สามเหลี่ยมด้านเท่า
พิมพ์	รูปหลายเหลี่ยมปกติ
ขอบและจุดยอด	3
สัญลักษณ์ Schläfli	{3}
กลุ่มสมมาตร	${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$
พื้นที่	${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$
มุมภายใน ( องศา )	60°

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าคือรูปสามเหลี่ยมที่ด้านทั้งสามด้านมีความยาวเท่ากัน และมุมทั้งสามมุมมีขนาดเท่ากัน ด้วยคุณสมบัติเหล่านี้ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติซึ่งบางครั้งเรียกว่า รูป สามเหลี่ยม ปกติ ตามนิยามสมัยใหม่ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นกรณีพิเศษของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วทำให้มีคุณสมบัติพิเศษเพิ่มเติม

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถพบได้ในการปูพื้น แบบต่างๆ และในรูปทรง หลายเหลี่ยม เช่นเดลตาเฮดรอนและแอนติปริซึมนอกจากนี้ยังปรากฏในชีวิตจริงในวัฒนธรรมสมัยนิยม สถาปัตยกรรม และการศึกษาด้านสเตอริโอเคมีโดยมีลักษณะคล้ายกับรูปทรงเรขาคณิตของโมเลกุลที่เรียกว่า รูปทรง เรขาคณิต ของโมเลกุลแบบระนาบสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมด้านเท่าคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสามด้าน ถือเป็นกรณีพิเศษของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตามนิยามสมัยใหม่ โดยระบุว่าสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีนิยามอย่างน้อยที่สุดคือมีด้านเท่ากันสองด้าน^{[ 1 ]}ตามนิยามสมัยใหม่นี้ ทำให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ด้านใดด้านหนึ่งในสามด้านอาจถือเป็นฐานได้^{[ 2 ]}

คำจำกัดความที่ตามมาข้างต้นอาจส่งผลให้คุณสมบัติมีความแม่นยำมากขึ้น ตัวอย่างเช่น เนื่องจากเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือผลรวมของด้านประกอบมุมฉากสองด้านและฐาน สามเหลี่ยมด้านเท่าจึงถูกกำหนดให้เป็นสามเท่าของด้านประกอบมุมฉาก^{[ 3 ] [ 4 ]}มุมภายในของสามเหลี่ยมด้านเท่ามีค่าเท่ากันคือ 60° เนื่องจากคุณสมบัติเหล่านี้ สามเหลี่ยมด้านเท่าจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเส้นเซเวียนของสามเหลี่ยมด้านเท่ามีความยาวเท่ากันทั้งหมด ส่งผลให้เส้นมัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งมุมมีความยาวเท่ากัน โดยถือว่าเส้นเหล่านั้นเป็นเส้นความสูงขึ้นอยู่กับการเลือกฐาน^{[ 5 ]}

สามเหลี่ยมด้านเท่ามีสมมาตรของกลุ่มไดเฮดรัล ลำดับที่หก : กลุ่มนี้อนุญาตให้คงรูปลักษณ์ไว้ได้ด้วยการแปลง หก แบบ การสะท้อนสามครั้งโดยเส้นผ่านจุดยอดไปยังจุดกึ่งกลางของขอบโดยการพลิกกลับ และการหมุน สามครั้ง รอบจุดศูนย์กลางสำหรับการหมุนหนึ่งในสามของรอบเต็ม (0°, 120°, 240°) ^{[ 6 ]}คุณสมบัติอื่นๆ จะกล่าวถึงต่อไป ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$

พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านเท่ากับ สูตรนี้สามารถหาได้จากสูตรของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส : ความสูงของสามเหลี่ยมคือรากที่สองของผลต่างกำลังสองของด้านและครึ่งหนึ่งของฐาน [ ^{3 ]}เนื่องจากฐานและด้านประกอบมุมฉากเท่ากัน ความสูงจึงเป็น: ^{[ 7 ] โดย} ทั่วไปพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูง สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถหาได้โดยการแทนที่สูตรความสูง^{[ 7 ]}อีกวิธีหนึ่งในการพิสูจน์พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นที่ของสามเหลี่ยมถูกกำหนดให้เป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานและความสูงและไซน์ของมุม เนื่องจากมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ 60° สูตรจึงเป็นไปตามที่ต้องการ ${\displaystyle a}$$${\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$$${\displaystyle h}$$${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$$

อสมการไอโซเพอริเมตริกสำหรับสามเหลี่ยมระบุว่าสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ มากที่สุด ในบรรดาสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีเส้นรอบรูป ที่กำหนด คือสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่นคือ สำหรับเส้นรอบรูปและพื้นที่ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้กับสามเหลี่ยมด้านเท่า: ^{[ 8 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle p^{2}=12{\sqrt {3}}T.}$$

รัศมีของวงกลมล้อมรอบคือ: และรัศมีของวงกลมแนบในคือครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อมรอบ:$${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}},}$$$${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a.}$$

ทฤษฎีบทของออยเลอร์ระบุว่าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบและจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในนั้นกำหนดเป็น. ผลสืบเนื่องมาจากสิ่งนี้ สามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีอัตราส่วนของรัศมีวงกลมล้อมรอบต่อรัศมี วงกลมแนบในน้อยที่สุด เมื่อเทียบกับสามเหลี่ยมอื่นๆ นั่นคือ: ^{[ 9 ]}${\displaystyle t}$${\displaystyle t^{2}=R(R-2r)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle R\geq 2r.}$$

ทฤษฎีบทของปอมเปอูระบุว่า ถ้าเป็นจุดใดๆ ในระนาบของสามเหลี่ยมด้านเท่าแต่ไม่อยู่บนวงกลมล้อมรอบ จะมีสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว, , และอยู่ นั่นคือ , , และเป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยมที่ว่า ผลรวมของด้านยาวสองด้านใดๆ จะมากกว่าด้านยาวด้านที่สาม ถ้าอยู่บนวงกลมล้อมรอบ ผลรวมของด้านยาวสองด้านที่สั้นกว่าจะเท่ากับด้านยาวที่สุด และสามเหลี่ยมจะกลายเป็นเส้นตรง กรณีนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของแวน สคูเทน^{[ 10 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle PA}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle PC}$${\displaystyle PA}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle PC}$${\displaystyle P}$

ปัญหาการบรรจุถามวัตถุประสงค์ของการบรรจุวงกลมลงในสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้^วิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดเป็นที่ทราบกันดีสำหรับการบรรจุวงกลมลงในสามเหลี่ยมด้านเท่า และวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดตามสมมติฐานสำหรับ[ ^{11 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n<13}$${\displaystyle 13\leq n<28}$

ทฤษฎีบทการแบ่งมุมสามส่วนของมอร์ลีย์กล่าวว่า ในสามเหลี่ยมใดๆ จุดตัดทั้งสามของเส้นแบ่งมุมสามส่วน ที่ประชิดกัน จะก่อให้เกิดสามเหลี่ยมด้านเท่า

ทฤษฎีบทของ Vivianiระบุว่า สำหรับจุดภายในใดๆในสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีระยะทาง, , และจากด้านและความสูงโดยไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของ^{[ 12 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle d}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle d+e+f=h,}$$${\displaystyle P}$

สามเหลี่ยมด้านเท่าอาจมีด้านเป็นจำนวนเต็มที่มีมุมตรรกยะสามมุมเมื่อวัดเป็นองศา^{[ 13 ]}เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลมเพียงรูปเดียวที่คล้ายกับสามเหลี่ยมออร์ธิก (โดยมีจุดยอดอยู่ที่ฐานของเส้นความสูง ) ^{[ 14 ]}และเป็นสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียวที่วงรีสไตเนอร์เป็นวงกลม (โดยเฉพาะวงกลมแนบใน) สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุดในบรรดาสามเหลี่ยมทั้งหมดที่บรรจุอยู่ในวงกลมที่กำหนดเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่น้อยที่สุดในบรรดาสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ล้อมรอบวงกลมที่กำหนดก็เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าเช่นกัน^{[ 15 ]}เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเพียงรูปเดียวนอกเหนือจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สามารถบรรจุอยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ ได้

เมื่อกำหนดจุดภายในของสามเหลี่ยมด้านเท่า อัตราส่วนของผลรวมระยะทางจากจุดนั้นไปยังจุดยอดต่อผลรวมระยะทางจากด้านต่างๆ จะมากกว่าหรือเท่ากับ 2 โดยความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นเมื่อจุดนั้นเป็นจุดศูนย์กลางมวล ในสามเหลี่ยมอื่นๆ จะไม่มีจุดใดที่อัตราส่วนนี้มีค่าน้อยกว่า 2 ^{[ 16 ]}นี่คืออสมการ Erdős–Mordellซึ่งเป็นรูปแบบที่แข็งแกร่งกว่าของอสมการนี้คืออสมการของ Barrowซึ่งแทนที่ระยะทางตั้งฉากกับด้านต่างๆ ด้วยระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังจุดที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของ, , และตัดกับด้านต่างๆ (โดยที่, , และเป็นจุดยอด) มีอสมการสามเหลี่ยม อื่นๆ อีกมากมาย ที่ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \angle APB}$${\displaystyle \angle BPC}$${\displaystyle \angle CPA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัดก็ต่อเมื่อตัวประกอบเฉพาะคี่ของจำนวนด้านเป็นจำนวนเฉพาะเฟอร์มาต์ที่แตกต่างกัน[ 17 ^{]มีจำนวน}เฉพาะเฟอร์มาต์ที่รู้จักอยู่ 5 ตัว ได้แก่ 3, 5, 17, 257, 65537

ข้อเสนอแรกสุดในElementsของยูคลิดเริ่มต้นด้วยการวาดวงกลมที่มีรัศมีที่กำหนด วางปลายเข็มทิศบนวงกลม และวาดวงกลมอีกวงหนึ่งที่มีรัศมีเท่ากัน วงกลมทั้งสองตัดกันที่สองจุด สามารถสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าได้โดยการเชื่อมจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองและจุดตัดจุดหนึ่ง^{[ 18 ]}

หรืออีกนัยหนึ่ง เริ่มต้นด้วยเส้นตรง ใดก็ได้ เป็นด้านหนึ่ง วางปลายเข็มทิศไว้ที่ปลายด้านหนึ่งของเส้นตรง จากนั้นลากส่วนโค้งจากจุดนั้นไปยังอีกจุดหนึ่งของเส้นตรง ทำซ้ำกับอีกด้านหนึ่งของเส้นตรง ซึ่งจะเชื่อมจุดที่ส่วนโค้งทั้งสองตัดกับปลายแต่ละด้านของเส้นตรงในที่สุด

ถ้าเราสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามรูปบนด้านของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ไม่ว่าจะหันออกด้านนอกหรือเข้าด้านในก็ตาม ตามทฤษฎีบทของนโปเลียนจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเหล่านั้นจะก่อให้เกิดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอีกรูปหนึ่ง

การปูพื้นด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทำให้ระนาบสมบูรณ์

สามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี

ที่น่าสังเกตคือ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามารถปูระนาบยูคลิดได้ด้วยรูปสามเหลี่ยมหกรูปที่มาบรรจบกันที่จุดยอด การปูแบบคู่ขนานนี้คือการปูแบบหกเหลี่ยม การปู แบบหกเหลี่ยมตัดการปูแบบสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามหกเหลี่ยมการปูแบบสี่เหลี่ยมมุม ม นและการปูแบบหกเหลี่ยมมุมมน ล้วนเป็นการปูแบบกึ่งปกติที่สร้างขึ้นจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า^{[ 19 ]}วัตถุสองมิติอื่นๆ ที่สร้างจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ได้แก่รูปสามเหลี่ยม Sierpiński ( รูปทรงแฟรกทัลที่สร้างจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยการแบ่งย่อยแบบวนซ้ำเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เล็กกว่า) และรูปสามเหลี่ยม Reuleaux ( รูปสามเหลี่ยมโค้งที่มีความกว้างคงที่ สร้างจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยการปัดด้านแต่ละด้านให้โค้งมน) ^{[ 10 ]}

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอาจก่อตัวเป็นทรงหลายเหลี่ยมในสามมิติได้เช่นกัน ทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเรียกว่าเด ลตาเฮดรอน มีเดลตาเฮดรอนนูน อย่างเคร่งครัดแปดแบบได้แก่สามในห้าทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ( ทรงสี่หน้าปกติทรงแปดหน้าปกติและทรงยี่สิบหน้าปกติ ) และห้าใน 92 ทรงหลายเหลี่ยมจอห์นสัน ( พีระมิดคู่ สามเหลี่ยม พีระมิด คู่ห้า เหลี่ยมดิ สฟีนอยด์ แบบสั้น ปริซึมสามเหลี่ยมเสริมสามเหลี่ยมและพีระมิดคู่สี่เหลี่ยมแบบไจโรยาว ) ^{[ 20 ]}โดยทั่วไปแล้วทรงหลายเหลี่ยมจอห์นสัน ทั้งหมด มีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่บนหน้า แม้ว่าส่วนใหญ่จะมีรูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆด้วย^{[ 21 ]}

แอ นติปริซึมเป็นกลุ่มของทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยแถบสามเหลี่ยมสลับกัน เมื่อแอนติปริซึมมีความสม่ำเสมอฐานของมันจะเป็นรูปทรงปกติและหน้าสามเหลี่ยมทั้งหมดจะเป็นรูปทรงสามเหลี่ยมด้านเท่า^{[ 22 ]}

โดยทั่วไปแล้ว สามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นส่วนหนึ่งของตระกูลอนันต์ของ ซิ มเพล็กซ์โดยมี. ^{[ 23 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าปรากฏให้เห็นบ่อยครั้งในสิ่งก่อสร้างที่มนุษย์สร้างขึ้นและในวัฒนธรรมสมัยนิยม ในด้านสถาปัตยกรรม ตัวอย่างหนึ่งสามารถเห็นได้ในภาพตัดขวางของGateway Archและพื้นผิวของไข่Vegreville ^{[ 24 ] [ 25 ]}ปรากฏในธงชาตินิการากัวและธงชาติฟิลิปปินส์^{[ 26 ] [ 27 ]}เป็นรูปทรงของป้ายจราจร หลายประเภท รวมถึงป้ายให้ทาง^{[ 28 ]}

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าปรากฏในการศึกษาสเตอริโอเคมีสามารถอธิบายได้ว่าเป็นรูปทรงเรขาคณิตของโมเลกุลที่อะตอมหนึ่งตัวตรงกลางเชื่อมต่อกับอะตอมอีกสามตัวในระนาบเดียวกัน ซึ่งเรียกว่า รูปทรง เรขาคณิตของโมเลกุลแบบระนาบสามเหลี่ยม^{[ 29 ]}

ในปัญหาของทอมสันซึ่งเกี่ยวข้องกับการจัดเรียงอนุภาคประจุที่มีพลังงานต่ำสุดบนทรงกลม และสำหรับปัญหาของแทมเมสในการสร้างรหัสทรงกลมที่เพิ่มระยะห่างที่น้อยที่สุดระหว่างจุดต่างๆ วิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดที่ทราบคือการวางจุดไว้ที่จุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่อยู่ภายในทรงกลมการจัดเรียงนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาของแทมเมส แต่ยังไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เข้มงวดสำหรับกรณีนี้ของปัญหาของทอมสัน^{[ 30 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n=3}$

• สามเหลี่ยมเฮโรเนียนด้านเกือบเท่า
• กลุ่มของมัลฟัตติ
• ลำดับปาโดวาน
• พล็อตสามเหลี่ยม
• พิกัดสามมิติ

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "สามเหลี่ยมด้านเท่า" . MathWorld .

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า