ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชัน เกาส์เซียนหรือฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกธรรมดา₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) เป็นฟังก์ชันพิเศษที่แสดงด้วยอนุกรมไฮเปอร์จี โอเมตริก ซึ่งรวมถึงฟังก์ชันพิเศษอื่นๆ อีกมากมายเป็น กรณี เฉพาะหรือกรณีจำกัด ฟังก์ชัน นี้เป็นคำตอบของ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น อันดับสอง(ODE) สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสองทุกสมการที่มีจุดเอกฐานปกติ สามจุด สามารถแปลงเป็นสมการนี้ได้

สำหรับรายการที่เป็นระบบของ เอกลักษณ์หลายพันรายการที่ตีพิมพ์ซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก โปรดดูงานอ้างอิงของErdélyi et al. (1953)และOlde Daalhuis (2010)ไม่มีระบบใดที่เป็นที่รู้จักสำหรับการจัดระเบียบเอกลักษณ์ทั้งหมด อันที่จริง ไม่มีอัลกอริทึมใดที่เป็นที่รู้จักซึ่งสามารถสร้างเอกลักษณ์ทั้งหมดได้ มีอัลกอริทึมที่แตกต่างกันหลายตัวที่สร้างชุดเอกลักษณ์ที่แตกต่างกัน ทฤษฎีการค้นพบเอกลักษณ์ด้วยอัลกอริทึมยังคงเป็นหัวข้อการวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่

คำว่า "อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก" ถูกใช้ครั้งแรกโดยจอห์น วอลลิสในหนังสือArithmetica Infinitorum ของเขาเมื่อปี ค.ศ. 1655

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ศึกษาอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกแต่การศึกษาอย่างเป็นระบบครั้งแรกนั้นกระทำโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์  ( ค.ศ. 1813 )

การศึกษาในศตวรรษที่สิบเก้า ได้แก่ การศึกษาของErnst Kummer  ( 1836 ) และการกำหนดลักษณะพื้นฐานของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกโดยBernhard Riemann  ( 1857 ) โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ฟังก์ชันนั้นสอดคล้อง

รีมันน์แสดงให้เห็นว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองสำหรับ₂ F ₁ ( z ) ซึ่งตรวจสอบในระนาบเชิงซ้อน สามารถระบุลักษณะเฉพาะได้ (บนทรงกลมรีมันน์ ) โดยเอกฐานปกติ ทั้งสามของ มัน

กรณีที่คำตอบเป็นฟังก์ชันพีชคณิต นั้น ถูกค้นพบโดยเฮอร์มันน์ ชวาร์ซ ( รายชื่อของชวาร์ซ )

ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกถูกกำหนดสำหรับ| z | < 1โดยอนุกรมกำลัง

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}$$

จะไม่มีนิยาม (หรืออนันต์) หากc เท่ากับ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกในที่นี้( q ) _n คือ สัญลักษณ์Pochhammer (ที่เพิ่มขึ้น) ^{[หมายเหตุ 1 ]}ซึ่งกำหนดโดย:

$${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$$

อนุกรมจะสิ้นสุดลงหากaหรือbเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก ซึ่งในกรณีนี้ฟังก์ชันจะลดรูปเป็นพหุนาม:

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$$

สำหรับอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนzที่| z | ≥ 1สามารถต่อยอดเชิงวิเคราะห์ ไปตามเส้นทางใดๆ ในระนาบเชิงซ้อนที่หลีกเลี่ยงจุดแยกสาขา 1 และอนันต์ได้ ในทางปฏิบัติ การใช้งานฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกในคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่จะ ใช้ การตัดสาขาตามเส้นz  ≥ 1

เมื่อc → − mโดยที่mเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ จะได้ว่า₂ F ₁ ( z ) → ∞เมื่อหารด้วยค่าΓ( c )ของฟังก์ชันแกมมาเราจะได้ลิมิตดังนี้:

$${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}$$

₂ F ₁ ( z ) เป็น อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป ประเภท _p F _qที่

โดยใช้เอกลักษณ์ดังกล่าว จะแสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$$

และโดยทั่วไปแล้ว

$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$$

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ทั่วไปหลายฟังก์ชันสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก หรือในรูปของกรณีลิมิตของฟังก์ชันดังกล่าว ตัวอย่างทั่วไปบางส่วนได้แก่

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ arbitrary}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}}$$ เมื่อa = 1 และb = cอนุกรมจะลดรูปเป็นอนุกรมเรขาคณิต ธรรมดา กล่าวคือ $${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={_{1}F_{0}}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

ดังนั้นจึงได้ชื่อว่า ไฮเปอร์จีโอเมตริกฟังก์ชันนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นส่วนขยายของอนุกรมเรขาคณิต

ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบ (หรือฟังก์ชันของคุมเมอร์) สามารถกำหนดได้เป็นลิมิตของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก

$${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{_{2}F_{1}}(a,b;c;b^{-1}z)}$$

ดังนั้น ฟังก์ชันทั้งหมดที่โดยพื้นฐานแล้วเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันดังกล่าว เช่นฟังก์ชันเบสเซลสามารถแสดงได้ในรูปของลิมิตของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ซึ่งรวมถึงฟังก์ชันที่ใช้กันทั่วไปส่วนใหญ่ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ด้วย

ฟังก์ชันเลอจองเดอร์เป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่มีจุดเอกฐานปกติ 3 จุด ดังนั้นจึงสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$$

พหุนามเชิงตั้งฉากหลายตัวรวมถึงพหุนามจาโคบีP^(α,β) _nและกรณีพิเศษของพวกมันพหุนามเลอจองเดอร์ พหุนามเชบีเชฟ พหุนาม เกเก นบาวเออร์และพหุนามเซอร์นิเกสามารถเขียนได้ในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกโดยใช้

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$$

พหุนามอื่นๆ ที่เป็นกรณีพิเศษ ได้แก่พหุนาม Krawtchouk , พหุนาม Meixnerและพหุนาม Meixner– Pollaczek

กำหนดให้ ให้ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

$${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}$$

แล้ว

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}$$

คือฟังก์ชันแลมบ์ดาแบบโมดูลาร์โดยที่

$${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}$$

ตัวแปรjซึ่งเป็นฟังก์ชันมอดูลาร์เป็นฟังก์ชันตรรกยะใน ${\displaystyle \lambda (\tau )}$

ฟังก์ชันเบตาไม่สมบูรณ์B _x ( p , q ) มีความสัมพันธ์กันโดย

$${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}$$

อินทิกรัลเชิงวงรีที่สมบูรณ์KและEกำหนดโดย^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกของออยเลอร์

$${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$$

ซึ่งมีจุดเอกฐานปกติ สามจุด ได้แก่ 0, 1 และ ∞ การขยายสมการนี้ไปยังจุดเอกฐานปกติสามจุดใดๆ นั้นได้มาจากสมการเชิงอนุพันธ์ของรีมันน์ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองใดๆ ที่มีจุดเอกฐานปกติสามจุด สามารถแปลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกได้โดยการเปลี่ยนตัวแปร

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกสร้างขึ้นจากอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) สมการนี้มี คำตอบ ที่เป็นอิสระเชิงเส้น สอง คำตอบ ที่จุดเอกฐานทั้งสามจุด 0, 1, ∞ มักจะมีคำตอบพิเศษสองคำตอบในรูปแบบx ^sคูณฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของxโดยที่sคือหนึ่งในสองรากของสมการบ่งชี้ และxคือตัวแปรเฉพาะที่หายไปที่จุดเอกฐานปกติ ซึ่งทำให้ได้คำตอบพิเศษ 3 × 2 = 6 คำตอบ ดังต่อไปนี้

บริเวณจุดz  = 0 จะมีสองคำตอบที่เป็นอิสระต่อกัน หากcไม่ใช่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก

$${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}$$

และในกรณีที่cไม่ใช่จำนวนเต็ม

$${\displaystyle z^{1-c}{_{2}F_{1}}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$$

ถ้าcเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก 1 − mแล้ว คำตอบแรกจะไม่สามารถหาได้และต้องถูกแทนที่ด้วยคำตอบที่สอง คำตอบที่สองจะไม่สามารถหาได้เมื่อcเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และจะเท่ากับคำตอบแรกหรือคำตอบที่ใช้แทนเมื่อcเป็นจำนวนเต็มอื่นใด ดังนั้นเมื่อcเป็นจำนวนเต็ม จะต้องใช้สูตรที่ซับซ้อนกว่าสำหรับคำตอบที่สอง ซึ่งเท่ากับคำตอบแรกคูณด้วย ln( z ) บวกกับอนุกรมอีกชุดหนึ่งในกำลังของzซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไดแกมมาดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่ Olde Daalhuis (2010)${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$

บริเวณz  = 1 ถ้าc  −  a  −  bไม่ใช่จำนวนเต็ม จะมีสองคำตอบที่เป็นอิสระต่อกัน

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$$

และ

$${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$$

บริเวณz  = ∞ ถ้าa  −  bไม่ใช่จำนวนเต็ม จะมีสองคำตอบที่เป็นอิสระต่อกัน

$${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$$

และ

$${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$$

เช่นเดียวกัน เมื่อเงื่อนไขของความไม่สมบูรณ์แบบไม่เป็นไปตามที่กำหนด ก็ยังมีวิธีแก้ปัญหาอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่า

คำตอบ 3 ข้อใดๆ จาก 6 ข้อข้างต้นจะสอดคล้องกับความสัมพันธ์เชิงเส้น เนื่องจากปริภูมิของคำตอบมีมิติ 2 มิติ ทำให้ได้ (⁶ ₃) = ความสัมพันธ์เชิงเส้น 20 รูปแบบระหว่างกัน เรียกว่าสูตรการเชื่อมต่อ

สมการฟุคเซียนอันดับสองที่มี จุดเอกฐาน nจุด มีกลุ่มสมมาตรที่กระทำ (เชิงโปรเจกทีฟ) บนคำตอบของสมการ ซึ่งสมมาตรกับกลุ่มค็อกเซเตอร์ W( D _n ) อันดับ 2 ^{n −1} n ! สมการไฮเปอร์จีโอเมตริกเป็นกรณีn = 3 โดยมีกลุ่มอันดับ 24 ที่สมมาตรกับกลุ่มสมมาตรบน 4 จุด ดังที่ Kummer ได้อธิบายไว้เป็นครั้งแรก การปรากฏของกลุ่มสมมาตรเป็นเรื่องบังเอิญและไม่มีสิ่งที่คล้ายคลึงกันสำหรับจุดเอกฐานมากกว่า 3 จุด และบางครั้งการคิดว่ากลุ่มนี้เป็นส่วนขยายของกลุ่มสมมาตรบน 3 จุด (ซึ่งทำหน้าที่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของจุดเอกฐาน 3 จุด) โดยกลุ่มไคลน์ 4 (ซึ่งองค์ประกอบเปลี่ยนเครื่องหมายของผลต่างของเลขชี้กำลังที่จำนวนจุดเอกฐานคู่) จะดีกว่า กลุ่มการแปลง 24 แบบของ Kummer ถูกสร้างขึ้นโดยการแปลงสามแบบที่นำคำตอบF ( a , b ; c ; z ) ไปยังหนึ่งใน

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$

ซึ่งสอดคล้องกับการสลับตำแหน่ง (12), (23) และ (34) ภายใต้ไอโซมอร์ฟิซึมกับกลุ่มสมมาตรบนจุด 4 จุด 1, 2, 3, 4 (อันแรกและอันที่สามนั้นเท่ากับF ( a , b ; c ; z ) ในขณะที่อันที่สองเป็นคำตอบอิสระของสมการเชิงอนุพันธ์)

การใช้การแปลง 24 = 6×4 ของ Kummer กับฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกจะให้คำตอบ 6 = 2×3 ข้างต้นที่สอดคล้องกับเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ 2 ตัว ณ จุดเอกฐานทั้ง 3 จุด ซึ่งแต่ละจุดปรากฏ 4 ครั้งเนื่องจากเอกลักษณ์

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{Euler transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{Pfaff transformation}}\end{aligned}}}$$

สมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกสามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบ Q ได้

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$$

โดยการแทนที่u = wvและตัดพจน์อนุพันธ์อันดับแรกออกไป จะได้ว่า

$${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$$

และvถูกกำหนดโดยคำตอบของสมการ

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$$

ซึ่งคือ

$${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$$

รูปแบบ Q มีความสำคัญในความสัมพันธ์กับอนุพันธ์ Schwarzian ( Hille 1976 , หน้า 307–401)

แผนที่สามเหลี่ยมชวาร์ซหรือฟังก์ชันsของชวาร์ ซ คืออัตราส่วนของคู่คำตอบ

$${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$$

โดยที่kคือจุดใดจุดหนึ่งในค่า 0, 1, ∞ สัญลักษณ์ที่ใช้คือ

$${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$$

บางครั้งก็ใช้เช่นกัน โปรดทราบว่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อจะกลายเป็นการแปลงโมเบียสบนแผนที่สามเหลี่ยม

โปรดทราบว่าแผนที่สามเหลี่ยมแต่ละอันเป็นแบบปกติที่z ∈ {0, 1, ∞} ตามลำดับ โดยมี

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}$$ และ $${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$$

ในกรณีพิเศษที่ λ, μ และ ν เป็นจำนวนจริง โดยที่ 0 ≤ λ,μ,ν < 1 แล้ว แผนที่ s จะเป็นแผนที่คอนฟอร์มอลจากระนาบครึ่งบนHไปยังรูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมรีมันน์ซึ่งล้อมรอบด้วยส่วนโค้งวงกลม การแมปนี้เป็นการขยายความของการแมป Schwarz–Christoffelไปยังรูปสามเหลี่ยมที่มีส่วนโค้งวงกลม จุดเอกฐาน 0, 1 และ ∞ จะถูกส่งไปยังจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม มุมของรูปสามเหลี่ยมคือ πλ, πμ และ πν ตามลำดับ

นอกจากนี้ ในกรณีที่ λ=1/ p , μ=1/ qและ ν=1/ rสำหรับจำนวนเต็มp , q , rแล้ว รูปสามเหลี่ยมจะปูพื้นผิวทรงกลม ระนาบเชิงซ้อน หรือระนาบครึ่งบน ขึ้นอยู่กับว่า λ + μ + ν − 1 เป็นบวก ศูนย์ หรือลบ และแผนที่ s เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันอัตโนมัติสำหรับกลุ่มสามเหลี่ยม〈p ,  q ,  r〉 = Δ( p ,  ​​q ,  r )

โมโนโดรมีของสมการไฮเปอร์จีโอเมตริกอธิบายว่าผลเฉลยพื้นฐานเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อขยายเชิงวิเคราะห์ไปตามเส้นทางใน ระนาบ zที่กลับมายังจุดเดิม กล่าวคือ เมื่อเส้นทางวนรอบจุดเอกฐาน ₂ F ₁ค่าของผลเฉลยที่จุดปลายจะแตกต่างจากจุดเริ่มต้น

สองคำตอบพื้นฐานของสมการไฮเปอร์จีโอเมตริกมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงเชิงเส้น ดังนั้นโมโนโดรมีจึงเป็นการแมป (โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม):

$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$$

โดยที่ π ₁คือกลุ่มพื้นฐานกล่าวอีกนัยหนึ่ง โมโนโดรมีคือการแสดงเชิงเส้นสองมิติของกลุ่มพื้นฐานกลุ่มโมโนโดรมีของสมการคือภาพของแผนที่นี้ กล่าวคือ กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยเมทริกซ์โมโนโดรมี การแสดงโมโนโดรมีของกลุ่มพื้นฐานสามารถคำนวณได้อย่างชัดเจนในแง่ของเลขชี้กำลังที่จุดเอกฐาน^{[ 2 ]}ถ้า (α, α'), (β, β') และ (γ,γ') เป็นเลขชี้กำลังที่ 0, 1 และ ∞ แล้ว เมื่อพิจารณาz ₀ใกล้ 0 วงรอบรอบ 0 และ 1 จะมีเมทริกซ์โมโนโดรมี

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$$

ถ้า 1 − a , c − a − b , a − b เป็น จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่มีตัวส่วนเป็นk , l , mแล้ว กลุ่มโมโนโดรมีจะเป็นกลุ่มจำกัดก็ต่อเมื่อ ดูรายการของ Schwarzหรือ อัลกอริ ทึม ของ Kovacic${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$

ถ้าBคือฟังก์ชันเบต้าแล้ว

$${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b){_{2}F_{1}}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$$

โดยมีเงื่อนไขว่าzไม่ใช่จำนวนจริงที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 สามารถพิสูจน์ได้โดยการกระจาย (1 −  zx ) ^{− a}โดยใช้ทฤษฎีบททวินามแล้วทำการอินทิเกรตทีละพจน์สำหรับzที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 และใช้การต่อยอดเชิงวิเคราะห์ในที่อื่น เมื่อzเป็นจำนวนจริงที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1 จะต้องใช้การต่อยอดเชิงวิเคราะห์ เนื่องจาก (1 −  zx ) มีค่าเป็นศูนย์ ณ จุดใดจุดหนึ่งในขอบเขตของการอินทิเกรต ดังนั้นค่าของการอินทิเกรตอาจไม่สามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน แนวคิดนี้เสนอโดยออยเลอร์ในปี ค.ศ. 1748 และเกี่ยวข้องกับ การแปลงไฮเปอร์จีโอเมตริกของ ออยเลอร์และแพฟฟ์

การแสดงผลแบบอื่นที่สอดคล้องกับสาขา อื่น ๆ จะได้มาจากการใช้ตัวอินทิกรัลเดียวกัน แต่ใช้เส้นทางการอินทิเกรตเป็นวัฏจักร Pochhammer แบบปิด ที่ล้อมรอบจุดเอกฐานในลำดับต่าง ๆ เส้นทางดังกล่าวสอดคล้องกับการกระทำ แบบโมโนโดรมี

บาร์นส์ใช้ทฤษฎีเศษเหลือ ในการประเมินอินทิกรัลของบาร์นส์

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$$

เช่น

$${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$$

โดยลากเส้นขอบเพื่อแยกขั้ว 0, 1, 2... ออกจากขั้ว −a , −a −  1, ..., −b , −b  − 1, ... วิธีนี้ใช้ได้ตราบใดที่ z ไม่ใช่จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ

ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกของเกาส์สามารถเขียนได้ในรูปของการแปลงจอห์น ( Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2)

ฟังก์ชันทั้งหก

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$$

เรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่องกับ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z )เกาส์แสดงให้เห็นว่า₂ F ₁ ( a , b ; c ; z )สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันใดๆ โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะในรูปของa , b , cและzซึ่งจะได้

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$$

ความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยการระบุเส้นตรงสองเส้นใดๆ ทางด้านขวามือของ

$${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}$$

โดยที่F = ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ), F ( a +) = ₂ F ₁ ( a + 1, b ; c ; z )และอื่นๆ การนำความสัมพันธ์เหล่านี้ไปใช้ซ้ำๆ จะได้ความสัมพันธ์เชิงเส้นบนC ( z )ระหว่างฟังก์ชันสามฟังก์ชันใดๆ ในรูปแบบ

$${\displaystyle {_{2}F_{1}}(a+m,b+n;c+l;z),}$$

โดยที่m , nและlเป็นจำนวนเต็ม^{[ 3 ] [ 4 ]}

เกาส์ใช้ความสัมพันธ์ที่ต่อเนื่องกันเพื่อให้ได้วิธีการเขียนผลหารของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกสองฟังก์ชันในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น:

$${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$$

สูตรการแปลงจะเชื่อมโยงฟังก์ชันไฮเปอร์ จี โอเมตริกสองฟังก์ชันที่ค่าอาร์กิวเมนต์z ต่างกัน

การแปลงของออยเลอร์ ได้มาจากการรวมการแปลงของแพฟฟ์ทั้งสอง ซึ่งได้มาจากการแสดงแทนแบบอินทิกรัลของออยเลอร์ สำหรับการขยายการแปลงครั้งแรกและครั้งที่สองของออยเลอร์ โปรดดูRathie & Paris (2007)และRakha & Rathie (2011)นอกจากนี้ยังสามารถเขียนได้ในรูปของการรวมเชิงเส้น $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$$

ถ้าจำนวนสองจำนวนจาก 1 −  c , c  − 1, a  −  b , b  −  a , a  +  b  −  c , c  −  a  −  bเท่ากัน หรือจำนวนใดจำนวนหนึ่งเท่ากับ 1/2 แล้วจะมีการแปลงกำลังสองของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ซึ่งเชื่อมโยงกับค่าz ที่แตกต่างกัน โดยสมการกำลังสอง ตัวอย่างแรกๆ ได้รับการนำเสนอโดยKummer (1836)และรายการที่สมบูรณ์ได้รับการนำเสนอโดยGoursat (1881)ตัวอย่างทั่วไปคือ

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$$

ถ้า 1− c , a − b , a + b − cมีเครื่องหมายต่างกัน หรือสองตัวในนั้นเป็น 1/3 หรือ −1/3 แล้วจะมีการแปลงกำลังสามของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ซึ่งเชื่อมโยงกับค่าz ที่แตกต่างกัน โดยสมการกำลังสาม ตัวอย่างแรกๆ ได้รับการนำเสนอโดยGoursat (1881)ตัวอย่างทั่วไปคือ

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$$

นอกจากนี้ยังมีการแปลงระดับ 4 และ 6 อีกด้วย การแปลงระดับอื่นๆ จะมีอยู่ได้ก็ต่อเมื่อa , bและcเป็นจำนวนตรรกยะบางจำนวนเท่านั้น ( Vidunas 2005 ) ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$$

ดูSlater (1966 , ภาคผนวก III) สำหรับรายการสูตรการหาผลรวม ณ จุดพิเศษต่างๆ ซึ่งส่วนใหญ่ก็ปรากฏอยู่ในBailey (1935)ด้วย Gessel & Stanton (1982)ให้การประเมินเพิ่มเติม ณ จุดอื่นๆ อีกKoepf (1995)แสดงให้เห็นว่าเอกลักษณ์ส่วนใหญ่เหล่านี้สามารถตรวจสอบได้ด้วยอัลกอริทึมคอมพิวเตอร์

ทฤษฎีบทการหาผลรวมของเกาส์ ซึ่งตั้งชื่อตามคาร์ล ฟรีดริช เกาส์คือเอกลักษณ์

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$$

ซึ่งได้มาจากสูตรปริพันธ์ของออยเลอร์โดยการกำหนดให้z  = 1 และรวมถึงเอกลักษณ์ของแวนเดอร์มอนด์เป็นกรณีพิเศษด้วย

สำหรับกรณีพิเศษที่, ${\displaystyle a=-m}$$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$$

สูตรของ Dougallขยายแนวคิดนี้ไปยังอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบทวิภาคีที่z  = 1

มีหลายกรณีที่สามารถประเมินค่าฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกที่z  = −1 ได้โดยใช้การแปลงกำลังสองเพื่อเปลี่ยนz  = −1 เป็นz  = 1 จากนั้นใช้ทฤษฎีบทของเกาส์เพื่อประเมินผลลัพธ์ ตัวอย่างทั่วไปคือทฤษฎีบทของคุมเมอร์ ซึ่งตั้งชื่อตามเอิร์นส์ คุมเมอร์ :

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$$

ซึ่งเป็นผลมาจากการแปลงกำลังสองของ Kummer

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

และทฤษฎีบทของเกาส์โดยการแทนค่าz  = −1 ในเอกลักษณ์แรก สำหรับการวางนัยทั่วไปของการหาผลรวมของคุมเมอร์ โปรดดูLavoie, Grondin & Rathie (1996 )

ทฤษฎีบทการหาผลรวมข้อที่สองของเกาส์คือ

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$$

ทฤษฎีบทของเบลีย์คือ

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$$

สำหรับข้อสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทการหาผลรวมข้อที่สองของเกาส์และทฤษฎีบทการหาผลรวมของเบลีย์ โปรดดูที่Lavoie, Grondin & Rathie (1996 )

มีสูตรอื่นๆ อีกมากมายที่ให้ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกเป็นจำนวนพีชคณิตที่ค่าพารามิเตอร์ที่เป็นจำนวนตรรกยะพิเศษ ซึ่งบางส่วนได้ระบุไว้ในGessel & Stanton (1982)และKoepf (1995)ตัวอย่างทั่วไปบางส่วนแสดงไว้ดังนี้

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$$

ซึ่งสามารถกล่าวใหม่ได้ดังนี้

$${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$$

เมื่อใดก็ตามที่ − π < x < πและTคือพหุนามเชบิเชฟ (แบบทั่วไป )

• ชุดแอปเปลล์
• อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐาน
• อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบทวิภาคี
• อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกวงรี
• ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป
• อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป
• การแจกแจงไฮเปอร์จีโอเมตริก
• อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกของลอริเซลลา
• อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบโมดูลาร์
• สมการเชิงอนุพันธ์ของรีมันน์

• "ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• จอห์น เพียร์สัน, การคำนวณฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ( วิทยานิพนธ์ปริญญา โท มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด)
• มาร์โก เพทคอฟเซก, เฮอร์เบิร์ต วิลฟ์ และโดรอน ไซล์เบอร์เกอร์, หนังสือ "A = B" (ดาวน์โหลดได้ฟรี)
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก" . MathWorld .