ในทางคณิตศาสตร์คู่เจลแฟนด์ (Gelfand pair ) คือคู่ ( G , K ) ที่ประกอบด้วยกลุ่มGและกลุ่มย่อยK (เรียกว่ากลุ่มย่อยออยเลอร์ของG ) ซึ่งมีคุณสมบัติบางอย่างเกี่ยวกับการแสดงแทนแบบจำกัดทฤษฎีของคู่เจลแฟนด์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับหัวข้อของฟังก์ชันทรงกลมในทฤษฎีฟังก์ชันพิเศษ แบบคลาสสิก และกับทฤษฎีของปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีนี้มีอยู่เพื่อสรุปเนื้อหาจากทฤษฎีเหล่านั้นในแง่ของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและ ทฤษฎีการแสดงแทน

เมื่อGเป็นกลุ่มจำกัดนิยามที่ง่ายที่สุดโดยคร่าวๆ ก็คือโคเซต คู่ ( K , K ) ในGสลับที่กันได้ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น พีชคณิตของ เฮคเค (Hecke algebra ) ซึ่งเป็น พีชคณิตของฟังก์ชันบนGที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนบนทั้งสองด้านโดยKควรจะสลับที่กันได้สำหรับการสังเคราะห์บนG

โดยทั่วไป นิยามของคู่ Gelfand คือ การจำกัดการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ใดๆของG ให้อยู่ใน K นั้น จะมีการแสดงแทนแบบไม่สำคัญของKที่มีจำนวนซ้ำไม่เกิน 1 อยู่ด้วย ในแต่ละกรณี ควรระบุคลาสของการแสดงแทนที่พิจารณาและความหมายของคำว่า "ประกอบด้วย" ด้วย

ในแต่ละพื้นที่ ประเภทของการแสดงแทนและนิยามของการบรรจุสำหรับการแสดงแทนจะแตกต่างกันเล็กน้อย คำจำกัดความที่ชัดเจนของกรณีต่างๆ ดังกล่าวได้ถูกนำเสนอไว้ในที่นี้

เมื่อGเป็นกลุ่มจำกัด ข้อความต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

• ( G , K ) เป็นคู่ Gelfand
• พีชคณิตของฟังก์ชัน ( K , K )-double invariant บนGที่มีการคูณกำหนดโดยการสังเคราะห์นั้นเป็นพีชคณิตแบบสลับที่ได้
• สำหรับการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ใดๆπของGปริภูมิπ ^Kของ เวกเตอร์ คงที่ K ใน π จะมีมิติไม่เกินหนึ่งมิติ
• สำหรับการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ใดๆπของGมิติของ Hom _K ( π , C ) จะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 โดยที่Cหมายถึง การแสดงแทน แบบไม่สำคัญ
• การแทนแบบการเรียงสับเปลี่ยนของGบนโคเซตของKนั้นปราศจากความซ้ำซ้อน กล่าวคือ มันสามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของ การแทนแบบ ไม่สามารถลดทอนได้อย่าง สมบูรณ์ที่แตกต่างกัน ในลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์
• พีชคณิตตัวกลาง ( พีชคณิตของ Schur ) ของการแทนการเรียงสับเปลี่ยนนั้นเป็นพีชคณิตสลับที่ได้
• ( G / N , K / N ) คือคู่ Gelfand โดยที่Nเป็นกลุ่มย่อยปกติของGที่อยู่ในK

เมื่อGเป็นกลุ่มทอพอโลยีแบบกระชับ (compact topological group ) ข้อต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

• ( G , K ) เป็นคู่ Gelfand
• พีชคณิตของการวัดต่อเนื่องที่มีขอบเขตจำกัดและคง ที่สองชั้น ( K , K ) บนGที่มีการคูณที่กำหนดโดยการสังเคราะห์นั้นเป็นแบบสลับที่ได้
• สำหรับการแสดงแทนπของG ที่ต่อเนื่องนูนเฉพาะที่ และไม่ สามารถลดทอนได้นั้น พื้นที่π ^Kของ เวกเตอร์ คงที่ K ใน π จะมีมิติไม่เกินหนึ่งมิติ
• สำหรับการแสดงแทน πของGที่ต่อเนื่อง นูนเฉพาะที่ และไม่สามารถลดทอนได้มิติของ Hom _K ( π , C ) จะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1
• การแทนL ² ( G / K ) ของGนั้นปราศจากความซ้ำซ้อน กล่าวคือ เป็นผลรวมโดยตรงของการแทนแบบเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่ แตกต่างกัน

เมื่อGเป็นกลุ่มลี (Lie group)และKเป็นกลุ่มย่อยกระชับ (compact subgroup ) ข้อต่อไปนี้จะสมมูลกัน:

• ( G , K ) เป็นคู่ Gelfand
• พีชคณิตของการวัดต่อเนื่องที่มีขอบเขตจำกัดและคง ที่สองชั้น ( K , K ) บนGที่มีการคูณที่กำหนดโดยการสังเคราะห์นั้นเป็นแบบสลับที่ได้
• พีชคณิตD ( G / K ) ^Gของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภาย ใต้ GบนG / Kเป็นแบบสลับที่ได้
• สำหรับการแสดงแทนπของG ที่ต่อเนื่องนูนเฉพาะที่ และไม่ สามารถลดทอนได้นั้น พื้นที่π ^Kของ เวกเตอร์ คงที่ K ใน π จะมีมิติไม่เกินหนึ่งมิติ
• สำหรับการแสดงแทน πของGที่ต่อเนื่อง นูนเฉพาะที่ และไม่สามารถลดทอนได้มิติของ Hom _K ( π , C ) จะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1
• การแทนL ² ( G / K ) ของGนั้นปราศจากความซ้ำซ้อน กล่าวคือ เป็นการอินทิกรัลโดยตรงของการแทนแบบเอกภาพ ที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่แตกต่างกัน

สำหรับการจำแนกประเภทของคู่ Gelfand ดังกล่าว โปรดดูที่^{[ 1 ]}

ตัวอย่างคลาสสิกของคู่ Gelfand ดังกล่าวคือ ( G , K ) โดยที่Gเป็นกลุ่ม Lie แบบลดรูปและKเป็น กลุ่มย่อย กระชับ สูงสุด

เมื่อGเป็นกลุ่มทอพอโลยีแบบกระชับเฉพาะที่ และKเป็นกลุ่มย่อยแบบกระชับ ข้อต่อไปนี้จะสมมูลกัน:

• ( G , K ) เป็นคู่ Gelfand
• พีชคณิตของการวัดต่อเนื่องที่มีขอบเขตจำกัดและคง ที่สองชั้น ( K , K ) บนGที่มีการคูณที่กำหนดโดยการสังเคราะห์นั้นเป็นแบบสลับที่ได้
• สำหรับการแสดงแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้แบบนูนเฉพาะที่ต่อเนื่อง ใดๆ πของGพื้นที่π ^Kของ เวกเตอร์ ไม่แปรเปลี่ยนKในπจะมีมิติไม่เกินหนึ่งมิติ
• สำหรับการแสดงแทน πของGที่ต่อเนื่อง นูนเฉพาะที่ และไม่สามารถลดทอนได้มิติของ Hom _K ( π , C ) จะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1
• การแทนL ² ( G / K ) ของGนั้นปราศจากความซ้ำซ้อน กล่าวคือ เป็นการอินทิกรัลโดยตรงของการแทนแบบเอกภาพ ที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่แตกต่างกัน

ในการตั้งค่าดังกล่าวGมี การแยกส่วน Iwasawa – Monodกล่าวคือG = KPสำหรับกลุ่มย่อย P ที่เหมาะสมบาง^{กลุ่มของ G [ 2 ]}นี่คืออนาล็อกเชิงนามธรรมของ^{การแยก}ส่วนIwasawa ของกลุ่มLie กึ่งง่าย

เมื่อGเป็นกลุ่มลี (Lie group ) และKเป็นกลุ่มย่อยปิด (closed subgroup ) คู่ ( G , K ) เรียกว่าคู่เกลฟานด์แบบทั่วไป (generalized Gelfand pair ) ถ้าสำหรับการแสดงแทนเอกภาพที่ไม่สามารถลดทอนได้ (irreducible unitary representation) π ใดๆ ของGบนปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert space ) มิติของ Hom _K ( π , C ) มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 โดยที่π ^∞หมายถึงการแสดงแทนย่อยของเวกเตอร์เรียบ (smooth vectors )

เมื่อGเป็นกลุ่มรีดักทีฟเหนือฟิลด์เฉพาะที่และKเป็นกลุ่มย่อยปิด จะมีแนวคิดเกี่ยวกับคู่ Gelfand สามแบบ (ซึ่งอาจไม่เทียบเท่ากัน) ที่ปรากฏในเอกสารทางวิชาการ:

( GP1 ) สำหรับการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่ยอมรับได้π ใดๆ ของGมิติของ Hom _K ( π , C ) จะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1

( GP2 ) สำหรับการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่ยอมรับได้ π ใดๆของ Gเรามีโดยที่แทนคู่เรียบ${\textstyle \dim \operatorname {Hom} _{K}(\pi ,\mathbf {C} )\cdot \dim \operatorname {Hom} _{K}({\tilde {\pi }},\mathbf {C} )\leq 1}$${\displaystyle {\tilde {\pi }}}$

( GP3 ) สำหรับการแสดงแทนเอกภาพ ที่ไม่สามารถลดทอนได้ π ใดๆ ของGบนปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติของ Hom _K ( π , C ) จะน้อยกว่าหรือเท่ากับ 1

ในที่นี้ คำว่า "การแสดงแทนที่ยอมรับได้" หมาย ถึงความหมายปกติของการแสดงแทนที่ยอมรับได้เมื่อฟิลด์ท้องถิ่นไม่ใช่ฟิลด์อาร์คิมีเดียน ส่วน เมื่อฟิลด์ท้องถิ่นเป็นฟิลด์อาร์คิมีเดียนการแสดงแทนที่ยอมรับได้ จะหมายถึงการแสดงแทน แบบเฟรเชต์ ที่ราบเรียบและมีการเติบโตในระดับปานกลางซึ่งทำให้โมดูลฮาริช-จันทราที่สอดคล้องกันนั้นยอมรับได้

ถ้าสนามท้องถิ่นเป็นแบบอาร์คิมีเดียนGP3จะเหมือนกับคุณสมบัติ Gelfand ทั่วไปที่กำหนดไว้ในกรณีที่ผ่านมา

เห็นได้ ชัด ว่าGP1 ⇒ GP2 ⇒ GP3

คู่ ( G , K ) เรียกว่าคู่ Gelfand ที่แข็งแกร่งถ้าคู่ ( G × K , ΔK )เป็นคู่ Gelfand โดยที่ ΔK ≤ G × K คือกลุ่มย่อยแนวทแยงมุมบางครั้ง คุณสมบัตินี้เรียกว่าคุณสมบัติ ความซ้ำซ้อนหนึ่ง${\textstyle \{(k,k)\in G\times K:k\in K\}}$

แต่ละกรณีข้างต้นสามารถปรับใช้กับคู่ Gelfand ที่แข็งแกร่งได้ ตัวอย่างเช่น ให้Gเป็นกลุ่มจำกัด จากนั้นสิ่งต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน:

• ( G , K ) เป็นคู่ Gelfand ที่แข็งแกร่ง
• พีชคณิตของฟังก์ชันบนGซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการสังยุคโดยK (โดยการคูณถูกกำหนดโดยการสังเคราะห์) นั้นเป็นพีชคณิตสลับที่ได้
• สำหรับตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ ใดๆ πของGและτของKพื้นที่ Hom _K ( τ , π ) จะมีมิติไม่เกินหนึ่งมิติ
• สำหรับตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ใดๆπของGและτของKพื้นที่ Hom _K ( π , τ ) จะมีมิติไม่เกินหนึ่งมิติ

ในกรณีนี้ มีเกณฑ์คลาสสิกของGelfandสำหรับคู่ ( G , K ) ที่จะเป็น Gelfand: สมมติว่ามีแอนติออโตมอร์ฟิซึมแบบผกผันσของG อยู่จริง โดยที่โคเซตคู่ ( K , K ) ใดๆ ก็ตามจะเป็นσ -invariant แล้วคู่ ( G , K ) จะเป็นคู่ Gelfand

เกณฑ์นี้เทียบเท่ากับเกณฑ์ต่อไปนี้: สมมติว่ามีแอนติออโตมอร์ฟิซึมแบบผกผันσของG อยู่ ซึ่งฟังก์ชันใดๆ บนGที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการเลื่อนไปทางขวาและทางซ้ายโดยKจะเป็น ฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ σแล้วคู่ ( G , K ) จะเป็นคู่ Gelfand

ในกรณีนี้ มีเกณฑ์ที่กำหนดโดย Gelfand และKazhdanสำหรับคู่ ( G , K ) ที่จะสอดคล้อง กับ GP2สมมติว่ามีแอนติออโตมอร์ฟิซึมแบบผกผันσของG อยู่ เช่นนั้นการกระจาย แบบ ( K , K )-double invariant ใดๆ บนGจะเป็นσ- invariant จากนั้นคู่ ( G , K ) จะสอดคล้อง กับ GP2 ( ดู^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} )

ถ้าข้อความข้างต้นเป็นจริงเฉพาะกับ การแจกแจง แบบบวกแน่นอนเท่านั้น คู่ดังกล่าวก็จะสอดคล้องกับGP3 (ดูกรณีถัดไป)

คุณสมบัติGP1มักเป็นผลมาจากGP2ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้จะเป็นจริงหากมีการผกผันแอนติออโตมอร์ฟิซึมของGที่รักษาKและรักษาคลาสการสมมูลแบบปิดทุกคลาส สำหรับG = GL( n ) การสลับตำแหน่งสามารถทำหน้าที่เป็นการผกผันดังกล่าวได้

ในกรณีนี้ มีเกณฑ์ต่อไปนี้สำหรับคู่ ( G , K ) ที่จะเป็นคู่ Gelfand ทั่วไป สมมติว่ามีแอนติออโตมอร์ฟิซึมผกผันσของG อยู่ เช่นนั้นการกระจายบวกแน่นอนที่ไม่เปลี่ยนแปลงK × K ใดๆ บนGจะเป็นσ-ไม่เปลี่ยนแปลง จากนั้นคู่ ( G , K ) จะเป็นคู่ Gelfand ทั่วไป (ดู^{[ 6 ]} )

เกณฑ์ทั้งหมดข้างต้นสามารถเปลี่ยนเป็นเกณฑ์สำหรับคู่ Gelfand ที่แข็งแกร่งได้โดยการแทนที่การกระทำสองด้านของK × Kด้วยการกระทำแบบคอนจูเกชันของ K

คู่ ( G , K ) เรียกว่าคู่ Gelfand บิดเบี้ยว (twisted Gelfand pair ) เมื่อเทียบกับอักขระ χ ของกลุ่มKถ้าคุณสมบัติของ Gelfand เป็นจริงเมื่อแทนค่าตัวแทนแบบไม่สำคัญด้วยอักขระ χ ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่Kเป็นกลุ่มกระชับ (compact group) หมายความว่ามิติของ Hom _K ( π , χ) น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 เกณฑ์สำหรับคู่ Gelfand สามารถปรับใช้กับกรณีของคู่ Gelfand บิดเบี้ยวได้

คุณสมบัติของ Gelfand มักเป็นไปตามคู่สมมาตรคู่ ( G , K ) เรียกว่าคู่สมมาตรถ้ามีออโตมอร์ฟิซึมผกผัน θ ของ G อยู่ซึ่งKเป็นการรวมกันของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของกลุ่ม องค์ประกอบ θ -invariant: G ^θ

ถ้าGเป็นกลุ่มรีดิวซ์ที่เชื่อมต่อกัน เหนือRและK  =  G ^θเป็นกลุ่มย่อยกระชับ (compact subgroup) แล้ว ( G , K ) จะเป็นคู่ Gelfand ตัวอย่างเช่นG  = GL( n , R ) และK  = O( n , R ) ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrices )

โดยทั่วไป ถือเป็นคำถามที่น่าสนใจว่าคู่สมมาตรของกลุ่มลดรูปเหนือฟิลด์ท้องถิ่นมีคุณสมบัติ Gelfand เมื่อใด สำหรับการตรวจสอบคู่สมมาตรอันดับหนึ่ง โปรดดู^{[ 7 ] [ 8 ]}

ตัวอย่างของคู่สมมาตร Gelfand ที่มีอันดับสูงคือสิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ใน^{[ 9 ]}เหนือฟิลด์ท้องถิ่นที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียน และต่อมาใน^{[ 10 ]}สำหรับฟิลด์ท้องถิ่นทั้งหมดที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ ${\textstyle ({\text{GL}}(n+k),{\text{GL}}(n)\times {\text{L}}(k))}$

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำถามนี้สำหรับคู่สมมาตรอันดับสูง โปรดดูที่^{[ 11 ]}

ในบริบทของกลุ่มพีชคณิตสิ่งที่เทียบเคียงได้กับคู่ Gelfand เรียกว่าคู่ทรงกลมกล่าวคือ คู่ ( G , K ) ของกลุ่มพีชคณิตเรียกว่าคู่ทรงกลมถ้าเงื่อนไขสมมูลข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง:

• มีโคเซตคู่แบบเปิด ( B , K )อยู่ในGโดยที่Bเป็นกลุ่มย่อยบอเรลของG
• มีจำนวนจำกัดของ ( B , K )-double coset ในG
• สำหรับการแสดงแทนเชิงพีชคณิตπ ใดๆ ของGเราจะได้ว่า${\displaystyle {\text{dim}}\ \pi ^{K}\leq 1}$

ในกรณีนี้ พื้นที่G / Hเรียกว่าพื้นที่ทรงกลม

มีการคาดการณ์ว่าคู่ทรงกลมใดๆ ( G , K ) เหนือฟิลด์ท้องถิ่นจะสอดคล้องกับคุณสมบัติ Gelfand เวอร์ชันอ่อนดังต่อไปนี้: สำหรับการแสดงแทนπ ที่ยอมรับได้ใดๆ ของGพื้นที่ Hom _K ( π , C ) มีมิติจำกัด ยิ่งไปกว่านั้น ขอบเขตสำหรับมิตินี้ไม่ขึ้นอยู่กับπการคาดการณ์นี้ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับคู่ทรงกลมจำนวนมาก รวมถึงคู่สมมาตรทั้งหมด^{[ 12 ]}

คู่ Gelfand มักถูกใช้สำหรับการจำแนกประเภทของการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ในลักษณะดังต่อไปนี้:

ให้ ( G , K ) เป็นคู่ Gelfand การแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของ G เรียกว่าK -distinguished ถ้า Hom _K ( π , C ) เป็นมิติเดียว การแสดงแทน Ind^จี_เค( C ) เป็นแบบจำลองสำหรับ การแสดงแทนที่โดดเด่น K ทั้งหมด กล่าวคือ การแสดงแทนที่โดดเด่น K ใดๆ จะปรากฏอยู่ที่นั่นด้วยความซ้ำซ้อนเพียง 1 เท่านั้น แนวคิดที่คล้ายกันนี้มีอยู่สำหรับคู่ Gelfand ที่บิดเบี้ยว

ตัวอย่าง:ถ้าGเป็นกลุ่มลดรูปเหนือฟิลด์เฉพาะที่ และ K เป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของ G แล้ว การแทนแบบ K -distinguished จะเรียกว่าการแทนแบบทรงกลมและการแทนดังกล่าวสามารถจำแนกประเภทได้ผ่านการสอดคล้องกันของ Satakeแนวคิดของการแทนแบบทรงกลมเป็นพื้นฐานของแนวคิดของโมดูล Harish- Chandra

ตัวอย่าง:ถ้าGเป็นกลุ่มรีดิวซ์แบบแยกส่วนเหนือฟิลด์ท้องถิ่น และKเป็นกลุ่มย่อยยูนิโพเทนต์สูงสุด ของ G แล้ว คู่ ( G , K ) จะเป็นคู่ Gelfand แบบบิดเบี้ยวโดยสัมพันธ์กับ อักขระ ψ ที่ไม่เสื่อมสภาพ ใดๆ (ดู^{[ 3 ] [ 13 ]} ) ในกรณีนี้ การแสดงแทนแบบ K -distinguished เรียกว่าแบบทั่วไป (หรือไม่เสื่อมสภาพ) และง่ายต่อการจำแนก การแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้เกือบทั้งหมดเป็นแบบทั่วไป การฝังแบบเฉพาะ (ขึ้นอยู่กับสเกลาร์) ของการแสดงแทนแบบทั่วไปไปยัง Ind^จี_เค( ψ ) เรียกว่าแบบ จำลอง Whittaker

ในกรณีของG = GL( n ) จะมีผลลัพธ์ที่ละเอียดกว่าข้างต้น กล่าวคือ มีลำดับจำกัดของกลุ่มย่อยK _iและอักขระ ที่ ( G , K _i ) เป็นคู่ Gelfand ที่บิดเบี้ยวโดยสัมพันธ์กับและการแสดงแทนเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ใดๆ ก็คือK _i ที่แตกต่างกันสำหรับ iเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น(ดู^{[ 14 ] [ 15 ]} ) ${\displaystyle \psi _{i}}$${\displaystyle \psi _{i}}$

นอกจากนี้ยังสามารถใช้คู่ Gelfand ในการสร้างฐานสำหรับการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้อีกด้วย

สมมติว่าเรามีลำดับ_Gnที่เป็นคู่ Gelfand ที่แข็งแกร่ง เพื่อความเรียบง่าย เราจะสมมติว่าGnเป็นกลุ่มกระชับ (compact group) จากนั้นจะได้การแยกส่วนแบบแคนอนิก (canonical decomposition) ของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ (irreducible representation) ใดๆ ของ_{Gn ไป}เป็นการแทนย่อยแบบหนึ่งมิติ เมื่อGn = U( n ) (กลุ่มเอกภาพ) การสร้างนี้เรียกว่าฐาน Gelfand–Zeitlinเนื่องจากตัวแทนของ U( n ) เหมือนกับตัวแทนเชิงพีชคณิตของ GL( n ) เราจึงได้ฐานของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้เชิงพีชคณิตใดๆ ของ GL( n ) ด้วย อย่างไรก็ตาม ฐานที่สร้างขึ้นนั้นไม่ใช่ฐานแบบแคนอนิก เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกการฝังตัว (embeddings ) ${\textstyle \{1\}\subset G_{1}\subset \cdots \subset G_{n}}$${\textstyle (G_{i},G_{i-1})}$${\textstyle U(i)\subset U(i+1)}$

การ ใช้งานคู่ Gelfand ที่เกิดขึ้นเมื่อไม่นานมานี้คือการแยกช่วงเวลาของรูปแบบอัตโนมัติ

ให้Gเป็นกลุ่มลดรูป (reductive group) ที่นิยามไว้เหนือฟิลด์ทั่วโลกFและให้Kเป็นกลุ่มย่อยเชิงพีชคณิต (algebraic subgroup) ของGสมมติว่าสำหรับตำแหน่ง ใดๆ ของFคู่ ( G , K ) เป็นคู่ Gelfand เหนือการเติม เต็ม ( completed ) ให้mเป็นรูปแบบอัตโนมัติ (automorphic form)เหนือGแล้ว คาบ H ของมัน จะแยกออกเป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะที่ (local factors) (กล่าวคือ ปัจจัยที่ขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของmในแต่ละตำแหน่ง เท่านั้น ) ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle F_{\nu }}$${\displaystyle \nu }$

สมมติว่าเรามีตระกูลของฟอร์มอัตโนมัติที่มีพารามิเตอร์เชิงซ้อน  sแล้วคาบของฟอร์มเหล่านั้นเป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ที่แยกออกเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่ บ่อยครั้งที่หมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชัน L บางอย่าง และสิ่งนี้จะให้การต่อยอดเชิงวิเคราะห์และสมการเชิงฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชัน L นี้

โดยปกติแล้วช่วงเวลาเหล่านั้นจะไม่บรรจบกัน และควรปรับให้เป็นไปในทิศทางเดียวกัน

แนวทางหนึ่งที่เป็นไปได้สำหรับทฤษฎีการแทนคือการพิจารณาทฤษฎีการแทนของกลุ่มGว่าเป็นการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนกลุ่มGโดยคำนึงถึงการกระทำสองด้านของG × Gอันที่จริง การรู้การแทนแบบลดทอนไม่ได้ทั้งหมดของGนั้นเทียบเท่ากับการรู้การแยกส่วนของปริภูมิฟังก์ชันบนGเป็นการ แทนแบบ G × Gในแนวทางนี้ ทฤษฎีการแทนสามารถขยายได้โดยการแทนที่คู่ ( G × G , G ) ด้วยคู่ทรงกลมใดๆ ( G , K ) จากนั้นเราจะนำไปสู่คำถามเกี่ยวกับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกบนปริภูมิG / Kโดยคำนึงถึงการกระทำของ G

สมบัติ Gelfand สำหรับคู่ ( G , K ) นั้นเป็นอนาล็อกของเลมมาของ Schur

ด้วยวิธีการนี้ แนวคิดใดๆ ในทฤษฎีการแทนค่าสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับกรณีของทรงกลมคู่ได้ ตัวอย่างเช่นสูตรร่องรอยสัมพัทธ์ได้มาจากสูตรร่องรอยโดยใช้กระบวนการนี้

ตัวอย่างคู่ Gelfand ที่พบได้ทั่วไปมีดังนี้:

• ${\displaystyle ({\text{Sym}}(n+1),{\text{Sym}}(n))}$กลุ่มสมมาตรที่กระทำต่อ จุด n + 1 จุด และตัวรักษาเสถียรภาพจุดที่สมมาตรตามธรรมชาติกับ บน จุด nจุด
• ${\displaystyle ({\text{AGL}}(n,q),{\text{GL}}(n,q))}$กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป (affine group)และ ตัวรักษาเสถียรภาพจุด (point stabilizer ) ซึ่งสมมาตรตามธรรมชาติกับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป

ถ้า ( G , K ) เป็นคู่ Gelfand แล้ว ( G / N , K / N ) จะเป็นคู่ Gelfand สำหรับทุกกลุ่มย่อยปกติ G N ของ K สำหรับการใช้งานหลายอย่าง การพิจารณาKโดยไม่มีกลุ่มย่อยปกติที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ก็เพียงพอแล้ว การกระทำของGบนโคเซตของKจึงเป็นไปอย่างซื่อสัตย์ ดังนั้นจึงเป็นการพิจารณากลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนGที่มีตัวรักษาเสถียรภาพจุดKการเป็นคู่ Gelfand เทียบเท่ากับสำหรับทุกχใน Irr( G ) เนื่องจากโดยความสัมพันธ์แบบผกผันของ Frobeniusและเป็นลักษณะเฉพาะของการกระทำการเรียงสับเปลี่ยน กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนจะกำหนดคู่ Gelfand ก็ต่อเมื่อลักษณะเฉพาะของการเรียงสับเปลี่ยนเป็นสิ่งที่เรียกว่า ลักษณะเฉพาะของการเรียงสับเปลี่ยน ที่ปราศจากความซ้ำซ้อนลักษณะเฉพาะของการเรียงสับเปลี่ยนที่ปราศจากความซ้ำซ้อนดังกล่าวได้รับการกำหนดสำหรับกลุ่มสปอร์าดิกใน ( Breuer & Lux 1996 ) ${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]\leq 1}$${\displaystyle [1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]=[1\uparrow _{K}^{G},\chi ]}$${\displaystyle 1\uparrow _{K}^{G}}$

สิ่งนี้ทำให้เกิดตัวอย่างกลุ่มจำกัดที่มีคู่ Gelfand ขึ้นมา ซึ่งก็คือกลุ่ม 2-transitive กลุ่มการ เรียง สับเปลี่ยน Gเป็นกลุ่ม2-transitiveถ้าตัวรักษาเสถียรภาพKของจุดหนึ่งกระทำแบบทราน ซิทีฟ กับจุดที่เหลือ โดยเฉพาะอย่างยิ่งGซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรบน จุด n + 1 และKซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรบน จุด nจะสร้างคู่ Gelfand สำหรับทุกn  ≥ 1 ทั้งนี้เป็นเพราะลักษณะเฉพาะของการกระทำการเรียงสับเปลี่ยนแบบ 2-transitive อยู่ในรูปแบบ 1 + χสำหรับลักษณะเฉพาะที่ไม่สามารถลดทอนได้χ บางตัว และลักษณะเฉพาะที่ไม่สำคัญ  1 ( Isaacs 1994 , หน้า 69)

อันที่จริง ถ้าGเป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนแบบทรานซิทีฟที่มีตัวรักษาเสถียรภาพจุดK ซึ่ง มีวงโคจรอย่างมากที่สุดสี่วง (รวมถึงวงโคจรที่ไม่สำคัญซึ่งมีเพียงจุดที่ถูกรักษาเสถียรภาพเท่านั้น) แล้ววงแหวนชูร์ของมันจะเป็นแบบสลับที่ได้ และ ( G , K ) จะเป็นคู่เจลฟานด์ ( Wielandt 1964 , หน้า 86) ถ้าGเป็นกลุ่มดั้งเดิมที่มีดีกรีเป็นสองเท่าของจำนวนเฉพาะที่มีตัวรักษาเสถียรภาพจุดKแล้ว ( G , K ) ก็จะเป็นคู่เจลฟานด์เช่นกัน ( Wielandt 1964 , หน้า 97)

คู่ Gelfand (Sym( n ), K ) ถูกจัดประเภทไว้ใน ( Saxl 1981 ) โดยคร่าวๆ แล้วKจะต้องอยู่ในกลุ่มย่อยที่มีดัชนี เล็ก ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งต่อไปนี้ เว้นแต่ว่าnจะน้อยกว่า 18:

• Sym( n − k ) × Sym( k )
• Sym( n /2) wr Sym(2), Sym(2) wr Sym( n /2) สำหรับn คู่ โดยที่ wr หมายถึงผลคูณของ wreath
• Sym( n − 5) × AGL(1, 5)
• Sym( n − 6) × PGL(2, 5)
• Sym( n − 9) × PΓL(2, 8)

นอกจากนี้ยังมีการศึกษาคู่ Gelfand สำหรับกลุ่มคลาสสิกด้วย

• (GL( n , R ), O( n , R ))
• (GL( n , C ), U( n ))
• (O( n  +  k , R ), O( n , R ) × O( k , R ))
• (U( n  +  k ), U( n ) × U( k ))
• ( G , K ) โดยที่Gเป็นกลุ่ม Lie แบบลดรูปและKเป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุด

ให้Fเป็นฟิลด์เฉพาะที่ซึ่งมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์

• (SL( n  + 1, F ), GL( n , F )) สำหรับn > 5
• (Sp(2 n  + 2, F ), Sp(2 n , F )) × Sp(2, F )) สำหรับn > 4
• (SO( V ⊕ F ), SO( V )) โดยที่Vเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือFที่มีรูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพ

ให้Fเป็นฟิลด์เฉพาะที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ และให้Gเป็นกลุ่มลดรูปเหนือFต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของคู่ Gelfand สมมาตรที่มีอันดับสูง:

• ( G × G , Δ G ) เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของ Schur
• (GL( n  +  k , F ), GL( n , F ) × GL( k , F )) ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• (GL(2 n , F ), Sp(2 n , F )) ^{[ 16 ] [ 17 ]}
• (O( n  +  k , C ), O( n , C ) × O( k , C )) ^{[ 18 ]}
• (GL( n , C ), O( n , C )) ^{[ 18 ]}
• (GL( n , E ), GL( n , F )) โดยที่Eเป็นส่วนขยายกำลังสองของF ^{[ 11 ] [ 19 ]}

คู่ต่อไปนี้เป็นคู่ Gelfand ที่แข็งแกร่ง:

• (Sym( n  + 1), Sym( n )) พิสูจน์โดยใช้การผกผันแบบแอนตี้ออโตมอร์ฟิ ซึม g ↦ g ⁻¹
• (GL( n  + 1, F ), GL( n , F )) โดยที่Fเป็นฟิลด์ท้องถิ่นที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}
• (O( V ⊕ F ), O( V )) โดยที่Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือFที่มีรูปแบบกำลังสองที่ไม่เสื่อมสภาพ^{[ 20 ] [ 22 ]}
• U( V ⊕ E ), U( V )) โดยที่Eเป็นส่วนขยายกำลังสองของFและVเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือEที่มีรูปแบบเฮอร์มิเชียนที่ไม่เสื่อมสภาพ^{[ 20 ] [ 22 ]}

ตัวอย่างทั้งสี่นั้นสามารถเรียบเรียงใหม่ได้เป็นประโยคที่ว่า สิ่งต่อไปนี้คือคู่ Gelfand:

• (Sym( n  + 1) × Sym( n ), Δ Sym( n ))
• (GL( n  + 1, F ) × GL( n , F ), Δ GL( n , F ))
• (O( V ⊕ F ) × O( V ), Δ O( V ))
• (U( V ⊕ E ) × U( V ), Δ U( V ))

• ฟังก์ชันทรงกลม

• Breuer, T.; Lux, K. (1996), "อักขระการเรียงสับเปลี่ยนที่ปราศจากความซ้ำซ้อนของกลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิกและกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มเหล่านั้น", Communications in Algebra , 24 (7): 2293– 2316, doi : 10.1080/00927879608825701 , MR  1390375
• ไอแซคส์, ไอ. มาร์ติน (1994), ทฤษฎีลักษณะเฉพาะของกลุ่มจำกัด , นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ , ISBN 978-0-486-68014-9, MR  0460423
• Saxl, Jan (1981), "เกี่ยวกับการแสดงแทนการเรียงสับเปลี่ยนที่ปราศจากความซ้ำซ้อน", เรขาคณิตและแบบแผนจำกัด (รายงานการประชุม, Chelwood Gate, 1980) , ชุดบันทึกการบรรยายของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน, เล่มที่ 49, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , หน้า  337–353 , MR  0627512
• van Dijk, Gerrit (2009), Introduction to Harmonic Analysis and Generalized Gelfand Pairs , De Gruyter studies in mathematics, vol. 36, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-022019-3
• Wielandt, Helmut (1964), กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนจำกัด , บอสตัน, แมสซาชูเซตส์: Academic Press , MR  0183775