ในทฤษฎีเซตการบังคับ (forcing)เป็นเทคนิคหนึ่งในการพิสูจน์ ผลลัพธ์ ด้านความสอดคล้องและความเป็นอิสระโดยทั่วไปแล้ว การบังคับสามารถคิดได้ว่าเป็นเทคนิคในการขยายขอบเขต ของทฤษฎีเซต ไปสู่ขอบเขตที่ใหญ่กว่าโดยการแนะนำวัตถุ "ทั่วไป" ใหม่ ${\displaystyle V}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle G}$

การบังคับ (Forcing) ถูกนำมาใช้ครั้งแรกโดยPaul Cohenในปี 1963 เพื่อพิสูจน์ความเป็นอิสระของสัจพจน์ของการเลือกและสมมติฐานความต่อเนื่องจากทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkelในหลายปีต่อมา ได้มีการปรับปรุงและทำให้ง่ายขึ้นอย่างมาก และตั้งแต่นั้นมาก็ได้ทำหน้าที่เป็นเทคนิคที่มีประสิทธิภาพทั้งในทฤษฎีเซตและในสาขาตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์เช่น ทฤษฎีความสามารถ ในการคำนวณทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาใช้แนวคิดของการบังคับจากทั้งทฤษฎีความสามารถในการคำนวณและทฤษฎีเซต การบังคับยังถูกนำมาใช้ในทฤษฎีแบบจำลอง ด้วย แต่โดยทั่วไปในทฤษฎีแบบจำลองจะกำหนดความเป็นทั่วไปโดยตรงโดยไม่ต้องกล่าวถึงการบังคับ

โดยทั่วไปแล้ว การบังคับจะใช้เพื่อสร้างเอกภพที่ขยายใหญ่ขึ้นซึ่งตรงตามคุณสมบัติที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น เอกภพที่ขยายใหญ่ขึ้นอาจมีจำนวนจริงใหม่ๆ จำนวนมาก (อย่างน้อยก็บางส่วน) ซึ่งระบุว่าเป็นเซตย่อยของเซตของจำนวนธรรมชาติ ที่ไม่มีอยู่ในเอกภพเดิม และด้วยเหตุนี้จึงขัดแย้งกับสมมติฐานความต่อเนื่อง ${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

เพื่อที่จะอธิบายการขยายตัวดังกล่าวอย่างเข้าใจง่ายที่สุด ควรนึกถึง "จักรวาลเก่า" ในฐานะแบบจำลอง ของทฤษฎีเซต ซึ่งตัวมันเองก็เป็นเซตใน "จักรวาลจริง" ตามทฤษฎีบท ของ Löwenheim–Skolemสามารถเลือกให้เป็นแบบจำลอง "แบบพื้นฐาน" ที่นับได้จากภายนอกซึ่งรับประกันว่าจะมีเซตย่อยจำนวนมาก (ใน) ของที่ไม่ได้อยู่ในโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีลำดับที่ "ทำหน้าที่เหมือนจำนวนเชิงคาร์ดินัล " ในแต่จริงๆ แล้วนับได้ในเมื่อทำงานในควรจะหาเซตย่อยที่แตกต่างกันหนึ่งเซตของสำหรับแต่ละองค์ประกอบของ ได้ง่าย (เพื่อความง่าย เซตย่อยกลุ่มนี้สามารถอธิบายได้ด้วยเซตย่อยเดียว) ${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$${\displaystyle X\subseteq \aleph _{2}^{M}\times \mathbb {N} }$

อย่างไรก็ตาม ในแง่หนึ่ง อาจเป็นที่พึงปรารถนาที่จะ "สร้างแบบจำลองที่ขยายออกไปภายใน" ซึ่งจะช่วยให้มั่นใจได้ว่า"คล้ายคลึง" ในบางแง่มุม เช่นเหมือนกับ(โดยทั่วไปแล้วการยุบตัวของจำนวนเชิงคาร์ดินัลจะไม่เกิดขึ้น) และช่วยให้สามารถควบคุมคุณสมบัติของ ได้อย่างละเอียด กล่าวคือ สมาชิกทุกตัวของ ควรได้รับ ชื่อ (ที่ไม่ซ้ำกัน) ในชื่อนั้นสามารถคิดได้ว่าเป็นนิพจน์ในรูปของเช่นเดียวกับในส่วนขยายฟิลด์อย่างง่าย ที่ องค์ประกอบทุกตัวของสามารถแสดงได้ในรูปขององค์ประกอบสำคัญของการบังคับคือการจัดการชื่อเหล่านั้นภายในดังนั้นบางครั้งอาจช่วยได้ที่จะคิดว่าเป็น "จักรวาล" โดยตรง โดยรู้ว่าทฤษฎีการบังคับรับประกันว่าจะสอดคล้องกับแบบจำลองจริง ${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \aleph _{2}^{M[X]}}$${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L=K(\theta )}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[X]}$

ประเด็นที่ละเอียดอ่อนของการบังคับคือ หากถือว่า เป็น "เซตย่อยที่หายไป" ที่กำหนดโดยพลการของเซตบางเซตในแล้ว"ภายใน" ที่สร้างขึ้นอาจไม่ใช่แบบจำลองด้วยซ้ำ นี่เป็นเพราะอาจเข้ารหัสข้อมูล "พิเศษ" เกี่ยวกับที่มองไม่เห็นภายใน(เช่นความสามารถ ในการนับ ของ) และด้วยเหตุนี้จึงพิสูจน์การมีอยู่ของเซตที่ "ซับซ้อนเกินกว่าที่จะอธิบายได้" ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[X]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

การบังคับช่วยหลีกเลี่ยงปัญหาดังกล่าวโดยการกำหนดให้เซตที่นำเข้ามาใหม่เป็นเซตทั่วไปที่สัมพันธ์กับ^{[ 1 ]}ข้อความบางข้อความถูก "บังคับ" ให้เป็นจริงสำหรับเซตทั่วไปใดๆเช่น เซตทั่วไปถูก "บังคับ" ให้เป็นอนันต์ ยิ่งไปกว่านั้น คุณสมบัติใดๆ (ที่สามารถอธิบายได้ใน) ของเซตทั่วไปถูก "บังคับ" ให้เป็นจริงภายใต้เงื่อนไขการบังคับ บางอย่าง แนวคิดของการ "บังคับ" สามารถกำหนดได้ภายในและให้พลังการให้เหตุผลที่เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าเป็นแบบจำลองที่ตรงตามคุณสมบัติที่ต้องการจริงๆ ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[X]}$

เทคนิคดั้งเดิมของ Cohen ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าการบังคับแบบแตกแขนงนั้น แตกต่างจากการบังคับแบบไม่แตกแขนงที่อธิบายไว้ในที่นี้เล็กน้อย การบังคับยังเทียบเท่ากับวิธีการของแบบจำลองค่าบูลีนซึ่งบางคนรู้สึกว่าเป็นธรรมชาติและใช้งานง่ายกว่าในเชิงแนวคิด แต่โดยทั่วไปแล้วยากต่อการนำไปใช้มากกว่า^{[ 3 ]}

เพื่อให้แนวทางข้างต้นทำงานได้อย่างราบรื่นจะต้องมีแบบจำลองการถ่ายทอดมาตรฐานในเพื่อให้สามารถจัดการกับการเป็นสมาชิกและแนวคิดพื้นฐานอื่นๆ ได้อย่างเป็นธรรมชาติทั้งในและแบบจำลองการถ่ายทอดมาตรฐานสามารถได้มาจากแบบจำลองมาตรฐานใดๆ ผ่านทฤษฎีบทการยุบตัวของ Mostowskiแต่การมีอยู่ของแบบจำลองมาตรฐานใดๆ ของ(หรือรูปแบบใดๆ ของมัน) นั้นเป็นข้อสมมติที่เข้มงวดกว่าความสอดคล้องของ ${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เทคนิคมาตรฐานคือการกำหนดให้ เป็นแบบจำลองการถ่ายทอดมาตรฐานของเซตย่อยจำกัดใดๆ ของ( การกำหนดสัจพจน์ ใดๆ ของจะมีอย่างน้อยหนึ่งแผนผังสัจพจน์และดังนั้นจึงมีสัจพจน์จำนวนอนันต์) ซึ่งการมีอยู่ของ ได้รับการรับประกันโดยหลักการสะท้อนกลับเนื่องจากเป้าหมายของการโต้แย้งแบบบังคับคือการพิสูจน์ ผลลัพธ์ ที่สอดคล้องกันนี่จึงเพียงพอแล้ว เพราะความไม่สอดคล้องกันใดๆ ในทฤษฎีจะต้องปรากฏออกมาพร้อมกับการอนุมานที่มีความยาวจำกัด และดังนั้นจึงเกี่ยวข้องกับสัจพจน์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

เงื่อนไขบังคับแต่ละข้อสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นข้อมูลจำนวนจำกัด เกี่ยวกับวัตถุ ที่เชื่อมโยงกับแบบจำลอง มีหลายวิธีในการให้ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุ ซึ่งก่อให้เกิดแนวคิดบังคับ ที่แตกต่างกัน แนวทางทั่วไปในการกำหนดแนวคิดบังคับอย่างเป็นทางการคือการพิจารณาเงื่อนไขบังคับว่าเป็นวัตถุเชิงนามธรรมที่มีโครงสร้าง โพเซต${\displaystyle X}$

โพเซตบังคับ (Forcing poset)คือสามสิ่งเรียงลำดับโดยที่คือลำดับก่อนหน้า (preorder ) บนและคือสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด สมาชิกของคือเงื่อนไขบังคับ (หรือเรียกสั้นๆ ว่าเงื่อนไข ) ความสัมพันธ์ของลำดับหมายความว่า " แข็งแกร่งกว่า " (โดยสัญชาตญาณ เงื่อนไขที่ "เล็กกว่า" ให้ข้อมูล "มากกว่า" เช่นเดียวกับช่วงที่เล็กกว่าให้ข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนπมากกว่าช่วง) นอกจากนี้ ลำดับก่อนหน้า ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขการแยก (splitting condition ) : ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p\leq q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$${\displaystyle [3.1,3.2]}$${\displaystyle \leq }$

• สำหรับแต่ละค่าจะมีค่าที่ทำให้โดยที่ไม่มีค่าที่ทำให้${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q,r\leq p}$${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$${\displaystyle s\leq q,r}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จะต้องสามารถเสริมความแข็งแกร่งให้กับเงื่อนไขบังคับใดๆ ได้ในอย่างน้อยสองทิศทางที่ไม่สอดคล้องกัน โดยสัญชาตญาณแล้ว นี่เป็นเพราะเป็นเพียงข้อมูลที่มีขอบเขตจำกัด ในขณะที่จำเป็นต้องใช้ข้อมูลที่มีขอบเขตไม่จำกัดเพื่อกำหนด ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

มีการใช้ข้อกำหนดต่างๆ มากมาย ผู้เขียนบางคนกำหนดให้ต้องเป็นสมมาตรผกผัน ด้วย เพื่อให้ความสัมพันธ์นั้นเป็นลำดับบางส่วนบางคนใช้คำว่าลำดับบางส่วนอยู่ดี ซึ่งขัดแย้งกับคำศัพท์มาตรฐาน ในขณะที่บางคนใช้คำว่าลำดับก่อนหน้าองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดอาจถูกละเว้นได้ การเรียงลำดับแบบย้อนกลับก็มีการใช้เช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยSaharon Shelahและผู้ร่วมเขียนของเขา ${\displaystyle \leq }$

ให้เป็นเซตอนันต์ ใดๆ (เช่น) และให้วัตถุทั่วไปที่กล่าวถึงเป็นเซตย่อยใหม่ในสูตรดั้งเดิมของโคเฮนเกี่ยวกับการบังคับ เงื่อนไขการบังคับแต่ละข้อเป็น เซต จำกัดของประโยค ซึ่งอาจอยู่ในรูปแบบหรือที่มีความสอดคล้องกันในตัวเอง (กล่าวคือและสำหรับค่าเดียวกันของจะไม่ปรากฏในเงื่อนไขเดียวกัน) แนวคิดการบังคับนี้มักเรียกว่าการบังคับแบบโคเฮน ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle X\subseteq S}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle a\notin X}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle a\notin X}$${\displaystyle a}$

โพเซตบังคับสำหรับการบังคับแบบโคเฮนสามารถเขียนได้อย่างเป็นทางการเป็น ซึ่งเป็นฟังก์ชันย่อยจำกัดจากไปยังภายใต้ การรวม แบบย้อนกลับการบังคับแบบโคเฮนสอดคล้องกับเงื่อนไขการแยกส่วน เพราะเมื่อกำหนดเงื่อนไขใดๆเราสามารถหาองค์ประกอบที่ไม่ได้กล่าวถึงใน ได้ เสมอ และเพิ่มประโยคหรือ ลง ใน เพื่อให้ได้เงื่อนไขการบังคับใหม่สองเงื่อนไขที่ไม่เข้ากัน ${\displaystyle (\operatorname {Fin} (S,2),\supseteq ,\emptyset )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a\in S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a\in X}$${\displaystyle a\notin X}$${\displaystyle p}$

อีกตัวอย่างหนึ่งที่ให้ความรู้เกี่ยวกับโพเซตบังคับคือโดยที่และคือกลุ่มของเซตย่อยบอเรลของ ที่มี มาตรวัดเลเบสที่ไม่เป็นศูนย์วัตถุทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับโพเซตบังคับนี้คือจำนวนจริงสุ่มสามารถแสดงได้ว่าตกอยู่ในเซตย่อยบอเรลทุกเซตของ ที่มีมาตรวัด 1 โดยมีเงื่อนไขว่าเซตย่อยบอเรลนั้น "ถูกอธิบาย" ในเอกภพเดิมที่ยังไม่ขยาย (สิ่งนี้สามารถทำให้เป็นทางการได้ด้วยแนวคิดของรหัสบอเรล ) เงื่อนไขการบังคับแต่ละเงื่อนไขสามารถถือได้ว่าเป็นเหตุการณ์สุ่มที่มีความน่าจะเป็นเท่ากับมาตรวัดของมัน เนื่องจากสัญชาตญาณที่เข้าใจง่ายจากตัวอย่างนี้ บางครั้งจึงมีการใช้ภาษาเชิงความน่าจะเป็นกับโพเซตบังคับแบบลู่เข้าอื่นๆ ${\displaystyle (\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle r\in [0,1]}$${\displaystyle r}$${\displaystyle [0,1]}$

แม้ว่าเงื่อนไขบังคับแต่ละข้อจะไม่สามารถกำหนดวัตถุทั่วไปได้อย่างสมบูรณ์แต่เซตของเงื่อนไขบังคับที่เป็นจริงทั้งหมดก็สามารถกำหนดวัตถุ ทั่วไป ได้ อันที่จริง โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป วัตถุทั่วไป มักถูกพิจารณาว่าเป็นวัตถุทั่วไปที่เชื่อมโยงกับดังนั้นแบบจำลองที่ขยายแล้วจึงเรียกว่า โดยปกติแล้ว การแสดงให้เห็นว่าวัตถุที่ต้องการแต่เดิม อยู่ในแบบจำลองนั้นค่อนข้าง ง่าย${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M[G]}$

ภายใต้ข้อตกลงนี้ แนวคิดของ "วัตถุทั่วไป" สามารถอธิบายได้ในลักษณะทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตควรเป็นตัวกรองทั่วไปที่สัมพันธ์กับ เงื่อนไข " ตัวกรอง " หมายความว่า เป็นสิ่งที่สมเหตุสมผลที่เป็นเซตของเงื่อนไขบังคับที่เป็นจริงทั้งหมด: ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} ;}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle p\geq q\in G}$${\displaystyle p\in G;}$
• ถ้าเช่นนั้นจะมีอยู่จริง ที่ทำให้${\displaystyle p,q\in G}$${\displaystyle r\in G}$${\displaystyle r\leq p,q.}$

การเป็น "ทั่วไปเมื่อเทียบกับ" หมายความว่า: ${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$

• ถ้าเป็นเซตย่อยที่ "หนาแน่น" ของ(นั่นคือ สำหรับแต่ละจะมี อยู่จริงที่ทำให้) แล้ว${\displaystyle D\in M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q\in D}$${\displaystyle q\leq p}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$

เนื่องจากเป็นแบบจำลองที่นับได้ การมีอยู่ของตัวกรองทั่วไปจึงเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของ Rasiowa–Sikorskiอันที่จริงแล้ว จริงมากกว่านั้นเล็กน้อย: เมื่อกำหนดเงื่อนไขเราสามารถหาตัวกรองทั่วไปได้เช่นนั้นเนื่องจากเงื่อนไขการแยกบนถ้าเป็นตัวกรองแล้วจะมีความหนาแน่น ถ้าแล้วเนื่องจากเป็นแบบจำลองของด้วยเหตุนี้ ตัวกรองทั่วไปจึงไม่มีทางอยู่ใน ${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$${\displaystyle G\in M}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M}$

ที่เกี่ยวข้องกับโพเซตบังคับคือคลาสของชื่อ -name ชื่อ-name คือเซตที่มีรูปแบบ ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.}$

เมื่อกำหนดตัวกรองใดๆบนการตีความหรือ แผนที่ การประเมินค่าจาก-names จะได้รับโดย ${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

ชื่อต่างๆ เหล่านั้นแท้จริงแล้วคือการขยายตัวของจักรวาลเมื่อกำหนดให้หนึ่งกำหนดให้ เป็นชื่อ นั้น${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

เนื่องจากจึงสรุปได้ว่าในแง่หนึ่งเป็น "ชื่อเรียกแทน" ที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกเฉพาะเจาะจงของ ${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$${\displaystyle \operatorname {val} ({\check {x}},G)=x}$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถกำหนด "ชื่อสำหรับ" โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงอย่างชัดเจนได้ อีกด้วย : ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in \mathbb {P} \}}$

ดังนั้น. ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$

แนวคิดของชื่อ การตีความ และอาจถูกกำหนดโดยการเรียกซ้ำแบบอนันต์โดยใช้เซตว่างลำดับที่สืบทอดจากลำดับ ตัวดำเนิน การ เซตกำลังและลำดับลิมิตกำหนดลำดับชั้นต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \alpha +1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}.\end{aligned}}}$

จากนั้นคลาสของชื่อจะถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{is an ordinal}}\}.}$

แผนที่ตีความและแผนที่ทั่วไปสามารถกำหนดได้ด้วยโครงสร้างแบบลำดับชั้นเช่นเดียวกัน ${\displaystyle x\mapsto {\check {x}}}$

เมื่อกำหนดตัวกรองทั่วไปแล้วจะดำเนินการดังต่อไปนี้ คลาสย่อยของชื่อในจะถูกแทนด้วย ให้ ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

เพื่อลดการศึกษาทฤษฎีเซตของให้เหลือเพียงการศึกษาของ นั้นเราใช้ "ภาษาบังคับ" ซึ่งสร้างขึ้นเหมือนตรรกะลำดับที่หนึ่ง ทั่วไป โดยกำหนดให้การเป็นสมาชิกเป็นความสัมพันธ์ทวิภาค และชื่อทั้งหมดของ เป็นค่าคงที่ ${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

กำหนด(อ่านว่า " แรงในแบบจำลองที่มี poset ") โดยที่คือเงื่อนไขคือสูตรในภาษาการบังคับ และคือชื่อ ซึ่งหมายความว่าถ้าเป็นตัวกรองทั่วไปที่มีแล้วกรณีพิเศษมักเขียนเป็น " " หรือเพียงแค่ " " ข้อความดังกล่าวเป็นจริงในไม่ว่า จะเป็น อย่างไรก็ตาม${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle G}$

สิ่งที่สำคัญคือ นิยาม ภายนอกของความสัมพันธ์บังคับ นี้ เทียบเท่ากับนิยามภายในซึ่งกำหนดโดยการเหนี่ยวนำแบบอนันต์ (โดยเฉพาะการเหนี่ยวนำแบบ ) เหนือชื่อ บนอินสแตนซ์ของและจากนั้นโดยการเหนี่ยวนำแบบธรรมดาเหนือความซับซ้อนของสูตร ผลที่ได้คือ คุณสมบัติทั้งหมดของแท้จริงแล้วคือคุณสมบัติของและการตรวจสอบในจึงทำได้ง่ายขึ้น โดยทั่วไปจะสรุปได้เป็นคุณสมบัติหลักสามประการดังต่อไปนี้: ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \in }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle u\in v}$${\displaystyle u=v}$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M[G]}$

• ความจริง : ก็ต่อเมื่อถูกบังคับโดยนั่นคือ ภายใต้เงื่อนไขบางประการเราจึงมี${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$
• ความสามารถในการกำหนดความหมาย : ข้อความ " " สามารถกำหนดความหมายได้ใน.${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\displaystyle M}$
• ความสอดคล้อง : .${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$

มีหลายวิธีที่แตกต่างกันแต่เทียบเท่ากันในการกำหนดความสัมพันธ์การบังคับใน[ ^{4 ] วิธี}หนึ่งในการทำให้คำจำกัดความง่ายขึ้นคือการกำหนดความสัมพันธ์การบังคับที่แก้ไขแล้วก่อนซึ่งมีความเข้มแข็งกว่าความสัมพันธ์ที่แก้ไขแล้วยังคงเป็นไปตามคุณสมบัติหลักสามประการของการบังคับ แต่และไม่จำเป็นต้องเทียบเท่ากัน แม้ว่าสูตรอันดับแรกและจะเทียบเท่ากันก็ตาม ความสัมพันธ์การบังคับที่ไม่ได้แก้ไขสามารถกำหนดได้เป็น อัน ที่จริง แนวคิดดั้งเดิมของ Cohen เกี่ยวกับการบังคับนั้นโดยพื้นฐานแล้วคือมากกว่า^{[ 3 ]}${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi }$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi '}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi '}$$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi \iff p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \neg \varphi .}$$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

ความสัมพันธ์บังคับที่ปรับเปลี่ยนแล้วสามารถกำหนดได้แบบเวียนซ้ำดังนี้: ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$

1. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\in v}$วิธี${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w=u).}$
2. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\neq v}$วิธี${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin u)\vee (\exists (w,q)\in u)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin v).}$
3. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \varphi }$วิธี${\displaystyle \neg (\exists q\leq p)(q\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi ).}$
4. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}(\varphi \vee \psi )}$วิธี${\displaystyle (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi )\vee (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\psi ).}$
5. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\exists x\,\varphi (x)}$วิธี${\displaystyle (\exists u\in M^{(\mathbb {P} )})(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi (u)).}$

สัญลักษณ์อื่นๆ ของภาษาบังคับสามารถกำหนดได้โดยใช้สัญลักษณ์เหล่านี้ ตัวอย่างเช่นหมายถึงหมายถึงเป็นต้น กรณีที่ 1 และ 2 ขึ้นอยู่กับกันและกัน รวมถึงกรณีที่ 3 ด้วย แต่การเรียกซ้ำจะอ้างอิงถึงชื่อที่มีลำดับ ต่ำกว่าเสมอ ดังนั้นการอุปมานแบบอนันต์จึงทำให้การกำหนดนั้นสำเร็จได้ ${\displaystyle u=v}$${\displaystyle \neg (u\neq v)}$${\displaystyle \forall x\,\varphi (x)}$${\displaystyle \neg \exists x\,\neg \varphi (x)}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

โดยโครงสร้าง(และด้วยเหตุนี้) จึงตอบสนองความสามารถในการกำหนด โดยอัตโนมัติ การพิสูจน์ที่ตอบสนองความจริงและความสอดคล้อง ด้วยนั้น ทำได้โดยการตรวจสอบแบบอุปนัยในแต่ละกรณีทั้งห้าข้างต้น กรณีที่ 4 และ 5 เป็นเรื่องง่าย (เนื่องจากการเลือกและเป็นสัญลักษณ์พื้นฐาน^{[ 5 ]} ) กรณีที่ 1 และ 2 อาศัยเพียงสมมติฐานว่าเป็นตัวกรอง และมีเพียงกรณีที่ 3 เท่านั้นที่ต้องการให้เป็นตัวกรองทั่วไป^{[ 3 ]}${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ตามหลักการแล้ว นิยามภายในของความสัมพันธ์บังคับ (เช่นที่นำเสนอข้างต้น) แท้จริงแล้วคือการแปลงสูตรใดๆไปเป็นสูตรอื่นโดยที่และเป็นตัวแปรเพิ่มเติม แบบจำลองไม่ได้ปรากฏอย่างชัดเจนในการแปลง (โปรดทราบว่าภายใน หมายถึง" เป็นชื่อ-name") และในความเป็นจริง เราอาจใช้การแปลงนี้เป็นนิยาม "เชิงไวยากรณ์" ของความสัมพันธ์บังคับในเอกภพของเซตทั้งหมดโดยไม่คำนึงถึงแบบจำลองการถ่ายทอดแบบนับได้ใดๆ อย่างไรก็ตาม หากต้องการบังคับเหนือแบบจำลองการถ่ายทอดแบบนับได้บางอย่างสูตรหลังควรได้รับการตีความภายใต้(เช่น โดยที่ตัวบ่งปริมาณทั้งหมดครอบคลุมเฉพาะ) ซึ่งในกรณีนี้จะเทียบเท่ากับนิยาม "เชิงความหมาย" ภายนอกของที่อธิบายไว้ในตอนต้นของส่วนนี้ ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u\in M^{(\mathbb {P} )}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

สำหรับสูตรใดๆจะมีทฤษฎีบทของทฤษฎีนั้น(ตัวอย่างเช่น การเชื่อมโยงของสัจพจน์จำนวนจำกัด) เช่นนั้น สำหรับแบบจำลองทรานซิทีฟที่นับได้ใดๆที่และลำดับบางส่วนใดๆ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขการแยก และ ตัวกรองทั่วไปใดๆเหนือ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\models T}$${\displaystyle \mathbb {P} \in M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle (\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{(\mathbb {P} )})(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})).}$$

นี่คือความหมายที่ความสัมพันธ์เชิงบังคับนั้น "สามารถกำหนดได้ใน" อย่างแท้จริง${\displaystyle M}$

การอภิปรายข้างต้นสามารถสรุปได้ด้วยผลลัพธ์ความสอดคล้องพื้นฐานที่ว่า เมื่อกำหนดเซตลำดับบังคับแล้วเราอาจสันนิษฐานได้ว่ามีตัวกรองทั่วไปที่ไม่เป็นส่วนหนึ่งของเอกภพเช่นนั้น ก็เป็นเอกภพเชิงเซตที่จำลอง เช่นกันยิ่งไปกว่านั้น ความจริงทั้งหมดในอาจลดลงเหลือความจริงในที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์บังคับได้ ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle V}$

ทั้งสองรูปแบบ ไม่ว่าจะเชื่อมโยงกับแบบจำลองการถ่ายทอดเชิงนับได้หรือจักรวาลทั้งหมดล้วนเป็นวิธีการที่ใช้กันทั่วไป ส่วนวิธีการที่พบเห็นได้น้อยกว่าคือวิธีการที่ใช้คำจำกัดความ "ภายใน" ของการบังคับ ซึ่งไม่ได้กล่าวถึงแบบจำลองเซตหรือคลาสเลย นี่คือวิธีการดั้งเดิมของโคเฮน และในการขยายความครั้งหนึ่ง วิธีนี้ได้กลายเป็นวิธีการวิเคราะห์ค่าบูลีน ${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$

โพเซตบังคับที่ไม่ธรรมดาที่ง่ายที่สุดคือซึ่งเป็นฟังก์ชันย่อยจำกัดจากไปยังภายใต้ การรวม แบบย้อนกลับกล่าวคือ เงื่อนไข นั้นโดยพื้นฐานแล้วคือเซตย่อยจำกัดสองเซตที่ไม่ทับซ้อนกันและของซึ่งถือได้ว่าเป็นส่วน "ใช่" และ "ไม่ใช่" ของโดยไม่มีข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับค่าที่อยู่นอกโดเมนของ" แข็งแกร่งกว่าหมายความว่ากล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่วน "ใช่" และ "ไม่ใช่" ของเป็นซูเปอร์เซตของส่วน "ใช่" และ "ไม่ใช่" ของและในแง่นั้น จึงให้ข้อมูลมากกว่า ${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,\emptyset )}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q\supseteq p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

ให้เป็นตัวกรองทั่วไปสำหรับเซตลำดับนี้ ถ้าและอยู่ใน ทั้งคู่แล้วเป็นเงื่อนไข เพราะเป็นตัวกรอง ซึ่งหมายความว่า เป็น ฟังก์ชันบางส่วนที่นิยามไว้อย่างดีจากไปยังเพราะเงื่อนไขสองเงื่อนไขใดๆ ในจะเห็นพ้องต้องกันในโดเมนร่วมกัน ${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\cup q}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g=\bigcup G}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle G}$

อันที่จริงแล้วเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ กำหนดให้ ให้แล้วเป็นเซตหนาแน่น (กำหนดให้ ใดๆถ้าไม่อยู่ในโดเมนของ ให้เพิ่มค่า เข้าไป— ผลลัพธ์จะอยู่ใน) เงื่อนไขมี อยู่ในโดเมน และเนื่องจากเราจึงพบว่าถูกกำหนดไว้ ${\displaystyle g}$${\displaystyle n\in \omega }$${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p\subseteq g}$${\displaystyle g(n)}$

ให้ เป็นเซตของสมาชิกทั้งหมดที่ตอบว่า "ใช่" ในเงื่อนไขทั่วไป เราสามารถตั้งชื่อให้ ได้โดยตรง ให้ ${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.}$

ทีนี้สมมติว่าในเราอ้างว่าให้ ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$${\displaystyle A\subseteq \omega }$${\displaystyle V}$${\displaystyle X\neq A}$

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid \exists n(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.}$

จากนั้นก็มีความหนาแน่น (กำหนดให้ ใดๆ ก็ตามหาว่า ไม่อยู่ในโดเมนของมัน และเพิ่มค่าให้กับ ซึ่งขัดแย้งกับสถานะของ " ") จากนั้นพยาน ใดๆ ก็ตาม สรุปได้ว่าเป็นเซตย่อย "ใหม่" ของซึ่งจำเป็นต้องมีอนันต์ ${\displaystyle D_{A}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in A}$${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$${\displaystyle X\neq A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$

เมื่อแทนที่ด้วยนั่นคือ พิจารณาฟังก์ชันย่อยจำกัดที่มีอินพุตอยู่ในรูปแบบโดยที่และและเอาต์พุตเป็นหรือจะได้เซตย่อยใหม่ของซึ่งทั้งหมดแตกต่างกัน โดยใช้เหตุผลความหนาแน่น: กำหนดให้ให้ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$${\displaystyle (n,\alpha )}$${\displaystyle n<\omega }$${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid \exists n(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

ดังนั้นแต่ละเซตจึงมีความหนาแน่น และเงื่อนไขทั่วไปในนั้นพิสูจน์ได้ว่าเซตใหม่ที่α ไม่สอดคล้องกับ เซตใหม่ที่ th ในบางจุด${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \beta }$

นี่ไม่ใช่การหักล้างสมมติฐานความต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ เราต้องพิสูจน์ว่าไม่มีแผนที่ใหม่ใด ๆ ที่แมปไปยังหรือไปยังตัวอย่างเช่น หากเราพิจารณาแทน ซึ่งเป็นฟังก์ชันย่อยจำกัดจากไปยังซึ่งเป็นลำดับที่นับไม่ได้ตัวแรก เราจะได้ การจับคู่ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง จากไปยังกล่าวอีกนัยหนึ่งได้ยุบตัวลงและในส่วนขยายบังคับ เป็นลำดับที่นับได้ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

ขั้นตอนสุดท้ายในการแสดงให้เห็นถึงความเป็นอิสระของสมมติฐานความต่อเนื่อง คือ การแสดงให้เห็นว่าการบังคับของโคเฮนไม่ทำให้จำนวนคาร์ดินัลยุบตัวลง สำหรับเรื่องนี้ คุณสมบัติเชิงการจัดเรียงที่เพียงพอคือแอนติเชน ทั้งหมด ของโพเซตบังคับนั้นเป็นจำนวนนับได้

แอนติเชน (ที่แข็งแกร่ง) ของคือเซตย่อย ที่ถ้าและแล้วและจะไม่เข้ากัน (เขียนว่า) หมายความว่าไม่มีในที่และในตัวอย่างเกี่ยวกับเซตบอเรล ความไม่เข้ากันหมายความว่ามีมาตรวัดเป็นศูนย์ ในตัวอย่างเกี่ยวกับฟังก์ชันบางส่วนจำกัด ความไม่เข้ากันหมายความว่าไม่ใช่ฟังก์ชัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือและกำหนดค่าที่แตกต่างกันให้กับอินพุตโดเมนบางอย่าง ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p,q\in A}$${\displaystyle p\neq q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\perp q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle r\leq p}$${\displaystyle r\leq q}$${\displaystyle p\cap q}$${\displaystyle p\cup q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {P} }$กล่าวกันว่าสอดคล้องกับเงื่อนไขลูกโซ่ที่นับได้ (ccc) ถ้าทุกแอนติเชนใน นั้นสามารถนับได้ (ชื่อนี้ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่เหมาะสม เป็นคำที่หลงเหลือมาจากศัพท์เก่า นักคณิตศาสตร์บางคนเขียนว่า "cac" สำหรับ "เงื่อนไขแอนติเชนที่นับได้") ${\displaystyle \mathbb {P} }$

เห็นได้ชัดว่า สอดคล้องกับ เงื่อนไขสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นสูงสุด (ccc) เนื่องจากผลรวมของมาตรการต่างๆ มีค่าไม่เกินนอกจากนี้ ยังสอดคล้องกับเงื่อนไขสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นสูงสุด (ccc) เช่นกัน แต่การพิสูจน์นั้นซับซ้อนกว่า ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

กำหนดให้มีสับแฟมิลีที่นับไม่ได้ลดขนาดลงเป็นสับแฟมิลีที่นับไม่ได้ของเซตที่มีขนาดไม่เกินสำหรับบางเซต(สำหรับบางเซตนี้จะนับไม่ได้ เนื่องจากมิฉะนั้นจะเป็นการรวมกันที่นับได้ของเซตที่นับได้ ดังนั้นจึงนับได้) ถ้าสำหรับจำนวนที่นับไม่ได้ให้ลดขนาดลงเป็นสับแฟมิลีที่นับไม่ได้และทำซ้ำ จะได้เซตจำกัดและแฟมิลีที่นับไม่ได้ของเงื่อนไขที่ไม่เข้ากันที่มีขนาดโดยที่ทุก ๆอยู่ในสำหรับจำนวนที่นับได้ไม่เกินตอนนี้ เลือก ใด ๆและเลือกจากใด ๆที่ไม่ใช่หนึ่งในสมาชิกจำนวนนับได้ที่มีสมาชิกโดเมนร่วมกันกับแล้วและเข้ากันได้ ดังนั้น จึงไม่ใช่แอนติเชน กล่าวอีกนัยหนึ่ง-แอนติเชนสามารถนับได้^{[ 6 ]}${\displaystyle W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n<\omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle W=\bigcup _{n<\omega }\{w\in W:|w|<n\}}$${\displaystyle p(e_{1})=b_{1}}$${\displaystyle p\in W_{0}}$${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}\in W_{0}}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

ความสำคัญของแอนติเชนในการบังคับคือ ในกรณีส่วนใหญ่ เซตหนาแน่นและแอนติเชนสูงสุดจะเทียบเท่ากันแอนติเชนสูงสุดคือแอนติเชนที่ไม่สามารถขยายไปเป็นแอนติเชนที่ใหญ่กว่าได้ ซึ่งหมายความว่าทุกองค์ประกอบเข้ากันได้กับสมาชิกบางตัวของการมีอยู่ของแอนติเชนสูงสุดเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของซอร์นกำหนดให้แอนติเชนสูงสุดให้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.}$

ดังนั้น จึงมีความหนาแน่น และก็ต่อเมื่อในทางกลับกัน เมื่อกำหนดเซตที่มีความหนาแน่นทฤษฎีบทของซอร์นแสดงให้เห็นว่ามีแอนติเชนสูงสุดและก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$${\displaystyle D}$${\displaystyle A\subseteq D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$

สมมติว่าสอดคล้องกับ ccc กำหนดให้โดยมีฟังก์ชันใน เราสามารถประมาณค่าภายในได้ดังนี้ ให้เป็นชื่อสำหรับ(ตามนิยามของ) และให้เป็นเงื่อนไขที่บังคับให้ เป็นฟังก์ชันจากไปกำหนดฟังก์ชันโดย ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F:x\to {\mathcal {P}}(y)}$

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.}$

โดยความสามารถในการกำหนดของการบังคับ นิยามนี้จึงสมเหตุสมผลภายในโดยความสอดคล้องของการบังคับ สิ่งที่แตกต่างกันจะต้องมาจากสิ่งที่เข้ากันไม่ได้โดย ccc นั้นสามารถนับได้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F(a)}$

โดยสรุป ค่านั้นไม่ทราบแน่ชัดเนื่องจากขึ้นอยู่กับแต่ก็ไม่ใช่ค่าที่ไม่ทราบแน่ชัดอย่างมากสำหรับกลไกการบังคับ ccc เราสามารถระบุชุดการคาดเดาที่นับได้สำหรับค่าของที่อินพุตใดๆ โดยไม่ขึ้นอยู่กับ ${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$

สิ่งนี้มีผลลัพธ์ที่สำคัญมากดังต่อไปนี้ ถ้าในเป็นการ ส่งแบบทั่วถึงจากลำดับอนันต์หนึ่งไปยังอีก ลำดับ อนันต์หนึ่งแล้ว จะมีการส่งแบบทั่วถึงในและด้วยเหตุนี้จึงมีการส่งแบบทั่วถึงในโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนเชิงคาร์ดินัลไม่สามารถยุบตัวได้ ข้อสรุปคือใน${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$${\displaystyle V}$${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$${\displaystyle V[G]}$

ค่าที่แน่นอนของความต่อเนื่องในแบบจำลองโคเฮนข้างต้น และรูปแบบต่างๆ เช่นสำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลโดยทั่วไป ได้รับการคำนวณโดยโรเบิร์ต เอ็ม. โซโลเวย์ผู้ซึ่งคำนวณวิธีที่จะละเมิด( สมมติฐานความต่อเนื่องแบบทั่วไป ) สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติเท่านั้น เป็นจำนวนครั้งที่จำกัด ตัวอย่างเช่น ในแบบจำลองโคเฮนข้างต้น ถ้าเป็นจริงในแล้ว ก็ จะเป็น จริง ใน${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$${\displaystyle V[G]}$

วิลเลียม บี. อีสตันได้คิดค้นรูปแบบคลาสที่เหมาะสมของการละเมิดสำหรับคาร์ดินัลปกติ โดยพื้นฐานแล้วแสดงให้เห็นว่าข้อจำกัดที่ทราบ (ความเป็นเอกรูป, ทฤษฎีบทของแคนเตอร์และทฤษฎีบทของเคอนิก ) เป็นข้อจำกัดที่พิสูจน์ได้เพียงอย่างเดียว (ดูทฤษฎีบทของอีสตัน ) ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

งานของอีสตันมีความโดดเด่นตรงที่เกี่ยวข้องกับการใช้เงื่อนไขที่เหมาะสมกับกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับ โดยทั่วไปแล้ว วิธีการใช้เงื่อนไขที่เหมาะสมกับกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับนั้นไม่สามารถสร้างแบบจำลองของจำนวนเชิงอันดับได้ตัวอย่างเช่น การใช้เงื่อนไข โดยที่เป็นกลุ่มที่เหมาะสมของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมด ทำให้จำนวนเชิงอันดับเป็นกลุ่มที่เหมาะสม ในทางกลับกัน การใช้เงื่อนไข จะ นำไปสู่การแจงนับจำนวนเชิงอันดับ ในทั้งสองกรณี ผลลัพธ์ที่ได้ นั้นเห็นได้ชัดว่าไม่ใช่แบบจำลองของ จำนวน เชิง อันดับ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$${\displaystyle \mathbf {On} }$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

ครั้งหนึ่งเคยคิดกันว่า การบังคับที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นจะช่วยให้สามารถเปลี่ยนแปลงกำลังของจำนวนเชิงซ้อนเอกพจน์ ได้อย่างไม่จำกัด อย่างไรก็ตาม ปรากฏว่านี่เป็นปัญหาที่ยาก ซับซ้อน และน่าประหลาดใจ โดยมีข้อจำกัดเพิ่มเติมอีกหลายประการ ที่สามารถพิสูจน์ได้ ในและด้วยแบบจำลองการบังคับ ซึ่งขึ้นอยู่กับความสอดคล้องของ คุณสมบัติ จำนวนเชิงซ้อนขนาดใหญ่ ต่างๆ ยังคงมีปัญหาที่ยังไม่ได้รับ การแก้ไข อีกมากมาย${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

การบังคับแบบสุ่มสามารถนิยามได้ว่าเป็นการบังคับเหนือเซตของเซตย่อยกระชับทั้งหมดของที่มีขนาดเป็นบวก โดยเรียงลำดับตามความสัมพันธ์(เซตที่เล็กกว่าในบริบทของการรวมคือเซตที่เล็กกว่าในลำดับ และแสดงถึงเงื่อนไขที่มีข้อมูลมากกว่า) มีเซตหนาแน่นที่สำคัญสองประเภท: ${\displaystyle P}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \subseteq }$

1. สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆเซต ดัง กล่าวเป็นเซตหนาแน่น โดยที่คือเส้นผ่านศูนย์กลางของเซต${\displaystyle n}$$${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}}$$${\displaystyle \operatorname {diam} (p)}$${\displaystyle p}$
2. สำหรับเซตย่อยบอเรลใดๆที่มีมาตรเท่ากับ 1 เซตนั้นจะหนาแน่น${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$$${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$

สำหรับตัวกรองใดๆและคู่ขององค์ประกอบใดๆจะมีอยู่เช่นนั้นในการเรียงลำดับนี้ หมายความว่าตัวกรองใดๆ ก็ปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัด ดังนั้น โดยทฤษฎีบทการตัดกันของแคนเตอร์การตัดกันขององค์ประกอบทั้งหมด ในตัวกรองใดๆ จะไม่ว่างเปล่า ถ้า เป็นตัวกรองที่ตัดกับเซตหนาแน่นสำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆตัวกรองนั้นจะมีเงื่อนไขที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางบวกที่เล็กมาก ดังนั้น การตัดกันของเงื่อนไขทั้งหมดจากมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 0 แต่เซตที่ไม่ว่างเปล่าที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 0 มีเพียงเซตที่มีสมาชิกเดียว ดังนั้นจึงมีจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียวเท่านั้นเช่นนั้น ${\displaystyle G}$${\displaystyle p_{1},p_{2}\in G}$${\displaystyle q\in G}$${\displaystyle q\leq p_{1},p_{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$

ให้เป็นเซตบอเรลใดๆ ที่มีมาตร 1 ถ้าตัด กับแล้ว${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D_{B}}$${\displaystyle r_{G}\in B}$

อย่างไรก็ตาม ตัวกรองทั่วไปบนแบบจำลองทรานซิทีฟที่นับได้นั้นไม่อยู่ในจำนวนจริงที่กำหนดโดย นั้นพิสูจน์ได้ว่าไม่ใช่สมาชิกของปัญหาหนึ่งของการสร้างนี้คือ ถ้าแล้ว" เป็นเซตกระชับ" แต่จากมุมมองของเอกภพที่ใหญ่กว่านั้นอาจไม่กระชับ และจุดตัดของเงื่อนไขทั้งหมดจากตัวกรองทั่วไปอาจว่างเปล่า เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราพิจารณาเซตของการปิด เชิงโทโพโลยี ของเงื่อนไขจากเนื่องจากและเนื่องจากปิดภายใต้จุดตัดจำกัด ทฤษฎีบทจุดตัดของแคนเตอร์จึงใช้ได้ และจุดตัดของเซตนั้นไม่ว่างเปล่า เนื่องจากและแบบจำลองพื้นฐานสืบทอดเมตริกจากเอกภพเซต จึงมีสมาชิกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กมากตามอำเภอใจ สุดท้าย มีจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวที่อยู่ในสมาชิกทั้งหมดของเซตตัวกรองทั่วไปสามารถสร้างใหม่ได้จาก เป็น${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle M\models }$${\displaystyle p}$${\displaystyle V\supseteq M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$

ถ้าเป็นชื่อสำหรับ(เช่น) และสำหรับถือว่า" เป็นเซตบอเรลที่มีมาตร 1" แล้วโดยคุณสมบัติความจริงของการบังคับ ${\displaystyle a\in M^{(\mathbb {P} )}}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle M[G]\models val(a,G)=r_{G}}$${\displaystyle B\in M}$${\displaystyle M\models }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }a\in {\check {B}}}$

สำหรับบางคนมีชื่อที่ตรงใจพวกเขา ${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}}$

สำหรับตัวกรองทั่วไปใดๆ ก็ตามสำหรับเรื่องนั้น ${\displaystyle G}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }a\in {\check {B}}}$

ใช้ได้กับทุกสภาวะ ${\displaystyle p}$

เซตบอเรลทุกเซตสามารถสร้างขึ้นได้ (อย่างไม่ซ้ำกัน) โดยเริ่มจากช่วงที่มีจุดปลายจำนวนตรรกยะ และใช้การดำเนินการเติมเต็มและการรวมกันแบบนับได้ซ้ำกันเป็นจำนวนครั้งที่นับได้ บันทึกของการสร้างดังกล่าวเรียกว่ารหัสบอเรลเมื่อกำหนดเซตบอเรลในเราจะได้รหัสบอเรลกลับคืนมา จากนั้นใช้ลำดับการสร้างเดียวกันในเพื่อให้ได้เซตบอเรลสามารถพิสูจน์ได้ว่าเราได้เซตเดียวกันโดยไม่ขึ้นอยู่กับรหัสที่เลือกสำหรับและคุณสมบัติพื้นฐานยังคงอยู่ ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วถ้ามีมาตรเป็นศูนย์ แล้วจะมีมาตรเป็นศูนย์ การแมปนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B\mapsto B^{*}}$

สำหรับเซตใดๆที่และ" เป็นเซตบอเรลที่มีขนาด 1" จะมี ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$${\displaystyle B\in M}$${\displaystyle M\models }$${\displaystyle B}$${\displaystyle r_{G}\in B^{*}}$

นี่หมายความว่าเป็น "ลำดับสุ่มอนันต์ของ 0 และ 1" จากมุมมองของซึ่งหมายความว่า เป็นไปตามการทดสอบทางสถิติทั้งหมดจากแบบจำลองพื้นฐาน ${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ดังนั้น เมื่อกำหนดจำนวนจริงสุ่มมาจำนวนหนึ่ง เราสามารถแสดงได้ว่า ${\displaystyle r_{G}}$

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}M)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}M[G])\right\}.}$

เนื่องจากทั้งสองสิ่งนี้สามารถกำหนดความหมายร่วมกันได้จึงมักเขียนแทนด้วย ${\displaystyle r}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M[r]}$${\displaystyle M[G]}$

การตีความที่แตกต่างออกไปของจำนวนจริงใน ได้รับการเสนอโดยDana Scottจำนวนตรรกยะในมีชื่อที่สอดคล้องกับค่าตรรกยะที่แตกต่างกันจำนวนนับได้ ซึ่งกำหนดให้กับแอนติเชนสูงสุดของเซต Borel – กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันค่าตรรกยะบางอย่างบนจำนวนจริงในจึงสอดคล้องกับการตัดของ Dedekindของฟังก์ชันดังกล่าว นั่นคือฟังก์ชันที่วัดได้ ${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle M[G]}$

อาจอธิบายให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้โดยใช้แบบจำลองค่าบูลีน ในแบบจำลองเหล่านี้ ข้อความใดๆ จะได้รับค่าความจริงจากพีชคณิตบูลีน ที่สมบูรณ์แบบ ซึ่งไม่มีอะตอม แทนที่จะเป็นเพียงค่าจริง/เท็จ จากนั้น จะเลือก ตัวกรองพิเศษในพีชคณิตบูลีนนี้ ซึ่งจะกำหนดค่าจริง/เท็จให้กับข้อความในทฤษฎีของเรา ประเด็นก็คือ ทฤษฎีที่ได้จะมีแบบจำลองที่ประกอบด้วยตัวกรองพิเศษนี้ ซึ่งสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นแบบจำลองใหม่ที่ได้จากการขยายแบบจำลองเดิมด้วยตัวกรองพิเศษนี้ โดยการเลือกแบบจำลองค่าบูลีนอย่างเหมาะสม เราจะได้แบบจำลองที่มีคุณสมบัติที่ต้องการ ในแบบจำลองนั้น เฉพาะข้อความที่ต้องเป็นจริง (ถูก "บังคับ" ให้เป็นจริง) เท่านั้นที่จะเป็นจริงในแง่หนึ่ง (เนื่องจากมีคุณสมบัติการขยาย/ความน้อยที่สุดนี้)

ในการพิสูจน์โดยการบังคับ เรามักจะพยายามแสดงให้เห็นว่าประโยคบางประโยคสอดคล้องกับ ( หรืออาจเป็นส่วนขยายของ) วิธีหนึ่งในการตีความข้อโต้แย้งนี้คือ การสมมติว่า นั้นสอดคล้อง แล้วพิสูจน์ว่าเมื่อรวมกับประโยค ใหม่แล้ว ก็สอดคล้องด้วยเช่นกัน ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$