ในปรัชญาคณิตศาสตร์ลัทธิตรรกะนิยมเป็นสำนักคิดที่ประกอบด้วยวิทยานิพนธ์อย่างน้อยหนึ่งข้อที่ว่า – สำหรับความหมายที่สอดคล้องกันของ ' ตรรกะ ' – คณิตศาสตร์เป็นส่วนขยายของตรรกะ คณิตศาสตร์บางส่วนหรือทั้งหมดสามารถลดทอนเป็นตรรกะได้ หรือคณิตศาสตร์บางส่วนหรือทั้งหมดสามารถจำลองได้ในตรรกะ^{[ 1 ]}เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์และอัลเฟรด นอร์ท ไวท์เฮดสนับสนุนโครงการนี้ ซึ่งริเริ่มโดยก็อตต์ล็อบ เฟรเกและต่อมาได้รับการพัฒนาโดยริชาร์ด เดเดคินด์และจูเซปเป เปอาโน

เส้นทางสู่ลัทธิตรรกศาสตร์ของเดเดคินด์มีจุดเปลี่ยนเมื่อเขาสามารถสร้างแบบจำลองที่สอดคล้องกับสัจพจน์ ที่บ่ง บอกลักษณะของจำนวนจริงโดยใช้เซตของจำนวนตรรกยะ บางเซต แนวคิดนี้และแนวคิดที่เกี่ยวข้องทำให้เขามั่นใจว่าเลขคณิตพีชคณิตและการวิเคราะห์สามารถลดทอนลงเหลือเพียงจำนวนธรรมชาติ บวกกับ " ตรรกศาสตร์ " ของกลุ่มได้ ยิ่งไปกว่านั้น ในปี 1872 เขายังสรุปได้ว่าจำนวนธรรมชาติเองก็สามารถลดทอนลงเหลือเพียงเซตและการจับคู่ได้เป็นไปได้ว่านักตรรกศาสตร์คนอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเฟรเก ก็ได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีใหม่ของจำนวนจริงที่ตีพิมพ์ในปี 1872 เช่นกัน

แรงผลักดันทางปรัชญาเบื้องหลังโครงการตรรกศาสตร์ของเฟรเกตั้งแต่หนังสือGrundgesetze der Arithmetikเป็นต้นมา ส่วนหนึ่งเกิดจากความไม่พอใจของเขาต่อ ข้อผูกมัด ทางญาณวิทยาและ ภว วิทยาของคำอธิบายเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติที่มีอยู่ในขณะนั้น และความเชื่อมั่นของเขาที่ว่าการที่คานท์ใช้ความจริงเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่างของความจริงเชิงสังเคราะห์ก่อนประสบการณ์นั้นไม่ถูกต้อง

นี่เป็นจุดเริ่มต้นของยุคขยายตัวของลัทธิตรรกศาสตร์ โดยมีเดเดคินด์และเฟรเกเป็นผู้บุกเบิกหลัก อย่างไรก็ตาม ระยะเริ่มต้นของโครงการลัทธิตรรกศาสตร์นี้ประสบวิกฤตเมื่อมีการค้นพบความขัดแย้งแบบคลาสสิกของทฤษฎีเซต ( ของแคนเตอร์ในปี 1896 และของเซอร์เมโลและรัสเซลในปี 1900–1901) เฟรเกล้มเลิกโครงการหลังจากที่รัสเซลตระหนักและสื่อสารความขัดแย้งของเขา โดยระบุถึงความไม่สอดคล้องกันในระบบของเฟรเกที่กำหนดไว้ในGrundgesetze der Arithmetikโปรดทราบว่าทฤษฎีเซตแบบง่ายก็ประสบปัญหาเช่นเดียวกันนี้

ในทางกลับกัน รัสเซลล์เขียนหนังสือThe Principles of Mathematicsในปี พ.ศ. 2446 โดยใช้ความขัดแย้งและพัฒนาการของ สำนัก เรขาคณิตของจูเซปเป เปอาโน เนื่องจากเขากล่าวถึงแนวคิดพื้นฐานในเรขาคณิตและทฤษฎีเซต รวมถึงแคลคูลัสของความสัมพันธ์หนังสือเล่มนี้จึงเป็นจุดเปลี่ยนสำคัญในการพัฒนาลัทธิตรรกะนิยม หลักฐานของการยืนยันลัทธิตรรกะนิยมถูกรวบรวมโดยรัสเซลล์และไวท์เฮดในหนังสือPrincipia Mathematica ของพวกเขา ^{[ 2 ]}

ในปัจจุบัน เชื่อกันว่าคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่มีอยู่สามารถอนุมานได้ทางตรรกะจากสัจพจน์นอกตรรกะจำนวนเล็กน้อย เช่น สัจพจน์ของทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel (หรือส่วนขยายZFC ) ซึ่งยังไม่พบความไม่สอดคล้องกันใดๆ ดังนั้น องค์ประกอบของโครงการตรรกศาสตร์จึงพิสูจน์แล้วว่าใช้ได้ แต่ในกระบวนการนี้ ทฤษฎีเกี่ยวกับชั้น เซต และการแมป รวมถึงตรรกศาสตร์ลำดับสูงอื่นๆ นอกเหนือจากความหมายแบบ Henkinได้ถูกมองว่าเป็นสิ่งที่อยู่นอกตรรกะโดยส่วนหนึ่งภายใต้อิทธิพลของความคิดในภายหลังของ Quine

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเคิร์ต เกอเดลแสดงให้เห็นว่าไม่มีระบบที่เป็นทางการใดๆ ที่ สามารถอนุมาน สัจพจน์ของพีอาโนสำหรับจำนวนธรรมชาติได้ เช่น ระบบของรัสเซลในPM ที่สามารถตัดสิน ประโยคที่สมบูรณ์ทั้งหมดของระบบนั้นได้^{[ 3 ]}ผลลัพธ์นี้ทำลายโครงการของเดวิด ฮิลเบิร์ต สำหรับ รากฐานของคณิตศาสตร์ซึ่งทฤษฎี 'อนันต์' เช่น ทฤษฎีของPMจะต้องได้รับการพิสูจน์ว่าสอดคล้องกับทฤษฎีจำกัด โดยมีเป้าหมายเพื่อ ให้ ผู้ที่ไม่สบายใจเกี่ยวกับ 'วิธีการอนันต์'มั่นใจได้ว่าการใช้งานจะไม่ส่งผลให้เกิดการอนุมานความขัดแย้งผลลัพธ์ของเกอเดลชี้ให้เห็นว่า เพื่อรักษาสถานะของนักตรรกศาสตร์ ในขณะที่ยังคงรักษาคณิตศาสตร์คลาสสิกไว้ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เราต้องยอมรับสัจพจน์ของอนันต์ บางอย่าง เป็นส่วนหนึ่งของตรรกศาสตร์ ในทางตรง สิ่งนี้ทำลายโครงการของนักตรรกศาสตร์เช่นกัน แม้ว่าจะเฉพาะสำหรับผู้ที่สงสัยเกี่ยวกับ 'วิธีการอนันต์' อยู่แล้วก็ตาม ถึงกระนั้น แนวคิดที่ได้มาจากทั้งลัทธิตรรกะนิยมและลัทธิจำกัดแบบฮิลเบิร์ตก็ยังคงถูกนำเสนออย่างต่อเนื่องนับตั้งแต่การตีพิมพ์ผลงานของเกอเดล

ข้อโต้แย้งหนึ่งที่ว่าโปรแกรมที่ได้มาจากตรรกะนิยมยังคงใช้ได้อาจเป็นเพราะทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์นั้น 'ได้รับการพิสูจน์ด้วยตรรกะ เช่นเดียวกับ ทฤษฎีบทอื่นๆ' อย่างไรก็ตาม ข้อโต้แย้งดังกล่าวดูเหมือนจะไม่ยอมรับความแตกต่างระหว่างทฤษฎีบทของตรรกะลำดับที่หนึ่งและทฤษฎีบทของตรรกะลำดับที่สูงกว่าทฤษฎีบทแรกสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีการจำกัด ในขณะที่ทฤษฎีบทหลังโดยทั่วไปไม่สามารถ พิสูจน์ได้ ทฤษฎีบทที่ไม่สามารถนิยามได้ของ Tarskiแสดงให้เห็นว่าการกำหนดหมายเลขของ Gödel สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ โครงสร้าง ทางไวยากรณ์ได้แต่ไม่ใช่ การยืนยัน ความหมายดังนั้น การอ้างว่าตรรกะนิยมยังคงเป็นโปรแกรมที่ใช้ได้อาจทำให้เราต้องถือว่าระบบการพิสูจน์ที่อิงกับการมีอยู่และคุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติมีความน่าเชื่อถือน้อยกว่าระบบที่อิงกับระบบที่เป็นทางการเฉพาะบางระบบ^{[ 4 ]}

ลัทธิตรรกะนิยม โดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านอิทธิพลของ Frege ที่มีต่อ Russell และWittgenstein ^{[ 5 ]}และต่อมา Dummett ถือเป็นผู้มีส่วนสำคัญต่อการพัฒนาปรัชญาเชิงวิเคราะห์ในช่วงศตวรรษที่ 20

Ivor Grattan-Guinnessระบุว่าคำภาษาฝรั่งเศส 'Logistique' นั้น "ได้รับการแนะนำโดยCouturatและคนอื่นๆ ในการประชุมปรัชญานานาชาติ ปี 1904 และ Russell และคนอื่นๆ ได้นำไปใช้ต่อจากนั้น ในรูปแบบที่เหมาะสมกับภาษาต่างๆ" (GG 2000:501)

เห็นได้ชัดว่าการใช้งานครั้งแรก (และครั้งเดียว) โดยรัสเซลปรากฏในงานเขียนของเขาในปี 1919: "รัสเซลอ้างถึงเฟรเกหลายครั้ง โดยแนะนำเขาว่าเป็นผู้ 'ที่ประสบความสำเร็จในการ "ทำให้คณิตศาสตร์เป็นตรรกะ" เป็นคนแรก' (หน้า 7) นอกเหนือจากการตีความผิด (ซึ่งรัสเซลแก้ไขบางส่วนโดยการอธิบายมุมมองของเขาเองเกี่ยวกับบทบาทของเลขคณิตในคณิตศาสตร์) ข้อความนี้โดดเด่นด้วยคำที่เขาใส่เครื่องหมายอัญประกาศ แต่การมีอยู่ของเครื่องหมายอัญประกาศบ่งบอกถึงความประหม่า และเขาไม่เคยใช้คำนี้อีกเลย ดังนั้น 'ตรรกะนิยม' จึงไม่ได้เกิดขึ้นจนกระทั่งช่วงปลายทศวรรษ 1920" (GG 2002:434) ^{[ 6 ]}

ในช่วงเวลาเดียวกันกับรูดอล์ฟ คาร์แนป (1929) แต่ดูเหมือนว่าจะเกิดขึ้นโดยอิสระ แฟรงเคิล (1928) ก็ใช้คำนี้เช่นกัน โดยระบุว่า "เขาใช้ชื่อ 'ลัทธิตรรกะ' เพื่ออธิบายแนวคิดของไวท์เฮด/รัสเซลล์โดยไม่มีคำอธิบายใดๆ (ในหัวข้อของส่วนที่หน้า 244 และคำอธิบายที่หน้า 263)" (GG 2002:269) คาร์แนปใช้คำที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยคือ 'Logistik' เบห์มันน์บ่นเกี่ยวกับการใช้คำนี้ในต้นฉบับของคาร์แนป ดังนั้นคาร์แนปจึงเสนอคำว่า 'Logizismus' แต่ในที่สุดเขาก็เลือกใช้คำว่า 'Logistik' ต่อไป (GG 2002:501) โดยสรุปแล้ว "การแพร่กระจายส่วนใหญ่เกิดจากคาร์แนป ตั้งแต่ปี 1930 เป็นต้นไป" (GG 2000:502)

เจตนารมณ์ที่ชัดเจนของลัทธิตรรกะนิยมคือการอนุมานคณิตศาสตร์ทั้งหมดจากตรรกะเชิงสัญลักษณ์ (Frege, Dedekind, Peano, Russell) ซึ่งแตกต่างจากตรรกะเชิงพีชคณิต ( ตรรกะบูลีน ) ที่ใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ตรรกะเชิงสัญลักษณ์เริ่มต้นด้วยชุดเครื่องหมายที่ลดลงมาก (สัญลักษณ์ที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์) สัจพจน์ "เชิงตรรกะ" เพียงไม่กี่ข้อที่รวบรวม "กฎแห่งความคิด" และกฎการอนุมานที่กำหนดวิธีการประกอบและจัดการเครื่องหมายเหล่านั้น เช่น การแทนที่และmodus ponens (เช่น จาก [1] Aบ่งชี้B อย่างมีนัยสำคัญ และ [2] Aก็สามารถอนุมานBได้) ลัทธิตรรกะนิยมยังนำเอาพื้นฐานของ Frege มาใช้ในการลดทอนประโยคภาษาธรรมชาติจาก "ประธาน|ภาคแสดง" ไปเป็น "อะตอม" เชิงประพจน์หรือ "อาร์กิวเมนต์|ฟังก์ชัน" ของ "การสรุปทั่วไป" ซึ่งได้แก่แนวคิด " ทั้งหมด " " บางส่วน " "ชั้น" (การรวบรวม การรวม) และ "ความสัมพันธ์"

ในการพิสูจน์จำนวนธรรมชาติและคุณสมบัติของมันตามหลักตรรกศาสตร์นั้น ไม่ควรมี "สัญชาตญาณ" เกี่ยวกับจำนวน "แอบแฝง" เข้ามา ไม่ว่าจะเป็นในฐานะสัจพจน์หรือโดยบังเอิญ เป้าหมายคือการพิสูจน์คณิตศาสตร์ทั้งหมด เริ่มต้นจากจำนวนนับและจากนั้นจำนวนจริง จาก "กฎแห่งความคิด" ที่เลือกไว้เท่านั้น โดยปราศจากสมมติฐานโดยปริยายเกี่ยวกับ "ก่อน" และ "หลัง" หรือ "น้อยกว่า" และ "มากกว่า" หรือที่สำคัญกว่านั้นคือ "ผู้สืบทอด" และ "ผู้มาก่อน" เกอเดล (Gödel 1944) สรุป "การสร้าง" ตามหลักตรรกศาสตร์ของรัสเซลล์ เมื่อเปรียบเทียบกับ "การสร้าง" ในระบบพื้นฐานของลัทธิสัญชาตญาณนิยมและลัทธิรูปนิยม ("สำนักฮิลเบิร์ต") ดังนี้ "ทั้งสองสำนักนี้สร้างโครงสร้างของตนบนพื้นฐานของสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ ซึ่งการหลีกเลี่ยงสัญชาตญาณนั้นเป็นหนึ่งในเป้าหมายหลักของลัทธิสร้างสรรค์นิยม ของรัสเซลล์ " (Gödel 1944 ในCollected Works 1990:119)

Gödel ในปี 1944 สรุปภูมิหลังทางประวัติศาสตร์จากLeibnizในCharacteristica universalisผ่าน Frege และ Peano ไปจนถึง Russell ว่า "Frege สนใจการวิเคราะห์ความคิดเป็นหลัก และใช้แคลคูลัสของเขาเป็นครั้งแรกเพื่อหาอนุพันธ์ของเลขคณิตจากตรรกะบริสุทธิ์" ในขณะที่ Peano "สนใจการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์มากกว่า" แต่ "มีเพียงPrincipia Mathematica ของ [Russell] เท่านั้น ที่ใช้ประโยชน์จากวิธีการใหม่นี้อย่างเต็มที่เพื่อหาอนุพันธ์ของคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จากแนวคิดและสัจพจน์เชิงตรรกะเพียงไม่กี่ข้อ นอกจากนี้วิทยาศาสตร์ ที่ยังเยาว์วัยนี้ ยังได้รับการเสริมคุณค่าด้วยเครื่องมือใหม่ นั่นคือ ทฤษฎีความสัมพันธ์เชิงนามธรรม" (หน้า 120–121)

Kleene (1952) กล่าวไว้ดังนี้: "Leibniz (1666) เป็นคนแรกที่คิดว่าตรรกศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ประกอบด้วยแนวคิดและหลักการพื้นฐานของวิทยาศาสตร์อื่นๆ ทั้งหมด Dedekind (1888) และ Frege (1884, 1893, 1903) มีส่วนร่วมในการกำหนดแนวคิดทางคณิตศาสตร์ในแง่ของแนวคิดทางตรรกศาสตร์ และ Peano (1889, 1894–1908) มีส่วนร่วมในการแสดงทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ในสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์" (หน้า 43) ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เขารวม Russell และ Whitehead ไว้เป็นตัวอย่างของ "สำนักตรรกศาสตร์" โดยอีกสองสำนัก "พื้นฐาน" คือสำนักสัญชาตญาณนิยมและ "สำนักรูปนิยมหรือสัจพจน์" (หน้า 43)

เฟรเกอ (Frege) อธิบายเจตนาของเขาในคำนำของหนังสือ Begriffsschrift ที่ตีพิมพ์ในปี 1879 ว่า เขาเริ่มต้นด้วยการพิจารณาเลขคณิต: มันมาจาก "ตรรกะ" หรือจาก "ข้อเท็จจริงจากประสบการณ์" กันแน่?

ก่อนอื่น ผมต้องตรวจสอบว่าเราสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไปได้ไกลแค่ไหนโดยอาศัยการอนุมานเพียงอย่างเดียว โดยอาศัยเพียงกฎแห่งความคิดที่อยู่เหนือรายละเอียดปลีกย่อยทั้งปวง ขั้นตอนแรกของผมคือการพยายามลดแนวคิดของการเรียงลำดับในลำดับให้เหลือเพียง ผลลัพธ์ เชิงตรรกะเพื่อที่จะก้าวไปสู่แนวคิดของจำนวน จากนั้น เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งใดที่มาจากสัญชาตญาณแทรกซึมเข้ามาโดยไม่ทันสังเกต ผมต้องพยายามอย่างเต็มที่เพื่อให้ห่วงโซ่ของการอนุมานปราศจากช่องว่าง ... ผมพบว่าความไม่เพียงพอของภาษาเป็นอุปสรรค ไม่ว่าผมจะยอมรับสำนวนที่ซับซ้อนเพียงใด ผมก็ยิ่งไม่สามารถบรรลุความแม่นยำที่จุดประสงค์ของผมต้องการได้ เมื่อความสัมพันธ์ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ ข้อบกพร่องนี้ทำให้ผมเกิดความคิดเกี่ยวกับอักษรภาพในปัจจุบัน จุดประสงค์แรกของมันคือการจัดหาเครื่องมือทดสอบที่น่าเชื่อถือที่สุดสำหรับความถูกต้องของห่วงโซ่การอนุมาน และชี้ให้เห็นถึงข้อสันนิษฐานทุกอย่างที่พยายามแอบเข้ามาโดยไม่ทันสังเกต

เดเดคินด์ (Dedekind) อธิบายเจตนาของเขาในคำนำฉบับพิมพ์ครั้งแรกของหนังสือ"ธรรมชาติและความหมายของตัวเลข" (The Nature and Meaning of Numbers ) ในปี 1887 ว่า "รากฐานของวิทยาศาสตร์ที่ง่ายที่สุด นั่นคือส่วนของตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีของตัวเลข" ยังไม่ได้มีการโต้แย้งอย่างเหมาะสม – "ไม่มีสิ่งใดที่สามารถพิสูจน์ได้ ควรได้รับการยอมรับโดยปราศจากหลักฐาน"

ในการกล่าวถึงเลขคณิต (พีชคณิต การวิเคราะห์) ในฐานะส่วนหนึ่งของตรรกศาสตร์นั้น ข้าพเจ้าหมายความว่า ข้าพเจ้าพิจารณาแนวคิดเรื่องจำนวนอย่างเป็นอิสระโดยสิ้นเชิงจากแนวคิดเรื่องพื้นที่และเวลา ข้าพเจ้าพิจารณาว่ามันเป็นผลลัพธ์โดยตรงจากกฎแห่งความคิด ... จำนวนเป็นสิ่งที่สร้างขึ้นอย่างอิสระจากจิตใจมนุษย์ ... [และ] เฉพาะผ่านกระบวนการทางตรรกะล้วนๆ ในการสร้างวิทยาศาสตร์แห่งจำนวน ... เราจึงพร้อมที่จะตรวจสอบแนวคิดเรื่องพื้นที่และเวลาของเราได้อย่างแม่นยำ โดยนำแนวคิดเหล่านั้นมาเชื่อมโยงกับขอบเขตของจำนวนที่สร้างขึ้นในจิตใจของเรา

เปอาโน (Peano) ระบุเจตนารมณ์ของเขาไว้ในคำนำของหนังสือหลักการทางคณิตศาสตร์ (Principles of Arithmetic) ฉบับปี 1889 ว่า:

คำถามที่เกี่ยวข้องกับพื้นฐานของคณิตศาสตร์ แม้ว่าจะมีผู้คนมากมายได้ศึกษาค้นคว้ามาแล้วในปัจจุบัน แต่ก็ยังขาดคำตอบที่น่าพอใจ สาเหตุหลักของความยากลำบากนี้มาจากความกำกวมของภาษา

ด้วยเหตุนี้ การพิจารณาถ้อยคำที่เราใช้อย่างถี่ถ้วนจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง เป้าหมายของฉันคือการดำเนินการตรวจสอบนี้

รัสเซลล์ได้อธิบายเจตนาของเขาไว้ในคำนำของหนังสือหลักการคณิตศาสตร์ (Principles of Mathematics) ฉบับปี 1903 ว่า:

งานวิจัยชิ้นนี้มีวัตถุประสงค์หลักสองประการ ประการแรกคือการพิสูจน์ว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ทั้งหมด เกี่ยวข้องเฉพาะกับแนวคิดที่สามารถนิยามได้โดยใช้แนวคิดเชิงตรรกะพื้นฐานจำนวนน้อยมาก และประพจน์ทั้งหมดของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์นั้นสามารถอนุมานได้จากหลักการเชิงตรรกะพื้นฐานจำนวนน้อยมาก

การกล่าวถึงที่มาของงานวิจัยชิ้นนี้สักเล็กน้อย อาจช่วยแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของประเด็นที่กำลังถกเถียงกันอยู่ เมื่อประมาณหกปีก่อน ผมได้เริ่มทำการศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับปรัชญาของพลศาสตร์ ... [จากสองคำถาม – ความเร่งและการเคลื่อนที่สัมบูรณ์ใน "ทฤษฎีเชิงสัมพันธ์ของพื้นที่"] ทำให้ผมได้กลับมาพิจารณาหลักการของเรขาคณิตอีกครั้ง จากนั้นจึงศึกษาปรัชญาของความต่อเนื่องและอนันต์ และต่อมา เพื่อค้นหาความหมายของคำว่า"ใดๆ"จึงได้ศึกษาตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์

ญาณวิทยาของเดเดคินด์และเฟรเกดูเหมือนจะไม่ชัดเจนเท่ากับของรัสเซลล์ แต่ทั้งสองดูเหมือนจะยอมรับ "กฎแห่งความคิด" ตามธรรมเนียมเกี่ยวกับข้อความเชิงประพจน์ง่ายๆ (โดยปกติคือความเชื่อ) โดยไม่จำเป็นต้องมีหลักฐานล่วงหน้า กฎเหล่านี้จะเพียงพอในตัวเองหากเสริมด้วยทฤษฎีของชั้นและความสัมพันธ์ (เช่นx R y ) ระหว่างบุคคลxและyที่เชื่อมโยงกันโดยการสรุปทั่วไป R

ข้อโต้แย้งของเดเดคินด์เริ่มต้นด้วย "1. ต่อไปนี้ ข้าพเจ้าเข้าใจว่าสิ่งหมาย ถึง วัตถุทุกอย่างในความคิดของเรา" มนุษย์เราใช้สัญลักษณ์เพื่อพูดคุยเกี่ยวกับ "สิ่งต่างๆ" ในจิตใจของเรา "สิ่งหนึ่งถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยทุกสิ่งที่สามารถยืนยันหรือคิดเกี่ยวกับมันได้" (หน้า 44) ในย่อหน้าถัดมา เดเดคินด์กล่าวถึงสิ่งที่ "ระบบSคืออะไร: มันคือกลุ่ม สิ่งที่หลากหลาย ความสมบูรณ์ขององค์ประกอบ (สิ่งต่างๆ) ที่เกี่ยวข้องa , b , c " เขาอ้างว่า "ระบบS ดังกล่าว ... ในฐานะวัตถุแห่งความคิดของเราก็เป็นสิ่งหนึ่งเช่นกัน (1) มันถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์เมื่อพิจารณาจากทุกสิ่งทุกอย่างว่ามันมีองค์ประกอบของSหรือไม่*" (หน้า 45, ตัวเอียง) เครื่องหมาย * แสดงถึงเชิงอรรถที่เขาระบุว่า:

เมื่อไม่นานมานี้ Kronecker ( Crelle's Journal , Vol. 99, pp. 334–336) ได้พยายามกำหนดข้อจำกัดบางประการต่อการสร้างแนวคิดอย่างอิสระในคณิตศาสตร์ ซึ่งผมไม่เชื่อว่าจะเป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล

อันที่จริง เขาเฝ้ารอให้โครเนกเกอร์ "เผยแพร่เหตุผลของเขาเกี่ยวกับความจำเป็นหรือเพียงแค่ความเหมาะสมของข้อจำกัดเหล่านี้" (หน้า 45)

Kronecker ผู้มีชื่อเสียงจากการยืนยันว่า " พระเจ้าสร้างจำนวนเต็ม สิ่งอื่น ๆ ทั้งหมดเป็นผลงานของมนุษย์" ^{[ 7 ]}มีศัตรูหลายคน หนึ่งในนั้นคือ Hilbert Hilbert เรียก Kronecker ว่าเป็น " นักด็อกมาติสต์ในแง่ที่ว่าเขายอมรับจำนวนเต็มที่มีคุณสมบัติที่สำคัญเป็นด็อกมาและไม่มองย้อนกลับไป" ^{[ 8 ]}และเปรียบเทียบจุดยืนแบบสร้างสรรค์นิยมสุดขั้วของเขากับลัทธิสัญชาตญาณนิยม ของ Brouwer โดยกล่าวหาทั้งคู่ว่าเป็น "ลัทธิอัตวิสัย": "ภารกิจส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์คือการปลดปล่อยเราจากความไม่แน่นอน อารมณ์ และนิสัย และปกป้องเราจากลัทธิอัตวิสัยที่ปรากฏให้เห็นแล้วในมุมมองของ Kronecker และดูเหมือนว่ามันจะถึงจุดสูงสุดในลัทธิสัญชาตญาณนิยม" ^{[ 9 ]}จากนั้นฮิลเบิร์ตก็กล่าวว่า "คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ไม่มีสมมติฐานใดๆ ในการสร้างมันขึ้นมา ฉันไม่ต้องการพระเจ้า เหมือนกับที่โครเนกเกอร์ต้องการ" (หน้า 479)

แนวคิดสัจนิยมของรัสเซลทำหน้าที่เป็นยาแก้พิษสำหรับแนวคิดอุดมคติ ของอังกฤษ [ ^{10 ]}โดยมีส่วนที่ยืมมาจากแนวคิดเหตุผลนิยม ของยุโรป และแนวคิดประสบการณ์นิยมของอังกฤษ^[ 11 ] ^{เริ่มต้นด้วย} “รัสเซลเป็นนักสัจนิยมเกี่ยวกับประเด็นสำคัญสองประเด็น ได้แก่ สากลและวัตถุ” (รัสเซล 1912:xi) สำหรับรัสเซล ตารางเป็นสิ่งที่มีอยู่จริงซึ่งดำรงอยู่โดยอิสระจากรัสเซลในฐานะผู้สังเกตการณ์ แนวคิดเหตุผลนิยมจะสนับสนุนแนวคิดความรู้ก่อนประสบการณ์^{[ 12 ]}ในขณะที่แนวคิดประสบการณ์นิยมจะสนับสนุนบทบาทของความรู้จากประสบการณ์ (การเหนี่ยวนำจากประสบการณ์) ^{[ 13 ]}รัสเซลยกย่องคานท์ในเรื่องแนวคิดความรู้ก่อนประสบการณ์ แต่เขาเสนอข้อโต้แย้งต่อคานท์ที่เขาถือว่า “ร้ายแรง”: “ข้อเท็จจริง [ของโลก] ต้องสอดคล้องกับตรรกะและเลขคณิตเสมอ การกล่าวว่าตรรกะและเลขคณิตมาจากเรานั้นไม่สามารถอธิบายสิ่งนี้ได้” (1912:87) รัสเซลสรุปว่าความ รู้ เชิงอภิปรัชญาที่เรามีนั้น "เกี่ยวกับสิ่งต่างๆ ไม่ใช่เพียงแค่ความคิด" (1912:89) และในเรื่องนี้ ญาณวิทยาของรัสเซลดูเหมือนจะแตกต่างจากความเชื่อของเดเดคินด์ที่ว่า "ตัวเลขเป็นการสร้างสรรค์อย่างอิสระของจิตใจมนุษย์" (เดเดคินด์ 1887:31) ^{[ 14 ]}

แต่ญาณวิทยาของเขาเกี่ยวกับสิ่งที่ติดตัวมาแต่กำเนิด (เขาชอบใช้คำว่าa prioriเมื่อนำไปใช้กับหลักการทางตรรกะ เช่น 1912:74) นั้นซับซ้อน เขาจะแสดงการสนับสนุนอย่างหนักแน่นและไม่คลุมเครือต่อ "สากล" ของเพลโต (เช่น 1912:91–118) และเขาจะสรุปว่าความจริงและความเท็จนั้น "มีอยู่ภายนอก" จิตใจสร้างความเชื่อและสิ่งที่ทำให้ความเชื่อเป็นจริงคือข้อเท็จจริง "และข้อเท็จจริงนี้ไม่เกี่ยวข้องกับจิตใจของบุคคลที่มีความเชื่อ (ยกเว้นในกรณีพิเศษ)" (1912:130)

รัสเซลล์ได้แนวคิดทางญาณวิทยาเหล่านี้มาจากไหน? เขาบอกเราไว้ในคำนำของหนังสือหลักการคณิตศาสตร์ ปี 1903 ของเขา โปรดสังเกตว่าเขาอ้างว่าความเชื่อที่ว่า "เอมิลี่เป็นกระต่าย" นั้นไม่มีอยู่จริง แต่ความจริงของข้อเสนอที่ไม่มีอยู่จริงนี้เป็นอิสระจากจิตใจที่รู้แจ้งใดๆ หากเอมิลี่เป็นกระต่ายจริงๆ ข้อเท็จจริงของความจริงนี้มีอยู่ไม่ว่ารัสเซลล์หรือจิตใจอื่นๆ จะยังมีชีวิตอยู่หรือตายไปแล้ว และความสัมพันธ์ของเอมิลี่กับความเป็นกระต่ายนั้นเป็น "ที่สุดแล้ว"

ในประเด็นพื้นฐานของปรัชญา จุดยืนของผมในทุกแง่มุมหลักนั้น มาจากคุณ GE Moore ผมยอมรับจากเขาถึง ธรรมชาติ ที่ไม่ดำรงอยู่ของประพจน์ (ยกเว้นประพจน์ที่กล่าวถึงการดำรงอยู่) และความเป็นอิสระของประพจน์จากจิตใจที่รู้แจ้งใดๆ รวมถึงลัทธิพหุนิยมที่มองโลก ทั้งโลกของสิ่งที่มีอยู่และโลกของสิ่งต่างๆ ว่าประกอบด้วยสิ่งต่างๆ ที่เป็นอิสระต่อกันจำนวนอนันต์ โดยมีความสัมพันธ์ที่เป็นที่สุด และไม่สามารถลดทอนลงเหลือเพียงคำคุณศัพท์ของส่วนประกอบหรือของทั้งหมดที่ประกอบขึ้นจากสิ่งเหล่านั้นได้ ... หลักการที่กล่าวมาข้างต้นนั้น ในความคิดของผม เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้สำหรับปรัชญาคณิตศาสตร์ที่น่าพอใจอย่างน้อยก็ในระดับหนึ่ง ดังที่ผมหวังว่าหน้าต่อไปนี้จะแสดงให้เห็น ... ในเชิงรูปแบบ ข้อสมมติของผมเป็นเพียงการสันนิษฐาน แต่ข้อเท็จจริงที่ว่าข้อสมมติเหล่านี้ทำให้คณิตศาสตร์เป็นจริงได้ ซึ่งปรัชญาส่วนใหญ่ในปัจจุบันทำไม่ได้ ย่อมเป็นข้อโต้แย้งที่ทรงพลังอย่างแน่นอนในการสนับสนุนข้อสมมติของผม

ในปี ค.ศ. 1902 รัสเซลล์ค้นพบ "วงจรชั่วร้าย" ( ปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์ ) ในหนังสือ Grundgesetze der Arithmetik ของเฟรเก ซึ่งได้มาจากกฎพื้นฐานข้อที่ 5 ของเฟรเก และเขามุ่งมั่นที่จะไม่ให้เกิดซ้ำอีกในหนังสือPrinciples of Mathematics ฉบับปี ค.ศ. 1903 ของเขา ในภาคผนวกสองส่วนที่เพิ่มเข้ามาในนาทีสุดท้าย เขาได้อุทิศ 28 หน้าให้กับการวิเคราะห์อย่างละเอียดเกี่ยวกับทฤษฎีของเฟรเกที่เปรียบเทียบกับทฤษฎีของเขาเอง และวิธีแก้ไขปรากฏการณ์ขัดแย้งดังกล่าว แต่เขาก็ไม่ได้มองโลกในแง่ดีเกี่ยวกับผลลัพธ์:

ในกรณีของชนชั้นนั้น ผมต้องสารภาพว่า ผมยังไม่พบแนวคิดใดที่ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับแนวคิดเรื่องชนชั้น และความขัดแย้งที่กล่าวถึงในบทที่ 10 พิสูจน์ให้เห็นว่ามีบางอย่างผิดปกติ แต่ผมยังหาคำตอบไม่ได้ว่าความผิดปกตินั้นคืออะไร

เกอเดลในงานเขียนปี 1944 ของเขาคงไม่เห็นด้วยกับรัสเซลล์รุ่นเยาว์ในปี 1903 (“สมมติฐานของฉันอนุญาตให้คณิตศาสตร์เป็นจริงได้”) แต่เขาน่าจะเห็นด้วยกับคำกล่าวของรัสเซลล์ที่ยกมาข้างต้น (“มีบางอย่างผิดปกติ”) ทฤษฎีของรัสเซลล์ล้มเหลวในการวางรากฐานที่น่าพอใจของคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์ที่ได้คือ “โดยพื้นฐานแล้วเป็นลบ กล่าวคือ กลุ่มและแนวคิดที่นำเสนอในลักษณะนี้ไม่มีคุณสมบัติทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการใช้คณิตศาสตร์” (เกอเดล 1944:132)

รัสเซลมาถึงสถานการณ์นี้ได้อย่างไร? เกอเดลตั้งข้อสังเกตว่ารัสเซลเป็น "นักสัจนิยม" ที่น่าประหลาดใจและมีแง่มุมที่น่าสนใจ: เขาอ้างถึงคำกล่าวของรัสเซลในปี 1919:169 ที่ว่า "ตรรกศาสตร์เกี่ยวข้องกับโลกแห่งความเป็นจริงอย่างแท้จริงเช่นเดียวกับสัตววิทยา" (เกอเดล 1944:120) แต่เขาตั้งข้อสังเกตว่า "เมื่อเขาเริ่มวิเคราะห์ปัญหาที่เป็นรูปธรรม วัตถุที่จะวิเคราะห์ (เช่น กลุ่มหรือประพจน์) ส่วนใหญ่จะกลายเป็น 'เรื่องสมมติเชิงตรรกศาสตร์ ... [หมายความ] เพียงว่าเราไม่มีการรับรู้โดยตรงเกี่ยวกับสิ่งเหล่านั้น" (เกอเดล 1944:120)

ในการสังเกตที่เกี่ยวข้องกับลัทธิตรรกะของรัสเซลล์ เพอร์รีกล่าวว่ารัสเซลล์ผ่านช่วงของลัทธิสัจนิยมสามช่วง ได้แก่ ช่วงสุดขั้ว ช่วงปานกลาง และช่วงสร้างสรรค์ (เพอร์รี 1997:xxv) ในปี 1903 เขาอยู่ในช่วงสุดขั้ว และในปี 1905 เขาจะอยู่ในช่วงปานกลาง ในอีกไม่กี่ปีต่อมา เขาจะ "ละทิ้งวัตถุทางกายภาพหรือวัตถุที่เป็นส่วนประกอบพื้นฐานของเฟอร์นิเจอร์ในโลก เขาจะพยายามสร้างมันขึ้นมาจากข้อมูลทางประสาทสัมผัส" ในหนังสือเล่มถัดไปของเขาเรื่องความรู้ของเราเกี่ยวกับโลกภายนอก [1914] (เพอร์รี 1997:xxvi)

โครงสร้างเหล่านี้ในสิ่งที่เกอเดล (Gödel) เรียกว่า " ลัทธิโครงสร้าง นิยมเชิงนามนิยม ...ซึ่งอาจเรียกได้ว่าลัทธิสมมตินิยม ได้ดีกว่า " มาจาก "แนวคิดที่รุนแรงกว่าของรัสเซลล์ นั่นคือทฤษฎีไร้ชนชั้น" (หน้า 125):

"ซึ่งตามทฤษฎีนี้ ชั้นเรียนหรือแนวคิดต่างๆไม่เคยมีอยู่จริงในฐานะวัตถุ และประโยคที่ประกอบด้วยคำเหล่านี้จะมีความหมายก็ต่อเมื่อสามารถตีความได้ว่าเป็น...วิธีการพูดถึงสิ่งอื่นๆ" (หน้า 125)

ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในส่วนคำวิจารณ์ด้านล่าง

ลัทธิตรรกศาสตร์ของเฟรเกและเดเดคินด์คล้ายคลึงกับของรัสเซลล์ แต่มีความแตกต่างในรายละเอียด (ดูข้อวิจารณ์ด้านล่าง) โดยรวมแล้ว การหาที่มาของจำนวนธรรมชาติโดยใช้ลัทธิตรรกศาสตร์นั้นแตกต่างจากการหาที่มาโดยใช้สัจพจน์ของเซอร์เมโลสำหรับทฤษฎีเซต ('Z') เป็นต้น ในขณะที่ในการหาที่มาโดยใช้ Z นิยามหนึ่งของ "จำนวน" ใช้สัจพจน์ของระบบนั้น – สัจพจน์ของการจับคู่ – ซึ่งนำไปสู่นิยามของ " คู่ลำดับ " – แต่ไม่มี สัจพจน์จำนวน ที่ชัดเจนในระบบสัจพจน์ของลัทธิตรรกศาสตร์ต่างๆ ที่อนุญาตให้หาที่มาของจำนวนธรรมชาติได้ โปรดทราบว่าสัจพจน์ที่จำเป็นในการหาที่มาของนิยามของจำนวนอาจแตกต่างกันไปในแต่ละระบบสัจพจน์สำหรับทฤษฎีเซตอยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น ใน ZF และ ZFC สัจพจน์ของการจับคู่ และด้วยเหตุนี้ แนวคิดของคู่ลำดับ จึงสามารถอนุมานได้จากสัจพจน์ของอนันต์และแบบแผนสัจพจน์ของการแทนที่และเป็นสิ่งที่จำเป็นในคำจำกัดความของตัวเลขฟอน นอยมันน์ (แต่ไม่ใช่ตัวเลขเซอร์เมโล) ในขณะที่ในNFUตัวเลขเฟรเกอาจอนุมานได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการอนุมานใน Grundgesetze

Principia เช่นเดียว กับGrundgesetzeซึ่งเป็นต้นแบบ เริ่มต้นการสร้างตัวเลขจากประพจน์พื้นฐาน เช่น "คลาส" "ฟังก์ชันประพจน์" และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความสัมพันธ์ของ "ความคล้ายคลึง" (" จำนวนเท่ากัน ": การวางองค์ประกอบของคอลเลกชันในการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง) และ "การเรียงลำดับ" (การใช้ความสัมพันธ์ "ผู้สืบทอดของ" เพื่อเรียงลำดับคอลเลกชันของคลาสที่มีจำนวนเท่ากัน) ^{[ 15 ]}การอนุมานเชิงตรรกะเทียบเท่าจำนวนคาร์ดินัลที่สร้างขึ้นด้วยวิธีนี้กับจำนวนธรรมชาติ และตัวเลขเหล่านี้ลงเอยด้วย "ประเภท" เดียวกันทั้งหมด – ในฐานะคลาสของคลาส – ในขณะที่ในการสร้างทฤษฎีเซตบางอย่าง – ตัวอย่างเช่น ตัวเลขของ von Neumann และ Zermelo – แต่ละจำนวนจะมีตัวก่อนหน้าเป็นเซตย่อย Kleene สังเกตสิ่งต่อไปนี้ (สมมติฐานของ Kleene (1) และ (2) ระบุว่า 0 มีคุณสมบัติPและn +1 มีคุณสมบัติPเมื่อใดก็ตามที่nมีคุณสมบัติP .)

มุมมองในที่นี้แตกต่างอย่างมากจากหลักการของ [Kronecker] ที่ว่า 'พระเจ้าสร้างจำนวนเต็ม' บวกกับสัจพจน์ของ Peanoเกี่ยวกับจำนวนและการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ซึ่งเราได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับแนวคิดเชิงสัญชาตญาณของลำดับจำนวนธรรมชาติ และดึงหลักการจากลำดับนั้นว่า เมื่อใดก็ตามที่คุณสมบัติเฉพาะP ของจำนวนธรรมชาติถูกกำหนดไว้เช่นนั้น (1) และ ( 2) แล้วจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่กำหนดจะต้องมีคุณสมบัติP

ความสำคัญของการสร้างจำนวนธรรมชาติในโครงการตรรกศาสตร์นั้น มาจากข้อโต้แย้งของรัสเซลล์ที่ว่า "การที่คณิตศาสตร์บริสุทธิ์แบบดั้งเดิมทั้งหมดสามารถอนุมานได้จากจำนวนธรรมชาติ เป็นการค้นพบที่ค่อนข้างใหม่ แม้ว่าจะมีการสงสัยกันมานานแล้วก็ตาม" (1919:4) การอนุมาน จำนวน จริง วิธีหนึ่ง มาจากทฤษฎีของเดเดคินด์เกี่ยวกับการตัดของจำนวนตรรกยะ ซึ่งจำนวนตรรกยะนั้นได้มาจากจำนวนธรรมชาติอีกทีหนึ่ง แม้ว่าตัวอย่างวิธีการนี้จะมีประโยชน์ แต่ก็ต้องอาศัยการอนุมานจำนวนธรรมชาติก่อน ดังนั้น หากพบปัญหาทางปรัชญาในการอนุมานจำนวนธรรมชาติแบบตรรกศาสตร์ ปัญหาเหล่านี้ก็ควรจะเพียงพอที่จะหยุดโครงการจนกว่าจะได้รับการแก้ไข (ดูคำวิจารณ์ด้านล่าง)

ความพยายามหนึ่งในการสร้างจำนวนธรรมชาติได้รับการสรุปโดย Bernays ในปี 1930–1931 ^{[ 16 ]}แต่แทนที่จะใช้บทสรุปของ Bernays ซึ่งไม่สมบูรณ์ในบางรายละเอียด ความพยายามในการถอดความโครงสร้างของ Russell โดยรวมเอาตัวอย่างจำกัดบางส่วนไว้ด้วย มีดังต่อไปนี้:

สำหรับรัสเซลล์แล้ว กลุ่ม (คลาส) คือการรวมกันของ "สิ่งต่างๆ" ที่ระบุด้วยชื่อเฉพาะ ซึ่งเกิดขึ้นจากข้อเสนอ (การยืนยันข้อเท็จจริงเกี่ยวกับสิ่งใดสิ่งหนึ่งหรือหลายสิ่ง) รัสเซลล์ได้วิเคราะห์แนวคิดทั่วไปนี้ เขาเริ่มต้นด้วย "คำศัพท์" ในประโยค ซึ่งเขาได้วิเคราะห์ดังนี้:

สำหรับรัสเซลล์แล้ว "คำศัพท์" หมายถึง "สิ่งของ" หรือ "แนวคิด":

สิ่งใดก็ตามที่เป็นวัตถุแห่งความคิด หรือปรากฏในประโยคที่ถูกต้องหรือผิด หรือสามารถนับเป็นหนึ่งเดียวได้ ข้าพเจ้าเรียกว่า “ เทอม ” ดังนั้น “เทอม” จึงเป็นคำที่มีความหมายกว้างที่สุดในศัพท์ทางปรัชญา ข้าพเจ้าจะใช้คำว่า หน่วย บุคคล และสิ่งที่มีอยู่ เป็นคำที่มีความหมายเหมือนกันกับเทอม สองคำแรกเน้นย้ำข้อเท็จจริงที่ว่าทุกเทอมเป็นหนึ่งเดียว ในขณะที่คำที่สามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าทุกเทอมมีอยู่ กล่าวคือ มีอยู่จริงในบางแง่มุม คน ช่วงเวลา ตัวเลข กลุ่ม ความสัมพันธ์ สิ่งสมมติ หรือสิ่งอื่นใดที่สามารถกล่าวถึงได้ ย่อมเป็นเทอมอย่างแน่นอน และการปฏิเสธว่าสิ่งนั้นสิ่งนี้เป็นเทอมย่อมเป็นเท็จเสมอ

ในบรรดาคำศัพท์ต่างๆ นั้น เราสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท ซึ่งผมจะเรียกว่าสิ่งของและแนวคิด ตามลำดับ ประเภทแรกคือคำศัพท์ที่ระบุด้วยชื่อเฉพาะ ส่วนประเภทหลังคือคำศัพท์ที่ระบุด้วยคำอื่นๆ ทั้งหมด ... ในบรรดาแนวคิดต่างๆ นั้น ก็ต้องแบ่งออกอย่างน้อยสองประเภทเช่นกัน คือ แนวคิดที่ระบุด้วยคำคุณศัพท์ และแนวคิดที่ระบุด้วยคำกริยา

ประเภทแรกมักจะเรียกว่าภาคแสดงหรือแนวคิดเชิงกลุ่ม ส่วนประเภทหลังนั้นมักจะเป็นความสัมพันธ์เสมอหรือเกือบเสมอ

ฉันจะกล่าวถึงเงื่อนไขของประโยคว่าเป็นเงื่อนไขเหล่านั้น ไม่ว่าจะมากมายเพียงใด ซึ่งปรากฏอยู่ในประโยคและอาจถือได้ว่าเป็นหัวข้อที่ประโยคกล่าวถึง ลักษณะเฉพาะของเงื่อนไขของประโยคคือ เงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งสามารถแทนที่ด้วยสิ่งอื่นใดก็ได้โดยที่ประโยคยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นเราจะกล่าวว่า "โสกราตีสเป็นมนุษย์" เป็นประโยคที่มีเงื่อนไขเพียงข้อเดียว ส่วนประกอบที่เหลือของประโยคนั้น ข้อหนึ่งเป็นกริยา อีกข้อหนึ่งเป็นภาคแสดง ... ดังนั้น ภาคแสดงจึงเป็นแนวคิดอื่นที่ไม่ใช่กริยา ซึ่งปรากฏในประโยคที่มีเงื่อนไขหรือหัวข้อเพียงข้อเดียว

สมมติว่ามีคนชี้ไปที่วัตถุชิ้นหนึ่งแล้วพูดว่า “วัตถุที่อยู่ตรงหน้าฉันนี้ชื่อ ‘เอมิลี่’ เป็นผู้หญิง” นี่คือข้อเสนอ เป็นการยืนยันความเชื่อของผู้พูด ซึ่งจะต้องได้รับการตรวจสอบกับ “ข้อเท็จจริง” ของโลกภายนอก: “จิตใจไม่ได้สร้างความจริงหรือความเท็จ จิตใจสร้างความเชื่อ...สิ่งที่ทำให้ความเชื่อเป็นจริงคือข้อเท็จจริงและข้อเท็จจริงนี้ไม่ได้เกี่ยวข้องกับจิตใจของบุคคลที่มีความเชื่อนั้น (ยกเว้นในกรณีพิเศษ) แต่อย่างใด” (1912:13)

หากจากการตรวจสอบคำพูดและการเปรียบเทียบกับ "ข้อเท็จจริง" รัสเซลล์พบว่าเอมิลี่เป็นกระต่าย คำพูดของเขาจะถือว่า "เป็นเท็จ" แต่หากเอมิลี่เป็นมนุษย์เพศหญิง (หรือที่รัสเซลล์ชอบเรียกมนุษย์ว่า "สัตว์สองขาไร้ขน" ตามคำกล่าวของไดโอเจเนส ลาเออร์ติ อุสเกี่ยวกับ เพลโต ) คำพูดของเขาจะถือว่า "เป็นความจริง"

"คลาส" ซึ่งแตกต่างจาก "แนวคิดคลาส" คือผลรวมหรือการเชื่อมโยงของเทอมทั้งหมดที่มีภาคแสดงที่กำหนดให้" (1903 หน้า 55) คลาสสามารถระบุได้โดยการขยาย (การระบุรายชื่อสมาชิก) หรือโดยความหมายภายใน กล่าวคือโดย "ฟังก์ชันเชิงประพจน์" เช่น " xคือu " หรือ " xคือv " แต่ "ถ้าเราพิจารณาการขยายอย่างเดียว คลาสของเราจะถูกกำหนดโดยการแจงนับเทอม และวิธีนี้จะไม่ทำให้เราสามารถจัดการกับคลาสอนันต์ได้เหมือนที่ตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ทำ ดังนั้นโดยทั่วไปแล้วคลาสของเราจะต้องถูกมองว่าเป็นวัตถุที่แสดงด้วยแนวคิด และในขอบเขตนี้มุมมองของความหมายภายในจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง"

ลักษณะเฉพาะของแนวคิดกลุ่ม ซึ่งแตกต่างจากคำศัพท์ทั่วไป คือ " xเป็นu " เป็นฟังก์ชันเชิงประพจน์ก็ต่อเมื่อuเป็นแนวคิดกลุ่ม เท่านั้น

71. คลาสอาจนิยามได้ทั้งในเชิงขยายความหรือเชิงความหมาย กล่าวคือ เราอาจนิยามชนิดของวัตถุที่เป็นคลาส หรือชนิดของแนวคิดที่บ่งบอกถึงคลาส นี่คือความหมายที่แท้จริงของการตรงข้ามระหว่างเชิงขยายความและเชิงความหมายในบริบทนี้ แต่ถึงแม้ว่าแนวคิดทั่วไปจะสามารถนิยามได้ในสองลักษณะนี้ คลาสเฉพาะเจาะจง ยกเว้นในกรณีที่คลาสเหล่านั้นมีจำนวนจำกัด จะสามารถนิยามได้เฉพาะในเชิงความหมายเท่านั้น กล่าวคือ ในฐานะวัตถุที่บ่งบอกโดยแนวคิดต่างๆ ... ในเชิงตรรกะ การนิยามเชิงขยายความดูเหมือนจะใช้ได้กับคลาสอนันต์เช่นกัน แต่ในทางปฏิบัติ หากเราพยายามทำเช่นนั้น ความตายจะตัดขาดความพยายามอันน่ายกย่องของเราก่อนที่จะบรรลุเป้าหมาย

ในหนังสือPrinicipiaจำนวนธรรมชาติได้มาจาก ประโยค ทุกประโยคที่สามารถกล่าวอ้างได้เกี่ยวกับกลุ่มของสิ่งต่างๆ รัสเซลล์อธิบายเรื่องนี้อย่างชัดเจนในประโยคที่สอง (ตัวเอียง) ด้านล่าง

ประการแรก ตัวเลขนั้นประกอบขึ้นเป็นกลุ่มอนันต์ และไม่สามารถนิยามได้ด้วยการแจงนับประการที่สอง กลุ่มที่มีจำนวนพจน์ที่กำหนดไว้นั้น สันนิษฐานได้ว่าประกอบขึ้นเป็นกลุ่มอนันต์เช่นกัน ตัวอย่างเช่น สันนิษฐานได้ว่ามีกลุ่มของสามสิ่ง (trio) ที่เป็นอนันต์ในโลกเพราะถ้าไม่ใช่เช่นนั้น จำนวนสิ่งของทั้งหมดในโลกจะเป็นจำนวนจำกัด ซึ่งถึงแม้จะเป็นไปได้ แต่ก็ดูไม่น่าจะเป็นไปได้ ประการที่สาม เราต้องการนิยาม "ตัวเลข" ในลักษณะที่ทำให้ตัวเลขอนันต์เป็นไปได้ ดังนั้นเราจึงต้องสามารถพูดถึงจำนวนพจน์ในกลุ่มอนันต์ได้ และกลุ่มดังกล่าวต้องถูกนิยามด้วยความหมายโดยนัย กล่าวคือ ด้วยคุณสมบัติที่เหมือนกันในสมาชิกทั้งหมดและเฉพาะเจาะจงสำหรับสมาชิกเหล่านั้น

เพื่อแสดงให้เห็น ลองพิจารณาตัวอย่างจำกัดต่อไปนี้: สมมติว่ามี 12 ครอบครัวบนถนนสายหนึ่ง บางครอบครัวมีลูก บางครอบครัวไม่มี การจะพูดถึงชื่อของเด็กในครัวเรือนเหล่านี้ต้องใช้ข้อเสนอ 12 ข้อที่ยืนยันว่า " childnameคือชื่อของเด็กในครอบครัว F n " ซึ่งนำไปใช้กับกลุ่มครัวเรือนบนถนนสายนี้โดยเฉพาะ ซึ่งประกอบด้วยครอบครัวที่มีชื่อ F1, F2, ... F12 ข้อเสนอแต่ละข้อจาก 12 ข้อนั้นเกี่ยวข้องกับว่า "อาร์กิวเมนต์" childnameใช้กับเด็กในครัวเรือนใดครัวเรือนหนึ่งหรือไม่ ชื่อของเด็ก ( childname ) สามารถคิดได้ว่าเป็นxในฟังก์ชันเชิงประพจน์f ( x ) โดยที่ฟังก์ชันคือ "ชื่อของเด็กในครอบครัวที่มีชื่อ F n " ^{[ 17 ]}

ในขณะที่ตัวอย่างก่อนหน้านี้จำกัดอยู่บนฟังก์ชันเชิงประพจน์จำกัด " ชื่อของเด็กๆ ในครอบครัว F n ' " บนถนนจำกัดของจำนวนครอบครัวที่จำกัด รัสเซลล์ดูเหมือนจะตั้งใจให้สิ่งต่อไปนี้ขยายไปสู่ฟังก์ชันเชิงประพจน์ทั้งหมดที่ขยายไปบนโดเมนอนันต์ เพื่อให้สามารถสร้างจำนวนทั้งหมดได้

คลีนพิจารณาว่ารัสเซลได้กำหนด นิยาม ที่ไม่สามารถคาดเดาได้ซึ่งเขาจะต้องแก้ไข มิฉะนั้นอาจเสี่ยงต่อการได้มาซึ่งสิ่งที่คล้ายกับปริศนาของรัสเซล “ในที่นี้ เรากลับตั้งสมมติฐานถึงคุณสมบัติทั้งหมดของจำนวนเชิงคาร์ดินัล ตามที่มีอยู่ในตรรกศาสตร์ ก่อนที่จะมีการกำหนดลำดับจำนวนธรรมชาติ” (คลีน 1952:44) ปัญหาจะปรากฏขึ้น แม้แต่ในตัวอย่างจำกัดที่นำเสนอในที่นี้ เมื่อรัสเซลจัดการกับกลุ่มหน่วย (ดู รัสเซล 1903:517)

คำถามที่เกิดขึ้นคือ "คลาส" คือ อะไรกันแน่ หรือควรจะเป็นอะไร สำหรับเดเดคินด์และเฟรเก คลาสคือหน่วยที่แยกต่างหากในตัวของมันเอง เป็น "เอกภาพ" ที่สามารถระบุได้กับหน่วยx ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับฟังก์ชันเชิงประพจน์F บางอย่าง (สัญลักษณ์นี้ปรากฏในรัสเซลล์ โดยระบุว่าเป็นของเฟรเก: "แก่นแท้ของฟังก์ชันคือสิ่งที่เหลืออยู่เมื่อนำx ออกไป เช่น ในตัวอย่างข้างต้น 2( ) ³ + ( ) อาร์กิวเมนต์xไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของฟังก์ชัน แต่ทั้งสองรวมกันเป็นหนึ่งเดียว (ib. หน้า 6 [เช่นFunction und Begriff ของเฟรเก ปี 1891 ]" (รัสเซลล์ 1903:505)) ตัวอย่างเช่น "เอกภาพ" เฉพาะอย่างหนึ่งอาจได้รับชื่อ สมมติว่าครอบครัว Fα มีลูกชื่อแอนนี่ บาร์บี้ และชาร์ลส์:

แนวคิดเรื่องการรวบรวมหรือกลุ่มในฐานะวัตถุ เมื่อใช้โดยไม่มีข้อจำกัด จะนำไปสู่ความขัดแย้งของรัสเซลล์ (ดูเพิ่มเติมด้านล่างเกี่ยวกับนิยามที่ไม่สามารถระบุได้ ) วิธีแก้ปัญหาของรัสเซลล์คือการกำหนดแนวคิดของกลุ่มให้เป็นเพียงองค์ประกอบที่สอดคล้องกับประพจน์เท่านั้น โดยให้เหตุผลว่าแท้จริงแล้ว อาร์กิวเมนต์xไม่ได้อยู่ในฟังก์ชันประพจน์หรือ "กลุ่ม" ที่สร้างขึ้นโดยฟังก์ชันนั้น กลุ่มนั้นเองไม่ควรถูกมองว่าเป็นวัตถุเอกภาพในตัวของมันเอง มันมีอยู่เพียงในฐานะสิ่งสมมติที่มีประโยชน์เท่านั้น: "เราได้หลีกเลี่ยงการตัดสินใจว่ากลุ่มของสิ่งต่างๆ มีอยู่จริงในฐานะวัตถุเดียวในแง่ใดหรือไม่ การตัดสินใจในคำถามนี้ไม่ว่าในทางใดก็ไม่สำคัญต่อตรรกะของเรา" ( Principia Mathematicaฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1 ปี 1927:24)

รัสเซลยังคงยึดมั่นในความคิดเห็นนี้ในงานเขียนของเขาเมื่อปี 1919 ลองสังเกตคำว่า "นิยายเชิงสัญลักษณ์" ดู:

เมื่อเราตัดสินใจแล้วว่า คลาสไม่สามารถเป็นสิ่งที่มีประเภทเดียวกันกับสมาชิกของมัน ไม่สามารถเป็นเพียงแค่กองหรือกลุ่ม และไม่สามารถระบุได้ว่าเป็นฟังก์ชันเชิงประพจน์ มันก็จะยากมากที่จะมองเห็นว่าคลาสจะเป็นอะไรได้บ้าง หากคลาสจะเป็นมากกว่าสิ่งสมมติเชิงสัญลักษณ์และหากเราสามารถหาวิธีใดวิธีหนึ่งในการจัดการกับคลาสในฐานะสิ่งสมมติเชิงสัญลักษณ์ได้เราก็จะเพิ่มความมั่นคงทางตรรกะให้กับจุดยืนของเรา เนื่องจากเราหลีกเลี่ยงความจำเป็นที่จะต้องสมมติว่ามีคลาสโดยไม่ต้องถูกบังคับให้สมมติในทางตรงกันข้ามว่าไม่มีคลาส เราเพียงแค่ละเว้นจากสมมติฐานทั้งสอง... แต่เมื่อเราปฏิเสธที่จะยืนยันว่ามีคลาส เราก็ไม่ควรถูกมองว่ากำลังยืนยันอย่างดื้อรั้นว่าไม่มีคลาส เราเป็นเพียงผู้ไม่แน่ใจเกี่ยวกับคลาสเหล่านั้น...

และใน PMฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง(1927) รัสเซลล์กล่าวว่า "ฟังก์ชันเกิดขึ้นได้เฉพาะผ่านค่าของมัน ... ฟังก์ชันของฟังก์ชันทั้งหมดเป็นแบบขยาย ... [และ] ด้วยเหตุนี้จึงไม่มีเหตุผลที่จะแยกแยะระหว่างฟังก์ชันและคลาส ... ดังนั้น คลาส ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชัน จึงสูญเสียแม้กระทั่งความเป็นอยู่ที่คลุมเครือที่พวกมันยังคงมีอยู่ใน *20" (หน้า xxxix) กล่าวอีกนัยหนึ่ง คลาสในฐานะแนวคิดที่แยกต่างหากได้หายไปโดยสิ้นเชิง

ขั้นตอนที่ 2: รวบรวมคลาสที่ "คล้ายกัน" เข้าเป็น 'บันเดิล' : คอลเลกชันข้างต้นเหล่านี้สามารถนำมาใส่ใน "ความสัมพันธ์แบบไบนารี" (เปรียบเทียบ) ความคล้ายคลึงกันโดย "จำนวนที่เท่ากัน" ซึ่งในที่นี้ใช้สัญลักษณ์≈ กล่าว คือ การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งขององค์ประกอบ^{[ 18 ]}และด้วยเหตุนี้จึงสร้างคลาสของคลาสแบบรัสเซลล์ หรือสิ่งที่รัสเซลล์เรียกว่า "บันเดิล" "เราสามารถสมมติว่าคู่ทั้งหมดอยู่ในบันเดิลหนึ่ง กลุ่มสามทั้งหมดอยู่ในอีกบันเดิลหนึ่ง และอื่นๆ ด้วยวิธีนี้เราจะได้บันเดิลของคอลเลกชันต่างๆ แต่ละบันเดิลประกอบด้วยคอลเลกชันทั้งหมดที่มีจำนวนเทอมที่แน่นอน แต่ละบันเดิลเป็นคลาสที่มีสมาชิกเป็นคอลเลกชัน กล่าวคือ คลาส ดังนั้นแต่ละบันเดิลจึงเป็นคลาสของคลาส" (รัสเซลล์ 1919:14)

ขั้นตอนที่ 3: กำหนดคลาสว่าง : โปรดสังเกตว่าคลาสบางคลาสมีความพิเศษ เนื่องจากคลาสเหล่านั้นไม่มีองค์ประกอบใดๆ กล่าวคือ ไม่มีองค์ประกอบใดที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดคลาส/กลุ่มคลาสนี้

เอนทิตีที่ได้อาจเรียกว่า "คลาสว่าง" หรือ "คลาสที่ไม่มีสมาชิก" รัสเซลล์ใช้สัญลักษณ์ Λ แทนคลาสว่าง/คลาสที่ไม่มีสมาชิก ดังนั้นคลาสว่างแบบรัสเซลล์คืออะไรกันแน่? ในPMรัสเซลล์กล่าวว่า "คลาสหนึ่งจะกล่าวได้ว่ามีอยู่เมื่อมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัว ... คลาสที่ไม่มีสมาชิกเรียกว่า "คลาสว่าง" ... "α คือคลาสว่าง" เทียบเท่ากับ "α ไม่มีอยู่จริง" คำถามที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติคือคลาสว่างนั้น 'มีอยู่จริง' หรือไม่? ความยากลำบากที่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้เกิดขึ้นในงานของรัสเซลล์ในปี 1903 ^{[ 19 ]}หลังจากที่เขาค้นพบความขัดแย้งในGrundgesetze der Arithmetik ของ Frege เขาได้เพิ่มภาคผนวก A ในงานปี 1903 ของเขา ซึ่งจากการวิเคราะห์ธรรมชาติของคลาสว่างและคลาสหน่วย เขาค้นพบความจำเป็นสำหรับ "หลักคำสอนของประเภท" ดูเพิ่มเติมเกี่ยวกับคลาสหน่วย ปัญหาของคำจำกัดความที่ไม่สามารถระบุได้และ "หลักการวงจรชั่วร้าย" ของรัสเซลล์ด้านล่าง^{[ 19 ]}

ขั้นตอนที่ 4: กำหนด "ตัวเลข" ให้กับแต่ละมัด : เพื่อความสะดวกในการย่อและระบุ ให้กำหนดสัญลักษณ์เฉพาะ (หรือที่เรียกว่า "ตัวเลข") ให้กับแต่ละมัด สัญลักษณ์เหล่านี้เป็นสัญลักษณ์ที่กำหนดขึ้นเอง

ขั้นตอนที่ 5: กำหนด "0"ตามแนวคิดของ Frege นั้น Russell เลือกคลาสว่างหรือ คลาส ค่าว่าง (null class) เป็นคลาสที่เหมาะสมที่จะทำหน้าที่นี้ ซึ่งก็คือคลาสที่ไม่มีสมาชิก คลาสค่าว่างนี้อาจมีชื่อว่า "0"

ขั้นตอนที่ 6: กำหนดแนวคิดของ "ผู้สืบทอด" : รัสเซลล์ได้นิยามลักษณะเฉพาะใหม่ว่า "สืบทอด" (เทียบกับ "บรรพบุรุษ" ของเฟรเก) ซึ่งเป็นคุณสมบัติของบางกลุ่มที่มีความสามารถในการ "สืบทอด" ลักษณะเฉพาะจากกลุ่มอื่น (ซึ่งอาจเป็นกลุ่มของกลุ่ม) กล่าวคือ "คุณสมบัติหนึ่งเรียกว่า 'สืบทอด' ในอนุกรมจำนวนธรรมชาติ ถ้าเมื่อใดก็ตามที่มันเป็นของจำนวนnมันก็จะเป็นของn + 1 ซึ่งเป็นผู้สืบทอดของnด้วย" (1903:21) เขาอ้างว่า "จำนวนธรรมชาติคือลูกหลาน – "ลูก" ผู้สืบทอดของ "ผู้สืบทอด" – ของ 0 ในแง่ของความสัมพันธ์ "ผู้มาก่อนโดยตรงของ (ซึ่งเป็นส่วนกลับของ "ผู้สืบทอด") (1919:23)

โปรดทราบว่ารัสเซลได้ใช้คำบางคำที่นี่โดยไม่ได้ให้คำจำกัดความ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "อนุกรมตัวเลข" "ตัวเลขn " และ "ผู้สืบทอด" เขาจะกำหนดคำจำกัดความเหล่านี้ในภายหลัง สังเกตโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่ารัสเซลไม่ได้ใช้คลาสหน่วยของคลาส "1" เพื่อสร้างผู้สืบทอด เหตุผลก็คือ ในการวิเคราะห์โดยละเอียดของรัสเซล^{[ 20 ]}หากคลาสหน่วยกลายเป็นเอนทิตีในตัวของมันเอง มันก็สามารถเป็นองค์ประกอบในข้อเสนอของมันเองได้เช่นกัน ซึ่งทำให้ข้อเสนอกลายเป็น "ไม่สามารถระบุได้" และส่งผลให้เกิด "วงจรที่เลวร้าย" เขาได้กล่าวไว้ว่า: "เราเห็นในบทที่ 2 ว่าจำนวนคาร์ดินัลจะต้องถูกกำหนดให้เป็นคลาสของคลาส และในบทที่ 3 ว่าตัวเลข 1 จะต้องถูกกำหนดให้เป็นคลาสของคลาสหน่วยทั้งหมด ของทั้งหมดที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ดังที่เราควรจะพูด แต่สำหรับวงจรที่เลวร้าย แน่นอน เมื่อตัวเลข 1 ถูกกำหนดให้เป็นคลาสของคลาสหน่วยทั้งหมดคลาสหน่วยจะต้องถูกกำหนดเพื่อไม่ให้สมมติว่าเรารู้ว่าหนึ่ง หมายถึงอะไร " (1919:181)

ในการกำหนดความหมายของคำว่า "ผู้สืบทอด" รัสเซลล์จะใช้คำว่า "หน่วย" เป็นหน่วยเดียวหรือ "ระยะเวลา" ดังต่อไปนี้:

ต่อไปเราต้องกำหนดความหมายของ "ผู้สืบทอด" กำหนดให้ α เป็นจำนวนใดๆn และเป็นคลาสที่มี สมาชิก n ตัวและให้xเป็นเทอมที่ไม่ใช่สมาชิกของαดังนั้นคลาสที่ประกอบด้วยαบวกกับxจะมีสมาชิกเพิ่มขึ้น1ตัว ด้วยเหตุนี้เราจึงได้นิยามดังต่อไปนี้:

ตัวสืบทอดของจำนวนพจน์ในกลุ่ม α คือจำนวนพจน์ในกลุ่มที่ประกอบด้วย α ร่วมกับ x โดยที่ x ไม่ใช่พจน์ใดๆ ที่อยู่ในกลุ่มนั้น

นิยามของรัสเซลล์ต้องการ "คำศัพท์" ใหม่ซึ่ง "ถูกเพิ่มเข้าไป" ในกลุ่มข้อมูลภายในชุดข้อมูลเหล่านั้น

ขั้นตอนที่ 7: สร้างคลาสสืบทอดของคลาสว่าง

ขั้นตอนที่ 8: สำหรับทุกคลาสที่มีจำนวนคลาสเท่ากัน ให้สร้างคลาสสืบทอดของคลาสนั้น

ขั้นตอนที่ 9: เรียงลำดับตัวเลข : กระบวนการสร้างตัวสืบทอดต้องอาศัยความสัมพันธ์ "เป็นตัวสืบทอดของ" ซึ่งอาจใช้สัญลักษณ์ " S " ระหว่าง "ตัวเลข" ต่างๆ "เราต้องพิจารณาถึง ลักษณะ ลำดับของจำนวนธรรมชาติในลำดับ 0, 1, 2, 3, ... โดยปกติเรามักคิดถึงตัวเลขในลำดับนี้ และการหาคำจำกัดความของ 'ลำดับ' หรือ 'อนุกรม' ในเชิงตรรกะเป็นส่วนสำคัญของงานวิเคราะห์ข้อมูลของเรา ... ลำดับนั้นไม่ได้อยู่ที่กลุ่มของคำ แต่ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกในกลุ่ม ซึ่งบางตัวปรากฏมาก่อนและบางตัวปรากฏทีหลัง" (1919:31)

รัสเซลล์ใช้เกณฑ์สามประการกับแนวคิดเรื่อง "ความสัมพันธ์ในการเรียงลำดับ" ดังนี้ ประการแรก เขาให้คำจำกัดความของแนวคิดเรื่องความไม่สมมาตรกล่าวคือ เมื่อกำหนดความสัมพันธ์เช่นS ("เป็นผู้สืบทอดของ") ระหว่างสองพจน์xและyจะได้ว่าx S y ≠ y S xประการที่สอง เขาให้คำจำกัดความของแนวคิดเรื่องการถ่ายทอดสำหรับตัวเลขสามตัวx , yและzจะได้ว่า ถ้าx S yและy S zแล้วx S zประการที่สาม เขาให้คำจำกัดความของแนวคิดเรื่องความเชื่อมโยงว่า "เมื่อกำหนดสองพจน์ใดๆ ในกลุ่มที่จะเรียงลำดับ จะต้องมีพจน์หนึ่งที่อยู่ข้างหน้าและอีกพจน์หนึ่งที่อยู่ข้างหลัง ... ความสัมพันธ์จะเชื่อมโยงกันเมื่อกำหนดสองพจน์ที่แตกต่างกันในขอบเขตของมัน [ทั้งโดเมนและโดเมนผกผันของความสัมพันธ์ เช่น สามีกับภรรยาในความสัมพันธ์ของการแต่งงาน] ความสัมพันธ์นั้นเป็นจริงระหว่างพจน์แรกกับพจน์ที่สอง หรือระหว่างพจน์ที่สองกับพจน์แรก (โดยไม่ตัดความเป็นไปได้ที่ทั้งสองอย่างจะเกิดขึ้นได้ แม้ว่าทั้งสองอย่างจะไม่เกิดขึ้นได้หากความสัมพันธ์นั้นไม่สมมาตร)" (1919:32)

เขาสรุปว่า: "...จำนวนธรรมชาติmกล่าวได้ว่าน้อยกว่าจำนวนnเมื่อnมีคุณสมบัติทางพันธุกรรมทุกอย่างที่ผู้สืบทอดของm มีอยู่ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็น และไม่ยากที่จะพิสูจน์ว่าความสัมพันธ์ 'น้อยกว่า' ที่กำหนดไว้เช่นนี้ เป็นความสัมพันธ์แบบไม่สมมาตร ถ่ายทอดได้ และเชื่อมโยงกัน และมีจำนวนธรรมชาติเป็นฟิลด์ของมัน [กล่าวคือทั้งโดเมนและโดเมนผกผันเป็นจำนวน]" (1919:35)

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับแนวคิด 'นอกเหนือตรรกะ' ของการวนซ้ำ : คลีนตั้งข้อสังเกตว่า "วิทยานิพนธ์เชิงตรรกะสามารถถูกตั้งคำถามได้ในที่สุดบนพื้นฐานที่ว่าตรรกะได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ไว้แล้วในการกำหนดสูตร ในมุมมองเชิงสัญชาตญาณ แก่นแท้ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญนั้นบรรจุอยู่ในแนวคิดของการวนซ้ำ" (คลีน 1952:46)

เบอร์เนย์ส (Bernays) ในปี 1930–1931 สังเกตว่าแนวคิด "สองสิ่ง" นี้ได้ตั้งสมมติฐานบางอย่างไว้แล้ว แม้ว่าจะไม่มีการอ้างถึงการมีอยู่ของสองสิ่ง และไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงคุณลักษณะใดๆ ที่ใช้กับสองสิ่งนั้น มันหมายถึง "สิ่งหนึ่งกับอีกสิ่งหนึ่ง... ด้วยคำจำกัดความง่ายๆ นี้ แนวคิดเรื่องจำนวนจึงกลายเป็นแนวคิดเชิงโครงสร้าง พื้นฐาน ... ข้ออ้างของนักตรรกศาสตร์ที่ว่าคณิตศาสตร์เป็นความรู้เชิงตรรกะล้วนๆ กลับกลายเป็นสิ่งที่คลุมเครือและทำให้เข้าใจผิดเมื่อพิจารณาตรรกศาสตร์เชิงทฤษฎีอย่างใกล้ชิด... [เราสามารถขยายคำจำกัดความของ "ตรรกะ" ได้] อย่างไรก็ตาม ด้วยคำจำกัดความนี้ สิ่งที่สำคัญทางญาณวิทยาจึงถูกปกปิด และสิ่งที่เฉพาะเจาะจงกับคณิตศาสตร์ก็ถูกมองข้ามไป" (ใน Mancosu 1998:243)

ฮิลเบิร์ต (1931:266-7) เช่นเดียวกับเบอร์เนย์ พิจารณาว่ามี "บางสิ่งที่อยู่นอกเหนือตรรกะ" ในคณิตศาสตร์: "นอกจากประสบการณ์และความคิดแล้ว ยังมีแหล่งความรู้ที่สาม แม้ว่าในปัจจุบันเราอาจไม่สามารถเห็นด้วยกับคานท์ในรายละเอียดได้ แต่แนวคิดทั่วไปและพื้นฐานที่สุดของญาณวิทยาแบบคานท์ยังคงมีความสำคัญอยู่ นั่นคือ การตรวจสอบ โหมดความคิด แบบก่อน ประสบการณ์โดยสัญชาตญาณ และด้วยเหตุนี้จึงตรวจสอบเงื่อนไขความเป็นไปได้ของความรู้ทั้งหมด ในความคิดของฉัน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นโดยพื้นฐานในการตรวจสอบหลักการของคณิตศาสตร์ของฉันก่อนประสบการณ์ในที่นี้ไม่มีอะไรมากไปกว่าและไม่มีอะไรน้อยไปกว่าโหมดความคิดพื้นฐาน ซึ่งฉันเรียกว่าโหมดความคิดแบบจำกัดด้วย: มีบางสิ่งบางอย่างที่มอบให้แก่เราล่วงหน้าในความสามารถในการแสดงภาพของเรา: วัตถุที่เป็นรูปธรรมที่อยู่นอกเหนือตรรกะ บางอย่าง ที่ดำรงอยู่โดยสัญชาตญาณในฐานะประสบการณ์โดยตรงก่อนความคิดทั้งหมด หากการอนุมานเชิงตรรกะมีความแน่นอน วัตถุเหล่านี้จะต้องสามารถสำรวจได้อย่างสมบูรณ์ในทุกส่วน และการนำเสนอ ความแตกต่าง การสืบทอดกัน หรือการเรียงอยู่ข้างๆ กันนั้น มอบให้แก่เราโดยทันทีและโดยสัญชาตญาณ "เราพร้อมกับวัตถุต่างๆ เป็นสิ่งที่ไม่อาจลดทอนลงเป็นสิ่งอื่นใดได้ และไม่ต้องการการลดทอนเช่นนั้น" (Hilbert 1931 ใน Mancosu 1998: 266, 267)

โดยสรุป ตามที่ฮิลเบิร์ตและเบอร์เนย์กล่าวไว้ แนวคิดเรื่อง "ลำดับ" หรือ "ผู้สืบทอด" เป็น แนวคิด เชิงอภิปรัชญาที่อยู่นอกเหนือตรรกะเชิงสัญลักษณ์

ฮิลเบิร์ตปฏิเสธลัทธิตรรกะนิยมว่าเป็น "เส้นทางที่ผิด": "บางคนพยายามกำหนดนิยามของจำนวนโดยใช้ตรรกะล้วนๆ ในขณะที่บางคนก็เพียงแค่ใช้ รูปแบบการอนุมาน ทางทฤษฎีจำนวน ตามปกติ ว่าเป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดในตัวเอง ในทั้งสองเส้นทาง พวกเขาต่างพบอุปสรรคที่พิสูจน์แล้วว่าเอาชนะไม่ได้" (ฮิลเบิร์ต 1931 ใน แมนโคโซ 1998:267) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์นั้นอาจถือได้ว่าเป็นอุปสรรคที่คล้ายคลึงกันสำหรับลัทธิจำกัดนิยมแบบฮิลเบิร์ต

แมนโคซูระบุว่า บราวเวอร์สรุปว่า "กฎหรือหลักการทางตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกเป็นส่วนหนึ่งของความสม่ำเสมอที่รับรู้ได้ [ในการแสดงสัญลักษณ์] พวกมันได้มาจากบันทึกภายหลังของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ... ตรรกศาสตร์เชิงทฤษฎี ... [คือ] วิทยาศาสตร์เชิงประจักษ์และการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์" (บราวเวอร์ อ้างโดยแมนโคซู 1998:9)

ในส่วนที่เกี่ยวกับ แง่มุม ทางเทคนิคของตรรกศาสตร์แบบรัสเซลล์ตามที่ปรากฏในPrincipia Mathematica (ฉบับใดก็ได้) นั้น Gödel รู้สึกผิดหวังในปี 1944:

เป็นเรื่องน่าเสียดายที่การนำเสนอตรรกะทางคณิตศาสตร์และการอนุมานคณิตศาสตร์จากตรรกะดังกล่าวอย่างครอบคลุมและละเอียดถี่ถ้วนเป็นครั้งแรกนี้ ขาดความแม่นยำในเชิงรูปแบบในพื้นฐาน (ซึ่งบรรจุอยู่ใน *1–*21 ของPrincipia ) อย่างมาก จนทำให้ในแง่นี้ถือเป็นก้าวถอยหลังอย่างมากเมื่อเทียบกับงานของ Frege สิ่งที่ขาดหายไปเหนือสิ่งอื่นใดคือคำอธิบายที่แม่นยำเกี่ยวกับไวยากรณ์ของรูปแบบนิยม

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาชี้ให้เห็นว่า "เรื่องนี้เป็นที่น่าสงสัยเป็นพิเศษสำหรับกฎการแทนที่และการแทนที่สัญลักษณ์ที่กำหนดไว้ด้วยตัวกำหนด ของมัน " (Russell 1944:120)

ในส่วนที่เกี่ยวกับปรัชญาที่อาจเป็นรากฐานของทฤษฎีเหล่านี้ เกอเดลพิจารณาว่า "ทฤษฎีไร้ชนชั้น" ของรัสเซลล์นั้นเป็นตัวอย่างของ "ลัทธิสร้างสรรค์นิยมแบบนามนิยม...ซึ่งอาจเรียกได้ว่าเป็นลัทธิสมมตินิยมได้ดีกว่า" (ดูเชิงอรรถที่ 1 ใน เกอเดล 1944:119) ซึ่งถือว่าผิดพลาด ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในหัวข้อ "คำวิจารณ์และข้อเสนอแนะของเกอเดล" ด้านล่าง

ทฤษฎีความสัมพันธ์ที่ซับซ้อนยังคงบีบคั้นคำอธิบายในหนังสือIntroduction to Mathematical Philosophy ของ Russell ในปี 1919 และ Principiaฉบับพิมพ์ครั้งที่สองในปี 1927 ในขณะเดียวกัน ทฤษฎีเซตได้ก้าวหน้าไปพร้อมกับการลดความสัมพันธ์ลงเหลือเพียงคู่ลำดับของเซตGrattan-Guinnessสังเกตว่าในPrincipia ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง Russell เพิกเฉยต่อการลดความสัมพันธ์นี้ซึ่งสำเร็จโดยNorbert Wiener นักศึกษาของเขาเอง (1914) บางทีอาจเป็นเพราะ "ความรำคาญที่หลงเหลืออยู่ Russell จึงไม่ตอบสนองเลย" ^{[ 21 ]}ในปี 1914 Hausdorffจะให้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันอีกแบบหนึ่ง และKuratowskiในปี 1921 จะให้คำจำกัดความที่ใช้ในปัจจุบัน^{[ 22 ]}

สมมติว่าบรรณารักษ์ต้องการจัดทำดัชนีหนังสือในคลังของเธอลงในหนังสือเล่มเดียว (เรียกว่า I ซึ่งย่อมาจาก "ดัชนี") ดัชนีของเธอจะแสดงรายการหนังสือทั้งหมดและตำแหน่งที่ตั้งในห้องสมุด ปรากฏว่ามีหนังสือเพียงสามเล่ม และมีชื่อเรื่องว่า Ά, β และ Γ เพื่อสร้างดัชนี I เธอจึงไปซื้อสมุดเปล่า 200 หน้าและติดป้ายกำกับว่า "I" ตอนนี้เธอมีหนังสือสี่เล่ม ได้แก่ I, Ά, β และ Γ งานของเธอไม่ยาก เมื่อเสร็จสมบูรณ์ เนื้อหาในดัชนี I จะมี 4 หน้า แต่ละหน้ามีชื่อเรื่องและตำแหน่งที่ตั้งที่ไม่ซ้ำกัน (แต่ละรายการย่อเป็น ชื่อเรื่อง.ตำแหน่งที่ตั้ง_T ):

ปวงกาเรถือว่านิยามของ "ฉัน" ในลักษณะนี้เป็น " นิยาม ที่ไม่สามารถระบุได้ " (impredicative) ดูเหมือนว่าเขาจะคิดว่ามีเพียงนิยามที่สามารถระบุได้ (predicative) เท่านั้นที่สามารถใช้ได้ในทางคณิตศาสตร์:

คำจำกัดความจะ 'เป็นเชิงทำนาย' และยอมรับได้ตามหลักตรรกะก็ต่อเมื่อไม่รวมวัตถุทั้งหมดที่ขึ้นอยู่กับแนวคิดที่ถูกกำหนดไว้ กล่าวคือ วัตถุที่สามารถกำหนดได้โดยแนวคิดนั้นในทุกวิถีทาง^{[ 23 ]}

ตามคำนิยามของปวงกาเร สมุดดัชนีของบรรณารักษ์นั้น "ไม่สามารถระบุได้" เพราะนิยามของ I ขึ้นอยู่กับนิยามของ I, Ά, β และ Γ ทั้งหมด ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง นักวิจารณ์บางคนยืนยันว่าการไม่สามารถระบุได้ในเวอร์ชันสามัญสำนึกนั้นไม่เป็นอันตราย แต่ดังที่ตัวอย่างด้านล่างแสดงให้เห็น มีเวอร์ชันที่ไม่เป็นอันตราย ในการตอบสนองต่อความยากลำบากเหล่านี้ รัสเซลล์จึงสนับสนุนการห้ามอย่างเด็ดขาด ซึ่งเป็น "หลักการวงจรชั่วร้าย" ของเขา:

"ไม่มีสิ่งใดที่เป็นองค์รวมสามารถมีสมาชิกที่สามารถนิยามได้เฉพาะในแง่ขององค์รวมนั้น หรือสมาชิกที่เกี่ยวข้องหรือตั้งอยู่บนพื้นฐานขององค์รวมนั้นได้" (หลักการวงจรชั่วร้าย)

เพื่ออธิบายให้เห็นภาพว่าการไม่สามารถทำนายค่าได้อย่างแม่นยำนั้นอาจเป็นเรื่องร้ายแรงเพียงใด ลองพิจารณาผลลัพธ์ของการป้อนค่าอาร์กิวเมนต์ α เข้าไปในฟังก์ชัน f ที่มีผลลัพธ์ ω = 1−α สิ่งนี้อาจมองได้ว่าเป็น นิพจน์ 'ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิต' ที่เทียบเท่า กับนิพจน์ 'ตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์' ω = NOT -α ซึ่งมีค่าความจริงเป็น 1 และ 0 เมื่อป้อนค่า α = 0 ผลลัพธ์ ω = 1; เมื่อป้อนค่า α = 1 ผลลัพธ์ ω = 0

เพื่อให้ฟังก์ชัน "ไม่สามารถทำนายได้" ให้ระบุค่าอินพุตให้ตรงกับค่าเอาต์พุต ซึ่งจะได้ α = 1−α

ในพีชคณิตของจำนวนตรรกยะ สมการจะเป็นจริงเมื่อ α = 0.5 แต่ในพีชคณิตบูลีน ซึ่งอนุญาตให้มีเพียง "ค่าความจริง" 0 และ 1 เท่านั้น ความเท่าเทียมกันนี้จึงเป็นไป ไม่ได้

ความยากลำบากบางประการในโปรแกรมตรรกะอาจเกิดจากความขัดแย้ง α = NOT-α ^{[ 25 ]}รัสเซลล์ค้นพบในBegriffsschrift ของ Frege ในปี 1879 ^{[ 26 ]}ว่า Frege อนุญาตให้ฟังก์ชันได้รับอินพุต "เชิงฟังก์ชัน" (ค่าของตัวแปร) ไม่เพียงแต่จากวัตถุ (สิ่งของ คำศัพท์) เท่านั้น แต่ยังรวมถึงเอาต์พุตของฟังก์ชันเองด้วย^{[ 27 ]}

ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น การสร้างจำนวนธรรมชาติของทั้งเฟรเกและรัสเซลเริ่มต้นด้วยการสร้างกลุ่มของกลุ่มที่มีจำนวนเท่ากัน ("บันเดิล") ตามด้วยการกำหนด "ตัวเลข" ที่ไม่ซ้ำกันให้กับแต่ละบันเดิล จากนั้นจึงจัดเรียงบันเดิลเหล่านั้นตามลำดับผ่านความสัมพันธ์Sที่ไม่สมมาตร: x S y ≠ y S xแต่เฟรเกแตกต่างจากรัสเซลตรงที่อนุญาตให้ระบุกลุ่มของกลุ่มหน่วยเป็นหน่วยได้ด้วยตัวเอง:

แต่เนื่องจากคลาสที่มีหมายเลข 1 เป็นวัตถุหรือหน่วยเดียวในตัวของมันเอง จึงต้องถูกรวมอยู่ในคลาสของคลาสหน่วยด้วย การรวมนี้ส่งผลให้เกิดการถอยหลังอย่างไม่มีที่สิ้นสุดของประเภทที่เพิ่มขึ้นและเนื้อหาที่เพิ่มขึ้น

รัสเซลล์หลีกเลี่ยงปัญหานี้โดยการประกาศว่าคลาสเป็นเพียง "เรื่องสมมติ" หมายความว่าคลาสสามารถกำหนดได้เฉพาะองค์ประกอบที่ตรงตามหน้าที่เชิงประพจน์ของมันเท่านั้น และไม่มีอย่างอื่น ในฐานะ "เรื่องสมมติ" คลาสจึงไม่สามารถถือว่าเป็นสิ่งของได้ ไม่ว่าจะเป็นเอนทิตี "เทอม" เอกพจน์ หรือ "หน่วย" มันเป็นเพียงการประกอบรวมกันแต่ในมุมมองของรัสเซลล์แล้ว มัน "ไม่คู่ควรที่จะเป็นสิ่งของ"

คำว่า "กลุ่มที่มีจำนวนมาก..." นั้นไม่มีข้อโต้แย้ง แต่เป็นกลุ่มที่มีจำนวนมาก ไม่ใช่กลุ่มเดียว เราอาจเลือกที่จะแทนสิ่งนี้ด้วยสัญลักษณ์เดียว เช่นx ε uจะหมายความว่า " xเป็นหนึ่งในu " สิ่งนี้ไม่ควรถูกมองว่าเป็นความสัมพันธ์ของสองพจน์ คือxและuเพราะuในฐานะการเชื่อมโยงเชิงตัวเลขนั้นไม่ใช่พจน์เดียว... ดังนั้น กลุ่มของกลุ่มต่างๆ จะมีจำนวนมาก องค์ประกอบแต่ละอย่างจะมีจำนวนมาก และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถเป็นองค์ประกอบเดียวได้ในความหมายใดๆ ก็ตาม [เป็นต้น]

นี่เป็นการสมมติว่า "ที่ฐาน" ทุก "คำ" เดี่ยว ๆ สามารถแสดงรายการได้ (ระบุโดยภาคแสดงเชิงทำนาย) สำหรับทุกคลาส สำหรับทุกคลาสของคลาส สำหรับทุกคลาสของคลาสของคลาส ฯลฯ แต่ก็นำมาซึ่งปัญหาใหม่ นั่นคือ ลำดับชั้นของ "ประเภท" ของคลาส

Gödel 1944:131 สังเกตว่า "รัสเซลล์ยกเหตุผลสองประการคัดค้านมุมมองเชิงขยายของคลาส ได้แก่ การมีอยู่ของ (1) คลาสว่าง ซึ่งไม่สามารถเป็นกลุ่มได้ และ (2) คลาสหน่วย ซึ่งจะต้องเหมือนกับองค์ประกอบเดี่ยวของมัน" เขาแนะนำว่ารัสเซลล์ควรพิจารณาสิ่งเหล่านี้ว่าเป็นเรื่องสมมติ แต่ไม่ควรสรุปเพิ่มเติมว่า คลาส ทั้งหมด (เช่น คลาสของคลาสที่กำหนดตัวเลข 2, 3 เป็นต้น) เป็นเรื่องสมมติ

แต่รัสเซลล์ไม่ได้ทำเช่นนั้น หลังจากวิเคราะห์อย่างละเอียดในภาคผนวก ก: หลักตรรกศาสตร์และเลขคณิตของเฟรเกในหนังสือปี 1903 ของเขา รัสเซลล์สรุปว่า:

หลักการทางตรรกศาสตร์ที่ถูกบังคับใช้กับเราเช่นนี้ก็คือ: หัวข้อของประโยคอาจไม่ใช่เพียงพจน์เดียว แต่โดยพื้นฐานแล้วอาจเป็นหลายพจน์ ซึ่งเป็นกรณีเดียวกับประโยคทั้งหมดที่กล่าวถึงตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 0 และ 1

ในประกาศต่อไปนี้ คำว่า "กลุ่มในฐานะที่เป็นกลุ่ม" นั้น หมายถึง กลุ่มคือการรวมกันของคำ (สิ่งต่างๆ) ที่ตรงตามหน้าที่เชิงประพจน์ แต่กลุ่มไม่ใช่สิ่งที่มีอยู่โดยตัวของมันเอง :

ดังนั้นข้อสรุปสุดท้ายคือ ทฤษฎีที่ถูกต้องเกี่ยวกับชั้นเรียนนั้นมีความกว้างขวางยิ่งกว่าที่กล่าวไว้ในบทที่ 6 กล่าวคือ ชั้นเรียนที่มีจำนวนมากนั้นเป็นวัตถุเดียวที่ถูกกำหนดโดยฟังก์ชันเชิงประพจน์เสมอ และสิ่งนี้ก็เพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์เชิงรูปแบบ

เปรียบเสมือนเจ้าของฟาร์มปศุสัตว์ที่ต้อนปศุสัตว์ทั้งหมดของเขา (แกะ วัว และม้า) เข้าไปในคอกสมมติสามคอก (คอกหนึ่งสำหรับแกะ คอกหนึ่งสำหรับวัว และอีกคอกหนึ่งสำหรับม้า) ซึ่งตั้งอยู่ในฟาร์มปศุสัตว์สมมติของเขา สิ่งที่ดำรงอยู่จริงคือแกะ วัว และม้า (ซึ่งเป็นส่วนขยาย) แต่ไม่ใช่คอกและฟาร์มปศุสัตว์ที่เป็น "แนวคิด" สมมติเหล่านั้น

เมื่อรัสเซลประกาศว่า คลาส ทั้งหมดเป็นเรื่องสมมติที่มีประโยชน์ เขาได้แก้ปัญหาของคลาส "หน่วย" แต่ ปัญหา โดยรวมไม่ได้หายไป กลับกัน มันมาในรูปแบบใหม่: "ตอนนี้จำเป็นต้องแยกแยะ (1) เทอม (2) คลาส (3) คลาสของคลาส และอื่นๆ ไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุดเราจะต้องถือว่าไม่มีสมาชิกใดในเซตหนึ่งเป็นสมาชิกของเซตอื่น และx ε uต้องการให้xอยู่ในเซตที่มีดีกรีต่ำกว่าเซตที่uเป็นสมาชิกอยู่หนึ่งระดับ ดังนั้นx ε x จะกลายเป็นประพจน์ที่ไม่มีความหมาย และด้วยวิธีนี้จึงหลีกเลี่ยงความขัดแย้งได้" (1903:517)

นี่คือ "หลักคำสอนเรื่องประเภท" ของรัสเซลล์ เพื่อรับประกันว่านิพจน์ที่ไม่สามารถทำนายได้ เช่นx ε xสามารถนำมาพิจารณาในตรรกะของเขาได้ รัสเซลล์จึงเสนอสมมติฐานในการทำงานว่า นิยามที่ไม่สามารถทำนายได้ทั้งหมดนั้นมีนิยามที่สามารถทำนายได้ สมมติฐานนี้ต้องการแนวคิดเรื่อง "ลำดับ" ของฟังก์ชันและ "ประเภท" ของอาร์กิวเมนต์ ก่อนอื่น ฟังก์ชัน (และคลาสที่เป็นส่วนขยายของฟังก์ชัน เช่น "เมทริกซ์") จะต้องถูกจำแนกตาม "ลำดับ" โดยที่ฟังก์ชันของแต่ละบุคคลมีลำดับที่ 1 ฟังก์ชันของฟังก์ชัน (คลาสของคลาส) มีลำดับที่ 2 และอื่นๆ ต่อมา เขาให้นิยาม "ประเภท" ของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน ("อินพุต" ของฟังก์ชัน) ว่าเป็น "ช่วงของความสำคัญ" กล่าวคือ อินพุตα เหล่านั้น (แต่ละบุคคล? คลาส? คลาสของคลาส? ฯลฯ) คืออะไร ที่เมื่อนำไปใส่ในf ( x ) แล้วจะได้ผลลัพธ์ ω ที่มีความหมาย โปรดทราบว่านี่หมายความว่า "ประเภท" สามารถมีลำดับผสมได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้:

ประโยคนี้สามารถแยกออกเป็นสองอนุประโยคได้ คือ " xชนะเวิลด์ซีรีส์ปี 1947" + " yชนะเวิลด์ซีรีส์ปี 1947" ประโยคแรกใช้xเป็นตัวแปรบุคคล "Joe DiMaggio" ส่วนประโยคที่สองใช้yเป็นตัวแปรกลุ่ม "Yankees" ดังนั้น ประโยคประกอบนี้จึงมีประเภท (แบบผสม) เป็นประเภท 2 ซึ่งผสมกันในลำดับ (1 และ 2)

โดยคำว่า "predicative" รัสเซลล์หมายความว่าฟังก์ชันนั้นต้องมีลำดับสูงกว่า "type" ของตัวแปร ดังนั้นฟังก์ชัน (ลำดับ 2) ที่สร้างคลาสของคลาสจะสามารถรับอาร์กิวเมนต์สำหรับตัวแปรได้เฉพาะคลาส (type 1) และบุคคล (type 0) เท่านั้น เนื่องจากเป็น type ที่ต่ำกว่า type 3 จะรับได้เฉพาะ type 2, 1 หรือ 0 และอื่นๆ แต่ type เหล่านี้สามารถผสมกันได้ (ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ประโยคนี้เป็นจริง (ในระดับหนึ่ง): " zชนะ World Series ปี 1947" สามารถรับบุคคล (type 0) "Joe DiMaggio" และ/หรือชื่อเพื่อนร่วมทีมคนอื่นๆ ได้และสามารถรับคลาส (type 1) ของผู้เล่นแต่ละคน "The Yankees" ได้)

สัจพจน์ของการลดทอนได้คือสมมติฐานที่ว่าฟังก์ชันใดๆ ที่มีลำดับ ใดๆก็สามารถลดทอนลงเป็น (หรือแทนที่ด้วย) ฟังก์ชัน ทำนายที่ เทียบเท่ากัน ที่มีลำดับที่เหมาะสมได้^{[ 28 ]}การอ่านฉบับพิมพ์ครั้งแรกอย่างละเอียดแสดงให้เห็นว่า ฟังก์ชันทำนายลำดับที่ nไม่จำเป็นต้องแสดงออกมา "จนสุด" ในรูปของ "เมทริกซ์" ขนาดใหญ่หรือกลุ่มของข้อเสนออะตอมแต่ละตัว "เพราะในทางปฏิบัติมีเพียง ประเภท สัมพัทธ์ของตัวแปรเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นประเภทต่ำสุดที่เกิดขึ้นในบริบทที่กำหนดอาจเรียกว่าเป็นของแต่ละบุคคล" (หน้า 161) แต่สัจพจน์ของการลดทอนได้เสนอว่าในทางทฤษฎีการลดทอน "จนสุด" นั้นเป็นไปได้

อย่างไรก็ตาม ใน PMฉบับที่ 2 ปี 1927 รัสเซลล์ได้ละทิ้งสัจพจน์ของการลดทอนได้ และสรุปว่าเขาจะบังคับให้ลำดับของฟังก์ชันใดๆ "ลงไปจนถึงที่สุด" สู่ประพจน์พื้นฐานที่เชื่อมโยงกันด้วยตัวดำเนินการทางตรรกะ

ประโยคเงื่อนไขทั้งหมด ไม่ว่าจะเรียงลำดับอย่างไร ล้วนได้มาจากเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยประโยคเงื่อนไขพื้นฐานที่รวมกันโดยใช้เส้นขีด

("stroke" ในที่นี้หมายถึง " stroke" ของ Shefferซึ่งถูกนำมาใช้ใน PM ฉบับที่ 2 เป็นฟังก์ชันตรรกะแบบสองอาร์กิวเมนต์เพียงฟังก์ชันเดียว ซึ่งสามารถกำหนดฟังก์ชันตรรกะอื่นๆ ได้ทั้งหมดจากฟังก์ชันนี้)

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์โดยรวมคือทฤษฎีของเขาพังทลายลง รัสเซลล์ได้ข้อสรุปที่น่าผิดหวังนี้ว่า "ทฤษฎีของจำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณยังคงอยู่ ... แต่จำนวนอตรรกยะและจำนวนจริงโดยทั่วไปนั้นไม่สามารถจัดการได้อย่างเหมาะสมอีกต่อไป ... บางทีอาจมีสัจพจน์เพิ่มเติมบางอย่างที่น่ารังเกียจน้อยกว่าสัจพจน์ของการลดทอนได้ ซึ่งอาจให้ผลลัพธ์เหล่านี้ได้ แต่เรายังไม่ประสบความสำเร็จในการค้นหาสัจพจน์ดังกล่าว" ( PM 1927:xiv)

Gödel ในปี 1944 เห็นด้วยว่าโครงการตรรกศาสตร์ของ Russell ถูกขัดขวาง แต่ดูเหมือนเขาจะไม่เห็นด้วยว่าแม้แต่จำนวนเต็มก็ยังคงอยู่รอดมาได้:

[ในฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง] หลักการพื้นฐานของการลดทอนได้ถูกละทิ้งไป และมีการระบุไว้อย่างชัดเจนว่าภาคแสดงพื้นฐานทั้งหมดเป็นของประเภทที่ต่ำที่สุด และจุดประสงค์เดียวของตัวแปร (และเห็นได้ชัดว่ารวมถึงค่าคงที่ด้วย) ที่มีลำดับและประเภทสูงกว่าก็คือ เพื่อทำให้สามารถยืนยันฟังก์ชันความจริงที่ซับซ้อนกว่าของประพจน์อะตอมได้

อย่างไรก็ตาม เกอเดลยืนยันว่ากระบวนการนี้ดูเหมือนจะตั้งอยู่บนพื้นฐานของเลขคณิตในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง (หน้า 134) เขาสรุปว่า "จะได้จำนวนเต็มที่มีลำดับต่างกัน" (หน้า 134-135) การพิสูจน์ในภาคผนวก B ของ Russell ปี 1927 PMที่ว่า "จำนวนเต็มที่มีลำดับสูงกว่า 5 จะเหมือนกับจำนวนเต็มที่มีลำดับ 5" นั้น "ไม่เป็นที่สรุปได้" และ "คำถามที่ว่า (หรือในขอบเขตใด) ทฤษฎีของจำนวนเต็มสามารถได้มาบนพื้นฐานของลำดับชั้นแบบแตกแขนง [คลาสบวกประเภท] นั้นต้องถือว่ายังไม่ได้รับการแก้ไขในปัจจุบัน" เกอเดลสรุปว่าอย่างไรก็ตามมันจะไม่สำคัญ เพราะฟังก์ชันเชิงประพจน์ที่มีลำดับn ( n ใดๆ ) จะต้องถูกอธิบายโดยการรวมกันของสัญลักษณ์แบบจำกัด (ข้อความและเนื้อหาทั้งหมดมาจากหน้า 135)

ในงานเขียนปี 1944 ของเกอเดล เขาได้ระบุจุดที่เขาคิดว่าตรรกศาสตร์ของรัสเซลล์ล้มเหลว และเสนอแนะวิธีการแก้ไขปัญหา เขาเสนอให้พิจารณา "หลักการวงจรชั่วร้าย" ใหม่ โดยแบ่งออกเป็นสามส่วน คือ "สามารถนิยามได้เฉพาะในแง่ของ" "เกี่ยวข้อง" และ "ตั้งสมมติฐาน" ส่วนแรกนั้น "ทำให้การนิยามแบบไม่สามารถกำหนดได้เป็นไปไม่ได้ และทำลายการอนุมานคณิตศาสตร์จากตรรกศาสตร์ ซึ่งกระทำโดยเดเดคินด์และเฟรเก และทำลายคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เอง" เนื่องจากเขาให้เหตุผลว่า คณิตศาสตร์ดูเหมือนจะพึ่งพาคุณสมบัติที่ไม่สามารถกำหนดได้ในตัวมันเอง (เช่น "จำนวนจริงที่นิยามโดยอ้างอิงถึงจำนวนจริงทั้งหมด") เขาจึงสรุปว่าสิ่งที่เขาเสนอคือ "การพิสูจน์ว่าหลักการวงจรชั่วร้ายนั้นเป็นเท็จ [มากกว่า] การพิสูจน์ว่าคณิตศาสตร์คลาสสิกนั้นเป็นเท็จ" (อ้างอิงทั้งหมดจาก Gödel 1944:127)

ทฤษฎีไร้คลาสของรัสเซลเป็นรากเหง้าของปัญหา : เกอเดลเชื่อว่าการไม่สามารถระบุคลาสได้นั้นไม่ใช่ "เรื่องไร้สาระ" ดังที่ปรากฏอยู่ทั่วคณิตศาสตร์ ปัญหาของรัสเซลเกิดจากมุมมอง "เชิงสร้างสรรค์ (หรือเชิงนามนิยม)" ^{[ 29 ]} ของเขา ที่มีต่อวัตถุของตรรกะและคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งต่อประพจน์ คลาส และแนวคิด ... แนวคิดเป็นสัญลักษณ์ ... ดังนั้นวัตถุที่แยกจากกันซึ่งแสดงโดยสัญลักษณ์จึงปรากฏเป็นเพียงเรื่องสมมติ" (หน้า 128)

แท้จริงแล้ว ทฤษฎี "ไร้ชนชั้น" ของรัสเซลล์นั้น เกอเดลสรุปได้ว่า:

เป็นเรื่องที่น่าสนใจอย่างยิ่งในฐานะที่เป็นหนึ่งในตัวอย่างไม่กี่ตัวอย่างที่ดำเนินการอย่างละเอียดเกี่ยวกับแนวโน้มที่จะกำจัดสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของวัตถุภายนอก "ข้อมูล" และแทนที่ด้วยโครงสร้างบนพื้นฐานของข้อมูลเหล่านี้³³ "ข้อมูล" ในที่นี้หมายถึงความหมายเชิงสัมพัทธ์ กล่าวคือ ในกรณีของเราคือตรรกะที่ไม่มีสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของคลาสและแนวคิด ผลลัพธ์ในกรณีนี้โดยพื้นฐานแล้วเป็นลบ กล่าวคือ คลาสและแนวคิดที่นำมาใช้ในลักษณะนี้ไม่มีคุณสมบัติทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการใช้งานในคณิตศาสตร์ ... ทั้งหมดนี้เป็นเพียงการตรวจสอบมุมมองที่ได้รับการสนับสนุนข้างต้นว่าตรรกะและคณิตศาสตร์ (เช่นเดียวกับฟิสิกส์) สร้างขึ้นบนสัจพจน์ที่มีเนื้อหาจริงซึ่งไม่สามารถอธิบายให้หายไปได้

เขาปิดท้ายเรียงความด้วยข้อเสนอแนะและข้อสังเกตดังต่อไปนี้:

ควรดำเนินแนวทางที่อนุรักษ์นิยมมากกว่า เช่น การพยายามทำให้ความหมายของคำว่า "ชั้น" และ "แนวคิด" ชัดเจนยิ่งขึ้น และสร้างทฤษฎีที่สอดคล้องกันของชั้นและแนวคิดในฐานะสิ่งที่มีอยู่จริงอย่างเป็นรูปธรรม นี่คือแนวทางที่การพัฒนาตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ได้ดำเนินไป และซึ่งรัสเซลเองก็ถูกบังคับให้ต้องดำเนินการในส่วนที่สร้างสรรค์มากขึ้นของงานของเขา ความพยายามที่สำคัญในทิศทางนี้... ได้แก่ทฤษฎีประเภท อย่างง่าย ... และทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ซึ่งทั้งสองประสบความสำเร็จอย่างน้อยในระดับหนึ่ง คือ อนุญาตให้มีการอนุมานคณิตศาสตร์สมัยใหม่ได้ และในขณะเดียวกันก็หลีกเลี่ยงความขัดแย้งที่รู้จักกันทั้งหมด...

ดูเหมือนว่าจะเป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะสันนิษฐานว่า ความเข้าใจที่ไม่สมบูรณ์เกี่ยวกับพื้นฐานนี้เองที่เป็นสาเหตุที่ทำให้ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ยังคงล้าหลังกว่าความคาดหวังสูงของเปอาโนและคนอื่นๆ มาจนถึงปัจจุบัน...

ลัทธิตรรกะใหม่อธิบายถึงมุมมองต่างๆ ที่ผู้สนับสนุนถือว่าเป็นผู้สืบทอดจากโปรแกรมตรรกะดั้งเดิม^{[ 30 ]}ในแง่มุมที่แคบกว่านั้น ลัทธิตรรกะใหม่อาจถูกมองว่าเป็นการพยายามกอบกู้องค์ประกอบบางส่วนหรือทั้งหมดของ โปรแกรม ของ Fregeโดยใช้ระบบของ Frege เวอร์ชันที่แก้ไขแล้วในGrundgesetze (ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็น ตรรกะลำดับที่สองชนิดหนึ่ง)

ตัวอย่างเช่น อาจมีการแทนที่กฎพื้นฐานข้อที่ 5 (ซึ่งคล้ายคลึงกับแผนผังสัจพจน์ของการเข้าใจอย่างไม่จำกัดในทฤษฎีเซตแบบง่าย ) ด้วยสัจพจน์ที่ 'ปลอดภัยกว่า' เพื่อป้องกันการอนุมานของความขัดแย้งที่ทราบกันดี ผู้สมัครที่ถูกอ้างถึงมากที่สุดในการแทนที่ BLV คือหลักการของฮิวม์ซึ่งเป็นนิยามตามบริบทของ '#' ที่กำหนดโดย '# F = # G ก็ต่อเมื่อมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างFและG' [ ^{31 ] ลัทธิ}ตรรกะใหม่ประเภทนี้มักถูกเรียกว่าลัทธิเฟรเกียนใหม่^{[ 32 ]}ผู้สนับสนุนลัทธิเฟรเกียนใหม่ ได้แก่คริสปิน ไรท์และบ็อบ เฮล^ซึ่งบางครั้งก็เรียกว่าสำนักสก็อตติชหรือลัทธิเพลโตแบบนามธรรม [ ^{33 ]}ผู้สนับสนุนรูปแบบของรากฐานนิยมทางญาณวิทยา^{[ 34 ]}

ผู้สนับสนุนหลักอื่นๆ ของลัทธิเนโอโลจิสิซึม ได้แก่ Bernard Linsky และEdward N. Zalta ^ซึ่งบางครั้งเรียกว่าStanford–Edmonton School ^[ a ^]โครงสร้างนิยมเชิงนามธรรมหรือลัทธิเนโอโลจิสิซึมเชิงโมดอลซึ่งสนับสนุนรูปแบบของอภิปรัชญาเชิงสัจพจน์^{[ 34 ] [ 32 ]}ลัทธิเนโอโลจิสิซึมเชิงโมดอลได้รับสัจพจน์ของ Peanoภายในทฤษฎีวัตถุเชิงโมดอลลำดับที่สอง^{[ 35 ] [ 36 ]}

แนวทางกึ่งนีโอโลจิสต์อีกวิธีหนึ่งได้รับการเสนอแนะโดย M. Randall Holmes ในการแก้ไขGrundgesetze ประเภทนี้ BLV ยังคงอยู่ครบถ้วน ยกเว้นข้อจำกัดของสูตรที่สามารถแบ่งชั้นได้ในลักษณะเดียวกับNF ของ Quine และระบบที่เกี่ยวข้อง โดยพื้นฐานแล้ว Grundgesetzeทั้งหมดจึง 'ผ่าน' ระบบที่ได้นั้นมีความแข็งแกร่งของความสอดคล้องเช่นเดียวกับNFU ของJensen + สัจพจน์การนับของRosser ^{[ 37 ]}

• ปรัชญาคณิตศาสตร์แบบสัจนิยมของอริสโตเติล

• ริชาร์ด เดเดคินด์, 1858, 1878, บทความว่าด้วยทฤษฎีจำนวน , ฉบับแปลภาษาอังกฤษตีพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ Open Court Publishing Company ในปี 1901, สำนักพิมพ์ Dover ในปี 1963, ไมเนโอลา, นิวยอร์ก, ISBN 0-486-21010-3ประกอบด้วยบทความสองเรื่อง ได้แก่ 1. "ความต่อเนื่องและจำนวนอตรรกยะ" พร้อมคำนำฉบับดั้งเดิม และ 2. "ธรรมชาติและความหมายของจำนวน" พร้อมคำนำสองฉบับ (ค.ศ. 1887 และ 1893)
• Howard Eves, 1990, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics ฉบับที่สาม , Dover Publications, Inc, Mineola, NY, ISBN 0-486-69609-X.
• I. Grattan-Guinness, 2000, การค้นหารากฐานทางคณิตศาสตร์, 1870–1940: ตรรกศาสตร์ ทฤษฎีเซต และรากฐานของคณิตศาสตร์จากแคนเตอร์ ผ่านรัสเซล ถึงเกอเดล , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, พรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์, ISBN 0-691-05858-X.
• Jean van Heijenoort, 1967, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , พิมพ์ครั้งที่ 3 ปี 1976, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด, เคมบริดจ์, แมสซาชูเซตส์, ISBN 0-674-32449-8รวมถึง หนังสือ Begriffsschriftปี 1879 ของ Frege พร้อมคำอธิบายโดย van Heijenoort, หนังสือMathematical logic as based on the theory of types ปี 1908 ของ Russell พร้อมคำอธิบายโดย Willard V. Quine, หนังสือA new proof of the possibility of a well-ordering ปี 1908 ของ Zermelo พร้อมคำอธิบายโดย van Heijenoort, จดหมายจาก Russell ถึง Frege และจาก Russell ถึง Frege เป็นต้น
• Stephen C. Kleene, 1971, 1952, Introduction To Metamathematics 1991 พิมพ์ครั้งที่ 10, , North-Holland Publishing Company, Amsterdam, NY, ISBN 0-7204-2103-9.
• Mario Livio, 2011 "ทำไมคณิตศาสตร์ถึงได้ผล: คณิตศาสตร์ถูกประดิษฐ์ขึ้นหรือถูกค้นพบ? นักฟิสิกส์ดาราศาสตร์ชั้นนำชี้ว่าคำตอบของคำถามที่มีมานับพันปีคือทั้งสองอย่าง" Scientific American (ISSN 0036-8733), เล่มที่ 305, ฉบับที่ 2, สิงหาคม 2011, Scientific American ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ Nature America, Inc, นิวยอร์ก, นิวยอร์ก
• เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์, 1903, หลักการทางคณิตศาสตร์ เล่ม 1 , เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ สหราชอาณาจักร
• Paolo Mancosu, 1998, From Brouwer to Hilbert: The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s , Oxford University Press, New York, NY, ISBN 0-19-509632-0.
• เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์, 1912, ปัญหาของปรัชญา (พร้อมบทนำโดย จอห์น เพอร์รี 1997), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, นิวยอร์ก, นิวยอร์ก, ISBN 0-19-511552-X.
• เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์, 1919, บทนำสู่ปรัชญาคณิตศาสตร์ , บาร์นส์ แอนด์ โนเบิล อิงค์, นิวยอร์ก, นิวยอร์ก, ISBN 978-1-4114-2942-0นี่คือหนังสือคู่มือที่ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ สำหรับหนังสือ Principia Mathematica

  • อามิต ฮาการ์ 2005 บทนำสู่เบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ 1919 บทนำสู่ปรัชญาคณิตศาสตร์บาร์นส์ แอนด์ โนเบิล อิงค์ นิวยอร์ก รัฐนิวยอร์กISBN 978-1-4114-2942-0.

• Alfred North Whitehead และ Bertrand Russell, ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ปี 1927 (ฉบับพิมพ์ครั้งแรก ปี 1910–1913), Principia Mathematica ถึง *56, ฉบับพิมพ์ปี 1962, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, เคมบริดจ์ สหราชอาณาจักร, ไม่มี ISBN ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ย่อเหลือ *56 พร้อมคำนำฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2หน้า XIII-XLVI และภาคผนวก A ใหม่ (*8 ข้อเสนอที่มีตัวแปรปรากฏ ) แทนที่ *9 ทฤษฎีของตัวแปรปรากฏและภาคผนวก C ฟังก์ชันความจริงและอื่นๆ

• "ลัทธิตรรกศาสตร์" ในสารานุกรมคณิตศาสตร์