วัตถุทุกชนิดจะคงอยู่ในสภาวะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนวเส้นตรง เว้นแต่จะถูกบังคับให้เปลี่ยนสภาวะนั้นด้วยแรงที่กระทำต่อวัตถุ^{[ 14 ] : 114 [หมายเหตุ 3 ]}

กฎข้อแรกของนิวตันแสดงถึงหลักการของความเฉื่อย : พฤติกรรมตามธรรมชาติของวัตถุคือการเคลื่อนที่ในเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ การเคลื่อนที่ของวัตถุจะรักษาสถานะเดิมไว้ แต่แรงภายนอกสามารถรบกวนสถานะนี้ได้

ความเข้าใจสมัยใหม่เกี่ยวกับกฎข้อแรกของนิวตันคือ ไม่มีผู้สังเกตการณ์เฉื่อยคนใดได้เปรียบกว่าผู้สังเกตการณ์เฉื่อยคนอื่น แนวคิดของผู้สังเกตการณ์เฉื่อยทำให้ความรู้สึกไม่เคลื่อนไหวในชีวิตประจำวันกลายเป็นเรื่องเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่น คนที่ยืนอยู่บนพื้นดินมองดูรถไฟวิ่งผ่านเป็นผู้สังเกตการณ์เฉื่อย ถ้าผู้สังเกตการณ์บนพื้นดินเห็นรถไฟเคลื่อนที่อย่างราบรื่นเป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ ผู้โดยสารที่นั่งอยู่บนรถไฟก็จะเป็นผู้สังเกตการณ์เฉื่อยเช่นกัน กล่าวคือ ผู้โดยสารบนรถไฟ ไม่ รู้สึกถึงการเคลื่อนไหว หลักการที่แสดงออกโดยกฎข้อแรกของนิวตันคือ ไม่มีวิธีใดที่จะบอกได้ว่าผู้สังเกตการณ์เฉื่อยคนใดกำลังเคลื่อนที่ "จริงๆ" และคนใดกำลังยืนนิ่ง "จริงๆ" สถานะการหยุดนิ่งของผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งอาจเป็นสถานะการเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรงของผู้สังเกตการณ์อีกคนหนึ่ง และไม่มีการทดลองใดที่จะตัดสินได้ว่ามุมมองใดถูกต้องหรือผิด ไม่มีมาตรฐานสัมบูรณ์ของการหยุดนิ่ง^{[ 18 ] [ 14 ] : 62–63 [ 19 ] : 7–9}นิวตันเองเชื่อว่าอวกาศและเวลาสัมบูรณ์มีอยู่จริง แต่การวัดอวกาศหรือเวลาที่สามารถทดลองได้นั้นเป็นเพียงสัมพัทธ์^{[ 20 ]}

การเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นสัดส่วนกับแรงที่กระทำ และเกิดขึ้นในทิศทางของเส้นตรงที่แรงกระทำ^{[ 14 ] : 114}

โดย "การเคลื่อนที่" นิวตันหมายถึงปริมาณที่เรียกว่าโมเมนตัมซึ่งขึ้นอยู่กับปริมาณของสสารที่มีอยู่ในวัตถุ ความเร็วที่วัตถุเคลื่อนที่ และทิศทางที่วัตถุเคลื่อนที่^{[ 21 ]}ในสัญลักษณ์สมัยใหม่ โมเมนตัมของวัตถุคือผลคูณของมวลและความเร็วของวัตถุ: $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$ โดยที่ปริมาณทั้งสามนี้สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามเวลา ในกรณีทั่วไป มวลจะเป็นตัวแปรหลัก${\displaystyle m}$ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา และอนุพันธ์จะกระทำเฉพาะกับความเร็วเท่านั้น จากนั้นแรงจะเท่ากับผลคูณของมวลและอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา ซึ่งก็คือความเร่ง: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} \,.}$$ เนื่องจากความเร่งคืออนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งเทียบกับเวลา ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้ดังนี้เช่นกัน $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {s} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

กฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบสมัยใหม่ระบุว่าอนุพันธ์ของโมเมนตัมเทียบกับเวลาคือแรง: ^{[ 23 ] : 4.1}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,.}$$ เมื่อนำไปใช้กับระบบที่มีมวลแปรผัน สมการข้างต้นจะใช้ได้เฉพาะกับชุดอนุภาคคงที่เท่านั้น โดยใช้การหาอนุพันธ์ดังเช่นใน $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\ \ \mathrm {(ไม่ถูกต้อง)} }$$ อาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง^{[ 24 ]}ตัวอย่างเช่น โมเมนตัมของระบบเจ็ทน้ำต้องรวมโมเมนตัมของน้ำที่พุ่งออกมาด้วย: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}-\mathrm {v} _{\mathrm {eject} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}.}$$

แรงที่กระทำต่อวัตถุจะรวมกันเป็นเวกเตอร์ดังนั้นแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุจึงขึ้นอยู่กับทั้งขนาดและทิศทางของแรงแต่ละแรง^{[ 23 ] : 58}เมื่อแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเท่ากับศูนย์ ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน วัตถุจะไม่มีความเร่ง และกล่าวได้ว่าอยู่ในสภาวะสมดุลทางกล สภาวะสมดุลทางกลจะเสถียรก็ต่อเมื่อเมื่อตำแหน่งของวัตถุเปลี่ยนไปเล็กน้อย วัตถุยังคงอยู่ใกล้กับสมดุลนั้น มิฉะนั้น สมดุลนั้นจะไม่เสถียร^{[ 14 ] : 121 [ 23 ] : 174}

การแสดงภาพทั่วไปของแรงที่กระทำร่วมกันคือแผนภาพแรงอิสระซึ่งแสดงภาพร่างของวัตถุที่สนใจและแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้นโดยอิทธิพลภายนอก^{[ 26 ]}ตัวอย่างเช่น แผนภาพแรงอิสระของบล็อกที่วางอยู่บนระนาบเอียงสามารถแสดงการรวมกันของแรงโน้มถ่วง แรง"ปกติ" แรงเสียดทาน และแรงตึงของเชือก ได้ ^{[หมายเหตุ 4 ]}

กฎข้อที่สองของนิวตันบางครั้งถูกนำเสนอเป็นนิยามของแรง กล่าวคือ แรงคือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อผู้สังเกตการณ์เฉื่อยเห็นวัตถุกำลังเร่งความเร็ว บางครั้งสิ่งนี้ถูกมองว่าเป็นสัจนิรันดร์ – การเร่งความเร็วหมายถึงแรง แรงหมายถึงการเร่งความเร็ว เพื่อที่จะก้าวข้ามสัจนิรันดร์นี้ อาจมีการระบุสมการที่แสดงรายละเอียดของแรงเพิ่มเติม เช่นกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันโดยการใส่สมการดังกล่าวลงไป${\displaystyle \mathbf {F} }$ในกฎข้อที่สองของนิวตัน สามารถเขียนสมการที่มีพลังในการทำนายได้^{[หมายเหตุ 5 ]}กฎข้อที่สองของนิวตันยังถือได้ว่าเป็นการกำหนดโปรแกรมการวิจัยสำหรับฟิสิกส์ โดยกำหนดว่าเป้าหมายสำคัญของวิชานี้คือการระบุแรงที่มีอยู่ในธรรมชาติและจัดทำรายการส่วนประกอบของสสาร^{[ 14 ] : 134 [ 28 ] : 12-2}

ทุกการกระทำย่อมมีปฏิกิริยาตอบโต้ที่เท่ากันเสมอ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง การกระทำระหว่างวัตถุสองชิ้นต่อกันย่อมเท่ากันเสมอ และมุ่งไปยังส่วนที่ตรงกันข้าม^{[ 14 ] : 116}

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าวัตถุหนึ่งออกแรงกระทำต่อวัตถุที่สอง วัตถุที่สองก็จะออกแรงกระทำต่อวัตถุแรกเช่นกัน โดยมีขนาดเท่ากันและทิศทางตรงกันข้าม การอธิบายกฎข้อที่สามอย่างสั้นเกินไป เช่น "การกระทำเท่ากับปฏิกิริยา " อาจทำให้เกิดความสับสนในหมู่นักเรียนหลายรุ่น: "การกระทำ" และ "ปฏิกิริยา" ใช้กับวัตถุที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาหนังสือที่วางนิ่งอยู่บนโต๊ะ แรงโน้มถ่วงของโลกดึงหนังสือลงมา "ปฏิกิริยา" ต่อ "การกระทำ" นั้นไม่ใช่แรงค้ำยันจากโต๊ะที่รองรับหนังสือ แต่เป็นแรงดึงดูดของหนังสือที่กระทำต่อโลก^{[หมายเหตุ 6 ]}

กฎข้อที่สามของนิวตันเกี่ยวข้องกับหลักการพื้นฐานที่สำคัญกว่า นั่นคือการอนุรักษ์โมเมนตัมหลักการหลังนี้ยังคงเป็นจริงแม้ในกรณีที่คำกล่าวของนิวตันไม่เป็นจริง เช่น เมื่อสนามแรงและวัตถุต่าง ๆ มีโมเมนตัม (เช่น ในแม่เหล็กไฟฟ้า ) และเมื่อมีการกำหนดโมเมนตัมอย่างถูกต้อง ในกลศาสตร์ควอนตัมด้วยเช่นกัน^{[หมายเหตุ 7 ]}ในกลศาสตร์แบบนิวตัน ถ้าวัตถุสองชิ้นมีโมเมนตัม${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$และ${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$ตามลำดับ ดังนั้นโมเมนตัมรวมของคู่นั้นคือ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$และอัตราการเปลี่ยนแปลงของ${\displaystyle \mathbf {p} }$เป็น$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{2}}{\mathrm {d} t}}.}$$ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน พจน์แรกคือแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุชิ้นแรก และพจน์ที่สองคือแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุชิ้นที่สอง หากวัตถุทั้งสองแยกออกจากอิทธิพลภายนอก แรงเดียวที่กระทำต่อวัตถุชิ้นแรกจะมีได้ก็คือแรงจากวัตถุชิ้นที่สอง และในทางกลับกัน ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน แรงเหล่านี้มีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงข้าม ดังนั้นเมื่อบวกกันแล้วแรงทั้งสองจะหักล้างกัน และ${\displaystyle \mathbf {p} }$เป็นค่าคงที่ หรืออีกทางหนึ่ง ถ้า${\displaystyle \mathbf {p} }$เนื่องจากทราบว่าค่าคงที่ จึงสรุปได้ว่าแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงข้ามกัน

แหล่งข้อมูลต่างๆ ได้เสนอให้ยกระดับแนวคิดอื่นๆ ที่ใช้ในกลศาสตร์คลาสสิกให้มีสถานะเทียบเท่ากับกฎของนิวตัน ตัวอย่างเช่น ในกลศาสตร์แบบนิวตัน มวลรวมของวัตถุที่เกิดจากการรวมวัตถุขนาดเล็กสองชิ้นเข้าด้วยกันคือผลรวมของมวลของวัตถุแต่ละชิ้นแฟรงค์ วิลเชคได้เสนอให้เน้นย้ำสมมติฐานนี้โดยกำหนดให้เป็น "กฎข้อที่ศูนย์ของนิวตัน" ^{[ 37 ]}อีกหนึ่งแนวคิดที่อาจเป็น "กฎข้อที่ศูนย์" คือข้อเท็จจริงที่ว่า ณ เวลาใดๆ วัตถุจะตอบสนองต่อแรงที่กระทำต่อมัน ณ เวลานั้น^{[ 38 ]}ในทำนองเดียวกัน แนวคิดที่ว่าแรงจะรวมกันเป็นเวกเตอร์ที่เหมือนกัน (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็นไปตามหลักการซ้อนทับ ) และแนวคิดที่ว่าแรงเปลี่ยนแปลงพลังงานของวัตถุ ต่างก็ถูกอธิบายว่าเป็น "กฎข้อที่สี่" ^{[หมายเหตุ 8 ]}

นอกจากนี้ ตำราบางเล่มยังจัดระเบียบแนวคิดพื้นฐานของกลศาสตร์นิวตันเป็นสมมติฐานที่แตกต่างกัน นอกเหนือจากกฎสามข้อตามที่กล่าวกันโดยทั่วไป โดยมีเป้าหมายเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นเกี่ยวกับสิ่งที่สังเกตได้จากประสบการณ์และสิ่งที่เป็นจริงตามนิยาม^{[ 19 ] : 9 [ 27 ]}

การศึกษาพฤติกรรมของวัตถุขนาดใหญ่โดยใช้กฎของนิวตันเรียกว่ากลศาสตร์นิวตัน ตัวอย่างปัญหาบางข้อในกลศาสตร์นิวตันมีความน่าสนใจเป็นพิเศษด้วยเหตุผลเชิงแนวคิดหรือทางประวัติศาสตร์

การเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ

ถ้าวัตถุตกลงมาจากหยุดนิ่งใกล้พื้นผิวโลก ในกรณีที่ไม่มีแรงต้านอากาศ วัตถุจะเร่งความเร็วในอัตราคงที่ ซึ่งเรียกว่าการตกอย่างอิสระความเร็วที่ได้รับระหว่างการตกอย่างอิสระเป็นสัดส่วนกับเวลาที่ผ่านไป และระยะทางที่เดินทางเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของเวลาที่ผ่านไป^{[ 43 ]}ที่สำคัญคือ ความเร่งจะเท่ากันสำหรับวัตถุทุกชนิด โดยไม่ขึ้นอยู่กับมวลของวัตถุนั้น นี่เป็นผลมาจากการรวมกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันเข้ากับกฎแรงโน้มถ่วงสากล ของเขา กฎข้อหลังระบุว่าขนาดของแรงโน้มถ่วงจากโลกที่กระทำต่อวัตถุคือ $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle m}$คือมวลของวัตถุที่กำลังตกลงมา${\displaystyle M}$คือมวลของโลก${\displaystyle G}$คือค่าคงที่ของนิวตัน และ${\displaystyle r}$คือระยะทางจากศูนย์กลางของโลกไปยังตำแหน่งของวัตถุ ซึ่งใกล้เคียงกับรัศมีของโลกมาก การกำหนดค่านี้ให้เท่ากับ${\displaystyle ma}$มวลของร่างกาย${\displaystyle m}$ตัดกันจากทั้งสองข้างของสมการ เหลือเพียงความเร่งที่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle G}$,${\displaystyle M}$, และ${\displaystyle r}$, และ${\displaystyle r}$สามารถถือได้ว่ามีค่าคงที่ โดยทั่วไปค่าความเร่งเฉพาะนี้จะถูกแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle g}$: $${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

หากวัตถุไม่ได้ถูกปล่อยจากหยุดนิ่ง แต่ถูกปล่อยขึ้นไปด้านบนและ/หรือในแนวนอนด้วยความเร็วที่ไม่เป็นศูนย์ การตกอย่างอิสระจะกลายเป็นการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ [ ^{44 ] เมื่อ}สามารถละเลยแรงต้านอากาศได้ โปรเจคไทล์จะเคลื่อนที่ตาม วิถีโค้งรูป พาราโบลาเนื่องจากแรงโน้มถ่วงส่งผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุ ไม่ใช่ในแนวนอน ณ จุดสูงสุดของวิถีการเคลื่อนที่ของโปรเจคไทล์ ความเร็วในแนวดิ่งจะเป็นศูนย์ แต่ความเร่งจะเป็นศูนย์${\displaystyle g}$ลงด้านล่าง ดังเช่นที่เป็นอยู่ตลอดเวลา การตั้งเวกเตอร์ผิดให้เท่ากับศูนย์เป็นความสับสนที่พบได้ทั่วไปในหมู่นักเรียนฟิสิกส์^{[ 45 ]}

การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในวงกลม แรงที่กระทำต่อวัตถุจะเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ แต่ไม่เปลี่ยนความเร็ว สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ในวงกลมรัศมี${\displaystyle r}$ด้วยความเร็วคงที่${\displaystyle v}$ความเร่งของมันมีขนาด$${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$และมีทิศทางพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางของวงกลม^{[หมายเหตุ 9 ]}แรงที่จำเป็นในการรักษาความเร่งนี้ ซึ่งเรียกว่าแรงสู่ศูนย์กลางจึงมีทิศทางพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางของวงกลมเช่นกัน และมีขนาดเท่ากับ${\displaystyle mv^{2}/r}$วงโคจรหลายวงเช่น วงโคจรของดวงจันทร์รอบโลก สามารถประมาณได้ด้วยการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ ในกรณีเช่นนี้ แรงสู่ศูนย์กลางคือแรงโน้มถ่วง และตามกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน แรงโน้มถ่วงจะมีขนาดเท่ากับ${\displaystyle GMm/r^{2}}$, ที่ไหน${\displaystyle M}$คือมวลของวัตถุขนาดใหญ่ที่โคจรรอบ ดังนั้น มวลของวัตถุสามารถคำนวณได้จากการสังเกตวัตถุอื่นที่โคจรรอบ^{[ 47 ] : 130}

Newton's cannonball is a thought experiment that interpolates between projectile motion and uniform circular motion. A cannonball that is lobbed weakly off the edge of a tall cliff will hit the ground in the same amount of time as if it were dropped from rest, because the force of gravity only affects the cannonball's momentum in the downward direction, and its effect is not diminished by horizontal movement. If the cannonball is launched with a greater initial horizontal velocity, then it will travel farther before it hits the ground, but it will still hit the ground in the same amount of time. However, if the cannonball is launched with an even larger initial velocity, then the curvature of the Earth becomes significant: the ground itself will curve away from the falling cannonball. A very fast cannonball will fall away from the inertial straight-line trajectory at the same rate that the Earth curves away beneath it; in other words, it will be in orbit (imagining that it is not slowed by air resistance or obstacles).^[48]

Harmonic motion

Consider a body of mass ${\displaystyle m}$ able to move along the ${\displaystyle x}$ axis, and suppose an equilibrium point exists at the position ${\displaystyle x=0}$. That is, at ${\displaystyle x=0}$, the net force upon the body is the zero vector, and by Newton's second law, the body will not accelerate. If the force upon the body is proportional to the displacement from the equilibrium point, and directed to the equilibrium point, then the body will perform simple harmonic motion. Writing the force as ${\displaystyle F=-kx}$, Newton's second law becomes $${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx\,.}$$ This differential equation has the solution $${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$ where the frequency ${\displaystyle \omega }$ is equal to ${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$, and the constants ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ can be calculated knowing, for example, the position and velocity the body has at a given time, like ${\displaystyle t=0}$.

One reason that the harmonic oscillator is a conceptually important example is that it is good approximation for many systems near a stable mechanical equilibrium.^{[note 10]} For example, a pendulum has a stable equilibrium in the vertical position: if motionless there, it will remain there, and if pushed slightly, it will swing back and forth. Neglecting air resistance and friction in the pivot, the force upon the pendulum is gravity, and Newton's second law becomes $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$where ${\displaystyle L}$ is the length of the pendulum and ${\displaystyle \theta }$ is its angle from the vertical. When the angle ${\displaystyle \theta }$ is small, the sine of ${\displaystyle \theta }$ is nearly equal to ${\displaystyle \theta }$ (see small-angle approximation), and so this expression simplifies to the equation for a simple harmonic oscillator with frequency ${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$.

ตัวสั่นฮาร์มอนิกสามารถถูกหน่วงได้โดยส่วนใหญ่เกิดจากแรงเสียดทานหรือแรงหนืด ซึ่งในกรณีนี้พลังงานจะไหลออกจากตัวสั่นและแอมพลิจูดของการสั่นจะลดลงเมื่อเวลาผ่านไป นอกจากนี้ ตัวสั่นฮาร์มอนิกยังสามารถถูกขับเคลื่อนด้วยแรงที่ใช้ ซึ่งอาจนำไปสู่ปรากฏการณ์ เร โซแนนซ์ได้^{[ 50 ]}

วัตถุที่มีมวลแปรผันได้

ฟิสิกส์แบบนิวตันถือว่าสสารไม่สามารถถูกสร้างขึ้นหรือถูกทำลายได้ แต่สามารถจัดเรียงใหม่ได้ วัตถุที่สนใจอาจมีมวลเพิ่มขึ้นหรือลดลงเนื่องจากมีการเพิ่มหรือลดมวลเข้าไป ในสถานการณ์เช่นนี้ กฎของนิวตันสามารถนำมาใช้กับชิ้นส่วนของสสารแต่ละชิ้นได้ โดยติดตามว่าชิ้นส่วนใดเป็นของวัตถุที่สนใจตลอดเวลา ตัวอย่างเช่น หากจรวดที่มีมวล...${\displaystyle M(t)}$เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ปล่อยสสารออกมาด้วยความเร็ว${\displaystyle \mathbf {u} }$เมื่อเทียบกับจรวดแล้ว^{[ 24 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} t}}\,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {F} }$คือแรงภายนอกสุทธิ (เช่น แรงดึงดูดของดาวเคราะห์) ^{[ 23 ] : 139}

พัดลมและใบเรือ

ตัวอย่างพัดลมและใบเรือเป็นสถานการณ์ที่ศึกษาในการอภิปรายเกี่ยวกับกฎข้อที่สามของนิวตัน^{[ 51 ]}ในสถานการณ์นี้พัดลมติดอยู่กับรถเข็นหรือเรือใบและเป่าลมไปที่ใบเรือ จากกฎข้อที่สาม เราอาจให้เหตุผลว่าแรงของอากาศที่ผลักไปในทิศทางเดียวจะหักล้างแรงที่พัดลมกระทำต่อใบเรือ ทำให้ทั้งอุปกรณ์หยุดนิ่ง อย่างไรก็ตาม เนื่องจากระบบไม่ได้ปิดสนิท จึงมีเงื่อนไขที่เรือจะเคลื่อนที่ ตัวอย่างเช่น หากใบเรือถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่เปลี่ยนทิศทางการไหลของอากาศส่วนใหญ่กลับไปยังพัดลม แรงสุทธิจะทำให้เรือเคลื่อนที่ไปข้างหน้า^{[ 34 ] [ 52 ]}

ลักษณะสำคัญของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีขนาดใหญ่สามารถเข้าใจได้โดยการจินตนาการว่ามวลของวัตถุนั้นรวมอยู่ที่จุดเดียว ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางมวล ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของวัสดุในวัตถุนั้น สำหรับกลุ่มของวัตถุที่มีลักษณะเป็นจุดซึ่งมีมวล...${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$ในตำแหน่งต่างๆ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$จุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$ที่ไหน${\displaystyle M}$คือมวลรวมของกลุ่ม ในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกสุทธิ ศูนย์กลางมวลจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนวเส้นตรง ตัวอย่างเช่น ในกรณีการชนกันระหว่างวัตถุสองชิ้น^{[ 55 ]}หากแรงภายนอกทั้งหมดไม่เป็นศูนย์ ศูนย์กลางมวลจะเปลี่ยนความเร็วราวกับว่าเป็นวัตถุจุดที่มีมวล${\displaystyle M}$สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าแรงภายในภายในกลุ่ม แรงที่วัตถุกระทำต่อกัน เกิดขึ้นเป็นคู่ที่สมดุลตามกฎข้อที่สามของนิวตัน ในระบบของวัตถุสองชิ้น โดยชิ้นหนึ่งมีมวลมากกว่าอีกชิ้นมาก จุดศูนย์กลางมวลจะตรงกับตำแหน่งของวัตถุที่มีมวลมากกว่าโดยประมาณ^{[ 19 ] : 22–24}

เมื่อนำกฎของนิวตันมาใช้กับวัตถุขนาดใหญ่ที่หมุนได้ จะนำไปสู่ปริมาณใหม่ที่คล้ายคลึงกับปริมาณที่ใช้ในกฎดั้งเดิม เช่น โมเมนต์ความเฉื่อยคือสิ่งที่เทียบเท่ากับมวล โมเมนตัมเชิงมุม คือสิ่งที่เทียบเท่ากับโมเมนตัม และ แรงบิดคือสิ่งที่เทียบเท่ากับแรง

โมเมนตัมเชิงมุมคำนวณโดยอ้างอิงจากจุดอ้างอิง^{[ 56 ]}ถ้าเวกเตอร์การกระจัดจากจุดอ้างอิงไปยังวัตถุคือ${\displaystyle \mathbf {r} }$และร่างกายมีโมเมนตัม${\displaystyle \mathbf {p} }$ดังนั้น โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุเทียบกับจุดนั้น คือ โดยใช้ผลคูณ เวกเตอร์ ไขว้$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$การหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาของโมเมนตัมเชิงมุมจะได้$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$พจน์แรกหายไปเพราะ${\displaystyle \mathbf {v} }$และ${\displaystyle m\mathbf {v} }$ชี้ไปในทิศทางเดียวกัน ส่วนที่เหลือคือแรงบิด$${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$เมื่อแรงบิดเป็นศูนย์ โมเมนตัมเชิงมุมจะคงที่ เช่นเดียวกับเมื่อแรงเป็นศูนย์ โมเมนตัมก็จะคงที่^{[ 19 ] : 14–15}แรงบิดสามารถหายไปได้แม้ว่าแรงจะไม่เป็นศูนย์ หากวัตถุตั้งอยู่ที่จุดอ้างอิง (${\displaystyle \mathbf {r} =0}$หรือหากแรง${\displaystyle \mathbf {F} }$และเวกเตอร์การกระจัด${\displaystyle \mathbf {r} }$ถูกกำหนดทิศทางไปในแนวเดียวกัน

โมเมนตัมเชิงมุมของกลุ่มมวลจุด และด้วยเหตุนี้ของวัตถุที่ขยายออกไป จะหาได้จากการบวกส่วนประกอบจากแต่ละจุด วิธีนี้ช่วยให้สามารถกำหนดลักษณะการหมุนของวัตถุรอบแกนได้ โดยการบวกโมเมนตัมเชิงมุมของชิ้นส่วนแต่ละชิ้น ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับแกนที่เลือก รูปร่างของวัตถุ และอัตราการหมุน^{[ 19 ] : 28}

กฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันระบุว่าวัตถุใดๆ จะดึงดูดวัตถุอื่นๆ ตามแนวเส้นตรงที่เชื่อมต่อกัน ขนาดของแรงดึงดูดเป็นสัดส่วนกับผลคูณของมวลของวัตถุทั้งสอง และเป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างวัตถุทั้งสอง การหาลักษณะของวงโคจรที่กฎแรงผกผันกำลังสองจะสร้างขึ้นเรียกว่าปัญหาของเคปเลอร์ปัญหาของเคปเลอร์สามารถแก้ไขได้หลายวิธี รวมถึงการแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ Laplace–Runge–Lenzมีค่าคงที่^{[ 57 ]}หรือโดยการใช้การแปลงแบบคู่ขนานกับตัวสั่นฮาร์มอนิก 2 มิติ^{[ 58 ]}ไม่ว่าจะแก้ไขด้วยวิธีใด ผลลัพธ์ก็คือวงโคจรจะเป็นภาคตัดกรวยนั่นคือวงรี (รวมถึงวงกลม) พาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลาความเยื้องศูนย์ของวงโคจร และดังนั้นชนิดของภาคตัดกรวย จึงถูกกำหนดโดยพลังงานและโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่โคจร ดาวเคราะห์ไม่มีพลังงานเพียงพอที่จะหลุดพ้นจากอิทธิพลของดวงอาทิตย์ ดังนั้นวงโคจรของพวกมันจึงเป็นรูปวงรีโดยประมาณ เนื่องจากดาวเคราะห์ต่างดึงดูดซึ่งกันและกัน วงโคจรที่แท้จริงจึงไม่ใช่รูปภาคตัดกรวยอย่างแม่นยำ

หากเพิ่มมวลที่สามเข้าไป ปัญหาของเคปเลอร์จะกลายเป็นปัญหาของวัตถุสามชิ้น ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่มีคำตอบที่แน่นอนในรูปแบบปิดนั่นคือ ไม่มีวิธีใดที่จะเริ่มต้นจากสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้จากกฎของนิวตัน และหลังจากลำดับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์มาตรฐานที่จำกัด จะได้สมการที่แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุทั้งสามชิ้นในช่วงเวลา^{[ 59 ] [ 60 ]} สามารถใช้ วิธีการเชิงตัวเลขเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ แม้ว่าจะเป็นการประมาณ สำหรับปัญหาของวัตถุสามชิ้น^{[ 61 ]}ตำแหน่งและความเร็วของวัตถุสามารถจัดเก็บไว้ในตัวแปรภายในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ ใช้กฎของนิวตันในการคำนวณว่าความเร็วจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรในช่วงเวลาสั้นๆ และเมื่อทราบความเร็วแล้ว ก็สามารถคำนวณการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งในช่วงเวลาดังกล่าวได้ กระบวนการนี้จะวนซ้ำเพื่อคำนวณวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยประมาณ โดยทั่วไปแล้ว ยิ่งช่วงเวลาสั้นลง การประมาณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้น^{[ 62 ]}

กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันอนุญาตให้เกิดความโกลาหลได้^{[ 63 ] [ 64 ]}กล่าวคือ ในเชิงคุณภาพ ระบบทางกายภาพที่ปฏิบัติตามกฎของนิวตันสามารถแสดงการพึ่งพาอย่างไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นได้ การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของตำแหน่งหรือความเร็วของส่วนหนึ่งของระบบอาจทำให้ระบบทั้งหมดมีพฤติกรรมที่แตกต่างไปอย่างสิ้นเชิงภายในเวลาอันสั้น ตัวอย่างที่น่าสนใจ ได้แก่ ปัญหาวัตถุสามชิ้นลูกตุ้มคู่บิลเลียดไดนามิกและปัญหาเฟอร์มิ-พาสตา-อูลัม-ชิงโกว

กฎของนิวตันสามารถนำไปใช้กับของไหล ได้ โดยพิจารณาของไหลว่าประกอบด้วยชิ้นส่วนเล็กๆ แต่ละชิ้นออกแรงกระทำต่อชิ้นส่วนข้างเคียงสมการโมเมนตัมของออยเลอร์เป็นการแสดงออกของกฎข้อที่สองของนิวตันที่ปรับให้เข้ากับพลศาสตร์ของของไหล^{[ 65 ] [ 66 ]}ของไหลถูกอธิบายด้วยสนามความเร็ว กล่าวคือ ฟังก์ชัน${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$กฎข้อที่สองของนิวตันกำหนดเวกเตอร์ความเร็วให้กับแต่ละจุดในอวกาศและเวลา วัตถุขนาดเล็กที่ถูกพัดพาไปตามกระแสน้ำสามารถเปลี่ยนความเร็วได้ด้วยสองสาเหตุ: ประการแรก เนื่องจากสนามความเร็ว ณ ตำแหน่งของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา และประการที่สอง เนื่องจากวัตถุเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งใหม่ซึ่งสนามความเร็วมีค่าแตกต่างกัน ดังนั้น เมื่อนำกฎข้อที่สองของนิวตันมาใช้กับส่วนเล็ก ๆ ของของเหลว ความเร่ง${\displaystyle \mathbf {a} }$มีสองพจน์ ซึ่งเป็นการรวมกันที่เรียกว่าอนุพันธ์รวมหรืออนุพันธ์เชิงวัสดุมวลของส่วนเล็ก ๆ ขึ้นอยู่กับความหนาแน่น ของของเหลว และจะมีแรงสุทธิกระทำต่อมันหากความดันของของเหลวเปลี่ยนแปลงจากด้านหนึ่งไปยังอีกด้านหนึ่ง ดังนั้น${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$กลายเป็น $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่น${\displaystyle P}$คือความกดดัน และ${\displaystyle \mathbf {f} }$หมายถึงอิทธิพลภายนอก เช่น แรงดึงดูดของโลก การรวมผลของความหนืดทำให้สมการออยเลอร์กลายเป็นสมการนาเวียร์-สโตกส์ $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \nu }$คือความหนืดจลน์^{[ 65 ]}

ในทางคณิตศาสตร์เป็นไปได้ที่กลุ่มของมวลจุดที่เคลื่อนที่ตามกฎของนิวตันจะพุ่งออกไปอย่างรุนแรงจนบินไปสู่ระยะอนันต์ในเวลาจำกัด^{[ 67 ]}พฤติกรรมที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์นี้เรียกว่า "ภาวะเอกฐานที่ไม่เกิดการชน" ^{[ 60 ]}ขึ้นอยู่กับมวลที่มีลักษณะเป็นจุดและสามารถเข้าใกล้กันได้มากเท่าที่ต้องการ รวมถึงการไม่มีขีดจำกัดความเร็วเชิงสัมพัทธภาพในฟิสิกส์ของนิวตัน^{[ 68 ]}

^{ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าสมการออยเลอร์และนาเวียร์-สโตกส์แสดงพฤติกรรมที่คล้ายคลึงกันของคำตอบที่เรียบในตอนต้น ที่} "ระเบิด" ในเวลาจำกัดหรือไม่ คำถามเกี่ยวกับการมีอยู่และความเรียบของคำตอบนาเวียร์-สโตกส์เป็นหนึ่งในปัญหารางวัลแห่งสหัสวรรษ [ ^{69 ]}

กลศาสตร์ลากรางจ์แตกต่างจากสูตรนิวตันโดยพิจารณาวิถีการเคลื่อนที่ทั้งหมดในคราวเดียวแทนที่จะทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ ช่วงเวลาเดียว^{[ 19 ] : 109}ตามธรรมเนียมในกลศาสตร์ลากรางจ์จะใช้สัญลักษณ์แทนตำแหน่งด้วย${\displaystyle q}$และความเร็วด้วย${\displaystyle {\dot {q}}}$ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคืออนุภาคจุดมวลมาก ซึ่งลากรางเจียนของมันสามารถเขียนได้เป็นผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์: $${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$ โดยที่พลังงานจลน์คือ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$ และพลังงานศักยภาพเป็นฟังก์ชันบางอย่างของตำแหน่ง${\displaystyle V(q)}$เส้นทางทางกายภาพที่อนุภาคจะเคลื่อนที่ระหว่างจุดเริ่มต้น${\displaystyle q_{i}}$และประเด็นสุดท้าย${\displaystyle q_{f}}$คือเส้นทางที่ปริพันธ์ของลากรางเจียน "คงที่" กล่าวคือ เส้นทางทางกายภาพมีคุณสมบัติที่ว่าการรบกวนเล็กน้อยของเส้นทางนั้นจะไม่ทำให้ปริพันธ์ของลากรางเจียนเปลี่ยนแปลงไปในเบื้องต้น แคลคูลัสของการแปรผันเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการค้นหาเส้นทางนี้^{[ 46 ] : 485}การประยุกต์ใช้แคลคูลัสของการแปรผันกับงานในการค้นหาเส้นทางทำให้ได้สมการออยเลอร์-ลากรางเจียนสำหรับอนุภาค $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$ การประเมินอนุพันธ์ย่อยของลากรางเจียนจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\dot {q}})=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$ ซึ่งเป็นการกล่าวซ้ำกฎข้อที่สองของนิวตัน ด้านซ้ายมือคืออนุพันธ์ของโมเมนตัมเทียบกับเวลา และด้านขวามือคือแรง ซึ่งแสดงในรูปของพลังงานศักยภาพ^{[ 9 ] : 737}

Landau และ Lifshitzโต้แย้งว่าการกำหนดสูตร Lagrangian ทำให้เนื้อหาเชิงแนวคิดของกลศาสตร์คลาสสิกชัดเจนกว่าการเริ่มต้นด้วยกฎของนิวตัน^{[ 29 ]}กลศาสตร์ Lagrangian ให้กรอบการทำงานที่สะดวกในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Noetherซึ่งเชื่อมโยงสมมาตรและกฎการอนุรักษ์^{[ 72 ]}การอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถอนุมานได้โดยการใช้ทฤษฎีบทของ Noether กับ Lagrangian สำหรับระบบหลายอนุภาค ดังนั้นกฎข้อที่สามของนิวตันจึงเป็นทฤษฎีบทมากกว่าสมมติฐาน^{[ 19 ] : 124}

ในกลศาสตร์แฮมิลตันพลวัตของระบบจะถูกแทนด้วยฟังก์ชันที่เรียกว่าแฮมิลตัน ซึ่งในหลายกรณีที่น่าสนใจจะเท่ากับพลังงานรวมของระบบ^{[ 9 ] : 742}แฮมิลตันเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งและโมเมนตัมของวัตถุทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นระบบ และอาจขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจนด้วย อนุพันธ์ของตำแหน่งและโมเมนตัมเทียบกับเวลาจะกำหนดโดยอนุพันธ์ย่อยของแฮมิลตัน ผ่านสมการของแฮมิลตัน [ ^{19 ] : 203ตัวอย่าง}ที่ง่ายที่สุดคือมวลจุด${\displaystyle m}$ถูกจำกัดให้เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง ภายใต้ผลกระทบของศักยภาพ การเขียน${\displaystyle q}$สำหรับพิกัดตำแหน่งและ${\displaystyle p}$สำหรับโมเมนตัมของวัตถุ แฮมิลโทเนียนคือ $${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$ ในตัวอย่างนี้ สมการของแฮมิลตันคือ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$ และ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$ เมื่อประเมินอนุพันธ์ย่อยเหล่านี้ สมการเดิมจึงกลายเป็น $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}},}$$ ซึ่งเป็นการกล่าวซ้ำถึงข้อความที่คุ้นเคยว่า โมเมนตัมของวัตถุเป็นผลคูณของมวลและความเร็ว อนุพันธ์ของโมเมนตัมเทียบกับเวลาคือ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$ ซึ่งเมื่อระบุอนุพันธ์เชิงลบของศักยภาพกับแรงแล้ว ก็คือกฎข้อที่สองของนิวตันอีกครั้ง^{[ 63 ] [ 9 ] : 742}

เช่นเดียวกับการกำหนดสูตรแบบลากรางจ์ ในกลศาสตร์แฮมิลตัน การอนุรักษ์โมเมนตัมสามารถอนุมานได้โดยใช้ทฤษฎีบทของโนเธอร์ ทำให้กฎข้อที่สามของนิวตันเป็นแนวคิดที่อนุมานได้แทนที่จะเป็นสมมติฐาน^{[ 19 ] : 251}

ในบรรดาข้อเสนอในการปฏิรูปหลักสูตรฟิสิกส์เบื้องต้นมาตรฐานนั้น มีข้อเสนอหนึ่งที่สอนแนวคิดเรื่องพลังงานก่อนแนวคิดเรื่องแรง ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือ "กลศาสตร์แฮมิลตันเบื้องต้น" ^{[ 73 ] [ 74 ]}

สมการแฮมิลตัน-จาโคบีให้สูตรอีกสูตรหนึ่งของกลศาสตร์คลาสสิก ซึ่งทำให้มีความคล้ายคลึงทางคณิตศาสตร์กับทัศนศาสตร์คลื่น^{[ 19 ] : 284 [ 75 ]}สูตรนี้ยังใช้ฟังก์ชันแฮมิลโทเนียน แต่ในวิธีที่แตกต่างจากสูตรที่อธิบายไว้ข้างต้น เส้นทางที่วัตถุหรือกลุ่มของวัตถุเคลื่อนที่นั้นอนุมานได้จากฟังก์ชัน${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$ตำแหน่ง${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$และเวลา${\displaystyle t}$แฮมิลโทเนียนถูกรวมเข้าไว้ในสมการแฮมิลตัน-จาโคบี ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับ${\displaystyle S}$วัตถุเคลื่อนที่ไปตามกาลเวลาในลักษณะที่วิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุตั้งฉากกับพื้นผิวคงที่${\displaystyle S}$ในทำนองเดียวกันกับที่รังสีแสงแพร่กระจายไปในทิศทางตั้งฉากกับหน้าคลื่น วิธีที่ง่ายที่สุดในการอธิบายคือในกรณีของมวลจุดเดียว ซึ่ง${\displaystyle S}$เป็นฟังก์ชัน${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$และจุดมวลเคลื่อนที่ไปในทิศทางซึ่ง${\displaystyle S}$เปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง โมเมนตัมของมวลจุดคือเกรเดียนต์ของ${\displaystyle S}$: $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$ สมการแฮมิลตัน-จาโคบีสำหรับมวลจุดคือ $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$ ความสัมพันธ์กับกฎของนิวตันสามารถมองเห็นได้จากการพิจารณามวลจุดที่เคลื่อนที่ในศักยภาพที่ไม่ขึ้นกับเวลา${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$ในกรณีนั้น สมการแฮมิลตัน-จาโคบีจะกลายเป็น $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$ เมื่อหาค่าความชันของทั้งสองข้าง จะได้ว่า $${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$ โดยการสลับลำดับของอนุพันธ์ย่อยทางด้านซ้ายมือ และใช้ กฎ กำลังและกฎลูกโซ่กับพจน์แรกทางด้านขวามือ $${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$ การรวบรวมเงื่อนไขที่ขึ้นอยู่กับระดับความชันของ${\displaystyle S}$, $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$ นี่เป็นการแสดงออกอีกครั้งของกฎข้อที่สองของนิวตัน^{[ 76 ]}นิพจน์ในวงเล็บคือ อนุพันธ์ ทั้งหมดหรืออนุพันธ์เชิงวัสดุตามที่กล่าวไว้ข้างต้น^{[ 77 ]}ซึ่งพจน์แรกบ่งชี้ว่าฟังก์ชันที่กำลังหาอนุพันธ์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป ณ ตำแหน่งคงที่ และพจน์ที่สองแสดงให้เห็นว่าอนุภาคที่เคลื่อนที่จะเห็นค่าที่แตกต่างกันของฟังก์ชันนั้นอย่างไรเมื่อเดินทางจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}.}$$

ในฟิสิกส์เชิง สถิติ ทฤษฎีจลน์ของก๊าซใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันกับอนุภาคจำนวนมาก (โดยทั่วไปอยู่ในระดับเดียวกับเลขอะโวกาโด ) ทฤษฎีจลน์สามารถอธิบายได้ เช่นความดันที่ก๊าซกระทำต่อภาชนะที่บรรจุก๊าซนั้นเป็นผลรวมของการกระทบกันของอะตอมจำนวนมาก โดยแต่ละอะตอมจะถ่ายทอดโมเมนตัมเพียงเล็กน้อย^{[ 71 ] : 62}

สมการ Langevinเป็นกรณีพิเศษของกฎข้อที่สองของนิวตัน ซึ่งปรับให้เข้ากับกรณีของการอธิบายวัตถุขนาดเล็กที่ถูกโจมตีแบบสุ่มโดยวัตถุที่เล็กกว่า^{[ 78 ] : 235}สามารถเขียนได้ว่า$${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$ที่ไหน${\displaystyle \gamma }$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงต้านและ${\displaystyle \mathbf {\xi } }$เป็นแรงที่เปลี่ยนแปลงแบบสุ่มในแต่ละช่วงเวลา ซึ่งแสดงถึงผลสุทธิของการชนกับอนุภาคโดยรอบ ใช้เพื่อจำลองการเคลื่อนที่แบบบราวน์^{[ 79 ]}

กฎสามข้อของนิวตันสามารถนำไปใช้กับปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับไฟฟ้าและแม่เหล็กได้ แม้ว่าจะมีรายละเอียดปลีกย่อยและข้อจำกัดอยู่บ้างก็ตาม

กฎของคูลอมบ์สำหรับแรงทางไฟฟ้าที่เกิดขึ้นระหว่าง วัตถุ ที่มีประจุไฟฟ้า สองชิ้นซึ่งอยู่นิ่ง นั้น มีรูปแบบทางคณิตศาสตร์คล้ายคลึงกับกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตันมาก กล่าวคือ แรงเป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณของประจุ เป็นสัดส่วนผกผันกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างวัตถุ และมีทิศทางไปตามเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างวัตถุ แรงคูลอมบ์ที่ประจุกระทำต่อวัตถุ${\displaystyle q_{1}}$ออกแรงกระทำต่อประจุ${\displaystyle q_{2}}$มีขนาดเท่ากับแรงที่${\displaystyle q_{2}}$ออกแรงกระทำต่อ${\displaystyle q_{1}}$และชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามอย่างสิ้นเชิง กฎของคูลอมบ์จึงสอดคล้องกับกฎข้อที่สามของนิวตัน^{[ 80 ]}

แม่เหล็กไฟฟ้าถือว่าแรงเกิดจากสนามที่กระทำต่อประจุกฎแรงของลอเรนซ์ให้การแสดงออกของแรงที่กระทำต่อวัตถุที่มีประจุ ซึ่งสามารถนำไปใช้กับกฎข้อที่สองของนิวตันเพื่อคำนวณความเร่งได้^{[ 81 ] : 85}ตามกฎแรงของลอเรนซ์ วัตถุที่มีประจุในสนามไฟฟ้าจะได้รับแรงในทิศทางของสนามนั้น ซึ่งเป็นแรงที่แปรผันตรงกับประจุของมัน${\displaystyle q}$และแปรผันตามความแรงของสนามไฟฟ้า นอกจากนี้ วัตถุที่มีประจุ เคลื่อนที่ในสนามแม่เหล็กจะได้รับแรงที่แปรผันตามประจุของมันเช่นกัน ในทิศทางตั้งฉากกับทั้งสนามและทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ โดยใช้ผล คูณเวกเตอร์ ไขว้$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

ถ้าสนามไฟฟ้าหายไป (${\displaystyle \mathbf {E} =0}$) ในกรณีนั้น แรงจะตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ของประจุ เช่นเดียวกับกรณีการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอที่ได้ศึกษาไปข้างต้น และประจุจะเคลื่อนที่เป็นวงกลม (หรือโดยทั่วไปจะเคลื่อนที่เป็นเกลียว ) รอบเส้นสนามแม่เหล็กด้วยความถี่ไซโคลตรอน${\displaystyle \omega =qB/m}$[ ^{78 ] : 222}การวัดมวลสารด้วยสเปกโทรเมตรีทำงานโดยการใช้สนามไฟฟ้าและ/หรือสนามแม่เหล็กกับประจุที่เคลื่อนที่และวัดความเร่งที่เกิดขึ้น ซึ่งตามกฎแรงของลอเรนซ์จะให้^ค่าอัตราส่วนมวลต่อประจุ^{[ 82 ]}

กลุ่มของวัตถุที่มีประจุไม่ได้ปฏิบัติตามกฎข้อที่สามของนิวตันเสมอไป อาจมีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุหนึ่งโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุอื่นที่ชดเชยกัน ความไม่สอดคล้องกันนี้เกิดจากโมเมนตัมที่สนามแม่เหล็กไฟฟ้าเองเป็นผู้พา โมเมนตัมต่อหน่วยปริมาตรของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสัดส่วนกับเวกเตอร์ Poynting ^{[ 83 ] : 184 [ 84 ]}

มีความขัดแย้งเชิงแนวคิดที่ละเอียดอ่อนระหว่างแม่เหล็กไฟฟ้าและกฎข้อแรกของนิวตัน: ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ทำนายว่าคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจะเดินทางผ่านอวกาศว่างเปล่าด้วยความเร็วคงที่และแน่นอน ดังนั้น ผู้สังเกตการณ์เฉื่อยบางคนจึงดูเหมือนจะมีสถานะพิเศษเหนือคนอื่นๆ กล่าวคือ ผู้ที่วัดความเร็วของแสงและพบว่ามีค่าตามที่สมการของแม็กซ์เวลล์ทำนายไว้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง แสงเป็นมาตรฐานสัมบูรณ์สำหรับความเร็ว แต่หลักการของความเฉื่อยระบุว่าไม่ควรมีมาตรฐานดังกล่าว ความตึงเครียดนี้ได้รับการแก้ไขในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ซึ่งปรับปรุงแนวคิดของอวกาศและเวลาในลักษณะที่ผู้สังเกตการณ์เฉื่อยทั้งหมดจะเห็นพ้องต้องกันเกี่ยวกับความเร็วของแสงในสุญญากาศ^{[หมายเหตุ 12 ]}

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ กฎที่วิลเชคเรียกว่า "กฎข้อที่ศูนย์ของนิวตัน" นั้นใช้ไม่ได้ผล: มวลของวัตถุประกอบไม่ได้เป็นเพียงผลรวมของมวลของชิ้นส่วนแต่ละชิ้น^{[ 87 ] : 33}กฎข้อแรกของนิวตัน การเคลื่อนที่แบบเฉื่อย ยังคงเป็นจริง รูปแบบหนึ่งของกฎข้อที่สองของนิวตันที่ว่า แรงคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม ก็ยังคงเป็นจริง เช่นเดียวกับการอนุรักษ์โมเมนตัม อย่างไรก็ตาม นิยามของโมเมนตัมได้รับการแก้ไข ผลที่ตามมาประการหนึ่งคือ ยิ่งวัตถุเคลื่อนที่เร็วเท่าใด ก็ยิ่งยากที่จะเร่งความเร็วมากขึ้นเท่านั้น ดังนั้น ไม่ว่าจะใช้แรงมากแค่ไหน วัตถุก็ไม่สามารถเร่งความเร็วไปถึงความเร็วแสงได้ ขึ้นอยู่กับปัญหาที่กำลังพิจารณา โมเมนตัมในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์สามมิติได้${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$, ที่ไหน${\displaystyle m}$คือ มวลขณะพักของร่างกายและ${\displaystyle \gamma }$คือปัจจัยลอเรนซ์ซึ่งขึ้นอยู่กับความเร็วของวัตถุ หรืออีกทางหนึ่ง โมเมนตัมและแรงสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์สี่มิติได้^{[ 88 ] : 107}

กฎข้อที่สามของนิวตันจะต้องได้รับการแก้ไขในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ กฎข้อที่สามกล่าวถึงแรงระหว่างวัตถุสองชิ้นในเวลาเดียวกัน และคุณลักษณะสำคัญของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษคือความพร้อมกันนั้นเป็นสัมพัทธ์ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในเวลาเดียวกันเมื่อเทียบกับผู้สังเกตการณ์คนหนึ่ง อาจเกิดขึ้นในเวลาที่แตกต่างกันเมื่อเทียบกับอีกคนหนึ่ง ดังนั้น ในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตการณ์ที่กำหนด การกระทำและปฏิกิริยาอาจไม่ตรงกันข้ามกันอย่างแน่นอน และโมเมนตัมรวมของวัตถุที่ปฏิสัมพันธ์กันอาจไม่ได้รับการอนุรักษ์ การอนุรักษ์โมเมนตัมได้รับการฟื้นฟูโดยการรวมโมเมนตัมที่เก็บไว้ในสนามที่อธิบายปฏิสัมพันธ์ของวัตถุ^{[ 89 ] [ 90 ]}

กลศาสตร์นิวตันเป็นการประมาณที่ดีสำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเมื่อความเร็วที่เกี่ยวข้องมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับความเร็วแสง^{[ 91 ] : 131}

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีแรงโน้มถ่วงที่ก้าวหน้ากว่าของนิวตัน ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป แรงโน้มถ่วงของกลศาสตร์นิวตันถูกตีความใหม่ว่าเป็นความโค้งของกาลอวกาศเส้นทางโค้งเช่นวงโคจร ซึ่งเกิดจากแรงโน้มถ่วงในกลศาสตร์นิวตัน ไม่ได้เป็นผลมาจากแรงที่เบี่ยงเบนวัตถุจากเส้นทางตรงในอุดมคติ แต่เป็นการที่วัตถุพยายามตกลงมาอย่างอิสระผ่านพื้นหลังที่โค้งงอเนื่องจากการมีอยู่ของมวลอื่น คำกล่าวของจอห์น อาร์ชิบัลด์ วีลเลอร์ที่กลายเป็นสุภาษิตในหมู่นักฟิสิกส์สรุปทฤษฎีนี้ไว้ว่า "กาลอวกาศบอกสสารว่าจะเคลื่อนที่อย่างไร สสารบอกกาลอวกาศว่าจะโค้งงออย่างไร" ^{[ 92 ] [ 93 ]}วีลเลอร์เองคิดว่าความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทนนี้เป็นรูปแบบทั่วไปที่ทันสมัยของกฎข้อที่สามของนิวตัน^{[ 92 ]}ความสัมพันธ์ระหว่างการกระจายตัวของสสารและความโค้งของกาลอวกาศแสดงโดยสมการสนามของไอน์สไตน์ซึ่งต้องใช้แคลคูลัสเทนเซอร์ในการแสดง^{[ 87 ] : 43 [ 94 ]}

ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตันเป็นการประมาณที่ดีต่อการคาดการณ์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเมื่อผลกระทบของแรงโน้มถ่วงอ่อนและวัตถุเคลื่อนที่ช้าเมื่อเทียบกับความเร็วแสง^{[ 85 ] : 327 [ 95 ]}

กลศาสตร์ควอนตัมเป็นทฤษฎีฟิสิกส์ที่พัฒนาขึ้นมาเพื่อทำความเข้าใจปรากฏการณ์ระดับจุลภาค: พฤติกรรมในระดับโมเลกุล อะตอม หรืออนุภาคย่อยอะตอม โดยทั่วไปและโดยคร่าวๆ ยิ่งระบบมีขนาดเล็กเท่าใด แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมก็จะยิ่งต้องอาศัยความเข้าใจผลกระทบควอนตัมมากขึ้นเท่านั้น พื้นฐานทางแนวคิดของฟิสิกส์ควอนตัมแตกต่างจากฟิสิกส์คลาสสิกมากแทนที่จะคิดถึงปริมาณต่างๆ เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัม และพลังงานในฐานะคุณสมบัติที่วัตถุมีเราจะพิจารณาว่าผลลัพธ์ใดอาจปรากฏขึ้นเมื่อ ทำการ วัดประเภทที่เลือก กลศาสตร์ควอนตัมช่วยให้นักฟิสิกส์สามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่การวัดที่เลือกจะก่อให้เกิดผลลัพธ์เฉพาะ^{[ 96 ] [ 97 ]}ค่าคาดหวังสำหรับการวัดคือค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่อาจเกิดขึ้น โดยถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้น^{[ 98 ]}

ทฤษฎีบทเอห์เรนเฟสต์แสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงระหว่างค่าคาดหวังควอนตัมกับกฎข้อที่สองของนิวตัน ซึ่งเป็นความเชื่อมโยงที่ไม่แน่นอน เนื่องจากฟิสิกส์ควอนตัมแตกต่างจากฟิสิกส์คลาสสิกโดยพื้นฐาน ในฟิสิกส์ควอนตัม ตำแหน่งและโมเมนตัมถูกแทนด้วยหน่วยทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าตัวดำเนินการเฮอร์มิเชียนและกฎของบอร์นถูกใช้ในการคำนวณค่าคาดหวังของการวัดตำแหน่งหรือการวัดโมเมนตัม ค่าคาดหวังเหล่านี้โดยทั่วไปจะเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา กล่าวคือ ขึ้นอยู่กับเวลาที่ (ตัวอย่างเช่น) ทำการวัดตำแหน่ง ความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ต่างๆ จะแตกต่างกันไป ทฤษฎีบทเอห์เรนเฟสต์กล่าวโดยคร่าวๆ ว่าสมการที่อธิบายว่าค่าคาดหวังเหล่านี้เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรตามเวลามีรูปแบบที่คล้ายกับกฎข้อที่สองของนิวตัน อย่างไรก็ตาม ยิ่งผลกระทบควอนตัมเด่นชัดมากขึ้นในสถานการณ์ใดสถานการณ์หนึ่ง ก็ยิ่งยากที่จะได้ข้อสรุปที่มีความหมายจากความคล้ายคลึงนี้^{[หมายเหตุ 13 ]}

เรเน่ เดส์การ์ตนักปรัชญาชาวฝรั่งเศสได้นำเสนอแนวคิดเรื่องความเฉื่อยโดยผ่าน "กฎแห่งธรรมชาติ" ของเขาในหนังสือ The World ( Traité du monde et de la lumière ) ซึ่งเขียนขึ้นระหว่างปี 1629–1633 อย่างไรก็ตามหนังสือ The Worldเสนอ มุมมองโลก แบบสุริยจักรวาลและในปี 1633 มุมมองนี้ได้ก่อให้เกิดความขัดแย้งครั้งใหญ่ระหว่างกาลิเลโอ กาลิเลอีกับศาลศาสนาโรมันคาทอลิก เดส์การ์ตทราบเกี่ยวกับข้อโต้แย้งนี้และไม่ต้องการเข้าไปเกี่ยวข้อง หนังสือThe Worldจึงไม่ได้รับการตีพิมพ์จนกระทั่งปี 1664 สิบปีหลังจากที่เขาเสียชีวิต^{[ 107 ]}

แนวคิดสมัยใหม่เรื่องความเฉื่อยได้รับการยกย่องให้เป็นผลงานของกาลิเลโอ จากการทดลองของเขา กาลิเลโอสรุปว่าพฤติกรรม "ตามธรรมชาติ" ของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่คือการเคลื่อนที่ต่อไปเรื่อยๆ จนกว่าจะมีสิ่งอื่นมารบกวน ในหนังสือTwo New Sciences (1638) กาลิเลโอเขียนไว้ว่า: ^{[ 108 ] [ 109 ]}

ลองนึกภาพอนุภาคใดๆ ที่เคลื่อนที่ไปตามระนาบแนวนอนโดยปราศจากแรงเสียดทาน จากนั้นเราจะทราบจากสิ่งที่ได้อธิบายไว้โดยละเอียดในหน้าก่อนหน้านี้ว่า อนุภาคนี้จะเคลื่อนที่ไปตามระนาบเดียวกันนั้นด้วยการเคลื่อนที่ที่สม่ำเสมอและต่อเนื่องไปเรื่อยๆ ตราบใดที่ระนาบนั้นไม่มีขอบเขต

กาลิเลโอตระหนักว่าในการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ แรงโน้มถ่วงของโลกมีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง แต่ไม่มีผลต่อการเคลื่อนที่ในแนวนอน^{[ 110 ]}อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องความเฉื่อยของกาลิเลโอไม่ตรงกับแนวคิดที่จะถูกกำหนดเป็นกฎข้อแรกของนิวตัน กาลิเลโอคิดว่าวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นระยะทางไกลด้วยความเฉื่อยจะเคลื่อนที่ตามความโค้งของโลก แนวคิดนี้ได้รับการแก้ไขโดยไอแซค บีคแมน เดส์การ์ต และปิแอร์ กัสเซนดีซึ่งตระหนักว่าการเคลื่อนที่ด้วยความเฉื่อยควรเป็นการเคลื่อนที่ในเส้นตรง^{[ 111 ]}เดส์การ์ตได้ตีพิมพ์กฎธรรมชาติ (กฎการเคลื่อนที่) ของเขาพร้อมกับการแก้ไขนี้ในหนังสือหลักการปรัชญา ( Principia Philosophiae ) ในปี 1644 โดยส่วนที่เกี่ยวกับดวงอาทิตย์ถูกลดทอนลง^{[ 112 ] [ 107 ]}

กฎธรรมชาติข้อแรก: ทุกสิ่งเมื่อปล่อยไว้ตามลำพังจะคงอยู่ในสภาพเดิม ดังนั้นวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ก็จะยังคงเคลื่อนที่ต่อไปจนกว่าจะมีสิ่งใดมาหยุดมัน

กฎธรรมชาติข้อที่สอง: วัตถุที่เคลื่อนที่ทุกชนิด หากปล่อยให้เคลื่อนที่เอง จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ดังนั้น วัตถุใดๆ ที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม มักจะเคลื่อนที่ออกห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเสมอ

ตามที่ริชาร์ด เจ. แบล็กเวลล์ นักปรัชญาชาวอเมริกันกล่าวไว้ นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์คริสเตียน ฮุยเกนส์ได้ร่างกฎฉบับย่อของตนเองขึ้นในปี ค.ศ. 1656 ^{[ 113 ]}แต่กฎดังกล่าวไม่ได้ถูกตีพิมพ์จนกระทั่งปี ค.ศ. 1703 ซึ่งเป็นเวลาแปดปีหลังจากที่เขาเสียชีวิต ในย่อหน้าแรกของDe Motu Corporum ex Percussione

สมมติฐานที่ 1: วัตถุใดๆ ที่กำลังเคลื่อนที่อยู่แล้ว จะยังคงเคลื่อนที่ต่อไปเรื่อยๆ ด้วยความเร็วเท่าเดิมและเป็นเส้นตรง เว้นแต่จะมีสิ่งใดมาขัดขวาง

ตามที่ฮุยเกนส์กล่าว กฎนี้เป็นที่รู้จักอยู่แล้วโดยกาลิเลโอและเดส์การ์ตส์และคนอื่นๆ^{[ 113 ]}

Christiaan Huygens ในHorologium Oscillatorium (1673) ของเขาได้เสนอสมมติฐานว่า "ด้วยการกระทำของแรงโน้มถ่วง ไม่ว่าจะมีที่มาอย่างไรก็ตาม วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยการเคลื่อนที่ซึ่งประกอบด้วยการเคลื่อนที่สม่ำเสมอในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง และการเคลื่อนที่ลงเนื่องจากแรงโน้มถ่วง" กฎข้อที่สองของนิวตันได้ขยายสมมติฐานนี้จากแรงโน้มถ่วงไปสู่แรงทั้งหมด^{[ 114 ]}

ลักษณะสำคัญประการหนึ่งของฟิสิกส์แบบนิวตันคือ แรงสามารถกระทำได้ในระยะไกลโดยไม่จำเป็นต้องมีการสัมผัสทางกายภาพ^{[หมายเหตุ 16 ]}ตัวอย่างเช่น ดวงอาทิตย์และโลกต่างดึงดูดซึ่งกันและกันด้วยแรงโน้มถ่วง แม้จะอยู่ห่างกันหลายล้านกิโลเมตรก็ตาม ซึ่งแตกต่างจากแนวคิดที่เดส์การ์ตส์และคนอื่นๆ สนับสนุน ที่ว่าแรงโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์ยึดดาวเคราะห์ไว้ในวงโคจรโดยการหมุนวนพวกมันในกระแสน้ำวนของสสารโปร่งใส หรืออีเธอร์ [ ^{121 ] นิ}วตันเคยพิจารณาคำอธิบายเกี่ยวกับแรงในแง่ของอีเธอร์ แต่ในที่สุดก็ปฏิเสธมัน^{[ 119 ]}การศึกษาเรื่องแม่เหล็กโดยวิลเลียม กิลเบิร์ตและคนอื่นๆ ได้สร้างแบบอย่างสำหรับการคิดถึงแรงที่ไม่มีตัวตน^{[ 119 ]}และเมื่อไม่สามารถหาคำอธิบายที่น่าพอใจในเชิงปริมาณของกฎแรงโน้มถ่วงของเขาในแง่ของแบบจำลองอีเธอร์ได้ ในที่สุดนิวตันก็ประกาศว่า " ฉันไม่ได้แสร้งทำสมมติฐานใดๆ " ไม่ว่าแบบจำลองเช่นกระแสน้ำวน ของเดส์การ์ตจะสามารถพบได้ว่าเป็นพื้นฐานของ ทฤษฎีการเคลื่อนที่และแรงโน้มถ่วง ของ Principiaหรือไม่ พื้นฐานแรกในการตัดสินทฤษฎีเหล่านั้นจะต้องมาจากการทำนายที่ประสบความสำเร็จที่พวกเขาทำ^{[ 122 ]}และแท้จริงแล้ว นับตั้งแต่สมัยของนิวตัน ความพยายามทุกครั้งในการ สร้างแบบจำลองดังกล่าวก็ล้มเหลว

โยฮันเนส เคปเลอร์เสนอว่าแรงดึงดูดของแรงโน้มถ่วงนั้นเป็นไปในทางตรงกันข้าม กล่าวคือ ดวงจันทร์ดึงดูดโลก ในขณะที่โลกดึงดูดดวงจันทร์ แต่เขาไม่ได้โต้แย้งว่าแรงดึงดูดเหล่านั้นเท่ากันและตรงข้ามกัน^{[ 123 ]}ในหนังสือหลักการปรัชญา (ค.ศ. 1644) เดส์การ์ตส์ได้นำเสนอแนวคิดที่ว่า ในระหว่างการชนกันระหว่างวัตถุ "ปริมาณของการเคลื่อนที่" ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เดส์การ์ตส์ได้นิยามปริมาณนี้อย่างไม่แม่นยำนัก โดยการบวกผลคูณของความเร็วและ "ขนาด" ของแต่ละวัตถุ โดยที่ "ขนาด" สำหรับเขารวมทั้งปริมาตรและพื้นที่ผิว^{[ 124 ]}ยิ่งไปกว่านั้น เดส์การ์ตส์คิดว่าจักรวาลเป็นplenumนั่นคือ เต็มไปด้วยสสาร ดังนั้นการเคลื่อนที่ทั้งหมดจึงต้องอาศัยวัตถุในการเคลื่อนที่ไปแทนที่ตัวกลางขณะที่เคลื่อนที่

ในช่วงทศวรรษ 1650 ฮุยเกนส์ได้ศึกษาการชนกันระหว่างทรงกลมแข็งและสรุปหลักการที่ปัจจุบันเรียกว่าการอนุรักษ์โมเมนตัม^{[ 125 ] [ 126 ]} ต่อมา คริสโตเฟอร์ เรนได้สรุปกฎเดียวกันสำหรับการชนแบบยืดหยุ่นที่ฮุยเกนส์มี และจอห์น วอลลิสได้นำการอนุรักษ์โมเมนตัมมาใช้ในการศึกษาการชนแบบไม่ยืดหยุ่นนิวตันอ้างอิงงานของฮุยเกนส์ เรน และวอลลิสเพื่อสนับสนุนความถูกต้องของกฎข้อที่สามของเขา^{[ 127 ]}

นิวตันได้กำหนดชุดกฎสามข้อของเขาทีละน้อย ในต้นฉบับที่เขียนถึงฮุยเกนส์ในปี 1684เขาได้ระบุกฎสี่ข้อ ได้แก่ หลักการความเฉื่อย การเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่โดยแรง ข้อความเกี่ยวกับการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ซึ่งในปัจจุบันเรียกว่าความ ไม่ แปรเปลี่ยนแบบกาลิเลียนและกฎที่ว่าปฏิสัมพันธ์ระหว่างวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล ในต้นฉบับต่อมา นิวตันได้เพิ่มกฎของการกระทำและปฏิกิริยา พร้อมทั้งกล่าวว่ากฎนี้และกฎเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวลนั้นบ่งชี้ซึ่งกันและกัน นิวตันน่าจะสรุปการนำเสนอในPrincipiaโดยมีกฎหลักสามข้อและข้อความอื่นๆ ที่ลดรูปเป็นบทสรุปในช่วงปี 1685 ^{[ 128 ]}

นิวตันได้แสดงกฎข้อที่สองของเขาโดยกล่าวว่า แรงที่กระทำต่อวัตถุเป็นสัดส่วนกับการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่หรือโมเมนตัม เมื่อถึงเวลาที่เขาเขียนPrincipiaเขาได้พัฒนาแคลคูลัสแล้ว (ซึ่งเขาเรียกว่า " วิทยาศาสตร์แห่งฟลักซ์ชัน ") แต่ในPrincipiaเขาไม่ได้ใช้แคลคูลัสอย่างชัดเจน อาจเป็นเพราะเขาเชื่อว่าการใช้เหตุผลทางเรขาคณิตในแบบของยูคลิดนั้นเข้มงวดกว่า^{[ 130 ] : 15 [ 131 ]}ดังนั้นPrincipiaจึงไม่ได้แสดงความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง และด้วยเหตุนี้จึงไม่ได้ให้กฎข้อที่สองเป็น${\displaystyle F=ma}$กฎข้อที่สองในรูปแบบนี้ถูกเขียนขึ้น (สำหรับกรณีพิเศษของแรงคงที่) อย่างน้อยที่สุดในปี 1716 โดยJakob Hermann ; Leonhard Eulerจะนำมาใช้เป็นสมมติฐานพื้นฐานในช่วงทศวรรษ 1740 ^{[ 132 ]} Euler เป็นผู้บุกเบิกการศึกษาวัตถุแข็ง^{[ 133 ]}และสร้างทฤษฎีพื้นฐานของพลศาสตร์ของไหล^{[ 134 ]} Traité de mécanique céleste (1798–1825) ห้าเล่มของPierre-Simon Laplaceละทิ้งเรขาคณิตและพัฒนากลศาสตร์โดยใช้การแสดงออกทางพีชคณิตล้วนๆ ในขณะเดียวกันก็แก้ปัญหาที่Principiaยังไม่ได้ตอบ เช่น ทฤษฎีที่สมบูรณ์^ของกระแสน้ำ [ ^{135 ]}

แนวคิดเรื่องพลังงานกลายเป็นส่วนสำคัญของกลศาสตร์แบบนิวตันในยุคหลังนิวตัน วิธีแก้ปัญหาการชนกันของทรงกลมแข็งของฮุยเกนส์แสดงให้เห็นว่า ในกรณีนั้น ไม่เพียงแต่โมเมนตัมจะถูกอนุรักษ์เท่านั้น แต่พลังงานจลน์ก็ถูกอนุรักษ์ด้วยเช่นกัน (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ปริมาณที่เราสามารถระบุได้ในภายหลังว่าเป็นครึ่งหนึ่งของพลังงานจลน์ทั้งหมด) คำถามที่ว่าอะไรถูกอนุรักษ์ในกระบวนการอื่นๆ เช่น การชนแบบไม่ยืดหยุ่นและการเคลื่อนที่ที่ช้าลงเนื่องจากแรงเสียดทาน ยังไม่ได้รับการแก้ไขจนกระทั่งศตวรรษที่ 19 การถกเถียงในหัวข้อนี้ซ้อนทับกับการโต้แย้งทางปรัชญาระหว่างมุมมองทางอภิปรัชญาของนิวตันและไลบ์นิซ และบางครั้งมีการใช้คำว่า "แรง" ในรูปแบบต่างๆ เพื่อบ่งบอกถึงสิ่งที่เราเรียกว่าประเภทของพลังงาน ตัวอย่างเช่น ในปี 1742 เอมิลี ดู ชาเตเลต์เขียนว่า "แรงตายตัวประกอบด้วยแนวโน้มอย่างง่ายในการเคลื่อนที่ เช่น สปริงที่พร้อมจะคลายตัวแรงมีชีวิตคือแรงที่วัตถุมีเมื่อมันกำลังเคลื่อนที่จริง" ในศัพท์สมัยใหม่ "แรงตายตัว" และ "แรงมีชีวิต" สอดคล้องกับพลังงานศักยภาพและพลังงานจลน์ตามลำดับ^{[ 136 ]}การอนุรักษ์พลังงานไม่ได้ถูกกำหนดให้เป็นหลักการสากลจนกระทั่งเข้าใจว่าพลังงานของงานเชิงกลสามารถกระจายไปเป็นความร้อนได้^{[ 137 ] [ 138 ]}เมื่อแนวคิดเรื่องพลังงานได้รับการวางรากฐานอย่างมั่นคงแล้ว กฎของนิวตันจึงสามารถอนุมานได้ภายในสูตรของกลศาสตร์คลาสสิกที่ให้ความสำคัญกับพลังงานเป็นอันดับแรก เช่นในสูตรของลากรางจ์และแฮมิลตันที่อธิบายไว้ข้างต้น

การนำเสนอสมัยใหม่ของกฎของนิวตันใช้คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์ ซึ่งเป็นหัวข้อที่ยังไม่ได้รับการพัฒนาจนกระทั่งปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 พีชคณิตเวกเตอร์ ซึ่งริเริ่มโดยJosiah Willard GibbsและOliver Heavisideสืบเนื่องมาจากและเข้ามาแทนที่ระบบควอเทอร์เนียน ก่อนหน้านี้ ที่คิดค้นโดยWilliam Rowan Hamiltonเป็น ส่วนใหญ่ ^{[ 139 ] [ 140 ]}