ในทางคณิตศาสตร์ความเท่าเทียมกันคือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณหรือนิพจน์ สองอย่าง โดยระบุว่ามีค่าเท่ากันหรือแสดงถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์เดียวกัน^{[ 1 ] [ 2 ]}ความเท่าเทียมกันระหว่างAและBเขียนแทนด้วยเครื่องหมายเท่ากับเป็นA  =  Bและอ่านว่า " Aเท่ากับB " นิพจน์ที่เขียนแสดงความเท่าเทียมกันเรียกว่าสมการหรือเอกลักษณ์ขึ้นอยู่กับบริบท วัตถุสองอย่างที่ไม่เท่ากันเรียกว่าแตกต่างกัน^{[ 3 ]}

ความเท่าเทียมกันมักถูกมองว่าเป็นแนวคิดพื้นฐานหมายความว่ามันไม่ได้ถูกนิยามอย่างเป็นทางการ แต่ถูกกล่าวอย่างไม่เป็นทางการว่า "เป็นความสัมพันธ์ที่สิ่งหนึ่งมีต่อตัวมันเองและไม่มีสิ่งอื่นใดเกี่ยวข้อง" ลักษณะเช่นนี้เป็นการวนลูปอย่างเห็นได้ชัด ("ไม่มีสิ่งอื่นใด ") ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงความยากลำบากทางแนวคิดทั่วไปในการกำหนดลักษณะของแนวคิดนี้อย่างครบถ้วน คุณสมบัติพื้นฐานเกี่ยวกับความเท่าเทียมกัน เช่นการสะท้อนกลับความสมมาตรและการถ่ายทอด ได้รับการเข้าใจโดยสัญชาตญาณมาตั้งแต่ สมัย กรีกโบราณ เป็นอย่างน้อย แต่ไม่ได้ถูกกล่าวถึงในเชิงสัญลักษณ์ว่าเป็นคุณสมบัติทั่วไปของความสัมพันธ์จนกระทั่งปลายศตวรรษที่ 19 โดยจูเซปเป เปอาโนคุณสมบัติอื่นๆ เช่นการแทนที่และการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันก็ไม่ได้ถูกกล่าวถึงอย่างเป็นทางการจนกระทั่งมีการพัฒนาตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์

โดยทั่วไปแล้ว มีสองวิธีในการกำหนดความเท่าเทียมกันในคณิตศาสตร์ ได้แก่ ผ่านตรรกศาสตร์หรือผ่านทฤษฎีเซตในตรรกศาสตร์ ความเท่าเทียมกันเป็นตัวบ่งชี้ พื้นฐาน ( ประโยคที่อาจมีตัวแปรอิสระ ) ที่มีคุณสมบัติการสะท้อนกลับ (เรียกว่ากฎเอกลักษณ์ ) และคุณสมบัติการแทนที่ จากคุณสมบัติเหล่านี้ เราสามารถอนุมานคุณสมบัติอื่นๆ ที่มักจำเป็นสำหรับความเท่าเทียมกันได้ หลังจากวิกฤตการณ์พื้นฐานในคณิตศาสตร์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีเซต (โดยเฉพาะทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel ) กลายเป็นพื้นฐานที่ใช้กันมากที่สุดในคณิตศาสตร์ในทฤษฎีเซต เซตสองเซต ใดๆ จะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิก เหมือนกันทั้งหมด นี่เรียกว่าสัจพจน์ของความเท่าเทียมกัน

ในภาษาอังกฤษ คำว่าequalมาจากภาษาละตินaequālis ('เหมือน', 'เทียบเคียงได้', 'คล้ายคลึงกัน') ซึ่งมาจากaequus ('ระดับ', 'ยุติธรรม') ^{[ 5 ]}คำนี้เข้ามาในภาษาอังกฤษยุคกลางราวศตวรรษที่ 14 โดยยืมมาจากภาษาฝรั่งเศสโบราณequalité (ปัจจุบันคือ égalité ) ^{[ 6 ]}โดยทั่วไปแล้ว คำพ้องความหมายระหว่างภาษาของequalได้ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางมากขึ้นตลอดประวัติศาสตร์ (ดู§ เรขาคณิต )

ก่อนศตวรรษที่ 16 ไม่มีสัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับความเท่าเทียมกัน และความเท่าเทียมกันมักจะแสดงด้วยคำ เช่นaequales, aequantur, esgale, faciunt, ghelijckหรือgleichและบางครั้งก็ใช้รูปแบบย่อaeqหรือเพียงแค่⟨æ⟩และ⟨œ⟩ ^{[ 7 ]} การใช้ ⟨ἴσ⟩ของDiophantusซึ่งเป็นคำย่อของἴσος ( ísos 'เท่ากัน') ในArithmetica ( ประมาณ ค.ศ. 250 ) ถือเป็นหนึ่งในการใช้เครื่องหมายเท่ากับครั้งแรก ๆ ^{[ 8 ]}

เครื่องหมาย=ซึ่งปัจจุบันได้รับการยอมรับอย่างเป็นสากลในคณิตศาสตร์ว่าหมายถึงความเท่าเทียมกัน ได้รับการบันทึกไว้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเวลส์Robert Recordeในหนังสือ The Whetstone of Witte (1557) เพียงหนึ่งปีก่อนที่เขาจะเสียชีวิต รูปแบบดั้งเดิมของสัญลักษณ์นั้นกว้างกว่ารูปแบบปัจจุบันมาก ในหนังสือของเขา Recorde อธิบายสัญลักษณ์ของเขาว่าเป็น "เส้น Gemowe" มาจากภาษาละตินgemellus ('แฝด') โดยใช้เส้นขนาน สองเส้น เพื่อแสดงถึงความเท่าเทียมกัน เพราะเขาเชื่อว่า "ไม่มีสองสิ่งใดที่จะเท่าเทียมกันได้มากกว่านี้" ^{[ 4 ] [ 7 ]}

สัญลักษณ์ของ Recorde ไม่ได้รับความนิยมในทันที หลังจากการนำเสนอแล้ว ก็ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในงานพิมพ์อีกจนกระทั่งปี 1618 (61 ปีต่อมา) ในภาคผนวกที่ไม่ระบุชื่อในการแปลDescriptio เป็นภาษาอังกฤษ ของ Edward WrightโดยJohn Napierจนกระทั่งปี 1631 จึงได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางในอังกฤษ โดยถูกนำมาใช้เป็นสัญลักษณ์แทนความเท่าเทียมกันในงานที่มีอิทธิพลไม่กี่ชิ้น ต่อมานักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลหลายคนได้ใช้สัญลักษณ์นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งIsaac NewtonและGottfried Leibnizและเนื่องจากแคลคูลัสเป็นที่แพร่หลายในขณะนั้นจึงแพร่กระจายไปทั่วยุโรปอย่างรวดเร็ว^{[ 7 ]}

การสะท้อนกลับ

สำหรับทุก^aจะมีa = a ^{[ 9} ] ^{[ 10 ]}

สมมาตร

^{สำหรับ}ทุกaและbถ้าa = bแล้วb = a ^{[ 9 ]} [ ^{10 ]}

การถ่ายทอด

^{สำหรับ}ทุกๆa , bและcถ้าa = bและb = cแล้วa = c ^{[ 9 ] [ 10} ]

การทดแทน

โดยไม่เป็นทางการ นี่หมายความว่าถ้าa = bแล้วaสามารถแทนที่bในนิพจน์หรือสูตร ทางคณิตศาสตร์ใดๆ ได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงความหมาย^{[ 9 ] [ 11 ] [ 12 ]} (สำหรับคำอธิบายอย่างเป็นทางการ โปรดดู§ สัจพจน์ ) ตัวอย่างเช่น:

• กำหนดให้จำนวนจริงaและbถ้าa = bแล้วแสดงว่า${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b>0.}$

การประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน

สำหรับทุกaและbโดยมีฟังก์ชัน บางอย่าง ถ้าa = bแล้ว^{[ 13 ] [ 12 ]}ตัวอย่างเช่น:${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(a)=f(b).}$

• กำหนดให้จำนวนเต็มaและbถ้าa = bแล้ว(ในที่นี้)${\displaystyle 3a+1=3b+1.}$${\displaystyle f(x)=3x+1}$
• กำหนดให้ฟังก์ชันจริง⁠ ⁠${\displaystyle g}$และ⁠ ⁠${\displaystyle h}$อยู่เหนือตัวแปรa บางตัว ถ้าสำหรับทุกaแล้วสำหรับทุกa (ในที่นี้ฟังก์ชันเหนือฟังก์ชัน (กล่าวคือตัวดำเนินการ ) เรียกว่าอนุพันธ์ )${\displaystyle g(a)=h(a)}$${\textstyle {\frac {d}{da}}g(a)={\frac {d}{da}}h(a)}$${\textstyle f(x)={\frac {dx}{da}},}$

โดยทั่วไปแล้ว คุณสมบัติสามประการแรกนั้นได้รับการยกย่องให้เป็นผลงานของจูเซปเป เปอาโนเนื่องจากเขาเป็นคนแรกที่ระบุคุณสมบัติเหล่านี้อย่างชัดเจนว่าเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของความเท่าเทียมกันในหนังสือArithmetices principia ของเขา (ค.ศ. 1889) ^{[ 14 ] [ 15 ]}อย่างไรก็ตาม แนวคิดพื้นฐานเหล่านี้มีมาโดยตลอด ตัวอย่างเช่น ใน หนังสือ Elementsของยูคลิด ( ประมาณ ค.ศ. 300 ก่อนคริสต์ศักราช ) เขารวม 'แนวคิดทั่วไป' ไว้ด้วยเช่น "สิ่งต่างๆ ที่เท่ากับสิ่งเดียวกัน ย่อมเท่ากับสิ่งอื่นๆ ด้วย" (การถ่ายทอด) "สิ่งต่างๆ ที่ตรงกัน ย่อมเท่ากับสิ่งอื่นๆ ด้วย" (การสะท้อน) พร้อมกับคุณสมบัติการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันบางอย่างสำหรับการบวกและการลบ^{[ 16 ]}คุณสมบัติการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันนี้ยังถูกกล่าวถึงในArithmetices principia ของเปอาโนด้วย [ ^{14 ]}อย่างไรก็ตาม มันเป็นแนวปฏิบัติทั่วไปในพีชคณิต มาตั้งแต่ ^สมัยไดโอแฟนตัสเป็นอย่างน้อย (ประมาณค.ศ. 250 ) ^{[ 17 ]}คุณสมบัติการแทนที่โดยทั่วไปถือเป็นผลงานของGottfried Leibniz ( ประมาณ ค.ศ. 1686 ) และมักเรียกว่ากฎของ Leibniz ^{[ 11 ] [ 18 ]}

สมการคือ ความเท่าเทียมกัน เชิงสัญลักษณ์ของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ สองนิพจน์ ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=) ^{[ 19 ]}พีชคณิตเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการ : ปัญหาของการหาค่าของตัวแปร บางตัว ที่เรียกว่า ตัวแปร ที่ไม่ทราบค่าซึ่งทำให้ความเท่าเทียมกันที่กำหนดเป็นจริง ค่าแต่ละค่าของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่ทำให้สมการเป็นจริงเรียกว่าคำตอบของสมการที่กำหนด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่า ที่ ทำให้สมการเป็นจริงตัวอย่างเช่น สมการมีค่าและเป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียว คำศัพท์นี้ใช้ในทำนองเดียวกันสำหรับสมการที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าหลายตัว^{[ 20 ]}เซตของคำตอบของสมการหรือระบบสมการเรียกว่าเซตคำตอบ^{[ 21 ]}${\displaystyle x^{2}-6x+5=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle x=5}$

ในการศึกษาคณิตศาสตร์นักเรียนจะได้รับการสอนให้พึ่งพาแบบจำลองที่เป็นรูปธรรมและการแสดงภาพของสมการ รวมถึงการเปรียบเทียบทางเรขาคณิต อุปกรณ์ประกอบการเรียนรู้ เช่น ไม้หรือถ้วย และ "เครื่องจักรฟังก์ชัน" ที่แสดงสมการเป็นแผนภาพการ ไหล วิธีหนึ่งใช้เครื่องชั่งเป็นแนวทางเชิงภาพเพื่อช่วยให้นักเรียนเข้าใจปัญหาพื้นฐานของพีชคณิต มวลของวัตถุบางอย่างบนเครื่องชั่งไม่ทราบค่าและแสดงถึงตัวแปร การแก้สมการสอดคล้องกับการเพิ่มและการลบวัตถุออกจากทั้งสองด้านในลักษณะที่ทั้งสองด้านยังคงสมดุลจนกระทั่งเหลือวัตถุเพียงชิ้นเดียวที่อยู่ด้านใดด้านหนึ่งคือวัตถุที่มีมวลไม่ทราบค่า^{[ 22 ]}

โดยทั่วไป สมการถือเป็นข้อความหรือความสัมพันธ์ซึ่งอาจเป็นจริงหรือเท็จได้ตัวอย่างเช่นเป็นจริง และเป็นเท็จ สมการที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าถือว่าเป็นจริงแบบมีเงื่อนไขตัวอย่างเช่นเป็นจริงเมื่อหรือและเป็นเท็จในกรณีอื่น ๆ^{[ 23 ]}มีคำศัพท์ที่แตกต่างกันหลายคำสำหรับเรื่องนี้ ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์สมการคือตัวบ่งชี้ แบบไบนารี (เช่นข้อความเชิงตรรกะซึ่งสามารถมีตัวแปรอิสระได้ ) ซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติบางอย่าง^{[ 24 ]}ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์สมการถูกกำหนดให้เป็นนิพจน์ที่มีค่าเป็นบูลีนหรือตัวดำเนินการเชิงสัมพันธ์ซึ่งส่งคืนค่า 1 และ 0 สำหรับค่าจริงและเท็จตามลำดับ^{[ 25 ]}${\displaystyle 1+1=2}$${\displaystyle 1+1=3}$${\displaystyle x^{2}-6x+5=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle x=5,}$

เอกลักษณ์คือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรในโดเมนที่กำหนด^{[ 26 ] [ 27 ]}บางครั้ง "สมการ" อาจหมายถึงเอกลักษณ์ แต่ส่วนใหญ่แล้ว จะระบุเซตย่อยของปริภูมิตัวแปรว่าเป็นเซตย่อยที่สมการเป็นจริง ตัวอย่างเช่นซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวนจริง แต่ละจำนวน ไม่มีสัญลักษณ์มาตรฐานที่แยกแยะสมการออกจากเอกลักษณ์ หรือการใช้ความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันอื่นๆ เราต้องเดาการตีความที่เหมาะสมจากความหมายของนิพจน์และบริบท^{[ 28 ]}บางครั้ง แต่ไม่เสมอไป เอกลักษณ์จะเขียนด้วยขีดสามขีด : ^{[ 29 ]}สัญลักษณ์นี้ได้รับการแนะนำโดยBernhard Riemannใน การบรรยาย Elliptische Funktionen ปี 1857 ของเขา (ตีพิมพ์ในปี 1899) ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1,}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$

อีกทางเลือกหนึ่ง เอกลักษณ์อาจถูกมองว่าเป็นความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันโดยแทนที่จะเขียนเราอาจเขียนเพียงแค่^{[ 33 ] [ 34 ]}ซึ่งเรียกว่าการขยายของฟังก์ชัน^{[ 35 ] [ 36 ]}ในแง่นี้ คุณสมบัติการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันหมายถึงตัวดำเนินการ การดำเนินการบนปริภูมิฟังก์ชัน (ฟังก์ชันที่แมประหว่างฟังก์ชัน) เช่นการประกอบ^{[ 37 ]}หรืออนุพันธ์ซึ่งมักใช้ในแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ [ ^{38 ] เอกลักษณ์}สามารถมีฟังก์ชันเป็น "ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า" ซึ่งสามารถหาคำตอบได้ในลักษณะเดียวกับสมการปกติ เรียกว่าสมการเชิงฟังก์ชัน [ ^{39 ] สม}การเชิงฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์^{[ 40 ]}${\displaystyle f(a)=g(a){\text{ สำหรับทุก }}a,}$${\displaystyle f=g.}$

สมการมักใช้เพื่อแนะนำคำศัพท์หรือสัญลักษณ์ใหม่สำหรับค่าคงที่ยืนยันความเท่าเทียมกัน และแนะนำตัวย่อสำหรับนิพจน์ที่ซับซ้อน ซึ่งเรียกว่า "เท่ากันโดยนิยาม" และมักใช้สัญลักษณ์ ( ) แทน ^{[ 41 ]}คล้ายกับแนวคิดของการกำหนดค่าตัวแปรในวิทยาการคอมพิวเตอร์ตัวอย่างเช่นกำหนดจำนวนของออยเลอร์ [ ^{42 ]}และเป็นคุณสมบัติที่กำหนดของ^{จำนวน}จินตนาการ^{[ 43 ]}${\displaystyle :=}$${\textstyle \mathbb {e} :=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle i.}$

ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์สิ่งนี้เรียกว่าการขยายโดยนิยาม (โดยความเท่าเทียมกัน) ซึ่งเป็นการขยายแบบอนุรักษ์นิยมของระบบที่เป็นทางการ [ ^{44 ] ทำได้}โดยการนำสมการที่กำหนดสัญลักษณ์ค่าคงที่ใหม่มาเป็นสัจพจน์ ใหม่ ของทฤษฎีการใช้สัญลักษณ์ "เท่ากันโดยนิยาม" ครั้งแรกที่บันทึกไว้ปรากฏในLogica Matematica (1894) โดยCesare Burali-Fortiนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Burali-Forti ในหนังสือของเขาใช้สัญลักษณ์ ( ) ^{[ 45 ] [ 46 ]}${\displaystyle =_{\text{Def}}}$

ความเท่าเทียมกันมักถูกมองว่าเป็นแนวคิดดั้งเดิมกล่าวกันอย่างไม่เป็นทางการว่า "ความสัมพันธ์ที่สิ่งหนึ่งมีต่อตัวมันเองและไม่มีต่อสิ่งอื่นใด" ^{[ 47 ]}ประเพณีนี้สามารถสืบย้อนไปได้อย่างน้อยถึงอริสโตเติล ซึ่งใน หนังสือ Categoriesของเขา(ประมาณ 350 ปีก่อนคริสตกาล) ได้นิยามแนวคิดของปริมาณในแง่ของความเท่าเทียมกัน แบบดั้งเดิม (ซึ่งแตกต่างจากเอกลักษณ์หรือความคล้ายคลึงกัน ) โดยระบุว่า: ^{[ 48 ]}

ลักษณะเด่นที่สุดของปริมาณคือ การที่มันสามารถระบุได้ว่าเท่ากันหรือไม่เท่ากัน ปริมาณแต่ละอย่างที่กล่าวมานั้น สามารถกล่าวได้ว่าเท่ากันหรือไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ของแข็งชนิดหนึ่งสามารถกล่าวได้ว่าเท่ากันหรือไม่เท่ากับของแข็งอีกชนิดหนึ่ง จำนวนและเวลา ก็สามารถใช้คำเหล่านี้ได้เช่นกัน แท้จริงแล้วปริมาณทุกประเภทที่กล่าวมานั้นสามารถใช้คำเหล่านี้ได้เช่นกัน

สิ่งที่ไม่ใช่ปริมาณนั้น ดูเหมือนว่าจะไม่อาจเรียกได้ว่าเท่าเทียมหรือไม่เท่าเทียมกับสิ่งอื่นใดได้เลย คุณลักษณะหรือคุณสมบัติเฉพาะอย่างหนึ่ง เช่น ความขาวนั้น ไม่สามารถนำไปเปรียบเทียบกับสิ่งอื่นในแง่ของความเท่าเทียมและความไม่เท่าเทียมได้ แต่จะถูกเปรียบเทียบในแง่ของความคล้ายคลึงกัน ดังนั้น ลักษณะเฉพาะของปริมาณก็คือ มันสามารถถูกเรียกว่าเท่าเทียมและไม่เท่าเทียมได้ ― (แปลโดยEM Edghill )

อริสโตเติลมีหมวดหมู่แยกต่างหากสำหรับปริมาณ (จำนวน ความยาว ปริมาตร) และคุณสมบัติ (อุณหภูมิ ความหนาแน่น ความดัน) ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าคุณสมบัติแบบเข้มข้นและแบบกว้างขวางนักปรัชญาสำนักสกอลัสติกโดยเฉพาะริชาร์ด สไวน์สเฮดและนักคำนวณจากออกซ์ฟอร์ดคน อื่นๆ ในศตวรรษที่ 14 เริ่มคิดอย่างจริงจังเกี่ยวกับจลนศาสตร์และการจัดการเชิงปริมาณของคุณสมบัติ ตัวอย่างเช่น เปลวไฟสองดวงมีระดับความร้อนเท่ากันหากทำให้เกิดผลเหมือนกันกับน้ำ (เช่น การทำให้อุ่นเทียบกับการทำให้เดือด ) เนื่องจากสามารถแสดงให้เห็นว่าความเข้มข้นสองค่าเท่ากันได้ และความเท่าเทียมกันถือเป็นคุณลักษณะที่กำหนดของปริมาณ นั่นหมายความว่าความเข้มข้นเหล่านั้นสามารถวัดได้^{[ 49 ] [ 50 ]}

แนวคิดเบื้องต้นของคุณสมบัติการแทนที่ของความเท่าเทียมกันได้รับการกำหนดขึ้นครั้งแรกโดยGottfried LeibnizในDiscourse on Metaphysics (1686) โดยระบุคร่าวๆ ว่า "ไม่มีสิ่งสองสิ่งที่ไม่เหมือนกันใดๆ ที่จะมีคุณสมบัติร่วมกันได้ทั้งหมด" ต่อมาแนวคิดนี้ได้แตกแขนงออกเป็นสองหลักการ คือ คุณสมบัติการแทนที่ (ถ้าแล้วคุณสมบัติใดๆ ของ ก็เป็นคุณสมบัติของ) และส่วนกลับ ของมัน คือความเหมือนกันของสิ่งที่ไม่สามารถแยกแยะได้ (ถ้าและมีคุณสมบัติร่วมกันทั้งหมด แล้ว) ^{[ 51 ]}${\displaystyle x=y,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x=y}$

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 จำเป็นต้องมีคำอธิบายที่ชัดเจนยิ่งขึ้นเกี่ยวกับความเท่าเทียมกัน ในปี 1879 กอตต์ลอบ เฟรเกได้ตีพิมพ์ตำราบุกเบิกของเขาชื่อ Begriffsschriftซึ่งจะเปลี่ยนจุดเน้นของตรรกศาสตร์จากตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติลที่เน้นคลาสของวัตถุ ไปสู่ตรรกศาสตร์ที่อิงตามคุณสมบัติ ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ สมัยใหม่ ตามมาด้วยการเคลื่อนไหวเพื่ออธิบายคณิตศาสตร์ในรากฐานทางตรรกศาสตร์ เรียกว่า^{ตรรกศาสตร์}นิยมแนวโน้มนี้ทำให้เกิดการกำหนดสัจพจน์ของความเท่าเทียมกันผ่านกฎเอกลักษณ์และคุณสมบัติการแทนที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์^{[ 11 ] [ 24 ]}และปรัชญาเชิงวิเคราะห์ [ ^{52 ]}

ต่อมาหนังสือ Foundations of Arithmetic (1884) และBasic Laws of Arithmetic (1893, 1903) ของ Frege พยายามที่จะหาพื้นฐานของคณิตศาสตร์จากระบบตรรกะที่พัฒนาขึ้นในBegriffsschrift ของเขา ซึ่งในที่สุดก็พบว่ามีข้อบกพร่องเนื่องจากเกิดปรากฏการณ์ขัดแย้งของ Russellและมีส่วนทำให้เกิดวิกฤตพื้นฐานของคณิตศาสตร์งานของ Frege ได้รับการแก้ไขในที่สุดโดยงานสามเล่มของBertrand RussellและAlfred Whiteheadที่รู้จักกันในชื่อPrincipia Mathematica (1910–1913) งานของ Russell และ Whitehead ยังได้นำเสนอและกำหนดกฎของ Leibniz อย่างเป็นทางการในตรรกะเชิงสัญลักษณ์ โดยพวกเขาอ้างว่าเป็นผลมาจากสัจพจน์ของการลดรูปแต่ให้เครดิต Leibniz สำหรับแนวคิดนี้^{[ 53 ]}

• กฎแห่งเอกลักษณ์ :ระบุว่าทุกสิ่งเหมือนกันกับตัวมันเองโดยไม่มีข้อจำกัด นั่นคือสำหรับทุก สิ่ง กฎแห่งเอกลักษณ์เป็นกฎข้อแรกในสามกฎแห่งความคิดแบบ ^{ดั้งเดิม [ 54 ]}ข้างต้นสามารถระบุเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้:${\displaystyle a,}$${\displaystyle a=a.}$${\displaystyle \forall a(a=a).}$
• คุณสมบัติการแทนที่ :โดยทั่วไประบุว่าถ้าสิ่งสองสิ่งเท่ากัน คุณสมบัติใดๆ ของสิ่งหนึ่งจะต้องเป็นคุณสมบัติของอีกสิ่งหนึ่ง บางครั้งเรียกว่า "กฎของไลบ์นิซ " ^{[ 55 ]}สามารถระบุอย่างเป็นทางการได้ว่า: สำหรับทุก aและ bและสูตร ใดๆ ที่มีตัวแปรอิสระxถ้าแล้วหมายความว่าข้างต้นสามารถระบุในเชิงสัญลักษณ์ได้ดังนี้:${\displaystyle \phi (x),}$${\displaystyle a=b,}$${\displaystyle \phi (a)}$${\displaystyle \phi (b).}$${\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}.}$

บางครั้งการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันก็รวมอยู่ในสัจพจน์ของความเท่าเทียมกันด้วย^{[ 13 ]}แต่ไม่จำเป็นเพราะสามารถอนุมานได้จากสัจพจน์อีกสองข้อ และเช่นเดียวกันสำหรับสมมาตรและการถ่ายทอด (ดู§ การอนุมานคุณสมบัติพื้นฐาน ) ในตรรกะลำดับที่หนึ่งสิ่งเหล่านี้คือแผนผังสัจพจน์ (โดยปกติ ดูด้านล่าง) ซึ่งแต่ละแผนผังจะระบุชุดสัจพจน์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 56 ]}หากทฤษฎีมีภาคแสดงที่สอดคล้องกับกฎของเอกลักษณ์และคุณสมบัติการแทนที่ มักจะกล่าวว่าทฤษฎีนั้น "มีความเท่าเทียมกัน" หรือเป็น "ทฤษฎีที่มีความเท่าเทียมกัน" ^{[ 44 ]}

การใช้คำว่า "ความเท่าเทียมกัน" ในที่นี้ค่อนข้างจะไม่ถูกต้องนักเพราะระบบใดๆ ที่มีความเท่าเทียมกันสามารถจำลองได้ด้วยทฤษฎีที่ไม่มีเอกลักษณ์มาตรฐาน และมีสิ่งที่ไม่สามารถแยกแยะได้ [ ^{57 ] [ 56 ] อย่างไรก็ตาม}สัจพจน์ทั้งสองข้อนี้แข็งแกร่งพอที่จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับแบบจำลองที่มีเอกลักษณ์ กล่าวคือ หากระบบมีตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านั้นโดยไม่มีความเท่าเทียมกันมาตรฐาน ก็จะมีแบบจำลองของระบบนั้นที่มีความเท่าเทียมกันมาตรฐาน^{[ 56 ]}สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการกำหนดโดเมน ใหม่ ซึ่งมีวัตถุเป็นคลาสสมมูลของ "ความเท่าเทียมกัน" ดั้งเดิม^{[ 58 ]}หากแบบจำลองถูกตีความว่ามีความเท่าเทียมกัน คุณสมบัติเหล่านั้นก็เพียงพอแล้ว เนื่องจากหากมีคุณสมบัติทั้งหมดเหมือนกับและมีคุณสมบัติที่เท่ากับแล้ว ก็จะมีคุณสมบัติที่เท่ากับ^{[ 53 ] [ 59 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x.}$

ในฐานะสัจพจน์ เราสามารถอนุมานจากข้อแรกโดยใช้การแทนที่สากลและจากข้อที่สอง โดยกำหนดและใช้modus ponensสองครั้ง หรืออีกทางหนึ่ง แต่ละข้อเหล่านี้อาจรวมอยู่ในตรรกะเป็นกฎการอนุมาน [ ^{56 ] ข้อ}แรกเรียกว่า "การแนะนำความเท่าเทียมกัน" และข้อที่สองเรียกว่า "การกำจัดความเท่าเทียมกัน" ^{[ 60 ]} (เรียกอีกอย่างว่าparamodulation ) ซึ่ง นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี บางคน เช่นJohn Alan Robinsonใช้ในงานของพวกเขาเกี่ยวกับการแก้ปัญหาและ การพิสูจน์ ทฤษฎีบทอัตโนมัติ^{[ 61 ]}${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \phi (a),}$

คุณสมบัติการแทนที่สามารถสร้างข้อความเท็จได้เมื่อนำไปใช้อย่างไม่รอบคอบ ตัวอย่างเช่น ถ้าหมายถึง "จำนวนดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ" แล้วข้อความ " โยฮันเนส เคปเลอร์ไม่รู้ว่า"เป็นจริง เนื่องจากยูเรนัสและเนปจูนถูกค้นพบหลังจากที่เขาเสียชีวิต อย่างไรก็ตาม เนื่องจากการใช้คุณสมบัติการแทนที่ทำให้ได้ข้อความ "โยฮันเนส เคปเลอร์ไม่รู้ว่า"ซึ่งเป็นเท็จ^{[ 62 ]}ความแตกต่างในที่นี้คือ ในขณะที่นิพจน์ "จำนวนดาวเคราะห์" และ "8" อ้างถึงวัตถุเดียวกัน ( ขอบเขต ของมัน ) แต่มีความหมายที่แตกต่างกัน ( เจตนา ของมัน) ดังนั้น คุณสมบัติการแทนที่ ^จึงรับประกันได้เฉพาะในบริบทของขอบเขต เท่านั้น ซึ่งรับประกันได้ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่โดยสัจพจน์ของขอบเขต [ ^{63 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n>6}$${\displaystyle n=8}$${\displaystyle 8>6}$

• การสะท้อนกลับ:เมื่อกำหนดนิพจน์ใดๆโดยกฎเอกลักษณ์^{[ 64 ]}${\displaystyle a,}$${\displaystyle a=a.}$
• สมมาตร:กำหนดให้ใช้สูตรดังนั้นเนื่องจากตามสมมติฐานและโดยการสะท้อนกลับ จึงสรุปได้ว่า^{[ 64 ]}${\displaystyle a=b,}$${\displaystyle \phi (x):x=a.}$${\displaystyle (a=b)\implies ((a=a)\Rightarrow (b=a)).}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a=a}$${\displaystyle b=a.}$
• การถ่ายทอด:กำหนดและใช้สูตรดังนั้นเนื่องจากสมมาตรและสมมติฐาน จึงสรุปได้ว่า^{[ 64 ]}${\displaystyle a=b}$${\displaystyle b=c,}$${\displaystyle \phi (x):x=c.}$${\displaystyle (b=a)\implies ((b=c)\Rightarrow (a=c)).}$${\displaystyle b=a}$${\displaystyle b=c}$${\displaystyle a=c.}$
• การประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน:กำหนดฟังก์ชัน และนิพจน์aและb บางอย่าง โดยที่a = bจากนั้นใช้สูตร^{[ 64 ]}ดังนั้นเนื่องจากตามสมมติฐานและโดยการสะท้อนกลับ จึงสรุปได้ว่า${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \phi (x):f(a)=f(x).}$${\displaystyle (a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))].}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle f(a)=f(a)}$${\displaystyle f(a)=f(b).}$

รูป หลายเหลี่ยมสองชุดในแผนภาพออยเลอร์ชุดเหล่านี้เท่ากัน เนื่องจากมีองค์ประกอบเหมือนกัน แม้ว่าการจัดเรียงจะแตกต่างกันก็ตาม

ทฤษฎีเซตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเซตซึ่งสามารถอธิบายอย่างไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "การรวบรวมวัตถุ" ^{[ 65 ]}แม้ว่าวัตถุทุกชนิดสามารถรวบรวมเป็นเซตได้ แต่ทฤษฎีเซต—ในฐานะสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์—ส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับวัตถุที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์โดยรวม เซตมีลักษณะเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันโดยองค์ประกอบ ของมัน ซึ่งหมายความว่าเซตสองเซตที่มีองค์ประกอบเหมือนกันทุกประการจะเท่ากัน (เป็นเซตเดียวกัน) ^{[ 66 ]}ในทฤษฎีเซตที่เป็นทางการสิ่งนี้มักจะถูกกำหนดโดยสัจพจน์ที่เรียกว่าสัจพจน์ของการขยายความ^{[ 67 ]}

ตัวอย่างเช่น การใช้สัญกรณ์การสร้างเซต ข้อความต่อไปนี้ระบุว่า "เซตของจำนวนเต็ม ทั้งหมด ที่มากกว่า 0 แต่ไม่เกิน 3 เท่ากับเซตที่ประกอบด้วย 1, 2 และ 3 เท่านั้น" แม้ว่าจะมีข้อแตกต่างกันในด้านรูปแบบการเขียนก็ตาม ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$

$${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} \mid 0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},}$$

คำว่าextensionalityที่ใช้ใน'Axiom of Extensionality'มีรากฐานมาจากตรรกศาสตร์และไวยากรณ์ ( ดูExtension (semantics) ) ในไวยากรณ์นิยามเชิงความหมายจะอธิบาย เงื่อนไข ที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการใช้คำกับวัตถุ ตัวอย่างเช่น " ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตคือ ทรง หลายเหลี่ยมปกติแบบนูนในปริภูมิยูคลิดสามมิติ " ในทางกลับกัน นิยามเชิงความหมายจะแสดงรายการวัตถุทั้งหมดที่คำนั้นใช้ได้ ตัวอย่างเช่น "ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตคือหนึ่งในสิ่งต่อไปนี้: ทรงสี่เหลี่ยม ด้าน เท่า ทรง ลูกบาศก์ทรงแปดเหลี่ยม ทรงสิบ สอง เหลี่ยมหรือทรงยี่สิบเหลี่ยม " ในตรรกศาสตร์ส่วนขยายของภาคแสดงคือเซตของวัตถุทั้งหมดที่ภาคแสดงนั้นเป็นจริง^{[ 68 ]}นอกจากนี้ หลักการทางตรรกศาสตร์ของextensionalityตัดสินว่าวัตถุสองชิ้นเท่ากันหากเป็นไปตามคุณสมบัติภายนอกเดียวกัน เนื่องจากตามสัจพจน์ เซตสองเซตจะถูกกำหนดให้เท่ากันหากเป็นไปตามเงื่อนไขการเป็นสมาชิกดังนั้นเซตจึงเป็นแบบ extensional ^{[ 69 ]}

José Ferreirósยกย่องRichard Dedekindว่าเป็นคนแรกที่ระบุหลักการนี้อย่างชัดเจน แม้ว่าเขาจะไม่ได้ยืนยันว่าเป็นคำจำกัดความก็ตาม^{[ 70 ]}

บ่อยครั้งที่สิ่งต่างๆ ที่แตกต่างกัน เช่น a, b, c... เมื่อพิจารณาด้วยเหตุผลใดๆ ก็ตามภายใต้จุดยืนเดียวกัน จะถูกรวบรวมเข้าด้วยกันในจิตใจ และเราก็กล่าวว่าสิ่งเหล่านั้นประกอบกันเป็นระบบ S เราเรียกสิ่งต่างๆ เหล่านั้นว่าองค์ประกอบของระบบ S ซึ่งสิ่งเหล่านั้นบรรจุอยู่ใน S ในทางกลับกัน S ก็ประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้น ระบบ S (หรือกลุ่ม การรวบรวม หรือความเป็นทั้งหมด) ในฐานะที่เป็นวัตถุแห่งความคิดของเรา ก็เป็นสิ่งหนึ่งเช่นกัน มันจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์เมื่อเราได้กำหนดแล้วว่าทุกสิ่งเป็นองค์ประกอบของ S หรือไม่

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 คณิตศาสตร์ต้องเผชิญกับความขัดแย้งและผลลัพธ์ที่ขัดกับสัญชาตญาณหลายประการ ตัวอย่างเช่นความขัดแย้งของรัสเซลล์แสดงให้เห็นถึงความขัดแย้งของทฤษฎีเซตแบบง่ายแสดงให้เห็นว่าไม่สามารถพิสูจน์สมมติฐานขนาน ได้ การมีอยู่ของ วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สามารถคำนวณหรืออธิบายได้อย่างชัดเจน และการมีอยู่ของทฤษฎีบททางเลขคณิตที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยเลขคณิตของพีอาโนผลลัพธ์คือวิกฤตพื้นฐานของคณิตศาสตร์^{[ 72 ]}

การแก้ไขวิกฤตนี้เกี่ยวข้องกับการเกิดขึ้นของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ใหม่ที่เรียกว่าตรรกศาสตร์คณิตศาสตร์ซึ่งศึกษาตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมภายในคณิตศาสตร์ การค้นพบในช่วงศตวรรษที่ 20 ทำให้รากฐานของคณิตศาสตร์มีความมั่นคง และสร้างกรอบการทำงานที่สอดคล้องกันซึ่งใช้ได้กับทุกสาขาของสาขาวิชา กรอบการทำงานนี้ตั้งอยู่บนการใช้ระเบียบวิธีเชิงสัจพจน์ อย่างเป็นระบบ และทฤษฎีเซต โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkelซึ่งพัฒนาโดยErnst ZermeloและAbraham Fraenkelทฤษฎีเซตนี้ (และทฤษฎีเซตโดยทั่วไป) ในปัจจุบันถือเป็นรากฐานที่พบได้บ่อยที่สุดของคณิตศาสตร์^{[ 73 ]}

ในตรรกศาสตร์ลำดับแรกที่มีความเท่าเทียมกัน (ดู§ สัจพจน์ ) สัจพจน์ของการขยายความระบุว่าเซตสองเซตที่มีองค์ประกอบเดียวกันเป็นเซตเดียวกัน^{[ 74 ]}

• สัจพจน์ทางตรรกศาสตร์:${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• สัจพจน์ทางตรรกศาสตร์:${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• สัจพจน์ของทฤษฎีเซต:${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

สองข้อแรกได้มาจากคุณสมบัติการแทนที่ของความเท่าเทียมกันจากตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่ง ส่วนข้อสุดท้ายเป็นสัจพจน์ใหม่ของทฤษฎี การนำงานครึ่งหนึ่งไปรวมไว้ในตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งอาจถือได้ว่าเป็นเพียงเรื่องของความสะดวก ดังที่Azriel Lévy ได้กล่าวไว้ :

เหตุผลที่เราใช้แคลคูลัสเชิงประพจน์ลำดับแรกกับความเท่าเทียมกันนั้นเป็นเรื่องของความสะดวก ด้วยวิธีนี้เราจึงประหยัดแรงงานในการกำหนดความเท่าเทียมกันและพิสูจน์คุณสมบัติทั้งหมดของมัน ภาระนี้จึงตกเป็นของตรรกะแทน^{[ 75 ]}

ในตรรกะลำดับแรกที่ไม่มีความเท่าเทียมกัน เซตสองเซตจะถือว่าเท่ากันหากมีองค์ประกอบเดียวกัน จากนั้นสัจพจน์ของการขยายจะระบุว่าเซตที่เท่ากันสองเซตจะอยู่ในเซตเดียวกัน^{[ 76 ]}

• นิยามของทฤษฎีเซต: ${\displaystyle (x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• สัจพจน์ของทฤษฎีเซต:${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

หรืออีกนัยหนึ่ง อาจเลือกที่จะกำหนดความเท่าเทียมกันในลักษณะที่เลียนแบบคุณสมบัติการแทนที่อย่างชัดเจน เช่นการเชื่อมโยง ของ สูตรอะตอมทั้งหมด: ^{[ 77 ]}

• นิยามของทฤษฎีเซต:${\displaystyle (x=y)\,:=\,\forall z(z\in x\implies z\in y)\,\land \,\forall w(x\in w\implies y\in w)}$
• สัจพจน์ของทฤษฎีเซต:${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

ไม่ว่าในกรณีใด สัจพจน์ของความครอบคลุมตามตรรกะลำดับที่หนึ่งโดยไม่ใช้ความเท่าเทียมกันระบุว่า เซตที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกันจะอยู่ในเซตเดียวกันเสมอ

$${\displaystyle \forall z(z\in x\iff z\in y)\implies \forall w(x\in w\iff y\in w).}$$

• การสะท้อนกลับ: เมื่อ กำหนดเซตแล้วถือว่าเป็นไปตามที่เห็นได้ชัดและสิ่งเดียวกันก็เป็นไปตามในทางกลับกันดังนั้น^{[ 78 ]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle z\in X,}$${\displaystyle z\in X,}$${\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in X),}$${\displaystyle X=X.}$
• สมมาตร:กำหนดเซตเช่นนั้นแล้วซึ่งหมายความว่าดังนั้น^{[ 78 ]}${\displaystyle X,Y,}$${\displaystyle X=Y,}$${\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in Y),}$${\displaystyle \forall z,(z\in Y\iff z\in X),}$${\displaystyle Y=X.}$
• คุณสมบัติการถ่ายทอด:กำหนดให้เซตต่างๆ โดยที่: ${\displaystyle X,Y,Z,}$
  1. ${\displaystyle X=Y,}$และ
  2. ${\displaystyle Y=Z,}$

สมมติว่าจากนั้นโดย (1) ซึ่งหมายถึงโดย (2) และในทำนองเดียวกันสำหรับกรณีกลับกันดังนั้น^{[ 78 ]}${\displaystyle z\in X.}$${\displaystyle z\in Y}$${\displaystyle z\in Z}$${\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in Z),}$${\displaystyle X=Z.}$

• การแทนที่:ดูการแทนที่ (ตรรกศาสตร์) § การพิสูจน์การแทนที่ใน ZFC
• การประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน:กำหนดให้และจากนั้นเนื่องจากและจากนั้นนี่คือคุณสมบัติที่กำหนดของคู่ลำดับ^{[ 79 ]}เนื่องจากตามสัจพจน์ของการขยาย พวกมันต้องอยู่ในเซตเดียวกัน ดังนั้น เนื่องจากจึงสรุปได้ว่าหรือดังนั้น${\displaystyle a=b}$${\displaystyle f(a)=c,}$${\displaystyle (a,c)\in f.}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle c=c,}$${\displaystyle (a,c)=(b,c).}$${\displaystyle (a,c)=(b,c),}$${\displaystyle (a,c)\in f,}$${\displaystyle (b,c)\in f,}$${\displaystyle f(b)=c.}$${\displaystyle f(a)=f(b).}$

การวิเคราะห์เชิงตัวเลขคือการศึกษาเกี่ยวกับ วิธี การสร้างและอัลกอริทึมเพื่อหาค่าประมาณ เชิงตัวเลข (ตรงข้ามกับการจัดการเชิงสัญลักษณ์ ) ของคำตอบของปัญหาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาที่ไม่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์^{[ 80 ]}

การคำนวณมักจะเกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดในการปัดเศษและข้อผิดพลาดในการประมาณค่า อื่นๆ ตารางลอการิทึม ไม้บรรทัดคำนวณ และเครื่องคิดเลขจะให้คำตอบโดยประมาณสำหรับการคำนวณเกือบทั้งหมด ยกเว้นการคำนวณที่ง่ายที่สุด ผลลัพธ์ของ การคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์มักจะเป็นค่าประมาณ ซึ่งแสดงออกมาในจำนวนหลักสำคัญที่จำกัด แม้ว่าจะสามารถตั้งโปรแกรมให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นได้ก็ตาม^{[ 81 ]}

หากมองว่าความเท่าเทียมกันโดยประมาณเป็นความสัมพันธ์แบบไบนารี (แทนด้วยสัญลักษณ์) ระหว่างจำนวนจริงหรือสิ่งอื่น ๆ คำจำกัดความที่เข้มงวดใด ๆ ของมันจะไม่ใช่ความสัมพันธ์สมมูล เนื่องจากมันไม่มีคุณสมบัติถ่ายทอด กรณีนี้เป็นเช่นนั้นแม้ว่าจะจำลองเป็นความสัมพันธ์แบบฟัซซีก็ตาม^{[ 82 ]}${\displaystyle \approx }$

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ความเท่าเทียมกันจะแสดงโดยใช้ตัวดำเนินการเชิงสัมพันธ์บนคอมพิวเตอร์ ข้อจำกัดทางกายภาพจำกัดระดับความแม่นยำในการแสดงตัวเลข ดังนั้น ตัวเลขจริงจึงมักถูกประมาณด้วยตัวเลขทศนิยมตัวเลขทศนิยมแต่ละตัวจะถูกแทนด้วยตัวเลขสำคัญซึ่งประกอบด้วยลำดับตัวเลขที่มีความยาวคงที่ในฐานที่กำหนด ซึ่งจะถูกปรับขนาดด้วยเลขชี้กำลัง จำนวนเต็ม ของฐานดังกล่าว ทำให้จุดฐาน สามารถ "ลอย" ระหว่างตำแหน่งที่เป็นไปได้แต่ละตำแหน่งในตัวเลขสำคัญได้ วิธีนี้ทำให้สามารถแทนตัวเลขที่ครอบคลุมหลายลำดับขนาดได้ แต่เป็นเพียงช่วงค่าที่ไม่ชัดเจนซึ่งมีความแม่นยำน้อยลงเมื่อขนาดเพิ่มขึ้น^{[ 83 ]}เพื่อหลีกเลี่ยงการสูญเสียความแม่นยำ จึงเป็นเรื่องปกติที่จะแสดงตัวเลขจริงบนคอมพิวเตอร์ในรูปแบบของนิพจน์ที่แสดงถึงตัวเลขจริง อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันของจำนวนจริงสองจำนวนที่กำหนดโดยนิพจน์เป็นที่ทราบกันว่าไม่สามารถตัดสินได้ (โดยเฉพาะจำนวนจริงที่กำหนดโดยนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานลอการิทึมและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง)กล่าวอีกนัยหนึ่งคือไม่มีอัลกอริทึม ใด ที่จะตัดสินความเท่าเทียมกันดังกล่าวได้ (ดูทฤษฎีบทของริชาร์ดสัน ) ^{[ 84 ]}

ความสัมพันธ์สมมูลเป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ขยายแนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงหรือความเหมือนกัน โดยกำหนดบนเซต เป็นความสัมพันธ์ทวิภาคที่สอดคล้องกับคุณสมบัติสามประการ ได้แก่การสะท้อนกลับความสมมาตรและการถ่ายทอดการสะท้อนกลับหมายความว่าทุกองค์ประกอบในเซตนั้นสมมูลกับตัวมันเอง ( สำหรับทุก) ความสมมาตรกำหนดว่าถ้าองค์ประกอบหนึ่งสมมูลกับอีกองค์ประกอบหนึ่งแล้ว สิ่งตรงกันข้ามก็เป็นจริงด้วย ( ) การถ่ายทอดรับประกันว่าถ้าองค์ประกอบหนึ่งสมมูลกับองค์ประกอบที่สอง และองค์ประกอบที่สองสมมูลกับองค์ประกอบที่สามแล้ว องค์ประกอบแรกก็สมมูลกับองค์ประกอบที่สาม ( และ) ^{[ 85 ]}คุณสมบัติเหล่านี้เพียงพอที่จะแบ่งเซตออกเป็นชั้นสมมูล ที่ไม่ซ้ำกัน ในทางกลับกัน การแบ่งแต่ละส่วนจะกำหนดชั้นสมมูล^{[ 86 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle X}$${\displaystyle a\sim a}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle a\sim b\implies b\sim a}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle b\sim c\implies a\sim c}$

ความสัมพันธ์สมมูลของความเท่าเทียมกันเป็นกรณีพิเศษ เพราะหากจำกัดไว้เฉพาะเซตที่กำหนดจะเป็นความสัมพันธ์สมมูลที่เข้มงวดที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้บน เซต นั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความเท่าเทียมกันจะแบ่งเซตออกเป็นชั้นสมมูลที่ประกอบด้วยเซตเอกพจน์ทั้งหมด[ 86 ^{]ความสัมพันธ์}สมมูลอื่นๆ เนื่องจากมีข้อจำกัดน้อยกว่า จึงทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นแบบทั่วไปโดยการระบุองค์ประกอบตามคุณสมบัติหรือการแปลงที่ใช้ร่วมกัน เช่นความสอดคล้องในเลขคณิตมอดูลาร์หรือความคล้ายคลึงในเรขาคณิต^{[ 87 ] [ 88 ]}${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$

ในพีชคณิตนามธรรมความสัมพันธ์แบบสมมูลขยายแนวคิดของความสัมพันธ์แบบสมมูลเพื่อรวมคุณสมบัติการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันนั่นคือ เมื่อกำหนดเซตและเซตของการดำเนินการบนเซตนั้น ความสัมพันธ์แบบสมมูลจะมีคุณสมบัติว่าสำหรับการดำเนินการทั้งหมด(ในที่นี้เขียนเป็นแบบเอกภาคเพื่อหลีกเลี่ยงสัญลักษณ์ที่ยุ่งยาก แต่สามารถเป็นแบบใดก็ได้)ความสัมพันธ์แบบสมมูลบนโครงสร้างพีชคณิตเช่นกลุ่มวงแหวนหรือโมดูลเป็นความสัมพันธ์แบบสมมูลที่เคารพการดำเนินการที่กำหนดไว้บนโครงสร้างนั้น^{[ 89 ]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle a\sim b\implies f(a)\sim f(b)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในพีชคณิตนามธรรมและทฤษฎีหมวดหมู่เป็นเรื่องปกติที่จะจัดการกับวัตถุที่มีโครงสร้าง ภายในอยู่แล้ว ไอโซมอร์ฟิซึมอธิบายถึงความสอดคล้องที่รักษาโครงสร้างไว้ระหว่างวัตถุสองชิ้น โดยกำหนดให้วัตถุทั้งสองมีลักษณะเหมือนกันโดยพื้นฐานในโครงสร้างหรือคุณสมบัติ^{[ 90 ] [ 91 ]}

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ไอโซมอร์ฟิซึมคือการแมป แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (หรือมอร์ฟิซึม ) ระหว่าง เซต หรือโครงสร้าง สอง เซตและโดยที่และส่วนกลับของมันรักษาการดำเนินการความสัมพันธ์หรือฟังก์ชันที่กำหนดไว้บนโครงสร้างเหล่านั้น^{[ 90 ]}ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการหรือความสัมพันธ์ใดๆ ที่ถูกต้องในจะสอดคล้องกับการดำเนินการหรือความสัมพันธ์ใน อย่างแม่นยำภายใต้การแมป ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีกลุ่ม ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มจะสอดคล้องกับสำหรับทุกองค์ประกอบโดยที่แทนการดำเนินการของกลุ่ม^{[ 92 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:G\mapsto H}$${\displaystyle f(a*b)=f(a)*f(b)}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle *}$

เมื่อวัตถุหรือระบบสองอย่างเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน จะถือว่าไม่สามารถแยกแยะได้ในแง่ของโครงสร้างภายใน แม้ว่าองค์ประกอบหรือการแสดงแทนอาจแตกต่างกันก็ตาม ตัวอย่างเช่นกลุ่มวัฏจักรทั้งหมดที่มีอันดับเป็นไอโซมอร์ฟิกกับจำนวนเต็มที่มีการบวก^{[ 93 ]} ในทำนอง เดียวกัน ในพีชคณิตเชิงเส้น ปริภูมิเวกเตอร์ สองปริภูมิจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหากมีมิติ เท่ากัน เนื่องจากมีการจับคู่เชิงเส้นแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของปริภูมิเหล่านั้น^{[ 94 ]}${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$

เมื่อวัตถุเช่นที่กล่าวถึงข้างต้นถูกกำหนดในแง่ของคุณสมบัติการแมป (เช่นคุณสมบัติสากล ) วัตถุสองชิ้นใดๆ ดังกล่าวจะมีความสมมาตรซึ่งกันและกันในลักษณะเฉพาะ ไม่ว่าควรจะถือว่าวัตถุเหล่านั้นเป็นวัตถุเดียวกัน (เฉพาะ) และถือว่าเท่ากันหรือไม่ แม้ว่าโครงสร้างที่เป็นรูปธรรมของพวกมันจะแตกต่างกัน ก็เป็นเรื่องที่ต้องถกเถียงกัน บางครั้งสิ่งนี้ทำโดยปริยายในเอกสารทางคณิตศาสตร์เมื่อวัตถุดังกล่าวถูกระบุและเชื่อมโยงกันอย่างเป็นทางการโดยใช้เครื่องหมายเท่ากับ '=' ในบางกรณีเป็นการซ่อนปัญหาทางเทคนิคที่อาจต้องมีการตรวจสอบ (ซึ่งอาจยุ่งยาก) อย่างไรก็ตาม การปฏิบัติเช่นนี้ทำให้เกิดความยากลำบากเมื่อมีการตรวจสอบการพิสูจน์ที่ยืนยัน 'ความเท่าเทียมกัน' ดังกล่าวอย่างเป็นทางการโดยใช้^ตัวช่วยพิสูจน์ [ ^{95 ]}

แนวคิดเรื่องไอโซมอร์ฟิซึมขยายไปสู่สาขาคณิตศาสตร์มากมาย รวมถึงทฤษฎีกราฟ ( ไอโซมอร์ฟิซึมของกราฟ ) โทโพโลยี ( โฮมีโอมอร์ฟิซึม ) และพีชคณิต ( ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มและวงแหวน ) และอื่นๆ ไอโซมอร์ฟิซึมช่วยให้การจำแนกประเภทของเอนทิตีทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น และช่วยให้สามารถถ่ายโอนผลลัพธ์และเทคนิคระหว่างระบบที่คล้ายคลึงกันได้ การเชื่อมช่องว่างระหว่างไอโซมอร์ฟิซึมและความเท่าเทียมกันเป็นแรงจูงใจหนึ่งในการพัฒนาทฤษฎีหมวดหมู่เช่นเดียวกับทฤษฎีประเภทโฮโมโทปีและรากฐานเอกภาค^{[ 96 ] [ 97 ] [ 98 ]}

ในทางเรขาคณิต ตามหลักการแล้ว รูปทรงสองรูปจะเท่ากันก็ต่อเมื่อรูปทรงทั้งสองมี จุดเดียวกันอย่างไรก็ตาม ในทางประวัติศาสตร์ ความเท่าเทียมกันทางเรขาคณิตมักถูกมองว่ากว้างกว่านั้นมากยูคลิดและอาร์คิมิดีสใช้คำว่า "เท่ากัน" ( ἴσος isos ) บ่อยครั้งเพื่ออ้างถึงรูปทรงที่มีพื้นที่เท่ากันหรือรูปทรงที่สามารถตัดและจัดเรียงใหม่เพื่อสร้างรูปทรงอื่นได้ ตัวอย่างเช่น ยูคลิดกล่าวถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสว่า "กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับกำลังสองของด้านข้างทั้งหมดรวมกัน" และอาร์คิมิดีสกล่าวว่า "วงกลมเท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านข้างเป็นรัศมีและครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง" ^{[ 99 ]} (ดูพื้นที่ของวงกลม § การพิสูจน์โดยการจัดเรียงใหม่ )

แนวคิดนี้ยังคงอยู่จนกระทั่งAdrien-Marie Legendreได้นำคำว่า "เทียบเท่า" มาใช้ในปี พ.ศ. 2410 เพื่ออธิบายรูปทรงที่มีพื้นที่เท่ากัน และสงวนคำว่า "เท่ากัน" ไว้เพื่อหมายถึง " สอดคล้องกัน " ซึ่งก็คือมีรูปร่างและขนาด เหมือนกัน หรือถ้ารูปทรงหนึ่งมีรูปร่างและขนาดเหมือนกับภาพสะท้อนของอีกรูปทรงหนึ่ง^{[ 100 ] [ 101 ]}ศัพท์เฉพาะของยูคลิดยังคงใช้ต่อไปในงานของDavid HilbertในหนังสือGrundlagen der Geometrie ของเขา ซึ่งได้ปรับปรุงแนวคิดของยูคลิดให้ดียิ่งขึ้นไปอีกโดยการแนะนำแนวคิดของรูปหลายเหลี่ยมที่ "เท่ากันโดยหารลงตัว" ( zerlegungsgleich ) ถ้าสามารถตัดรูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันได้จำนวนจำกัด และ "เท่ากันในเนื้อหา" ( inhaltsgleichheit ) ถ้าสามารถเพิ่มรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันโดยหารลงตัวได้จำนวนจำกัดลงในแต่ละรูปหลายเหลี่ยมเพื่อให้รูปหลายเหลี่ยมที่ได้นั้นเท่ากันโดยหารลงตัว^{[ 102 ]}

หลังจากทฤษฎีเซตได้รับความนิยมในช่วงประมาณทศวรรษ 1960 มีการผลักดันให้เกิดการปฏิรูปการศึกษาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า " คณิตศาสตร์ใหม่ " ตามแนวคิดของAndrey Kolmogorovซึ่งในความพยายามที่จะปรับโครงสร้างหลักสูตรเรขาคณิตของรัสเซีย ได้เสนอให้นำเสนอเรขาคณิตผ่านมุมมองของการแปลงและทฤษฎีเซต เนื่องจากรูปทรงถูกมองว่าเป็นเซตของจุด จึงสามารถเท่ากับตัวมันเองได้เท่านั้น ผลจากแนวคิดของ Kolmogorov ทำให้คำว่า "สอดคล้องกัน" กลายเป็นคำมาตรฐานในโรงเรียนสำหรับรูปทรงที่ก่อนหน้านี้เรียกว่า "เท่ากัน" ซึ่งทำให้คำนี้เป็นที่นิยม^{[ 103 ]}

แม้ว่ายูคลิดจะกล่าวถึงสัดส่วนและรูปทรงที่เหมือนกัน แต่แนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันในความหมายสมัยใหม่นั้นเพิ่งเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 รูปทรงที่คล้ายคลึงกันคือรูปทรงที่มีรูปร่างเหมือนกันแต่ขนาดอาจแตกต่างกันได้ โดยสามารถเปลี่ยนรูปเป็นรูปทรงอื่นได้ด้วยการปรับขนาดและความสอดคล้องกัน^{[ 104 ]}ต่อมาแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางหรือความเท่ากัน ทุกประการ ได้รับการพัฒนาโดยGiusto Bellavitisในปี 1835 ^{[ 105 ]}

• 2 + 2 = 5
• มีเอกลักษณ์อย่างแท้จริง
• ภววิทยาของเฟรเก-เชิร์ช
• คำศัพท์เกี่ยวกับสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ § ความเท่าเทียม ความเสมอภาค และความคล้ายคลึงกัน
• ประเภทเอกลักษณ์
• เอกลักษณ์ (การเขียนโปรแกรมเชิงวัตถุ)
• ความไม่เท่าเทียมกัน
• ความเท่าเทียมเชิงตรรกะ
• ความสมมูลเชิงตรรกะ
• ตัวดำเนินการเชิงสัมพันธ์ § ความเท่าเทียมกัน
• เซทอยด์
• ทฤษฎีความเท่าเทียมบริสุทธิ์
• การวัดปริมาณความเป็นเอกลักษณ์