฎของฟิสิกส์นั้นไม่มีมิติโดยเนื้อแท้ ข้อเท็จจริงที่ว่าเรากำหนดมิติที่ไม่เข้ากันให้กับความยาว เวลา และมวลนั้น ตามมุมมองนี้ เป็นเพียงเรื่องของข้อตกลง ซึ่งเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าก่อนการมาถึงของฟิสิกส์สมัยใหม่ ไม่มีวิธีใดที่จะเชื่อมโยงมวล ความยาว และเวลาเข้าด้วยกันได้ ค่าคงที่ที่มีมิติอิสระสามค่า ได้แก่c , ħและGในสมการพื้นฐานของฟิสิกส์ จึงต้องถูกมองว่าเป็นเพียงปัจจัยการแปลงเพื่อแปลงมวล เวลา และความยาวให้เป็นกันและกัน

เช่นเดียวกับกรณีของคุณสมบัติวิกฤตของแบบจำลองแลตติส เราสามารถกู้คืนผลลัพธ์ของการวิเคราะห์มิติได้ในขีดจำกัดการปรับขนาดที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์มิติในกลศาสตร์สามารถหาได้โดยการใส่ค่าคงที่ħ , cและG กลับเข้าไปใหม่ (แต่ตอนนี้เราสามารถพิจารณาว่าพวกมันไม่มีมิติได้) และเรียกร้องให้มีความสัมพันธ์ที่ไม่เอกฐานระหว่างปริมาณต่างๆ ในขีดจำกัดc → ∞ , ħ → 0และG → 0ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสนามโน้มถ่วง ควรเลือกขีดจำกัดหลังนี้เพื่อให้สนามยังคงมีค่าจำกัด

ต่อไปนี้เป็นตารางแสดงนิพจน์ที่พบได้ทั่วไปในวิชาฟิสิกส์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับมิติของพลังงาน โมเมนตัม และแรง^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

พลังงาน, อี (T −2 L 2 M)	การแสดงออก	การตั้งชื่อ
เครื่องกล	${\displaystyle W=Fd}$	W =งาน , F =แรง , d =ระยะทาง
	${\displaystyle S/t\equiv Pt}$	S =การกระทำ , t = เวลา, P =กำลัง
	${\displaystyle mv^{2}\equiv pv\equiv p^{2}/m}$	m =มวล , v =ความเร็ว , p =โมเมนตัม
	${\displaystyle I\omega ^{2}\equiv L\omega \equiv L^{2}/I}$	L =โมเมนตัมเชิงมุม , I =โมเมนต์ความเฉื่อย , ω =ความเร็วเชิงมุม
ก๊าซในอุดมคติ	${\displaystyle pV\equiv NT}$	p = ความดัน, V = ปริมาตร, T = อุณหภูมิ, N =ปริมาณสาร
คลื่น	${\displaystyle AIt\equiv ASt}$	A =พื้นที่หน้าคลื่น , I =ความเข้ม ของคลื่น , t =เวลา , S =เวกเตอร์พอยน์ติง
แม่เหล็กไฟฟ้า	${\displaystyle q\phi }$	q =ประจุไฟฟ้า , ϕ =ศักย์ไฟฟ้า (สำหรับการเปลี่ยนแปลงคือแรงดันไฟฟ้า )
	${\displaystyle \varepsilon E^{2}V\equiv B^{2}V/\mu }$	E =สนามไฟฟ้า , B =สนามแม่เหล็ก , ε =ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า , μ =ค่าสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็ก , V =ปริมาตร 3 มิติ
	${\displaystyle pE\equiv mB\equiv IAB}$	p =โมเมนต์ไดโพลไฟฟ้า , m = โมเมนต์แม่เหล็ก, A = พื้นที่ (ล้อมรอบด้วยวงจรไฟฟ้า), I =กระแสไฟฟ้าในวงจร

โมเมนตัม, p (T −1 LM)	การแสดงออก	การตั้งชื่อ
เครื่องกล	${\displaystyle mv\equiv Ft}$	m = มวล, v = ความเร็ว, F = แรง, t = เวลา
	${\displaystyle S/r\equiv L/r}$	S = การกระทำ, L = โมเมนตัมเชิงมุม, r =การกระจัด
ความร้อน	${\displaystyle m{\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}}$= ความเร็วเฉลี่ยกำลังสอง , m = มวล (ของโมเลกุล)
คลื่น	${\displaystyle \rho Vv}$	ρ =ความหนาแน่น , V =ปริมาตร , v =ความเร็วเฟส
แม่เหล็กไฟฟ้า	${\displaystyle qA}$	A =ศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก

แรง, เอฟ (T −2 LM)	การแสดงออก	การตั้งชื่อ
เครื่องกล	${\displaystyle ma\equiv p/t}$	m = มวล, a = ความเร่ง
ความร้อน	${\displaystyle T\delta S/\delta r}$	S = เอนโทรปี, T = อุณหภูมิ, r = การกระจัด (ดูแรงเอนโทรปี )
แม่เหล็กไฟฟ้า	${\displaystyle Eq\equiv Bqv}$	E = สนามไฟฟ้า, B = สนามแม่เหล็ก, v = ความเร็ว, q = ประจุ

ความถูกต้องเชิงมิติซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการตรวจสอบประเภทได้รับการศึกษามาตั้งแต่ปี 1977 ^{[ 35 ]} การใช้งานสำหรับ Ada ^{[ 36 ]}และ C++ ^{[ 37 ]}ได้รับการอธิบายในปี 1985 และ 1988 วิทยานิพนธ์ของ Kennedy ในปี 1996 อธิบายถึงการใช้งานใน^{Standard ML [ 38 ] และต่อมาใน F# [ 39 ] มีการใช้งานสำหรับ Haskell [ 40 ] OCaml [} 41 ]และ^{Rust [ 42} ] Python [ ^{43 ] และ}ตัวตรวจสอบ^{โค้ดสำหรับ} Fortran [ ^{44 ]} [ 45 ] ^{วิทยานิพนธ์ของ} Griffioen ^{ในปี2019}ได้ขยาย^{ระบบประเภทHindley – Milner ของ} Kennedy เพื่อ รองรับเมทริก ^ซ์ของ Hart ^{[ 46 ] [ 47 ]} McBride และ Nordvall-Forsberg แสดงวิธีการใช้ประเภทที่ขึ้นอยู่เพื่อขยายระบบประเภทสำหรับหน่วยวัด^{[ 48 ]}

Mathematica 13.2 มีฟังก์ชันสำหรับการแปลงปริมาณที่ตั้งชื่อไว้NondimensionalizationTransformซึ่งใช้การแปลงแบบไร้มิติกับสมการ^{[ 49 ]} Mathematica ยังมีฟังก์ชันสำหรับค้นหามิติของหน่วยเช่น1 Jตั้งชื่อว่าUnitDimensions[ ^{50 ] Mathematica}ยังมีฟังก์ชันที่จะค้นหาชุดค่าผสมที่เทียบเท่ากันในมิติของเซตย่อยของปริมาณทางกายภาพที่ตั้งชื่อว่าDimensionalCombinations[ ^{51 ] Mathematica}ยังสามารถแยกตัวประกอบมิติบางอย่างได้UnitDimensionsด้วยการระบุอาร์กิวเมนต์ให้กับฟังก์ชันUnityDimensions[ ^{52 ] ตัวอย่าง}เช่น คุณสามารถใช้UnityDimensionsเพื่อแยกตัวประกอบมุม^{[ 52 ]}นอกเหนือจากนั้น Mathematica ^ยังUnitDimensionsสามารถค้นหามิติของ a QuantityVariableด้วยฟังก์ชัน^[QuantityVariableDimensions 53 ^]

การอภิปรายเรื่องการวิเคราะห์มิติบางครั้งอธิบายปริมาณทั้งหมดโดยปริยายว่าเป็นเวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ แต่ความจริงแล้วไม่ใช่เช่นนั้น ตัวเลขมักถูกใช้เพื่อแทนสิ่งที่ไม่ใช่ส่วนประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ และการวิเคราะห์มิติไม่ควรนำไปใช้กับสิ่งเหล่านั้น ในฟิสิกส์ ปริมาณสเกลาร์คือปริมาณบวก เช่น น้ำหนักหรือระยะทางที่มีขนาดแต่ไม่มีทิศทาง (แม้ว่าผู้เขียนหลายคนจะอนุญาตให้สเกลาร์เป็นลบได้) เวกเตอร์สามารถบวกหรือลบกับเวกเตอร์อื่นได้ และยังสามารถคูณหรือหารด้วยสเกลาร์ได้อีกด้วย หากใช้เวกเตอร์เพื่อกำหนดตำแหน่ง จะถือว่ามีจุดอ้างอิงโดยปริยาย นั่นคือจุดกำเนิดแม้ว่าวิธีนี้จะมีประโยชน์และมักจะเพียงพอ ช่วยให้ตรวจจับข้อผิดพลาดที่สำคัญได้หลายอย่าง แต่ก็อาจไม่สามารถจำลองบางแง่มุมของฟิสิกส์ได้ แนวทางที่เข้มงวดกว่านั้นจำเป็นต้องแยกแยะความแตกต่างระหว่างตำแหน่งกับการกระจัด วันที่กับระยะเวลา ทิศทางกับมุม และอุณหภูมิสัมบูรณ์กับการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ

ลองพิจารณาจุดต่างๆ บนเส้นเวลา โดยแต่ละจุดมีวันที่สัมพันธ์กับจุดเริ่มต้นที่กำหนด และช่วงเวลาระหว่างจุดเหล่านั้น วันที่เหล่านั้นเป็นเหมือนป้ายกำกับของจุด ในขณะที่ช่วงเวลาระหว่างจุดมีมิติของเวลา:

• การบวกระยะเวลาสองช่วงเข้าด้วยกันจะทำให้ได้ระยะเวลาใหม่ (การรอสิบวันแล้วตามด้วยยี่สิบวันจะทำให้ระยะเวลาเพิ่มขึ้นเป็นสามสิบวัน)
• การเพิ่มระยะเวลาให้กับวันที่ควรจะได้วันที่ใหม่ (เช่น การรอหนึ่งเดือนนับจากวันที่ 1 มีนาคม ค.ศ. 1900 จะได้วันที่ 1 เมษายน)
• การลบวันที่สองวันจะได้ระยะเวลา
• แต่เราไม่ สามารถ นำวันที่สองวันมาบวกกันได้ (การบวกวันที่ 1 มีนาคมกับวันที่ 1 เมษายนนั้นไม่สมเหตุสมผล)

นี่แสดงให้เห็นถึงความแตกต่างเล็กน้อยระหว่าง ค่า เชิงเส้นตรง (องค์ประกอบของปริภูมิเชิงเส้นตรงเช่น วันที่) และ ค่า เวกเตอร์ (องค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์เช่น ระยะเวลา)

• เวกเตอร์สามารถบวกกันได้ ทำให้เกิดเวกเตอร์ใหม่ และเวกเตอร์สามารถบวกกับปริมาณเชิงเส้นที่เหมาะสมได้ (ปริภูมิเวกเตอร์กระทำต่อปริภูมิเชิงเส้น) ทำให้เกิดปริมาณเชิงเส้นใหม่
• ปริมาณเชิงเส้นตรงไม่สามารถบวกกันได้ แต่สามารถลบกันได้ ซึ่งจะได้ ปริมาณ เชิงสัมพัทธ์ที่เป็นเวกเตอร์ และผลต่างเชิงสัมพัทธ์ เหล่านี้ สามารถบวกกันเองหรือบวกกับปริมาณเชิงเส้นตรงได้

ดังนั้น วันที่และตำแหน่งจึงไม่ใช่ปริมาณที่มีมิติ แต่เป็นปริมาณเชิงความสัมพันธ์ ส่วนระยะเวลาและการกระจัดเป็นปริมาณที่มีมิติ ในการแสดงปริมาณที่มีมิติด้วยตัวเลขนั้น เราต้องเลือกเพียงหน่วยอ้างอิงเท่านั้น แต่ในการแสดงปริมาณเชิงความสัมพันธ์เช่น วันที่และตำแหน่ง ในรูปของปริมาณที่มีมิติ เราต้องเลือกจุดอ้างอิงและระบบพิกัดเพิ่มเติมจากหน่วยอ้างอิงด้วย

ในขณะที่ปริมาณบางอย่างสามารถแสดงได้อย่างดีด้วยปริมาณเวกเตอร์ซึ่งสามารถนำการวิเคราะห์มิติมาใช้ได้ แต่ปริมาณอื่นๆ นั้นเหมาะสมกว่าในการแสดงในพื้นที่เชิงเส้นตรง และปริมาณอื่นๆ เช่น ทิศทางและความน่าจะเป็น เป็นองค์ประกอบของพื้นที่อื่นๆ

ความแตกต่างนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในกรณีของอุณหภูมิ ซึ่งค่าตัวเลขของศูนย์สัมบูรณ์ไม่ใช่จุดเริ่มต้นที่ 0 ในบางมาตราส่วน สำหรับศูนย์สัมบูรณ์

−273.15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459.67 °F

โดยที่สัญลักษณ์ ≘ หมายถึงสอดคล้องกับเนื่องจากแม้ว่าค่าเหล่านี้บนมาตราส่วนอุณหภูมิที่เกี่ยวข้องจะสอดคล้องกัน แต่ก็แสดงถึงปริมาณที่แตกต่างกันในทำนองเดียวกับที่ระยะทางจากจุดเริ่มต้นที่แตกต่างกันไปยังจุดสิ้นสุดเดียวกันเป็นปริมาณที่แตกต่างกัน และโดยทั่วไปไม่สามารถเท่ากันได้

สำหรับความแตกต่างของอุณหภูมิ

1 K = 1 °C ≠ 1 °F = 1 °R

(ในที่นี้ °R หมายถึงมาตราแรงไคน์ไม่ใช่มาตราเรอูมูร์ ) การแปลงหน่วยสำหรับความแตกต่างของอุณหภูมิทำได้ง่ายๆ โดยการคูณ เช่น 1 °F / 1 K แต่เนื่องจากมาตราอุณหภูมิบางมาตรามีจุดกำเนิดที่ไม่สอดคล้องกับศูนย์สัมบูรณ์ การแปลงจากมาตราอุณหภูมิหนึ่งไปยังอีกมาตราหนึ่งจึงต้องคำนึงถึงเรื่องนี้ด้วย ดังนั้น การวิเคราะห์มิติอย่างง่ายอาจนำไปสู่ข้อผิดพลาดได้ หากไม่แน่ชัดว่า 1 K หมายถึงอุณหภูมิสัมบูรณ์ที่สอดคล้องกับอุณหภูมิเซลเซียส −272.15 °C หรือความแตกต่างของอุณหภูมิเท่ากับ 1 °C

เช่นเดียวกับประเด็นเรื่องจุดอ้างอิง ประเด็นเรื่องทิศทางก็มีความสำคัญเช่นกัน การกระจัดใน 2 หรือ 3 มิติ ไม่ใช่แค่ความยาว แต่เป็นความยาวพร้อมกับทิศทาง (ใน 1 มิติ ประเด็นนี้เทียบเท่ากับการแยกแยะระหว่างค่าบวกและค่าลบ) ดังนั้น เพื่อเปรียบเทียบหรือรวมปริมาณสองมิติในปริภูมิยูคลิดหลายมิติ จึงจำเป็นต้องมีทิศทางด้วย กล่าวคือ ต้องเปรียบเทียบกับกรอบ อ้างอิง

ซึ่งนำไปสู่ส่วนขยายที่กล่าวถึงด้านล่าง ได้แก่ มิติทิศทางของ Huntley และการวิเคราะห์เชิงทิศทางของ Siano

ฮันท์ลีย์ได้ชี้ให้เห็นว่าการวิเคราะห์มิติสามารถมีประสิทธิภาพมากขึ้นได้โดยการค้นพบมิติอิสระใหม่ในปริมาณที่กำลังพิจารณา ซึ่งจะทำให้อันดับของเมทริกซ์มิติ เพิ่มขึ้น ^{[ 54 ]}${\displaystyle m}$

เขาได้นำเสนอสองแนวทาง:

• ขนาดของส่วนประกอบของเวกเตอร์นั้นถือว่าไม่ขึ้นกับมิติ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะใช้มิติความยาวที่ไม่แตกต่างกัน L เราอาจใช้ Lx _แทนมิติในทิศทาง x เป็นต้น ข้อกำหนดนี้มาจากการที่แต่ละส่วนประกอบของสมการที่มีความหมายทางกายภาพ (สเกลาร์ เวกเตอร์ หรือเทนเซอร์) ต้องมีความสอดคล้องกันในมิติ
• มวลในฐานะที่เป็นมาตรวัดปริมาณของสสารนั้น ถือว่ามีความเป็นอิสระจากมิติของมวลในฐานะที่เป็นมาตรวัดความเฉื่อย

เพื่อเป็นตัวอย่างของประโยชน์ของแนวทางแรก สมมติว่าเราต้องการคำนวณระยะทางที่ลูกปืนใหญ่เคลื่อนที่เมื่อยิงด้วยส่วนประกอบความเร็วในแนวตั้งและส่วนประกอบความเร็วในแนวนอนโดยสมมติว่ายิงบนพื้นผิวเรียบ โดยไม่ใช้ความยาวที่มีทิศทาง ปริมาณที่สนใจคือ R ซึ่งเป็นระยะทาง^ที่เคลื่อนที่ มีมิติเป็น L, และ ซึ่งมีมิติเป็น T −1 L และg ซึ่ง เป็น ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงในทิศทางลง มีมิติเป็นT ⁻² L ${\displaystyle v_{\text{y}}}$${\displaystyle v_{\text{x}}}$${\displaystyle v_{\text{x}}}$${\displaystyle v_{\text{y}}}$

จากปริมาณทั้งสี่นี้ เราอาจสรุปได้ว่าสมการสำหรับช่วงRสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle R\propto v_{\text{x}}^{a}\,v_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.}$

หรือในเชิงมิติ

${\displaystyle {\mathsf {L}}=\left({\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}\right)^{c}}$

จากนั้นเราอาจอนุมานได้ว่าและซึ่ง ทำให้เหลือเลขชี้กำลังที่ไม่ทราบค่าอีกหนึ่ง ตัวนี่เป็นสิ่งที่คาดหวังได้ เนื่องจากเรามีมิติพื้นฐานสองมิติคือ T และ L และพารามิเตอร์สี่ตัว โดยมีสมการเดียว ${\displaystyle a+b+c=1}$${\displaystyle a+b+2c=0}$

อย่างไรก็ตาม หากเราใช้มิติความยาวแบบมีทิศทางจะได้ว่า เป็น T ⁻¹ L _x , เป็น T ⁻¹ L _y , Rเป็น L _xและgเป็น T ⁻² L _yสมการมิติจะกลายเป็น: ${\displaystyle v_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle v_{\mathrm {y} }}$

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}\right)^{a}\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{b}\left({{\mathsf {T}}^{-2}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{c}}$

และเราสามารถแก้ปัญหาได้อย่างสมบูรณ์โดยกำหนดให้a = 1 , b = 1และc = −1การเพิ่มขึ้นของพลังการอนุมานที่ได้จากการใช้มิติความยาวแบบมีทิศทางนั้นเห็นได้ชัดเจน

อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องมิติความยาวแบบกำหนดทิศทางของฮันท์ลีย์นั้นมีข้อจำกัดที่สำคัญบางประการ:

• โปรแกรมนี้ไม่สามารถจัดการกับสมการเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับผลคูณไขว้ ได้ดีนัก
• นอกจากนี้ยังไม่สามารถจัดการกับการใช้มุมเป็นตัวแปรทางกายภาพ ได้ดีนัก

นอกจากนี้ การกำหนดสัญลักษณ์ L, L _x , L _y , L _zให้กับตัวแปรทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่สนใจนั้นมักเป็นเรื่องยากมาก เขาใช้วิธีการที่เกี่ยวข้องกับ "สมมาตร" ของปัญหาทางกายภาพ ซึ่งมักทำได้ยากที่จะนำไปใช้ได้อย่างน่าเชื่อถือ เพราะไม่ชัดเจนว่าส่วนใดของปัญหาที่นำแนวคิดเรื่อง "สมมาตร" มาใช้ เป็นสมมาตรของวัตถุทางกายภาพที่แรงกระทำ หรือสมมาตรของจุด เส้น หรือพื้นที่ที่แรงกระทำอยู่? แล้วถ้ามีวัตถุมากกว่าหนึ่งชิ้นที่มีสมมาตรแตกต่างกันล่ะ?

พิจารณาฟองอากาศทรงกลมที่ติดอยู่กับท่อทรงกระบอก โดยที่เราต้องการหาอัตราการไหลของอากาศเป็นฟังก์ชันของความแตกต่างของความดันในสองส่วนนั้น มิติขยายของความหนืดของอากาศที่บรรจุอยู่ในส่วนที่เชื่อมต่อกันตามแนวคิดของ Huntley คืออะไร? มิติขยายของความดันในสองส่วนนั้นคืออะไร? เหมือนกันหรือแตกต่างกัน? ความยากลำบากเหล่านี้เป็นสาเหตุที่ทำให้การประยุกต์ใช้มิติความยาวที่กำหนดของ Huntley กับปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริงมีข้อจำกัด

ในแนวทางที่สองของฮันท์ลีย์ เขาเห็นว่าบางครั้งการแยกแยะระหว่างมวลในฐานะตัววัดความเฉื่อย (มวลเฉื่อย ) และมวลในฐานะตัววัดปริมาณของสสารนั้น มีประโยชน์ (เช่น ในกลศาสตร์ของไหลและอุณหพลศาสตร์) ฮันท์ลีย์นิยามปริมาณของสสาร ว่าเป็นปริมาณ ที่แปรผันตรงกับมวลเฉื่อยเท่านั้น โดยไม่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติความเฉื่อย และไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมใดๆ ในนิยามนี้

ตัวอย่างเช่น พิจารณาการพิสูจน์กฎของปัวส์เซิลเราต้องการหาอัตราการไหลของมวลของของเหลวหนืดผ่านท่อทรงกลม โดยไม่ต้องแยกความแตกต่างระหว่างมวลเฉื่อยและมวลจริง เราอาจเลือกตัวแปรที่เกี่ยวข้องได้ดังนี้:

เครื่องหมาย	ตัวแปร	มิติ
${\displaystyle {\dot {m}}}$	อัตราการไหลของมวล	ที−1เอ็ม
${\displaystyle p_{\text{x}}}$	ความแตกต่างของแรงดันตามแนวท่อ	ที−2แอล−2เอ็ม
ρ	ความหนาแน่น	แอล−3เอ็ม
η	ความหนืดของของไหลแบบไดนามิก	ที−1แอล−1เอ็ม
ร	รัศมีของท่อ	แอล

มีตัวแปรพื้นฐานสามตัว ดังนั้นสมการทั้งห้าข้างต้นจะให้ผลลัพธ์เป็นตัวแปรไร้มิติอิสระสองตัว:

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}}$

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}}$

ถ้าเราแยกแยะความแตกต่างระหว่างมวลเฉื่อยที่มีมิติและปริมาณสสารที่มีมิติแล้ว อัตราการไหลของมวลและความหนาแน่นจะใช้ปริมาณสสารเป็นพารามิเตอร์มวล ในขณะที่ความชันของความดันและสัมประสิทธิ์ความหนืดจะใช้มวลเฉื่อย ตอนนี้เรามีพารามิเตอร์พื้นฐานสี่ตัวและค่าคงที่ไร้มิติหนึ่งตัว ดังนั้นสมการเชิงมิติอาจเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle M_{\text{i}}}$${\displaystyle M_{\text{m}}}$

${\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}$

โดยที่Cเป็นค่าคงที่ที่ไม่ทราบค่า (ซึ่งพบว่าเท่ากับค่าหนึ่งโดยวิธีการอื่นนอกเหนือจากการวิเคราะห์มิติ) สมการนี้สามารถแก้หาอัตราการไหลของมวลเพื่อให้ได้กฎของปัวส์เซิลได้ ${\displaystyle \pi /8}$

การที่ฮันท์ลีย์ยอมรับปริมาณของสสารว่าเป็นมิติปริมาณอิสระนั้นเห็นได้ชัดว่าประสบความสำเร็จในปัญหาที่สามารถนำไปใช้ได้ แต่คำจำกัดความของปริมาณของสสารของเขานั้นเปิดกว้างต่อการตีความ เนื่องจากขาดความเฉพาะเจาะจงนอกเหนือจากข้อกำหนดสองประการที่เขากำหนดไว้ สำหรับสารใดสารหนึ่ง มิติปริมาณสาร ในระบบ SI ซึ่งมีหน่วยเป็นโมลนั้นตรงตามข้อกำหนดสองประการของฮันท์ลีย์ในฐานะหน่วยวัดปริมาณของสสาร และสามารถใช้เป็นปริมาณของสสารในปัญหาการวิเคราะห์มิติใดๆ ที่แนวคิดของฮันท์ลีย์สามารถนำไปใช้ได้

ตามธรรมเนียมแล้ว มุมถือเป็นปริมาณที่ไม่มีมิติ (แม้ว่าความเหมาะสมของเรื่องนี้จะถูกโต้แย้งก็ตาม) ^{[ 55 ]}ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาปัญหาโปรเจคไทล์อีกครั้ง ซึ่งมวลจุดถูกยิงจากจุดกำเนิด( x , y ) = (0, 0)ด้วยความเร็วvและมุมθเหนือ แกน xโดยมีแรงโน้มถ่วงชี้ไปตาม แกน y ลบ ต้องการหาช่วงRที่มวลกลับมาที่ แกน x การ วิเคราะห์ ตามธรรมเนียมจะให้ตัวแปรที่ไม่มีมิติπ = R g / v ²แต่ไม่ได้ให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างRและθ

Siano ได้เสนอแนะให้แทนที่มิติทิศทางของ Huntley ด้วยการใช้สัญลักษณ์เชิงทิศทาง1 _x  1 _y  1 _zเพื่อแสดงทิศทางเวกเตอร์ และสัญลักษณ์ที่ไม่มีทิศทาง 1 0 _[ ^{56 ] ดังนั้น} L _x ของ Huntley จึงกลายเป็น L1 _xโดยที่ L ระบุถึงมิติของความยาว และ1 _xระบุถึงทิศทาง Siano ยังแสดงให้เห็นเพิ่มเติมว่าสัญลักษณ์เชิงทิศทางมีพีชคณิตของตัวเอง พร้อมกับข้อกำหนดที่ว่า1 _i ⁻¹ = 1 _iทำให้ได้ตารางการคูณต่อไปนี้สำหรับสัญลักษณ์เชิงทิศทาง:

	${\displaystyle \mathbf {1_{0}} }$	${\displaystyle \mathbf {1_{\text{x}}} }$	${\displaystyle \mathbf {1_{\text{y}}} }$	${\displaystyle \mathbf {1_{\text{z}}} }$
${\displaystyle \mathbf {1_{0}} }$	${\displaystyle 1_{0}}$	${\displaystyle 1_{\text{x}}}$	${\displaystyle 1_{\text{y}}}$	${\displaystyle 1_{\text{z}}}$
${\displaystyle \mathbf {1_{\text{x}}} }$	${\displaystyle 1_{\text{x}}}$	${\displaystyle 1_{0}}$	${\displaystyle 1_{\text{z}}}$	${\displaystyle 1_{\text{y}}}$
${\displaystyle \mathbf {1_{\text{y}}} }$	${\displaystyle 1_{\text{y}}}$	${\displaystyle 1_{\text{z}}}$	${\displaystyle 1_{0}}$	${\displaystyle 1_{\text{x}}}$
${\displaystyle \mathbf {1_{\text{z}}} }$	${\displaystyle 1_{\text{z}}}$	${\displaystyle 1_{\text{y}}}$	${\displaystyle 1_{\text{x}}}$	${\displaystyle 1_{0}}$

สัญลักษณ์แสดงทิศทางจะรวมกันเป็นกลุ่ม ( กลุ่มสี่มิติของไคลน์หรือ "Viergruppe") ในระบบนี้ ปริมาณสเกลาร์จะมีทิศทางเดียวกับองค์ประกอบเอกลักษณ์เสมอ โดยไม่ขึ้นอยู่กับ "สมมาตรของปัญหา" ปริมาณทางกายภาพที่เป็นเวกเตอร์จะมีทิศทางตามที่คาดไว้ เช่น แรงหรือความเร็วในทิศทาง z จะมีทิศทาง1 _zสำหรับมุม ลองพิจารณามุมθที่อยู่ในระนาบ z สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากในระนาบ z โดยให้θเป็นหนึ่งในมุมแหลม ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากที่อยู่ติดกับมุมจะมีทิศทาง1 _xและด้านตรงข้ามจะมีทิศทาง1 _yเนื่องจาก (ใช้~เพื่อแสดงความเท่าเทียมกันของทิศทาง) tan( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y /1 _xเราจึงสรุปได้ว่ามุมในระนาบ xy จะต้องมีทิศทาง1 _y /1 _x = 1 _zซึ่งไม่ใช่เรื่องที่ไม่สมเหตุสมผล การให้เหตุผลในทำนองเดียวกันบังคับให้สรุปได้ว่าsin( θ )มีทิศทาง1 _zในขณะที่cos( θ )มีทิศทาง 1 ₀ซึ่งแตกต่างกัน ดังนั้นจึงสรุปได้ (อย่างถูกต้อง) ตัวอย่างเช่น ว่าไม่มีคำตอบของสมการทางฟิสิกส์ใด ๆ ที่อยู่ในรูปแบบa cos( θ ) + b sin( θ )โดยที่aและbเป็นสเกลาร์จริง นิพจน์เช่นนี้ไม่ขัดแย้งทางมิติ เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของสูตรผลรวมของมุม และควรเขียนอย่างถูกต้องดังนี้: ${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}$

${\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}$

ซึ่งสำหรับและให้ผลลัพธ์⁠ ⁠ Siano แยกแยะระหว่างมุมทางเรขาคณิต ซึ่งมีทิศทางในพื้นที่ 3 มิติ และมุมเฟสที่เกี่ยวข้องกับการสั่นตามเวลา ซึ่งไม่มีทิศทางเชิงพื้นที่ กล่าวคือ ทิศทางของมุมเฟสคือ ⁠ ⁠${\displaystyle a=\theta }$${\displaystyle b=\pi /2}$${\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$${\displaystyle 1_{0}}$

การกำหนดสัญลักษณ์เชิงทิศทางให้กับปริมาณทางกายภาพและข้อกำหนดที่ว่าสมการทางกายภาพต้องเป็นเอกพันธุ์เชิงทิศทางนั้น สามารถนำมาใช้ในลักษณะที่คล้ายกับการวิเคราะห์มิติเพื่อหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำตอบที่ยอมรับได้ของปัญหาทางกายภาพได้ ในแนวทางนี้ เราจะแก้สมการเชิงมิติให้ได้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ ถ้ากำลังต่ำสุดของตัวแปรทางกายภาพเป็นเศษส่วน เราจะยกกำลังทั้งสองข้างของคำตอบด้วยกำลังที่ทำให้กำลังทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม แล้วจึงนำไปอยู่ในรูปปกติจากนั้นจึงแก้สมการเชิงทิศทางเพื่อให้ได้เงื่อนไขที่เข้มงวดมากขึ้นสำหรับกำลังที่ไม่ทราบค่าของสัญลักษณ์เชิงทิศทาง คำตอบที่ได้จึงสมบูรณ์กว่าคำตอบที่ได้จากการวิเคราะห์มิติเพียงอย่างเดียว บ่อยครั้ง ข้อมูลเพิ่มเติมคือ กำลังหนึ่งของตัวแปรบางตัวเป็นเลขคู่หรือเลขคี่

ยกตัวอย่างเช่น สำหรับปัญหาโปรเจคไทล์ การใช้สัญลักษณ์กำหนดทิศทางθซึ่งอยู่ในระนาบ xy จะมีมิติ1 _zและระยะของโปรเจคไทล์Rจะอยู่ในรูปแบบ:

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}$

ความสม่ำเสมอเชิงมิติจะให้ค่า a = −1และb = 2อย่างถูกต้องและความสม่ำเสมอเชิงทิศทางต้องการให้⁠ ⁠${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือcต้องเป็นจำนวนเต็มคี่ ที่จริงแล้ว ฟังก์ชันที่ต้องการของ theta จะเป็นsin( θ )cos( θ )ซึ่งเป็นอนุกรมที่ประกอบด้วยกำลังคี่ของ θ

จะเห็นได้ว่าอนุกรมเทย์เลอร์ของsin( θ )และcos( θ )มีความเป็นเอกรูปเชิงทิศทางเมื่อใช้ตารางการคูณข้างต้น ในขณะที่นิพจน์เช่นcos( θ ) + sin( θ )และexp( θ )ไม่มีความเป็นเอกรูปเชิงทิศทาง และ (อย่างถูกต้อง) ถือว่าไม่สมจริง

การวิเคราะห์เชิงทิศทางของเซียโนนั้นสอดคล้องกับแนวคิดดั้งเดิมที่ว่าปริมาณเชิงมุมนั้นไม่มีมิติ และภายในการวิเคราะห์เชิงทิศทางนั้นเรเดียนยังคงสามารถถือได้ว่าเป็นหน่วยที่ไม่มีมิติ การวิเคราะห์เชิงทิศทางของสมการปริมาณจะดำเนินการแยกต่างหากจากการวิเคราะห์เชิงมิติแบบปกติ ซึ่งให้ข้อมูลที่เสริมการวิเคราะห์เชิงมิติ

• ทฤษฎีบทบัคกิงแฮม π
• ตัวเลขไร้มิติในกลศาสตร์ของไหล
• การประมาณค่าแบบเฟอร์มิ – ใช้ในการสอนการวิเคราะห์มิติ
• สมการค่าเชิงตัวเลข
• วิธีการวิเคราะห์มิติของเรย์ลีย์
• ความคล้ายคลึง – การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์มิติ
• ระบบการวัด

• ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันของเวกเตอร์
• พีชคณิตภายนอก
• พีชคณิตเชิงเรขาคณิต
• แคลคูลัสเชิงปริมาณ

• Giancoli, Douglas C. (2014). "1. บทนำ การวัด การประมาณค่า §1.8 มิติและการวิเคราะห์มิติ". ฟิสิกส์: หลักการและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 7). เพียร์สัน. ISBN 978-0-321-62592-2. OCLC  853154197 .

เว็บไซต์ Wikibook เรื่องกลศาสตร์ของไหลมีหน้าเว็บที่กล่าวถึงหัวข้อ: การวิเคราะห์มิติ

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์มิติ

• รายการมิติสำหรับปริมาณทางกายภาพต่างๆ
• เครื่องคำนวณออนไลน์ Unicalc Live แปลงหน่วยโดยใช้การวิเคราะห์มิติ
• การใช้งานการวิเคราะห์มิติในระหว่างการคอมไพล์ด้วยภาษา C++ ในไลบรารีโอเพนซอร์ส Boost
• ทฤษฎีบทพายของบัคกิงแฮม
• เครื่องคำนวณระบบปริมาณสำหรับการแปลงหน่วยโดยใช้แนวทางเชิงมิติเก็บถาวรเมื่อวันที่ 24 ธันวาคม 2017 ที่Wayback Machine
• หน่วย ปริมาณ และค่าคงที่พื้นฐาน ฉายภาพแผนที่การวิเคราะห์มิติ
• โบว์ลีย์, โรเจอร์ (2009). "การวิเคราะห์มิติ" . หกสิบสัญลักษณ์ . สำนักพิมพ์เบรดี้ ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .
• Dureisseix, David (2019). บทนำสู่การวิเคราะห์มิติ (การบรรยาย). INSA Lyon.