สมการของแม็กซ์เวลล์เป็นชุดสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย แบบคู่ ที่อธิบายว่า สนาม ไฟฟ้าและ สนาม แม่เหล็กเกิดขึ้นได้อย่างไรจากประจุไฟฟ้าและกระแส ไฟฟ้า เมื่อรวมกับ กฎ แรงลอเรนซ์แล้ว สมการ เหล่านี้เป็นพื้นฐานของแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกทัศนศาสตร์แบบคลาสสิกวงจรไฟฟ้าและวงจรแม่เหล็กสมการเหล่านี้เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับเทคโนโลยีไฟฟ้า ทัศนศาสตร์ และวิทยุ เช่น การผลิตพลังงาน มอเตอร์ไฟฟ้า การสื่อสาร ไร้สาย เลนส์ เรดาร์ เป็นต้น

สมการของแม็กซ์เวลล์มีรูปแบบหลักสองแบบ:

• สม การระดับ จุลภาคมีประโยชน์ใช้ได้ทั่วไป แต่ใช้งานยากสำหรับการคำนวณทั่วไป สมการเหล่านี้เชื่อมโยงสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเข้ากับประจุรวมและกระแสรวม รวมถึงประจุและกระแสที่ซับซ้อนในวัสดุในระดับอะตอมด้วย
• สม การระดับ มหภาคกำหนดขอบเขตเสริมใหม่สองขอบเขตที่อธิบายพฤติกรรมของสสารในระดับใหญ่โดยไม่ต้องพิจารณาประจุในระดับอะตอมและปรากฏการณ์ควอนตัม เช่น สปิน อย่างไรก็ตาม การใช้งานสมการเหล่านี้จำเป็นต้องใช้พารามิเตอร์ที่กำหนดจากการทดลองเพื่ออธิบายการตอบสนองทางแม่เหล็กไฟฟ้าของวัสดุในเชิงปรากฏการณ์

คำว่า "สมการของแม็กซ์เวลล์" มักใช้เรียกสูตรทางเลือกที่เทียบเท่ากัน ด้วย เช่นกัน สมการของแม็กซ์เวลล์ในรูปแบบที่อิงตามศักย์สเกลาร์ไฟฟ้าและ แม่เหล็ก นั้น นิยมใช้สำหรับการแก้สมการอย่างชัดเจนในฐานะปัญหาค่าขอบเขตกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์หรือสำหรับการใช้งานในกลศาสตร์ควอนตัมการกำหนดสูตรแบบโคแวเรียนต์ (บนปริภูมิเวลาแทนที่จะเป็นปริภูมิและเวลาแยกกัน) ทำให้เห็น ถึงความเข้ากันได้ของสมการของแม็กซ์เวลล์กับทฤษฎี สัมพัทธภาพพิเศษ สมการของแม็ กซ์เวลล์ในปริภูมิเวลาโค้งซึ่งมักใช้ใน ฟิสิกส์ พลังงานสูงและฟิสิกส์แรงโน้มถ่วงนั้น เข้ากันได้กับ ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป^{[หมายเหตุ 1 ]}

สมการของแม็กซ์เวลล์ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ผู้ซึ่งในปี พ.ศ. 2404 และ พ.ศ. 2405 ได้ตีพิมพ์สมการรูปแบบแรกๆ ที่รวมถึงกฎแรงลอเรนซ์ การตีพิมพ์สมการดังกล่าวถือเป็นการรวมทฤษฎีสำหรับปรากฏการณ์ที่เคยอธิบายแยกกันมาก่อน ได้แก่ แม่เหล็ก ไฟฟ้า แสง และรังสีที่เกี่ยวข้อง รูปแบบสมการสมัยใหม่ในรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดนั้นได้รับการยกย่องให้เป็นผลงานของโอลิเวอร์ เฮวิไซด์^{[ 1 ]}

นับตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 เป็นต้นมา เป็นที่เข้าใจกันว่าสมการของแม็กซ์เวลล์ไม่ได้ให้คำอธิบายที่แม่นยำเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้า แต่เป็นเพียง ขีดจำกัด แบบคลาสสิกของทฤษฎี ควอนตั ม อิเล็กโทรไดนามิกส์ ที่แม่นยำกว่า

สมการของแม็กซ์เวลล์ที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดสองรูปแบบคือ รูปแบบเชิงอนุพันธ์ ระดับจุลภาคและระดับมหภาคในหน่วย SI

ใน รูปแบบ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและใน หน่วย SIสมการจุลภาคของแม็กซ์เวลล์เขียนได้ดังนี้ (จากบนลงล่าง: กฎของเกาส์ , กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็ก , กฎของฟาราเดย์ , กฎของแอมแปร์-แม็กซ์เวลล์ )

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\nabla \cdot \mathbf {E} &=&{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=&0\\\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\บางส่วน \mathbf {B} }{\บางส่วน t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=&\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\บางส่วน \mathbf {E} }{\บางส่วน t}}\right)\end{array}}}$$

ในสมการเหล่านี้คือสนามไฟฟ้า คือสนามแม่เหล็ก คือความหนาแน่นประจุไฟฟ้าทั้งหมดคือความหนาแน่นกระแสทั้งหมดคือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของสุญญากาศคือค่าสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กของสุญญากาศคือ ตัวดำเนินการไดเวอร์เจนซ์และคือ ตัวดำเนิน การ เคิร์ล ${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \nabla \cdot }$${\displaystyle \nabla \times }$

สมการมาโครสโคปิกของแม็กซ์เวลล์ สามารถเขียนได้ ใน รูปแบบ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและใน หน่วย SI ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\nabla \cdot \mathbf {D} &=&\rho _{f}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=&0\\\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\บางส่วน \mathbf {B} }{\บางส่วน t}}\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} _{f}+{\frac {\บางส่วน \mathbf {D} }{\บางส่วน t}}\end{array}}}$$

ในสมการเหล่านี้ คือสนามการกระจัดทางไฟฟ้าคือสนามไฟฟ้าคือสนามแม่เหล็กคือความ เข้ม ของสนามแม่เหล็กคือ ความหนาแน่น ประจุไฟฟ้าอิสระคือความหนาแน่นกระแสอิสระคือ ตัวดำเนินการไดเวอร์เจนซ์และ คือตัวดำเนินการเคิร์ล ${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \rho _{f}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$${\displaystyle \nabla \cdot }$${\displaystyle \nabla \times }$

กฎของเกาส์อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสนามไฟฟ้าและประจุไฟฟ้ากล่าวคือ สนามไฟฟ้าจะชี้ออกจากประจุบวกและชี้เข้าหาประจุลบ และการไหลออก สุทธิ ของสนามไฟฟ้าผ่านพื้นผิวปิดจะเป็นสัดส่วนกับประจุที่อยู่ภายใน ซึ่งรวมถึงประจุที่ถูกผูกไว้เนื่องจากการโพลาไรเซชันของวัสดุ สัมประสิทธิ์ของสัดส่วนคือค่า สภาพยอมทาง ไฟฟ้า ของสุญญากาศ

กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็กระบุว่าประจุไฟฟ้าไม่มีสิ่งที่เทียบเคียงได้กับแม่เหล็ก เรียกว่าโมโนโพลแม่เหล็กไม่มีขั้วแม่เหล็กเหนือหรือใต้ที่อยู่โดดเดี่ยว^{[ 2 ]}แต่สนามแม่เหล็กของวัสดุนั้นเกิดจากไดโพลและการไหลออกสุทธิของสนามแม่เหล็กผ่านพื้นผิวปิดเป็นศูนย์ ไดโพลแม่เหล็กอาจแสดงเป็นวงจรของกระแสหรือคู่ที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ของ "ประจุแม่เหล็ก" ที่เท่ากันและตรงข้ามกัน กล่าวคือ ฟลักซ์แม่เหล็ก ทั้งหมด ที่ผ่านพื้นผิวเกาส์เซียนเป็นศูนย์ และสนามแม่เหล็กเป็นสนามเวกเตอร์โซลีนอยด์ [ ^{หมายเหตุ 2 ]}

กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ในเวอร์ชันของ แม็ ก ซ์เวลล์ -ฟาราเดย์ อธิบายว่า สนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาสอดคล้องกับเคิร์ลเชิงลบของสนามไฟฟ้า^{[ 2 ]} ในรูปแบบอินทิกรัล ระบุว่างานต่อหน่วยประจุที่จำเป็นในการ เคลื่อนประจุไปรอบวงปิดเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็กผ่านพื้นผิวที่ล้อมรอบ

การเหนี่ยวนำแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นหลักการทำงานเบื้องหลังเครื่องกำเนิดไฟฟ้า หลายชนิด ตัวอย่างเช่นแม่เหล็กแท่ง หมุน สร้างสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงและก่อให้เกิดสนามไฟฟ้าในสายไฟที่อยู่ใกล้เคียง

กฎของแอมแปร์ดั้งเดิมกล่าวว่าสนามแม่เหล็กมีความสัมพันธ์กับกระแสไฟฟ้าส่วนกฎของแม็กซ์เวลล์กล่าวว่าสนามแม่เหล็กยังมีความสัมพันธ์กับสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลง ซึ่งแม็กซ์เวลล์เรียกว่ากระแสการกระจัดรูปแบบปริพันธ์กล่าวว่ากระแสไฟฟ้าและกระแสการกระจัดมีความสัมพันธ์กับสนามแม่เหล็กที่เป็นสัดส่วนกันตามเส้นโค้งใดๆ ที่ล้อมรอบอยู่

การปรับเปลี่ยนกฎวงจรของแอมแปร์โดยแม็กซ์เวลล์มีความสำคัญเนื่องจากกฎของแอมแปร์และเกาส์จะต้องได้รับการปรับสำหรับสนามสถิต^{[ 3 ]}ผลที่ตามมาคือทำนายว่าสนามแม่เหล็กหมุนเกิดขึ้นพร้อมกับสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลง^{[ 2 ] [ 4 ]} ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งคือการมีอยู่ของ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ยั่งยืนซึ่งเดินทางผ่านอวกาศว่างเปล่า

ความเร็วที่คำนวณได้สำหรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งสามารถทำนายได้จากการทดลองเกี่ยวกับประจุและกระแสไฟฟ้า^{[หมายเหตุ 3 ]}ตรงกับความเร็วแสงอันที่จริงแสงเป็นรูปแบบหนึ่งของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า (เช่นเดียวกับรังสีเอ็กซ์คลื่นวิทยุและอื่นๆ) แม็กซ์เวลล์เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าและแสงในปี 1861 จึงได้รวมทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าและทัศนศาสตร์ เข้าด้วย กัน

ในการกำหนดสูตรสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก มีสมการสี่สมการที่กำหนดสนามสำหรับการกระจายประจุและกระแสที่กำหนดกฎธรรมชาติ ที่แยกต่างหาก กฎแรงลอเรนซ์อธิบายว่าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กกระทำต่ออนุภาคที่มีประจุและกระแสอย่างไร ตามธรรมเนียมแล้ว เวอร์ชันของกฎนี้ในสมการดั้งเดิมของแม็กซ์เวลล์จะไม่ถูกรวมไว้อีกต่อไป รูปแบบ แคลคูลัสเวกเตอร์ด้านล่าง งานของOliver Heaviside [ ^{5 ] [ 6 ] ได้}กลายเป็นมาตรฐาน มันมีความไม่แปรผันต่อการหมุน และด้วยเหตุนี้จึงมีความโปร่งใสทางคณิตศาสตร์มากกว่าสมการ 20 สมการดั้งเดิมของแม็กซ์เวลล์ในส่วนประกอบx , yและz สูตรสัมพัทธภาพมีความสมมาตรมากกว่าและไม่แปรผันต่อลอเรนซ์ สำหรับสมการเดียวกันที่แสดงโดยใช้แคลคูลัสเทนเซอร์หรือรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (ดู§ สูตรทางเลือก )

สูตรเชิงอนุพันธ์และสูตรเชิงปริพันธ์นั้นเทียบเท่ากันทางคณิตศาสตร์ ทั้งสองสูตรมีประโยชน์ สูตรเชิงปริพันธ์เชื่อมโยงสนามภายในบริเวณของพื้นที่กับสนามบนขอบเขต และมักใช้เพื่อลดความซับซ้อนและคำนวณสนามโดยตรงจากการกระจายประจุและกระแสแบบสมมาตร ในทางกลับกัน สมการเชิงอนุพันธ์เป็นแบบเฉพาะที่และเป็นจุดเริ่มต้นที่เป็นธรรมชาติมากกว่าสำหรับการคำนวณสนามในสถานการณ์ที่ซับซ้อนกว่า (สมมาตรน้อยกว่า) เช่น การใช้การวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด^{[ 7 ]}

สัญลักษณ์ที่เป็นตัวหนาแทน ปริมาณ เวกเตอร์และสัญลักษณ์ที่เป็นตัวเอียงแทนปริมาณสเกลาร์ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น สมการเหล่านี้แนะนำ สนามไฟฟ้า E ซึ่งเป็นสนามเวกเตอร์และสนามแม่เหล็กBซึ่ง เป็นสนามเสมือน เวกเตอร์โดยแต่ละสนามโดยทั่วไปจะมีการเปลี่ยนแปลงตามเวลาและตำแหน่ง แหล่งที่มาคือ

• ความหนาแน่นประจุไฟฟ้ารวม(ประจุรวมต่อหน่วยปริมาตร) ρและ
• ความ หนาแน่นกระแสไฟฟ้ารวม(กระแสไฟฟ้ารวมต่อหน่วยพื้นที่) J

ค่าคงที่สากลที่ปรากฏในสมการ (สองค่าแรกปรากฏอย่างชัดเจนเฉพาะในระบบหน่วย SI เท่านั้น) ได้แก่:

• ค่า สภาพยอมทาง ไฟฟ้าของสุญญากาศ ε และ
• ค่า การซึมผ่าน พื้นที่ว่าง μ 0และ
• ความเร็วแสง​${\displaystyle c=({\varepsilon _{0}\mu _{0}})^{-1/2}}$

ในสมการเชิงอนุพันธ์

• สัญลักษณ์นาบลา ∇ แทน ตัว ดำเนินการเกรเดียนต์สามมิติdel
• สัญลักษณ์∇⋅ (อ่านว่า "เดล ดอท") แทนตัวดำเนินการไดเวอร์เจน ซ์
• สัญลักษณ์∇× (อ่านว่า "เดล ครอส") แทนตัวดำเนินการเคิร์ล

ในสมการเชิงอินทิกรัล

• Ωคือปริมาตรใดๆ ที่มีพื้นผิวขอบเขต ปิด ∂Ωและ
• Σ คือพื้นผิวใดๆ ที่มีเส้นโค้งปิด∂Σ

สมการจะตีความได้ง่ายขึ้นเล็กน้อยเมื่อใช้พื้นผิวและปริมาตรที่ไม่ขึ้นกับเวลา พื้นผิวและปริมาตรที่ไม่ขึ้นกับเวลาจะ "คงที่" และไม่เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาที่กำหนด ตัวอย่างเช่น เนื่องจากพื้นผิวไม่ขึ้นกับเวลา เราจึงสามารถนำการอนุพันธ์มาไว้ใต้เครื่องหมายอินทิกรัลในกฎของฟาราเดย์ ได้ สมการของแม็กซ์เวลล์สามารถกำหนดได้โดยใช้พื้นผิวและปริมาตรที่อาจขึ้นกับเวลาได้โดยใช้เวอร์ชันเชิงอนุพันธ์และใช้ทฤษฎีบทของเกาส์และสโตกส์ตามความเหมาะสม $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,}$$

• ${\displaystyle {\vphantom {\int }}_{\scriptstyle \partial \Omega }}$เป็นปริพันธ์พื้นผิวเหนือพื้นผิวขอบเขต∂Ωโดยที่วงกลมแสดงว่าพื้นผิวนั้นเป็นพื้นผิวปิด
• ${\displaystyle \iiint _{\Omega }}$คือปริพันธ์ปริมาตรเหนือปริมาตรΩ
• ${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }}$เป็นปริพันธ์เชิงเส้นรอบเส้นโค้งขอบเขต∂Σโดยที่วงกลมแสดงว่าเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นโค้งปิด
• ${\displaystyle \iint _{\Sigma }}$เป็นปริพันธ์พื้นผิวเหนือพื้นผิวΣ
• ประจุไฟฟ้าทั้งหมดQที่ล้อมรอบอยู่ในΩคือปริมาตรอินทิกรัลเหนือΩของความหนาแน่นประจุρ (ดูส่วน "การกำหนดสูตรในระดับมหภาค" ด้านล่าง): โดย ที่d V คือองค์ประกอบปริมาตร$${\displaystyle Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,}$$
• ฟลักซ์แม่เหล็กสุทธิΦ คือปริพันธ์พื้นผิวของสนามแม่เหล็กBที่ผ่านพื้นผิวคงที่Σ :$${\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$
• ฟลักซ์ไฟฟ้า สุทธิΦ คือปริพันธ์พื้นผิวของสนามไฟฟ้าEที่ผ่านΣ :$${\displaystyle \Phi _{E}=\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$
• กระแสไฟฟ้าสุทธิIคือปริพันธ์พื้นผิวของความหนาแน่นกระแสไฟฟ้าJที่ผ่านΣ : โดยที่d Sแทนองค์ประกอบเวกเตอร์เชิง อนุพันธ์ ของพื้นที่ผิวSซึ่งตั้งฉากกับพื้นผิวΣ (บางครั้งพื้นที่เวกเตอร์อาจใช้สัญลักษณ์AแทนSแต่สัญลักษณ์นี้ขัดแย้งกับสัญลักษณ์สำหรับศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก )$${\displaystyle I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$

ชื่อ	สมการ อินทิกรัล	สมการเชิงอนุพันธ์
กฎของเกาส์	${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็ก	${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
สมการแม็กซ์เวลล์-ฟาราเดย์ ( กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ )	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
กฎของแอมแปร์-แม็กซ์เวลล์	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\left(\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\varepsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$

นิยามของประจุ สนามไฟฟ้า และสนามแม่เหล็กสามารถเปลี่ยนแปลงได้เพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณทางทฤษฎี โดยการดูดซับปัจจัยมิติ ของ ε และμ เข้าไปในหน่วย (และด้วยเหตุนี้จึงกำหนดนิยามใหม่) ด้วยการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในค่าของปริมาณสำหรับ กฎ แรงลอเรนซ์จะทำให้ได้ฟิสิกส์เดียวกัน กล่าวคือ วิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุ หรืองานที่ทำโดยมอเตอร์ไฟฟ้า นิยามเหล่านี้มักเป็นที่นิยมในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและฟิสิกส์พลังงานสูง ซึ่งเป็นเรื่องปกติที่จะใช้สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่มีหน่วยเดียวกัน เพื่อลดความซับซ้อนของการปรากฏของเทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า : วัตถุร่วมแปรลอเรนซ์ที่รวมสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเข้าด้วยกันจะมีส่วนประกอบที่มีหน่วยและมิติที่สม่ำเสมอ^{[ 8 ] : vii} นิยามที่แก้ไขดังกล่าวโดยทั่วไปใช้กับหน่วยเกาส์เซียน ( CGS ) การใช้นิยามเหล่านี้ ซึ่งเรียกกันทั่วไปว่า "ในหน่วยเกาส์เซียน" ^{[ 9 ]} สมการของแม็กซ์เวลล์จะกลายเป็น: ^{[ 10 ]}

ชื่อ	สมการอินทิกรัล	สมการเชิงอนุพันธ์
กฎของเกาส์	${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =4\pi \iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho }$
กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็ก	${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
สมการแม็กซ์เวลล์-ฟาราเดย์ ( กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์ )	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
กฎของแอมแปร์-แม็กซ์เวลล์	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\left(4\pi \iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {\mathrel {\mathrm {d} }}{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}$

สมการจะง่ายขึ้นเล็กน้อยเมื่อเลือกใช้ระบบปริมาณที่มีความเร็วแสงcสำหรับการทำให้เป็นหน่วยไร้มิติเช่น วินาทีและวินาทีแสงสามารถใช้แทนกันได้ และc = 1

การเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมเป็นไปได้โดยการดูดซับปัจจัย4πกระบวนการนี้เรียกว่า การทำให้เป็นเหตุเป็นผล (rationalization) ซึ่งส่งผลต่อว่ากฎของคูลอมบ์หรือกฎของเกาส์จะรวมปัจจัยดังกล่าวหรือไม่ (ดูหน่วย Heaviside–Lorentzซึ่งใช้เป็นหลักในฟิสิกส์อนุภาค )

ความเท่าเทียมกันของสูตรเชิงอนุพันธ์และสูตรเชิงปริพันธ์เป็นผลมาจากทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ของเกาส์และทฤษฎีบทเคลวิน-สโตกส์

ตามทฤษฎีบทการล divergence ของเกาส์ (ซึ่งเป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ล้วนๆ) ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ผ่าน พื้นผิวขอบเขต∂Ωสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V}$

ดังนั้น สมการของเกาส์ในรูปแบบปริพันธ์จึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ เนื่องจากΩเป็นค่าใดๆ (เช่น ลูกบอลขนาดเล็กที่มีจุดศูนย์กลางใดๆ) เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตัวถูกอินทิเกรตเป็นศูนย์ทุกที่ นี่คือการกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ของสมการของเกาส์โดยมีการจัดเรียงใหม่เพียงเล็กน้อย $${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0}$$

ในทำนองเดียวกัน การเขียนฟลักซ์แม่เหล็กในกฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็กในรูปแบบปริพันธ์จะได้ดังนี้

${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.}$

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทุกΩก็ต่อเมื่อทุกที่ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

จากทฤษฎีบทเคลวิน-สโตกส์เราสามารถเขียนอินทิกรัลเส้นของสนามรอบเส้นโค้งปิด∂Σใหม่เป็นอินทิกรัลของ "การหมุนเวียนของสนาม" (เช่นเคิร์ล ของสนาม ) บนพื้นผิวที่มันล้อมรอบ กล่าวคือ ดังนั้นกฎของแอมแปร์-แม็กซ์เวลล์ซึ่งเป็นเวอร์ชันที่ปรับปรุงแล้วของกฎวงจรของแอมแปร์ ในรูปแบบอินทิกรัล สามารถเขียนใหม่ได้เป็น เนื่องจากΣสามารถเลือกได้ตามอำเภอใจ เช่น เป็นวงกลมขนาดเล็กตามอำเภอใจ มีทิศทางตามอำเภอใจ และมีจุดศูนย์กลางตามอำเภอใจ เราจึงสรุปได้ว่าตัวถูกอินทิเกรตเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อกฎของแอมแปร์-แม็กซ์เวลล์ในรูปแบบสมการเชิงอนุพันธ์เป็นจริง ความเท่าเทียมกันของกฎของฟาราเดย์ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลก็เป็นไปในทำนองเดียวกัน $${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,}$$$${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.}$$

ปริมาณอินทิกรัลตามเส้นและเคิร์ลนั้นคล้ายคลึงกับปริมาณในพลศาสตร์ของไหล แบบคลาสสิก กล่าวคือ การไหลเวียนของของไหลคือปริมาณอินทิกรัลตามเส้นของ สนาม ความเร็ว การไหลของของไหล รอบวงปิด และความหมุนของของไหลคือเคิร์ลของสนามความเร็ว

ความไม่เปลี่ยนแปลงของประจุสามารถอนุมานได้จากสมการของแม็กซ์เวลล์ ด้านซ้ายของกฎแอมแปร์-แม็กซ์เวลล์มีไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์โดยใช้เอกลักษณ์ไดเวอร์เจนซ์-เคิร์ลการขยายไดเวอร์เจนซ์ของด้านขวา การสลับอนุพันธ์ และการใช้กฎของเกาส์จะได้: กล่าวคือ โดยทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ของเกาส์ หมายความว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของประจุในปริมาตรคงที่เท่ากับกระแสสุทธิที่ไหลผ่านขอบเขต: $${\displaystyle 0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในระบบที่แยกตัวออกไป ประจุรวมจะคงที่

ในบริเวณที่ไม่มีประจุ ( ρ = 0 ) และไม่มีกระแสไฟฟ้า ( J = 0 ) เช่นในสุญญากาศ สมการของแม็กซ์เวลล์จะลดรูปเหลือดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0.\end{aligned}}}$$

เมื่อนำค่า curl (∇×)ของสมการ curl มาใช้ และใช้ค่า curl ของเอกลักษณ์ curlเราจะได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

ปริมาณดัง กล่าว มีมิติ (T/L) ²เมื่อกำหนดสมการข้างต้นจะมีรูปแบบเป็นสมการคลื่น มาตรฐาน${\displaystyle \mu _{0}\varepsilon _{0}}$${\displaystyle c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}}$$

ในช่วงชีวิตของแม็กซ์เวลล์ มีการค้นพบว่าค่าที่ทราบสำหรับและให้ค่าซึ่งในขณะนั้นทราบกันดีอยู่แล้วว่าเป็นความเร็วแสงในสุญญากาศ สิ่งนี้ทำให้เขาเสนอว่าแสงและคลื่นวิทยุเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แพร่กระจาย ซึ่งได้รับการยืนยันอย่างชัดเจนในภายหลัง ในระบบหน่วย SI แบบเก่าค่าของและเป็นค่าคงที่ที่กำหนดไว้ (ซึ่งหมายความว่าตามนิยาม) ที่กำหนดแอมแปร์และเมตร ใน ระบบ SI ใหม่มีเพียงc เท่านั้น ที่ยังคงมีค่าที่กำหนดไว้ และประจุอิเล็กตรอนได้รับค่าที่กำหนดไว้ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle c\approx 2.998\times 10^{8}~{\text{m/s}}}$${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}}$${\displaystyle c=299\,792\,458~{\text{m/s}}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}=8.854\,187\,8...\times 10^{-12}~{\text{F/m}}}$

ในวัสดุที่มีค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าสัมพัทธ์ ε r ค่าสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กสัมพัทธ์ μ r เฟสของแสงจะกลายเป็น ซึ่งโดยปกติ^{[หมายเหตุ 4 ]}จะน้อยกว่าc$${\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}},}$$

นอกจากนี้EและBตั้งฉากกันและตั้งฉากกับทิศทางการแพร่กระจายของคลื่น และมีเฟสตรงกัน คลื่นระนาบ ไซน์เป็นหนึ่งในคำตอบพิเศษของสมการเหล่านี้ สมการของแม็กซ์เวลล์อธิบายว่าคลื่นเหล่านี้สามารถแพร่กระจายผ่านอวกาศได้อย่างไร สนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงสร้างสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงผ่านกฎของฟาราเดย์ในทางกลับกัน สนามไฟฟ้าดังกล่าวสร้างสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงผ่านการปรับปรุงกฎวงจรของแอมแปร์โดยแม็ก ซ์เวลล์ วัฏจักร ที่ไม่มีที่สิ้นสุดนี้ทำให้คลื่นเหล่านี้ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าสามารถเคลื่อนที่ผ่านอวกาศด้วยความเร็วcได้

สมการข้างต้นเป็นสมการของแม็กซ์เวลล์ในระดับจุลภาค ซึ่งแสดงสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กในรูปของประจุและกระแสไฟฟ้า (ซึ่งอาจอยู่ในระดับอะตอม) บางครั้งเรียกว่ารูปแบบ "ทั่วไป" แต่รูปแบบมหภาคด้านล่างก็มีความเป็นทั่วไปเช่นกัน ความแตกต่างอยู่ที่วิธีการบันทึกข้อมูลเท่านั้น

เวอร์ชันระดับจุลภาคบางครั้งเรียกว่า "สมการของแม็กซ์เวลล์ในสุญญากาศ" ซึ่งหมายถึงข้อเท็จจริงที่ว่าตัวกลางของวัสดุไม่ได้ถูกสร้างขึ้นในโครงสร้างของสมการ แต่ปรากฏเฉพาะในเทอมประจุและกระแสเท่านั้น เวอร์ชันระดับจุลภาคนี้ได้รับการแนะนำโดยลอเรนซ์ ซึ่งพยายามใช้มันเพื่อหาคุณสมบัติระดับมหภาคของสสารจำนวนมากจากส่วนประกอบระดับจุลภาค^{[ 11 ] : 5}

"สมการมหภาคของแม็กซ์เวลล์" หรือที่รู้จักกันในชื่อสมการของแม็กซ์เวลล์ในเรื่องสสารนั้นมีลักษณะคล้ายคลึงกับสมการที่แม็กซ์เวลล์ได้เสนอไว้มากกว่า

ชื่อ	สมการเชิงอิน ทิก รัล (SI)	สมการเชิงอนุพันธ์ (SI)	สมการเชิงอนุพันธ์(ระบบเกาส์เซียน)
กฎของเกาส์	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$${\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\rho _{\text{f}}\,\mathrm {d} V}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}}$
กฎของแอมแปร์-แม็กซ์เวลล์	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\\&\iint _{\Sigma }\mathbf {J} _{\text{f}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)}$
กฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็ก	${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
สมการแม็กซ์เวลล์-ฟาราเดย์ (กฎการเหนี่ยวนำของฟาราเดย์)	${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

มหภาค อิทธิพลของประจุผูกพันQb กระแสผูกพันIbถูกรวมเข้ากับ สนาม การกระจัดและสนามแม่เหล็กHในขณะที่สมการขึ้นอยู่กับประจุอิสระ Qf และกระแสอิสระ If เท่านั้นซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงการแยกประจุไฟฟ้าทั้งหมดQและกระแสI (และความหนาแน่นρและJ ของ มัน ) ออกเป็นส่วนอิสระและส่วนผูกพัน: $${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V,\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .\end{aligned}}}$$

ต้นทุนของการแยกส่วนนี้คือ จำเป็นต้องกำหนดสนามเพิ่มเติมDและH ผ่านสมการองค์ประกอบเชิงปรากฏการณ์ที่เชื่อมโยงสนามเหล่านี้กับสนามไฟฟ้า Eและสนามแม่เหล็กBรวมถึงประจุและกระแสที่ถูกผูกไว้ด้วย

ดูคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างสมการระดับจุลภาค ซึ่งเกี่ยวข้องกับประจุและกระแสรวม รวมถึงส่วนประกอบของวัสดุ ซึ่งมีประโยชน์ในอากาศ/สุญญากาศ^{[หมายเหตุ 5 ]} และสมการระดับมหภาค ซึ่งเกี่ยวข้องกับประจุและกระแสอิสระ ซึ่งใช้งานได้จริงในวัสดุ ด้านล่างนี้

เมื่อสนามไฟฟ้าถูกนำไปใช้กับวัสดุไดอิเล็กทริก โมเลกุลของวัสดุจะตอบสนองโดยการสร้างไดโพลไฟฟ้า ขนาดเล็ก – นิวเคลียสของอะตอมจะเคลื่อนที่ในระยะทางเล็กน้อยในทิศทางของสนาม ในขณะที่อิเล็กตรอนจะเคลื่อนที่ในระยะทางเล็กน้อยในทิศทางตรงกันข้าม สิ่งนี้ทำให้เกิดประจุผูกพันขนาดใหญ่ ในวัสดุ แม้ว่าประจุทั้งหมดที่เกี่ยวข้องจะถูกผูกไว้กับโมเลกุลแต่ละตัวก็ตาม ตัวอย่างเช่น หากโมเลกุลทุกตัวตอบสนองเหมือนกัน คล้ายกับที่แสดงในรูป การเคลื่อนที่เล็กๆ ของประจุเหล่านี้จะรวมกันเพื่อสร้างชั้นของประจุผูกพัน บวก ที่ด้านหนึ่งของวัสดุและชั้นของประจุลบที่อีกด้านหนึ่ง ประจุผูกพันนั้นสามารถอธิบายได้สะดวกที่สุดในแง่ของโพลาไรเซชันPของวัสดุ ซึ่งก็คือโมเมนต์ไดโพลต่อหน่วยปริมาตร หากPมีค่าสม่ำเสมอ การแยกประจุขนาดใหญ่จะเกิดขึ้นเฉพาะที่พื้นผิวที่Pเข้าและออกจากวัสดุเท่านั้น สำหรับP ที่ไม่สม่ำเสมอ ประจุจะเกิดขึ้นในเนื้อวัสดุด้วย^{[ 12 ]}

ในทำนองเดียวกัน ในวัสดุทั้งหมด อะตอมที่เป็นส่วนประกอบจะแสดงโมเมนต์แม่เหล็กที่เชื่อมโยงโดยเนื้อแท้กับโมเมนตัมเชิงมุมของส่วนประกอบของอะตอม โดยเฉพาะอย่างยิ่งอิเล็กตรอนการเชื่อมโยงกับโมเมนตัมเชิงมุมชี้ให้เห็นภาพของการประกอบกันของวงจรไฟฟ้ากระแสขนาดเล็ก นอกวัสดุ การประกอบกันของวงจรไฟฟ้ากระแสขนาดเล็กดังกล่าวไม่แตกต่างจากกระแสไฟฟ้าขนาดใหญ่ที่ไหลเวียนรอบพื้นผิวของวัสดุ แม้ว่าจะไม่มีประจุใดเคลื่อนที่เป็นระยะทางไกลก็ตามกระแสไฟฟ้าที่ถูกผูกไว้^{เหล่า} นี้ สามารถอธิบายได้โดยใช้ค่าสนามแม่เหล็กM [ ^{13 ]}

ดังนั้น ประจุและกระแสผูกพันที่ซับซ้อนและละเอียดมาก จึงสามารถแสดงได้ในระดับมหภาคโดยใช้PและMซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของประจุและกระแสเหล่านี้ในระดับที่ใหญ่พอที่จะไม่เห็นความละเอียดของอะตอมแต่ละตัว แต่ก็เล็กพอที่จะแปรผันไปตามตำแหน่งในวัสดุ ด้วยเหตุนี้สมการมหภาคของแม็กซ์เวลล์จึงละเลยรายละเอียดมากมายในระดับละเอียดซึ่งอาจไม่สำคัญต่อการทำความเข้าใจเรื่องต่างๆ ในระดับมหภาคโดยการคำนวณสนามที่หาค่าเฉลี่ยในช่วงปริมาตรที่เหมาะสม

นิยามของสนามเสริมมีดังนี้: โดย ที่Pคือ สนาม โพลาไรเซชันและMคือ สนาม แมกเนติเซชันซึ่งกำหนดในรูปของประจุผูกพันระดับจุลภาคและกระแสผูกพันตามลำดับ ความหนาแน่นของประจุผูกพันระดับมหภาคρ และความหนาแน่นของกระแสผูกพันระดับมหภาคJ ในรูปของโพลาไรเซชันPและแมกเนติเซชันMจะถูกกำหนดดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t),\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,\\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$$

ถ้าเรากำหนดความหนาแน่นของประจุและกระแสไฟฟ้าทั้งหมด ประจุผูกพัน และประจุอิสระโดย ใช้ความสัมพันธ์ที่กำหนดไว้ข้างต้นเพื่อกำจัดDและHสมการของแม็กซ์เวลล์ในระดับ "มหภาค" จะสร้างสมการในระดับ "จุลภาค" ขึ้นมาใหม่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},\end{aligned}}}$$

เพื่อที่จะนำ 'สมการมาโครสโคปิกของแม็กซ์เวลล์' มาใช้ จำเป็นต้องระบุความสัมพันธ์ระหว่างสนามการกระจัดDและสนามไฟฟ้าEรวมถึงสนามแม่เหล็กHและสนามแม่เหล็กBหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องระบุการพึ่งพาของโพลาไรเซชันP (ดังนั้นประจุที่ถูกผูกไว้) และการทำให้เป็นแม่เหล็กM (ดังนั้นกระแสที่ถูกผูกไว้) บนสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่ใช้ สมการที่ระบุการตอบสนองนี้เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างสำหรับวัสดุในโลกแห่งความเป็นจริง ความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างมักจะไม่เรียบง่าย ยกเว้นโดยประมาณ และมักจะถูกกำหนดโดยการทดลอง ดูบทความหลักเกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างสำหรับคำอธิบายที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น^{[ 14 ] : 44–45}

สำหรับวัสดุที่ไม่มีโพลาไรเซชันและแม่เหล็ก ความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างคือ (ตามคำนิยาม) ^{[ 8 ] : 2} โดยที่ε คือค่าสภาพยอมของสุญญากาศและμ คือค่าสภาพซึมผ่านของสุญญากาศ เนื่องจากไม่มีประจุผูกพัน ประจุรวมและประจุอิสระและกระแสจึงเท่ากัน $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,}$$

มุมมองทางเลือกเกี่ยวกับสมการระดับจุลภาคคือสมการเหล่านั้นเป็นสมการระดับมหภาคพร้อมกับข้อความที่ว่าสุญญากาศมีพฤติกรรมเหมือน "วัสดุ" เชิงเส้นที่สมบูรณ์แบบโดยไม่มีโพลาไรเซชันและการทำให้เป็นแม่เหล็กเพิ่มเติม โดยทั่วไปแล้ว สำหรับวัสดุเชิงเส้น ความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างคือ^{[ 14 ] : 44–45} โดยที่εคือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าและμ คือ ค่าสภาพซึม ผ่านทางแม่เหล็ก ของวัสดุ สำหรับสนามการกระจัดDการประมาณเชิงเส้นมักจะยอดเยี่ยมเพราะสำหรับสนามไฟฟ้าหรืออุณหภูมิที่รุนแรงที่สุดที่สามารถหาได้ในห้องปฏิบัติการ (เลเซอร์พัลส์กำลังสูง) สนามไฟฟ้าระหว่างอะตอมของวัสดุที่มีขนาดประมาณ 10 ¹¹ V/m นั้นสูงกว่าสนามภายนอกมากอย่างไรก็ตาม สำหรับสนามแม่เหล็ก การประมาณเชิงเส้นอาจล้มเหลวในวัสดุทั่วไปเช่นเหล็ก ทำให้เกิดปรากฏการณ์เช่นฮิสเทอรีซิสแม้แต่กรณีเชิงเส้นก็อาจมีความซับซ้อนต่างๆ ได้ $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,}$$${\displaystyle \mathbf {H} }$

• สำหรับวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันεและμจะคงที่ตลอดทั้งวัสดุ ในขณะที่สำหรับวัสดุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ค่าเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับตำแหน่งภายในวัสดุ (และอาจขึ้นอยู่กับเวลาด้วย) ^{[ 15 ] : 463}
• สำหรับวัสดุไอโซโทรปิกεและμเป็นสเกลาร์ ในขณะที่สำหรับวัสดุแอนิโซโทรปิก (เช่น เนื่องมาจากโครงสร้างผลึก) พวกมันเป็นเทนเซอร์ [ ^{14 ] : 421 [ 15 ] : 463}
• โดยทั่วไปวัสดุจะกระจายตัวดังนั้นεและμจึงขึ้นอยู่กับความถี่ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่ตกกระทบ^{[ 14 ] : 625 [ 15 ] : 397}

โดยทั่วไปแล้ว ในกรณีของวัสดุที่ไม่เป็นเชิงเส้น (ดูตัวอย่างเช่นทัศนศาสตร์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น ) DและPไม่จำเป็นต้องเป็นสัดส่วนกับEเสมอไป ในทำนองเดียวกันHหรือMก็ไม่จำเป็นต้องเป็นสัดส่วนกับB เสมอ ไป โดยทั่วไปแล้วDและHขึ้นอยู่กับทั้งEและBตำแหน่งและเวลา และอาจขึ้นอยู่กับปริมาณทางกายภาพอื่นๆ ด้วย

ในการใช้งานจริง เราต้องอธิบายพฤติกรรมของกระแสอิสระและความหนาแน่นของประจุในแง่ของEและBซึ่งอาจเชื่อมโยงกับปริมาณทางกายภาพอื่นๆ เช่น ความดัน มวล ความหนาแน่น และความเร็วของอนุภาคที่มีประจุ ตัวอย่างเช่น สมการดั้งเดิมที่แม็กซ์เวลล์ให้ไว้ (ดูประวัติของสมการของแม็กซ์เวลล์ ) ได้รวมกฎของโอห์ม ไว้ ในรูปแบบ $${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} .}$$

ต่อไปนี้เป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกหลายรูปแบบของสมการของแม็กซ์เวลล์ โดยคอลัมน์จะแยกสมการของแม็กซ์เวลล์แบบเอกพันธุ์สองสมการออกจากสมการแบบไม่เอกพันธุ์สองสมการ แต่ละสูตรมีเวอร์ชันที่แสดงโดยตรงในรูปของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก และเวอร์ชันที่แสดงโดยอ้อมในรูปของศักย์ไฟฟ้าφและศักย์เวกเตอร์Aศักย์ถูกนำมาใช้เป็นวิธีที่สะดวกในการแก้สมการเอกพันธุ์ แต่เดิมคิดว่าฟิสิกส์ที่สังเกตได้ทั้งหมดนั้นบรรจุอยู่ในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก (หรือในเชิงสัมพัทธภาพ คือเทนเซอร์ฟาราเดย์) อย่างไรก็ตาม ศักย์มีบทบาทสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัม และทำหน้าที่ในเชิงกลศาสตร์ควอนตัมด้วยผลลัพธ์ที่สังเกตได้แม้ว่าสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจะหายไป ( ปรากฏการณ์อาฮาโรนอฟ-โบห์ม )

แต่ละตารางอธิบายถึงรูปแบบทางคณิตศาสตร์หนึ่งแบบ ดูรายละเอียดของแต่ละรูปแบบได้ใน บทความหลัก

สูตรการกำหนดปริภูมิเวลาโดยตรงแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าสมการของแม็กซ์เวลล์นั้นไม่แปรเปลี่ยนภาย ใต้ สัมพัทธภาพ โดยที่ปริภูมิและเวลาได้รับการพิจารณาอย่างเท่าเทียมกัน เนื่องจากสมมาตรนี้ สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจึงได้รับการพิจารณาอย่างเท่าเทียมกันและได้รับการยอมรับว่าเป็นส่วนประกอบของเทนเซอร์ฟาราเดย์สิ่งนี้ลดสมการของแม็กซ์เวลล์จากสี่สมการเหลือสองสมการ ซึ่งทำให้สมการง่ายขึ้น แม้ว่าเราจะไม่สามารถใช้สูตรเวกเตอร์ที่คุ้นเคยได้อีกต่อไป สมการของแม็กซ์เวลล์ในสูตรที่ไม่ได้พิจารณาปริภูมิและเวลาอย่างเท่าเทียมกันอย่างชัดเจนนั้นมีความแปรเปลี่ยนภายใต้ลอเรนซ์เป็นสมมาตรที่ซ่อนอยู่ นี่เป็นแหล่งที่มาสำคัญของแรงบันดาลใจในการพัฒนาทฤษฎีสัมพัทธภาพ อันที่จริง แม้แต่สูตรที่พิจารณาปริภูมิและเวลาแยกจากกันก็ไม่ใช่การประมาณแบบไม่สัมพัทธภาพและอธิบายฟิสิกส์เดียวกันโดยการเปลี่ยนชื่อตัวแปรเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ สมการที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้สัมพัทธภาพจึงมักถูกเรียกว่าสมการของแม็กซ์เวลล์เช่นกัน

ตารางแต่ละตารางด้านล่างนี้อธิบายถึงรูปแบบทางคณิตศาสตร์หนึ่งรูปแบบ

แคลคูลัสเทนเซอร์

สูตร	สมการเอกพันธุ์	สมการที่ไม่เป็นเอกพันธุ์
พื้นที่ฟิลด์ ส มินคอฟสกี	${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$
ศักยภาพ (มาตรวัดใดๆ) พื้นที่มินคอฟสกี	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$	${\displaystyle 2\partial _{\alpha }\partial ^{[\alpha }A^{\beta ]}=\mu _{0}J^{\beta }}$
ศักยภาพ ( เกจลอเรนซ์ ) พื้นที่มิงโกวสกี	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$ ${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$	${\displaystyle \partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$
สนามใดๆ ในกาลอวกาศ	${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=\\&\qquad \nabla _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}F^{\alpha \beta })=\\&\qquad \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}}$
ศักยภาพ (เกจใดก็ได้) ในปริภูมิเวลาใดๆ(โดยมีข้อจำกัดเชิงทอพอโลยี )	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {2}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }\partial _{[\mu }A_{\nu ]})=\\&\qquad 2\nabla _{\alpha }(\nabla ^{[\alpha }A^{\beta ]})=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}}$
ศักยภาพ ( เกจลอเรนซ์ ) ในปริภูมิเวลาใดๆ(ภายใต้ข้อจำกัดทางทอพอโลยี)	${\displaystyle F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }A^{\alpha }=0}$	${\displaystyle \nabla _{\alpha }\nabla ^{\alpha }A^{\beta }-R^{\beta }{}_{\alpha }A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

รูปแบบที่แตกต่างกัน

สูตร	สมการเอกพันธุ์	สมการที่ไม่เป็นเอกพันธุ์
สนามใดๆ ในกาลอวกาศ	${\displaystyle \mathrm {d} F=0}$	${\displaystyle \mathrm {d} {\star }F=\mu _{0}J}$
ศักยภาพ (ในมาตรวัดใดๆ) ในปริภูมิเวลาใดๆ (ภายใต้ข้อจำกัดทางทอพอโลยี)	${\displaystyle F=\mathrm {d} A}$	${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathrm {d} A=\mu _{0}J}$
ศักยภาพ ( เกจลอเรนซ์ ) ในปริภูมิเวลาใดๆ (ภายใต้ข้อจำกัดทางทอพอโลยี)	${\displaystyle F=\mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\star }A=0}$	${\displaystyle {\star }\Box A=\mu _{0}J}$

• ในการกำหนดสูตรแคลคูลัสเทนเซอร์ เท นเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้าF เป็นเทนเซอร์โคแวเรียนต์อันดับ 2 ที่ไม่สมมาตรสี่ศักย์ A เป็นเวกเตอร์โคแวเรียนต์ กระแสJ ^αเป็นเวกเตอร์ วงเล็บเหลี่ยม[ ]แสดงถึงการทำให้ดัชนีไม่สมมาตร ∂ α คืออนุพันธ์ย่อยเทียบกับพิกัด x α ในปริภูมิ Minkowski พิกัดจะถูกเลือกโดยเทียบกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย ( x α ) = ( ct , x , y , z ) เทน^{เซอร์}เมตริกที่ใช้ใน^การยกและลด  ดัชนีคือ  η αβ  = diag ( 1 , −1 −1, −1) ตัวดำเนินการ d' Alembertในปริภูมิ Minkowski คือ◻ = ∂ ∂ ^αเช่นเดียวกับในการกำหนดสูตรเวกเตอร์ ในปริภูมิเวลาทั่วไป ระบบพิกัดx ^αเป็นระบบใดๆ ก็ได้อนุพันธ์ร่วมแปร∇ เทนเซอร์ริชชีR αβ และการยกและลดดัชนีถูกกำหนดโดยเมตริกแบบลอเรนซ์และดำเนินการดาล็องแบร์ถูกกำหนดเป็น◻ = ∇ ∇ ^αข้อจำกัดทางโทโพโลยีคือ กลุ่ม โคฮอโมโลยี จริงลำดับที่สอง ของปริภูมิเป็นศูนย์ (ดูการกำหนดรูปแบบเชิงอนุพันธ์สำหรับคำอธิบาย) ข้อจำกัดนี้ถูกละเมิดในปริภูมิมิงคอฟสกีที่ลบเส้นตรงออกไป ซึ่งสามารถจำลองปริภูมิเวลา (แบบราบ) ที่มีโมโนโพลแบบจุดบนส่วนเติมเต็มของเส้นตรงได้
• ใน การกำหนด รูปแบบเชิงอนุพันธ์บนปริภูมิเวลาใดๆF = ⁠1/2F αβ ‍ dx ^α ∧ d x ^{β คือเทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้าที่พิจารณา} เป็น 2-ฟอร์ม, A = A d x ^αคือ 1-ฟอร์มศักย์,คือ 3-ฟอร์มกระแส, dคืออนุพันธ์ภายนอกและคือดาวฮอดจ์บนฟอร์มที่กำหนด (จนถึงทิศทาง กล่าวคือเครื่องหมาย) โดยเมตริกแบบลอเรนซ์ของปริภูมิเวลา ในกรณีพิเศษของ 2-ฟอร์ม เช่น Fดาวฮอดจ์จะขึ้นอยู่กับเทนเซอร์เมตริกเฉพาะสำหรับมาตราส่วนท้องถิ่นเท่านั้น ซึ่งหมายความว่า ตามที่กำหนดไว้ สมการสนามฟอร์มเชิงอนุพันธ์นั้นไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ การแปลงแบบคอนฟอร์มัล แต่ เงื่อนไขเกจลอเรนซ์ทำลายความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลงแบบ คอนฟอร์มัล ตัวดำเนินการ คือตัวดำเนินการดาลัมแบร์-ลาปลาซ-เบลทรามีบน 1-ฟอร์มบนปริภูมิเวลาแบบลอเรนซ์ ใด ๆ เงื่อนไขทางทอพอโลยีอีกครั้งคือ กลุ่มโคฮอโมโลยีจริงลำดับที่สองต้องเป็น 'กลุ่มที่ไม่สำคัญ' (หมายความว่ารูปแบบของมันเป็นไปตามนิยาม) โดยอาศัยความสมมาตรกับโคฮอโมโลยีเดอแรมลำดับ ที่สอง เงื่อนไขนี้หมายความว่าทุก 2-ฟอร์มปิดนั้นเป็นฟอร์มที่แม่นยำ${\displaystyle J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }}$${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle \Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })}$

รูปแบบอื่นๆ ได้แก่การกำหนดสูตรพีชคณิตเชิงเรขาคณิตและการแสดงเมทริกซ์ของสมการของแม็กซ์เวลล์ในอดีตมีการใช้การ กำหนดสูตรควอเทอร์เนียน^{[ 16 ] [ 17 ]}

สมการของแม็กซ์เวลล์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่เชื่อมโยงสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเข้าด้วยกัน รวมถึงเชื่อมโยงกับประจุไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้า บ่อยครั้งที่ประจุและกระแสไฟฟ้าเองก็ขึ้นอยู่กับสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กผ่านสมการแรงลอเรนซ์และความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างทั้งหมดนี้ประกอบกันเป็นชุดสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่เชื่อมโยงกัน ซึ่งมักจะยากมากที่จะหาคำตอบได้ เนื่องจากคำตอบเหล่านั้นครอบคลุมปรากฏการณ์ที่หลากหลายของแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิกต่อไปนี้เป็นข้อสังเกตทั่วไปบางประการ

เช่นเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์ใดๆเงื่อนไขขอบเขต^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}และเงื่อนไขเริ่มต้น^{[ 21 ]}จำเป็นสำหรับคำตอบที่ไม่ซ้ำกันตัวอย่างเช่น แม้จะไม่มีประจุและไม่มีกระแสไฟฟ้าใดๆ ในปริภูมิเวลา ก็ยังมีคำตอบที่ชัดเจนซึ่งEและBเป็นศูนย์หรือคงที่ แต่ก็ยังมีคำตอบที่ไม่ธรรมดาซึ่งสอดคล้องกับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในบางกรณี สมการของแม็กซ์เวลล์จะถูกแก้ทั่วทั้งปริภูมิ และเงื่อนไขขอบเขตจะถูกกำหนดเป็นขีดจำกัดเชิงอะซิมโทติกที่อนันต์^{[ 22 ]}ในกรณีอื่นๆ สมการของแม็กซ์เวลล์จะถูกแก้ในบริเวณจำกัดของปริภูมิ โดยมีเงื่อนไขที่เหมาะสมบนขอบเขตของบริเวณนั้น ตัวอย่างเช่นขอบเขตดูดซับเทียมที่แสดงถึงส่วนที่เหลือของจักรวาล^{[ 23 ] [ 24 ]}หรือเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบหรือกำแพงที่แยกบริเวณเล็กๆ ออกจากโลกภายนอก (เช่นเดียวกับท่อนำคลื่นหรือตัวเรโซเนเตอร์โพรง ) ^{[ 25 ]}

สมการของเจฟิเมนโก (หรือศักยภาพ ของลีเนิร์ด-วีเชิร์ตที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด) เป็นคำตอบที่ชัดเจนของสมการของแม็กซ์เวลล์สำหรับสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กที่เกิดจากการกระจายตัวของประจุและกระแสไฟฟ้าใดๆ โดยจะสมมติเงื่อนไขเริ่มต้นเฉพาะเพื่อหา "คำตอบแบบหน่วงเวลา" ซึ่งสนามที่ปรากฏอยู่มีเพียงสนามที่เกิดจากประจุเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สมการของเจฟิเมนโกไม่มีประโยชน์ในสถานการณ์ที่ประจุและกระแสไฟฟ้าได้รับผลกระทบจากสนามที่พวกมันสร้างขึ้นเอง

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามารถใช้ในการคำนวณหาคำตอบโดยประมาณของสมการของแม็กซ์เวลล์ได้เมื่อไม่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนได้ ซึ่งรวมถึงวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์และ วิธี ไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ไทม์โดเมน^{[ 18 ] [ 20 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่แม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ

สมการของแม็กซ์เวลล์ดูเหมือนจะมีตัวแปรเกินจำนวนที่กำหนดเนื่องจากมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่า 6 ตัว (ส่วนประกอบทั้งสามของEและB ) แต่มีสมการ 8 สมการ (หนึ่งสมการสำหรับกฎของเกาส์ทั้งสองข้อ ส่วนประกอบเวกเตอร์ 3 ตัวสำหรับกฎวงจรของฟาราเดย์และแอมแปร์) (กระแสและประจุไม่ใช่ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า เนื่องจากสามารถระบุได้อย่างอิสระภายใต้การอนุรักษ์ประจุ ) สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความซ้ำซ้อนแบบจำกัดในสมการของแม็กซ์เวลล์: สามารถพิสูจน์ได้ว่าระบบใดๆ ที่สอดคล้องกับกฎของฟาราเดย์และกฎวงจรของแอมแปร์ จะสอดคล้องกับกฎของเกาส์ทั้งสองข้อ โดยอัตโนมัติตราบใดที่เงื่อนไขเริ่มต้นของระบบเป็นเช่นนั้น และสมมติว่ามีการอนุรักษ์ประจุและไม่มีโมโนโพลแม่เหล็ก^{[ 29 ] [ 30 ]} คำอธิบายนี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยJulius Adams Strattonในปี 1941 ^{[ 31 ]}

แม้ว่าจะสามารถเพิกเฉยต่อกฎของเกาส์ทั้งสองข้อในอัลกอริทึมเชิงตัวเลขได้ (นอกเหนือจากเงื่อนไขเริ่มต้น) แต่ความแม่นยำที่ไม่สมบูรณ์ของการคำนวณอาจนำไปสู่การละเมิดกฎเหล่านั้นที่เพิ่มมากขึ้นเรื่อยๆ การแนะนำตัวแปรดัมมี่ที่บ่งบอกถึงการละเมิดเหล่านี้ จะทำให้สมการทั้งสี่ไม่เป็นสมการเกินกำหนดอีกต่อไป สูตรที่ได้นี้สามารถนำไปสู่อัลกอริทึมที่แม่นยำยิ่งขึ้นซึ่งคำนึงถึงกฎทั้งสี่ข้อ^{[ 32 ]}

เอกลักษณ์ทั้งสองซึ่งลดสมการแปดสมการให้เหลือสมการอิสระหกสมการ เป็นสาเหตุที่แท้จริงของการกำหนดเกิน^{[ 33 ] [ 34 ]}${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0}$

ในทำนองเดียวกัน การกำหนดเกินสามารถมองได้ว่าเป็นการบ่งบอกถึงการอนุรักษ์ประจุไฟฟ้าและประจุแม่เหล็ก เนื่องจากสิ่งเหล่านี้จำเป็นในการพิสูจน์ที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่เป็นสิ่งที่บ่งบอกโดยกฎของเกาส์ทั้งสองข้อ

สำหรับสมการพีชคณิตเชิงเส้น เราสามารถสร้างกฎที่ "ดี" เพื่อเขียนสมการและตัวแปรที่ไม่ทราบค่าใหม่ได้ สมการเหล่านั้นสามารถเป็นอิสระเชิงเส้นได้ แต่ในสมการเชิงอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDEs) เราจำเป็นต้องมีเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม ซึ่งขึ้นอยู่กับสมการในลักษณะที่ไม่ชัดเจนนัก ยิ่งไปกว่านั้น หากเราเขียนสมการเหล่านั้นใหม่ในรูปของเวกเตอร์และศักย์สเกลาร์ สมการเหล่านั้นก็จะไม่มีคำตอบเนื่องจากปัญหาการกำหนดเกจ

สมการของแม็กซ์เวลล์และกฎแรงลอเรนซ์ (รวมถึงหลักการอื่นๆ ของแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิก) ประสบความสำเร็จอย่างมากในการอธิบายและทำนายปรากฏการณ์ต่างๆ มากมาย อย่างไรก็ตาม สมการเหล่านี้ไม่ได้คำนึงถึงผลกระทบทางควอนตัม ดังนั้นขอบเขตการใช้งานจึงมีจำกัด สมการของแม็กซ์เวลล์ถือเป็นขีดจำกัดแบบคลาสสิกของควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED)

ปรากฏการณ์ทางแม่เหล็กไฟฟ้าบางอย่างที่สังเกตได้นั้นไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการของแม็กซ์เวลล์ หากแหล่งกำเนิดของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าคือการกระจายตัวแบบคลาสสิกของประจุและกระแสไฟฟ้า ซึ่งรวมถึงการกระเจิงของโฟตอน-โฟตอนและปรากฏการณ์อื่นๆ อีกมากมายที่เกี่ยวข้องกับโฟตอนหรือโฟตอนเสมือน " แสงที่ไม่เป็นแบบคลาสสิก " และการพัวพันเชิงควอนตัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า (ดูทัศนศาสตร์ควอนตัม ) ตัวอย่างเช่นการเข้ารหัสควอนตัมไม่สามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีของแม็กซ์เวลล์ แม้แต่โดยประมาณ ลักษณะโดยประมาณของสมการของแม็กซ์เวลล์จะปรากฏชัดเจนมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อเข้าสู่สภาวะสนามที่รุนแรงมาก (ดูลากรางจ์ของออยเลอร์-ไฮเซนเบิร์ก ) หรือระยะทางที่เล็กมาก

สุดท้ายนี้ สมการของแม็กซ์เวลล์ไม่สามารถอธิบายปรากฏการณ์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับ การปฏิสัมพันธ์ระหว่าง โฟตอน แต่ละตัว กับสสารควอนตัมได้ เช่นปรากฏการณ์โฟโตอิเล็ก ทริก กฎของพลังค์ กฎ ของดูแอน-ฮันต์และเครื่องตรวจจับแสงโฟตอนเดี่ยวอย่างไรก็ตาม ปรากฏการณ์หลายอย่างดังกล่าวอาจอธิบายได้โดยใช้ทฤษฎีกึ่งคลาสสิกของสสารควอนตัมที่เชื่อมโยงกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าแบบคลาสสิก ไม่ว่าจะเป็นสนามภายนอกหรือด้วยค่าที่คาดหวังของกระแสประจุและความหนาแน่นทางด้านขวามือของสมการของแม็กซ์เวลล์ นี่คือทฤษฎีกึ่งคลาสสิกหรือควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์แบบสนามตัวเอง ซึ่งถูกค้นพบครั้งแรกโดยเดอ บรอยล์และชโรดิงเกอร์ และต่อมาได้รับการพัฒนาอย่างสมบูรณ์โดยอีที เจย์นส์และเอโอ บารุต

รูปแบบต่างๆ ของสมการแม็กซ์เวลล์ที่เป็นที่นิยมในฐานะทฤษฎีคลาสสิกของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าค่อนข้างหายาก เนื่องจากสมการมาตรฐานได้พิสูจน์แล้วว่ามีความถูกต้องแม่นยำอย่างน่าทึ่งมาโดยตลอด

สมการของแม็กซ์เวลล์ตั้งสมมติฐานว่ามีประจุไฟฟ้าแต่ไม่มีประจุแม่เหล็ก (เรียกอีกอย่างว่าโมโนโพลแม่เหล็ก ) ในจักรวาล อันที่จริง ประจุแม่เหล็กไม่เคยถูกสังเกตพบเลย แม้ว่าจะมีการค้นหาอย่างกว้างขวาง^{[หมายเหตุ 6 ]}และอาจไม่มีอยู่จริง หากมีอยู่จริง ทั้งกฎของเกาส์สำหรับแม่เหล็กและกฎของฟาราเดย์จะต้องได้รับการแก้ไข และสมการทั้งสี่ที่ได้จะมีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์ภายใต้การสลับสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก^{[ 8 ] : 273–275}

• Imaeda, K. (1995), "การกำหนดสูตรไบควอเทอร์เนียนของสมการของแม็กซ์เวลล์และคำตอบของสมการเหล่านั้น" ใน Ablamowicz, Rafał; Lounesto, Pertti (บรรณาธิการ), พีชคณิตคลิฟฟอร์ดและโครงสร้างสปินเนอร์ , Springer, หน้า  265–280 , doi : 10.1007/978-94-015-8422-7_16 , ISBN 978-90-481-4525-6

• เกี่ยวกับเส้นแรงของฟาราเดย์  – 1855/56 บทความแรกของแม็กซ์เวลล์ (ตอนที่ 1 และ 2) – รวบรวมโดย Blaze Labs Research (PDF)
• เกี่ยวกับเส้นแรงทางกายภาพ  – ค.ศ. 1861 บทความของแม็กซ์เวลล์ในปี ค.ศ. 1861 ที่อธิบายถึงเส้นแรงแม่เหล็ก – เป็นต้นแบบของตำราในปี ค.ศ. 1873
• เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ , " ทฤษฎีพลวัตของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ", วารสารปรัชญาของราชสมาคมแห่งลอนดอน155 , 459–512 (1865) (บทความนี้ประกอบการนำเสนอของแม็กซ์เวลล์ต่อราชสมาคมเมื่อวันที่ 8 ธันวาคม 1864)
  • ทฤษฎีพลวัตของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า  – 1865 บทความของแม็กซ์เวลล์ในปี 1865 ที่อธิบายสมการ 20 ข้อของเขา ลิงก์จากGoogle Books
• เจ. คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ (1873), " ตำราว่าด้วยไฟฟ้าและแม่เหล็ก ":
  • แม็กซ์เวลล์, เจ.ซี., "ตำราว่าด้วยไฟฟ้าและแม่เหล็ก" – เล่ม 1 – 1873 – คอลเลกชันอนุสรณ์สถานพอสเนอร์ – มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน
  • แม็กซ์เวลล์, เจ.ซี., "ตำราว่าด้วยไฟฟ้าและแม่เหล็ก" – เล่ม 2 – 1873 – คอลเลกชันอนุสรณ์สถานพอสเนอร์ – มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน

พัฒนาการก่อนทฤษฎีสัมพัทธภาพ

• Larmor Joseph (1897). "เกี่ยวกับทฤษฎีพลวัตของตัวกลางไฟฟ้าและตัวกลางเรืองแสง ตอนที่ 3 ความสัมพันธ์กับตัวกลางวัสดุ"  Phil . Trans. R. Soc . 190 : 205– 300.
• Lorentz Hendrik (1899). "ทฤษฎีอย่างง่ายของปรากฏการณ์ทางไฟฟ้าและทางแสงในระบบเคลื่อนที่"  Proc . Acad. Science Amsterdam . I : 427– 443.
• Lorentz Hendrik (1904). "ปรากฏการณ์แม่เหล็กไฟฟ้าในระบบที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วใดๆ ที่น้อยกว่าความเร็วแสง"  Proc . Acad. Science Amsterdam . IV : 669– 678.
• Henri Poincaré (1900) "La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction" (ในภาษาฝรั่งเศส) , หอจดหมายเหตุ Néerlandaises , V , 253–278.
• Henri Poincaré (1902) " La Science et l'Hypothèse " (เป็นภาษาฝรั่งเศส )
• Henri Poincaré (1905) "Sur la dynamique de l'électron" (ในภาษาฝรั่งเศส) , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 140 , 1504–1508.
• Catt, Walton และ Davidson. "ประวัติของกระแสไฟฟ้าแบบแทนที่" เก็บถาวรเมื่อ 2008-05-06 ที่Wayback Machine . Wireless World , มีนาคม 1979.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับสมการของแม็กซ์เวลล์

เว็บไซต์ Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับสมการของแม็กซ์เวลล์

Wikiversity อธิบายหลักการพื้นฐานของปริพันธ์แม็กซ์เวลล์สำหรับนักเรียน

• "สมการของแม็กซ์เวลล์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• maxwells-equations.com — บทแนะนำที่เข้าใจง่ายเกี่ยวกับสมการของแม็กซ์เวลล์
• หนังสือ The Feynman Lectures on Physics เล่ม 2 บทที่ 18: สมการของแม็กซ์เวลล์
• หน้าวิกิพีเดียเกี่ยวกับสมการของแม็กซ์เวลล์

• แม่เหล็กไฟฟ้า (บทที่ 11)โดย บี. โครเวลล์, วิทยาลัยฟุลเลอร์ตัน
• ชุดบรรยาย: ทฤษฎีสัมพัทธภาพและแม่เหล็กไฟฟ้าโดย อาร์. ฟิตซ์แพทริก มหาวิทยาลัยเท็กซัส ออสติน
• คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจากสมการของแม็กซ์เวลล์ในโครงการ PHYSNET
• ชุดวิดีโอการบรรยายของ MIT (36 ตอน ตอนละ 50 นาที) (ในรูปแบบไฟล์ .mp4) – ไฟฟ้าและแม่เหล็กสอนโดยศาสตราจารย์Walter Lewin

• ซิลากัดเซ, แซดเค (2002) "ที่มาของสมการแมกซ์เวลล์และมิติพิเศษของไฟน์แมน" แอนนาเลส เดอ ลา ฟอนเดชัน หลุยส์ เดอ บรอกลี27 : 241– 256. arXiv : hep-ph/ 0106235
• เหตุการณ์สำคัญทางธรรมชาติ: โฟตอน  – เหตุการณ์สำคัญที่ 2 (1861) สมการของแม็กซ์เวลล์