แคลคูลัสเชิงดิสครีตหรือแคลคูลัสของฟังก์ชันดิสครีตคือการศึกษาทางคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลง ทีละน้อยในทำนองเดียวกับที่เรขาคณิตเป็นการศึกษาเกี่ยวกับรูปทรง และพีชคณิตเป็นการศึกษาเกี่ยวกับการสรุปผลของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คำว่าแคลคูลัสเป็น คำ ภาษาละตินเดิมหมายถึง "ก้อนหินเล็กๆ" เนื่องจากมีการใช้ก้อนหินดังกล่าวในการคำนวณ ความหมายของคำจึงเปลี่ยนแปลงไป และในปัจจุบันมักหมายถึงวิธีการคำนวณ ในขณะเดียวกันแคลคูลัสซึ่งเดิมเรียกว่าแคลคูลัสเชิงอินฟินิตี้หรือ "แคลคูลัสของอินฟินิตี้ " คือการศึกษาเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลง อย่างต่อเนื่อง

แคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่องมีจุดเริ่มต้นสองจุด คือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เพิ่มขึ้นและความชันของเส้นโค้งเชิงเส้นแบบเป็นช่วงๆ ส่วนแคลคูลัสเชิงปริพันธ์เกี่ยวข้องกับการสะสมปริมาณและพื้นที่ใต้เส้นโค้งคงที่แบบเป็นช่วงๆ มุมมองทั้งสองนี้มีความสัมพันธ์กันโดยทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่อง

การศึกษาแนวคิดเรื่องการเปลี่ยนแปลงเริ่มต้นด้วยรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่อง การพัฒนาขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ซึ่งก็คือการเพิ่มขึ้นของตัวแปรอิสระ หากเราต้องการ เราสามารถทำให้การเพิ่มขึ้นนั้นเล็กลงเรื่อยๆ และหาแนวคิดต่อเนื่องที่เทียบเท่ากับลิมิตได้โดยทั่วไปแล้ว ลิมิตของแคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่องก็คือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ แม้ว่ามันจะทำหน้าที่เป็นพื้นฐานที่ไม่ต่อเนื่องของแคลคูลัส แต่คุณค่าหลักของแคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่องอยู่ที่การประยุกต์ใช้ ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta x\to 0}$

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์แบบไม่ต่อเนื่องคือการศึกษาเกี่ยวกับนิยาม คุณสมบัติ และการประยุกต์ใช้ของผลหารเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน กระบวนการหาผลหารเชิงอนุพันธ์เรียกว่าการหาอนุพันธ์เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่จุดต่างๆ บนเส้นจำนวนจริง ผลหารเชิงอนุพันธ์ ณ จุดนั้นเป็นวิธีหนึ่งในการเข้ารหัสพฤติกรรมของฟังก์ชันในระดับเล็ก (เช่น จากจุดหนึ่งไปยังจุดถัดไป) โดยการหาผลหารเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดคู่ที่อยู่ติดกันทุกจุดในโดเมนของฟังก์ชันนั้น จะทำให้ได้ฟังก์ชันใหม่ที่เรียกว่าฟังก์ชันผลหารเชิงอนุพันธ์หรือเรียกสั้นๆ ว่าผลหารเชิงอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดิม ในทางทฤษฎี ผลหารเชิงอนุพันธ์เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่รับฟังก์ชันเป็นอินพุตและให้ฟังก์ชันที่สองเป็นเอาต์พุต กระบวนการนี้มีความเป็นนามธรรมมากกว่ากระบวนการหลายอย่างที่ศึกษาในพีชคณิตเบื้องต้นซึ่งโดยปกติฟังก์ชันจะรับตัวเลขเป็นอินพุตและให้ตัวเลขอีกตัวเป็นเอาต์พุต ตัวอย่างเช่น ถ้าฟังก์ชันการคูณสองรับค่าสามเป็นอินพุต ฟังก์ชันจะให้ค่าหกเป็นเอาต์พุต และถ้าฟังก์ชันการยกกำลังสองรับค่าสามเป็นอินพุต ฟังก์ชันจะให้ค่าเก้าเป็นเอาต์พุต อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์สามารถรับฟังก์ชันยกกำลังสองเป็นอินพุตได้ ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์จะนำข้อมูลทั้งหมดของฟังก์ชันยกกำลังสองมาใช้ เช่น การส่งค่า 2 ไปยัง 4, การส่งค่า 3 ไปยัง 9, การส่งค่า 4 ไปยัง 16 และอื่นๆ และใช้ข้อมูลนี้เพื่อสร้างฟังก์ชันอื่น ฟังก์ชันที่ได้จากการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังสองนั้นกลับกลายเป็นสิ่งที่ใกล้เคียงกับฟังก์ชันการคูณสอง

สมมติว่าฟังก์ชันเหล่านี้ถูกกำหนดขึ้น ณ จุดที่ห่างกันเป็นระยะเพิ่มขึ้น: ${\displaystyle \Delta x=h>0}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

ฟังก์ชัน "การเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า" อาจใช้สัญลักษณ์และฟังก์ชัน "การเพิ่มขึ้นเป็นกำลังสอง" อาจใช้สัญลักษณ์. "ผลหารส่วนต่าง" คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งๆที่กำหนดโดยสูตร: ${\displaystyle g(x)=2x}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle [x,x+h]}$

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

ฟังก์ชันนี้รับฟังก์ชันเป็นอินพุต ซึ่งก็คือข้อมูลทั้งหมด เช่น เลข 2 ถูกส่งไปยังเลข 4 เลข 3 ถูกส่งไปยังเลข 9 เลข 4 ถูกส่งไปยังเลข 16 และอื่นๆ และใช้ข้อมูลนี้เพื่อสร้างฟังก์ชันอีกฟังก์ชันหนึ่งออกมา ซึ่งก็คือฟังก์ชันดังที่จะได้เห็นต่อไป เพื่อความสะดวก ฟังก์ชันใหม่นี้อาจถูกกำหนดไว้ที่จุดกึ่งกลางของช่วงข้างต้น: ${\displaystyle f}$${\displaystyle g(x)=2x+h}$

${\displaystyle a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,...,a+nh+h/2,...}$

เนื่องจากอัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นเช่นนั้นตลอดช่วงเวลาทั้งหมดจุดใดๆ ภายในช่วงเวลานั้นสามารถใช้เป็นจุดอ้างอิงได้ หรือที่ดียิ่งกว่านั้นคือ ช่วงเวลาทั้งหมดที่ทำให้ผลหารต่างเป็นa - cochain${\displaystyle [x,x+h]}$${\displaystyle 1}$

สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปที่สุดสำหรับผลหารส่วนต่างคือ:

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x+h/2)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

ถ้าอินพุตของฟังก์ชันแทนเวลา ผลหารต่างจะแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงเทียบกับเวลา ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นฟังก์ชันที่รับเวลาเป็นอินพุตและให้ตำแหน่งของลูกบอล ณ เวลานั้นเป็นเอาต์พุต ผลหารต่างของคือการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งเทียบกับเวลา ซึ่งก็คือความเร็วของลูกบอลนั่นเอง ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ ถ้าจุดบนกราฟของฟังก์ชันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) ฟังก์ชันนั้นสามารถเขียนได้เป็น โดยที่คือตัวแปรอิสระคือตัวแปรตามคือจุดตัดแกน y และ: ${\displaystyle y=mx+b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

วิธีนี้จะให้ค่าความชัน ที่แน่นอน ของเส้นตรง

อย่างไรก็ตาม หากฟังก์ชันไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงเส้น การเปลี่ยนแปลงของ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ ก็จะแปรผันไป ผลหารต่างให้ความหมายที่แน่นอนแก่แนวคิดของการเปลี่ยนแปลงในผลลัพธ์เทียบกับการเปลี่ยนแปลงในปัจจัยนำเข้า เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ให้เป็นฟังก์ชัน และกำหนดจุดในโดเมนของ โดยที่เป็นจุดบนกราฟของฟังก์ชัน ถ้าคือค่าเพิ่มขึ้นของแล้วคือค่าถัดไปของดังนั้นคือค่าเพิ่มขึ้นของความชันของเส้นตรงระหว่างสองจุดนี้ก็คือ ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle h}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+h}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$${\displaystyle (x,f(x))}$

${\displaystyle m={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

ดังนั้นความชันของเส้นตรงระหว่างและ ก็ คือ เช่น กัน ${\displaystyle m}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเฉพาะเจาะจง คือ ผลหารต่างของฟังก์ชันกำลังสอง ให้เป็นฟังก์ชันกำลังสอง แล้ว: ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x)&={(x+h)^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={2hx+h^{2} \over {h}}\\&=2x+h.\end{aligned}}}$

ผลหารต่างของผลหารต่างเรียกว่าผลหารต่างอันดับสองและกำหนดไว้ที่

${\displaystyle a+h,a+2h,a+3h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

และอื่นๆ

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์แบบไม่ต่อเนื่องคือการศึกษาเกี่ยวกับนิยาม คุณสมบัติ และการประยุกต์ใช้ของผลรวมรีมันน์กระบวนการหาค่าของผลรวมเรียกว่าการอินทิเกรต ในทางเทคนิคแล้ว แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ศึกษา ตัวดำเนินการเชิงเส้นบางอย่าง

ผลรวมรีมันน์รับฟังก์ชันเป็นอินพุตและให้ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชัน ซึ่งเป็นผลรวมเชิงพีชคณิตของพื้นที่ระหว่างส่วนของกราฟของอินพุตกับแกน x

ตัวอย่างที่กระตุ้นให้เกิดแรงบันดาลใจคือ ระยะทางที่เดินทางได้ในระยะเวลาที่กำหนด

${\displaystyle {\text{distance}}={\text{speed}}\cdot {\text{time}}}$

ถ้าความเร็วคงที่ เราเพียงแค่คูณค่าก็เพียงพอแล้ว แต่ถ้าความเร็วเปลี่ยนแปลง เราจะคำนวณระยะทางที่เดินทางได้โดยแบ่งเวลาออกเป็นช่วงเวลาสั้นๆ หลายช่วง จากนั้นคูณเวลาที่ผ่านไปในแต่ละช่วงด้วยความเร็วในแต่ละช่วง แล้วจึงหาผลรวม ( ผลรวมแบบรีมันน์ ) ของระยะทางที่เดินทางได้ในแต่ละช่วง

เมื่อความเร็วคงที่ ระยะทางรวมที่เดินทางในช่วงเวลาที่กำหนดสามารถคำนวณได้โดยการคูณความเร็วกับเวลา ตัวอย่างเช่น การเดินทางด้วยความเร็วคงที่ 50 ไมล์ต่อชั่วโมงเป็นเวลา 3 ชั่วโมง จะได้ระยะทางรวม 150 ไมล์ ในแผนภาพด้านซ้าย เมื่อความเร็วและเวลาคงที่ถูกวาดเป็นกราฟ ค่าทั้งสองนี้จะก่อให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูงเท่ากับความเร็วและความกว้างเท่ากับเวลาที่ผ่านไป ดังนั้น ผลคูณของความเร็วและเวลาจึงสามารถคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าใต้เส้นโค้งความเร็ว (คงที่) ได้ด้วย ความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ใต้เส้นโค้งกับระยะทางที่เดินทางนี้สามารถขยายไปยัง บริเวณที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ ใดๆที่แสดงความเร็วที่เปลี่ยนแปลงไปทีละน้อยในช่วงเวลาที่กำหนด หากแท่งในแผนภาพด้านขวาแสดงถึงความเร็วที่เปลี่ยนแปลงไปในแต่ละช่วงเวลา ระยะทางที่เดินทาง (ระหว่างเวลาที่แสดงโดยและ) คือพื้นที่ของบริเวณที่แรเงา ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle s}$

ดังนั้น ช่วงเวลาระหว่างและจึงถูกแบ่งออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่เท่ากันจำนวนหนึ่ง โดยแต่ละส่วนย่อยมีความยาวแทนด้วยสัญลักษณ์สำหรับแต่ละส่วนย่อย เราจะมีค่าหนึ่งของฟังก์ชันเรียกค่านั้นว่า จากนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานและความสูงจะให้ระยะทาง (เวลาคูณด้วยความเร็ว) ที่เดินทางในส่วนย่อยนั้น แต่ละส่วนย่อยจะมีค่าของฟังก์ชัน อยู่เหนือส่วนย่อยนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดดังกล่าวจะให้พื้นที่ระหว่างแกน และเส้นโค้งคงที่แบบเป็นช่วงๆ ซึ่งก็คือระยะทางทั้งหมดที่เดินทาง ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle f(x)=v}$

สมมติว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ที่จุดกึ่งกลางของช่วงที่มีความยาวเท่ากันดังนั้น: ${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta x=h>0}$${\displaystyle h={\frac {a-b}{n}}}$

${\displaystyle a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,\ldots ,a+nh-h/2.}$

ดังนั้น ผลรวมรีมันน์จากถึงในสัญกรณ์ซิกมาคือ: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b=a+nh}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih+h/2)\,\Delta x.}$

เนื่องจากการคำนวณนี้ดำเนินการสำหรับแต่ละค่า ฟังก์ชันใหม่จึงถูกกำหนดขึ้นที่จุดต่างๆ ดังนี้: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นโอเปอเรชันผกผันกัน กล่าวคือ มันเชื่อมโยงผลหารต่างกับผลรวมรีมันน์ นอกจากนี้ยังสามารถตีความได้ว่าเป็นข้อความที่แม่นยำของข้อเท็จจริงที่ว่า การหาอนุพันธ์เป็นโอเปอเรชันผกผันกับการหาปริพันธ์

ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส: ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดบนการแบ่งช่วงของช่วง, , และถ้าเป็นฟังก์ชันที่มีผลหารต่างเป็นแล้วเราจะได้ว่า: ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle b=a+nh}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

นอกจากนี้ สำหรับทุกๆเราจะมี: ${\textstyle m=0,1,2,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle {\frac {\Delta }{\Delta x}}\sum _{i=0}^{m}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=f(a+mh+h/2).}$

นี่เป็นตัวอย่างต้นแบบของสมการเชิงผลต่าง เช่นกัน สมการเชิงผลต่างเชื่อมโยงฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่ากับผลต่างหรือผลหารเชิงผลต่าง และพบได้ทั่วไปในวิทยาศาสตร์

ประวัติศาสตร์ช่วงต้นของแคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่องก็คือประวัติศาสตร์ของแคลคูลัส โดยรวม นั่นเอง แนวคิดพื้นฐานอย่างเช่นผลหารเชิงอนุพันธ์และผลรวมของรีมันน์ปรากฏให้เห็นอย่างชัดเจนหรือโดยปริยายในคำนิยามและบทพิสูจน์ต่างๆ อย่างไรก็ตาม หลังจากหาลิมิตแล้ว แนวคิดเหล่านี้จะไม่ปรากฏให้เห็นอีกเลย แต่กฎแรงดันไฟฟ้าของเคิร์ชฮอฟฟ์ (ค.ศ. 1847) สามารถแสดงได้ในรูปของอนุพันธ์ภายนอกแบบไม่ต่อเนื่องหนึ่งมิติ

ในช่วงศตวรรษที่ 20 แคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่องยังคงเชื่อมโยงกับแคลคูลัสแบบอินฟินิตี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปแบบเชิงอนุพันธ์ แต่ก็เริ่มดึงเอาจากโทโพโลยีเชิงพีชคณิตมาใช้เช่นกัน การมีส่วนร่วมหลักมาจากบุคคลต่อไปนี้: ^{[ 1 ]}

• อองรี ปวงกาเร : การแบ่งสามเหลี่ยม ( การแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริกการแบ่งสามเหลี่ยมคู่ ) บทตั้งของปวงกาเรการพิสูจน์ครั้งแรกของทฤษฎีบทสโตกส์ ทั่วไป และอื่นๆ อีกมากมาย
• LEJ Brouwer : ทฤษฎีบทการประมาณเชิงซิมพลิเชียล
• Élie Cartan , Georges de Rham : แนวคิดของรูปแบบเชิงอนุพันธ์ , อนุพันธ์ภายนอกในฐานะตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ ไม่ขึ้นกับพิกัด , ความแม่นยำ/ความปิดของรูปแบบ
• Emmy Noether , Heinz Hopf , Leopold Vietoris , Walther Mayer : โมดูลของโซ่ , ตัวดำเนินการขอบเขต , คอมเพล็กซ์โซ่
• JW Alexander , Solomon Lefschetz , Lev Pontryagin , Andrey Kolmogorov , Norman Steenrod , Eduard Čech : แนวคิดโคเชน ยุคแรก
• เฮอร์มันน์ เวย์ล : กฎของเคิร์ชฮอฟฟ์ที่ระบุไว้ในแง่ของตัวดำเนินการขอบเขตและตัวดำเนินการร่วมขอบเขต
• WVD Hodge : ตัวดำเนินการดาว Hodge , การแยกส่วน Hodge
• Samuel Eilenberg , Saunders Mac Lane , Norman Steenrod , JHC Whitehead : การพัฒนาอย่างเข้มงวดของ ทฤษฎี โฮโมโลยีและโคโฮโมโลยีรวมถึงคอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่และโคลูกโซ่ และผลคูณแบบถ้วย
• Hassler Whitney : โคเชนในฐานะอินทิกรัล

การพัฒนาแคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงไม่นานมานี้ ซึ่งเริ่มต้นจาก Whitney นั้น ได้รับแรงผลักดันจากความต้องการใน การ สร้างแบบจำลองประยุกต์^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

แคลคูลัสเชิงดิสครีตถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองทั้งโดยตรงและโดยอ้อม โดยเป็นการแปลงแคลคูลัส เชิงอินฟินิตี้ให้เป็น ดิ สครีต ในทุกสาขาของวิทยาศาสตร์กายภาพ วิทยาศาสตร์ประกันภัยวิทยาการคอมพิวเตอร์สถิติวิศวกรรม เศรษฐศาสตร์ ธุรกิจ การแพทย์ประชากรศาสตร์ และสาขาอื่นๆ ที่สามารถ สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ให้กับปัญหาได้มันช่วยให้เราสามารถเปลี่ยนจากอัตราการเปลี่ยนแปลง (ที่ไม่คงที่) ไปสู่การเปลี่ยนแปลงทั้งหมด หรือในทางกลับกัน และหลายครั้งในการศึกษาปัญหา เราทราบค่าหนึ่งและพยายามหาอีกค่าหนึ่ง

ฟิสิกส์ใช้แคลคูลัสอย่างมาก แนวคิดเชิงดิสครีตทั้งหมดในกลศาสตร์คลาสสิกและแม่เหล็กไฟฟ้ามีความสัมพันธ์กันผ่านแคลคูลัสเชิงดิสครีต มวลของวัตถุที่มีความหนาแน่นที่ทราบและเปลี่ยนแปลงทีละน้อยโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุดังกล่าว รวมถึงพลังงานรวมของวัตถุภายในสนามอนุรักษ์เชิงดิสครีต สามารถหาได้โดยใช้แคลคูลัสเชิงดิสครีต ตัวอย่างของการใช้แคลคูลัสเชิงดิสครีตในกลศาสตร์คือกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน : ในทางประวัติศาสตร์ กฎนี้ใช้คำว่า "การเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่" อย่างชัดเจน ซึ่งหมายถึงผลหารเชิงผลต่าง โดยกล่าวว่า การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุเท่ากับแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุและมีทิศทางเดียวกันโดยทั่วไปในปัจจุบันเขียนได้ว่า แรง = มวล × ความเร่ง ซึ่งจะใช้แคลคูลัสเชิงดิสครีตเมื่อการเปลี่ยนแปลงเป็นแบบเพิ่มขึ้นทีละน้อย เพราะความเร่งคือผลหารเชิงผลต่างของความเร็วเทียบกับเวลา หรือผลหารเชิงผลต่างอันดับสองของตำแหน่งในอวกาศ โดยเริ่มจากการทราบว่าวัตถุนั้นกำลังเร่งความเร็วอย่างไร เราจะใช้ผลรวมของรีมันน์เพื่อหาเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุนั้น

ทฤษฎี แม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์และ ทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ได้รับการแสดงออกมาในภาษาของแคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่อง

วิชาเคมีใช้แคลคูลัสในการกำหนดอัตราการเกิดปฏิกิริยาและการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ( การสลายตัวแบบเอกซ์ponential )

ในทางชีววิทยา พลวัตของประชากรเริ่มต้นด้วยอัตราการสืบพันธุ์และอัตราการตายเพื่อสร้างแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงของประชากร ( การสร้างแบบจำลองประชากร )

ในทางวิศวกรรมสมการเชิงผลต่างถูกนำมาใช้ในการกำหนดเส้นทางของยานอวกาศในสภาพแวดล้อมไร้แรงโน้มถ่วง รวมถึงใช้ในการจำลองการถ่ายเทความร้อนการแพร่และ การแพร่กระจาย ของ คลื่น

ทฤษฎีบทของกรีนในรูป แบบที่ไม่ต่อเนื่องนั้น ถูกนำมาประยุกต์ใช้ในเครื่องมือที่เรียกว่าแพลนิมิเตอร์ซึ่งใช้ในการคำนวณพื้นที่ผิวเรียบในแบบร่าง ตัวอย่างเช่น สามารถใช้คำนวณพื้นที่ที่แปลงดอกไม้หรือสระว่ายน้ำรูปทรงไม่สม่ำเสมอครอบครองเมื่อออกแบบผังที่ดิน นอกจากนี้ยังสามารถใช้คำนวณผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยมในภาพได้อย่างมีประสิทธิภาพ เพื่อแยกคุณลักษณะและตรวจจับวัตถุได้อย่างรวดเร็ว อีกหนึ่งอัลกอริทึมที่สามารถนำมาใช้ได้คือตารางพื้นที่รวม

ในสาขาการแพทย์ แคลคูลัสสามารถใช้หาค่ามุมแตกแขนงที่เหมาะสมที่สุดของหลอดเลือดเพื่อเพิ่มการไหลเวียนของเลือดให้สูงสุด นอกจากนี้ยังใช้ในการกำหนดกฎการให้ยาโดยอาศัยกฎการสลายตัวของยาบางชนิดออกจากร่างกาย และในเวชศาสตร์นิวเคลียร์ แคลคูลัสใช้ในการสร้างแบบจำลองการขนส่งรังสีในการรักษาเนื้องอกแบบเจาะจงเป้าหมาย

ในทางเศรษฐศาสตร์ แคลคูลัสช่วยให้สามารถกำหนดกำไรสูงสุดได้โดยการคำนวณทั้งต้นทุนส่วนเพิ่มและรายได้ส่วนเพิ่มรวมถึงการสร้างแบบจำลองของตลาด^{[ 5 ]}

ในการประมวลผลสัญญาณและการเรียนรู้ของเครื่อง แคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่องช่วยให้สามารถกำหนดนิยามที่เหมาะสมของตัวดำเนินการ (เช่น การสังเคราะห์) การเพิ่มประสิทธิภาพ เซตระดับและฟังก์ชันสำคัญอื่นๆ สำหรับการวิเคราะห์เครือข่ายประสาทบนโครงสร้างกราฟ^{[ 3 ]}

แคลคูลัสเชิงดิสครีตสามารถใช้ร่วมกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ ได้ ตัวอย่างเช่น สามารถใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเพื่อหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มเชิงดิสครีตจากฟังก์ชันความหนาแน่นที่สมมติขึ้น

สมมติว่าฟังก์ชัน ( cochain) ถูกกำหนดขึ้นที่จุดต่างๆ ซึ่งห่างกันตามค่าเพิ่มขึ้น: ${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Delta x=h>0}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

ผลต่าง (หรืออนุพันธ์ภายนอกหรือตัวดำเนินการขอบเขต) ของฟังก์ชันนั้นกำหนดโดย:

${\displaystyle {\big (}\Delta f{\big )}{\big (}[x,x+h]{\big )}=f(x+h)-f(x).}$

มันถูกกำหนดไว้ที่ช่วงเวลาแต่ละช่วงข้างต้น มันคือ-โคเชน ${\displaystyle 1}$

สมมติว่า มีการกำหนด โคเชน - ที่แต่ละช่วงข้างต้นผลรวม ของโคเชนดังกล่าว จะเป็นฟังก์ชัน ( โคเชน -) ที่กำหนด ณ แต่ละจุดโดย: ${\displaystyle 1}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left(\sum g\right)\!(a+nh)=\sum _{i=1}^{n}g{\big (}[a+(i-1)h,a+ih]{\big )}.}$

นี่คือคุณสมบัติของพวกมัน:

• กฎคงที่ : ถ้าเป็นค่าคงที่แล้ว${\displaystyle c}$

${\displaystyle \Delta c=0}$

• ความเป็นเชิงเส้น : ถ้าและเป็นค่าคงที่ ,${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g,\quad \sum (af+bg)=a\,\sum f+b\,\sum g}$

• กฎของผลิตภัณฑ์ :

${\displaystyle \Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g}$

• ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส 1 :

${\displaystyle \left(\sum \Delta f\right)\!(a+nh)=f(a+nh)-f(a)}$

• ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส 2 :

${\displaystyle \Delta \!\left(\sum g\right)=g}$

นิยามเหล่านี้ถูกนำไปใช้กับกราฟดังต่อไปนี้ หากมีการกำหนดฟังก์ชัน ( cochain) ที่โหนดของกราฟ: ${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle a,b,c,\ldots }$

ดังนั้นอนุพันธ์ภายนอก (หรือดิฟเฟอเรนเชียล) ของมันคือผลต่าง กล่าวคือ ฟังก์ชันต่อไปนี้ที่กำหนดบนขอบของกราฟ ( -cochain): ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \left(df\right)\!{\big (}[a,b]{\big )}=f(b)-f(a).}$

ถ้าเป็น-cochain แล้วค่าอินทิกรัล ของมัน เหนือลำดับของขอบของกราฟ จะเท่ากับผลรวมของค่าของมันเหนือขอบทั้งหมดของ("ค่าอินทิกรัลตามเส้นทาง"): ${\displaystyle g}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \int _{\sigma }g=\sum _{\sigma }g{\big (}[a,b]{\big )}.}$

คุณสมบัติมีดังนี้:

• กฎคงที่ : ถ้าเป็นค่าคงที่แล้ว${\displaystyle c}$

${\displaystyle dc=0}$

• ความเป็นเชิงเส้น : ถ้าและเป็นค่าคงที่ ,${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg,\quad \int _{\sigma }(af+bg)=a\,\int _{\sigma }f+b\,\int _{\sigma }g}$

• กฎของผลิตภัณฑ์ :

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df+df\,dg}$

• ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส 1 : ถ้าโซ่ n ประกอบด้วยขอบ n แล้วสำหรับโซ่ร่วม n ใดๆ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},a_{n}]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{\sigma }df=f(a_{n})-f(a_{0})}$

• ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส 2 : ถ้ากราฟเป็นต้นไม้จะเป็น-โคเชน และฟังก์ชัน ( -โคเชน) ถูกกำหนดบนโหนดของกราฟโดย${\displaystyle g}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\sigma }g}$

โดยที่โซ่ประกอบด้วยสำหรับค่าคงที่บางค่าแล้ว ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},x]}$${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle df=g}$

ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 3 ] [ 10 ]}

คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล คือเซตของซิมพลิเชียลที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle S}$

1. ทุกหน้าของซิมเพล็กซ์จากก็อยู่ใน ด้วยเช่นกัน${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

2. จุดตัดที่ไม่ว่างเปล่าของซิมเพล็กซ์สองอันใดๆจะเป็นหน้าของทั้งและ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in S}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$

ตามนิยามแล้วทิศทางของk-ซิมเพล็กซ์จะกำหนดโดยลำดับของจุดยอด ซึ่งเขียนแทนด้วยโดยมีกฎว่า ลำดับสองแบบจะกำหนดทิศทางเดียวกันก็ต่อเมื่อแตกต่างกันด้วยการเรียงสับเปลี่ยนแบบคู่เท่านั้น ดังนั้น ซิมเพล็กซ์ทุกอันจึงมีทิศทางสองแบบพอดี และการสลับลำดับของจุดยอดสองจุดจะเปลี่ยนทิศทางไปเป็นทิศทางตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่น การเลือกทิศทางของ 1-ซิมเพล็กซ์เท่ากับการเลือกทิศทางหนึ่งในสองทิศทางที่เป็นไปได้ และการเลือกทิศทางของ 2-ซิมเพล็กซ์เท่ากับการเลือกความหมายของ "ทวนเข็มนาฬิกา" ${\displaystyle (v_{0},...,v_{k})}$

ให้เป็นคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลk-เชน เชิงซิ มพลิ เชียล คือผลรวมเชิงรูปธรรม จำกัด${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,}$

โดยที่ c _iแต่ละจำนวนเต็ม และ σ _iเป็นk-ซิมเพล็กซ์แบบมีทิศทาง ในคำจำกัดความนี้ เราประกาศว่าซิมเพล็กซ์แบบมีทิศทางแต่ละตัวเท่ากับค่าลบของซิมเพล็กซ์ที่มีทิศทางตรงข้าม ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle (v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).}$

ปริมาณเวกเตอร์ของk -chain บนเขียนแทนด้วย โดยมีฐานที่สัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตของk -simplice ใน ในการกำหนดฐานอย่างชัดเจน จำเป็นต้องเลือกทิศทางของแต่ละ simplex วิธีมาตรฐานวิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการเลือกการเรียงลำดับของจุดยอดทั้งหมด และกำหนดทิศทางให้กับแต่ละ simplex ให้สอดคล้องกับการเรียงลำดับของจุดยอดนั้น ${\displaystyle S}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle S}$

ให้เป็นk-ซิมเพล็กซ์แบบมีทิศทาง ซึ่งมองได้ว่าเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของตัวดำเนินการขอบเขต${\displaystyle \sigma =(v_{0},...,v_{k})}$${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้นถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),}$

โดยที่ซิมเพล็กซ์แบบมีทิศทาง

${\displaystyle (v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})}$

คือด้านที่ th ของซึ่งได้มาจากการลบจุดยอดที่ th ของมัน${\displaystyle i}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle i}$

ในนั้นองค์ประกอบของกลุ่มย่อย ${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}=\ker \partial _{k}}$

เรียกว่าวัฏจักรและกลุ่มย่อย

${\displaystyle B_{k}=\operatorname {im} \partial _{k+1}}$

กล่าวกัน ว่า ประกอบด้วยขอบเขต

การคำนวณโดยตรงแสดงให้เห็นว่าในทางเรขาคณิต นี่หมายความว่าขอบเขตของสิ่งใดๆ ก็ไม่มีขอบเขต หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ปริภูมิเวกเตอร์ก่อ ตัวเป็นลูกโซ่เชิงซ้อนอีกข้อความที่เทียบเท่ากันคือบรรจุอยู่ใน${\displaystyle \partial ^{2}=0}$${\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}$${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle Z_{k}}$

คอมเพล็กซ์ทรงลูกบาศก์คือเซตที่ประกอบด้วยจุดเส้นตรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสลูกบาศก์และ รูป ทรงnมิติที่เทียบเท่ากันโดยใช้ในลักษณะเดียวกับซิมเพล็กซ์เพื่อสร้างคอมเพล็กซ์ช่วงพื้นฐานคือ เซตย่อยที่มีรูปแบบ ${\displaystyle I\subset \mathbf {R} }$

${\displaystyle I=[\ell ,\ell +1]\quad {\text{or}}\quad I=[\ell ,\ell ]}$

สำหรับบางค่าลูกบาศก์พื้นฐานคือผลคูณจำกัดของช่วงพื้นฐาน กล่าวคือ ${\displaystyle \ell \in \mathbf {Z} }$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subset \mathbf {R} ^{d}}$

โดยที่ช่วงเวลาพื้นฐานคือช่วงเวลาพื้นฐาน ในทำนองเดียวกัน ลูกบาศก์พื้นฐานคือการเลื่อนใดๆ ของลูกบาศก์หน่วยที่ฝังอยู่ในปริภูมิยุคลิด (สำหรับบางค่าที่มี) เซตหนึ่งเรียกว่าคอมเพล็กซ์ลูกบาศก์ถ้าสามารถเขียนได้เป็นผลรวมของลูกบาศก์พื้นฐาน (หรืออาจจะสมมูลกับเซตดังกล่าว) และประกอบด้วยหน้าทั้งหมดของลูกบาศก์ทั้งหมดในเซตนั้น ตัวดำเนินการขอบเขตและคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับที่ใช้สำหรับคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}}$${\displaystyle [0,1]^{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$${\displaystyle n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}}$${\displaystyle n\leq d}$${\displaystyle X\subseteq \mathbf {R} ^{d}}$

โดยทั่วไปแล้วจะหมายถึงกลุ่มเซลล์ต่างๆ

คอมเพล็กซ์ลูกโซ่ คือลำดับของปริภูมิเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อกันด้วยตัวดำเนินการเชิงเส้น (เรียกว่าตัวดำเนินการขอบเขต ) โดยที่การประกอบกันของแผนที่สองแผนที่ที่อยู่ติดกันใดๆ จะเป็นแผนที่ศูนย์ โดยชัดเจน ตัวดำเนินการขอบเขตจะสอดคล้องกับเงื่อนไข หรือ (โดยไม่ระบุเลขชี้กำลัง) คอมเพล็กซ์นี้สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle (C_{*},\partial _{*})}$${\displaystyle \ldots ,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},\ldots }$${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$${\displaystyle \partial ^{2}=0}$

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {\partial _{0}}}C_{0}{\xleftarrow {\partial _{1}}}C_{1}{\xleftarrow {\partial _{2}}}C_{2}{\xleftarrow {\partial _{3}}}C_{3}{\xleftarrow {\partial _{4}}}C_{4}{\xleftarrow {\partial _{5}}}\cdots }$

แผนที่ เชิงซิมพลิ เชียล (Simplicial map ) คือแผนที่ระหว่างคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิ เชียลที่มีคุณสมบัติว่า ภาพของจุดยอดของซิมเพล็กซ์จะครอบคลุมซิมเพล็กซ์เสมอ (ดังนั้น จุดยอดจึงมีจุดยอดเป็นภาพ) แผนที่เชิงซิมพลิเชียลจากคอมเพล็กซ์เชิง ซิมพลิเชียลหนึ่งไปยังอีกคอมเพล็กซ์หนึ่ง คือฟังก์ชันจากเซตจุด ยอดของคอมเพล็กซ์หนึ่ง ไปยังเซตจุดยอด ของคอมเพล็กซ์อีกคอมเพล็กซ์ หนึ่ง โดยที่ภาพของแต่ละซิมเพล็กซ์ใน คอมเพล็กซ์ แรก (มองเป็นเซตของจุดยอด) คือซิมเพล็กซ์ในคอมเพล็กซ์ที่สอง แผนที่นี้สร้างแผนที่เชิงเส้นที่เรียกว่าแผนที่ลูกโซ่ (Chain map ) จากคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ของคอมเพล็กซ์แรกไปยังคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ของคอมเพล็กซ์ที่สองโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะกำหนดบนลูกโซ่ - โดย ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}$

ถ้าค่าทั้งหมดแตกต่างกัน มิเช่นนั้นจะถูกกำหนดให้เท่ากับค่าอื่น ${\displaystyle f(v_{0}),...,f(v_{k})}$${\displaystyle 0}$

แผนที่ลูกโซ่ ระหว่างคอมเพล็กซ์ลูกโซ่สองตัวและคือลำดับของโฮโมมอร์ฟิซึมสำหรับแต่ละอันที่สลับตำแหน่งกับตัวดำเนินการขอบเขตบนคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ทั้งสอง ดังนั้นสิ่งนี้เขียนออกมาในแผนภาพการสลับตำแหน่ง ต่อไปนี้ : ${\displaystyle f}$${\displaystyle (A_{*},d_{A,*})}$${\displaystyle (B_{*},d_{B,*})}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

แผนที่แบบลูกโซ่จะส่งวงจรไปยังวงจร และขอบเขตไปยังขอบเขต

ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 11 ] [ 10 ] [ 12 ]}

สำหรับปริมาณเวกเตอร์C _i แต่ละตัว ในคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ เราจะพิจารณาปริมาณเวกเตอร์คู่ ของมัน และคือตัวดำเนินการเชิงเส้นคู่ ของมัน${\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},{\bf {R}}),}$${\displaystyle d^{i}=\partial _{i}^{*}}$

${\displaystyle d^{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือการ "พลิกกลับทิศทางของลูกศรทั้งหมด" ในโครงสร้างเชิงซ้อนเดิม ทำให้เกิดโครงสร้างเชิงซ้อนแบบโคเชนขึ้น

${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {\partial _{i}^{*}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {\partial _{i-1}^{*}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$

คอมเพล็กซ์โคเชน เป็น แนวคิด คู่ขนานของคอมเพล็กซ์เชน ประกอบด้วยลำดับของปริภูมิเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อกันด้วยตัวดำเนินการเชิงเส้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขคอมเพล็กซ์โคเชนสามารถเขียนออกมาได้ในลักษณะเดียวกับคอมเพล็กซ์เชน ${\displaystyle (C^{*},d^{*})}$${\displaystyle ...,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},...}$${\displaystyle d^{n}:C^{n}\to C^{n+1}}$${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}C^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}C^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}C^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}C^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}C^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

ดัชนีในทั้งสองกรณีเรียกว่าระดับ (หรือมิติ ) ความแตกต่างระหว่างคอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่และคอมเพล็กซ์แบบโคเชนคือ ในคอมเพล็กซ์แบบลูกโซ่ ค่าความแตกต่างจะลดมิติลง ในขณะที่ในคอมเพล็กซ์แบบโคเชน ค่าความแตกต่างจะเพิ่มมิติขึ้น ${\displaystyle n}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle C^{n}}$

องค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์แต่ละส่วนของคอมเพล็กซ์ (โค)เชน เรียกว่าโคเชนองค์ประกอบในเคอร์เนลของเรียกว่าโคไซเคิล (หรือ องค์ประกอบ ปิด ) และองค์ประกอบในภาพของเรียกว่าโคบาวน์ดารี (หรือ องค์ประกอบ ที่แน่นอน ) จากนิยามของอนุพันธ์โดยตรง บาวน์ดารีทั้งหมดเป็นไซเคิล ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

ทฤษฎีบทปวงกาเรกล่าวว่า ถ้าเป็นทรงกลมเปิดในรูปแบบปิดใดๆ ที่นิยามบน จะเป็น จำนวน เต็มที่แน่นอน สำหรับจำนวนเต็มใดๆ ที่มี${\displaystyle B}$${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\leq p\leq n}$

เมื่อเรากล่าวถึงโคเชนว่าเป็นรูปแบบดิสครีต (เชิงอนุพันธ์)เราจะหมายถึงอนุพันธ์ภายนอกเรายังใช้สัญลักษณ์แคลคูลัสสำหรับค่าของรูปแบบเหล่านั้นด้วย: ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \omega (s)=\int _{s}\omega .}$

ทฤษฎีบทของสโตกส์เป็นข้อความเกี่ยวกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์แบบไม่ต่อเนื่องบนแมนิโฟลด์ซึ่งเป็นการขยายทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับการแบ่งช่วง:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\Delta F}{\Delta x}}(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

ทฤษฎีบทของสโตกส์กล่าวว่า ผลรวมของฟอร์มบนขอบเขตของแมนิโฟลด์ที่กำหนดทิศทางได้ บาง อย่าง เท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ภายนอก ของฟอร์มนั้น บนแมนิโฟลด์ทั้งหมด กล่าวคือ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle d\omega }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega \,.}$

การพิจารณาหลักการพื้นฐานโดยยกตัวอย่างเกี่ยวกับมิติเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ แนวคิดสำคัญสามารถเข้าใจได้จากแผนภาพทางด้านซ้าย ซึ่งแสดงให้เห็นว่า ในการปูพื้นแบบมีทิศทางของแมนิโฟลด์ เส้นทางภายในจะถูกสำรวจในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้น ผลรวมของเส้นทางเหล่านั้นต่อปริพันธ์เส้นทางจึงหักล้างกันเป็นคู่ๆ ผลที่ตามมาคือ เหลือเพียงผลรวมจากขอบเขตเท่านั้น ${\displaystyle d=2}$

ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 11 ] [ 10 ]}

ในแคลคูลัสแบบไม่ต่อเนื่อง นี่คือโครงสร้างที่สร้างรูปแบบลำดับสูงกว่าจากรูปแบบต่างๆ โดยการเชื่อมต่อโคเชน สองอัน ที่มีดีกรีและเพื่อสร้างโคเชนประกอบที่มีดีกรี ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p+q}$

สำหรับคอมเพล็กซ์ทรงลูกบาศก์ผลคูณลิ่มจะถูกกำหนดไว้บนลูกบาศก์ทุกลูกที่มองว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติเดียวกัน

สำหรับคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลผลคูณลิ่มจะถูกนำมาใช้ในรูปผลคูณถ้วย : ถ้าเป็น-โคเชน และเป็น-โคเชน แล้ว ${\displaystyle f^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle g^{q}}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle (f^{p}\smile g^{q})(\sigma )=f^{p}(\sigma _{0,1,...,p})\cdot g^{q}(\sigma _{p,p+1,...,p+q})}$

โดยที่เป็น ซิ มเพล็กซ์และเป็นซิมเพล็กซ์ที่แผ่ขยายโดยไปยังซิมเพล็กซ์ ที่มีจุดยอดเรียงตามดัชนีดังนั้นคือหน้าลำดับที่และคือหลังลำดับที่ของตามลำดับ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (p+q)}$${\displaystyle \sigma _{S},\ S\subset \{0,1,...,p+q\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (p+q)}$${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$${\displaystyle \sigma _{0,1,...,p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \sigma _{p,p+1,...,p+q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \sigma }$

โคบาวน์ดารีของผลคูณคัพของโคเชนและกำหนดโดย ${\displaystyle f^{p}}$${\displaystyle g^{q}}$

${\displaystyle d(f^{p}\smile g^{q})=d{f^{p}}\smile g^{q}+(-1)^{p}(f^{p}\smile d{g^{q}}).}$

ผลคูณแบบคัพของโคไซเคิลสองตัวก็จะได้โคไซเคิลอีกตัวหนึ่ง และผลคูณของโคบาวน์ดารีกับโคไซเคิล (ไม่ว่าจะเรียงลำดับใด) ก็จะได้โคบาวน์ดารีเช่นกัน

การดำเนินงานผลิตภัณฑ์ถ้วยเป็นไปตามเอกลักษณ์ที่กำหนด

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p}).}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การคูณที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นการคูณแบบสลับที่ได้แบบมีลำดับขั้น

ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 11 ]}

อย่างไรก็ตาม ผลิตภัณฑ์ลิ่มยังสามารถกำหนดได้บนคอมเพล็กซ์เซลลูลาร์ ซึ่งเซลล์ที่มีมิติสูงสุดเป็นรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป ผลิตภัณฑ์ลิ่มดังกล่าวได้รับการนำเสนอในแคลคูลัสภายนอกแบบไม่ต่อเนื่องที่เรียบง่ายและสมบูรณ์บนตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมทั่วไปยิ่งไปกว่านั้น ผู้เขียนยังใช้ผลิตภัณฑ์ลิ่มรูปหลายเหลี่ยมนี้เพื่อกำหนดอนุพันธ์ Lie แบบไม่ต่อเนื่องบนตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป^{[ 13 ]}

ตัวดำเนินการลาปลาสของฟังก์ชันที่จุดยอดคือ (โดยมีตัวประกอบ) อัตราที่ค่าเฉลี่ยของในบริเวณใกล้เคียงเซลล์ของเบี่ยงเบนจากตัวดำเนินการลาปลาสแสดงถึงความหนาแน่นของฟลักซ์ของการไหลแบบเกรเดียนต์ของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น อัตราสุทธิที่สารเคมีที่ละลายในของเหลวเคลื่อนที่เข้าหรือออกจากจุดใดจุดหนึ่งเป็นสัดส่วนกับตัวดำเนินการลาปลาสของความเข้มข้นของสารเคมี ณ จุดนั้น เมื่อแสดงในเชิงสัญลักษณ์ สมการที่ได้คือสมการการแพร่ด้วยเหตุผลเหล่านี้ จึงมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์เพื่อจำลองปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ต่างๆ ${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(p)}$

โคดิฟเฟอเรนเชียล

${\displaystyle \delta :C^{k}\to C^{k-1}}$

เป็นตัวดำเนินการที่กำหนดบนฟอร์มโดย: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k-1)+1}{\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star },}$

โดยที่อนุพันธ์ภายนอกหรือดิฟเฟอเรนเชียลภายนอกคือ และคือตัวดำเนินการดาวของ Hodge ${\displaystyle d}$${\displaystyle \star }$

โคดิฟเฟอเรนเชียลคือแอดจอยต์ของอนุพันธ์ภายนอกตามทฤษฎีบทของสโตกส์:

${\displaystyle (\eta ,\delta \zeta )=(d\eta ,\zeta ).}$

เนื่องจากอนุพันธ์เป็นไปตามเงื่อนไขดังนั้นอนุพันธ์ร่วมจึงมีคุณสมบัติที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \delta ^{2}={\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(n-k)}{\star }d^{2}{\star }=0.}$

ตัวดำเนินการลาปลาซถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta .}$

ดูเอกสารอ้างอิง^{[ 10 ]}

• วิธีองค์ประกอบแยกส่วน
• ความแตกต่างที่หารกัน
• สัมประสิทธิ์ความแตกต่างจำกัด
• วิธีผลต่างจำกัด
• วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์
• วิธีปริมาตรจำกัด
• การหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข
• การบูรณาการเชิงตัวเลข
• วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

• แคลคูลัสของผลต่างจำกัด
• แคลคูลัสบนกราฟถ่วงน้ำหนักจำกัด
• ออโตมาตาเซลลูลาร์
• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบไม่ต่อเนื่อง
• ตัวดำเนินการลาปลาสแบบไม่ต่อเนื่อง
• แคลคูลัสของผลต่างจำกัด แคลคูลัสเชิงดิสครีต หรือการวิเคราะห์เชิงดิสครีต
• ทฤษฎีมอร์สแบบไม่ต่อเนื่อง