อีกรูปแบบหนึ่งของกฎข้อแรกคือการเขียนโดยใช้ตัวแปรหลักเป็นเศษส่วนมวล ( y ซึ่งกำหนดเป็นหน่วย kg/kg เป็นต้น) จากนั้นสมการจะเปลี่ยนเป็น โดย ที่$${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i},}$$

• ดัชนีiหมายถึงชนิดพันธุ์^ที่i
• J คืออัตราการแพร่ของ ^{สารชนิด ที่}i (ตัวอย่างเช่น ในหน่วย mol/m² ^/ s)
• M คือมวลโมลาร์ของชนิด^ที่i
• ρคือความหนาแน่น ของส่วนผสม (ตัวอย่างเช่น ในหน่วย kg/ ^m³ )

ค่า นี้ อยู่นอกตัวดำเนินการ เกรเดียนต์ เนื่องจากρsiคือความหนาแน่นบางส่วนของชนิด i${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle y_{i}={\frac {\rho _{si}}{\rho }},}$$

นอกจากนี้ ในระบบเคมีอื่นที่ไม่ใช่สารละลายหรือสารผสมในอุดมคติ แรงผลักดันสำหรับการแพร่กระจายของแต่ละชนิดคือความชันของศักยภาพทางเคมีของชนิดนั้น จากนั้นกฎข้อแรกของฟิก (กรณีหนึ่งมิติ) สามารถเขียนได้ ดังนี้$${\displaystyle J_{i}=-{\frac {Dc_{i}}{RT}}{\frac {\partial \mu _{i}}{\partial x}},}$$

• ดัชนีiหมายถึงชนิดพันธุ์^ที่i
• cคือความเข้มข้น (mol/ ^m³ )
• Rคือค่าคงที่ของแก๊สสากล (J/K/mol)
• Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์ (เคลวิน)
• μคือศักย์ทางเคมี (J/mol)

แรงขับเคลื่อนของกฎของฟิกสามารถแสดงได้ในรูปของ ความแตกต่าง ของฟิวจาซิตี้ : $${\displaystyle J_{i}=-{\frac {D}{RT}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x}},}$$

โดยที่ฟิวจาซิตี้มีหน่วยเป็น Pa คือความดันย่อยของส่วนประกอบiในเฟสไอหรือของเหลวที่สมดุลระหว่างไอและของเหลว อัตราการระเหยจะเป็นศูนย์เพราะ...${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}^{\text{G}}}$${\displaystyle f_{i}^{\text{L}}}$${\displaystyle f_{i}^{\text{G}}=f_{i}^{\text{L}}}$

กฎของฟิกสี่เวอร์ชันสำหรับส่วนผสมก๊าซไบนารีมีดังต่อไปนี้ โดยถือว่า: การแพร่ความร้อนนั้นน้อยมาก; แรงต่อหน่วยมวลเท่ากันในทั้งสองชนิด; และความดันคงที่หรือทั้งสองชนิดมีมวลโมลาร์เท่ากัน ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ เอกสารอ้างอิง^{[ 10 ]}แสดงรายละเอียดว่าสมการการแพร่จากทฤษฎีจลน์ของก๊าซลดลงเหลือกฎของฟิกเวอร์ชันนี้ได้อย่างไร: โดยที่V คือความเร็วการแพร่ของชนิดiในแง่ของฟลักซ์ของชนิดนี้คือ $${\displaystyle \mathbf {V_{i}} =-D\,\nabla \ln y_{i},}$$$${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla y_{i}.}$$

นอกจากนี้ หากสิ่งนี้จะลดลงเหลือรูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุดของกฎของฟิก (Fick's law) ${\displaystyle \นาบลา \โร =0}$$${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-D\nabla \varphi .}$$

ถ้า (แทนที่จะหรือนอกเหนือจาก) ทั้งสองชนิดมีมวลโมลาร์เท่ากัน กฎของฟิกจะกลายเป็น โดย ที่คือเศษส่วนโมลของชนิดi${\displaystyle \นาบลา \โร =0}$$${\displaystyle \mathbf {J_{i}} =-{\frac {\rho D}{M_{i}}}\nabla x_{i},}$$${\displaystyle x_{i}}$

กฎข้อที่สองของฟิกสามารถอนุมานได้จากกฎข้อแรกของฟิกและการอนุรักษ์มวลในกรณีที่ไม่มีปฏิกิริยาเคมีใดๆ เกิดขึ้น: $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}J=0\Rightarrow {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)\,=0.}$$

โดยถือว่าสัมประสิทธิ์การแพร่Dเป็นค่าคงที่ เราสามารถสลับลำดับของการอนุพันธ์และคูณด้วยค่าคงที่นั้นได้ และด้วยวิธีนี้จะได้รูปแบบของสมการของฟิก (Fick's equations) ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(D{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi \right)=D{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x}}\varphi =D{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}},}$$

สำหรับกรณีการแพร่ในสองมิติขึ้นไป กฎข้อที่สองของฟิกจะกลายเป็น ซึ่งคล้ายคลึงกับสมการความร้อน$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=D\,\nabla ^{2}\varphi ,}$$

ถ้าค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ไม่คงที่ แต่ขึ้นอยู่กับพิกัดหรือความเข้มข้น กฎข้อที่สองของฟิกจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D\,\nabla \varphi ).}$$

ตัวอย่างที่สำคัญคือกรณีที่φอยู่ในสภาวะสมดุล กล่าวคือ ความเข้มข้นไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้นส่วนซ้ายของสมการข้างต้นจึงเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ ในมิติเดียวที่มีค่าD คง ที่ คำตอบสำหรับความเข้มข้นจะเป็นการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของความเข้มข้นตามแนวแกนxในสองมิติหรือมากกว่านั้น เราจะได้สม การลาปลาส ซึ่งคำตอบของสมการนี้ นักคณิตศาสตร์เรียกว่าฟังก์ชันฮาร์มอนิก$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0,}$$

กรณีง่ายๆ ของการแพร่กระจายตามเวลาtในมิติเดียว (โดยกำหนดให้เป็น แกน x ) จากขอบเขตที่ตำแหน่งx = 0ซึ่งความเข้มข้นคงที่ที่ค่าn₀คือ โดยที่erfcคือฟังก์ชันความคลาดเคลื่อน เสริม คือกรณีที่ก๊าซกัดกร่อนแพร่กระจายผ่านชั้นออกซิเดชันไปยังพื้นผิวโลหะ (หากเราสมมติว่าความเข้มข้นของก๊าซในสิ่งแวดล้อมคงที่ และพื้นที่การแพร่กระจาย – นั่นคือชั้นผลิตภัณฑ์การกัดกร่อน – เป็นกึ่งอนันต์เริ่มต้นที่ 0 ที่พื้นผิวและแพร่กระจายลึกเข้าไปในวัสดุอย่างไม่มีที่สิ้นสุด) ในทางกลับกัน หากพื้นที่การแพร่กระจายเป็นอนันต์ (ครอบคลุมทั้งชั้นที่มีn ( x , 0) = 0 , x > 0และชั้นที่มีn ( x , ) = n₀ , x ≤ 0 ) แล้วคำตอบจะถูกแก้ไขด้วยสัมประสิทธิ์เพียงอย่างเดียว$${\displaystyle n\left(x,t\right)=n_{0}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt}}}}\right),}$$1/2⁠ด้านหน้า n (เนื่องจากการแพร่เกิดขึ้นในทั้งสองทิศทาง) กรณีนี้ใช้ได้เมื่อสารละลายที่มีความเข้มข้น n สัมผัสกับชั้นของตัวทำละลายบริสุทธิ์ (Bokstein, 2005) ความยาวนี้เรียกว่าความยาวการแพร่และเป็นตัววัดว่าความเข้มข้นแพร่กระจายไปไกลแค่ไหนใน ทิศทาง xโดยการแพร่ในเวลา t (Bird, 1976)${\displaystyle 2{\sqrt {Dt}}}$

เพื่อประมาณค่าฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนอย่างรวดเร็วสามารถใช้ พจน์สองพจน์แรกของ อนุกรมเทย์เลอร์ ได้:$${\displaystyle n(x,t)=n_{0}\left[1-2\left({\frac {x}{2{\sqrt {Dt\pi }}}}\right)\right].}$$

ถ้าDขึ้นอยู่กับเวลา ระยะการแพร่จะกลายเป็น แนวคิดนี้มีประโยชน์สำหรับการประมาณระยะการแพร่ในช่วงวงจรการทำความร้อนและการทำความเย็น ซึ่งDเปลี่ยนแปลงไปตามอุณหภูมิ$${\displaystyle 2{\sqrt {\int _{0}^{t}D(\tau )\,d\tau }}.}$$

ตัวอย่างง่ายๆ อีกกรณีหนึ่งของการแพร่คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ของอนุภาคหนึ่ง ตัว การกระจัดเฉลี่ยกำลังสองของอนุภาคจากตำแหน่งเดิมคือ: โดยที่คือมิติของการเคลื่อนที่แบบบราวน์ของอนุภาค ตัวอย่างเช่น การแพร่ของโมเลกุลผ่านเยื่อหุ้มเซลล์ ที่มีความหนา 8 นาโนเมตรเป็นการแพร่แบบ 1 มิติเนื่องจากสมมาตรทรงกลม อย่างไรก็ตาม การแพร่ของโมเลกุลจากเยื่อหุ้มเซลล์ไปยังใจกลางของเซลล์ยูคาริโอตเป็นการแพร่แบบ 3 มิติ สำหรับต้น กระบองเพชร ทรงกระบอก การแพร่จากเซลล์สังเคราะห์แสงบนพื้นผิวไปยังใจกลาง (แกนสมมาตรทรงกระบอก) เป็นการแพร่แบบ 2 มิติ$${\displaystyle {\text{MSD}}\equiv \left\langle \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right)^{2}\right\rangle =2nDt,}$$${\displaystyle n}$ 

รากที่สองของค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (MSD ) มักใช้เป็นตัวบ่งชี้ว่าอนุภาคเคลื่อนที่ไปไกลแค่ไหนหลังจากเวลาผ่านไป ค่า MSD มีการกระจายแบบสมมาตรในพื้นที่ 1 มิติ 2 มิติ และ 3 มิติ ดังนั้น การกระจายความน่าจะเป็นของขนาดของค่า MSD ในพื้นที่ 1 มิติจะเป็นแบบเกาส์เซียน และในพื้นที่ 3 มิติจะเป็นการกระจายแบบแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์${\displaystyle {\sqrt {2nDt}}}$${\displaystyle t}$

• ในตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันสัมประสิทธิ์การแพร่จะแปรผันตามตำแหน่งD = D ( x )ความสัมพันธ์นี้ไม่มีผลต่อกฎข้อแรกของฟิก แต่กฎข้อที่สองจะเปลี่ยนแปลงไป:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}&=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}\\&=D(x)\Delta \varphi (x,t)+\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial D(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}.\end{aligned}}}$$
• ในตัวกลางแอนไอโซโทรปิก สัมประสิทธิ์การแพร่ขึ้นอยู่กับทิศทาง มันเป็นเทนเซอร์ สมมาตร D = D กฎข้อแรกของฟิกเปลี่ยนไปเป็นผลคูณของเทนเซอร์และเวกเตอร์: สำหรับสมการการแพร่ สูตรนี้ให้เมทริกซ์สมมาตรของสัมประสิทธิ์การแพร่D ควรเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอนจำเป็นเพื่อให้ตัวดำเนินการด้านขวามือ เป็น แบบวงรี$${\displaystyle J=-D\nabla \varphi ,}$$$${\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigl (}D\nabla \varphi (x,t){\bigr )}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$$
• สำหรับตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันและมีคุณสมบัติไม่เป็นไอโซโทรปิกควรนำสมการการแพร่ทั้งสองรูปแบบนี้มารวมกัน$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}&=\nabla \cdot {\bigl (}D(x)\nabla \varphi (x,t){\bigr )}\\&=\sum _{i,j=1}^{3}\left(D_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}\varphi (x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial D_{ij}(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial x_{i}}}\right).\end{aligned}}}$$
• แนวทางที่อิงตามความคล่องตัวของไอน์สไตน์และสูตรของทีโอเรลล์ให้การสรุปทั่วไปของสมการของฟิกสำหรับการแพร่กระจายแบบหลายองค์ประกอบขององค์ประกอบที่สมบูรณ์แบบดังต่อไปนี้: โดยที่φ คือความเข้มข้นขององค์ประกอบ และD คือเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ ในที่นี้ ดัชนีiและjเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบต่างๆ ไม่ใช่พิกัดเชิงพื้นที่$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial t}}=\sum _{j}\nabla \cdot \left(D_{ij}{\frac {\varphi _{i}}{\varphi _{j}}}\nabla \,\varphi _{j}\right),}$$

สูตร ของแชปแมน-เอนสโกกสำหรับการแพร่ในก๊าซประกอบด้วยพจน์ที่เหมือนกันทุกประการ แบบจำลองทางกายภาพของการแพร่เหล่านี้แตกต่างจากแบบจำลองทดสอบ∂ φ = Σ D Δ φ ซึ่งใช้ได้กับการเบี่ยงเบนเล็กน้อยจากสมดุลสม่ำเสมอ ก่อนหน้านี้ พจน์ดังกล่าวได้ถูกนำมาใช้ในสมการการแพร่ของแม็กซ์เวลล์-สเตฟาน

สำหรับค่าสัมประสิทธิ์การแพร่แบบหลายองค์ประกอบที่ไม่เป็นไอโซโทรปิก จำเป็นต้องใช้เทนเซอร์อันดับสี่ เช่นD โดยที่i , jหมายถึงองค์ประกอบ และα , β = 1, 2, 3สอดคล้องกับพิกัดเชิงพื้นที่

When two miscible liquids are brought into contact, and diffusion takes place, the macroscopic (or average) concentration evolves following Fick's law. On a mesoscopic scale, that is, between the macroscopic scale described by Fick's law and molecular scale, where molecular random walks take place, fluctuations cannot be neglected. Such situations can be successfully modeled with Landau-Lifshitz fluctuating hydrodynamics. In this theoretical framework, diffusion is due to fluctuations whose dimensions range from the molecular scale to the macroscopic scale.^[12]

In particular, fluctuating hydrodynamic equations include a Fick's flow term, with a given diffusion coefficient, along with hydrodynamics equations and stochastic terms describing fluctuations. When calculating the fluctuations with a perturbative approach, the zero order approximation is Fick's law. The first order gives the fluctuations, and it comes out that fluctuations contribute to diffusion. This represents somehow a tautology, since the phenomena described by a lower order approximation is the result of a higher approximation: this problem is solved only by renormalizing the fluctuating hydrodynamics equations.

การดูดซับ การดูดซึม และการชนกันของโมเลกุล อนุภาค และพื้นผิว เป็นปัญหาสำคัญในหลายสาขา กระบวนการพื้นฐานเหล่านี้ควบคุมปฏิกิริยาทางเคมี ชีวภาพ และสิ่งแวดล้อม อัตราของปฏิกิริยาเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้ค่าคงที่การแพร่และกฎการแพร่ของฟิก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อปฏิกิริยาเหล่านี้เกิดขึ้นในสารละลายเจือจาง

โดยทั่วไป ค่าคงที่การแพร่ของโมเลกุลและอนุภาคที่กำหนดโดยสมการของ Fick สามารถคำนวณได้โดยใช้สมการ Stokes–Einsteinในขีดจำกัดเวลาที่สั้นมาก ในลำดับของเวลาการแพร่a ² / Dโดยที่aคือรัศมีของอนุภาค การแพร่จะถูกอธิบายโดยสมการ Langevinในเวลาที่นานขึ้นสมการ Langevinจะรวมเข้ากับสมการ Stokes–Einsteinซึ่งสมการหลังนี้เหมาะสมสำหรับเงื่อนไขของสารละลายเจือจาง ซึ่งพิจารณาการแพร่ระยะไกล ตามทฤษฎีบทความผันผวน-การกระจายพลังงานตามสมการ Langevinในขีดจำกัดเวลาที่ยาวนานและเมื่ออนุภาคมีความหนาแน่นมากกว่าของเหลวโดยรอบอย่างมีนัยสำคัญ ค่าคงที่การแพร่ที่ขึ้นอยู่กับเวลาคือ: ^{[ 13 ]} โดยที่ (ทั้งหมดอยู่ในหน่วย SI)$${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T\left(1-e^{-t/(m\mu )}\right),}$$

• k คือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์
• Tคืออุณหภูมิสัมบูรณ์
• μคือค่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคในของเหลวหรือก๊าซ ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้ ความสัมพันธ์ของไอน์สไตน์ ( ทฤษฎีจลน์)
• mคือมวลของอนุภาค
• ได้เวลาแล้ว

สำหรับโมเลกุลเดี่ยว เช่น โมเลกุลอินทรีย์หรือโมเลกุลชีวภาพ (เช่น โปรตีน) ในน้ำ พจน์เลขชี้กำลังนั้นมีค่าน้อยมาก เนื่องจากผลคูณของmμ มีค่าน้อย ในบริเวณพิโควินาทีที่เร็วมาก จึงไม่เกี่ยวข้องกับการดูดซับของสารละลายเจือจางที่ช้ากว่า

อัตราการ ดูดซับหรือการดูดซึมของสารละลายเจือจางไปยังพื้นผิวหรือส่วนต่อประสานในสารละลาย (ก๊าซหรือของเหลว) สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎการแพร่ของฟิกก์ จำนวนโมเลกุลที่สะสมที่ถูกดูดซับบนพื้นผิวจะแสดงโดยสมการ Langmuir-Schaefer โดยการอินทิเกรตสมการฟลักซ์การแพร่ตามเวลาดังที่แสดงในการแพร่โมเลกุลจำลองในส่วนแรกของหน้านี้: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \Gamma =2AC_{b}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}.}$$

• Aคือพื้นที่ผิว ( ^ตร.ม. )
• ${\displaystyle C_{b}}$คือความเข้มข้นเชิงจำนวนของโมเลกุลตัวดูดซับ (ตัวถูกละลาย) ในสารละลายโดยรวม (#/ ^m³ )
• Dคือค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ของสารดูดซับ (m² ^/ s)
• tคือเวลาที่ผ่านไป (วินาที)
• ${\displaystyle \Gamma }$คือจำนวนโมเลกุลสะสมในหน่วย # โมเลกุลที่ถูกดูดซับในช่วงเวลา${\displaystyle t}$

สมการนี้ตั้งชื่อตามนักเคมีชาวอเมริกันเออร์วิง แลงมัวร์และวินเซนต์ เชเฟอร์

โดยสรุปตามที่อธิบายไว้ใน^{[ 16 ]} โปรไฟล์การไล่ระดับความเข้มข้นใกล้พื้นผิวดูดซับที่สร้างขึ้นใหม่ (จาก ) (วางไว้ที่) ในสารละลายปริมาณมากที่สม่ำเสมอครั้งหนึ่งจะได้รับการแก้ไขในส่วนข้างต้นจากสมการของ Fick โดยที่Cคือความเข้มข้นของจำนวนโมเลกุลของตัวดูดซับที่(#/m ³ )${\displaystyle t=0}$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial x}}={\frac {C_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}{\text{exp}}\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right),}$$${\displaystyle x,t}$

ความชันของความเข้มข้นที่ใต้พื้นผิวจะถูกลดทอนให้เหลือเพียงค่าสัมประสิทธิ์ก่อนเลขชี้กำลังของการกระจายตัว และอัตราการแพร่ (ฟลักซ์) ข้ามพื้นที่ของระนาบคือ เมื่อทำการอินทิเกรตในช่วงเวลา ${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{x=0}={\frac {C_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}.}$$${\displaystyle A.}$$${\displaystyle \left({\frac {\partial \Gamma }{\partial t}}\right)_{x=0}=-{\frac {DAC_{b}}{\sqrt {\pi Dt}}}.}$$$${\displaystyle \Gamma =\int _{0}^{t}\left({\frac {\partial \Gamma }{\partial t}}\right)_{x=0}=2AC_{b}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}.}$$

สมการ Langmuir–Schaefer สามารถขยายไปยังสมการ Ward–Tordai เพื่ออธิบาย "การแพร่กลับ" ของโมเลกุลที่ถูกปฏิเสธจากพื้นผิว: ^{[ 16 ]} โดยที่คือความเข้มข้นของมวลคือความเข้มข้นใต้พื้นผิว (ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลาขึ้นอยู่กับแบบจำลองปฏิกิริยาของการดูดซับ) และคือตัวแปรดัมมี่$${\displaystyle \Gamma =2A{C_{\text{b}}}{\sqrt {\frac {Dt}{\pi }}}-A{\sqrt {\frac {D}{\pi }}}\int _{0}^{\sqrt {t}}{\frac {C(\tau )}{\sqrt {t-\tau }}}\,d\tau ,}$$${\displaystyle C_{b}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \tau }$

การจำลองมอนเตคาร์โลแสดงให้เห็นว่าสมการทั้งสองนี้ใช้ได้ผลในการทำนายอัตราการดูดซับของระบบที่สร้างการไล่ระดับความเข้มข้นที่คาดการณ์ได้ใกล้พื้นผิว แต่มีปัญหาสำหรับระบบที่ไม่มีหรือมีการไล่ระดับความเข้มข้นที่คาดการณ์ไม่ได้ เช่น ระบบไบโอเซนเซอร์ทั่วไป หรือเมื่อการไหลและการพาความร้อนมีความสำคัญ^{[ 17 ]}

รูปด้านขวาแสดงประวัติโดยย่อของการดูดซับแบบแพร่กระจาย^{[ 17 ]}ความท้าทายที่เห็นได้ชัดในการทำความเข้าใจการดูดซับแบบแพร่กระจายในระดับโมเลกุลเดี่ยวคือ ลักษณะ แบบแฟรกทัลของการแพร่กระจาย การจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่เลือกขั้นตอนเวลาสำหรับการแพร่กระจายซึ่งละเลยข้อเท็จจริงที่ว่ามีเหตุการณ์การแพร่กระจายที่ละเอียดกว่าที่คล้ายคลึงกัน (แฟรกทัล) ภายในแต่ละขั้นตอน การจำลองการแพร่กระจายแบบแฟรกทัลแสดงให้เห็นว่าควรมีการแก้ไขปัจจัยสองเท่าสำหรับผลลัพธ์ของการจำลองการดูดซับขั้นตอนเวลาคงที่ เพื่อให้สอดคล้องกับสมการสองสมการข้างต้น^{[ 17 ]}

ผลลัพธ์ที่สร้างปัญหามากกว่าของสมการข้างต้นคือ สมการเหล่านี้ทำนายขีดจำกัดล่างของการดูดซับภายใต้สถานการณ์ที่เหมาะสม แต่ยากมากที่จะทำนายอัตราการดูดซับจริง สมการเหล่านี้ได้มาจากเงื่อนไขขีดจำกัดเวลาที่ยาวนาน เมื่อมีการสร้างเกรเดียนต์ความเข้มข้นที่เสถียรใกล้กับพื้นผิว แต่การดูดซับจริงมักเกิดขึ้นเร็วกว่าขีดจำกัดเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดนี้มาก กล่าวคือ เกรเดียนต์ความเข้มข้น การลดลงของความเข้มข้นที่ใต้พื้นผิว จะเกิดขึ้นเพียงบางส่วนก่อนที่พื้นผิวจะอิ่มตัวหรือมีการไหลเพื่อรักษาระดับเกรเดียนต์ที่แน่นอน ดังนั้นอัตราการดูดซับที่วัดได้จึงเร็วกว่าที่สมการทำนายไว้เกือบตลอดเวลาสำหรับการดูดซับที่มีอุปสรรคพลังงานต่ำหรือไม่มีเลย (เว้นแต่จะมีอุปสรรคพลังงานการดูดซับที่สำคัญซึ่งทำให้การดูดซับช้าลงอย่างมาก) ตัวอย่างเช่น เร็วกว่าหลายพันถึงหลายล้านเท่าในการประกอบตัวเองของโมโนเลเยอร์ที่ส่วนต่อประสานระหว่างน้ำกับอากาศหรือน้ำกับพื้นผิว^{[ 15 ]}ด้วยเหตุนี้ จึงจำเป็นต้องคำนวณวิวัฒนาการของเกรเดียนต์ความเข้มข้นใกล้กับพื้นผิวและหาเวลาที่เหมาะสมในการหยุดวิวัฒนาการที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่จินตนาการไว้สำหรับการใช้งานจริง แม้ว่าจะยากที่จะคาดเดาว่าจะหยุดเมื่อใด แต่การคำนวณเวลาที่สั้นที่สุดที่สำคัญนั้นค่อนข้างง่าย ซึ่งก็คือเวลาวิกฤตที่เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดคนแรกจากพื้นผิวของสารตั้งต้นรู้สึกถึงการสะสมของความเข้มข้นของเกรเดียนต์ ซึ่งจะให้ค่าขีดจำกัดบนของอัตราการดูดซับภายใต้สถานการณ์ที่เหมาะสมเมื่อไม่มีปัจจัยอื่นใดนอกจากการแพร่กระจายที่ส่งผลต่อพลวัตของตัวดูดซับ: ^{[ 17 ]} โดยที่:$${\displaystyle \langle r\rangle ={\frac {4}{\pi }}AC_{b}^{4/3}D,}$$

• ${\displaystyle \langle r\rangle }$คืออัตราการดูดซับโดยสมมติว่าอยู่ในสถานการณ์ที่ไม่มีอุปสรรคทางพลังงานในการดูดซับ หน่วยเป็น #/วินาที
• ${\displaystyle A}$คือพื้นที่ผิวที่สนใจบนพื้นผิวที่ "เรียบและไม่มีที่สิ้นสุด" ( ^ตร.ม. )
• ${\displaystyle C_{b}}$คือความเข้มข้นของโมเลกุลตัวดูดซับในสารละลายโดยรวม (#/ ^m³ )
• ${\displaystyle D}$คือค่าคงที่การแพร่ของตัวดูดซับ (ตัวถูกละลาย) ในสารละลาย (m² ^/ s) ซึ่งกำหนดโดยกฎของฟิก (Fick's law)

สมการนี้สามารถใช้ในการทำนายอัตราการดูดซับเริ่มต้นของระบบใดๆ ก็ได้ นอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการทำนายอัตราการดูดซับในสภาวะคงที่ของระบบไบโอเซนเซอร์ทั่วไป เมื่อบริเวณการจับยึดเป็นเพียงเศษส่วนเล็กๆ ของพื้นผิวของสารตั้งต้น และไม่มีการเกิดการไล่ระดับความเข้มข้นใกล้พื้นผิว และยังสามารถใช้ในการทำนายอัตราการดูดซับของโมเลกุลบนพื้นผิวได้ เมื่อมีกระแสไหลที่สำคัญผลักดันการไล่ระดับความเข้มข้นให้ตื้นมากในชั้นใต้พื้นผิว

เวลาวิกฤตนี้แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากเวลาที่ผู้โดยสารคนแรกมาถึงหรือเวลาเฉลี่ยของเส้นทางอิสระ การใช้เวลาเฉลี่ยของผู้โดยสารคนแรกและกฎการแพร่ของฟิกก์เพื่อประมาณอัตราการจับตัวเฉลี่ยจะทำให้ค่าความชันของความเข้มข้นสูงเกินจริงอย่างมาก เนื่องจากผู้โดยสารคนแรกมักจะมาจากเพื่อนบ้านหลายชั้นที่อยู่ห่างจากเป้าหมาย ดังนั้นเวลาที่มาถึงจึงนานกว่าเวลาการแพร่ของเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดอย่างมาก การใช้เวลาเฉลี่ยของเส้นทางอิสระบวกกับสมการของแลงมัวร์จะทำให้เกิดความชันของความเข้มข้นเทียมระหว่างตำแหน่งเริ่มต้นของผู้โดยสารคนแรกกับพื้นผิวเป้าหมาย เนื่องจากชั้นเพื่อนบ้านอื่นๆ ยังไม่มีการเปลี่ยนแปลง ดังนั้นจึงประมาณเวลาการจับตัวที่แท้จริงได้ต่ำกว่าอย่างมาก กล่าวคือ เวลาที่ผู้โดยสารคนแรกมาถึงจริง ซึ่งเป็นค่าผกผันของอัตราข้างต้นนั้น คำนวณได้ยาก หากระบบสามารถลดรูปให้เหลือการแพร่แบบ 1 มิติได้ เวลาเฉลี่ยของผู้โดยสารคนแรกสามารถคำนวณได้โดยใช้เวลาการแพร่ที่สำคัญของเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดเดียวกันสำหรับระยะห่างของเพื่อนบ้านแรกเป็น MSD ^{[ 18 ]} โดยที่:$${\displaystyle L={\sqrt {2Dt}},}$$

• ${\displaystyle L~=C_{b}^{-1/3}}$(หน่วยเป็นเมตร) คือระยะห่างเฉลี่ยระหว่างโมเลกุลที่อยู่ใกล้ที่สุดโดยประมาณตามการจัดเรียงแบบลูกบาศก์ โดยที่คือความเข้มข้นของตัวถูกละลายในสารละลายโดยรวม (หน่วยเป็นจำนวนโมเลกุลต่อลูกบาศก์^เมตร )${\displaystyle C_{b}}$
• ${\displaystyle D}$คือค่าสัมประสิทธิ์การแพร่ที่กำหนดโดยสมการของฟิก (หน่วยเป็น m² ^/ s)
• ${\displaystyle t}$คือช่วงเวลาวิกฤต (หน่วยเป็นวินาที)

ในช่วงเวลาวิกฤตนี้ เป็นไปได้ยากที่ผู้โดยสารคนแรกจะมาถึงและดูดซับ แต่จะเป็นตัวกำหนดความเร็วของการมาถึงของชั้นเพื่อนบ้าน ด้วยความเร็วนี้และระดับความเข้มข้นที่หยุดลงบริเวณชั้นเพื่อนบ้านชั้นแรก ระดับความเข้มข้นจะไม่ปรากฏให้เห็นในเวลาที่ยาวนานขึ้นเมื่อผู้โดยสารคนแรกมาถึงจริง ดังนั้น อัตราการมาถึงของผู้โดยสารคนแรกโดยเฉลี่ย (หน่วย # โมเลกุล/วินาที) สำหรับการแพร่แบบ 3 มิติที่ลดรูปเป็นปัญหา 1 มิติ โดยที่เป็นปัจจัยในการแปลงปัญหาการดูดซับแบบแพร่ 3 มิติให้เป็นปัญหาการแพร่ 1 มิติ ซึ่งค่าขึ้นอยู่กับระบบ เช่น สัดส่วนของพื้นที่การดูดซับต่อพื้นที่ผิวทรงกลมของตัวละลายที่อยู่ใกล้ที่สุดโดยสมมติว่ามีการจัดเรียงแบบลูกบาศก์ แต่ละหน่วยมีเพื่อนบ้าน 8 หน่วยที่ใช้ร่วมกับหน่วยอื่น สัดส่วนตัวอย่างนี้ทำให้ผลลัพธ์ลู่เข้าสู่การแก้ปัญหาการดูดซับแบบแพร่ 3 มิติที่แสดงไว้ข้างต้น โดยมีความแตกต่างเล็กน้อยในปัจจัยนำหน้าเนื่องจากสมมติฐานการจัดเรียงที่แตกต่างกันและการละเลยเพื่อนบ้านอื่นๆ$${\displaystyle \langle r\rangle ={\frac {a}{t}}=2aC_{b}^{2/3}D,}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 4\pi L^{2}/4}$

When the area of interest is the size of a molecule (specifically, a long cylindrical molecule such as DNA), the adsorption rate equation represents the collision frequency of two molecules in a diluted solution, with one molecule a specific side and the other no steric dependence, i.e., a molecule (random orientation) hit one side of the other. The diffusion constant need to be updated to the relative diffusion constant between two diffusing molecules. This estimation is especially useful in studying the interaction between a small molecule and a larger molecule such as a protein. The effective diffusion constant is dominated by the smaller one whose diffusion constant can be used instead.

The above hitting rate equation is also useful to predict the kinetics of molecular self-assembly on a surface. Molecules are randomly oriented in the bulk solution. Assuming 1/6 of the molecules has the right orientation to the surface binding sites, i.e. 1/2 of the z-direction in x, y, z three dimensions, thus the concentration of interest is just 1/6 of the bulk concentration. Put this value into the equation one should be able to calculate the theoretical adsorption kinetic curve using the Langmuir adsorption model. In a more rigid picture, 1/6 can be replaced by the steric factor of the binding geometry.

The bimolecular collision frequency related to many reactions including protein coagulation/aggregation is initially described by Smoluchowski coagulation equation proposed by Marian Smoluchowski in a seminal 1916 publication,^[20] derived from Brownian motion and Fick's laws of diffusion. Under an idealized reaction condition for A + B → product in a diluted solution, Smoluchovski suggested that the molecular flux at the infinite time limit can be calculated from Fick's laws of diffusion yielding a fixed/stable concentration gradient from the target molecule, e.g. B is the target molecule holding fixed relatively, and A is the moving molecule that creates a concentration gradient near the target molecule B due to the coagulation reaction between A and B. Smoluchowski calculated the collision frequency between A and B in the solution with unit #/s/m³: $${\displaystyle Z_{AB}=4{\pi }RD_{r}C_{A}C_{B},}$$ where:

• ${\displaystyle R}$ is the radius of the collision,
• ${\displaystyle D_{r}=D_{A}+D_{B}}$ is the relative diffusion constant between A and B (m²/s),
• ${\displaystyle C_{A}}$ and ${\displaystyle C_{B}}$ are number concentrations of A and B respectively (#/m³).

อันดับปฏิกิริยาของปฏิกิริยาสองโมเลกุลนี้คือ 2 ซึ่งคล้ายคลึงกับผลลัพธ์จากทฤษฎีการชนกันโดยแทนที่ความเร็วในการเคลื่อนที่ของโมเลกุลด้วยฟลักซ์การแพร่ ในทฤษฎีการชนกัน เวลาในการเดินทางระหว่าง A และ B เป็นสัดส่วนกับระยะทาง ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับกรณีการแพร่ หากฟลักซ์คงที่

อย่างไรก็ตาม ภายใต้เงื่อนไขในทางปฏิบัติ ความชันของความเข้มข้นใกล้โมเลกุลเป้าหมายจะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์โมเลกุลด้วย^{[ 17 ]}และโดยเฉลี่ยแล้วฟลักซ์มีขนาดใหญ่กว่าฟลักซ์ขีดจำกัดเวลาอนันต์ที่ Smoluchowski เสนอไว้มาก ก่อนเวลาที่ผู้โดยสารคนแรกมาถึง สมการของ Fick ทำนายความชันของความเข้มข้นตามเวลาซึ่งยังไม่เกิดขึ้นจริง ดังนั้น ความถี่ของ Smoluchowski นี้จึงแสดงถึงขีดจำกัดล่างของความถี่การชนกันจริง

ในปี 2022 เฉินคำนวณขีดจำกัดบนของความถี่การชนกันระหว่าง A และ B ในสารละลายโดยสมมติว่าความเข้มข้นโดยรวมของโมเลกุลที่เคลื่อนที่คงที่หลังจากเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดตัวแรกของโมเลกุลเป้าหมาย^{[ 19 ]}ดังนั้นวิวัฒนาการของความชันความเข้มข้นจะหยุดที่ชั้นเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดตัวแรกโดยกำหนดเวลาหยุดเพื่อคำนวณฟลักซ์จริง เขาตั้งชื่อสิ่งนี้ว่าเวลาวิกฤตและได้ความถี่การชนแบบแพร่กระจายในหน่วย #/s/m ³ : ^{[ 19 ]} โดยที่:$${\displaystyle Z_{AB}={\frac {8}{\pi }}{\sigma }D_{r}C_{A}C_{B}{\sqrt[{3}]{C_{A}+C_{B}}},}$$

• ${\displaystyle {\sigma }}$คือพื้นที่หน้าตัดของการชน ( ^ตร.ม. )
• ${\displaystyle D_{r}=D_{A}+D_{B}}$คือค่าคงที่การแพร่สัมพัทธ์ระหว่าง A และ B (m² ^/ s)
• ${\displaystyle C_{A}}$และคือความเข้มข้นเชิงจำนวนของ A และ B ตามลำดับ (#/ ^m³ )${\displaystyle C_{B}}$
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{C_{A}+C_{B}}}}$แทนค่า 1/⟨ d ⟩ โดยที่dคือระยะห่างเฉลี่ยระหว่างโมเลกุลสองตัว

สมการนี้ถือว่าขีดจำกัดบนของความถี่การชนแบบแพร่กระจายระหว่าง A และ B คือเมื่อชั้นเพื่อนบ้านชั้นแรกเริ่มรับรู้ถึงการเปลี่ยนแปลงของความชันความเข้มข้น ซึ่งมีลำดับปฏิกิริยาเป็น2+1/3แทนที่จะเป็น 2 ทั้งสมการ Smoluchowski และสมการ JChen ต่างก็ผ่านการตรวจสอบมิติด้วยหน่วย SI แต่สมการแรกขึ้นอยู่กับรัศมี และสมการหลังขึ้นอยู่กับพื้นที่ของทรงกลมการชน จากการวิเคราะห์มิติ ควรมีสมการที่ขึ้นอยู่กับปริมาตรของทรงกลมการชน ^{[ 21 ]}เช่น

$${\displaystyle Z_{AB}=4VD_{r}C_{A}C_{B}(C_{A}+C_{B})^{2/3},}$$

• V คือปริมาตรของทรงกลมการชน

แต่ในที่สุด สมการทั้งหมดควรจะลู่เข้าสู่ค่าอัตราการชนเชิงตัวเลขเดียวกัน ซึ่งสามารถวัดได้จากการทดลอง ลำดับปฏิกิริยาที่แท้จริงสำหรับปฏิกิริยาหน่วยโมเลกุลคู่ อาจอยู่ระหว่าง 2 และ2+2/3ซึ่งก็สมเหตุสมผล เพราะเวลาในการชนแบบแพร่กระจายนั้นขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างโมเลกุลทั้งสองโดยตรง

สมการใหม่เหล่านี้ยังช่วยหลีกเลี่ยงภาวะเอกฐานของอัตราการดูดซับที่เวลาศูนย์สำหรับสมการ Langmuir-Schaefer ด้วย อัตราอนันต์นั้นสมเหตุสมผลภายใต้เงื่อนไขในอุดมคติ เพราะเมื่อคุณนำโมเลกุลเป้าหมายเข้าไปในสารละลายของโมเลกุลตัวตรวจสอบอย่างน่าอัศจรรย์ หรือในทางกลับกัน จะมีความน่าจะเป็นที่พวกมันจะทับซ้อนกันที่เวลาศูนย์เสมอ ดังนั้นอัตราการรวมตัวของโมเลกุลสองตัวนั้นจึงเป็นอนันต์ ไม่สำคัญว่าโมเลกุลอีกหลายล้านตัวจะต้องรอให้คู่แรกของพวกมันแพร่กระจายและมาถึง อัตราเฉลี่ยจึงเป็นอนันต์ แต่ในทางสถิติแล้ว ข้อโต้แย้งนี้ไม่มีความหมาย อัตราสูงสุดของโมเลกุลในช่วงเวลาที่มากกว่าศูนย์คือ 1 ไม่ว่าจะพบกันหรือไม่ก็ตาม ดังนั้นอัตราอนันต์ที่เวลาศูนย์สำหรับคู่โมเลกุลนั้นควรจะเป็นเพียง 1 ทำให้ค่าเฉลี่ยเป็น 1/ล้าน หรือมากกว่านั้น และในทางสถิติแล้วถือว่าน้อยมาก นี่ยังไม่รวมถึงความเป็นจริงที่ว่าไม่มีโมเลกุลสองตัวใดสามารถพบกันอย่างน่าอัศจรรย์ที่เวลาศูนย์ได้

กฎข้อแรกก่อให้เกิดสูตรต่อไปนี้: ^{[ 22 ]} โดยที่$${\displaystyle {\text{flux}}={-P\left(c_{2}-c_{1}\right)},}$$

• Pคือค่าการซึมผ่าน ซึ่งเป็น " ค่าการนำไฟฟ้า " ของเยื่อหุ้มเซลล์ที่ได้จากการทดลอง สำหรับก๊าซชนิดหนึ่งที่อุณหภูมิชนิดหนึ่ง
• c − c คือผลต่างของความเข้มข้นของก๊าซที่อยู่ข้ามเยื่อหุ้มเซลล์ในทิศทางการไหล (จาก c ไปยัง c )

กฎข้อแรกของฟิก (Fick's first law) ก็มีความสำคัญในสมการการถ่ายเทรังสีเช่นกัน อย่างไรก็ตาม ในบริบทนี้ กฎดังกล่าวจะใช้ไม่ได้ผลเมื่อค่าคงที่การแพร่กระจายต่ำ และรังสีถูกจำกัดด้วยความเร็วแสงแทนที่จะเป็นความต้านทานของวัสดุที่รังสีไหลผ่าน ในสถานการณ์เช่นนี้ เราสามารถใช้ตัวจำกัดฟลักซ์ (flux limiter ) ได้

อัตราการแลกเปลี่ยนของก๊าซผ่านเยื่อของเหลวสามารถหาได้โดยใช้กฎนี้ร่วมกับกฎของเกรแฮม

ภายใต้เงื่อนไขของสารละลายเจือจางเมื่อการแพร่กระจายเข้ามามีบทบาท ความสามารถในการซึมผ่านของเยื่อหุ้มเซลล์ที่กล่าวถึงในส่วนข้างต้นสามารถคำนวณได้ทางทฤษฎีสำหรับตัวถูกละลายโดยใช้สมการที่กล่าวถึงในส่วนสุดท้าย (ใช้ด้วยความระมัดระวังเป็นพิเศษ เนื่องจากสมการนี้ได้มาจากตัวถูกละลายที่มีความหนาแน่นสูง ในขณะที่โมเลกุลทางชีวภาพไม่ได้มีความหนาแน่นมากกว่าน้ำ นอกจากนี้ สมการนี้ยังถือว่ามีการไล่ระดับความเข้มข้นในอุดมคติเกิดขึ้นใกล้กับเยื่อหุ้มเซลล์และมีการเปลี่ยนแปลง): ^{[ 14 ]} โดยที่:$${\displaystyle P=2A_{p}\eta _{tm}{\sqrt {\frac {D}{\pi t}}},}$$

• ${\displaystyle A_{P}}$คือพื้นที่รวมของรูพรุนบนเยื่อเมมเบรน (หน่วยเป็น^m² )
• ${\displaystyle \eta _{tm}}$ประสิทธิภาพการผ่านเยื่อหุ้มเซลล์ (ไม่มีหน่วย) ซึ่งสามารถคำนวณได้จากทฤษฎีสุ่มของโครมาโทกราฟี
• Dคือค่าคงที่การแพร่ของหน่วยตัวถูกละลาย m ² ⋅s ⁻¹ ,
• tคือหน่วยเวลา (วินาที)
• c, c concentration should use unit mol m⁻³, so flux unit becomes mol s⁻¹.

The flux is decay over the square root of time because a concentration gradient builds up near the membrane over time under ideal conditions. When there is flow and convection, the flux can be significantly different than the equation predicts and show an effective time t with a fixed value,^[17] which makes the flux stable instead of decay over time. A critical time has been estimated under idealized flow conditions when there is no gradient formed.^[17][19] This strategy is adopted in biology such as blood circulation.

The semiconductor is a collective term for a series of devices. It mainly includes three categories：two-terminal devices, three-terminal devices, and four-terminal devices. The combination of the semiconductors is called an integrated circuit.

The relationship between Fick's law and semiconductors: the principle of the semiconductor is transferring chemicals or dopants from a layer to a layer. Fick's law can be used to control and predict the diffusion by knowing how much the concentration of the dopants or chemicals move per meter and second through mathematics.

Therefore, different types and levels of semiconductors can be fabricated.

Integrated circuit fabrication technologies, model processes like CVD, thermal oxidation, wet oxidation, doping, etc. use diffusion equations obtained from Fick's law.

การกำหนดกฎข้อแรกของฟิกสามารถอธิบายปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนต่างๆ ในบริบทของอาหารและการปรุงอาหารได้ เช่น การแพร่กระจายของโมเลกุล เช่น เอทิลีน ช่วยส่งเสริมการเจริญเติบโตและการสุกของพืช โมเลกุลของเกลือและน้ำตาลช่วยส่งเสริมการแช่น้ำเกลือและการหมักเนื้อสัตว์ และโมเลกุลของน้ำช่วยส่งเสริมการคายน้ำ กฎข้อแรกของฟิกยังสามารถใช้ในการทำนายการเปลี่ยนแปลงของโปรไฟล์ความชื้นทั่วเส้นสปาเก็ตตี้ขณะที่ดูดซับน้ำระหว่างการปรุงอาหาร ปรากฏการณ์เหล่านี้ล้วนเกี่ยวกับการเคลื่อนที่โดยธรรมชาติของอนุภาคของสารละลายที่ขับเคลื่อนโดยความแตกต่างของความเข้มข้น ในสถานการณ์ต่างๆ จะมีค่าการแพร่กระจายที่แตกต่างกันซึ่งเป็นค่าคงที่^{[ 23 ]}

การควบคุมความเข้มข้นของเกลือ เวลาในการปรุง และรูปทรงของอาหาร สามารถช่วยควบคุมปริมาณเกลือที่ใช้ได้