อนันต์คือสิ่งที่ไร้ขอบเขต ไร้ขีดจำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด ใช้สัญลักษณ์∞แทน ซึ่งเรียกว่าสัญลักษณ์อนันต์

ตั้งแต่สมัยกรีกโบราณธรรมชาติเชิงปรัชญาของอนันต์เป็นหัวข้อถกเถียงกันมาโดยตลอด ในศตวรรษที่ 17 ด้วยการนำสัญลักษณ์อนันต์^{[ 1 ]}และแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ มาใช้ นักคณิตศาสตร์จึงเริ่มทำงานกับอนุกรมอนันต์และสิ่งที่นักคณิตศาสตร์บางคน (รวมถึงl'HôpitalและBernoulli ) ^{[ 2 ]}ถือว่าเป็นปริมาณที่เล็กมากอย่างไม่มีที่สิ้นสุด แต่อนันต์ยังคงเกี่ยวข้องกับกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในขณะที่นักคณิตศาสตร์พยายามวางรากฐานของแคลคูลัสก็ยังคงไม่ชัดเจนว่าอนันต์สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นจำนวนหรือขนาดและถ้าเป็นเช่นนั้น จะทำได้อย่างไร^{[ 1 ]}ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 Georg Cantorได้ขยายการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของอนันต์โดยการศึกษาเซตอนันต์และจำนวนอนันต์แสดงให้เห็นว่าพวกมันสามารถมีขนาดต่างๆ กันได้^{[ 1 ] [ 3 ]} ตัวอย่างเช่น หากมองเส้นตรงเป็นเซตของจุดทั้งหมดบนเส้นตรงนั้น จำนวนอนันต์ของจุดเหล่านั้น (กล่าวคือ จำนวนสมาชิกของเส้นตรง) จะมีมากกว่าจำนวนเต็ม[ ^{4 ] ใน} การใช้งานนี้ อนันต์เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ และวัตถุทางคณิตศาสตร์ อนันต์ สามารถศึกษา จัดการ และใช้งานได้เหมือนกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ

แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของอนันต์ได้ปรับปรุงและขยายแนวคิดทางปรัชญาเก่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยการแนะนำขนาดที่แตกต่างกันมากมายของเซตอนันต์ ในบรรดาสัจพจน์ของทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkelซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการพัฒนาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่ คือสัจพจน์ของอนันต์ซึ่งรับประกันการมีอยู่ของเซตอนันต์^{[ 1 ]}แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของอนันต์และการจัดการเซตอนันต์ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในคณิตศาสตร์ แม้แต่ในสาขาต่างๆ เช่นคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงซึ่งอาจดูเหมือนไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับสิ่งเหล่านี้เลย

ในวิชาฟิสิกส์และจักรวาลวิทยายังเป็นคำถามที่เปิดกว้างอยู่ว่าเอกภพนั้นมีขนาดเป็นอนันต์ในเชิงพื้นที่หรือไม่

วัฒนธรรมโบราณมีความคิดที่หลากหลายเกี่ยวกับธรรมชาติของอนันต์ ชาวอินเดีย และชาวกรีกโบราณไม่ได้ให้คำจำกัดความของอนันต์อย่างแม่นยำในรูปแบบที่เป็นทางการเหมือนกับคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แต่กลับมองอนันต์ในฐานะแนวคิดเชิงปรัชญา

แนวคิดเรื่องอนันต์ที่บันทึกไว้ที่เก่าแก่ที่สุดในกรีซอาจเป็นของอนาซิแมนเดอร์ (ประมาณ 610 – ประมาณ 546 ปีก่อนคริสตกาล) นักปรัชญากรีก ก่อนยุคโสกราตีสเขาใช้คำว่าapeironซึ่งหมายถึง "ไร้ขอบเขต" "ไม่แน่นอน" และอาจแปลได้ว่า "อนันต์" ^{[ 1 ] [ 5 ]}

อริสโตเติล (350 ปีก่อนคริสตกาล) แยกแยะอนันต์ที่เป็นไปได้ออกจากอนันต์ที่แท้จริงซึ่งเขาถือว่าเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความขัดแย้ง ต่างๆ ที่ดูเหมือนจะเกิดขึ้น^{[ 6 ]}มีการโต้แย้งว่า สอดคล้องกับมุมมองนี้ ชาวกรีก สมัยเฮลเลนิสติกมี "ความหวาดกลัวต่ออนันต์" ^{[ 7 ] [ 8 ]}ซึ่งจะอธิบายได้ว่าทำไมยูคลิด (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล) จึงไม่ได้กล่าวว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์ แต่กล่าวว่า "จำนวนเฉพาะมีมากกว่าจำนวนเฉพาะใดๆ ที่กำหนดไว้" ^{[ 9 ]}นอกจากนี้ยังมีการกล่าวอ้างว่า ในการพิสูจน์ความเป็นอนันต์ของจำนวนเฉพาะยูคลิด "เป็นคนแรกที่เอาชนะความหวาดกลัวต่ออนันต์" ^{[ 10 ]}มีข้อโต้แย้งที่คล้ายกันเกี่ยวกับสมมติฐานเส้นขนาน ของยูคลิด ซึ่งบางครั้งแปลว่า:

ถ้าเส้นตรงที่ตัดผ่านเส้นตรงอื่นสองเส้นทำให้เกิดมุมภายในด้านเดียวกันซึ่งผลรวมของมุมภายในนั้นน้อยกว่าสองมุมฉาก เส้นตรงอื่นทั้งสองเส้นนั้น เมื่อต่อออกไปจนสุด จะมาบรรจบกันที่ด้านนั้นของเส้นตรงเดิมซึ่งผลรวมของมุมภายในนั้นน้อยกว่าสองมุมฉาก^{[ 11 ]}

อย่างไรก็ตาม นักแปลคนอื่นๆ นิยมแปลว่า "เส้นตรงสองเส้น หากลากต่อไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด..." ^{[ 12 ]}จึงหลีกเลี่ยงนัยยะที่ว่ายูคลิดรู้สึกสบายใจกับแนวคิดเรื่องอนันต์ ในที่สุด มีการยืนยันว่าการไตร่ตรองถึงอนันต์นั้น แทนที่จะก่อให้เกิด "ความหวาดกลัวต่ออนันต์" กลับเป็นพื้นฐานของปรัชญากรีกยุคแรกทั้งหมด และ "อนันต์ที่เป็นไปได้" ของอริสโตเติลเป็นความผิดปกติจากแนวโน้มทั่วไปของยุคนี้^{[ 13 ]}

ซีโนแห่งเอเลีย ( ประมาณ 495 – ประมาณ 430 ปีก่อนคริสตกาล) ไม่ได้เสนอทัศนะใดๆ เกี่ยวกับอนันต์ อย่างไรก็ตาม ปริศนาของเขา^{[ 14 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "อคิลลีสกับเต่า" ถือเป็นผลงานสำคัญที่ทำให้เห็นชัดเจนถึงความไม่เพียงพอของแนวคิดที่เป็นที่นิยม ปริศนาเหล่านี้ได้รับการอธิบายโดยเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ว่า "มีความละเอียดอ่อนและลึกซึ้งอย่างหาที่เปรียบมิได้" ^{[ 15 ]}

อคิลลีสแข่งวิ่งกับเต่า โดยให้เต่าออกตัวก่อน

• ขั้นตอนที่ 1: อคิลลีสวิ่งไปยังจุดเริ่มต้นของเต่า ในขณะที่เต่าเดินไปข้างหน้า
• ขั้นตอนที่ 2: อคิลลีสเคลื่อนที่ไปยังจุดที่เต่าอยู่เมื่อสิ้นสุดขั้นตอนที่ 1 ในขณะที่เต่ายังคงเคลื่อนที่ต่อไปอีกไกล
• ขั้นตอนที่ 3: อคิลลีสเคลื่อนที่ไปยังจุดที่เต่าอยู่เมื่อสิ้นสุดขั้นตอนที่ 2 ในขณะที่เต่ายังคงเคลื่อนที่ต่อไปอีกไกล
• ขั้นตอนที่ 4: อคิลลีสเคลื่อนที่ไปยังจุดที่เต่าอยู่เมื่อสิ้นสุดขั้นตอนที่ 3 ในขณะที่เต่ายังคงเคลื่อนที่ต่อไปอีกไกล

และกระบวนการนี้ดำเนินต่อไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด โดยพื้นฐานแล้ว

• ขั้นตอนที่ (n+1): อคิลลีสเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งที่เต่าอยู่เมื่อสิ้นสุดขั้นตอนที่ n ในขณะที่เต่าเคลื่อนที่ไปไกลกว่าเดิม

ดูเหมือนว่าอคิลลีสจะไม่เคยแซงเต่าได้เลย เพราะไม่ว่าเขาจะเดินไปกี่ก้าว เต่าก็ยังคงนำหน้าเขาอยู่เสมอ

ซีโนไม่ได้พยายามจะชี้ให้เห็นถึงประเด็นเรื่องอนันต์ ในฐานะสมาชิกของ สำนักคิด อีเลียติกส์ซึ่งมองว่าการเคลื่อนไหวเป็นเพียงภาพลวงตา เขาเห็นว่าการสมมติว่าอคิลลีสสามารถวิ่งได้นั้นเป็นความผิดพลาด นักคิดรุ่นหลังๆ พบว่าวิธีแก้ปัญหานี้ยอมรับไม่ได้ และพยายามอย่างหนักมานานกว่าสองพันปีเพื่อหาจุดอ่อนอื่นๆ ในข้อโต้แย้งนี้

ในที่สุดในปี พ.ศ. 2364 Augustin-Louis Cauchy ได้ให้คำจำกัดความ ^ที่น่าพอใจของลิมิตและพิสูจน์ว่าสำหรับ0 < x < 1 [ ^{16 ]}$${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

สมมติว่าอคิลลีสกำลังวิ่งด้วยความเร็ว 10 เมตรต่อวินาที เต่ากำลังเดินด้วยความเร็ว 0.1 เมตรต่อวินาที และเต่าออกตัวไปก่อน 100 เมตร ระยะเวลาของการไล่ล่าเป็นไปตามรูปแบบของโคชี โดยมีa = 10 วินาทีและx = 0.01อคิลลีสสามารถไล่ทันเต่าได้ แต่เต่าใช้เวลา...

${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }$${\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ วินาที}}.}$

ตำราคณิตศาสตร์ของศาสนาเชนSurya Prajnapti (ประมาณศตวรรษที่ 4-3 ก่อนคริสต์ศักราช) จำแนกจำนวนทั้งหมดออกเป็นสามชุด ได้แก่จำนวนนับได้ จำนวนนับไม่ ได้และจำนวนอนันต์ แต่ละชุดยังแบ่งย่อยออกเป็นสามลำดับอีกด้วย: ^{[ 17 ]}

• จำแนกได้: ต่ำสุด กลาง และสูงสุด
• นับไม่ถ้วน: เกือบนับไม่ถ้วน, นับไม่ถ้วนอย่างแท้จริง, และนับไม่ถ้วนอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
• อนันต์: เกือบอนันต์, อนันต์อย่างแท้จริง, อนันต์อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

ในศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปเริ่มใช้จำนวนอนันต์และนิพจน์อนันต์อย่างเป็นระบบ ในปี ค.ศ. 1655 ^จอห์น วอลลิสเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์สำหรับจำนวนดังกล่าวในDe sectionibus conicis ของเขา [ ^{18 ]}และใช้ประโยชน์จากมันในการคำนวณพื้นที่โดยการแบ่งพื้นที่ออกเป็น แถบ เล็กๆ ที่มีความกว้างประมาณ^{[ 19 ]}แต่ในArithmetica infinitorum (ค.ศ. 1656) ^{[ 20 ]}เขาระบุอนุกรมอนันต์ ผลคูณอนันต์ และเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์โดยการเขียนพจน์หรือตัวประกอบเพียงไม่กี่พจน์แล้วต่อท้ายด้วย "&c." เช่น "1, 6, 12, 18, 24, &c." ^{[ 21 ]}${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$

ในปี ค.ศ. 1699 ไอแซก นิวตันได้เขียนเกี่ยวกับสมการที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์ในงานของเขาDe analysi per aequationes numero terminorum infinitas ^{[ 22 ]}

สัญลักษณ์อนันต์(บางครั้งเรียกว่าเลมนิสเคท ) เป็นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงถึงแนวคิดของอนันต์ สัญลักษณ์นี้ถูกเข้ารหัสในUnicodeที่U+221E ∞ INFINITY ( ∞ ) ^{[ 23 ]}และในLaTeXเป็น. ^{[ 24 ]}${\displaystyle \infty }$\infty

จอห์น วอลลิสได้นำเสนอสิ่งนี้ในปี พ.ศ. 2398 [ ^{25 ] [ 26 ]}และนับตั้งแต่การนำเสนอ มันยังถูกนำไปใช้นอกคณิตศาสตร์ในลัทธิลึกลับสมัยใหม่^{[ 27 ] และ}สัญลักษณ์ทางวรรณกรรม^{[ 28 ]}

ก็อตฟรีด ไลบ์นิซหนึ่งในผู้ร่วมคิดค้นแคลคูลัสเชิงอนันต์ได้คาดเดาอย่างกว้างขวางเกี่ยวกับจำนวนอนันต์และการใช้งานในทางคณิตศาสตร์ สำหรับไลบ์นิซ ทั้งปริมาณเชิงอนันต์และปริมาณอนันต์ล้วนเป็นเอนทิตีในอุดมคติ ไม่ใช่สิ่งที่มีลักษณะเหมือนกับปริมาณที่สังเกตได้ แต่มีคุณสมบัติเดียวกันตามกฎแห่งความต่อเนื่อง^{[ 29 ] [ 2 ]}

ในการวิเคราะห์เชิงจริงสัญลักษณ์ที่เรียกว่า "อนันต์" ใช้เพื่อแสดงถึงขีดจำกัด ที่ไม่ จำกัด^{[ 30 ]}มันไม่ใช่จำนวนจริง สัญลักษณ์นี้หมายความว่า  เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต และหมายความว่า  ลดลงอย่างไม่มีขอบเขต ตัวอย่างเช่น ถ้าสำหรับทุก  แล้ว^{[ 31 ]}${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x\ลูกศรขวา \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\to -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(t)\geq 0}$${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$หมายความว่าไม่ได้จำกัดพื้นที่จากถึง${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$หมายความว่าพื้นที่ใต้กราฟนั้นมีขนาดอนันต์${\displaystyle f(t)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$หมายความว่าพื้นที่ทั้งหมดใต้มีค่าจำกัด และเท่ากับ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a.}$

นอกจากนี้ ยังสามารถใช้คำว่า "อนันต์" เพื่ออธิบายอนุกรมอนันต์ได้ดังนี้:

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$หมายความว่าผลรวมของอนุกรมอนันต์ลู่เข้าสู่ค่าจริงบางค่า${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$หมายความว่าผลรวมของอนุกรมอนันต์จะลู่เข้าสู่อนันต์อย่างถูกต้อง ในแง่ที่ว่าผลรวมย่อยจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต^{[ 32 ]}

นอกจากการกำหนดขีดจำกัดแล้ว อนันต์ยังสามารถใช้เป็นค่าในระบบจำนวนจริงแบบขยายได้อีกด้วย จุดที่ติดป้ายกำกับและสามารถเพิ่มเข้าไปในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ของจำนวนจริง ทำให้เกิด การกระชับแบบสองจุดของจำนวนจริง การเพิ่มคุณสมบัติทางพีชคณิตให้กับสิ่งนี้ทำให้เราได้จำนวนจริงแบบขยาย [ ^{33 ] เรา}ยังสามารถถือว่าและเป็นสิ่งเดียวกัน ซึ่งนำไปสู่การกระชับแบบหนึ่งจุดของจำนวนจริง ซึ่งก็คือ เส้นตรงเชิงโปรเจกที ฟจริง^{[ 34 ]}เรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟยังหมายถึงเส้นตรงที่อนันต์ในเรขาคณิตระนาบระนาบที่อนันต์ในปริภูมิสามมิติ และไฮเปอร์เพลนที่อนันต์ สำหรับ มิติทั่วไปซึ่งแต่ละอันประกอบด้วยจุดที่อนันต์^{[ 35 ]}${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนสัญลักษณ์ ที่เรียกว่า "อนันต์" หมายถึง ลิมิตอนันต์ที่ไม่มีเครื่องหมายนิพจน์นี้หมายความว่าขนาด  ของ  เพิ่มขึ้นเกินกว่าค่าที่กำหนดสามารถเพิ่มจุดที่ติดป้ายกำกับ ลงในระนาบเชิงซ้อนเป็น ปริภูมิเชิงโทโพโลยีซึ่งทำให้เกิดการกระชับแบบจุดเดียว ของระนาบเชิงซ้อน เมื่อทำเช่นนี้ ปริภูมิที่ได้จะเป็น แมนิโฟลด์เชิงซ้อนหนึ่งมิติหรือพื้นผิวรีมันน์เรียกว่าระนาบเชิงซ้อนแบบขยายหรือทรงกลมรีมันน์ [ ^{36 ] การ}ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกับที่กล่าวมาข้างต้นสำหรับจำนวนจริงแบบขยายก็สามารถกำหนดได้เช่นกัน แม้ว่าจะไม่มีความแตกต่างของเครื่องหมาย (ซึ่งนำไปสู่ข้อยกเว้นเดียวคืออนันต์ไม่สามารถบวกกับตัวเองได้) ในทางกลับกัน อนันต์ประเภทนี้ทำให้สามารถหารด้วยศูนย์ได้กล่าวคือสำหรับจำนวนเชิงซ้อน ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ในบริบทนี้ มักจะเป็นประโยชน์ที่จะพิจารณาฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกเป็นแผนที่ไปยังทรงกลมรีมันน์โดยรับค่าของที่ขั้ว โดเมนของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนอาจขยายเพื่อรวมจุดที่อนันต์ด้วยเช่นกัน ตัวอย่างที่สำคัญอย่างหนึ่งของฟังก์ชันดังกล่าวคือกลุ่มของการแปลงโมเบียส (ดูการแปลงโมเบียส § ภาพรวม ) ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x\ลูกศรขวา \infty }$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle z/0=\infty }$ ${\displaystyle z}$${\displaystyle \infty }$

การกำหนดแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ดั้งเดิม โดยไอแซค นิวตันและก็อตฟรีด ไลบ์นิซ ใช้ปริมาณเชิงอนุพันธ์ ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 ได้มีการแสดงให้เห็นว่าวิธีการนี้สามารถวางอยู่บนพื้นฐานที่เข้มงวดได้ผ่านระบบตรรกะ ต่างๆ รวมถึงการวิเคราะห์เชิงอนุพันธ์แบบเรียบและการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานในระบบหลังนี้ ปริมาณเชิงอนุพันธ์สามารถผกผันได้ และตัวผกผันของมันคือจำนวนอนันต์ ปริมาณอนันต์ในความหมายนี้เป็นส่วนหนึ่งของฟิลด์ไฮเปอร์เรียลไม่มีความเท่าเทียมกันระหว่างกันเหมือนกับทรานส์ไฟไนต์ ของแคนทอเรียน ตัวอย่างเช่น ถ้า H เป็นจำนวนอนันต์ในความหมายนี้แล้ว H + H = 2H และ H + 1 เป็นจำนวนอนันต์ที่แตกต่างกัน แนวทางนี้สำหรับแคลคูลัสแบบไม่มาตรฐานได้รับการพัฒนาอย่างสมบูรณ์ในKeisler (1986 )

รูปแบบที่แตกต่างกันของ "อนันต์" คืออนันต์เชิงลำดับและเชิงปริมาณของทฤษฎีเซต ซึ่งเป็นระบบของจำนวนอนันต์ที่พัฒนาขึ้นครั้งแรกโดยGeorg Cantorในระบบนี้ จำนวนอนันต์ตัวแรกคือaleph-null ( ℵ ₀ ) ซึ่งเป็นจำนวนสมาชิกของเซตของจำนวนธรรมชาติแนวคิดทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่เกี่ยวกับอนันต์เชิงปริมาณนี้พัฒนาขึ้นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 จากผลงานของ Cantor, Gottlob Frege , Richard Dedekindและคนอื่นๆ โดยใช้แนวคิดของกลุ่มหรือเซต^{[ 1 ]}

แนวทางของเดเดคินด์โดยพื้นฐานแล้วคือการนำแนวคิดเรื่องการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งมาใช้เป็นมาตรฐานในการเปรียบเทียบขนาดของเซต และปฏิเสธมุมมองของกาลิเลโอ (ที่ได้มาจากยูคลิด ) ที่ว่าส่วนทั้งหมดไม่สามารถมีขนาดเท่ากับส่วนย่อยได้ (อย่างไรก็ตาม โปรดดูความขัดแย้งของกาลิเลโอที่กาลิเลโอสรุปว่าจำนวนเต็มบวกไม่สามารถเปรียบเทียบกับเซตย่อยของจำนวนเต็มกำลัง สองบวก ได้ เนื่องจากทั้งสองเป็นเซตอนันต์) เซตอนันต์สามารถนิยามได้ง่ายๆ ว่าเป็นเซตที่มีขนาดเท่ากับอย่างน้อยหนึ่งเซตย่อยที่แท้จริง (เซตย่อยที่เล็กกว่าอย่างเคร่งครัด) แนวคิดเรื่องอนันต์นี้เรียกว่าอนันต์ของเดเดคินด์แผนภาพทางด้านขวาแสดงตัวอย่าง: เมื่อมองเส้นเป็นเซตของจุดอนันต์ ครึ่งซ้ายของเส้นสีน้ำเงินด้านล่างสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (การจับคู่สีเขียว) กับเส้นสีน้ำเงินด้านบน และในทางกลับกันกับเส้นสีน้ำเงินด้านล่างทั้งหมด (การจับคู่สีแดง) ดังนั้นเส้นสีน้ำเงินด้านล่างทั้งหมดและครึ่งซ้ายจึงมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน กล่าวคือ "ขนาด" เท่ากัน^{[ 37 ]}

แคนเตอร์ได้นิยามจำนวนอนันต์ไว้สองประเภท คือจำนวนเชิงลำดับ (ordinal numbers ) และจำนวนเชิงปริมาณ (cardinal numbers ) จำนวนเชิงลำดับบ่งบอก ถึงเซต ที่มีลำดับที่ดีหรือการนับที่ดำเนินต่อไปจนถึงจุดหยุดใดๆ รวมถึงจุดหลังจากที่นับไปแล้วเป็นจำนวนอนันต์ การขยายลำดับจำกัดและลำดับ อนันต์ (ธรรมดา) ซึ่งเป็นการแมปจากจำนวนเต็ม บวก นำไปสู่การแมปจากจำนวนเชิงลำดับไปยังลำดับอนันต์เหนือ (transfinite sequences) จำนวนเชิงปริมาณกำหนดขนาดของเซต หมายถึงจำนวนสมาชิกที่เซตนั้นมีอยู่ และสามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้โดยการเลือกจำนวนเชิงลำดับตัวแรกที่มีขนาดที่กำหนดมาแทนจำนวนเชิงปริมาณของขนาดนั้น อนันต์เชิงลำดับที่เล็กที่สุดคือจำนวนเต็มบวก และเซตใดๆ ที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนเต็มจะเป็นอนันต์ที่นับได้ (countably infinite )

ถ้าเซตมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนเต็มบวกได้ จะเรียกว่าเซตที่นับไม่ได้ทฤษฎีบทของแคนเตอร์ยังพิสูจน์เพิ่มเติมว่าไม่มีจำนวนคาร์ดินัลที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกเซตอนันต์ จะมีเซตที่ใหญ่กว่า แคนเตอร์ประกาศว่าการรวบรวมเซตทั้งหมดมีอนันต์สัมบูรณ์ ที่ไม่สามารถเพิ่มขึ้นได้ ซึ่งเขาระบุว่าเป็นพระเจ้า^{[ 38 ] [ 39 ]}แม้ว่าในตอนแรกจะเป็นที่ถกเถียงกันแต่ทัศนะของแคนเตอร์ก็ได้รับชัยชนะ และคณิตศาสตร์สมัยใหม่ยอมรับอนันต์ที่แท้จริงว่าเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีที่สอดคล้องและมีเหตุผล^{[ 40 ]}

ทฤษฎีของจำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมตั้งแต่สมัยแคนเตอร์ โดยปัจจุบันมีการศึกษา จำนวนเชิงอันดับนับได้ขนาดใหญ่และจำนวนเชิงปริมาณขนาดใหญ่ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์^{[ 41 ]}

ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของแคนเตอร์คือจำนวนสมาชิกของคอนตินิวอัมมีมากกว่าจำนวนสมาชิกธรรมชาติกล่าวคือ มีจำนวนจริงRมากกว่าจำนวนสมาชิกธรรมชาติNแคนเตอร์แสดงให้เห็นว่า^{[ 42 ]}${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle {\aleph _{0}}}$${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

สมมติฐานความต่อเนื่องระบุว่าไม่มีจำนวนเชิงคาร์ดินัล ใด อยู่ระหว่างจำนวนจริงและจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ.${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$

สมมติฐานนี้ไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ภายในทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel ที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง แม้จะถือว่ามีสัจพจน์ของการเลือกก็ตาม^{[ 43 ]}

เลขคณิตเชิงคาร์ดินัลสามารถใช้เพื่อแสดงไม่เพียงแต่ว่าจำนวนจุดบนเส้นจำนวนจริงเท่ากับจำนวนจุดในส่วนใด ๆ ของเส้นนั้นแต่ยังเท่ากับจำนวนจุดบนระนาบและในปริภูมิมิติจำกัด ใด ๆ อีกด้วย ^{[ 44 ]}

ผลลัพธ์แรกนี้เห็นได้ชัดเจนจากการพิจารณา ฟังก์ชัน แทนเจนต์ซึ่งให้ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างช่วง ( − ⁠π/2, ⁠​π/2)และ R .

ผลลัพธ์ที่สองได้รับการพิสูจน์โดยแคนเตอร์ในปี พ.ศ. 2421 แต่เพิ่งปรากฏชัดเจนโดยสัญชาตญาณในปี พ.ศ. 2433 เมื่อจูเซปเป เปอาโนนำเสนอเส้นโค้งที่เติมเต็มพื้นที่ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่บิดและโค้งงอมากพอที่จะเติมเต็มพื้นที่ทั้งหมดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ ไฮเปอร์คิวบ์หรือพื้นที่มิติจำกัด เส้นโค้งเหล่านี้สามารถใช้เพื่อกำหนดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดบนด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและจุดภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 45 ]}

จนกระทั่งถึงปลายศตวรรษที่ 19 อนันต์แทบจะไม่ถูกกล่าวถึงในเรขาคณิตเลย ยกเว้นในบริบทของกระบวนการที่สามารถดำเนินต่อไปได้เรื่อยๆ โดยไม่มีขีดจำกัด ตัวอย่างเช่นเส้นตรงคือสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าส่วนของเส้นตรงโดยมีข้อแม้ว่าเราสามารถต่อเส้นตรงออกไปได้ไกลเท่าที่ต้องการ แต่การต่อเส้น ตรงออกไป อย่างไม่มีที่สิ้นสุดนั้นเป็นไปไม่ได้ ในทำนองเดียวกัน เส้นตรงมักไม่ได้ถูกพิจารณาว่าประกอบด้วยจุดจำนวนอนันต์ แต่เป็นตำแหน่งที่สามารถวางจุดได้ แม้ว่าจะมีตำแหน่งที่เป็นไปได้มากมายนับไม่ถ้วน แต่ก็มีเพียงจุดจำนวนจำกัดเท่านั้นที่สามารถวางบนเส้นตรงได้ หลักฐานของเรื่องนี้คือสำนวน " ตำแหน่งของจุดที่มีคุณสมบัติบางอย่าง" (เอกพจน์) ซึ่งนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่โดยทั่วไปจะกล่าวว่า "เซตของจุดที่มีคุณสมบัตินั้น" (พหูพจน์)

หนึ่งในข้อยกเว้นที่หายากของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับอนันต์ที่แท้จริงคือเรขาคณิตเชิงฉาย (projective geometry ) ซึ่งมีการเพิ่มจุด ที่อนันต์เข้าไปใน ปริภูมิยูคลิดเพื่อจำลองเอ ฟเฟกต์ ทัศนียภาพที่แสดงให้เห็นเส้นขนานตัดกัน "ที่อนันต์" ในทางคณิตศาสตร์ จุดที่อนันต์มีข้อดีคือช่วยให้ไม่ต้องพิจารณากรณีพิเศษบางกรณี ตัวอย่างเช่น ในระนาบเชิงฉาย เส้น ตรงสองเส้น ที่แตกต่างกัน จะตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น ในขณะที่หากไม่มีจุดที่อนันต์ จะไม่มีจุดตัดสำหรับเส้นขนาน ดังนั้น เส้นขนานและเส้นที่ไม่ขนานกันจึงต้องศึกษาแยกกันในเรขาคณิตแบบคลาสสิก ในขณะที่ไม่จำเป็นต้องแยกแยะในเรขาคณิตเชิงฉาย

ก่อนที่ ทฤษฎีเซตจะถูกนำมาใช้เป็นพื้นฐานของคณิตศาสตร์จุดและเส้นถูกมองว่าเป็นสิ่งที่มีอยู่แยกจากกัน และจุดหนึ่งสามารถระบุตำแหน่งบนเส้นได้ แต่เมื่อมีการนำทฤษฎีเซตมาใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์ มุมมองก็เปลี่ยนไปอย่างมาก เส้นหนึ่งถูกมองว่าเป็นเซตของจุดบนเส้นนั้นและเรากล่าวว่าจุดหนึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเส้นแทนที่จะกล่าวว่า จุด นั้นตั้งอยู่บนเส้น (อย่างไรก็ตาม วลีหลังนี้ก็ยังคงใช้กันอยู่)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เส้นตรงคือเซต อนันต์

ปริภูมิเวกเตอร์ที่ปรากฏในเรขาคณิต คลาสสิกมักมี มิติจำกัดโดยทั่วไปคือสองหรือสามมิติ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความตามนิยามนามธรรมของปริภูมิเวกเตอร์ และสามารถพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์ได้ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นเช่นนั้นในวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันที่ปริภูมิฟังก์ชันมักเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์

ในทางทฤษฎีโทโพโลยี การสร้างบางอย่างสามารถสร้างปริภูมิ โทโพโลยีที่มีมิติอนันต์ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กรณีของปริภูมิวงวนซ้ำ

โครงสร้างของ วัตถุ แฟรกทัลจะถูกทำซ้ำในการขยาย แฟรกทัลสามารถขยายได้ไม่จำกัดโดยไม่สูญเสียโครงสร้างและกลายเป็น "เรียบ" พวกมันมีเส้นรอบวงอนันต์และสามารถมีพื้นที่อนันต์หรือจำกัดได้เส้นโค้งแฟรกทัล หนึ่ง ที่มีเส้นรอบวงอนันต์และพื้นที่จำกัดคือเกล็ดหิมะโคช^{[ 46 ]}

เลโอโปลด์ โครเนกเกอร์สงสัยในแนวคิดเรื่องอนันต์และวิธีที่เพื่อนนักคณิตศาสตร์ของเขาใช้มันในช่วงทศวรรษ 1870 และ 1880 ความสงสัยนี้ได้รับการพัฒนาในปรัชญาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าฟินิติสซึม ซึ่งเป็นรูปแบบสุดขั้วของปรัชญาคณิตศาสตร์ในสำนักปรัชญาและคณิตศาสตร์ทั่วไปของคอนสตรักติวิซึมและอินทิวชันนิซึม^{[ 47 ]}

ในตรรกศาสตร์ การโต้แย้ง แบบถอยหลังอย่างไม่มีที่สิ้นสุดคือ "การโต้แย้งเชิงปรัชญาประเภทหนึ่งที่อ้างว่าแสดงให้เห็นว่าวิทยานิพนธ์มีข้อบกพร่องเพราะมันสร้างอนุกรมอนันต์เมื่อ (รูปแบบ A) ไม่มีอนุกรมดังกล่าวอยู่ หรือ (รูปแบบ B) หากมีอยู่ วิทยานิพนธ์ก็จะขาดบทบาท (เช่น การให้เหตุผล) ที่ควรจะมี" ^{[ 48 ]}

ในตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งทั้งทฤษฎีบทความกะทัดรัดและทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเลมถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองที่ไม่เป็นมาตรฐานซึ่งมีคุณสมบัติอนันต์บางประการ

ในฟิสิกส์การประมาณค่าของจำนวนจริงใช้สำหรับ การวัด แบบต่อเนื่องและจำนวนธรรมชาติใช้สำหรับ การวัด แบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น การนับ) แนวคิดของสิ่งที่เป็นอนันต์ เช่นคลื่นระนาบ อนันต์ มีอยู่จริง แต่ไม่มีวิธีการทดลองใดที่จะสร้างสิ่งเหล่านั้นได้^{[ 49 ]}

ข้อเสนอที่ตีพิมพ์ครั้งแรกที่ว่าจักรวาลนั้นไม่มีที่สิ้นสุดมาจากโทมัส ดิกเกสในปี 1576 ^{[ 50 ]}แปดปีต่อมาในปี 1584 จิออร์ดาโน บรูโน นักปรัชญาและนักดาราศาสตร์ชาวอิตาลี ได้เสนอจักรวาลที่ไม่มีขอบเขตในหนังสือOn the Infinite Universe and Worldsว่า "มีดวงอาทิตย์อยู่มากมายนับไม่ถ้วน มีโลกอยู่มากมายนับไม่ถ้วนโคจรรอบดวงอาทิตย์เหล่านี้ในลักษณะที่คล้ายกับวิธีที่ดาวเคราะห์ทั้งเจ็ดดวงโคจรรอบดวงอาทิตย์ของเรา สิ่งมีชีวิตอาศัยอยู่ในโลกเหล่านี้" ^{[ 51 ]}

นักจักรวาลวิทยาพยายามค้นหามานานแล้วว่าอนันต์มีอยู่ในจักรวาล ทางกายภาพของเราหรือไม่ : มีดาวฤกษ์จำนวนอนันต์หรือไม่? จักรวาลมีปริมาตรอนันต์หรือไม่? อวกาศ " ดำเนินต่อไปเรื่อยๆ " หรือไม่? นี่เป็นคำถามที่ยังเปิดอยู่ของจักรวาลวิทยาคำถามเรื่องความเป็นอนันต์นั้นแยกออกจากคำถามเรื่องขอบเขตอย่างมีเหตุผล ตัวอย่างเช่น พื้นผิวสองมิติของโลกนั้นมีขอบเขตจำกัด แต่ไม่มีขอบ เมื่อเดินทางเป็นเส้นตรงโดยสัมพันธ์กับความโค้งของโลก ในที่สุดเราจะกลับไปยังจุดเริ่มต้นเดิม จักรวาล อย่างน้อยในทางทฤษฎี อาจมีโทโพโลยี ที่คล้ายกัน หากเป็นเช่นนั้น ในที่สุดเราอาจกลับไปยังจุดเริ่มต้นของเราหลังจากเดินทางเป็นเส้นตรงผ่านจักรวาลเป็นเวลานานพอ^{[ 52 ]}

ความโค้งของเอกภพสามารถวัดได้ผ่านโมเมนต์มัลติโพลในสเปกตรัมของรังสีพื้นหลังของเอกภพจนถึงปัจจุบัน การวิเคราะห์รูปแบบรังสีที่บันทึกโดยยาน อวกาศ WMAPบ่งชี้ว่าเอกภพมีโทโพโลยีแบบแบนราบ ซึ่งจะสอดคล้องกับเอกภพทางกายภาพที่ไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]}

อย่างไรก็ตาม จักรวาลอาจมีขอบเขตจำกัด แม้ว่าความโค้งของมันจะแบนราบก็ตาม วิธีง่ายๆ ในการทำความเข้าใจเรื่องนี้คือการพิจารณาตัวอย่างสองมิติ เช่น วิดีโอเกมที่ไอเท็มที่ออกจากขอบด้านหนึ่งของหน้าจอจะปรากฏขึ้นอีกครั้งที่ขอบอีกด้านหนึ่ง โครงสร้างทางเรขาคณิตของเกมดังกล่าวเป็นแบบทอรอยด์และเรขาคณิตเป็นแบบแบนราบ นอกจากนี้ยังมีความเป็นไปได้มากมายของขอบเขตแบนราบสำหรับพื้นที่สามมิติ^{[ 56 ]}

แนวคิดเรื่องอนันต์ยังขยายไปถึง สมมติฐาน พหุจักรวาลซึ่งเมื่อนักฟิสิกส์ดาราศาสตร์อย่างมิชิโอะ คาคุ อธิบายแล้ว ก็ได้ตั้งสมมติฐานว่ามีจักรวาลจำนวนและหลากหลายเป็นอนันต์^{[ 57 ]}นอกจากนี้แบบจำลองวัฏจักร ยังตั้งสมมติฐานว่ามี บิ๊กแบงจำนวนอนันต์ส่งผลให้มีจักรวาลหลากหลายเป็นอนันต์หลังจากเหตุการณ์บิ๊กแบงแต่ละครั้งในวัฏจักรอนันต์^{[ 58 ]}

มาตรฐานจุดลอยตัวของ IEEE (IEEE 754) ระบุค่าอนันต์บวกและลบ (และ ค่า ที่ไม่แน่นอน ) ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นผลจากการคำนวณเกินขีดจำกัดการหารด้วยศูนย์และการดำเนินการพิเศษอื่นๆ^{[ 59 ]}

ภาษาโปรแกรมบาง ภาษา เช่นJava ^{[ 60 ]}และJ [ ^{61 ]}อนุญาตให้โปรแกรมเมอร์เข้าถึงค่าอนันต์บวกและลบได้อย่างชัดเจนในฐานะค่าคงที่ของภาษา ค่าเหล่านี้สามารถใช้เป็น^{องค์ประกอบ}ที่มากที่สุดและน้อยที่สุดได้ เนื่องจากค่าเหล่านี้เปรียบเทียบ (ตามลำดับ) มากกว่าหรือน้อยกว่าค่าอื่นๆ ทั้งหมด พวกมันมีประโยชน์ในฐานะค่าบ่งชี้ในอัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องกับการเรียงลำดับการค้นหาหรือ การ สร้าง หน้าต่าง

ในภาษาโปรแกรมที่ไม่มีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุด แต่ยอมให้มีการโอเวอร์โหลดตัวดำเนินการเชิงสัมพันธ์โปรแกรมเมอร์สามารถสร้างค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดได้ ในภาษาโปรแกรมที่ไม่ได้ให้การเข้าถึงค่าดังกล่าวอย่างชัดเจนจากสถานะเริ่มต้นของโปรแกรม แต่มีการใช้งานชนิดข้อมูล จุดลอยตัว ค่าอนันต์อาจยังคงสามารถเข้าถึงและใช้งานได้เป็นผลลัพธ์จากการดำเนินการบางอย่าง

ในทางการเขียนโปรแกรมลูปอนันต์คือลูปที่เงื่อนไขการออกจากลูปไม่เคยเป็นจริง ทำให้ลูปทำงานไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด

งานศิลปะ ทัศนียภาพใช้แนวคิดของจุดหายไปซึ่งโดยประมาณแล้วสอดคล้องกับจุดทางคณิตศาสตร์ที่ระยะอนันต์ซึ่งตั้งอยู่ที่ระยะอนันต์จากผู้สังเกต สิ่งนี้ช่วยให้ศิลปินสามารถสร้างภาพวาดที่แสดงพื้นที่ ระยะทาง และรูปทรงได้อย่างสมจริง^{[ 62 ]}ศิลปินMC Escherเป็นที่รู้จักเป็นพิเศษในการใช้แนวคิดของระยะอนันต์ในงานของเขาในลักษณะนี้และลักษณะอื่นๆ^{[ 63 ]}

หมากรุกรูปแบบต่างๆที่เล่นบนกระดานที่ไม่มีขอบเขตเรียกว่าหมากรุกอนันต์^{[ 64 ] [ 65 ]}

นักวิทยาศาสตร์ด้านความรู้ความเข้าใจGeorge Lakoffพิจารณาแนวคิดเรื่องอนันต์ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ว่าเป็นอุปมาอุปไมย มุมมองนี้อิงตามอุปมาอุปไมยพื้นฐานของอนันต์ (BMI) ซึ่งกำหนดเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ <1, 2, 3, …> ^{[ 66 ]}

ลองค้นหาคำว่า "อินฟินิตี้"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

วิกิบุ๊กมีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อที่ว่า: อนันต์ไม่ใช่ตัวเลข

• Fieser, James; Dowden, Bradley (บรรณาธิการ). "The Infinite" . สารานุกรมปรัชญาออนไลน์ . ISSN  2161-0002 . OCLC  37741658 .
• InfinityในรายการIn Our Timeทางช่องBBC
• บทความเร่งรัดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของเซตอนันต์ (A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets) ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 27 กุมภาพันธ์ 2010 ที่Wayback Machineโดย Peter Suber จาก St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59 ภาคผนวกแยกต่างหากของ Infinite Reflectionsด้านล่าง บทนำโดยย่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของเซตอนันต์ของ Cantor
• Infinite Reflections เก็บถาวรเมื่อวันที่ 5 พฤศจิกายน 2009 ที่Wayback Machineโดย Peter Suber คณิตศาสตร์ของแคนเตอร์เกี่ยวกับอนันต์แก้ปัญหาทางปรัชญาโบราณเกี่ยวกับอนันต์ได้อย่างไร จาก St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59
• Grime, James. "Infinity is bigger than you think" . Numberphile . Brady Haran . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2017-10-22 . เรียกดูเมื่อ2013-04-06 .
• โรงแรมอินฟินิตี้
• John J. O'Connor และ Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' เก็บถาวรเมื่อ 2006-09-16 ที่Wayback Machine , คลังข้อมูลประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor
• John J. O'Connor และ Edmund F. Robertson (2000). 'คณิตศาสตร์ของไจนา' เก็บถาวรเมื่อ 2008-12-20 ที่Wayback Machine , คลังข้อมูลประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ของ MacTutor
• Ian Pearce (2002). 'Jainism' , MacTutor History of Mathematics archive .
• ปริศนาแห่งอาเลฟ: คณิตศาสตร์ คับบาลาห์ และการแสวงหาอนันต์
• พจนานุกรมแห่งอนันต์ (รวบรวมบทความเกี่ยวกับอนันต์ในสาขาฟิสิกส์ คณิตศาสตร์ และปรัชญา)