การแปลงแบบไดอะดิก (เรียกอีกอย่างว่าแผนที่ไดอะดิกแผนที่การเลื่อนบิตแผนที่2 x  mod  1 แผนที่เบอร์นูลลีแผนที่การคูณสองเท่าหรือแผนที่ฟันเลื่อย^{[ 1 ] [ 2 ]} ) คือการแมป (เช่น ความ สัมพันธ์เวียนเกิด )

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

(ที่ไหน${\displaystyle [0,1)^{\infty }}$คือเซตของลำดับจาก${\displaystyle [0,1)}$) ที่สร้างขึ้นโดยกฎ

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle {\text{for all }}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$[ ^{3 ]​}

ในทำนองเดียวกัน การแปลงแบบไดอะดิกสามารถนิยามได้ว่าเป็น แผนที่ ฟังก์ชันแบบวนซ้ำของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

ชื่อ " แผนที่เลื่อนบิต" (Bit Shift Map)มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า หากค่าของตัววนซ้ำถูกเขียนใน รูปแบบ เลขฐานสองค่าของตัววนซ้ำถัดไปจะได้รับโดยการเลื่อนจุดเลขฐานสองไปทางขวาหนึ่งบิต และหากบิตทางซ้ายของจุดเลขฐานสองใหม่เป็น "หนึ่ง" ก็จะแทนที่ด้วยศูนย์

การแปลงแบบไดอะดิกเป็นตัวอย่างหนึ่งที่แสดงให้เห็นว่าแผนที่ 1 มิติแบบง่ายๆ สามารถก่อให้เกิดความโกลาหล ได้อย่างไร แผนที่นี้สามารถขยายไปสู่แผนที่อื่นๆ ได้อีกหลายแบบ แผนที่สำคัญอย่างหนึ่งคือการแปลงแบบเบตาซึ่งนิยามว่า${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$แผนที่นี้ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางโดยผู้เขียนหลายท่าน โดยได้รับการแนะนำโดยAlfréd Rényiในปี 1957 และAlexander Gelfond ได้ให้มาตรวัดคงที่สำหรับแผนที่นี้ ในปี 1959 และBill Parry ได้ทำการศึกษาอย่างอิสระอีกครั้ง ในปี 1960 ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

แผนที่นี้สามารถหาได้จากโฮโมมอร์ฟิซึมบนกระบวนการเบอร์นูลลีให้${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$เป็นเซตของสตริงกึ่งอนันต์ทั้งหมดของตัวอักษร${\displaystyle H}$และ${\displaystyle T}$สิ่งเหล่านี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเหมือนการโยนเหรียญ ที่ได้หัวหรือก้อย ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเขียนได้ว่า${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$พื้นที่ของสายบิตไบนารี (กึ่ง)อนันต์ทั้งหมด คำว่า "อนันต์" มีคำว่า "กึ่ง" ต่อท้าย เนื่องจากเราสามารถกำหนดพื้นที่ที่แตกต่างออกไปได้อีกแบบหนึ่ง${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$ประกอบด้วยสตริงอนันต์สองด้าน (สองปลาย) ทั้งหมด ซึ่งจะนำไปสู่แผนที่ของเบเกอร์คำคุณศัพท์ "กึ่ง" ถูกตัดออกด้านล่าง

พื้นที่นี้มีการดำเนินการเลื่อน ตามธรรมชาติ ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

ที่ไหน${\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots )}$เป็นสตริงเลขฐานสองที่ไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อกำหนดสตริงดังกล่าว ให้เขียน

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

ผลลัพธ์${\displaystyle x}$เป็นจำนวนจริงในช่วงหน่วย${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$การเปลี่ยนแปลง${\displaystyle T}$เหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมหรือเรียกอีกอย่างว่า${\displaystyle T}$บนช่วงหน่วย เนื่องจาก${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),}$สามารถมองเห็นได้อย่างง่ายดายว่า${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$ สำหรับลำดับบิตอนันต์สองเท่า${\displaystyle \โอเมก้า =2^{\mathbb {Z} },}$โฮโมมอร์ฟิซึมที่เหนี่ยวนำคือแผนที่ของเบเกอร์

ลำดับทวิภาคจึงเป็นเพียงลำดับนั้นเอง

${\displaystyle (x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )}$

นั่นคือ${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x).}$

ลักษณะเด่นอย่างหนึ่งของพลวัตแบบอลวนคือการสูญเสียข้อมูลในระหว่างการจำลอง หากเราเริ่มต้นด้วยข้อมูลเกี่ยวกับบิตแรกsบิตของค่าเริ่มต้น หลังจากจำลองไปm ครั้ง ( m  < s ) เราจะมีข้อมูลเหลืออยู่เพียงs − mบิตเท่านั้น ดังนั้นเราจึงสูญเสียข้อมูลในอัตราเลขชี้กำลังหนึ่งบิตต่อการจำลองหนึ่งครั้ง หลังจากsครั้ง การจำลองของเราจะถึงจุดคงที่ศูนย์ โดยไม่คำนึงถึงค่าค่าเริ่มต้นที่แท้จริง ดังนั้นเราจึงสูญเสียข้อมูลไปทั้งหมด นี่แสดงให้เห็นถึงความขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างมาก การแมปจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่ถูกตัดทอนนั้นเบี่ยงเบนไปจากแมปจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่แท้จริงในอัตราเลขชี้กำลัง และเนื่องจากการจำลองของเราถึงจุดคงที่แล้ว สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมด มันจะไม่สามารถอธิบายพลวัตในลักษณะที่ถูกต้องตามหลักความอลวนได้   

แนวคิดเรื่องการสูญเสียข้อมูลนั้นเทียบเท่ากับแนวคิดเรื่องการได้รับข้อมูล ในทางปฏิบัติ กระบวนการในโลกแห่งความเป็นจริงอาจสร้างลำดับของค่า ( xn ขึ้นมาในช่วงเวลาหนึ่ง แต่เราอาจสังเกตเห็นค่าเหล่านี้ได้ในรูปแบบที่ถูกตัดทอนเท่านั้น สมมติว่าx0 = แต่เราสังเกตเห็นได้เพียงค่าที่ถูกตัดทอนคือ 0.1001 เท่านั้น การคาดการณ์ของเราสำหรับคือ 0.001 หากเรารอจนกว่ากระบวนการในโลกแห่งความเป็นจริงจะสร้าง ค่า x1 ที่ คือ 0.001101 เราจะสามารถสังเกตเห็นค่าที่ถูกตัดทอนคือ 0.0011 ซึ่งแม่นยำกว่าค่าที่เราคาดการณ์ไว้คือ 0.001 ดังนั้นเราจึงได้รับข้อมูลเพิ่มขึ้นหนึ่งบิต  

การแปลงแบบไดอะดิกเป็นการสมมูลกึ่งโทโพโลยีกับแผนที่เต็นท์ ความสูงหนึ่งหน่วย โปรดจำไว้ว่าแผนที่เต็นท์ความสูงหนึ่งหน่วยกำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\\1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{cases}}}$

การผันคำกริยาถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนโดย

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

ดังนั้น

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

นั่นคือ${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$วิธีการนี้มีความเสถียรภายใต้การวนซ้ำ เนื่องจาก

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

นอกจากนี้ยังเป็นคู่ควบกับกรณีอลหม่านr  =  4 ของแผนที่โลจิสติกส์กรณีr  =  4 ของแผนที่โลจิสติกส์คือ${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})}$สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับ แผนที่ การเลื่อนบิตในตัวแปรxโดย

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

นอกจากนี้ยังมีความสัมพันธ์กึ่งคู่ควบระหว่างการแปลงแบบไดอะดิก (ในที่นี้เรียกว่าแผนที่เพิ่มมุมเป็นสองเท่า) และพหุนามกำลังสองโดยแผนที่นี้จะเพิ่มมุมที่วัดเป็นรอบ เป็นสองเท่า กล่าวคือ แผนที่นี้กำหนดโดย

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .}$

เนื่องจากพลวัตมีลักษณะที่เรียบง่ายเมื่อพิจารณาการวนซ้ำในรูปแบบเลขฐานสอง จึงง่ายต่อการจัดหมวดหมู่พลวัตตามเงื่อนไขเริ่มต้น:

ถ้าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นจำนวนอตรรกยะ (เช่นเดียวกับจุดเกือบทั้งหมดในช่วงหน่วย) พลวัตก็จะไม่มีคาบ – ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากนิยามของจำนวนอตรรกยะว่าเป็นจำนวนที่มีการขยายเลขฐานสองที่ไม่ซ้ำกัน นี่คือกรณีของความโกลาหล

ถ้าx₀เป็นจำนวนตรรกยะภาพของx₀จะมีค่าที่แตกต่างกันจำนวนจำกัดภายในช่วง [0, และวงโคจรไปข้างหน้า x₀ จะเป็นคาบในที่สุด โดยมีคาบเท่ากับคาบของ การขยายเลข ฐานสองของx₀ เฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นจำนวนตรรกยะที่มีการขยายเลขฐานสองจำนวนจำกัดkบิต หลังจาก วนซ้ำ kครั้ง ค่าที่ได้จะไปถึงจุดคงที่ 0; ถ้าเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นจำนวนตรรกยะที่มีค่า ชั่วคราว kบิต ( k ≥ 0) ตามด้วย ลำดับ qบิต ( q > 1) ที่วนซ้ำไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด หลังจาก วนซ้ำ kครั้ง ค่าที่ได้จะไปถึงวัฏจักรที่มีความยาวqดังนั้นจึงสามารถสร้างวัฏจักรที่มีความยาวทุกขนาดได้     

ตัวอย่างเช่น วงโคจรไปข้างหน้าของวันที่ 24 พฤศจิกายน คือ:

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,}$

ซึ่งได้ถึงรอบที่มีคาบ 2 แล้ว ภายในช่วงย่อยใดๆ ของ [0, 1) ไม่ว่าจะเล็กแค่ไหนก็ตาม จึงมีจุดจำนวนอนันต์ที่มีวงโคจรเป็นคาบในที่สุด และมีจุดจำนวนอนันต์ที่มีวงโคจรไม่เป็นคาบเลย ความขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างละเอียดอ่อนนี้เป็นลักษณะเฉพาะของแผนที่อลวน

แทนที่จะพิจารณาเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดแต่ละจุดภายใต้การทำงานของแผนที่ การสำรวจว่าแผนที่ส่งผลต่อความหนาแน่นบนช่วงหน่วยอย่างไรก็คุ้มค่าไม่แพ้กัน กล่าวคือ ลองนึกภาพการโปรยฝุ่นลงบนช่วงหน่วย ฝุ่นจะหนาแน่นในบางจุดมากกว่าในจุดอื่น แล้วความหนาแน่นนี้จะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเราทำซ้ำไปเรื่อยๆ?

เขียน${\displaystyle \rho$ :[0,1]\to \mathbb {R} } เป็นความหนาแน่นนี้ ดังนั้น${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$เพื่อให้ได้มาซึ่งการกระทำของ${\displaystyle T}$จากความหนาแน่นนี้ จำเป็นต้องค้นหาจุดทั้งหมด${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$และเขียน^{[ 7 ]}

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}}$

ตัวส่วนในสมการข้างต้นคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนของการแปลง ซึ่งในที่นี้ก็คืออนุพันธ์ของ เมทริกซ์นั่นเอง${\displaystyle T}$และดังนั้น${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$นอกจากนี้ เห็นได้ชัดว่ามีเพียงสองจุดในภาพต้นแบบของ${\displaystyle T^{-1}(x)}$เหล่านี้คือ${\displaystyle y=x/2}$และ${\displaystyle y=(x+1)/2.}$เมื่อนำทุกอย่างมารวมกันแล้วจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

ตามธรรมเนียมแล้ว แผนที่ประเภทนี้จะถูกแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ดังนั้นในกรณีนี้ ให้เขียนว่า

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

แผนที่${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นดังที่เห็นได้ง่ายๆ ว่า${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$และ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด${\displaystyle f,g}$บนช่วงหน่วย และค่าคงที่ทั้งหมด${\displaystyle a}$.

เมื่อมองในฐานะตัวดำเนินการเชิงเส้น คำถามที่ชัดเจนและเร่งด่วนที่สุดคือสเปกตรัม ของมันคืออะไร ? ค่าลักษณะเฉพาะค่า หนึ่ง นั้นชัดเจน: ถ้า${\displaystyle \rho (x)=1}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$แล้วเห็นได้ชัดว่าคนหนึ่งมี${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho }$ดังนั้นความหนาแน่นสม่ำเสมอจึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง อันที่จริงนี่คือค่าลักษณะเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดของตัวดำเนินการ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$นั่นคือค่าไอเกนของฟรอเบนิอุส-เพอร์รอนความหนาแน่นสม่ำเสมอแท้จริงแล้วก็คือมาตรวัดไม่เปลี่ยนแปลงของการแปลงไดอะดิกนั่นเอง

เพื่อสำรวจสเปกตรัมของ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$โดยรายละเอียดเพิ่มเติม เราต้องจำกัดตัวเองให้อยู่ในพื้นที่ฟังก์ชัน ที่เหมาะสม (บนช่วงหน่วย) ก่อนจึงจะทำงานด้วยได้ นี่อาจเป็นพื้นที่ของฟังก์ชันที่วัดได้แบบเลเบสหรืออาจเป็นพื้นที่ของ ฟังก์ชัน ที่หาปริพันธ์กำลังสองได้หรืออาจเป็นเพียงพหุนามการทำงานกับพื้นที่เหล่านี้เป็นเรื่องยากอย่างน่าประหลาดใจ แม้ว่าจะสามารถหาสเปกตรัมได้ก็ตาม^{[ 7 ]}

แฮมิลโทเนียนของ แบบจำลองไอซิงหนึ่งมิติที่ไม่มีสนาม${\displaystyle 2N}$สปินที่มีเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle H(\sigma )=g\sum _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}\sigma _{i}\sigma _{i+1}.}$

ให้เช่า${\displaystyle C}$ควรเลือกค่าคงที่การปรับมาตรฐานให้เหมาะสม และ${\displaystyle \beta }$โดยที่ เป็นอุณหภูมิผกผันของระบบ ฟังก์ชันการแบ่งส่วนสำหรับแบบจำลองนี้กำหนดโดย

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{2N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}Ce^{-\beta g\sigma _{i}\sigma _{i+1}}.}$

เราสามารถใช้กลุ่มการปรับมาตรฐาน ได้ โดยการอินทิเกรตสปินทุกๆ ตัวสลับกันไป เมื่อทำเช่นนั้นแล้ว จะพบว่า${\displaystyle Z}$นอกจากนี้ยังสามารถเทียบได้กับฟังก์ชันการแบ่งพาร์ติชันสำหรับระบบขนาดเล็กที่มีแต่${\displaystyle N}$หมุน

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{N}}{\mathcal {R}}[C]e^{-{\mathcal {R}}[\beta g]\sigma _{i}\sigma _{i+1}},}$

โดยมีเงื่อนไขว่าเราจะเปลี่ยนใหม่${\displaystyle C}$และ${\displaystyle \beta g}$ด้วยค่าที่ปรับใหม่แล้ว${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]}$และ${\displaystyle {\mathcal {R}}[\beta g]}$สอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]^{2}=4\cosh(2\beta g)C^{4},}$

${\displaystyle e^{-2{\mathcal {R}}[\beta g]}=\cosh(2\beta g).}$

สมมติว่าตอนนี้เราอนุญาตให้${\displaystyle \beta g}$มีความซับซ้อนและว่า${\displaystyle \operatorname {Im} [2\beta g]={\frac {\pi }{2}}+\pi n}$สำหรับบางคน${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ในกรณีนั้น เราสามารถแนะนำพารามิเตอร์ได้${\displaystyle t\in [0,1)}$เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle \beta g}$ผ่านสมการ

${\displaystyle e^{-2\beta g}=i\tan {\big (}\pi (t-{\frac {1}{2}}){\big )},}$

และการแปลงกลุ่มการปรับขนาดที่เกิดขึ้นสำหรับ${\displaystyle t}$จะเป็นแผนที่คู่ที่แม่นยำ: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\mathcal {R}}[t]=2t{\bmod {1}}.}$

• กระบวนการเบอร์นูลลี
• แผนการของเบอร์นูลลี
• แบบจำลอง Gilbert–Shannon–Reedsคือการแจกแจงแบบสุ่มบนลำดับการเรียงสับเปลี่ยนที่ได้จากการใช้แผนที่การคูณสองเท่ากับชุด จุดสุ่มแบบสม่ำเสมอ nจุดบนช่วงหน่วย