ลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่าย [ ^{4 ​​] เป็น}แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติของลูกตุ้ม^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}ซึ่งประกอบด้วยตุ้มน้ำหนัก (หรือลูกตุ้ม ) ที่ปลายเชือกที่ไม่มีมวลซึ่งแขวนจากจุดหมุนโดยไม่มีแรงเสียดทานเมื่อได้รับแรงผลักเริ่มต้น มันจะแกว่งไปมาด้วยแอมพลิจูด คง ที่ ลูกตุ้มจริงนั้นอยู่ภายใต้แรงเสียดทานและแรงต้านอากาศดังนั้นแอมพลิจูดของการแกว่งจึงลดลง

ลูกตุ้ม

ภาพเคลื่อนไหวของลูกตุ้มแสดงแรงที่กระทำต่อลูกตุ้ม ได้แก่ แรงตึงT ในแกน และแรงโน้มถ่วงmg

ภาพเคลื่อนไหวของลูกตุ้มแสดง เวกเตอร์ ความเร็วและความเร่ง

คาบการแกว่งของลูกตุ้มจะยาวขึ้นเมื่อแอมพลิจูดθ (ความกว้างของการแกว่ง) เพิ่มขึ้น

คาบการแกว่งของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่ายขึ้นอยู่กับความยาว ของ ลูกตุ้ม ความแรงของแรงโน้มถ่วงในบริเวณนั้น และขึ้นอยู่กับ มุม สูงสุด ที่ลูกตุ้มแกว่งออกจากแนวตั้งθ เพียงเล็กน้อยซึ่งเรียกว่าแอมพลิจูด [ ^{8 ] มัน} ไม่ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม หากแอมพลิจูดถูกจำกัดไว้ที่การแกว่งเล็กน้อย^{[หมายเหตุ 1 ]} คาบT ของลูกตุ้มอย่างง่าย ซึ่ง เป็นเวลาที่ใช้สำหรับรอบสมบูรณ์ คือ: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1{\text{ เรเดียน}}}$$

1

ที่ไหน${\displaystyle L}$คือความยาวของลูกตุ้มและ${\displaystyle g}$คือความเร่งโน้มถ่วง เฉพาะ ที่

สำหรับการแกว่งเล็กๆ คาบการแกว่งจะใกล้เคียงกันสำหรับการแกว่งที่มีขนาดต่างกัน กล่าวคือคาบการแกว่งไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดคุณสมบัตินี้เรียกว่าไอโซโครนิสม์ซึ่งเป็นเหตุผลที่ลูกตุ้มมีประโยชน์มากสำหรับการบอกเวลา^{[ 10 ]} การแกว่งของลูกตุ้มที่ต่อเนื่องกัน แม้ว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงแอมพลิจูด ก็ใช้เวลาเท่ากัน

สำหรับแอมพลิจูด ที่มากขึ้น คาบจะเพิ่มขึ้นอย่างค่อยเป็นค่อยไปตามแอมพลิจูด ดังนั้นจึงยาวกว่าที่กำหนดโดยสมการ (1) ตัวอย่างเช่น ที่แอมพลิจูดθ = 0.4 เรเดียน (23°) จะยาวกว่าที่กำหนดโดย (1) 1% คาบจะเพิ่มขึ้นแบบเข้าใกล้ค่าอนันต์ (เข้าสู่ค่าอนันต์) เมื่อθ เข้าใกล้ π เรเดียน (180°) เนื่องจากค่าθ = π เป็นจุดสมดุลที่ไม่เสถียรสำหรับลูกตุ้ม คาบที่แท้จริงของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่ายในอุดมคติสามารถเขียนได้หลายรูปแบบ (ดูลูกตุ้ม (กลศาสตร์) ) ตัวอย่างหนึ่งคืออนุกรมอนันต์ : ^{[ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$ ที่ไหน${\displaystyle \theta _{0}}$มีหน่วยเป็นเรเดียน

ความแตกต่างระหว่างคาบเวลาจริงนี้กับคาบเวลาสำหรับการแกว่งเล็กๆ (1) ข้างต้นเรียกว่าข้อผิดพลาดแบบวงกลมในกรณีของนาฬิกาตั้งพื้น ทั่วไป ที่มีลูกตุ้มแกว่ง 6° และด้วยเหตุนี้จึงมีแอมพลิจูด 3° (0.05  เรเดียน) ความแตกต่างระหว่างคาบเวลาจริงกับการประมาณมุมเล็กๆ (1) จะเท่ากับประมาณ 15 วินาทีต่อวัน

สำหรับการแกว่งเล็กน้อย ลูกตุ้มจะประมาณได้ว่าเป็นตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกและการเคลื่อนที่ของมันเป็นฟังก์ชันของเวลาtโดยประมาณจะเป็นการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)}$$ ที่ไหน${\displaystyle \varphi }$เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น

สำหรับลูกตุ้มจริง คาบจะแตกต่างกันเล็กน้อยตามปัจจัยต่างๆ เช่น แรงลอยตัวและแรงต้านทานหนืดของอากาศ มวลของเชือกหรือแท่ง ขนาดและรูปร่างของลูกตุ้มและวิธีการยึดติดกับเชือก รวมถึงความยืดหยุ่นและการยืดตัวของเชือก^{[ 11 ] [ 13 ]} ในการใช้งานที่ต้องการความแม่นยำ อาจจำเป็นต้องปรับแก้ปัจจัยเหล่านี้ในสมการ (1) เพื่อให้ได้คาบที่แม่นยำ

ลูกตุ้มที่ถูกหน่วงและขับเคลื่อนเป็นระบบอลหม่าน^{[ 14 ] [ 15 ]}

วัตถุแข็งเกร็งใดๆ ที่แกว่งไปมาได้อย่างอิสระรอบแกนแนวนอนคงที่ เรียกว่าลูกตุ้มประกอบหรือลูกตุ้มทางกายภาพลูกตุ้มประกอบมีคาบการแกว่งเท่ากับลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงอย่างง่ายที่มีความยาว${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$เรียกว่าความยาวเทียบเท่าหรือรัศมีของการแกว่งซึ่งเท่ากับระยะทางจากจุดหมุนไปยังจุดที่เรียกว่าศูนย์กลางการแกว่ง [ ^{16 ] จุด}นี้ตั้งอยู่ใต้ศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม โดยมีระยะทางที่ขึ้นอยู่กับการกระจายมวลของลูกตุ้ม หากมวลส่วนใหญ่กระจุกตัวอยู่ในลูกตุ้มที่มีขนาดค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับความยาวของลูกตุ้ม ศูนย์กลางการแกว่งจะอยู่ใกล้กับศูนย์กลางมวล^{[ 17 ]}

รัศมีของการแกว่งหรือความยาวเทียบเท่า${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าลูกตุ้มทางกายภาพใดๆ ก็ตาม $${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\mathrm {CM} }}}}$$

ที่ไหน${\displaystyle I_{O}}$คือโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกตุ้มรอบจุดหมุน${\displaystyle O}$,${\displaystyle m}$คือมวลรวมของลูกตุ้ม และ${\displaystyle r_{\คณิตศาสตร์ {CM} }}$คือระยะห่างระหว่างจุดหมุนและจุดศูนย์กลางมวลเมื่อแทนนิพจน์นี้ลงใน (1) ข้างต้น จะได้คาบ${\displaystyle T}$ของลูกตุ้มแบบผสมนั้นกำหนดโดย $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$ สำหรับการแกว่งที่เล็กพอสมควร^{[ 18 ]}

ตัวอย่างเช่น แท่งแข็งสม่ำเสมอที่มีความยาว${\displaystyle \ell }$เมื่อหมุนรอบปลายด้านหนึ่งจะมีโมเมนต์ความเฉื่อย${\textstyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$จุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่กึ่งกลางของแท่ง ดังนั้น${\textstyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการข้างต้นจะได้$T=2π √(2π) √(2π) √(2π) √(3) √(g)$นี่แสดงให้เห็นว่าลูกตุ้มที่มีแท่งแข็งจะมีคาบการแกว่งเท่ากับลูกตุ้มธรรมดาที่มีความยาวเป็นสองในสามของลูกตุ้มที่มีแท่งแข็ง

ในปี ค.ศ. 1673 Christiaan Huygensได้พิสูจน์ว่าจุดหมุนและจุดศูนย์กลางการแกว่งสามารถสลับกันได้^{[ 19 ]} ซึ่งหมายความว่าหากลูกตุ้มใดๆ ถูกพลิกกลับหัวและแกว่งจากจุดหมุนที่ตั้งอยู่ที่จุดศูนย์กลางการแกว่งเดิม มันจะมีคาบเท่าเดิม และจุดศูนย์กลางการแกว่งใหม่จะอยู่ที่จุดหมุนเดิม ในปี ค.ศ. 1817 Henry Katerได้ใช้แนวคิดนี้เพื่อสร้างลูกตุ้มแบบกลับทิศได้ชนิดหนึ่ง ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อลูกตุ้ม Katerเพื่อการวัดความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงที่ดีขึ้น

ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ในด้านระบบพลวัตลูกตุ้มคู่หรือที่รู้จักกันในชื่อลูกตุ้มอลหม่าน คือลูกตุ้มที่มีลูกตุ้มอีกอันติดอยู่ที่ปลาย ทำให้เกิดระบบทางกายภาพ ที่เรียบง่าย ซึ่งแสดงพฤติกรรมพลวัต ที่หลากหลาย และมีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างมาก [ ^{20 ] การ}เคลื่อนที่ของลูกตุ้มคู่ถูกควบคุมโดยชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ที่เชื่อมโยงกัน และเป็นแบบอลหม่าน

กาลิเลโอ กาลิเลอีนักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลีเป็นคนแรกที่ศึกษาคุณสมบัติของลูกตุ้ม เริ่มต้นราวปี ค.ศ. 1602 ^{[ 32 ]}ความสนใจในลูกตุ้มที่บันทึกไว้ครั้งแรกของกาลิเลโอเกิดขึ้นราวปี ค.ศ. 1588 ในบันทึกที่ตีพิมพ์หลังมรณกรรมของเขาชื่อOn Motion [ ^{33 ] [ 34 ] ซึ่ง}เขาสังเกตว่าวัตถุที่หนักกว่าจะแกว่งไปมาได้นานกว่าวัตถุที่เบากว่า รายงานการวิจัยเชิงทดลองที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่ของเขาอยู่ในจดหมายถึง Guido Ubaldo dal Monte จากเมืองปาดัว ลงวันที่ 29 พฤศจิกายน ค.ศ. 1602 ^{[ 35 ]}วินเซนโซ วิเวียนีนักเขียนชีวประวัติและลูกศิษย์ของเขาอ้างว่าความสนใจของเขาเกิดขึ้นราวปี ค.ศ. 1582 จากการแกว่งของโคมระย้าในมหาวิหารปิซา [ ^{36 ] [ 37 ] กา}ลิเลโอค้นพบคุณสมบัติที่สำคัญที่ทำให้ลูกตุ้มมีประโยชน์ในฐานะเครื่องบอกเวลา เรียกว่า ไอโซโครนิสม์ คาบการแกว่งของลูกตุ้มนั้นแทบจะไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดหรือความกว้างของการแกว่งเลย^{[ 38 ]}เขายังพบว่าคาบการแกว่งนั้นไม่ขึ้นอยู่กับมวลของลูกตุ้ม และเป็นสัดส่วนกับรากที่สองของความยาวของลูกตุ้ม เขาใช้ลูกตุ้มแกว่งอิสระเป็นครั้งแรกในการจับเวลาแบบง่ายๆซานโตริโอ ซานโตริในปี ค.ศ. 1602 ได้ประดิษฐ์อุปกรณ์ที่ใช้วัดชีพจร ของผู้ป่วย โดยใช้ความยาวของลูกตุ้ม ซึ่งเรียกว่า พัลซิโลเจียม [ ^{39 ] ใน}ปี ค.ศ. 1641 กาลิเลโอได้บอกแบบกลไกให้ลูกชายของเขาวินเซนโซเพื่อทำให้ลูกตุ้มแกว่ง ซึ่งได้รับการอธิบายว่าเป็นนาฬิกาลูกตุ้มเรือนแรก^{[ 38 ]}วินเซนโซเริ่มสร้าง แต่ยังสร้างไม่เสร็จเมื่อเขาเสียชีวิตในปี ค.ศ. 1649 ^{[ 40 ]}

นาฬิกาลูกตุ้มเรือนแรก

ในปี ค.ศ. 1656 นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์Christiaan Huygens ได้สร้าง นาฬิกาลูกตุ้มเรือนแรก[ ^{41 ] นี่} เป็นการปรับปรุงครั้งใหญ่เมื่อเทียบกับนาฬิกาเชิงกลที่มีอยู่เดิม ความแม่นยำสูงสุดของนาฬิกาเชิงกลได้รับการปรับปรุงจากความคลาดเคลื่อนประมาณ 15 นาทีต่อวัน เหลือเพียงประมาณ 15 วินาทีต่อวัน^{[ 42 ]} นาฬิกาลูกตุ้มแพร่หลายไปทั่วยุโรปเนื่องจากนาฬิกาที่มีอยู่เดิมได้รับการดัดแปลงให้ใช้ลูกตุ้ม^{[ 43 ]}

โรเบิร์ต ฮุกนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษศึกษาลูกตุ้มทรงกรวยราวปี ค.ศ. 1666 ซึ่งประกอบด้วยลูกตุ้มที่แกว่งได้อย่างอิสระในสองมิติ โดยลูกตุ้มหมุนเป็นวงกลมหรือวงรี^{[ 44 ]} เขาใช้การเคลื่อนที่ของอุปกรณ์นี้เป็นแบบจำลองเพื่อวิเคราะห์การเคลื่อนที่ในวงโคจรของดาวเคราะห์[ ^{45 ] ฮุ}กเสนอแนะแก่ไอแซค นิวตันในปี ค.ศ. 1679 ว่าส่วนประกอบของการเคลื่อนที่ในวงโคจรประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบเฉื่อยตามทิศทางสัมผัสบวกกับการเคลื่อนที่แบบดึงดูดในทิศทางรัศมี ซึ่งมีส่วนสำคัญในการกำหนดกฎแรงโน้มถ่วงสากลของ นิวตัน ^{[ 46 ] [ 47 ]}โรเบิร์ต ฮุก ยังเป็นผู้เสนอแนะตั้งแต่ปี ค.ศ. 1666 ว่าลูกตุ้มสามารถใช้ในการวัดแรงโน้มถ่วงได้^{[ 44 ]}

ระหว่างการเดินทางสำรวจเมืองกาเยนน์เฟรนช์เกียนาในปี ค.ศ. 1671 ฌอง ริเชอร์พบว่านาฬิกาลูกตุ้มเดิน ช้า ลง2 + 1 ⁄ 2นาทีต่อวัน ที่กาเยนน์ เมื่อเทียบกับที่ปารีส จากนั้นเขาจึงสรุปได้ว่าแรงโน้มถ่วงที่กาเยนน์นั้นต่ำกว่า^{[ 48 ] [ 49 ]} ในปี ค.ศ. 1687 ไอแซค นิวตันในหนังสือ Principia Mathematicaได้แสดงให้เห็นว่าสาเหตุเป็นเพราะโลกไม่ได้เป็นทรงกลมที่แท้จริง แต่เป็นทรงรี เล็กน้อย (แบนที่ขั้วโลก) อันเนื่องมาจากแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางจากการหมุนของโลก ทำให้แรงโน้มถ่วงเพิ่มขึ้นตามละติจูด[ ^{50 ] ลูกตุ้ม} แบบพกพาเริ่มถูกนำไปใช้ในการเดินทางไปยังดินแดนที่ห่างไกล ในฐานะเครื่องวัดแรงโน้ม ถ่วงที่มีความแม่นยำ เพื่อวัดความเร่งของแรงโน้มถ่วง ณ จุดต่างๆ บนโลก ซึ่งในที่สุด ก็ส่งผลให้ได้แบบจำลองรูปร่างของโลก ที่แม่นยำ ^{[ 51 ]}

ในปี ค.ศ. 1673 17 ปีหลังจากที่เขาประดิษฐ์นาฬิกาลูกตุ้มChristiaan Huygensได้ตีพิมพ์ทฤษฎีลูกตุ้มของเขาHorologium Oscillatorium sive de motu pendulorum [ ^{52 ] [ 53 ] Marin} MersenneและRené Descartesได้ค้นพบเมื่อราวปี ค.ศ. 1636 ว่าลูกตุ้มไม่ได้มีจังหวะคงที่อย่างแท้จริง คาบเวลาของมันเพิ่มขึ้นเล็กน้อยตามแอมพลิจูด^{[ 54 ]} Huygens วิเคราะห์ปัญหานี้โดยการกำหนดเส้นโค้งที่วัตถุต้องเคลื่อนที่ตามเพื่อให้ตกลงมาด้วยแรงโน้มถ่วงไปยังจุดเดียวกันในช่วงเวลาเดียวกัน โดยไม่คำนึงถึงจุดเริ่มต้น ซึ่งเรียกว่าเส้นโค้งเทาโทโครนด้วยวิธีการที่ซับซ้อนซึ่งเป็นการใช้แคลคูลัส ในยุคแรกๆ เขาแสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งนี้เป็นไซคลอยด์แทนที่จะเป็นส่วนโค้งวงกลมของลูกตุ้ม^{[ 55 ]}ยืนยันว่าลูกตุ้มไม่ได้มีจังหวะคงที่ และการสังเกตเรื่องจังหวะคงที่ของกาลิเลโอมีความแม่นยำเฉพาะกับการแกว่งเล็กๆ เท่านั้น^{[ 56 ]} Huygens ยังแก้ปัญหาเรื่องวิธีการคำนวณคาบของลูกตุ้มที่มีรูปร่างตามอำเภอใจ (เรียกว่าลูกตุ้มแบบผสม ) โดยค้นพบจุดศูนย์กลางการแกว่งและความสามารถในการสลับตำแหน่งกับจุดหมุน^{[ 57 ]}

กลไกนาฬิกาที่มีอยู่เดิม คือกลไกหลบหนีแบบเวอร์จทำให้ลูกตุ้มแกว่งเป็นวงกว้างมากถึงประมาณ 100° ^{[ 58 ]}ฮุยเกนส์แสดงให้เห็นว่านี่เป็นสาเหตุของความไม่แม่นยำ ทำให้คาบเวลาแปรผันไปตามการเปลี่ยนแปลงของแอมพลิจูดที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ในแรงขับเคลื่อนของนาฬิกา^{[ 59 ]} เพื่อให้คาบเวลาคงที่ ฮุยเกนส์ได้ติดตั้งตัวนำโลหะรูปไซคลอยด์ไว้ข้างจุดหมุนในนาฬิกาของเขา ซึ่งจำกัดเชือกแขวนและบังคับให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่ตามส่วนโค้งไซคลอยด์ (ดูลูกตุ้มไซคลอยด์ ) ^{[ 60 ]} วิธีแก้ปัญหานี้ไม่ได้พิสูจน์ว่าใช้งานได้จริงเท่ากับการจำกัดการแกว่งของลูกตุ้มให้เป็นมุมเล็กๆ เพียงไม่กี่องศา การตระหนักว่าการแกว่งเล็กๆ เท่านั้นที่คงที่ ได้กระตุ้นให้เกิดการพัฒนากลไกหลบหนีแบบแองเคอร์ราวปี 1670 ซึ่งลดการแกว่งของลูกตุ้มในนาฬิกาเหลือเพียง 4°–6° ^{[ 58 ] [ 61 ]}สิ่งนี้กลายเป็นกลไกการปล่อยมาตรฐานที่ใช้ในนาฬิกาลูกตุ้ม

ในช่วงศตวรรษที่ 18 และ 19 บทบาทของ นาฬิกาลูกตุ้มในฐานะเครื่องบอกเวลาที่แม่นยำที่สุดได้กระตุ้นให้เกิดการวิจัยเชิงปฏิบัติมากมายเพื่อปรับปรุงลูกตุ้ม พบว่าแหล่งที่มาหลักของข้อผิดพลาดคือแท่งลูกตุ้มขยายและหดตัวตามการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิแวดล้อม ทำให้คาบการแกว่งเปลี่ยนไป^{[ 8 ] [ 62 ]} ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขด้วยการประดิษฐ์ลูกตุ้มที่ชดเชยอุณหภูมิ ลูกตุ้มปรอทในปี 1721 ^{[ 63 ]}และลูกตุ้มตะแกรงเหล็กในปี 1726 ซึ่งช่วยลดข้อผิดพลาดในนาฬิกาลูกตุ้มที่มีความแม่นยำเหลือเพียงไม่กี่วินาทีต่อสัปดาห์^{[ 60 ]}

ความแม่นยำของการวัดแรงโน้มถ่วงด้วยลูกตุ้มนั้นถูกจำกัดด้วยความยากลำบากในการหาตำแหน่งของจุดศูนย์กลางการแกว่งฮอยเกนส์ค้นพบในปี ค.ศ. 1673 ว่าลูกตุ้มจะมีคาบเท่ากันเมื่อแขวนจากจุดศูนย์กลางการแกว่งกับเมื่อแขวนจากจุดหมุน^{[ 19 ]}และระยะห่างระหว่างสองจุดนั้นเท่ากับความยาวของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงแบบง่ายที่มีคาบเดียวกัน^{[ 16 ]} ในปี ค.ศ. 1818 กัปตันเฮนรี เคเตอร์ ชาวอังกฤษ ได้ประดิษฐ์ลูกตุ้มเคเตอร์ แบบกลับทิศได้ ^{[ 64 ]}ซึ่งใช้หลักการนี้ ทำให้สามารถวัดแรงโน้มถ่วงได้อย่างแม่นยำมาก ตลอดศตวรรษต่อมา ลูกตุ้มแบบกลับทิศได้เป็นวิธีการมาตรฐานในการวัดความเร่งโน้มถ่วงสัมบูรณ์

ในปี ค.ศ. 1851 ฌอง แบร์นาร์ด เลอง ฟูโกต์ได้แสดงให้เห็นว่าระนาบการแกว่งของลูกตุ้ม เช่นเดียว กับไจ โรสโคปมีแนวโน้มที่จะคงที่โดยไม่คำนึงถึงการเคลื่อนที่ของจุดหมุน และสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อสาธิตการ หมุนของโลกได้ เขาแขวนลูกตุ้มที่แกว่งได้อย่างอิสระในสองมิติ (ต่อมาได้ชื่อว่าลูกตุ้มฟูโกต์ ) จากโดมของปองเตองในปารีส ความยาวของเชือกคือ67 เมตร (220 ฟุต)เมื่อลูกตุ้มเริ่มเคลื่อนที่ ระนาบการแกว่งจะหมุนหรือหมุนตามเข็มนาฬิกา 360° ในเวลาประมาณ 32 ชั่วโมง^{[ 65 ]} นี่เป็นการสาธิตการหมุนของโลกครั้งแรกที่ไม่ขึ้นอยู่กับการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์^{[ 66 ]}และเกิด "ความคลั่งไคล้ลูกตุ้ม" ขึ้น เนื่องจากลูกตุ้มฟูโกต์ถูกนำไปจัดแสดงในหลายเมืองและดึงดูดฝูงชนจำนวนมาก^{[ 67 ] [ 68 ]}  

ประมาณปี 1900 วัสดุ ที่มีการขยายตัวทางความร้อนต่ำเริ่มถูกนำมาใช้สำหรับแท่งลูกตุ้มในนาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุดและเครื่องมืออื่นๆ โดยเริ่มจากอินวาร์ซึ่งเป็นโลหะผสมเหล็กนิกเกิล และต่อมาคือควอตซ์หลอมซึ่งทำให้การชดเชยอุณหภูมิเป็นเรื่องง่าย^{[ 69 ]} ลูกตุ้มที่มีความแม่นยำจะถูกบรรจุไว้ในถังความดันต่ำ ซึ่งรักษาความดันอากาศให้คงที่เพื่อป้องกันการเปลี่ยนแปลงของคาบเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของ แรง ลอยตัว ของลูกตุ้มอันเนื่อง มาจากการเปลี่ยนแปลง ของ ความดันบรรยากาศ^{[ 69 ]} นาฬิกาลูกตุ้มที่ดีที่สุดมีความแม่นยำประมาณหนึ่งวินาทีต่อปี^{[ 70 ] [ 71 ]}

ความแม่นยำในการบอกเวลาของลูกตุ้มถูกแซงหน้าโดยออสซิลเลเตอร์คริสตัลควอตซ์ ที่คิดค้นขึ้นในปี พ.ศ. 2464 และนาฬิกาควอตซ์ที่คิดค้นขึ้นในปี พ.ศ. 2460 ได้เข้ามาแทนที่นาฬิกาลูกตุ้มในฐานะเครื่องบอกเวลาที่ดีที่สุดในโลก^{[ 2 ]} นาฬิกาลูกตุ้มถูกใช้เป็นมาตรฐานเวลาจนถึงสงครามโลกครั้งที่ 2 แม้ว่าหน่วยงานบริการเวลาของฝรั่งเศสจะยังคงใช้นาฬิกาลูกตุ้มในชุดมาตรฐานเวลาอย่างเป็นทางการจนถึงปี พ.ศ. 2497 ^{[ 72 ]}เครื่องวัดความโน้มถ่วง แบบลูกตุ้มถูกแทนที่ด้วยเครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบ "ตกอิสระ" ในช่วงทศวรรษ พ.ศ. 2493 ^{[ 73 ]}แต่เครื่องมือลูกตุ้มยังคงถูกใช้ต่อไปจนถึงทศวรรษ พ.ศ. 2513

ลูกตุ้มและกลไกปล่อยพลังงานจากนาฬิกาตั้งพื้น

ภาพเคลื่อนไหวแสดงการทำงานของกลไกปล่อยวิถีแบบแองเคอร์ซึ่งเป็นหนึ่งในกลไกปล่อยวิถีที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดในนาฬิกาลูกตุ้ม

ลูกตุ้มในนาฬิกา (ดูตัวอย่างทางด้านขวา) มักทำจากตุ้มน้ำหนักหรือลูกตุ้ม(b) ที่แขวนด้วยแท่งไม้หรือโลหะ(a) [ ^{8 ] [ 76 ] เพื่อ} ลดแรงต้านอากาศ (ซึ่งเป็นสาเหตุหลักของการสูญเสียพลังงานในนาฬิกาที่มีความแม่นยำ) ^{[ 77 ]} โดยทั่วไปลูกตุ้มจะเป็นแผ่นเรียบที่มีหน้าตัดเป็นรูปเลนส์ แม้ว่าในนาฬิกาโบราณมักจะมีการแกะสลักหรือตกแต่งเฉพาะสำหรับนาฬิกาแต่ละประเภท ในนาฬิกาคุณภาพสูง ลูกตุ้มจะมีน้ำหนักมากที่สุดเท่าที่ระบบแขวนจะรับได้และกลไกจะขับเคลื่อนได้ เนื่องจากจะช่วยปรับปรุงการควบคุมนาฬิกา (ดูความแม่นยำด้านล่าง) น้ำหนักทั่วไปสำหรับ ลูกตุ้ม วินาทีคือ15 ปอนด์ (6.8 กก.) [ ^{78 ] แทนที่จะ} แขวนจากจุดหมุน ลูกตุ้มนาฬิกามักจะได้รับการรองรับด้วย สปริงตรงสั้น(d)ที่ทำจากริบบิ้นโลหะที่ยืดหยุ่นได้ วิธีนี้ช่วยหลีกเลี่ยงแรงเสียดทานและ 'การขยับ' ที่เกิดจากจุดหมุน และแรงดัดเล็กน้อยของสปริงจะช่วยเสริมแรงคืนตัว ของลูกตุ้มเท่านั้น นาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุดจะมีจุดหมุนเป็นใบมีดวางอยู่บนแผ่นหินอาเกต แรงกระตุ้นที่ทำให้ลูกตุ้มแกว่งไปมานั้นมาจากแขนที่ห้อยอยู่ด้านหลังลูกตุ้มเรียกว่าครัทช์ ( e)ซึ่งปลายสุดเป็นง่าม ( f) โดยง่ามของง่ามจะโอบรอบแกนลูกตุ้ม ครัทช์ถูกผลักไปมาโดย กลไกหลบหนีของนาฬิกา( g,h ) 

ทุกครั้งที่ลูกตุ้มแกว่งผ่านตำแหน่งศูนย์กลาง มันจะปล่อยฟันเฟืองของล้อหลบหนี(g) ออกมาหนึ่งซี่ แรงจาก สปริงหลักของนาฬิกา หรือตุ้มน้ำหนักที่แขวนจากรอก จะถูกส่งผ่าน ชุดเฟืองของนาฬิกาทำให้ล้อหมุน และฟันเฟืองจะกดกับแผ่นรับ แรง (h) แผ่นใดแผ่นหนึ่ง ทำให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่ไปข้างหน้าเป็นระยะสั้นๆ ล้อของนาฬิกาซึ่งต่อกับล้อหลบหนี จะเคลื่อนที่ไปข้างหน้าเป็นระยะคงที่ทุกครั้งที่ลูกตุ้มแกว่ง ทำให้เข็มนาฬิกาเคลื่อนที่ไปข้างหน้าด้วยอัตราคงที่

The pendulum always has a means of adjusting the period, usually by an adjustment nut (c) under the bob which moves it up or down on the rod.^[8][79] Moving the bob up decreases the pendulum's length, causing the pendulum to swing faster and the clock to gain time. Some precision clocks have a small auxiliary adjustment weight on a threaded shaft on the bob, to allow finer adjustment. Some tower clocks and precision clocks use a tray attached near to the midpoint of the pendulum rod, to which small weights can be added or removed. This effectively shifts the centre of oscillation and allows the rate to be adjusted without stopping the clock.^[80][81]

The pendulum must be suspended from a rigid support.^[8][82] During operation, any elasticity will allow tiny imperceptible swaying motions of the support, which disturbs the clock's period, resulting in error. Pendulum clocks should be attached firmly to a sturdy wall.

The most common pendulum length in quality clocks, which is always used in grandfather clocks, is the seconds pendulum, about 1 metre (39 inches) long. In mantel clocks, half-second pendulums, 25 cm (9.8 in) long, or shorter, are used. Only a few large tower clocks use longer pendulums, the 1.5 second pendulum, 2.25 m (7.4 ft) long, or occasionally the two-second pendulum, 4 m (13 ft)^[8][83] which is used in Big Ben.^[84]

แหล่งที่มาของข้อผิดพลาดที่ใหญ่ที่สุดในลูกตุ้มยุคแรกคือการเปลี่ยนแปลงความยาวเล็กน้อยเนื่องจากการขยายตัวและการหดตัวทางความร้อนของแท่งลูกตุ้มเมื่ออุณหภูมิแวดล้อมเปลี่ยนแปลง^{[ 85 ]} การค้นพบนี้เกิดขึ้นเมื่อผู้คนสังเกตเห็นว่านาฬิกาลูกตุ้มเดินช้าลงในฤดูร้อน มากถึงหนึ่งนาทีต่อสัปดาห์^{[ 62 ] [ 86 ]} (หนึ่งในคนแรกคือGodefroy Wendelinตามที่ Huygens รายงานในปี 1658) ^{[ 87 ]} การขยายตัวทางความร้อนของแท่งลูกตุ้มได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยJean Picardในปี 1669 ^{[ 88 ] [ 89 ]}ลูกตุ้มที่มีแท่งเหล็กจะขยายตัวประมาณ 11.3 ส่วนต่อล้าน (ppm) ทุกๆ การเพิ่มขึ้นขององศาเซลเซียส ทำให้เสียเวลาประมาณ 0.27 วินาทีต่อวันสำหรับการเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิทุกๆ 1 องศาเซลเซียส หรือ 9 วินาทีต่อวันสำหรับการเปลี่ยนแปลง33 °C (59 °F)แท่งไม้จะขยายตัวน้อยกว่า โดยจะคลาดเคลื่อนเพียงประมาณ 6 วินาทีต่อวันสำหรับ การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ 33 องศาเซลเซียส (59 องศาฟาเรนไฮต์)ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมนาฬิกาคุณภาพสูงจึงมักใช้แท่งลูกตุ้มที่ทำจากไม้ ไม้จะต้องถูกเคลือบเงาเพื่อป้องกันไอน้ำเข้าไป เนื่องจากความชื้นที่เปลี่ยนแปลงก็ส่งผลต่อความยาวของแท่งไม้ด้วย    

ลูกตุ้มกริดไอรอน

ลูกตุ้มชดเชยที่ใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดคือลูกตุ้มตะแกรงเหล็กซึ่งคิดค้นขึ้นในปี ค.ศ. 1726 โดยจอห์น แฮร์ริสัน [ ^{8 ] [ 86 ] [ 90 ] ลูกตุ้ม} นี้ประกอบด้วยแท่งโลหะสองชนิดสลับกัน ชนิดหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวทางความร้อน ( CTE ) ต่ำกว่า คือเหล็กและอีกชนิดหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวทางความร้อนสูงกว่า คือสังกะสีหรือทองเหลืองแท่งโลหะเหล่านี้เชื่อมต่อกันด้วยโครง ดังแสดงในภาพวาดทางด้านขวา เพื่อให้การเพิ่มความยาวของแท่งสังกะสีดันลูกตุ้มขึ้น ทำให้ลูกตุ้มสั้นลง เมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้น แท่งเหล็กที่มีค่าการขยายตัวต่ำจะทำให้ลูกตุ้มยาวขึ้น ในขณะที่แท่งสังกะสีที่มีค่าการขยายตัวสูงจะทำให้ลูกตุ้มสั้นลง โดยการทำแท่งโลหะให้มีความยาวที่ถูกต้อง การขยายตัวที่มากกว่าของสังกะสีจะหักล้างกับการขยายตัวของแท่งเหล็กซึ่งมีความยาวรวมกันมากกว่า และลูกตุ้มจะมีความยาวเท่าเดิมเมื่ออุณหภูมิเปลี่ยนแปลง

ลูกตุ้มตะแกรงเหล็กผสมสังกะสีทำจากแท่ง 5 แท่ง แต่การขยายตัวทางความร้อนของทองเหลืองใกล้เคียงกับเหล็กมากกว่า ดังนั้นลูกตุ้มตะแกรงเหล็กผสมทองเหลืองจึงมักต้องใช้แท่ง 9 แท่ง ลูกตุ้มตะแกรงเหล็กปรับตัวเข้ากับการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิได้เร็วกว่าลูกตุ้มปรอท แต่นักวิทยาศาสตร์พบว่าแรงเสียดทานของแท่งที่เลื่อนในรูบนกรอบทำให้ลูกตุ้มตะแกรงเหล็กปรับตัวในลักษณะการกระโดดเล็กๆ หลายครั้ง^{[ 90 ]}ในนาฬิกาที่มีความแม่นยำสูง สิ่งนี้ทำให้จังหวะของนาฬิกาเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันในแต่ละการกระโดด ต่อมาพบว่าสังกะสีมีแนวโน้มที่จะเกิดการคืบด้วยเหตุผลเหล่านี้ ลูกตุ้มปรอทจึงถูกใช้ในนาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุด แต่ลูกตุ้มตะแกรงเหล็กถูกใช้ในนาฬิกาควบคุมคุณภาพ

ลูกตุ้มนาฬิกาแบบตะแกรงเหล็กกลายเป็นสัญลักษณ์ของคุณภาพที่ดี จนถึงทุกวันนี้ ลูกตุ้มนาฬิกาทั่วไปหลายรุ่นยังมีตะแกรงเหล็ก "จำลอง" ที่ใช้เป็นของตกแต่ง ซึ่งไม่มีฟังก์ชันชดเชยอุณหภูมิแต่อย่างใด

ผลกระทบของอากาศโดยรอบต่อลูกตุ้มที่กำลังเคลื่อนที่นั้นซับซ้อนและต้องใช้กลศาสตร์ของไหลในการคำนวณอย่างแม่นยำ แต่โดยทั่วไปแล้วอิทธิพลของอากาศต่อคาบเวลาสามารถอธิบายได้ด้วยผลกระทบสามประการ: ^{[ 69 ] [ 94 ]}

• ตามหลักการของอาร์คิมิดีสน้ำหนักสุทธิของลูกตุ้มจะลดลงเนื่องจากแรงลอยตัวของอากาศที่มันแทนที่ ในขณะที่มวล ( ความเฉื่อย ) ยังคงเท่าเดิม ทำให้ความเร่งของลูกตุ้มลดลงระหว่างการแกว่ง และคาบการแกว่งเพิ่มขึ้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความดันอากาศและความหนาแน่นของลูกตุ้ม แต่ไม่ขึ้นอยู่กับรูปร่างของลูกตุ้ม
• ลูกตุ้มจะพาอากาศปริมาณหนึ่งไปด้วยขณะที่มันแกว่ง และมวลของอากาศนี้จะเพิ่มแรงเฉื่อยของลูกตุ้ม ทำให้ความเร่งลดลงและคาบการแกว่งเพิ่มขึ้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับทั้งความหนาแน่นและรูปร่างของอากาศ
• แรงต้านอากาศเนื่องจากความหนืดทำให้ความเร็วของลูกตุ้มลดลง ซึ่งมีผลกระทบต่อคาบเวลาเพียงเล็กน้อย แต่จะทำให้พลังงานสูญเสียไป ส่งผลให้แอมพลิจูดลดลง และทำให้ค่า Q ของลูกตุ้มลดลง ส่งผลให้ต้องใช้แรงขับจากกลไกของนาฬิกามากขึ้นเพื่อให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่ต่อไป ซึ่งจะทำให้คาบเวลาเกิดการรบกวนมากขึ้น

การเพิ่มขึ้นของความดันบรรยากาศ ทำให้ ^คาบการแกว่งของลูกตุ้มเพิ่มขึ้นเล็กน้อยเนื่องจากผลกระทบสองประการแรก ประมาณ0.11 วินาทีต่อวันต่อกิโลปาสคาล (0.37 วินาทีต่อวันต่อนิ้วปรอท; 0.015 วินาทีต่อวันต่อทอร์) [ ^{69 ]}นักวิจัยที่ใช้ลูกตุ้มในการวัดความเร่งของแรงโน้มถ่วงต้องแก้ไขคาบการแกว่งสำหรับความดันอากาศที่ระดับความสูงของการวัด โดยคำนวณคาบการแกว่งที่เทียบเท่าของลูกตุ้มที่แกว่งในสุญญากาศ นาฬิกาลูกตุ้มถูกใช้งานครั้งแรกในถังความดันคงที่โดย Friedrich Tiede ในปี 1865 ที่หอดูดาวเบอร์ลิน^{[ 95 ] [ 96 ]}และในปี 1900 นาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุดถูกติดตั้งในถังที่รักษาความดันให้คงที่เพื่อขจัดความเปลี่ยนแปลงของความดันบรรยากาศ หรืออีกทางหนึ่ง ในบางกรณี กลไก บารอมิเตอร์แบบแอนเนอรอยด์ ขนาดเล็ก ที่ติดอยู่กับลูกตุ้มจะชดเชยผลกระทบนี้

ลูกตุ้มนาฬิกาได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงของความเร่งโน้มถ่วง ซึ่งแตกต่างกันได้มากถึง 0.5% ในสถานที่ต่างๆ บนโลก ดังนั้นนาฬิกาลูกตุ้มที่มีความแม่นยำสูงจึงต้องได้รับการปรับเทียบใหม่หลังจากเคลื่อนย้าย แม้แต่การเคลื่อนย้ายนาฬิกาลูกตุ้มไปไว้บนยอดตึกสูงก็อาจทำให้เวลาคลาดเคลื่อนได้เนื่องจากการลดลงของแรงโน้มถ่วง

การวัดความต้านทานของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกต่อการรบกวนคาบการสั่นของมันคือพารามิเตอร์ไร้มิติที่เรียกว่าแฟกเตอร์Qซึ่งเท่ากับความถี่เรโซแนนซ์หารด้วยความกว้างของเรโซแนนซ์^{[ 98 ] [ 99 ]} ยิ่งค่าQ สูง ความกว้างของเรโซแนนซ์ก็จะยิ่งน้อยลง และความถี่หรือคาบของออสซิลเลเตอร์ก็จะยิ่งคงที่มากขึ้นสำหรับการรบกวนที่กำหนด^{[ 100 ]} ส่วนกลับของค่า Q จะเป็นสัดส่วนโดยประมาณกับความแม่นยำสูงสุดที่ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสามารถทำได้ในฐานะมาตรฐานเวลา^{[ 101 ]}

ค่าQเกี่ยวข้องกับระยะเวลาที่การแกว่งของตัวสั่นจะหยุดลง ค่าQของลูกตุ้มสามารถวัดได้โดยการนับจำนวนรอบการแกว่งที่ทำให้แอมพลิจูดของการแกว่งของลูกตุ้มลดลงเหลือ 1/ e = 36.8% ของการแกว่งเริ่มต้น แล้วคูณด้วยπ

ในนาฬิกา ลูกตุ้มต้องได้รับการผลักจากกลไก ของนาฬิกา เพื่อให้แกว่งต่อไป เพื่อชดเชยพลังงานที่ลูกตุ้มสูญเสียไปเนื่องจากแรงเสียดทาน แรงผลักเหล่านี้ ซึ่งเกิดจากกลไกที่เรียกว่าตัวปล่อย (escapement ) เป็นแหล่งรบกวนหลักของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม ค่าQเท่ากับ 2π คูณด้วยพลังงานที่เก็บไว้ในลูกตุ้ม หารด้วยพลังงานที่สูญเสียไปเนื่องจากแรงเสียดทานในแต่ละรอบการแกว่ง ซึ่งเท่ากับพลังงานที่ตัวปล่อยเพิ่มเข้าไปในแต่ละรอบ จะเห็นได้ว่ายิ่งสัดส่วนของพลังงานของลูกตุ้มที่สูญเสียไปเนื่องจากแรงเสียดทานน้อยลงเท่าใด พลังงานที่ต้องเพิ่มเข้าไปก็จะยิ่งน้อยลง การรบกวนจากตัวปล่อยก็จะยิ่งน้อยลง ลูกตุ้มก็จะยิ่ง "เป็นอิสระ" จากกลไกของนาฬิกามากขึ้น และคาบการแกว่งก็จะยิ่งคงที่มากขึ้น ค่าQของลูกตุ้มคำนวณได้จากสูตร: $${\displaystyle Q={\frac {M\omega }{\Gamma }}}$$ โดยที่Mคือมวลของลูกตุ้ม, ω = 2 π / Tคือความถี่เชิงมุมของการแกว่งของลูกตุ้ม และ Γ คือแรงเสียดทาน หน่วง ที่กระทำต่อลูกตุ้มต่อหน่วยความเร็ว

ωถูกกำหนดโดยคาบการแกว่งของลูกตุ้ม และMถูกจำกัดโดยความสามารถในการรับน้ำหนักและความแข็งแกร่งของระบบแขวน ดังนั้นQของลูกตุ้มนาฬิกาจึงเพิ่มขึ้นโดยการลดการสูญเสียแรงเสียดทาน (Γ) ลูกตุ้มที่มีความแม่นยำสูงจะถูกแขวนไว้บนจุดหมุนที่มีแรงเสียดทานต่ำซึ่งประกอบด้วยขอบ 'มีด' รูปสามเหลี่ยมที่วางอยู่บนแผ่นอะเกต ประมาณ 99% ของการสูญเสียพลังงานในลูกตุ้มที่แกว่งอย่างอิสระเกิดจากแรงเสียดทานของอากาศ ดังนั้นการติดตั้งลูกตุ้มในถังสุญญากาศสามารถเพิ่มQและความแม่นยำได้ถึง 100 เท่า^{[ 102 ]}

ค่าQของลูกตุ้มมีตั้งแต่หลายพันในนาฬิกาธรรมดาไปจนถึงหลายแสนสำหรับลูกตุ้มควบคุมความแม่นยำที่แกว่งในสุญญากาศ^{[ 103 ]} นาฬิกาลูกตุ้มคุณภาพดีสำหรับใช้ในบ้านอาจมีค่า Qเท่ากับ 10,000 และความแม่นยำ 10 วินาทีต่อเดือน นาฬิกาลูกตุ้มที่ผลิตในเชิงพาณิชย์ที่มีความแม่นยำที่สุดคือนาฬิกาลูกตุ้มอิสระ Shortt-Synchronomeซึ่งคิดค้นขึ้นในปี 1921 ^{[ 2 ] [ 70 ] [ 104 ] [ 105 ] [ 106 ]} ลูกตุ้ม หลัก Invar ที่แกว่งในถังสุญญากาศมีค่า Qเท่ากับ 110,000 ^{[ 103 ]}และอัตราความผิดพลาดประมาณหนึ่งวินาทีต่อปี^{[ 70 ]}

ค่า Q ของพวกมันที่ 10 ³ –10 ⁵ เป็นเหตุผลหนึ่งที่ทำให้ลูกตุ้มเป็นเครื่องบอกเวลาที่แม่นยำกว่าล้อสมดุลในนาฬิกาที่มีค่า Qประมาณ 100–300 แต่มีความแม่นยำน้อยกว่าผลึกควอตซ์ในนาฬิกาควอตซ์ที่มีค่า Q 10 ⁵ –10 ^{6 [ 2 ] [ 103 ]}

ลูกตุ้มนาฬิกา (ต่างจากผลึกควอตซ์เป็นต้น) มีค่าQ ต่ำพอสมควร ทำให้การรบกวนที่เกิดจากแรงกระตุ้นเพื่อให้ลูกตุ้มเคลื่อนที่นั้น โดยทั่วไปแล้วเป็นปัจจัยจำกัดความแม่นยำในการบอกเวลา ดังนั้น การออกแบบ กลไกการ ปล่อยแรงกระตุ้น (escapement ) ซึ่งทำหน้าที่ให้แรงกระตุ้นเหล่านี้ จึงมีผลอย่างมากต่อความแม่นยำของลูกตุ้มนาฬิกา หากแรงกระตุ้นที่กลไกการปล่อยแรงกระตุ้นส่งให้ลูกตุ้มในแต่ละรอบการแกว่งนั้นเหมือนกันทุกประการ การตอบสนองของลูกตุ้มก็จะเหมือนกัน และคาบการแกว่งก็จะคงที่ อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากความผันผวนแบบสุ่มที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ของแรงอันเนื่องมาจากแรงเสียดทานของตัวป้อนแรงในนาฬิกา การเปลี่ยนแปลงของการหล่อลื่น และการเปลี่ยนแปลงของแรงบิดที่เกิดจากแหล่งพลังงานของนาฬิกาขณะที่นาฬิกาเดินลง ทำให้แรงกระตุ้นที่กลไกการปล่อยแรงกระตุ้นนั้นแปรผันไป

หากการเปลี่ยนแปลงของแรงในกลไกการปล่อยลูกตุ้มทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในความกว้างของการแกว่ง (แอมพลิจูด) ของลูกตุ้ม ก็จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในคาบเวลาเช่นกัน เนื่องจาก (ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น) ลูกตุ้มที่มีการแกว่งจำกัดจะไม่เป็นไอโซโครนัสอย่างสมบูรณ์ ดังนั้น เป้าหมายของการออกแบบกลไกการปล่อยลูกตุ้มแบบดั้งเดิมคือการใช้แรงด้วยรูปแบบที่เหมาะสม และ ณ จุดที่ถูกต้องในรอบการแกว่งของลูกตุ้ม เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงของแรงไม่มีผลต่อแอมพลิจูดของลูกตุ้ม นี่เรียกว่ากลไกการปล่อยลูกตุ้มแบบไอโซโครนัส

ช่างทำนาฬิการู้มานานหลายศตวรรษแล้วว่าผลกระทบที่รบกวนของแรงขับของกลไกหลบหนีต่อคาบของลูกตุ้มจะน้อยที่สุดหากให้เป็นแรงกระตุ้นสั้นๆ ขณะที่ลูกตุ้มผ่านตำแหน่งสมดุล ล่าง ^{[ 2 ]} หากแรงกระตุ้นเกิดขึ้นก่อนที่ลูกตุ้มจะถึงด้านล่าง ในระหว่างการแกว่งลง จะมีผลทำให้คาบตามธรรมชาติของลูกตุ้มสั้นลง ดังนั้น การ เพิ่มแรงขับจะทำให้คาบลดลง หากแรงกระตุ้นเกิดขึ้นหลังจากที่ลูกตุ้มถึงด้านล่าง ในระหว่างการแกว่งขึ้น จะทำให้คาบยาวขึ้น ดังนั้นการเพิ่มแรงขับจะทำให้คาบของลูกตุ้มเพิ่มขึ้น ในปี ค.ศ. 1826 นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษจอร์จ แอร์รีได้พิสูจน์สิ่งนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาพิสูจน์ว่าหากลูกตุ้มถูกขับเคลื่อนด้วยแรงกระตุ้นที่สมมาตรเกี่ยวกับตำแหน่งสมดุลล่าง คาบของลูกตุ้มจะไม่ได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนแปลงของแรงขับ^{[ 107 ]} กลไกการปล่อยที่แม่นยำที่สุด เช่นกลไกเดดบีทสามารถตอบสนองเงื่อนไขนี้ได้โดยประมาณ^{[ 108 ]}

The seconds pendulum, a pendulum with a period of two seconds so each swing takes one second, was widely used to measure gravity, because its period could be easily measured by comparing it to precision regulator clocks, which all had seconds pendulums. By the late 17th century, the length of the seconds pendulum became the standard measure of the strength of gravitational acceleration at a location. By 1700 its length had been measured with submillimeter accuracy at several cities in Europe. For a seconds pendulum, g is proportional to its length: $${\displaystyle g\propto L.}$$

• 1620: British scientist Francis Bacon was one of the first to propose using a pendulum to measure gravity, suggesting taking one up a mountain to see if gravity varies with altitude.^[110]
• 1644: Even before the pendulum clock, French priest Marin Mersenne first determined the length of the seconds pendulum was 39.1 inches (990 mm), by comparing the swing of a pendulum to the time it took a weight to fall a measured distance. He also was first to discover the dependence of the period on amplitude of swing.
• 1669: Jean Picard determined the length of the seconds pendulum at Paris, using a 1-inch (25 mm) copper ball suspended by an aloe fiber, obtaining 39.09 inches (993 mm).^[111] He also did the first experiments on thermal expansion and contraction of pendulum rods with temperature.
• 1672: The first observation that gravity varied at different points on Earth was made in 1672 by Jean Richer, who took a pendulum clock to Cayenne, French Guiana and found that it lost 2+1⁄2 minutes per day; its seconds pendulum had to be shortened by 1+1⁄4lignes (2.6 mm) shorter than at Paris, to keep correct time.^[112][113] In 1687 Isaac Newton in Principia Mathematica showed this was because the Earth had a slightly oblate shape (flattened at the poles) caused by the centrifugal force of its rotation. At higher latitudes the surface was closer to the center of the Earth, so gravity increased with latitude.^[113] From this time on, pendulums began to be taken to distant lands to measure gravity, and tables were compiled of the length of the seconds pendulum at different locations on Earth. In 1743 Alexis Claude Clairaut created the first hydrostatic model of the Earth, Clairaut's theorem,^[111] which allowed the ellipticity of the Earth to be calculated from gravity measurements. Progressively more accurate models of the shape of the Earth followed.
• 1687: Newton experimented with pendulums (described in Principia) and found that equal length pendulums with bobs made of different materials had the same period, proving that the gravitational force on different substances was exactly proportional to their mass (inertia). This principle, called the equivalence principle, confirmed to greater accuracy in later experiments, became the foundation on which Albert Einstein based his general theory of relativity.

• 1737 : นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ บูเกอร์ได้ทำการสังเกตการณ์ลูกตุ้มอย่างละเอียดใน เทือกเขา แอนดีสประเทศเปรู^{[ 114 ]} เขาใช้ลูกตุ้มทองแดงรูปทรงกรวยแหลมสองด้านที่แขวนด้วยเชือก ลูกตุ้มสามารถกลับด้านได้เพื่อขจัดผลกระทบจากความหนาแน่นที่ไม่สม่ำเสมอ เขาคำนวณความยาวจากจุดศูนย์กลางการแกว่งของเชือกและลูกตุ้มรวมกัน แทนที่จะใช้จุดศูนย์กลางของลูกตุ้ม เขาแก้ไขค่าการขยายตัวทางความร้อนของแท่งวัดและความดันบรรยากาศ ทำให้ได้ผลลัพธ์สำหรับลูกตุ้มที่แกว่งในสุญญากาศ บูเกอร์แกว่งลูกตุ้มเดียวกันที่ระดับความสูงสามระดับที่แตกต่างกัน ตั้งแต่ระดับน้ำทะเลไปจนถึงยอดเขาสูงของเปรูแรงโน้มถ่วงควรลดลงตามกำลังสองผกผันของระยะทางจากศูนย์กลางของโลก บูเกอร์พบว่ามันลดลงช้ากว่า และระบุได้อย่างถูกต้องว่าแรงโน้มถ่วง 'พิเศษ' นั้นเกิดจากสนามโน้มถ่วงของที่ราบสูงเปรูขนาดใหญ่ จากความหนาแน่นของตัวอย่างหิน เขาได้คำนวณค่าประมาณของผลกระทบของที่ราบสูงต่อลูกตุ้ม และเมื่อเปรียบเทียบกับแรงโน้มถ่วงของโลก เขาจึงสามารถประมาณความหนาแน่นของโลกได้ อย่างคร่าวๆ เป็นครั้งแรก
• 1747 : แดเนียล เบอร์นูลลีแสดงวิธีแก้ไขการยืดระยะเวลาเนื่องจากมุมแกว่งθ ที่จำกัด โดยใช้การแก้ไขอันดับแรกθ ² /16 ซึ่งให้ระยะเวลาของลูกตุ้มที่มีการแกว่งน้อยมาก^{[ 114 ]}
• ปี 1792 : เพื่อกำหนดมาตรฐานความยาวของลูกตุ้มสำหรับใช้กับระบบเมตริก ใหม่ ในปี 1792 ฌอง-ชาร์ลส์ เดอ บอร์ดาและฌอง-โดมินิก คาสสินีได้ทำการวัดลูกตุ้มวินาทีอย่างแม่นยำที่ปารีส พวกเขาใช้ ลูกบอลแพลทินัม ขนาด 1 + 1/2 นิ้ว (14 มม.) แขวนด้วย ลวดเหล็ก ยาว 12 ฟุต (3.7 ม.)นวัตกรรมหลักของพวกเขาคือเทคนิคที่เรียกว่า " วิธีการเปรียบเทียบพร้อมกัน " ซึ่งช่วยให้สามารถเปรียบเทียบคาบการแกว่งของลูกตุ้มได้อย่างแม่นยำ (บูเกอร์ก็เคยใช้วิธีนี้เช่นกัน) ช่วงเวลา Δt ระหว่างช่วงเวลาที่ลูกตุ้มทั้งสองแกว่งพร้อมกันจะถูกจับเวลา จากนั้นจึงสามารถคำนวณ ความแตกต่างระหว่างคาบ T1และT2   $${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}={\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}}$$
• 1821 : ฟรานเชสโก คาร์ลินีทำการสังเกตการณ์ลูกตุ้มบนยอดเขาเซนิส ประเทศอิตาลี โดยใช้วิธีการที่คล้ายกับของบูเกอร์ เขาคำนวณความหนาแน่นของโลก^{[ 115 ]} เขาเปรียบเทียบการวัดของเขากับการประมาณค่าแรงโน้มถ่วง ณ ตำแหน่งของเขา โดยสมมติว่าไม่มีภูเขาอยู่ตรงนั้น ซึ่งคำนวณจากการวัดลูกตุ้มในบริเวณใกล้เคียงก่อนหน้านี้ที่ระดับน้ำทะเล การวัดของเขาแสดงให้เห็นแรงโน้มถ่วงที่ 'เกิน' ซึ่งเขาจัดสรรให้กับผลกระทบของภูเขา โดยจำลองภูเขาเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง11 ไมล์ (18 กม.) และสูง 1 ไมล์ (1.6 กม.)จากตัวอย่างหิน เขาคำนวณสนามโน้มถ่วงของมัน และประมาณความหนาแน่นของโลกที่ 4.39 เท่าของน้ำ การคำนวณใหม่ในภายหลังโดยผู้อื่นให้ค่า 4.77 และ 4.95 ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความไม่แน่นอนในวิธีการทางภูมิศาสตร์เหล่านี้  

ความแม่นยำของการวัดแรงโน้มถ่วงในยุคแรกข้างต้นถูกจำกัดด้วยความยากลำบากในการวัดความยาวของลูกตุ้มLโดยLคือความยาวของลูกตุ้มแรงโน้มถ่วงแบบง่ายในอุดมคติ (อธิบายไว้ด้านบน) ซึ่งมีมวลทั้งหมดรวมอยู่ที่จุดปลายเชือก ในปี ค.ศ. 1673 ฮุยเกนส์ได้แสดงให้เห็นว่าคาบของลูกตุ้มแท่งแข็ง (เรียกว่าลูกตุ้มประกอบ ) เท่ากับคาบของลูกตุ้มแบบง่ายที่มีความยาวเท่ากับระยะห่างระหว่าง จุด หมุนและจุดที่เรียกว่าศูนย์กลางการแกว่ง ซึ่ง อยู่ใต้ศูนย์กลางแรงโน้ม ถ่วง และขึ้นอยู่กับการกระจายมวลตามลูกตุ้ม แต่ไม่มีวิธีที่แม่นยำในการกำหนดศูนย์กลางการแกว่งในลูกตุ้มจริง การค้นพบของฮุยเกนส์บางครั้งเรียกว่า กฎของฮุ ยเกนส์เกี่ยวกับลูกตุ้ม (ไซคลอยด์) ^{[ 116 ]}

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว นักวิจัยยุคแรกๆ จึงประมาณค่าลูกตุ้มอย่างง่ายในอุดมคติให้ใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยใช้ทรงกลมโลหะที่แขวนด้วยลวดหรือเชือกเบาๆ หากลวดเบาพอ จุดศูนย์กลางการแกว่งจะอยู่ใกล้กับจุดศูนย์กลางมวลของลูกบอล ซึ่งอยู่ที่จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต ลูกตุ้มแบบ "ลูกบอลและลวด" นี้ไม่แม่นยำมากนัก เพราะมันไม่ได้แกว่งเหมือนวัตถุแข็ง และความยืดหยุ่นของลวดทำให้ความยาวของลวดเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยขณะที่ลูกตุ้มแกว่ง

อย่างไรก็ตาม ฮุยเกนส์ได้พิสูจน์แล้วว่าในลูกตุ้มใดๆ จุดหมุนและจุดศูนย์กลางการแกว่งสามารถสลับกันได้^{[ 19 ]} กล่าวคือ หากลูกตุ้มถูกพลิกกลับหัวและแขวนจากจุดศูนย์กลางการแกว่ง มันจะมีคาบเท่ากับที่เคยเป็นในตำแหน่งก่อนหน้า และจุดหมุนเดิมจะกลายเป็นจุดศูนย์กลางการแกว่งใหม่

ในปี ค.ศ. 1817 เฮนรี เคเตอร์นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษและนายทหารยศกัปตันได้ตระหนักว่าหลักการของฮุยเกนส์สามารถนำมาใช้เพื่อหาความยาวของลูกตุ้มอย่างง่ายที่มีคาบเวลาเดียวกันกับลูกตุ้มจริงได้^{[ 64 ]} หากสร้างลูกตุ้มโดยมีจุดหมุนปรับได้จุดที่สองอยู่ใกล้ด้านล่างเพื่อให้สามารถแขวนกลับหัวได้ และปรับจุดหมุนที่สองจนกระทั่งคาบเวลาเมื่อแขวนจากจุดหมุนทั้งสองเท่ากัน จุดหมุนที่สองจะอยู่ที่ศูนย์กลางของการแกว่ง และระยะห่างระหว่างจุดหมุนทั้งสองจะเป็นความยาวLของลูกตุ้มอย่างง่ายที่มีคาบเวลาเดียวกัน

เคเตอร์สร้างลูกตุ้มแบบกลับทิศได้ ( ดูภาพวาด ) ซึ่งประกอบด้วยแท่งทองเหลืองที่มีจุดหมุนสองจุดตรงข้ามกัน ทำจากใบมีดรูปสามเหลี่ยมสั้นๆ(a)ใกล้ปลายทั้งสองข้าง สามารถแกว่งได้จากจุดหมุนใดจุดหนึ่ง โดยมีใบมีดวางอยู่บนแผ่นหินอาเกต แทนที่จะทำให้จุดหมุนจุดเดียวสามารถปรับได้ เขาติดจุดหมุนให้ห่างกันหนึ่งเมตร และปรับคาบเวลาด้วยน้ำหนักที่เคลื่อนที่ได้บนแท่งลูกตุ้ม(b,c)ในการใช้งาน ลูกตุ้มจะถูกแขวนไว้หน้านาฬิกาที่มีความแม่นยำสูง และจับเวลาคาบเวลา จากนั้นพลิกกลับหัวและจับเวลาคาบเวลาอีกครั้ง ปรับน้ำหนักด้วยสกรูปรับจนกระทั่งคาบเวลาเท่ากัน จากนั้นนำคาบเวลานี้และระยะห่างระหว่างจุดหมุนไปใส่ในสมการ (1) จะได้ค่าความเร่งโน้มถ่วงgอย่างแม่นยำมาก

เคเตอร์จับเวลาการแกว่งของลูกตุ้มโดยใช้ " วิธีการบังเอิญ " และวัดระยะห่างระหว่างจุดหมุนทั้งสองด้วยไมโครมิเตอร์ หลังจากปรับแก้ค่าสำหรับแอมพลิจูดการแกว่งที่จำกัด แรงลอยตัวของลูกตุ้ม ความดันบรรยากาศและระดับความสูง และอุณหภูมิแล้ว เขาได้ค่า 39.13929  นิ้วสำหรับลูกตุ้มวินาทีที่ลอนดอน ในสุญญากาศ ที่ระดับน้ำทะเล ที่อุณหภูมิ 62  °F ความแปรผันที่มากที่สุดจากค่าเฉลี่ยของการสังเกต 12 ครั้งของเขาคือ 0.00028 นิ้ว^{[ 117 ]}ซึ่งแสดงถึงความแม่นยำของการวัดแรงโน้มถ่วงที่ 7×10 ⁻⁶ (7 mGalหรือ 70 μm/s ² ) การวัดของเคเตอร์ถูกใช้เป็นมาตรฐานความยาวอย่างเป็นทางการของสหราชอาณาจักร (ดูด้านล่าง ) ตั้งแต่ปี 1824 ถึง 1855

ลูกตุ้มแบบกลับทิศทางได้ (ในทางเทคนิคเรียกว่าลูกตุ้มแบบ "แปลงสภาพ") ซึ่งใช้หลักการของเคเตอร์ ถูกนำมาใช้ในการวัดแรงโน้มถ่วงสัมบูรณ์จนถึงทศวรรษ 1930

ความแม่นยำที่เพิ่มขึ้นซึ่งเป็นไปได้ด้วยลูกตุ้มของเคเตอร์ ช่วยทำให้การวัดแรงโน้มถ่วงกลายเป็นส่วนมาตรฐานของวิชาธรณีวิทยาเนื่องจากจำเป็นต้องทราบตำแหน่งที่แน่นอน (ละติจูดและลองจิจูด) ของ "สถานี" ที่ทำการวัดแรงโน้มถ่วง การวัดแรงโน้มถ่วงจึงกลายเป็นส่วนหนึ่งของการสำรวจและมีการนำลูกตุ้มไปใช้ในการสำรวจทางธรณีวิทยา ครั้งใหญ่ ในศตวรรษที่ 18 โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสำรวจตรีโกณมิติครั้งใหญ่ของอินเดีย

• ลูกตุ้มคงที่: เคเตอร์ได้นำเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ การวัดแรงโน้ม ถ่วงสัมพัทธ์เพื่อเสริมการวัดแบบสัมบูรณ์ ที่ทำโดยลูกตุ้มของเคเตอร์ ^{[ 118 ]} การเปรียบเทียบแรงโน้มถ่วงที่จุดสองจุดที่แตกต่างกันเป็นกระบวนการที่ง่ายกว่าการวัดแบบสัมบูรณ์ด้วยวิธีของเคเตอร์ สิ่งที่จำเป็นคือการจับเวลาคาบของลูกตุ้มธรรมดา (จุดหมุนเดียว) ที่จุดแรก จากนั้นเคลื่อนย้ายลูกตุ้มไปยังจุดอื่นและจับเวลาคาบของมันที่นั่น เนื่องจากความยาวของลูกตุ้มคงที่ จาก (1) อัตราส่วนของความเร่งโน้มถ่วงจะเท่ากับส่วนกลับของอัตราส่วนของคาบยกกำลังสอง และไม่จำเป็นต้องวัดความยาวอย่างแม่นยำ ดังนั้นเมื่อวัดแรงโน้มถ่วงแบบสัมบูรณ์ที่สถานีกลางบางแห่งได้แล้ว ไม่ว่าจะด้วยวิธีของเคเตอร์หรือวิธีที่แม่นยำอื่นๆ ก็สามารถหาแรงโน้มถ่วงที่จุดอื่นๆ ได้โดยการแกว่งลูกตุ้มที่สถานีกลาง จากนั้นนำไปที่ตำแหน่งอื่นและจับเวลาการแกว่งของมันที่นั่น เคเตอร์ได้สร้างลูกตุ้ม "คงที่" ชุดหนึ่ง โดยมีจุดหมุนคมมีดเพียงจุดเดียว ซึ่งลูกตุ้มเหล่านี้ถูกนำไปยังหลายประเทศหลังจากที่ถูกแกว่งครั้งแรกที่สถานีกลาง ณหอดูดาวคิวประเทศอังกฤษ
• การทดลองในเหมืองถ่านหินของแอร์รี : เริ่มต้นในปี 1826 โดยใช้วิธีการที่คล้ายกับของบูเกอร์ นักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษจอร์จ แอร์รีพยายามกำหนดความหนาแน่นของโลกโดยการวัดแรงโน้มถ่วงของลูกตุ้มที่ด้านบนและด้านล่างของเหมืองถ่านหิน^{[ 119 ] [ 120 ]} แรงโน้มถ่วงใต้พื้นผิวโลกจะลดลงแทนที่จะเพิ่มขึ้นตามความลึก เนื่องจากตามกฎของเกาส์มวลของเปลือกโลกทรงกลมเหนือจุดใต้พื้นผิวไม่ก่อให้เกิดแรงโน้มถ่วง การทดลองในปี 1826 ถูกยกเลิกเนื่องจากน้ำท่วมเหมือง แต่ในปี 1854 เขาได้ทำการทดลองที่ได้รับการปรับปรุงที่เหมืองถ่านหินฮาร์ตัน โดยใช้ลูกตุ้มวินาทีแกว่งบนแผ่นอะเกต จับเวลาด้วยโครโนมิเตอร์ที่มีความแม่นยำสูงซึ่งซิงโครไนซ์ด้วยวงจรไฟฟ้า เขาพบว่าลูกตุ้มด้านล่างแกว่งช้ากว่า 2.24 วินาทีต่อวัน นั่นหมายความว่า ความเร่งโน้มถ่วงที่ก้นเหมือง ซึ่ง อยู่ลึก 1,250  ฟุตจากพื้นผิว มีค่าน้อยกว่าที่ควรจะเป็นตามกฎกำลังสองผกผันอยู่ 1/14,000 เท่า กล่าวคือ แรงดึงดูดของเปลือกทรงกลมมีค่าเป็น 1/14,000 ของแรงดึงดูดของโลก จากตัวอย่างหินบนพื้นผิว เขาได้ประมาณมวลของเปลือกโลกทรงกลม และจากนั้นจึงประมาณได้ว่าความหนาแน่นของโลกมีค่าเป็น 6.565 เท่าของน้ำ ฟอน สเตอร์เน็คพยายามทำการทดลองซ้ำในปี 1882 แต่พบว่าผลลัพธ์ไม่สอดคล้องกัน

• ลูกตุ้ม Repsold-Bessel:การแกว่งลูกตุ้ม Kater ซ้ำๆ และปรับน้ำหนักจนกว่าคาบจะเท่ากันนั้นใช้เวลานานและมีโอกาสผิดพลาด Friedrich Besselแสดงให้เห็นในปี 1835 ว่าไม่จำเป็นต้องทำเช่นนั้น^{[ 121 ]} ตราบใดที่คาบใกล้เคียงกัน แรงโน้มถ่วงสามารถคำนวณได้จากคาบทั้งสองและจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม^{[ 122 ]} ดังนั้นลูกตุ้มแบบกลับทิศได้จึงไม่จำเป็นต้องปรับได้ อาจเป็นเพียงแท่งที่มีจุดหมุนสองจุด Bessel ยังแสดงให้เห็นว่าหากลูกตุ้มมีรูปทรงสมมาตรเกี่ยวกับจุดศูนย์กลาง แต่มีน้ำหนักภายในที่ปลายด้านหนึ่ง ข้อผิดพลาดเนื่องจากแรงต้านอากาศจะหักล้างกันได้ นอกจากนี้ ข้อผิดพลาดอีกประการหนึ่งเนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางที่จำกัดของขอบมีดสามารถทำให้หักล้างกันได้หากสลับกันระหว่างการวัด เบสเซลไม่ได้สร้างลูกตุ้มแบบนั้น แต่ในปี 1864 อดอล์ฟ เรปโซลด์ ภายใต้สัญญาจ้างจากคณะกรรมการสำรวจทางภูมิศาสตร์ของสวิตเซอร์แลนด์ ได้สร้างลูกตุ้มในลักษณะเดียวกัน ลูกตุ้มของเรปโซลด์มีความยาวประมาณ 56 เซนติเมตร และมีคาบการแกว่งประมาณ3/4 วินาที มันถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางโดยหน่วยงานสำรวจทางภูมิศาสตร์ของยุโรป และใช้ร่วมกับลูกตุ้ม ของเคเตอร์ในการสำรวจของอินเดีย ลูกตุ้มประเภทเดียวกันนี้ได้รับการออกแบบโดยชาร์ลส์ เพียร์ซ และ ซี. เดฟฟอร์จส์

• เครื่องวัดความโน้มถ่วงของฟอน สเตอร์เน็คและเมนเดนฮอลล์:ในปี ค.ศ. 1887 โรเบิร์ต ฟอน สเตอร์เน็ค นักวิทยาศาสตร์ชาวออสเตรีย-ฮังการี ได้พัฒนาเครื่องวัดความโน้มถ่วงขนาดเล็กแบบลูกตุ้มที่ติดตั้งในถังสุญญากาศควบคุมอุณหภูมิเพื่อขจัดผลกระทบของอุณหภูมิและความดันอากาศ โดยใช้ "ลูกตุ้มครึ่งวินาที" ซึ่งมีคาบใกล้เคียงหนึ่งวินาที ยาวประมาณ 25 เซนติเมตร ลูกตุ้มไม่สามารถย้อนกลับได้ ดังนั้นเครื่องมือนี้จึงใช้สำหรับการวัดความโน้มถ่วงสัมพัทธ์ แต่ขนาดที่เล็กทำให้พกพาสะดวก คาบของลูกตุ้มถูกวัดโดยการสะท้อนภาพของประกายไฟที่สร้างขึ้นโดยโครโนมิเตอร์ที่มีความแม่นยำสูงจากกระจกที่ติดตั้งอยู่ด้านบนของก้านลูกตุ้ม เครื่องมือของฟอน สเตอร์เน็ค และเครื่องมือที่คล้ายกันซึ่งพัฒนาโดยโทมัส ซี. เมนเดนฮอลล์ แห่งหน่วยสำรวจชายฝั่งและธรณีวิทยาของสหรัฐอเมริกาในปี ค.ศ. 1890 ^{[ 123 ]}ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางสำหรับการสำรวจในช่วงทศวรรษ ค.ศ. 1920

ลูกตุ้มเมนเดนฮอลล์เป็นเครื่องบอกเวลาที่แม่นยำกว่านาฬิกาที่มีความแม่นยำสูงสุดในสมัยนั้น และอัลเบิร์ต เอ. มิเชลสัน ได้ใช้ลูกตุ้มนี้ ในการวัดความเร็วแสงบนภูเขาวิลสัน รัฐแคลิฟอร์เนียใน ปี พ.ศ. 2467 ^{[ 123 ]}

• เครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบลูกตุ้มคู่:ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2418 ความแม่นยำที่เพิ่มขึ้นของการวัดลูกตุ้มเผยให้เห็นแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดอีกแหล่งหนึ่งในเครื่องมือที่มีอยู่ นั่นคือ การแกว่งของลูกตุ้มทำให้ขาตั้งสามขาที่ใช้รองรับลูกตุ้มแบบพกพาแกว่งเล็กน้อย ทำให้เกิดข้อผิดพลาด ในปี พ.ศ. 2418 Charles S Peirce คำนวณว่าการวัดความยาวของลูกตุ้มวินาทีที่ทำด้วยเครื่องมือ Repsold ต้องมีการแก้ไข 0.2  มม. เนื่องจากข้อผิดพลาดนี้^{[ 124 ]} ในปี พ.ศ. 2423 C. Defforges ใช้เครื่องวัดการรบกวนของ Michelsonเพื่อวัดการแกว่งของขาตั้งแบบไดนามิก และมีการเพิ่มเครื่องวัดการรบกวนเข้าไปในอุปกรณ์ Mendenhall มาตรฐานเพื่อคำนวณการแก้ไขการแกว่ง^{[ 125 ]} วิธีการป้องกันข้อผิดพลาดนี้ได้รับการเสนอแนะครั้งแรกในปี พ.ศ. 2420 โดย Hervé Faye และได้รับการสนับสนุนโดย Peirce, Cellérier และ Furtwangler: ติดตั้งลูกตุ้มที่เหมือนกันสองลูกบนฐานรองเดียวกัน โดยแกว่งด้วยแอมพลิจูดเดียวกัน แต่มีเฟสต่างกัน 180° การเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้ามของลูกตุ้มจะหักล้างแรงด้านข้างใดๆ บนฐานรอง แนวคิดนี้ถูกคัดค้านเนื่องจากความซับซ้อน แต่เมื่อถึงต้นศตวรรษที่ 20 อุปกรณ์ Von Sterneck และเครื่องมืออื่นๆ ได้รับการดัดแปลงให้แกว่งลูกตุ้มหลายลูกพร้อมกัน

• เครื่องวัดความโน้มถ่วงกัลฟ์ : หนึ่งในเครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบลูกตุ้มรุ่นสุดท้ายและแม่นยำที่สุดคืออุปกรณ์ที่พัฒนาขึ้นในปี 1929 โดยบริษัท Gulf Research and Development Co. ^{[ 126 ] [ 127 ]} อุปกรณ์นี้ใช้ลูกตุ้มสองลูกที่ทำจากควอตซ์หลอมเหลวแต่ละลูก ยาว 10.7 นิ้ว (270 มม.)มีคาบการแกว่ง 0.89 วินาที แกว่งบนแกนหมุนขอบมีดไพเร็กซ์ โดยมีเฟสต่างกัน 180° ติดตั้งอยู่ในห้องสุญญากาศที่ควบคุมอุณหภูมิและความชื้นอย่างถาวร ประจุไฟฟ้าสถิตที่ตกค้างบนลูกตุ้มควอตซ์จะต้องถูกกำจัดออกโดยการนำไปสัมผัสกับเกลือกัมมันตรังสีก่อนใช้งาน คาบการแกว่งถูกตรวจจับโดยการสะท้อนลำแสงจากกระจกที่ด้านบนของลูกตุ้ม บันทึกโดยเครื่องบันทึกแผนภูมิ และเปรียบเทียบกับออสซิลเลเตอร์คริสตัล ที่มีความแม่นยำสูง ซึ่งสอบเทียบกับสัญญาณเวลาวิทยุWWVเครื่องมือนี้มีความแม่นยำภายใน (0.3–0.5)×10 ⁻⁷ (30–50 ไมโครแกลหรือ 3–5 นาโนเมตร/วินาที^² ) ^{[ 126 ]}มันถูกใช้งานจนถึงช่วงทศวรรษ 1960  

เครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบลูกตุ้มสัมพัทธ์ถูกแทนที่ด้วยเครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบสปริงความยาวศูนย์ของ LaCoste ที่เรียบง่ายกว่า ซึ่งคิดค้นโดยLucien LaCosteใน ปี 1934 ^{[ 123 ] เครื่องวัดความโน้มถ่วงแบบลูกตุ้มสัมบูรณ์ (แบบย้อนกลับได้) ถูกแทนที่ในช่วงทศวรรษ 1950 ด้วยเครื่องวัดความโน้มถ่วง แบบ} ตกอิสระ ซึ่งน้ำหนักจะถูกปล่อยให้ตกลงมาในถังสุญญากาศและวัดความเร่งโดยใช้เครื่องวัดการรบกวน ทางแสง [ ^{73 ]}

หนึ่งในผู้ที่เสนอให้กำหนดความยาวด้วยลูกตุ้มเป็นคนแรกคือนักวิทยาศาสตร์ชาวเฟลมิช ไอแซค บีคแมน^{[ 130 ]}ซึ่งในปี 1631 ได้แนะนำให้ใช้ลูกตุ้มวินาทีเป็น "มาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับทุกคน ทุกเวลา ทุกสถานที่" ^{[ 131 ]}มาริน เมอร์เซนน์ผู้ซึ่งวัดลูกตุ้มวินาทีเป็นครั้งแรกในปี 1644 ก็ได้เสนอแนวคิดนี้เช่นกัน ข้อเสนออย่างเป็นทางการครั้งแรกสำหรับมาตรฐานลูกตุ้มเกิดขึ้นโดยราชสมาคม แห่งอังกฤษ ในปี 1660 โดยได้รับการสนับสนุนจากคริสเตียน ฮุยเกนส์และโอเล โรเมอร์โดยอ้างอิงจากงานของเมอร์เซนน์^{[ 132 ]}และฮุยเกนส์ในHorologium Oscillatoriumได้เสนอ "ฟุตโหราศาสตร์" ซึ่งกำหนดไว้ที่ 1/3 ของลูกตุ้มวินาที คริสโตเฟอร์ เรนเป็นอีกหนึ่งผู้สนับสนุนในช่วงแรก แนวคิดเรื่องมาตรฐานความยาวแบบลูกตุ้มคงเป็นที่คุ้นเคยของผู้คนมาตั้งแต่ปี ค.ศ. 1663 แล้ว เพราะซามูเอล บัตเลอร์ได้ล้อเลียนเรื่องนี้ในHudibras : ^{[ 133 ]}

ฉันจะจัดการพวกเขาบนม้านั่งนั้น

การสั่นของลูกตุ้มนี้

จะทำให้หลาของช่างตัดเย็บทั้งหมดเป็นหนึ่งเดียว

ความเห็นเป็นเอกฉันท์

ในปี ค.ศ. 1671 ฌอง ปิการ์ดเสนอ "ฟุตสากล" ที่กำหนดโดยลูกตุ้มในหนังสือ Mesure de la Terre ที่ทรงอิทธิพลของเขา[ 134 ^{]กาเบ}รียล มูตงประมาณปี ค.ศ. 1670 เสนอให้กำหนดหน่วยtoiseโดยใช้ลูกตุ้มวินาทีหรือนาทีขององศาบนโลก แผนสำหรับระบบหน่วยที่สมบูรณ์โดยอิงจากลูกตุ้มได้รับการเสนอในปี ค.ศ. 1675 โดยนักปราชญ์ชาวอิตาลี ติโต ลิวิโอ บูร์ราตินี ในฝรั่งเศสในปี ค.ศ. 1747 นักภูมิศาสตร์ชาร์ลส์ มารี เดอ ลา คอนดามีน เสนอให้กำหนดความยาวโดยใช้ลูกตุ้มวินาทีที่เส้นศูนย์สูตร เนื่องจาก ณ ตำแหน่งนี้ การแกว่งของลูกตุ้มจะไม่ถูกบิดเบือนโดยการหมุนของโลกเจมส์ สเตียร์ต (ค.ศ. 1780) และจอร์จ สกิน คีธก็เป็นผู้สนับสนุนเช่นกัน

เมื่อถึงปลายศตวรรษที่ 18 เมื่อหลายประเทศกำลังปฏิรูประบบน้ำหนักและการวัด ของตน ลูกตุ้มวินาทีเป็นตัวเลือกชั้นนำสำหรับการกำหนดความยาวแบบใหม่ ซึ่งได้รับการสนับสนุนจากนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในหลายประเทศสำคัญ ในปี 1790 โทมัส เจฟเฟอร์สัน รัฐมนตรีว่าการกระทรวงต่างประเทศของสหรัฐฯ ในขณะนั้น ได้เสนอต่อสภาคองเกรสถึงระบบเมตริกแบบทศนิยมที่ครอบคลุมของสหรัฐฯ โดยอิงจากลูกตุ้มวินาทีที่ละติจูด 38° เหนือ ซึ่งเป็นละติจูดเฉลี่ยของสหรัฐอเมริกา^{[ 135 ]} ไม่มีการดำเนินการใดๆ กับข้อเสนอนี้ ในอังกฤษ ผู้สนับสนุนหลักของลูกตุ้มคือนักการเมืองจอห์น ริกส์ มิลเลอร์ [ ^{136 ] เมื่อ} ความพยายามของเขาในการส่งเสริมระบบเมตริกร่วมกันระหว่างอังกฤษ ฝรั่งเศส และอเมริกา ล้มเหลวในปี 1790 เขาจึงเสนอระบบของอังกฤษโดยอิงจากความยาวของลูกตุ้มวินาทีที่ลอนดอน มาตรฐานนี้ได้รับการยอมรับในปี 1824 (ด้านล่าง)

ในการอภิปรายก่อนที่ฝรั่งเศสจะนำระบบเมตริก มาใช้ ในปี 1791 ตัวเลือกหลักสำหรับการกำหนดหน่วยความยาวใหม่ คือเมตรคือ ลูกตุ้มวินาทีที่ละติจูด 45° เหนือ กลุ่มที่นำโดยนักการเมืองฝรั่งเศสทัลเลย์ร็องด์และนักคณิตศาสตร์อองตวน นิโคลัส การิตาต์ เดอ คอนดอร์เซต์ สนับสนุนแนวคิด นี้ นี่เป็นหนึ่งในสามตัวเลือกสุดท้ายที่ คณะกรรมการ สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศส พิจารณา อย่างไรก็ตาม ในวันที่ 19 มีนาคม 1791 คณะกรรมการเลือกที่จะใช้ความยาวของเส้นเมริเดียนที่ผ่านกรุงปารีสเป็นหน่วยวัดเมตรแทน การกำหนดหน่วยเมตรโดยใช้ลูกตุ้มถูกปฏิเสธเนื่องจากค่าที่ได้มีความแปรปรวนในสถานที่ต่างๆ และเนื่องจากเป็นการกำหนดความยาวโดยใช้หน่วยเวลา (อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่ปี 1983 เมตรได้รับการกำหนดอย่างเป็นทางการโดยอิงจากความยาวของวินาทีและความเร็วแสง) เหตุผลเพิ่มเติมที่เป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือ สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศสหัวรุนแรงไม่ต้องการใช้หน่วยวินาที ซึ่งเป็นหน่วยดั้งเดิมและไม่ใช่ระบบทศนิยมจากระบอบเก่า เป็นพื้นฐานสำหรับระบบใหม่ของพวก เขา

แม้ว่าจะไม่ได้กำหนดโดยลูกตุ้ม แต่ความยาวสุดท้ายที่เลือกสำหรับเมตร ซึ่งเท่ากับ 10⁻⁷ ^ของส่วนโค้งเส้นเมริเดียน จากขั้วโลกถึงเส้นศูนย์สูตร นั้น ใกล้เคียงกับความยาวของลูกตุ้มวินาที (0.9937 เมตร) มาก โดยมีความคลาดเคลื่อนเพียง 0.63% แม้ว่าจะไม่มีการระบุเหตุผลสำหรับการเลือกนี้ในขณะนั้น แต่ก็อาจเป็นเพราะต้องการอำนวยความสะดวกในการใช้ลูกตุ้มวินาทีเป็นมาตรฐานรอง ดังที่ได้เสนอไว้ในเอกสารอย่างเป็นทางการ ดังนั้นหน่วยมาตรฐานความยาวของโลกสมัยใหม่จึงมีความเชื่อมโยงทางประวัติศาสตร์อย่างใกล้ชิดกับลูกตุ้มวินาทีอย่างแน่นอน

ดูเหมือนว่าสหราชอาณาจักรและเดนมาร์กจะเป็นเพียงสองประเทศที่ (ในช่วงเวลาสั้นๆ) ใช้ลูกตุ้มเป็นหน่วยวัดความยาว ในปี ค.ศ. 1821 นิ้วของเดนมาร์กถูกกำหนดให้เป็น 1/38 ของความยาวของลูกตุ้มวินาทีสุริยะเฉลี่ยที่ละติจูด 45° ที่เส้นเมริเดียนของสกาเกนที่ระดับน้ำทะเล ในสุญญากาศ^{[ 137 ] [ 138 ]} รัฐสภาอังกฤษได้ผ่านพระราชบัญญัติมาตรวัดและหน่วยวัดของจักรวรรดิในปี ค.ศ. 1824 ซึ่งเป็นการปฏิรูปมาตรฐานของอังกฤษ โดยประกาศว่าหากมาตรฐานหลา ต้นแบบ ถูกทำลาย จะสามารถกู้คืนได้โดยการกำหนดนิ้วให้มีความยาวเท่ากับความยาวของลูกตุ้มวินาทีสุริยะที่ลอนดอน ที่ระดับน้ำทะเลในสุญญากาศ ที่อุณหภูมิ 62  °F เท่ากับ 39.1393  นิ้ว^{[ 139 ]} ซึ่งกลายเป็นมาตรฐานของสหรัฐอเมริกาด้วย เนื่องจากในขณะนั้นสหรัฐอเมริกาใช้หน่วยวัดของอังกฤษ อย่างไรก็ตาม เมื่อลานต้นแบบถูกทำลายไปในเหตุการณ์ไฟไหม้รัฐสภาในปี 1834ก็พิสูจน์ได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างมันขึ้นมาใหม่ได้อย่างแม่นยำตามคำจำกัดความของลูกตุ้ม และในปี 1855 สหราชอาณาจักรจึงยกเลิกมาตรฐานลูกตุ้มและกลับไปใช้มาตรฐานต้นแบบอีกครั้ง

สัญญาณที่ใช้ลูกตุ้มในการทำงาน ซึ่งมีชื่อเรียกว่า สัญญาณ วิกแวกหรือที่รู้จักกันน้อยกว่าในชื่อ สัญญาณแม่เหล็กควบคุมทิศทาง ถูกสร้างขึ้นโดยบริษัท Magnetic Signal Company (MSC) และบริษัทอื่นๆ อีกหลายแห่งได้พัฒนาตามรอย ซึ่งเคยเป็นสัญญาณรถไฟที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย แต่ปัจจุบันเหลือเพียงไม่กี่แห่งที่ยังคงใช้งานได้ทั่วโลก โดยเฉพาะในรัฐแคลิฟอร์เนีย

ใน เครื่องวัดแผ่นดินไหวรุ่นแรกๆ จะใช้ลูกตุ้มที่มีแกนไม่ตั้งตรงแต่เกือบเป็นแนวนอนเพื่อวัดการสั่นสะเทือนของโลก ลูกตุ้มจะไม่ขยับเมื่อฐานยึดขยับ และความแตกต่างของการเคลื่อนที่นั้นจะถูกบันทึกไว้บนแผนภูมิแบบดรัม

ตามที่แม็กซิมิเลียน ชูลเลอร์ ได้อธิบายไว้เป็นครั้งแรก ในบทความปี 1923 ลูกตุ้มที่มีคาบการแกว่งเท่ากับคาบการโคจรของดาวเทียมสมมุติที่โคจรอยู่เหนือพื้นผิวโลก (ประมาณ 84 นาที) จะยังคงชี้ไปยังศูนย์กลางของโลกเมื่อจุดรองรับถูกเคลื่อนย้ายอย่างกะทันหัน หลักการนี้เรียกว่า การปรับจูน แบบชูลเลอร์ (Schuler tuning ) ซึ่งใช้ในระบบนำทางเฉื่อยในเรือและเครื่องบินที่ปฏิบัติการบนพื้นผิวโลก โดยไม่ได้ใช้ลูกตุ้มจริง แต่ระบบควบคุมที่รักษาเสถียรภาพของแท่นเฉื่อยที่มีไจโรสโคปจะถูกดัดแปลงเพื่อให้ตัวอุปกรณ์ทำงานราวกับว่ามันติดอยู่กับลูกตุ้มดังกล่าว ทำให้แท่นนั้นหันลงเสมอขณะที่ยานพาหนะเคลื่อนที่บนพื้นผิวโค้งของโลก

ในปี ค.ศ. 1665 ฮุยเกนส์ได้ทำการสังเกตที่น่าสนใจเกี่ยวกับนาฬิกาลูกตุ้ม เขาได้วางนาฬิกาไว้สองเรือนบนหิ้งและสังเกตว่านาฬิกาทั้งสองเรือนมีการเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้าม กล่าวคือ ลูกตุ้มของนาฬิกาทั้งสองเรือนแกว่งไปพร้อมกันแต่ในทิศทางตรงกันข้าม 180° เฟสต่างกัน ไม่ว่านาฬิกาทั้งสองเรือนจะเริ่มต้นอย่างไร เขาก็พบว่าในที่สุดนาฬิกาทั้งสองเรือนก็จะกลับมาอยู่ในสถานะนี้ ดังนั้นจึงเป็นการสังเกตครั้งแรกที่มีการ บันทึกไว้เกี่ยวกับออสซิลเลเตอร์แบบคู่^{[ 140 ]}

สาเหตุของพฤติกรรมนี้เกิดจากลูกตุ้มทั้งสองส่งผลกระทบต่อกันและกันผ่านการเคลื่อนไหวเล็กน้อยของแท่นวาง กระบวนการนี้เรียกว่าการเหนี่ยวนำหรือการล็อกโหมดในทางฟิสิกส์ และพบได้ในออสซิลเลเตอร์ที่เชื่อมต่อกันอื่นๆ ลูกตุ้มที่ซิงโครไนซ์กันถูกนำมาใช้ในนาฬิกาและถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในเครื่องวัดความโน้มถ่วงในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แม้ว่าฮุยเกนส์จะสังเกตเห็นการซิงโครไนซ์แบบนอกเฟสเท่านั้น แต่การวิจัยล่าสุดแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของการซิงโครไนซ์แบบในเฟส เช่นเดียวกับสถานะ "ตาย" ซึ่งนาฬิกาเรือนใดเรือนหนึ่งหรือทั้งสองเรือนหยุดทำงาน^{[ 141 ] [ 142 ]}

การเคลื่อนที่แบบลูกตุ้มปรากฏในพิธีกรรมทางศาสนาเช่นกันกระถางธูป ที่แกว่งไปมาเรียกว่า กระถางธูปหรือที่รู้จักกันในชื่อกระถางกำยานเป็นตัวอย่างของลูกตุ้ม^{[ 143 ]}ลูกตุ้มยังพบเห็นได้ในงานชุมนุมหลายแห่งในเม็กซิโกตะวันออก ซึ่งใช้เป็นเครื่องหมายบอกการเปลี่ยนระดับน้ำขึ้นน้ำลงในวันที่น้ำขึ้นสูงสุด ลูกตุ้มอาจใช้สำหรับการหาแหล่งน้ำใต้ดิน ได้เช่นกัน

ลูกตุ้มถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาวิทยาศาสตร์ในฐานะตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์แบบฮาร์มอนิกเพื่อสอนพลศาสตร์และการเคลื่อนที่แบบสั่นการใช้งานอย่างหนึ่งคือการสาธิตกฎการอนุรักษ์พลังงาน^{[ 144 ] [ 145 ]}วัตถุหนัก เช่นลูกโบว์ลิ่ง^{[ 146 ]}หรือลูกตุ้มทำลายล้าง^{[ 144 ]}จะถูกผูกติดกับเชือก จากนั้นน้ำหนักจะถูกเคลื่อนไปในระยะไม่กี่นิ้วจากใบหน้าของอาสาสมัคร แล้วปล่อยและปล่อยให้แกว่งและกลับมา ในกรณีส่วนใหญ่ น้ำหนักจะเปลี่ยนทิศทางแล้วกลับไปยังตำแหน่งเดิม (เกือบ) เดียวกับตำแหน่งที่ปล่อยครั้งแรก — กล่าว คือห่างจากใบหน้าของอาสาสมัครเล็กน้อย — ทำให้อาสาสมัครไม่ได้รับอันตราย ในบางครั้งอาสาสมัครอาจได้รับบาดเจ็บหากอาสาสมัครไม่ยืนนิ่ง^{[ 147 ]}หรือลูกตุ้มถูกปล่อยในตอนแรกด้วยการผลัก (ดังนั้นเมื่อมันกลับมามันจะเกินตำแหน่งที่ปล่อย) การสาธิตอีกอย่างหนึ่งคือคลื่นลูกตุ้ม

มีการกล่าวอ้างว่าลูกตุ้มถูกใช้เป็นเครื่องมือทรมานและประหารชีวิตโดยศาลศาสนาสเปน^{[ 148 ]}ในศตวรรษที่ 18 ข้อกล่าวหานี้ปรากฏอยู่ในหนังสือThe history of the Inquisition of Spain ใน ปี 1826 โดย Juan Antonio Llorenteนักบวช นักประวัติศาสตร์ และนักเคลื่อนไหวเสรีนิยม ชาวสเปน ^{[ 149 ]} ลูกตุ้มที่แกว่งไปมาซึ่งมีขอบเป็นใบมีดจะค่อยๆ แกว่งลงมาหาผู้ต้องขังที่ถูกมัดจนกระทั่งบาดร่างกายของเขา^{[ 150 ]} วิธีการทรมานนี้เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายผ่านเรื่องสั้น " The Pit and the Pendulum " ในปี 1842 โดยEdgar Allan Poeนัก เขียนชาวอเมริกัน ^{[ 151 ]}

แหล่งข้อมูลที่น่าเชื่อถือส่วนใหญ่ต่างสงสัยว่าการทรมานแบบนี้เคยถูกนำมาใช้จริงหรือไม่^{[ 152 ] [ 153 ] [ 154 ] หลักฐานเดียวของการใช้การทรมานแบบนี้คือย่อหน้าหนึ่งในคำนำของหนังสือประวัติศาสตร์ปี 1826 ของลอเรนเต [ 149 ] ซึ่งเล่าถึงเรื่องเล่าต่อๆ} กันมาของ^{นักโทษคน}หนึ่งที่ได้รับการปล่อยตัวจากคุกใต้ดินของศาลศาสนาในมาดริดในปี 1820 ซึ่งอ้างว่าได้บรรยายถึงวิธีการทรมานด้วยลูกตุ้ม แหล่งข้อมูลสมัยใหม่ชี้ให้เห็นว่าเนื่องจากคำตักเตือนของพระเยซูเกี่ยวกับการนองเลือด ผู้สอบสวนจึงได้รับอนุญาตให้ใช้วิธีการทรมานที่ไม่ทำให้เลือดไหลเท่านั้น และวิธีการใช้ลูกตุ้มจะขัดกับข้อห้ามนี้ ทฤษฎีหนึ่งคือลอเรนเตอาจเข้าใจผิดเกี่ยวกับเรื่องราวที่เขาได้ยิน นักโทษกำลังกล่าวถึงการทรมานอีกรูปแบบหนึ่งที่พบได้ทั่วไปในศาลศาสนา นั่นคือสตราปปาโด (การ์รูชา) ซึ่งนักโทษจะถูกมัดมือไว้ด้านหลังและถูกยกขึ้นจากพื้นด้วยเชือกที่ผูกติดกับมือ^{[ 154 ]}วิธีนี้เรียกอีกอย่างว่า "ลูกตุ้ม" เรื่องราวสยองขวัญยอดนิยมของโพและการรับรู้ของสาธารณชนเกี่ยวกับวิธีการทรมานอันโหดร้ายอื่นๆ ของศาลศาสนา ทำให้ตำนานของวิธีการทรมานอันซับซ้อนนี้ยังคงอยู่